Uebungsblatt-letzte

Lernziel TC 2012 / Woche 4
Beweise
Aufgabe 1: (Vorkurs Uni Konstanz, Tag 1)
Definition 1:
(i) Eine Zahl x
heißt dumm, falls ein m
existiert, so dass
(ii) Die Zahl heißt brumm, falls es ein n
gibt, mit x 2n 5.
m.
Zeige: Wenn dumm ist, dann ist brumm.
Gilt auch die Umkehrung des Satzes (muss ausnahmsweise nicht bewiesen/wiederlegt werden)?
Definition 2:
(i) Eine Funktion f:
heißt schnick, wenn f x dumm ist für alle x, die brumm
sind.
(ii) Die Funktion heißt schnack, falls
brumm ist für alle x, die dumm sind.
Zeige mit vorherigem Beweis, dass
schnack ist, wenn
schnick ist.
Definition 3:
Sei die Menge aller Funktionen :
.
(i)
Eine Funktion :
heißt ping, wenn für jede schnack Funktion das
Bild
auch schnack ist.
(ii)
Die Funktion heißt pong, falls das Bild von schnick Funktionen schnick ist.
Zeige, dass die Komposition von zwei ping Funktionen wieder ping ist.
Aufgabe 2: (Erstes Tutorium HM1 für Physiker im WS11/12, sowie Übungsblatt 1 in Lineare Algebra I, SoSe12)
Ist die Identität
für Mengen , , , allgemein gültig?
Beweise oder widerlege!
Wie steht es mit
?
Aufgabe 3: (Übungsblatt 2 in Lineare Algebra I, SoSe12)
Es seien !, " Mengen und : ! " eine Abbildung. Weiter seien ,
Teilmengen. Zeige:
(i)
#
'
#
()
(ii)
$#% '
$ # () %
Zur Erinnerung: Es ist
* +,
" | ./
0
/
,1 und
()
$ * +2
!|
2
# ! und $, % # "
$1.
Aufgabe 4: (Zweite Vorlesungswoche HM1 für Physiker im WS11/12)
Zeige mit Hilfe der Definition des Differentialquotienten und der geometrischen Summe, dass in
3 4
, 4() 5,
.
3
Aufgabe 5: (Erstes Tutorium Lineare Algebra I, SoSe12)
Zeige: Man kann , Elemente auf ,! verschiedene Arten anordnen.
Aufgabe 6: (Übungsblatt 2 in Lineare Algebra I, SoSe12)
Gegeben seien zwei injektive Funktionen :
8 9 injektiv ist.
und 8:
# . Zeige, dass auch
mit
Summen, Doppelsummen und komplexe Indexnotation
Aufgabe 7: (Vorkurs, Blatt 6, Aufg. 45/iv bzw. Weihnachtstest HM1 für Physiker im WS11/12)
G
4
4
1
2R 1
Berechne die Summe C
sowie den Wert der Doppelsumme C C T
.
E EF1
S F SU
HI)
GI) VIG
Aufgabe 8: (Übungsblatt 1, HM1 für Physiker im WS11/12)
Drücke für ,
und R 0,1,2,3 jeweils die Summe der , kleinsten natürlichen Zahlen, welche nach
Division durch 4 den Rest R haben, durch das Summenzeichen aus. Schreibe die Summe über diese
vier Summen als Doppelsumme und finde deren Wert.
Aufgabe 9: (Vorkurs Uni Konstanz, Tag 4)
Notation von Summen mit Indexmengen:
Sind /Y Zahlen, die mit dem Index Z [ ([ nennt sich hierbei „Indexmenge“) indiziert sind und ist
# [, so bezeichnet die Summe ∑Y ] /Y die Summe aller /Y , deren Index Z in enthalten ist.
Definitionsgemäß gilt: ∑Y /Y 0.
a
4
Stelle die Summe C /G in der Form C /G dar.
GI_
Obacht: Definiere die Menge
G a
so, dass beide Fälle , b 2 und , c 2 korrekt wiedergegeben werden.
|R bE e .,
b) Für E
sei H * +R
+,
|
2 , j 01 .
_ *
Berechne C C /Y .
0R
2,1 und für beliebige 2
_ lm Y ak
c
4
Y
Schreibe C C /Y,H als Summe mit geeigneter Indexmenge
YI) HI)
# ².
Aufgabe 10: (Erster Tag Vorlesung WS11/12, HM1 für Physiker, Dr. Ludwig Tomm)
Es sei [ p eine Menge („Indexmenge“). Für jedes Z [ sei Y eine Menge.
Dann sei
Z
ZZ
q
Y ]
r
Y ]
* + | .Z
Y
Y
* + |
Y 1,
[:
Y
5Z
Bestimme s4 tvu ,)w und x{
[1 .
|,}
y0, z
hiZ
Vollständige Induktion
Aufgabe 11: (Weihnachtstest HM1 für Physiker im WS11/12)
Beweise für ,
:
| und
4
RF
,F F1
C~
• ~
•.
R
,
GI|
Hinweis: Verwende die Regel von Pascal, die wir in LZK 2 in einer ähnlichen Form beweisen haben:
‚
gilt •‚ƒ„ F •ƒ…)
„ •‚…)
„.
Für alle n
| und alle α
ƒ…)
Aufgabe 12: (Übungsblatt 1, Analysis I Baur, SoSe11)
Der goldene Schnitt (sectio aurea, proportio divina) Φ kann wie folgt definiert werden Φ *
Zeige: Φ
)
1 F Š (dies würde sich durch die Kettenbruchdarstellung direkt ergeben).
)(√ˆ
)…√ˆ
.
‰
)
Definiere weiterhin Ψ * 1 Φ
. Es kann analog gezeigt werden, dass Ψ 1 F Œ.
‰
Die Fibonacci-Zahlen •4 (,
| ) sind rekursiv definiert durch
•| * 0, •) * 1 und •4…) * •4 F •4() für , 1,2, …
Zeige, dass für jedes ,
| die explizite Darstellung von Moivre-Binet
4
4
1
1 F √5
1 √5
1
•4
••
Φƒ Ψ ƒ
•
‘
‘ ’
2
2
√5
√5
gilt.
(Bem.: Mit Methoden der Linearen Algebra – Stichwort Eigenwerte – lässt sich dies sehr elegant
zeigen. Wir zeigen es durch vollständige Induktion).
Anwendung von Sätzen in Rechenaufgaben
Aufgabe 13: (Übungsblatt 2, HM1 für Physiker im WS11/12)
…
Finde für ,
,
die Werte der folgenden Summen:
4
,
C “ ” 2G
R
GI|
4
,
C“ ”
R
GI)
G
Aufgabe 14: (Sommervorkurs 2012, Blatt 3)
Welche Werte besitzen folgende Reihen?
}
}
1
ln 3 4
C G
C
5
,!
GI‰
4I)
4
,
CR“ ”
R
GI)
}
C
GI)
G
Hinweis: Aufgabe 7 & vorherige Teilaufgabe. Schwer!
›‰ G
3‰G 2R !
Einstieg in die Integrationstheorie
Aufgabe 15:
Zeige mittels des „Identitätssatzes für differenzierbare Funktionen“, dass für zwei Stammfunktionen
in ganz [ die Beziehung •)
•‰
œ•,hž. gilt.
•) und •‰ von : [
Aufgabe 16: (Wikipedia)
Beweise durch Differenzialrechnung folgende Identität für positive reelle :
3
Ÿ
ln “ F 1 F ‰ ”
‰
√1 F
Zeige ebenso, dass für auf einem Intervall [ differenzierbaren Funktionen : [
Ÿ
¡
3
ln
.
Aufgabe 17: (Blatt 10)
Die Funktionen , 8: [
8
¢ ¡ 8
Ÿ
8¡
3
…
seien auf [ differenzierbar. Durch Betrachten der Funktion 8
3 beweise man die Formel zur Partiellen Integration:
8
Ÿ
¡
8
*
3 .
Dabei kann benutzt werden, dass sowohl £8 als auch 8£ Stammfunktionen in [ besitzen.
Finde mit dieser Formel in Abhängigkeit von ,
| eine Vorschrift für das unbestimmte Integral
4 ¤
¢ i 3 . (Stichwort: n-fache sukzessive Integration).
Schwere, bunt gemischte Aufgaben
Aufgabe 18:
Zeige die überaus wichtige Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel:
Seien ¥) , … ¥4 j 0. Dann gilt
¥) F ¨ F ¥4
v
¥) ¦ … ¦ ¥4 §
.
,
Beschränke dich hierbei im Beweis auf den Spezialfall , 2.
Aufgabe 19:
Bestimme max ©
T… () v
4
|,
ª. Zur Erinnerung:
max
0«
e 5¬
0¤ .
Aufgabe 20: (Sommervorkurs 2012, Blatt 4)
¤…®
)
Für alle
ist arctan
. Beweise, dass für reelle Zahlen , ¬ mit ¬ b 1 stets gilt:
-¤
)(¤®
¤ ¯ …)
F¬
arctan F arctan ¬ arctan
.
1
¬
Hinweis: Bezeichne für festes ¬ die Differenz der beiden Seiten mit
und zeige, dass in dem durch ¬ b 1 festgelegten Intervall
¡
° 0 ist. Erinnere dich anschließend an den „Identitätssatz für differenzierbare Funktionen“ aus LZK 2.
Aufgabe 21: (Klausur Trainingscamp 2009)
Am 23. August 2008 wurde die bislang größte bekannte „Mersennesche Primzahl“ ± 2UT))‰²|³ 1
gefunden. Wie viele Dezimalstellen hat ± und wie lauten die beiden führenden Dezimalziffern dieser Zahl?
Aufgabe 22: (Übungsblatt 1, HM1 für Physiker im WS11/12)
Beweise die Erste Regel von DeMorgan:
Sei Y Y ] eine nicht-leere Menge (Familie) von Teilmengen einer festen Menge !. D.h. [ p
[. Dann gilt
Y # ! 5Z
•q
Y ]
Y’
´
r
Y ]
Y
´
.
und