Lernzettel Nr. 5
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Lernzettel Nr. 5 MATH - Definition eines Zufallsversuchs und die Begriffe rund um diesen Begriff Stichprobe Merkmal Merkmalträger Qualitative Merkmal Quantitatives Merkmal Rangmerkmale (=skalierte Merkmale) Grundgesamtheit Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit Häufigkeitsverteilung eines Merkmals Zufallsversuch Ergebnis Ergebnismenge Ereignis Wahrscheinlichkeit Bedeutung / Beispiel / Formel Zufällige entnahme einer kleinen Menge aus einer großen Menge (Klasse) Ist charakteristisches Kennzeichen eines Merkmalträgers (Zahlen beim Würfel) Objekt, welches das Merkmal trägt Ergebnisse, die nicht zählbar sind; (Bei roten Pullovern ist das qual. Merkmal rot) Zählbares Merkmal (Geld im Portemonnaie) Sortierbare Merkmale (Namenliste, alphabet. Reihenfolge) Menge aller potentieller Untersuchungsobjekte (70 Äpfel…) Anzahl des Auftreffens des Ereignisses X bei n Beobachtungen eines Zufallsversuches π»πππ π»πππ = πΊππ’πππππ πππ‘βπππ‘ Beschreibung eines Merkmals in einer Formel / Diagrammen / Tabellen in Bezug auf die Häufigkeit Versuch, in dem die Ereignisse unabhängig voneinander sind. (zufällig, beliebig oft wiederholbar, gleiche Anfangszustände) Auftreten eines Merkmals in einem Zufallsversuch Menge aller möglichen Ergebnisse :β¦ Teilmenge der ergebnismenge zu einem Zufallsversuch. (Ergebnis beim Würfeln: 6; Ereignis: 6,3,4,5 gewürfelt; somit ist das Ergebnis nur einmal vorgekommen) Rechnerisch ermittelter Wert. Gesetz der großen Zahlen: lim π»πππ π΄ππ§π βπ πππ πΈπππππππ π π →∞ Laplace-Versuch Bernoulli Versuch - Alle Ergebnisse bei einem Vorgang mit zufälligem Ergebnis sind gleich wahrscheinlich. Nur zwei mögliche Ergebnisse; Anzahl der möglichen Ergebnisse müssen bekannt sein; Jedem Ergebnis wird eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet; Ergebnisse müssen unabhängig voneinander sein (Erfolg u. Misserfolg) Absolute / relative Häufigkeit und das Gesetz der großen Zahlen o Bei einem Würfelversuch wurde insgesamt 20 mal gewürfelt. Das Ereignis sah folgendermaßen aus: 1,5,4,3,5,5,2,6,1,2,4,3,5,1,6,1,1,3,2,5. Gebe die abs. Häufigkeit, und die relative Häufigkeit an. Gefallene Anzahl π»πππ Augenzahl π»πππ 1 5 5/20 2 3 3/20 3 3 3/20 4 2 2/20 5 5 5/20 6 2 2/20 © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 1 Lernzettel Nr. 5 MATH o Unter dem Gesetz der großen Zahlen versteht man, dass je mehr Versuche man durchführt, desto mehr nähert sich der Versuch einem festen Wert an, welche die relative Häufigkeit ist. Dies ist nur möglich, wenn ein wirklicher Zufallsversuch vorliegt, also zum Beispiel ein Münzwurf mit einer regulären Münze). Dann folgt: lim π»πππ π΄π π§π βπ πππ πΈπππππππ π π →∞ - Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A als Quotient aus günstigen durch mögliche Fälle o Die Wahrscheinlichkeit, für ein Ereignis, welches aus mehreren möglichen Fällen zusammengesetzt ist berechnet man als Quotient aller Treffer durch alle denkbaren Ereignisse o Bsp.: In einem Versuch hat man einen regulären Würfel. Als gewünschtes Ereignis wählt man nun gerade Zahlen. Das heißt, es gibt als günstige Ereignisse die Zahlen 2, 4 und 6, insgesamt also 3 Stück. Mit dem Würfel lassen sich insgesamt 6 verschiedene Zahlen erreichen. Als Wahrscheinlichkeit, eine gerade πüππ π‘πππ πΉäπππ π öππππ βππ πΉäπππ Zahl zu würfeln gilt also: π ππππππ = ππππ 3 1 = 6 = 2 = 0,5. Die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln liegt also bei 0,5. - Laplace-Versuch o In einem Laplace-Versuch haben alle Ereignisse die selbe Wahrscheinlichkeit 1 o Diese lässt sich berechnen aus π΄ππ§π βπ πππ πΈπππππππ π π o Im Urnen-Model ist ein Laplace-Versuch gleichzusetzen mit einem Versuch mit Zurücklegen, wobei für jedes Ereignis dieselbe Menge an Kugeln in der Urne befinden muss. Bsp. für einen Laplace Versuch: ο§ Regulärer Würfel ο§ Münze ο§ Gleichviele verschiedenfarbige Kugeln in einer Urne o © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 2 Lernzettel Nr. 5 MATH - Mehrstufiger Zufallsversuch, Baumdiagramm, Vierfeldertafel, umgekehrtes Baumdiagramm Beispiel: In einem Klassenraum wird eine Umfrage durchgeführt. Die herumfragende Gruppe von blöden Studenten, die nichts Besseres zu tun hat, als komische Umfragen in die Welt zu setzen, ist zu folgendem Ergebnis gekommen. In der Klasse gibt es 60% Jungen. Außerdem haben 30% der Befragten blaue Augen. Wie wahrscheinlich ist es, dass man auf ein Mädchen trifft, wenn man nur grüne Augen sieht? blaue Augen ππ ππ = 0,7 grüne Augen π π½ ∩ ππ = 0,42 π π ππ = 0,3 blaue Augen π π ∩ ππ = 0,12 π π ππ = 0,7 grüne Augen Junge π π½ = 0,6 π π = 0,4 ππ ππ = 0,3 Mädchen o Nun erfolgt die Erstellung der Vier-Felder-Tafel Merkmal Junge Mädchen Blaue Augen 0,18 0,12 Grüne Augen 0,42 0,28 Summe 0,6 0,4 π π½ ∩ ππ = 0,18 π π ∩ ππ = 0,28 Summe 0,3 0,7 1 © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 3 Lernzettel Nr. 5 MATH o π ππ = 0,3 π ππ = 0,7 Anhand der umgeformten Pfadregeln lassen sich die Wahrscheinlichkeiten errechnen. ππ π½ = 0,6 Junge ππ π = 0,4 Mädchen π π ∩ ππ = 0,12 π π π½ = 0,6 Junge π π½ ∩ ππ = 0,42 π π π = 0,4 Mädchen blaue Augen grüne Augen π π½ ∩ ππ = 0,18 π π ∩ ππ = 0,28 Die Frage war ja, wie wahrscheinlich es ist, dass wenn man grüne Augen sieht, es sich um ein Mädchen handelt. Die Antwort: Es ist zu 40% wahrscheinlich, dass es sich um ein Mädchen handelt. Auffällig ist es bei diesem Experiment, dass es nicht notwendig war, ein Baumdiagramm usw. zu erstellen, da es sich hier um unabhängige Wahrscheinlichkeiten handelt. Um welche Art von Wahrscheinlichkeit es sich handelt, kann man anhand der 4-Feldertafel bestimmen: Teilt man hier die Spalte durcheinander und kommt ein festes Ergebnis heraus, so handelt es sich um unabhängige Wahrscheinlichkeiten. Teilt man hier die Spalte durcheinander und kommt kein gleicher Wert heraus, so handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Hier: 0,18 / 0,42 = 0,42857 0,12 / 0,28 = 0,42857 ο also Unabhängigkeit. © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 4 Lernzettel Nr. 5 MATH - Kombinatorik (d.h. Ziehen mit / ohne Zurücklegen; in Klassen; geordnet) o Unter Kombinatorik versteht man das Ausrechnen der Kombinationsmöglichkeiten von Ergebnissen eines Zufallsversuches. o K-faches Ziehen mit Zurücklegen; Mit Unterscheiden ο§ ππ ο§ Beispiel: Man greift 3 mal nacheinander in eine Urne, in der 7 nummerierte Kugeln liegen (von 1 bis 7). Nach jedem Zug legt man die Kugel wieder hinein. Fakultät beim GTR: ο§ 73 = 343 πΎπππππππ‘ππππ πöππππβππππ‘ππ o K-faches Ziehen ohne Zurücklegen; Mit Unterscheiden ZAHL_OPTN_F6_Prob_F1 ο§ Zieht man so oft, wie es Elemente gibt, dann π! Zieht man nur k-mal (k<n), dann ο§ Beispiel: Man greift 5 mal in eine Urne, in der es 15 durchnummerierte Kugeln gibt. ο§ o o π! π−π ! ο§ 15! 15−5 ! = 360360 πΎπππππππ‘ππππ πöππππβππππ‘ππ K-faches Ziehen mit Zurücklegen; Ohne unterscheiden π+π−1 ο§ π ο§ Beispiel: Man greift 4 mal in eine Urne mit 7 durchnummerierten Kugeln. Nach jedem Ziehen wird zurückgelegt, die aufgenommene Reihenfolge ist egal. n über k beim GTR: 7+4−1 ο§ = 210 4 ZAHL_OPTN_F6_Prob_nCr K-faches Ziehen ohne Zurücklegen; Ohne Unterscheiden _ZAHL π ο§ π ο§ Beispiel: Man hat eine Klasse mit 37 Schülern. Wie viele Möglichkeiten gibt es, diese Schüler auf 19 Stühle zu setzten, selbst wenn einige nicht sitzen können? 37! 37 ο§ = = 1,76 ∗ 1010 πΎπππππππ‘ππππ πöππππβππππ‘ππ = π£ππππ 19! 37−19 ! 19 © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 5 Lernzettel Nr. 5 MATH - Bedingte Wahrscheinlichkeit o Bedingte Wahrscheinlichkeiten treten dann auf, wenn man bereits ein Vorwissen besitzt und nun in Bezug auf ein zweites Merkmal, welches allerdings vom ersten abhängig ist, die Wahrscheinlichkeit bestimmt. o Als Beispiel gilt hier: In einem Feriengebiet gibt es Einheimische und Touristen. Zudem gibt es Leute, die einen Trachtenhut aufhaben und welche die ohne Kopfbedeckung durchs Leben schlendern. Dabei kann man folgenden Sachverhalt feststellen: Im Dorf halten sich fünf mal so viele Touristen, wie Einheimische auf. In einer Umfrage konnte man feststellen, dass 60% der Touristen ihren Schädel 4 mit einem Trachtenhut schmücken. 5 der Einheimischen hingen sind nicht des o ππ ππ» = 0,6 Trachtenhut π π ∩ ππ» = 0,5 ππ ππ» = 0,4 kein Trachtenhut π π ∩ ππ» = 0,333 π π ππ» = 0,2 Trachtenhut π π ∩ ππ» = 0,0333 π π ππ» = 0,8 kein Trachtenhut Tourist π π = 0,833 π π = 0,167 Tragens einer traditionsreichen Mütze zugetan. Trifft an nun beim Dorfrummel auf einen Verrückten mit Kopfschmuck, mit welche Wahrscheinlichkeit handelt es sich dann um einen Einheimischen? (Sehr interessant für die Dorfjugend, wenn sie gerade auf der Suche nach einem neuen Lover ist) Kommen wir nun wieder zum ernsten Teil. Man erstellt ein Baumdiagramm mit folgenden Werten. kein Tourist o o Nun erfolgt die Erstellung der Vier-Felder-Tafel Merkmal Trachtenhut Kein Trachtenhut Tourist 0,5 0,333 Kein Tourist 0,0333 0,133 Summe 0,533 0,466 π π ∩ ππ» = 0,133 Summe 0,833 0,167 1 Aus diesen Ergebnissen kann nun das umgekehrte Baumdiagramm gezeichnet werden. Um die Bedingten Wahrscheinlichkeiten zu erhalten, muss man den Satz von Bayes anwenden. Dabei wird auf die Pfadregel zurückgegriffen und einfachh umgeformt, sodass man erhält: πππ» π = π ππ»∩π π ππ» © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 6 Lernzettel Nr. 5 MATH π ππ» = 0,533 πππ» π = 0,938 Tourist πππ» π = 0,062 kein Tourist π ππ» ∩ π = 0,0333 π ππ» π = 0,715 Tourist π ππ» ∩ π = 0,333 π ππ» π = 0,285 kein Tourist π ππ» ∩ π = 0,5 Trachtenhut kein Trachtenhut π ππ» = 0,466 π ππ» ∩ π = 0,133 Hieraus kann man sehen, dass man nur sehr geringe Chancen hat, auf einen Einheimischen zu treffen, wenn man jemanden mit Trachtenhut anspricht. Die Wahrscheinlichkeit liegt bei gerade mal 6%. Wenn einen Einheimischen sucht, sollte man es vielleicht mal bei den ohne Trachtenhut versuchen, wo die Wahrscheinlichkeit bei immerhin 28,5% liegt. - Definition einer Zufallsgröße, eines Erwartungswertes einer Zufallsgröße, einer Varianz einer Zufallsgröße bzw. einer Standardabweichung einer Zufallsgröße o Eine Zufallsgröße ordnet man einem Ergebnis eines Zufallsversuches zu. o Jede Zufallsgröße tritt mit einer bestimmten, vorher bekannten Wahrscheinlichkeit auf. o Den Erwartungswert bestimmt man durch: E(X)= ππ π₯π ∗ ππ = π ο§ Der Erwartungswert gibt eine Beurteilung der Datenmengen im Hinblick auf die Vorhersage von zukünftigen Daten. o Die Varianz lässt sich errechnen durch: π π = ππ (π₯π − π)2 ∗ ππ ο§ Die Varianz stellt eine Beurteilung der Sicherheit dar, mit der das zukünftige Ergebnis in er Nähe des Erwartungswertes liegt. Je kleiner die Varianz, desto größer die Sicherheit! o Die Streuung / Standardabweichung lässt sich errechnen durch: π = π(π) ο§ Die Standardabweichung beurteilt, inwiefern die zukünftigen Ergebnisse quantitativ (plus / minus) vom Erwartungswert abweichen © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 7 Lernzettel Nr. 5 MATH Zufallsgröße 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 1 o 2 4 Beispiel: Eine Urne enthält 4 Kugeln, die von 1 bis 4 durchnummeriert sind. Man zieht nacheinander ohne Zurücklegen 2 Kugeln und ordnet jedem Zug die Summe X der gezogenen Zahlen zu. Berechnen Sie E(X), V(X), und π(π) ο§ Es gibt folgende Möglichkeiten: GTR im STAT-MENU: Z1 Z2 X P(x) P(X) In Liste 1 X eingeben; in Liste 2 die 1 2 3 1/6 1/6 Wahrscheinlichkeiten eingeben, _Calc_bei 1 3 4 1/6 1/6 1Var XList muss :List1 stehen und bei 1Var 1 4 5 1/6 2/6 Freq muss List 2 stehen_EXIT_1Var (F1) 2 3 5 1/6 π₯ gibt E(X) an und π₯ππ gibt die Streuung an. 2 4 6 1/6 1/6 Diesen Wert quadrieren für V(X) 3 4 7 1/6 1/6 ο§ πΈ π = 1 π π π₯π ∗ ππ = 6∗6 +7∗ ο§ 1 6 7 3 1 1 2 π₯π ∗ ππ = 3 ∗ 6 + 4 ∗ 6 + 5 ∗ 6 + =5 7 2 2 1 3(π₯π − 5) ∗ ππ = (3 − 5) ∗ 6 1 1 5)2 ∗ 6 + (7 − 5)2 ∗ 6 = 1,66666 π π = (6 − o 3 1 + (4 − 5)2 ∗ 6 + (5 − 5)2 ∗ 2 6 + ο§ π = π(π) = 1,666666 = 1,29099 Aus dem Ergebnis lässt sich ablesen, dass man als nächsten Zug wahrscheinlich eine 5 zieht. Mit Einbeziehung der Streuung ist es jedoch wahrscheinlicher, dass man etwa eine 6 oder eine 4 zieht in der Summe. Da man allerdings eine relativ große Varianz hat, ist es zudem unsicher, auf eine bestimmte Zahl zu tippen. Es ist deshalb ratsam, das Spiel noch etwas zu beobachten und nach dem Gesetz der großen Zahlen dann eine Entscheidung zu treffen. © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 8 Lernzettel Nr. 5 MATH - Wahrscheinlichkeitsverteilung und Wahrscheinlichkeitsfunktion o Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, welche Wahrscheinlichkeiten den unterschiedlichen Zufallsgrößen zugeordnet werden. Dies kann sowohl tabellarisch, oder auch grafisch erfolgen. o Bsp.: x 1 2 3 4 5 P 0,2 0,4 0,1 0,25 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 1 o 2 3 4 5 Die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschäftigt sich mit der Summe dieser Wahrscheinlichkeiten. Die Grafik dazu sieht dann wie folgt aus. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 1 - 2 3 4 5 Binomialverteilung o Die Binomialverteilung ist die Verteilung des Ausgangs eines Bernoulli-Versuches bzw. einer Bernoulli-Kette. © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 9 Lernzettel Nr. 5 MATH o o o o o Es handelt sich dabei um eine diskrete Wahrscheinlichkeit, da die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Ausgänge de Versuches bekannt seien müssen. Die Verteilung gibt nun an, welche Anzahlen von Treffen mit welchen Wahrscheinlichkeiten eintreten, wenn die Wiederholungsrate bekannt ist. Um einen bestimmten Wert zu erhalten muss man folgende Formel anwenden: π π π = π = ∗ ππ ∗ (1 − π)π−π π Dies kann nun für weitere k wert Wiederholt werden, sodass sic h dann eine komplette Binomialverteilung ergibt. Bsp.: In einer Nippelfabrik werden Nippel hergestellt. Dabei erfährt man aus regelmäßigen Nippelqualitätstets, das ca. 3% der produzierten Nippel einen Nippelschaden aufweisen. In einer Nippelstichprobe von sage und schreibe 50 Nippeln soll nun die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass mehr als 3 Nippel einen Nippelschaden aufweisen. ο§ Zunächst legt man die Größen n und p fest. Es gilt: n=50, da 50 Nippel in der Stichprobe sind und p=0,03 , da 3% der Nippel defekt sind. ο§ Es folgt die Binomialverteilung in grafischer Auswertung 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 ο§ ο§ Um nun eine Antwort auf die Frage zu stellen, addiert man alle Wahrscheinlichkeitswerte mit k>3. Man erhält einen Wert von 6,4%. Mit dem GTR ist das Problem wie folgt zu lösen: STAT_oben auf Liste 1(unterlegt)_OPTN_F1_F5_X,X,Startwert,Endwert, Schrittweite(1),)_EXE_EXIT_EXIT_DIST(evt. vorher F6 zum Scrollen)_F5(BINM)_F1(BPD)_Data:List ; List:List1 ; Numtrail:n ; p: Wahrscheinlichkeit_EXE_EXIT_Oben auf List 2(unterlegt)_OPTN_F1(List)_F1(List)_SHIFT_ANS_EXE Um zu summieren: oben auf List3(unterlegt)_OPTN_F1(List)_F6_F6_F3(Cuml)_F6_F1(List)_2_EXE © by Stefan Pielsticker und Hendrik-Jörn Günther 10
