Ferienkurs zum Propädeutikum Diskrete Mathematik

Ferienkurs zum
Propädeutikum Diskrete Mathematik
Andreas Würfl
Stefan König
Technische Universität München
WS 09/10
A. Würfl, S. König | Ferienkurs Propädeutikum DM
Übersicht
1 Binäre Relationen
2 Elementares Zählen
3 Partitionen zählen
4 Erzeugende Funktionen
5 Graphen: Definitionen und Bäume
6 Graphen: Färbung und Planarität
7 Graphen: Matchings
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Binäre Relationen
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Binäre Relationen
Relation:
M Menge, R ⊆ M × M
Schreibweisen:
(a, b) ∈ R, a ∼R b, a R b, aRb, . . .
R heißt
reflexiv: ∀a ∈ M : a ∼ a
irreflexiv: ∀a ∈ M : a 6∼ a
symmetrisch: ∀a, b ∈ M : a ∼ b ⇒ b ∼ a
antisymmetrisch: ∀a, b ∈ M : a ∼ b und b ∼ a ⇒ a = b
transitiv: ∀a, b, c ∈ M : a ∼ b und b ∼ c ⇒ a ∼ c
Graph: irreflexiv und symmetrisch
partielle Ordnung: reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
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Binäre Relationen
Äquivalenzrelation:
reflexiv, symmetrisch, transitiv
Äquivalenz-Klasse: [a]∼ := {b ∈ M : a ∼ b}
Satz:
Sei R Äquivalenzrelation
⇒ Äquivalenzklassen bilden eine Partition von M
⇒ a∼b
⇔
[a]∼ = [b]∼
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⇔
[a]∼ ∩ [b]∼ 6= ∅
Binäre Relationen
Aufgabe:
Es seien R1 , R2 zwei Äquivalenz-Relationen auf M. Welche
Eigenschaften hat dann. . . ?
a) R1 ∩ R2
b) R1 ∪ R2
c) R1 \R2
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Binäre Relationen
Posets:
reflexiv, antisymmetrisch, transitiv
(R )
Aufgabe:
Es seien R1 , R2 , Posets. Welche Eigenschaften haben. . . ?
a) R1 ∩ R2
b) R1 ∪ R2
c) R1 \R2
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Binäre Relationen
Posets:
x , y ∈ M vergleichbar :⇔ x y
oder
y x
sonst unvergleichbar
K ⊆ M Kette :⇔ ∀x , y ∈ K : x , y vergleichbar
A ⊆ M Antikette :⇔ ∀x , y ∈ A: x , y unvergleichbar
Satz:
a)
max
A Antikette
|A| = min{k : M lässt sich in k Ketten part. }
b) max |K | = min{a : M lässt sich in a Antiketten part. }
K Kette
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Elementares Zählen
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Elementares Zählen
Summenregel:
˙ k ⇒ |M| =
M = M1 ∪˙ . . . ∪M
k
P
B
|Mi |
i=1
Produktregel:
M = M1 × · · · × Mk ⇒ |M| =
k
Q
|Mi |
i=1
Doppeltes Abzählen:
R ⊆A×B
⇒
P
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
a∈A
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P
b∈B
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}|
A
Elementares Zählen
Summenregel:
˙ k ⇒ |M| =
M = M1 ∪˙ . . . ∪M
k
P
B
|Mi |
i=1
Produktregel:
M = M1 × · · · × Mk ⇒ |M| =
k
Q
|Mi |
i=1
Doppeltes Abzählen:
R ⊆A×B
⇒
P
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
a∈A
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P
b∈B
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}|
A
Elementares Zählen
Summenregel:
˙ k ⇒ |M| =
M = M1 ∪˙ . . . ∪M
k
P
B
|Mi |
i=1
Produktregel:
M = M1 × · · · × Mk ⇒ |M| =
k
Q
|Mi |
i=1
Doppeltes Abzählen:
R ⊆A×B
⇒
P
|{b ∈ B : (a, b) ∈ R}| = |R| =
a∈A
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P
b∈B
|{a ∈ A : (a, b) ∈ R}|
A
Elementares Zählen
Summenregel:
˙ k ⇒ |M| =
M = M1 ∪˙ . . . ∪M
k
P
|Mi |
i=1
Inklusion-Exklusion:
M = M1 ∪ · · · ∪ Mk ⇒ schon komplizierter!
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Elementares Zählen
Inklusion-Exklusion
|M| =
P
(−1)|I|−1 |
∅6=I⊆[n]
T
Mi |
i∈I
M1 ∩ M2
M1
M1 ∩ M2 ∩ M3
M1 ∩ M3
M2 ∩ M3
M3
M = M1 ∪ M2 ∪ M3
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M2
Elementares Zählen
k aus n Elementen wählen
geordnet
mit Zurücklegen
nk
ohne Zurücklegen
nk
ungeordnet
n k
=
n+k−1
k
n
k
Beispiele:
Spiel 77: Auslosung einer 7-stelligen Zahl
Wanddeko: 15 Bilder, 8 Bilderrahmen in einer Galerie
Kniffel: Anzahl Resultate nach einem Wurf
Lotto: Ziehe 6 aus 49
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Elementares Zählen
Wichtige Identitäten:
n
k
n
k
n
P
i=0
=
=
n
i
n+m
k
n n−k
n−1
n−1
k−1 +
k
= 2n
=
k
P
n m i=0
(x + y )n =
i
n
P
i=0
k−i
n i n−i
i x y
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Partitionen zählen
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Partitionen zählen
k-Partition einer n-elementigen Menge:
n
o
S
ungeordnet: {M1 , . . . , Mk } : M = ˙ Mi , Mi 6= ∅ =: Sn.k
geordnet:
n
o
S
(M1 , . . . , Mk ) : M = ˙ Mi , Mi 6= ∅ =: Tn.k
k-Partition von n
n = n1 + · · · + nk
ungeordnet: (Multimenge!) Pn,k
(
)
k
P
n−1
geordnet: (n1 , . . . , nk ) ∈ Nk :
ni = n = k−1
i=1
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Partitionen zählen
Wichtige Identitäten:
S0,0 = 1,
P0,0 = 1
∀k > n : Sn,k = Pn,k = 0
Sn,0 = Pn,0 = 0
Sn,k = Sn−1,k−1 + kSn−1,k
Tn,k = k!Sn,k
Tn,k =
Sn,k =
k
P
(−1)r
r =0
k
P
r =0
Pn+k,k =
k
r (k
− r )n
1
n
(−1)r r !(k−r
)! (k − r )
k
P
Pn,i
i=1
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Partitionen zählen
Bälle und Körbe:
n Bälle
k Körbe
unt.
unt.
ununt.
unt.
unt.
ununt.
beliebig
inj.
n≤k
surj.
n≥k
bij.
n=k
kn
kn
Tn,k
n!
n+k−1
n
k
n
n−1
k−1
1
ununt.
k
P
Sn,i
1
Sn,k
1
ununt.
i=1
k
P
Pn,i
1
Pn,k
1
i=1
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Erzeugende Funktionen
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Erzeugende Funktionen
Gegeben:
Rekursiv definierte Folge: a0 ∈ R, an+1 := ϕ(an )
Gesucht:
Explizite Darstellung von (an )n∈N
Aufgabe:
Sei a0 = 0, an+1 = 3an + 2n für n ∈ N. Bestimmen Sie an .
⇒ an = 3 n − 2 n
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Erzeugende Funktionen
Verfahren:
1) A(x ) :=
∞
P
an x n
n=0
2) Nutze Rekusionsformel und schreibe A(x ) =
mit g(x ) =
k
Q
f (x )
g(x )
(ai − bi x )pi
i=1
3) Zerlege mit Partialbruchzerlegung: A(x ) =
4) Rücktransformation der einzelnen Terme
Potenzreihen
5) Koeffizientenvergleich
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k
P
pi
P
i=1 j=1
αij
in
(ai −bi x )j
αij
(ai −bi x )j
!
einfache
Erzeugende Funktionen
∞
P
Rechenregeln für A(x ) =
an x n und B(x ) =
n=0
A(x ) + B(x ) =
∞
P
∞
P
bn x n :
n=0
(an + bn )x n
n=0
∀γ ≥ 0 :
∞
P
1
1−γx
γnx n =
n=0
Rechenregeln für A(x ) =
∞
P
(geom. Reihe)
an x n und B(x ) =
n=0
A diff’bar in x ⇒ A0 (x ) =
∞
P
nan x n−1 =
n=1
∞
P
P n n−k
n+k n
= (1−x1)k+1
k x =
k x
n=0
n≥k
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∞
P
n=0
∞
P
n=0
bn x n :
(n + 1)an+1 x n
Graphen: Definitionen und Bäume
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Graphen: Definitionen und Bäume
Graph:
G = (V , E ) mit
V 6= ∅ endlich
E⊆
V
2
Subgraph H ⊆ G:
H = (W , F ) mit
W ⊆V
und
F ⊆E∩
W
2
Isomorphie:
G1 , G2 heißen isomorph
⇔ ∃ bij. Abb, f : V1 → V2 : {u, v } ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v )} ∈ E2
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Graphen: Definitionen und Bäume
Graph:
G = (V , E ) mit
v3
v4
V 6= ∅ endlich
E⊆
V
2
v1
v2
{v1 , v2 } ∈ E
Subgraph H ⊆ G:
H = (W , F ) mit
W ⊆V
und
F ⊆E∩
W
2
Isomorphie:
G1 , G2 heißen isomorph
⇔ ∃ bij. Abb, f : V1 → V2 : {u, v } ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v )} ∈ E2
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Graphen: Definitionen und Bäume
Graph:
G = (V , E ) mit
v3
v4
V 6= ∅ endlich
E⊆
V
2
v1
Subgraph H ⊆ G:
v2
v3
v4
v2
v1
H = (W , F ) mit
W ⊆V
und
F ⊆E∩
W
2
Isomorphie:
G1 , G2 heißen isomorph
⇔ ∃ bij. Abb, f : V1 → V2 : {u, v } ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v )} ∈ E2
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Graphen: Definitionen und Bäume
Graph:
G = (V , E ) mit
v3
V 6= ∅ endlich
E⊆
V
2
v1
v2
Subgraph H ⊆ G:
H = (W , F ) mit
W ⊆V
und
F ⊆E∩
W
2
Isomorphie:
G1 , G2 heißen isomorph
⇔ ∃ bij. Abb, f : V1 → V2 : {u, v } ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v )} ∈ E2
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Graphen: Definitionen und Bäume
Graph:
G = (V , E ) mit
v3
v4
V 6= ∅ endlich
E⊆
V
2
v1
Subgraph H ⊆ G:
v2
v3
v4
v1
v2
H = (W , F ) mit
W ⊆V
und
F ⊆E∩
W
2
Isomorphie:
G1 , G2 heißen isomorph
⇔ ∃ bij. Abb, f : V1 → V2 : {u, v } ∈ E1 ⇔ {f (u), f (v )} ∈ E2
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Graphen: Definitionen und Bäume
Bezeichnungen:
x , y ∈ V heißen benachbart/adjazent :⇔ {x , y } ∈ E
x ∈ V , e ∈ E heißen inzident :⇔ x ∈ e
N(x ) := {y ∈ V : {x , y } ∈ E } heißt Nachbarschaft von x
deg(x ) := |N(x )| heißt Grad von x
deg(x ) = 0 ⇔: x heißt isoliert
deg(x ) = 1 ⇔: x heißt Blatt
δ(G) := min deg(x ) heißt Minimalgrad
x ∈V
∆(G) := max deg(x ) heißt Maximalgrad
x ∈V
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Graphen: Definitionen und Bäume
Spezielle Graphen (G isomorph zu):
Pn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} heißt Weg
2
1
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3
4
5
Graphen: Definitionen und Bäume
Spezielle Graphen (G isomorph zu):
Pn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} heißt Weg
Cn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} ∪ {{n, 1}}
heißt Kreis
2
1
4
3
6
5
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Graphen: Definitionen und Bäume
Spezielle Graphen (G isomorph zu):
Pn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} heißt Weg
Cn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} ∪ {{n, 1}}
heißt Kreis
Kn := ([n],
[n]
2 )
heißt n-Clique oder vollständiger Graph
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3
4
1
2
Graphen: Definitionen und Bäume
Spezielle Graphen (G isomorph zu):
Pn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} heißt Weg
Cn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} ∪ {{n, 1}}
heißt Kreis
Kn := ([n],
[n]
2 )
heißt n-Clique oder vollständiger Graph
En := ([n], ∅) heißt n-stabile Menge oder unabhängige Menge
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3
4
1
2
Graphen: Definitionen und Bäume
Spezielle Graphen (G isomorph zu):
Pn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} heißt Weg
Cn := ([n], E ) mit E = {{i, i + 1} : i ∈ [n − 1]} ∪ {{n, 1}}
heißt Kreis
Kn := ([n],
[n]
2 )
heißt n-Clique oder vollständiger Graph
En := ([n], ∅) heißt n-stabile Menge oder unabhängige Menge
Graphenkonstanten:
ω(G) := max |{H ⊆ G : H ist Clique}|
α(G) := max |{H ⊆ G : H ist stablie Menge}|
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Graphen: Definitionen und Bäume
Noch mehr Bezeichnungen:
G heißt kreisfrei/Wald :⇔ G enthält keinen Kreis als
Subgraph
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Graphen: Definitionen und Bäume
Noch mehr Bezeichnungen:
G heißt kreisfrei/Wald :⇔ G enthält keinen Kreis als
Subgraph
G heißt zshg. :⇔ ∀x , y ∈ V : ∃x , y -Weg als Subgraph
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Graphen: Definitionen und Bäume
Noch mehr Bezeichnungen:
G heißt kreisfrei/Wald :⇔ G enthält keinen Kreis als
Subgraph
G heißt zshg. :⇔ ∀x , y ∈ V : ∃x , y -Weg als Subgraph
H ⊆ G heißt Zshg.-Komp. :⇔ H ⊆ G inklusionsmax. zshg.
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Graphen: Definitionen und Bäume
Noch mehr Bezeichnungen:
G heißt kreisfrei/Wald :⇔ G enthält keinen Kreis als
Subgraph
G heißt zshg. :⇔ ∀x , y ∈ V : ∃x , y -Weg als Subgraph
H ⊆ G heißt Zshg.-Komp. :⇔ H ⊆ G inklusionsmax. zshg.
G heißt Baum :⇔ G zshg. und kreisfrei
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Graphen: Definitionen und Bäume
Noch mehr Bezeichnungen:
G heißt kreisfrei/Wald :⇔ G enthält keinen Kreis als
Subgraph
G heißt zshg. :⇔ ∀x , y ∈ V : ∃x , y -Weg als Subgraph
H ⊆ G heißt Zshg.-Komp. :⇔ H ⊆ G inklusionsmax. zshg.
G heißt Baum :⇔ G zshg. und kreisfrei
Ist B = (V , T ) ⊆ G = (V , E ) ein Baum, so heißt B
Spannbaum von G.
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Graphen: Definitionen und Bäume
Noch mehr Bezeichnungen:
G heißt kreisfrei/Wald :⇔ G enthält keinen Kreis als
Subgraph
G heißt zshg. :⇔ ∀x , y ∈ V : ∃x , y -Weg als Subgraph
H ⊆ G heißt Zshg.-Komp. :⇔ H ⊆ G inklusionsmax. zshg.
G heißt Baum :⇔ G zshg. und kreisfrei
Ist B = (V , T ) ⊆ G = (V , E ) ein Baum, so heißt B
Spannbaum von G.
Äquivalent:
G zshg.
˙ = V ∃{x , y } ∈ E mit x ∈ X , y ∈ Y
⇔ ∀X , Y 6= ∅ mit X ∪Y
⇔ ∃ Spannbaum B ⊆ G
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Graphen: Definitionen und Bäume
Einige Eigenschaften:
G Wald ⇔ Zshg.-Komp. sind Bäume
G = (V , E ) Baum, |V | ≥ 2 ⇒ G enthält mind. 2 Blätter
G Baum, x Blatt von G ⇒ G − x ist wieder Baum
G Wald ⇒ δ(G) ≤ 1, ω(G) ≤ 2
Äquivalent:
G = (V , E ) Baum
⇔ G zshg., |E | = |V | − 1
⇔ G kreisfrei, |E | = |V | − 1
⇔ G kantenminimal zshg.
⇔ G kantenmaximal kreisfrei
⇔ ∀x , y ∈ V ∃1 x , y -Weg in G
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Graphen: Defintionen und Bäume
Euler-Tour:
geschlossener Kantenzug
jede Kante genau ein Mal
Satz:
G = (V , E ) ein zshg. Graph.
G hat Eulertour
⇔ ∀v ∈ V : deg(v ) ≡ 0 (mod 2)
⇔ E lässt sich in kantendisjunkte Kreise partitionieren.
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Graphen: Defintionen und Bäume
Euler-Tour:
geschlossener Kantenzug
jede Kante genau ein Mal
Satz:
G = (V , E ) ein zshg. Graph.
G hat Eulertour
⇔ ∀v ∈ V : deg(v ) ≡ 0 (mod 2)
⇔ E lässt sich in kantendisjunkte Kreise partitionieren.
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Graphen: Defintionen und Bäume
Euler-Tour:
geschlossener Kantenzug
jede Kante genau ein Mal
Satz:
G = (V , E ) ein zshg. Graph.
G hat Eulertour
⇔ ∀v ∈ V : deg(v ) ≡ 0 (mod 2)
⇔ E lässt sich in kantendisjunkte Kreise partitionieren.
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Graphen: Defintionen und Bäume
Euler-Tour:
geschlossener Kantenzug
jede Kante genau ein Mal
Satz:
G = (V , E ) ein zshg. Graph.
G hat Eulertour
⇔ ∀v ∈ V : deg(v ) ≡ 0 (mod 2)
⇔ E lässt sich in kantendisjunkte Kreise partitionieren.
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Graphen: Defintionen und Bäume
Euler-Tour:
geschlossener Kantenzug
jede Kante genau ein Mal
Satz:
G = (V , E ) ein zshg. Graph.
G hat Eulertour
⇔ ∀v ∈ V : deg(v ) ≡ 0 (mod 2)
⇔ E lässt sich in kantendisjunkte Kreise partitionieren.
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Graphen: Defintionen und Bäume
Hamilton-Kreis:
Kreis der Länge |V |
Satz:
x , y ∈ V nicht benachbart
deg(x ) + deg(y ) ≥ |V |
(V , E ∪ {x , y }) hat Hamilton-Kreis
⇒ G = (V , E ) hat Hamilton-Kreis
Korollar:
|V | ≥ 3, δ(G) ≥
|V |
2
⇒ G hat Hamilton-Kreis
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Graphen: Defintionen und Bäume
Hamilton-Kreis:
Kreis der Länge |V |
Satz:
x , y ∈ V nicht benachbart
deg(x ) + deg(y ) ≥ |V |
(V , E ∪ {x , y }) hat Hamilton-Kreis
⇒ G = (V , E ) hat Hamilton-Kreis
Korollar:
|V | ≥ 3, δ(G) ≥
|V |
2
⇒ G hat Hamilton-Kreis
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Graphen: Färbung und Planarität
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Graphen: Färbung und Planarität
Bezichnungen:
f : V → [k], so dass ∀{x , y } ∈ E : f (x ) 6= f (y ) heißt
k-Färbung
G heißt k-färbbar, wenn eine k-Färbung von G existiert
χ(G) := min{k : G ist k-färbbar} heißt chromatische Zahl
Falls χ(G) ≤ 2, so heißt G bipartit
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Graphen: Färbung und Planarität
Bezichnungen:
f : V → [k], so dass ∀{x , y } ∈ E : f (x ) 6= f (y ) heißt
k-Färbung
G heißt k-färbbar, wenn eine k-Färbung von G existiert
χ(G) := min{k : G ist k-färbbar} heißt chromatische Zahl
Falls χ(G) ≤ 2, so heißt G bipartit
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Graphen: Färbung und Planarität
Bipartite Graphen:
˙ 2 , E ⊆ {{x , y } : x ∈ V1 , y ∈ V2 }
G bipartit ⇔ V = V1 ∪V
Ist n1 = |V1 |, n2 = |V2 | und E = {{x , y } : x ∈ V1 , y ∈ V2 },
˙ 2 , E ) vollständiger bipartiter Graph
so heißt Kn1 ,n2 := (V1 ∪V
Satz:
G bipartit ⇔ G enthält keinen Kreis ungerader Länge
Bemerkung:
V1
Wälder sind bipartit.
V2
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Graphen: Färbung und Planarität
Bipartite Graphen:
˙ 2 , E ⊆ {{x , y } : x ∈ V1 , y ∈ V2 }
G bipartit ⇔ V = V1 ∪V
Ist n1 = |V1 |, n2 = |V2 | und E = {{x , y } : x ∈ V1 , y ∈ V2 },
˙ 2 , E ) vollständiger bipartiter Graph
so heißt Kn1 ,n2 := (V1 ∪V
Satz:
G bipartit ⇔ G enthält keinen Kreis ungerader Länge
Bemerkung:
K5,4
Wälder sind bipartit.
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Graphen: Färbung und Planarität
Bipartite Graphen:
˙ 2 , E ⊆ {{x , y } : x ∈ V1 , y ∈ V2 }
G bipartit ⇔ V = V1 ∪V
Ist n1 = |V1 |, n2 = |V2 | und E = {{x , y } : x ∈ V1 , y ∈ V2 },
˙ 2 , E ) vollständiger bipartiter Graph
so heißt Kn1 ,n2 := (V1 ∪V
Satz:
G bipartit ⇔ G enthält keinen Kreis ungerader Länge
Bemerkung:
V1
Wälder sind bipartit.
V2
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Graphen: Färbung und Planarität
Planarität:
G heißt planar :⇔ G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass
sich Kanten nur in Knoten schneiden
Einbettung erzeugt Gebiete R
G = (V , E , R) heißt ebener Graph ⇒ (V , E ) planar
Eulersche Polyederformel:
G = (V , E , R) ebener, zshg. Graph
⇒ |V | − |E | + |R| = 2
A. Würfl, S. König | Ferienkurs Propädeutikum DM
3
4
1
2
Graphen: Färbung und Planarität
Planarität:
G heißt planar :⇔ G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass
sich Kanten nur in Knoten schneiden
Einbettung erzeugt Gebiete R
G = (V , E , R) heißt ebener Graph ⇒ (V , E ) planar
Eulersche Polyederformel:
G = (V , E , R) ebener, zshg. Graph
⇒ |V | − |E | + |R| = 2
3
4
4
3
1
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2
1
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Graphen: Färbung und Planarität
Planarität:
G heißt planar :⇔ G lässt sich so in die Ebene zeichnen, dass
sich Kanten nur in Knoten schneiden
Einbettung erzeugt Gebiete R
G = (V , E , R) heißt ebener Graph ⇒ (V , E ) planar
Eulersche Polyederformel:
G = (V , E , R) ebener, zshg. Graph
⇒ |V | − |E | + |R| = 2
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Graphen: Färbung und Planarität
Korollar:
G = (V , E ) planar, |V | ≥ 3
⇒ |E | ≤ 3|V | − 6 ⇒ K5 nicht planar
⇒ δ(G) ≤ 5
Satz:
G planar ⇒ χ(G) ≤ 5
Vier-Farben-Satz:
G planar ⇒ χ(G) ≤ 4
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Graphen: Matchings
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Graphen: Matchings
G = (V , E ) ein Graph:
M ⊆ E heißt Matching in G ⇔ ∀e, e 0 ∈ M : e ∩ e 0 = ∅
M (inklusions-)maximales Matching :⇔ ∀e ∈ E \M : M ∪ {e}
ist kein Matching
M größtes Matching :⇔ ∀M 0 ⊆ E Matching: |M 0 | ≤ |M|
ν(G) := max{|M| : M Matching in G}
M
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Graphen: Matchings
G = (V , E ) ein Graph:
M ⊆ E heißt Matching in G ⇔ ∀e, e 0 ∈ M : e ∩ e 0 = ∅
M (inklusions-)maximales Matching :⇔ ∀e ∈ E \M : M ∪ {e}
ist kein Matching
M größtes Matching :⇔ ∀M 0 ⊆ E Matching: |M 0 | ≤ |M|
ν(G) := max{|M| : M Matching in G}
M
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Graphen: Matchings
G = (V , E ) ein Graph:
S ⊆ V heißt Knotenüberdeckung in G :⇔ ∀e ∈ E : e ∩ S 6= ∅
τ (G) := min{|S| : S ist Knotenüberdeckung}
Proposition:
ν(G) ≤ τ (G) ≤ 2ν(G)
Satz:
G bipartit
⇒ ν(G) = τ (G)
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S
Graphen: Matchings
P = (W , F ) ein Weg
P heißt M-alternierend :⇔ jede zweite Kante aus M
P heißt M-augmentierend :⇔ M-alternierend und
Anfangs-/Endknoten nicht von M überdeckt
Lemma:
M Matching, P ein M-augm. Weg, M 0 := M∆P
⇒ |M 0 | = |M| + 1
Satz:
M größtes Matching
⇔ 6 ∃ M-augm. Weg
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M
Graphen: Matchings
P = (W , F ) ein Weg
P heißt M-alternierend :⇔ jede zweite Kante aus M
P heißt M-augmentierend :⇔ M-alternierend und
Anfangs-/Endknoten nicht von M überdeckt
Lemma:
M Matching, P ein M-augm. Weg, M 0 := M∆P
⇒ |M 0 | = |M| + 1
M0
Satz:
M größtes Matching
⇔ 6 ∃ M-augm. Weg
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Graphen: Matchings
Bezeichnung:
M perfekt :⇔ M überdeckt alle Knoten ⇔ |M| =
Heiratssatz von Hall:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
G hat Matching, das alle
Knoten aus A überdeckt
⇔ ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
Korollar:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
|A| = |B| und ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
⇔ G hat perfektes Matching
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A
B
|V |
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Graphen: Matchings
Bezeichnung:
M perfekt :⇔ M überdeckt alle Knoten ⇔ |M| =
Heiratssatz von Hall:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
G hat Matching, das alle
Knoten aus A überdeckt
⇔ ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
Korollar:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
|A| = |B| und ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
⇔ G hat perfektes Matching
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A
B
|V |
2
Graphen: Matchings
Bezeichnung:
M perfekt :⇔ M überdeckt alle Knoten ⇔ |M| =
Heiratssatz von Hall:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
G hat Matching, das alle
Knoten aus A überdeckt
⇔ ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
Korollar:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
|A| = |B| und ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
⇔ G hat perfektes Matching
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A
B
|V |
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Graphen: Matchings
Bezeichnung:
M perfekt :⇔ M überdeckt alle Knoten ⇔ |M| =
Heiratssatz von Hall:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
G hat Matching, das alle
Knoten aus A überdeckt
⇔ ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
Korollar:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
|A| = |B| und ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
⇔ G hat perfektes Matching
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A
B
|V |
2
Graphen: Matchings
Bezeichnung:
M perfekt :⇔ M überdeckt alle Knoten ⇔ |M| =
Heiratssatz von Hall:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
G hat Matching, das alle
Knoten aus A überdeckt
⇔ ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
Korollar:
˙ E ) bipartit.
G = (A∪B,
|A| = |B| und ∀S ⊆ A : |N(S)| ≥ |S|
⇔ G hat perfektes Matching
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A
B
|V |
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Literatur
M. Aigner: Diskrete Mathematik, 6. Auflage, Vieweg 2006.
J. Matoušek, J. Nešetřil: Diskrete Mathematik: Eine
Entdeckungsreise, 2. Auflage, Springer 2007.
A. Steger: Diskrete Strukturen, Springer 2001.
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