2.7. Stoßprozesse

52
2.
chanik
nungen gehorchen einem fundamentalen Geetz der Erhaltung der Energie:
In einem abge chlo enen y tem bleibt
der Energieinhalt kon tant. Energie kann
weder ernichtet werden no h au nich
en tehen' ie kann sich in verschied ne
Formen umwandeln oder zwi hen verchiedenen Teilen de
y tem au getau cht werden.
Zur
Es gibt kein Perpetuum mobile er. ter Art; d. h.
es ist unmöglich, eine a chine zu bauen die
dauernd Arbeit verrichtet, ohne daß ihr von
außen ein entsprechender Energiebetrag zugeführt wird . Ab clm. 3.3.2).
Der EnergieerhaJtungs atz i t nicht bewei bar' er faßt die jahrhundertelangen Erfahrungen mit Energieumwandlung experimenten zusammen. In einer allgemeinen Form
beinhaltet er außer den mechani chen Energieformen der kineti chen und der potentiellen Energie auch thermische Energien chemi che Energien, elektrische und magnetiche Feldenergien.
Bleiben in Systemen die nichtmechanischen
Energien der Körper konstant ist also in idealisierten mechanischen Systemen die Reibungsarbeit vernachlässigbar, dann gilt für die kineti che Energie und die potentielle Energie des
Systems materieller Punkte der Energieerhaltungssatz der Mechanik
Ekjn
+ Epot =
konstant.
(2-80)
gäng und ni htela ti he
rformun n
wirken daß d r nergi zustand om g "hIt n eg abhängt. In di er
i
m
g
abhängig Kräft ind di ipati e Kräft .
I
bung
Ü 2.6-J: Eine tahlkugel (Ma
m fällt frei u der
Höhe h auf eine tahlplatte und pringt danach auf
eine Höhe 11 1 = 0 9 h zurüc . a) Wie groß i t ihre
Ge chwindigkeit Va unmittelbar or dem Aufprall?
b) Wie groß i t die Geschwindigkeit unmittelbar
nach dem Aufprall? c) Wie groß ist die Impul änderung 6p der tahlkuge1 nach Betrag und Richtung? d) Welcher Anteil der ur prünglichen kineLi ehen Energie wurde in nicht-mechanische Energieformen umgesetzt?
Ü 2.6-2: Eine Feder (Federkonstante C = 200 Im)
wird um ) = 15 em zusammengedruckt. Dann
wird eine Kugel (Ma e m = 80 g) auf ie gelegt.
Wie hoch pringt die Kugel, wenn die Feder plötzlich entspannt wird?
Ü 2.6-3: Eine Schraubenfeder ist durch eine Kraft
1;. = 50
gespann. Wirkt zu ätzlich eine Kraft
M = 30 an der Feder wird diese um l1f = 20 cm
verlängert. a) Wie groß i t die für diese Verläng TUng
erforderliche Arbeit? b) Wie groß ist die Gesamtenergie der gespannten Feder?
Ü 2.6-4: Bei großen Deformationen wird das Kraftgesetz einer realen Feder nicht-linear. Für eine Pufferfeder gilt c(x) = k 1 + k 2 x 2 mit k, = 103 Im und
k 2 = 10 7 1m3 . Wie weit wird diese Feder zusammengedrückt, wenn ein Körper, der die kinetische Energie Elr.in = 0,3 m hat, in x-Richtung aufprallt?
In diesem Fall hängen die mechanischen Energien
zu zwei Zeitpunkten t und t ' folgendermaßen zu·
ammen:
"21 ml (2
VI -
12) + "2I m2 (2
V2 -
VI
+f CI (sr +m. g(h l
S;2)
-
+ t C2(S~
hl)+
m2g
v212)
+ ...
- S2 2 )
+...
2.7. Stoßprozesse
2.7.1. Übersicht und Grundbegriffe
(2-81)
(h 2 - h2)+ ... = O.
Im mechani chen EnergieerhaJtungssatz ist
die potentielle Energie des y tem durch die
Lagekoordinaten s oder h eindeutig bestimmt;
ie hängt nicht vorn Weg und den Wechselwirkungen auf die em Weg ab. Die elastische
Kraft und die Gewichtskraft, die die potentielle Energie bestimmen werden als konservative Kräfte bezeichnet. Im Gegensatz dazu
gilt GI. 2-81) nicht mehr wenn Reibung vor-
Bei einem Stoßprozeß berühren sich zwei
(?der auch mehrere) Körper kurzzeitig unter
Anderung ihres jeweiligen Bewegungszustands,
wie Bild 2-36 verdeutlicht. Kennzeichnend ist
die Einmaligkeit und die im Vergleich zur
gesamten Beobachtung dauer kurze Kontaktzeit der beteiligten Körper. In dieser Wechselwirkungszeit treten verhältnismäßig große
Kräfte auf. Die Bewegung wenig tens eines
der beteiligten Körper ändert sich abrupt.
Stoß-Beispiele ind Billard- Tenni - oder
Fußballstöße und Auto-Unfall versuch e. Bild
2.7. Stoßprozesse
V1
v2
::.
V2
' äj
-'L
0>
:t;
,
c
.~
J::
vl
o
:ß - t - - - - - - - - - + - - - , ! - - - - - - - - - - t ,ZeHt
~
,
I
vorher
I
. 1 . . 1•
I
,
53
2-37 zeigt ein Beispiel hierfür. Stoßprozesse
treten auch bei atomaren Vorgängen auf. Bei
Zusammenstößen zwischen Atomen und Molekülen treten an die Stelle der elastischen
Kräfte der Mechanik elektrostatische Wechsei wirkungskräfte. Eine KJassifikation der
Stöße zwischen makroskopischen Körpern
läßt sich nach den geometrischen Verhältnissen und den Änderungen der kinetischen
Energie der Stoßpartner treffen. Bild 2-38
zeigt eine Übersicht.
nachher
,Stoß-,
zeit
Bild 2-36. Zeil/icher Verlauf des Stoßes zweier elastischer Körper.
2.7.2. Gerader, zentraler, elastischer Stoß
Für ein Zeitintervall kurz vor und kurz nach
dem Stoß sind die Änderungen der potentiellen Energien der Stoßpartner und die Reibungsverluste vemachlässigbar gegenüber den
kinetischen Energien; für den Stoßzeitraum
ist das System abgeschlossen und ohne Einwirkung äußerer Kräfte. Zwischen den Geschwindigkeiten der Stoßpartner vor dem
Stoß VI sowie V2 und nach dem Stoß VI sowie
V] besteht nach dem Impulserhaltungssatz gemäß GI. (2-54) der Zusammenhang
a)
(2-82)
I
Die Vektoren können algebraisch addiert werden, weil der gerade zentrale Stoß eindimensional ist, wie Bild 2-39 verdeutlicht. Die
zweite Bestimmungsgleichung ist der Energieerhaltung atz nach GI. (2-81):
,
2
1
2
I
/2
2 m , VI +2 m2v 2=2 m l VI
b)
I
,2
+2" m 2 v2
.
(2-83)
Durch Umformung von GI. (2-83) ergibt sich
m! (v!
+ v'!) (v! -
v~) =
m 2 (v~ + V2)(V~ - v2 )
und mit GI. (2-82)
1",- !.'2
= -
(vi- 2).
(2-84)
c)
Bild 2-37. Crash-Test-ZeitverlauJ
Aujfahrgeschwindigkeit 50 km/h, Zeitspanne seit dem
Aufprall a) 234 ms, b) 1886 ms, c) Endzustand.
Werkphoto: Daimler-Benz AG
Vom Körper 2 au ge ehen, bewegt ich der
Körper 1 nach dem toß mit drelben Relativgeschwindigkeit weg, mit der er vor dem
Stoß auf den Körper 2 zugelaufen ist.
54
2. Mechanik
Berührungsebene
!!.
/
Im Berührpunkt P der beiden Stoßpartner läßt sich
eine BefOhrungsebene (Tangentialebene) und
senkrecht darauf die Stoßnorma/e konstruieren.
2,tIII
Ohne äußere Kräfte gilt für die 'mpulsänderungen
(Kraftstöße) der beiden Stoßpartner:
~
=
I~1
dt = -AI>;.
I
=
'12 df
Entsprechend gilt für die Komponenten:
~.tan = -ÖP2,tan und APt ,norm = -AP2.norm
\
Stoßnonnale
= ÄS'2,tan =0 , tritt auf, wenn im Berührpunkt keine Reibungskraft wirksam wird
glatter Stoß
!!.A,tan
rauherStoß
Ap,,1an = -~tan
zentraler stoß
Die Wirkungslinie der Kraftstöße Ap geht durch die beiden SChwerpunkte S, und ~.
Die Stoßpartner werden durch den Stoßvorgang nicht in Rotation versetzt.
Homogene, glatte Kugeln stoßen stets zentral
exzentrischer
(nicht zentraler)
Stoß
Die Wirkungslinie der Kraftstöße Ap geht nicht durch die beiden Schwerpunkte S1
und S2: mindestens einer der Stoßpartner wird durch den Stoßvorgang in Rotation
versetzt
gerader Stoß
Die Geschwindigkeiten V1 und V2 derbeiden Schwerpunkte S1 und 52 bewegen sich
parallel zur 5toßnonnalen. Bei stoßenden Kugeln laufen die Sch.werpunkte 51 und
S2 vor und nach dem Stoß auf derselben Geraden
schiefer Stoß
Die Geschwindigkeit wenigstens eines der beiden Schwerpunkte S1 und S2 besitzt
eine Komponente in tangentialer Richtung: V1,tan ,v2,lan ;c 0 .
elastischer Stoß
Es tritt kein Ver1ust an kinetischer Energie auf
* 0 , im BerOhrpunkt wirkt eine Reibungskraft
unelastisd1erStoß Ein Teil der kinetischen Energie wird in andere Energieformen umgewandelt
Bild 2-38. Klassifikation der Stoßprozesse. Betrachtet werden nur Stöße, bei denen die Stoßpartner vor dem
Stoß reine Translationsbewegungen ausfiihren.
vor dem Stoß
O
o
V1
•
~
nach dem Stoß
vi
Bild 2-39.
_
V2
0-------
Gerader, zentraler Stoß.
Setzt man GI. (2-84) in GI. (2-82) ein, so
führt dies auf die BestimmungsgJeichungen
für die Geschwindigkeiten nach dem Stoß:
(mI - m2) I + 2 ml 2
() I = --=-----=----...;:;;..----=----=--=-
(2-85)
ml+m2
'_ 2m,v, +(m2-mdv2
m,+m2
V2 -
•
(2-86)
Sind die Massen der Stoßpartner gleich, so tauschen
die beiden Körper Geschwindigkeit Impuls und
kinetische Energie aus; war vor dem Stoß der
gestoßene Körper in Ruhe, so ist nach dem Stoß
der stoßende Körper in Ruhe. Stößt ein schwerer
Körper einen leichten, dann bewegen sich beide
nach dem Stoß in der gleichen Richtung weiter. 1st
dagegen die Masse de gestoßenen Körpers größer
als die des stoßenden, so wird der stoßende Körper
reflektiert, und nach dem Stoß laufen die Körper
entgegengesetzt auseinander. Ko1ljdieren Körper
extrem unterschiedlicher Massen - prallt beispielswei e ein Ball auf eine Wand -, dann wird beim
elastischen Stoß der stoßende Körper vollständig
reflektiert. Er behält seine kinetische Energie; der
Impul und die Geschwindigkeit sind nach dem
Stoß entgegengesetzt zur Einfallsrichtung gerichtet.
Beispiel
2.7-1: Ein eutron mit der Masse ml = m stößt
zentral auf einen ruhenden Atomkern mit der Masse .
2.7. Stoßproze e
m2 =
m.
Die KolIi ion i t näherungsweise ela-
ti eh. Welcher Anteil f der kineti ehen Energie des
55
i t al 0 Wasser (R 20) oder schwere Wa er (D20)
ehr viel effektiver als etwa eine Bleiabschirmung.
eutron wird auf den Atomkern übertragen?
Lö ung:
Die Energie des stoßenden
E kin.
2.7.3. Gerader, zentraler,
unelastischer Stoß
eutrons ist
'm
2
vor=2"
l VI'
Beim Stoß wird die Energie M übertragen:
Al:" _
I
(2
./2)
uc,-2"mJ V I - t l '
Der Anteil
ist
f=
=
f der übertragenen kinetischen Energie
Mi
E kin• vor = 1 -
j2
~ = 1-
(mi - m 2)2
ml
+ m2
4N
4ml m2
(m I
+ m2)2
(J + N)l .
Der Anteil f der Energieübertragung bei einem geraden zentralen elastischen Stoß eines ruhenden
Stoßpartners ist in Abhängigkeit vom Massenverhältni ml: m2 in Bild 2-40 aufgetragen. Der Energieübertrag ist um 0 höher, je geringer der Massenunter chied zwischen den Stoßpartnern ist Zum
Abbrem en schneller Neutronen in Kernreaktoren
10°
V
5
2
....
:!10-1
<'i
I
/
Geht beim Stoßvorgang kinetische Energie
beispielsweise durch Reibungs- oder inelastische Verformungsarbeit verloren, dann muß
der allgemeine Energiesatz nach GI. (2-75)
zur Berechnung der Geschwindigkeiten nach
dem Stoß herangezogen und der Energieverlust ~WberücksichÜgt werden:
/
I'
.......
f\
V
Vi =
1\
\,
~,
5 lJ
VI = V2
gemäß Bild 2-41 bewegen. Der Impulserhaltungssatz dieses unelastiscben Stoßes lautet
1\
I
Zusätzlich zum Impulserhaltungssatz nach
GI. (2-82) ist eine weitere Be timmungsgJeichung notwendig um die Ge chwindigkeiten
l'1 und 1.:2 nach dem Stoß und den Energieerlust W berechnen zu können (Bei piel
2.5-2).
Besonders interessant ist der unelastische
Stoß, bei dem die heiden Körper miteinander
verkoppelt werden und sich nach dem Stoß mit
der gemeinsamen Geschwindigkeit
2
ml(;l+m22=(m,+m2)v"
vor dem Stoß
m1
nach dem Stoß
10-2
10-2
v'
5 10-1
5 100
5 101
5 102
Massenverhältnis m1
m2
Bild 2-40. Gerader, zentraler Stoß: Anteilf der Energieübertragung in Abhängigkeit vom Massenverhäl/nis der Stoßpartner.
m 1 +m2
Bild 2-41. Gerader, zentraler, unela ti eher Stoß mit
Kopplung (vollplastischer Stoß).
56
2.Mechanik
darau folgt
mlvl+m2 V2
V' = - - - - ' - - - -
ml +m2
I
(2-88)
Die für den elastischen Stoß gefundene GI.
(2-84) für die Geschwindigkeitsdifferenzen
vor und nach dem Stoß
gdt für den unelastischen Stoß nicht mehr.
Vielmehr gilt für den Stoß mit Kopplung, der
auch als vollkommen plastischer Stoß bezeichnet wird
v; - v;= O.
Es liegt nahe, den teilplastischen Stoß zu definieren, bei dem folgender Zusanunenhang gilt
(2-89)
I
h
9
m 2 »m1 , v2 =O
Bild 2-42.
Stoßzahl.
Zu Beispiel 2.7-2: Bestimmung der
Die Aufprallgeschwindigkeit der kleinen Kugel i t
V1 =
Y2gh = gt J
ach GI. (2-89) prallt die Kugel ab mit der Geschwindigkeit
dabei sind
V2
und
v; jeweils null.
Die Zeitspanne bis zu einem erneuten Aufprall i t
E wird als Stoßzahl bezeichnet und kann folgende Werte annehmen:
~t = 21 v~ I = 2 EV1 = 2 EI.
elastischer Stoß
vollkommen plastischer
Stoß
o< E < 1 teilweise plastischer Stoß
Damit wird die Stoßzahl
tlt
E =2-= 0,95.
Die StoßzaW kann experimentell bestimmt
werden. Beispielsweise beträgt sie für Körper
aus gehärtetem Stahl E = 0,95; für Blei gilt
E=O.
Der Verlust an kinetischer Energie ergibt sich
zu
Beispiel
2.7-2: Die Stoßzahl läßt sich aus Fallversuchen
bestimmen. Dabei läßt man eine kleine Kugel aus
der Fallhöhe h auf einen schweren (m 2 ~ m l ) ruhenden Körper fallen (Bild 2-42). Wie groß ist die Stoßzahl E, wenn die Fallhöhe h = 70 cm beträgt und die
Zeitspanne zwischen dem ersten und dem zweiten
Aufprall ~t = 0,72 s?
Lösung:
ach dem freien Fall kommt es zum ersten Aufprall
nach der Zeit
tl
f2h
= ,/-g=0,378 .
g
g
1
11
2.7.4. Schiefe, zentrale Stöße
2.7.4.1. Elastische Stöße
Bild 2-43 skizziert die Lage der Stoßpartner
für den Augenblick, in dem ie sich berühren.
Die Verbindungslinie der beiden Massenmittelpunkte in diesem Augenblick ist die Stoßgerade; in Bild 2-43 ist es die y-Achse. Ohne
Reibung kann in die x-Richtung senkrecht
zur Stoßgeraden keine Kraft übertragen werden. Die Komponenten der Impulse in xRichtung sind vor und nach dem Stoß gleich:
m, Vlx
= ml vl x ,
m2 v 2x=m2 v 2x.
(2-91)
(2-92)
Der Impulserhaltungssatz nach GI. (2-54) in
Richtung der Stoßgeraden ergibt eine weitere
skalare Bestimmungsgleichung:
(2-93)
2.7. Stoßproze e
57
Sind die Massen der beiden Stoß partner
gleich, und i t der gestoßene Körper in Ruhe,
dann folgt aus G1. (2-94)
y
~
(2-95)
x
Die Ge chwindigkeit richtungen der toßpartner stehen in diesem Fan nach dem Stoß
senkrecht aufeinander. Erfolgt andererseits
der schiefe zentrale, elastische Stoß gegen
eine Wand (m2 pm,), dann folgt aus Tabelle
2-5
"'"
Bild 2-43.
Schiefer, zentraler, elastischer Stoß.
Beim elastischen Stoß entsteht kein Energieverlust· der Energieerhaltungssatz nach GI.
(2-81) lautet also
t ml ( fx + Vry) + t m2 ( ix + viy)
=
Tabelle 2-5. Schiefer, zentraler, elastischer Stoß.
Geschwindigkeiten
vordem nach dem
Stoß
Stoß
Vlx
Vly
v( x = Ul x
Uly =
(mI - m2)
Vly
+ 2m2 V2y
m l +m2
Körper 2
V2x
V2x = V2x
Massem2
U2y
V2y=
2 ml Dly + (m2 m,+m2
Die Winkel PI = tan (Vly!Vlx) und PI =
= tan (VI ylvi x) sind gleich groß. Dies ist das
Reflexionsgesetz für den schiefen elastischen
Stoß eine Körpers an einer Wand:
(2-94)
Gl. (2-91) bis (2-94) sind vier Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Komponenten VI x, )y V2x und vh der Stoßpartner nach
dem Stoß. Die Lösungen de Gleichungssysterns sind in Tabelle 2-5 dargestellt.
Masse m\
I
(2-97)
t ml (vIi + vl~) + +m2 (v2i + V2~)'
Körper 1
(2-96)
""
ml)
V2y
Der Au fallwinkel i t al
winkel.
0
gleich dem Einfall-
2.7.4.2. Inelastische töße
Wenn der toßvorgang nicht mehr ela ti ch
erfolgt dann gilt der EnergieerhaJtung atz
der Mechanik nicht mehr. Zwar liefert der
Impulserhaltungssatz für die beiden karte ischen Koordinaten zwei skalare Gleichungen
aber es ind zu ätzlich noch zwei geometriche Bedingungen für den Stoßvorgang notwendig. Die e können beobachtete Ablenkwinkel oder gemessene Geschwindigkeitsbeträge sein. Hat man die Ge chwindigkeiten
nach dem Stoßvorgang bestimmt, so kann
man durch Vergleich der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß den Energieanteil ermitteln, der in nichtmechani che Energieformen umgesetzt wurde.
Ein grundlegende Beispiel für einen inelati chen Stoß i t der Franck-Hert::- Ver uch
(Abschn. . 1). Ga atome nehmen beim toß
mit Elektronen nur di krete Energien auf und
geben ie kurze Zeit später al Lichtquant ab.
58
2. Mechanik.
2.8. Drehbewegungen
Zur Übung
Ü 2. 7-J: 1m Weltraum, wo äußere Kräfte vernachlässigt werden dürfen oll von einer Trägerrakete
(Ma e m, Geschwindigkeit v) eine Raumkapsel
(Ma e ml2) abgesprengt werden. Das nicht mehr
gebrauchte Bruchstück (Masse m12) soll dabei zur
Ruhe kommen. Welcher Energiebetrag ist dem
System zuzuführen?
Ü 2.7-2: Ein Eisenbahnwaggon (Masse m)=24000kg)
rollt mit einer Geschwindigkeit I = 3 mls auf geraden, ebenen Schienen. Er stößt mit einem zweiten
Waggon (Masse m2 = 20 000 leg), der sich mit der
Geschwindigkeit V2 = 1,8 mls in derselben Richtung
bewegt, zusammen.
a) ehmen Sie an, die Waggons kuppeln beim Stoß
zusammen. Welches ist die gemeinsame Endgeschwindigkeit Vi? Welcher Betrag an Energie wurde
in Wärme umgesetzt? b) Nehmen Sie an, der Zusammenstoß sei vollständig elastisch und die Waggons
trennen sich dann wieder. Welches sind dann die
Endgeschwindigkeiten v~ und
der beiden Waggons? c) Was ändert sich an den Antworten zu den
Teilfragen a) und b), wenn sich die heiden Waggons
anfangs aufeinander zu bewegen?
2.8. . Drehmoment
Um einen materiellen Punkt oder einen Körper in Rotation um eine vorgegebene Dr hach~e zu ver etzen, muß ein Drehmoment ausgeübt werden. Da Drehmoment hängt gemäß
Bild 2-44 ab von Betrag und Richtung der
Kraft F und dem Abstand r de Angriffspunkts der Kraft von der Drehach e. Die
Richtung de Drehmoment leht enkrecht
auf der von rund F aufgespannten Ebene.
Das Drehmoment ist definiert als Vektorprodukt aus dem Radiusvektor r und der
äußeren Kraft F:
M=rxF.
(2-98)
I
z
v;
Ü 2.7-3: Ein Geschoß (Masse ml = 20 g) fliegt horizontal mit der Geschwindigkeit I = 200 m/s. Es
trifft auf einen als Pendel an einem langen Draht
aufgehängten HolzkJotz (Masse m = 1,0 kg) und
durchschlägt ihn. Nachdem die Kugel aus dem
Klotz ausgetreten ist, hat das Pendel eine Gechwindigkeit von vp = 2,0 m/s.
a) Wie groß i t die Geschwindigkeit I des Geschosses nach Durchschlagen des Pendelklotzes?
(Dabei darf die Bewegung des Pendels in der
Wechselwirkungszeit mit dem Geschoß vernachlässigt werden.) b) Ist der Zusammenstoß vollständig
unelastisch? Welcher Anteil der kinetischen Energie
wird in nichtmechanische Energien umgesetzt?
Ü 2. 7-4: Ein Körper (Masse ml = 50 g) hat eine Geschwindigkeit VI = 10 m/s. Er trifft auf ein ruhendes
Objekt (m2 = 100 g). Nach dem Zusammenstoß ist
die Geschwindigkeit des ersten Körpers auf VI
= 6 mls vermindert· er fliegt in eine Richtung, die
um 45 0 gegen seine ursprüngliche Flugrichtung
abweicht.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit V2 - nach Betrag und Richtung - des zweiten Körpers nach dem
Stoß? b) Wieviel Energie wird beim Stoß in nichtmechanische Energieformen umgesetzt?
y
M=rxF
x
Bild 2-44.
Zur Definition des Drehmoments M
Ein Drehmoment hat seinen größten Wert,
wenn der Radiusvektor r und die Kraft F
senkrecht aufeinander stehen. Die Maßeinheit des Drehmoments ist I m. Dies ist formal die gleiche Einheit, die auch Arbeit und
Energie haben; im Gegensatz zu diesen skalaren Größen ist das Drehmoment jedoch eine
Vektorgröße. Für die Berechnung von Gleichgewichten, besonders bei starren Körpern
(Abschn. 2.9), spielt das Drehmoment eine
zentrale Rolle.
2.8.2. ewtoßsches Aktionsgesetz
der Drehbewegung
2.8.2.1. Drehimpuls eines materiellen Punktes
Der momentane Ort eines materiellen Punkte
der Masse m, der sich unter dem Einfluß