12. ¨Ubung 41. Ohmsches Gesetz 42. Wirbelstrombremse
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Institut für Theoretische Physik der Universität zu Köln — WS 2015/2016 Prof. Dr. Joachim Krug Stefan Nowak Theoretische Physik in 2 Semestern I 12. Übung http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ws1516/ Abgabe: Dienstag, 26. Januar 2016 bis 10:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik 41. Ohmsches Gesetz 6+4+5 = 15 Punkte Ein unendlich langer Draht mit kreisförmigem Querschnitt (Radius r0 ) verläuft entlang der zAchse. Durch den Draht fließt ein Strom I in positive z-Richtung bei einer Leitfähigkeit von σ bzw. einem spezifischen Widerstand von ρ = 1/σ. Der makroskopische Widerstand R eines Drahtstückes der Länge L und Querschnittsfläche A ergibt sich über R = ρL/A. ~ und B ~ Feld im Inneren und am Rand des Drahtes. a) Berechnen Sie das E~ wobei ~j die elektrische Hinweis: Verwenden Sie das Ohmsche Gesetz in der Form ~j = σ E, Stromdichte ist. b) Zeigen Sie, dass der Poynting-Vektor im Draht durch 2 ~ = − ρI r ~er S 2π 2 r04 gegeben ist, wobei r der Abstand zur Mitte des Drahtes ist (Zylinderkoordinaten). c) Vergleichen Sie die durch das ohmsche Gesetz gegebene elektrische Leistung P = R I 2 mit dem durch den Poynting-Vektor gegebenen Energiestrom durch die Drahtoberfläche. Diskutieren Sie das Ergebnis. ~ über die Oberfläche (r = r0 ) eines Stückes des Drahtes der Hinweis: Integrieren Sie S Länge L. 42. Wirbelstrombremse 6+9+4=19 Eine quadratische Leiterschleife (mit Kantenlänge a, Masse m und elektriB ~ r) = Bz~ey schem Widerstand R) wird in einem inhomogenen Magnetfeld B(~ a fallen gelassen. Die Kanten der Leiterschleife seien die ganze Zeit über parFG ~ allel zur x- bzw. z-Achse, also senkrecht zum B-Feld ausgerichtet. Zusätza ~ lich zu elektromagnetischen Kräften wirkt die Schwerkraft FG = −mg~ez . a) Zeigen Sie, dass die Stärke des induzierten Stroms durch Iind = a2 B ż/R gegeben ist, wobei z die z-Komponente des Mittelpunktes der Leiterschleife bezeichnet. Fließt der Strom mit oder gegen den Uhrzeigersinn (bei Betrachtung wie in der Skizze)? 4 2 ż b) Zeigen Sie, dass die auf die Leiterschleife wirkende Lorentz-Kraft durch F~em = − a B ez R ~ gegeben ist. ~ zur Lorentzkraft. Integrieren Hinweis: Ein Stück d~` eines Leiters liefert einen Beitrag I d~`×B Sie diesen Ausdruck über die vier Kanten der Leiterschleife. Achten Sie dabei insbesondere auf die Richtigkeit der Vorzeichen. c) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das System auf und berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit vmax , die die Leiterschleife erreicht. 43. Dipolstrahlung 7+5+4=16 Punkte ~ Betrachten Sie einen zeitabhängigen Dipol mit Dipolmoment d(t). Das abgestrahlte elektromagnetische Feld hat bei großen Abständen die Form h i ~ r, t) = − µ0 ~er × d~¨ t − r ~ r, t) = c B ~ × ~er . B(~ und E(~ 4π c r c ~ = d(t)~ez , dass die Energiestromdichte S ~ durch a) Zeigen Sie für d(t) ~= S µ0 d¨2 (t − r/c) sin2 θ ~er 16π 2 cr2 gegeben ist, wobei θ der Winkel zwischen ~er und ~ez ist (Kugelkoordinaten). Hinweis: Es gilt |~er × ~ez |2 = sin2 θ. ~ über eine Kugelfläche vom Radius R um den gesamten Energiefluss der b) Integrieren Sie S Dipolstrahlung PRdip zu bestimmen. Wie hängt Pdip vom Radius R ab? π Hinweis: Es gilt 0 sin3 θ dθ = 4/3. c) Wählen Sie für die zeitliche Änderung des Dipolmomentes eine harmonische Schwingung d(t) = d0 cos(ωt). Welche Abhängigkeit bekommt man für Pdip als Funktion von ω?
