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Übungen Dienstag -1-
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN
Dienstag
Block 1 (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vorkurs-Homepage aufgeschaltet!)
1. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit einer Methode Ihrer Wahl:
a.
- 4x
+
3y
=
6
3x
-
6y
=
3
5x
-
3y
=
24
-2x
+
y
=
9
5x
+
y
=
10
12,5x
+
2,5y
=
25
b.
b.
2. Im Theorieskript haben wir folgendes gesehen:
gen: x =
c1 ⋅ b2 − c2 ⋅ b1
a1 ⋅ b2 − a2 ⋅ b1
und
y=
(1) a1 x + b1 y = c1
( 2) a2 x + b2 y = c2
hat die Lösun-
a1 ⋅ c2 − a2 ⋅ c1
. Beweisen Sie das!
a1 ⋅ b2 − a2 ⋅ b1
3. Lösen sie die fünf Aufgaben zu „Verschiedene Gleichungssysteme, verschiedene
Lösungswege“ aus dem Theorieskript.
b
4. Leiten Sie die Rechenregel log a   = log a b − log a c aus den Rechenregeln fürs
c
Potenzieren her!
1

 10 
5. Ohne Taschenrechner: a) log 7 49 , b) log 3 1 , c) log 5 6 25 , d) log10 
6. Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
 1 
b) log a −b ( a 2 − 2ab + b 2 )
a) log a (b + c) + log a 

b+c
c)
log c (b 2 )
log c (a )
d) log c ( a 4 − b 4 ) − log c ( a 2 + b 2 ) − log c ( a + b)
7. Finden Sie x so dass:
a) log x 8 = 3
b) log 5 x = 2
c) log 3 x = 5
d) log x 1024 = 10
8. * Wie viele Stellen hat die Zahl 1910'000 ? Wie lautet die erste Ziffer ?
Tipp: Zahl als 10er-Potenz schreiben!
Übungen Dienstag -2-
Auswahl an Musterlösungen
1c)
5x
+
y
=
10
12,5x
+
2,5y
=
25
1
Sämtliche Lösungsmethoden liefern hier wahre Aussagen. Z. Bsp.
« 0 = 0 ». Bedeutung?! : Die zweite Gleichung ist das 2.5-Fache
der ersten Gleichung und liefert somit «keine neue Information».
D.h.: Sämtliche Lösungspaare (x|y), die die erste Gleichung erfüllen, erfüllen auch die zweite Gleichung: (1|5);(0|10);(4|-10);... für
x beliebig: (x | y = 10 - 5x)
1
1
5c) log 5 (6 25 ) = x ⇔ 5 x = 25 6 ⇔ 5 x = (5 2 ) 6 ⇔ 5 x = 5 3 ⇒ x =
6c)
1
3
log c (b 2 ) log a (b 2 ) log a (b 2 )
=
=
= 2 ⋅ log a (b) (Beim ersten Schritt: Basiswechsel !)
log c (a)
log a (a )
1
log(b)
2⋅
log c (b 2 ) 2 ⋅ log c (b)
log(c) 2 ⋅ log(b)
=
=
=
= 2 ⋅ log a (b)
Zweite Lösungsvariante:
log(a )
log c ( a)
log c (a )
log(a)
log(c)
Übungen Dienstag -3-
Block 2 (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vorkurs-Homepage aufgeschaltet!)
1. Die folgenden Exponentialgleichungen sind mit einem Exponentenvergleich zu lösen:
a) 2x = 0.25
b) 32x+1 = 81
c) 3x · 27 =
1
9
d)
x +1
16 = 8
2. Lösen Sie die folgende Logarithmusgleichung (Tipp: Log.-Regel anwenden!):
2 ⋅ log( x + 3) − log( x + 1) = 1
3. Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen
x
a) 4 ⋅ 5.2 x = 3 ⋅ 0.75 x
b) 10 x +1 = 0.8
c) 9 x − 2 ⋅ 3 x − 11 = 0
d) 5 2 x − 27 ⋅ 5 x = 0
e) 2 4 x + 2 4 x + 5 = 99
4. Ich kaufe Wasserpflanzen für meinen Teich, die so schnell wachsen, dass sich die von ihnen bedeckte Fläche jeden Tag verdoppelt. Kaufe ich ein Exemplar, so ist der Teich nach
20 Tagen völlig bedeckt. Wie lange dauert das, falls ich gleich zwei Pflanzen kaufe?
5. Zu welcher Grösse wird mein Anfangskapital von 100 Franken nach 10 Jahre gewachsen
sein, wenn der Zinssatz 1.5 Prozent bleibt? Und wie lange dauert es, bis es sich
verdreifacht hat?
6. Geben Sie die Winkel in Bogenmass an: a) 15o
b) 225o
c) 105o
d) 277.5o .
7. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit β = 90 o seien
a) a = 3, b = 6 oder b) a = 1, c = 1. Berechnen Sie jeweils den Winkel α .
8. Berechnen Sie mit Hilfe der Additionsformeln und der Tabelle für spezielle Winkel aus
dem Skript den Wert für cos(π / 12) exakt (d.h. nicht als Dezimalzahl, sondern als Wurzelterm.)
9. Ich stehe 20m von einem Baum entfernt und muss meinen Kopf um 25o nach oben drehen, um dessen Spitze zu sehen. Meine Augenhöhe ist 1.80m. Wie hoch ist der Baum?
10. Eine Strasse hat eine konstante Steigung von 10%. Was gibt der Kilometerzähler meines
Fahrrads an, wenn ich 1000 Höhenmeter auf dieser Strasse zurückgelegt habe?
11. * Überlegen Sie am Einheitskreis, dass tan(α ) , α und sin(α ) für kleine positive Werte
von α fast gleich sind, dass aber tan(α ) > α > sin(α ) gilt.
Übungen Dienstag -4-
Auswahl an Musterlösungen
1
1d)
x +1
1
16 = 8 ⇔ 16 x+1 = 8 ⇔ (2 4 ) x+1 = 23 ; Exponentenvergleich:
4
= 3 ; = {1/3}
x +1
2)
Def .
 ( x + 3) 2 
 ( x + 3) 2 
1
2 ⋅ log( x + 3) − log( x + 1) = 1 ⇔ log10 
=
1
⇔
10
=
⇔ 10 x + 10 = x 2 + 6 x + 9



 x +1 
 x +1 
2
⇔ 0 = x − 4 x − 1 ⇒ x1 = 4.2361; x2 = −0.2361 (mit Lösungsformel für quadr.Gl. gelöst).
3b)
x
x +1
=
0 .8
logarithmieren
x
⋅ log10
x +1
=
log 0.8
⋅ ( x + 1)
x ⋅ log 10
=
log 0.8 ⋅ ( x + 1)
Man beachte: log10 = 1
x
=
x ⋅ log 0.8 + log 0.8
– x ⋅ log 0.8
x − x ⋅ log 0.8
=
log 0.8
x ausklammern
x(1 − log 0.8)
=
log 0.8
: (1 − log 0.8)
=
log 0.8
= −0.0884...
1 − log 0.8
Tipp: Beim Eintippen in den TR
genügend viele Klammern verwenden!
log0.8 / (1–log0.8)
10
x
Übungen Dienstag -5-
Block 3 (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vorkurs-Homepage aufgeschaltet!)
1. Lineare Funktionen:
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, die durch den Punkt C(2/-3) verläuft und
die Steigung m = -2 hat.
b) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt R(-2/1) verläuft und zu
der Geraden g: y = 2x – 3 parallel ist.
c) Prüfen Sie durch Rechnung, ob die Punkte P(2/1), Q(–3/6) und R(5/-2) zu einer Geraden gehören.
d) Wir betrachten eine Gerade g mit der Steigung m g . Eine Gerade die senkrecht zu g
steht ist eine sog. Normale zu g (man sagt auch: n ist normal zu g). Es sei nun die
Gerade n (mit der Steigung mn ) eine Normale zu g. Beweisen Sie, dass dann
mg ⋅ mn = −1 gilt. Fertigen Sie dazu eine entsprechende Zeichnung an!
e) Geben Sie die Gleichung der Geraden an, die durch den Punkt R(-2/1) verläuft und zu
der Geraden g: y = 2x – 3 normal ist.
2. Bei einer Telefonfirma kostet ein Mobil-Abonnement monatlich 15 Franken, man hat monatlich 10 Gratisminuten, und jede weitere Minute kostet 1 Franken. Bei einer anderen
kostet zwar das Abo monatlich 25 Franken, aber jede Minute kostet nur 50 Rappen. Ab
wie vielen Minuten ist das zweite Angebot günstiger?
3. Lösen Sie graphisch und rechnerisch:
a) x + 1 = x + 2 , b) x − 1 − 2 = − x + 1 ,
c) 2 x + 1 − 1 = 2 x + 1 , d) − x + 2 x − 3 = 3
4. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel mit dem Scheitel im Ursprung und der y-Achse
als Symmetrieachse, die durch den Punkt (2/3) geht.
5. Welche der folgenden Parabeln
y = 0.1x2,
y = 1.4x2,
y = – 5 x2,
y = 3x2,
y = –5x2
8
2
2
1
und y = – x verlaufen zwischen den Parabeln y = 1.2x und y = –1.4x2 ?
3
6. Eine Leichtathletikbahn hat folgende Form: In der Mitte ist ein Gras-Rechteck, und auf
zwei einander gegenüberliegenden Seiten ist jeweils ein Kunststoff-Halbkreis angesetzt.
Wie gross kann die Fläche des Gras-Rechtecks maximal sein, wenn eine Runde um die
ganze Bahn genau 400 Meter betragen soll?
7. Für welche a hat (x - 1)2 + 1 = ax genau eine Lösung? Zeichnen und erklären Sie was
das heisst!
8. *(Spass): Man hat 2 Seile, die je genau eine Stunde brennen, wenn man sie an einem Ende anzündet. Das Brennen muss aber nicht gleichmässig erfolgen: an gewissen Stellen
sind die Seile dicker als an anderen, und dort brennen sie entsprechend langsamer. Man
hat aber einen Kuchen, der genau 3/4 Stunden gebacken werden muss. Wie misst man
diese Zeit mit Hilfe der Seile?
Übungen Dienstag -6-
Auswahl an Musterlösungen
1c)
1. Idee (aufwendig!): Mit der Steigungsformel zuerst m berechnen, dann durch Einsetzen eines
Punktes wie bei a) die Geradengleichung bestimmen, und schliesslich kontrollieren wir durch Einsetzen der Punkte...
2. Idee: (Effizienter und eleganter!): Angenommen die 3 Punkte P, Q und R liegen auf einer Geraden, dann wären die Steigungen von PQ und PR gleich! (Falls dieser Gedanke noch nicht klar
ist, sollte man es mit einer Skizze versuchen!)
6 −1
− 2 −1
Also: Steigung von PQ: m =
= −1 Steigung von PR: m =
= −1
−3− 2
5−2
Gleiche Steigungen! Deshalb gilt: P, Q und R liegen tatsächlich auf einer Geraden!
1d)
Übungen Dienstag -7-
Block 4 (Die Musterlösungen werden am Abend auf der Vorkurs-Homepage aufgeschaltet!)
1. Lösen Sie rechnerisch und graphisch die folgenden Ungleichungen:
a) 3 x + 8 ≤ 7 − 5 x
b) − 2 ≤ −2 x + 6 ≤ 4
c)
3x + 2
> −3
x −1
d) x − 4 + 2 − x ≤ 2
 π π
,  gelten soll:
 2 2
2. Lösen Sie nach x, wobei jeweils x ∈  −
( )
( )
b) (cos x )
sin x
a) cos x ⋅ cos 2 x = cos 3 x
Tipp: Additionstheorem anwenden!
=1
3. Lösen Sie nach x:
a) cos(2 x ) = cos x
Tipp: Additionstheorem anwenden!
2
b) 2 cos x + sin x − 1 = 0
4. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Ungleichungen unter
Verwendung der grafischen Methode:
a) 0.5x2 + 4x > 0
b) 4x2 – 3x – 27 ≤ 0
c) –3x2 + 5x – 7 < 0
5. * Für welche Werte von
a
hat die Gleichung
6. * Für welche Werte von
a
hat die Gleichung
x = ax + 1 genau zwei Lösungen?
x 2 − ( a − 3) ⋅ x + 1 = 0
sungen?
7. * Zeigen Sie, dass
x− y ≥
x − y
für alle x, y ∈ gilt.
genau zwei Lö-
Übungen Dienstag -8-
Auswahl an Musterlösungen
1d) Der Graph von f ( x) = x − 4 + 2 − x sieht folgendermassen aus. Daraus erkennt man die
Lösungsmenge x ∈ [2, 4] .
Oder rechnerisch: 3 Fälle unterscheiden
Fall 1: x > 4
⇒ IL = { }
Fall 2: 2 < x < 4
⇒
Fall 3: x < 2
⇒ IL = { }
x ∈ (2, 4 )
Noch die Grenzen betrachten: x=2 ok.
Somit: x ∈ [2, 4]
2b)
x=4 ok.