Nachhilfe-Kurs Mathematik

Nachhilfe-Kurs Mathematik
Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte
April 2008
Zusammenfassung IC
Il Corso Advanzato
I. Besondere Punkte, Geraden und Ebenen
1. Besondere Ebenen
• Koordinatenebenen:
Wie in dem konkretes Beispiel in der Musterlösung zur Aufgabe I.4, können wir die Koordinatengleichungen aller 3
Koordinatenebenen errechnen. Das muss man aber nicht machen, da die folgenden Formeln sehr einprägsam sind:
Ey−z : x = 0,
Ex−z : y = 0,
Ex−y : z = 0
Das ganze gibts natürlich auch als Parameter- und Normalenform (brauch man aber kaum). Der Ökonomie halber hier
nur für Ey−z :
 
 
 
0
0
1
−−→
−−→
Ey−z : OX = r · 1 + s · 0 ,
Ey−z : OX · 0 = 0
0
1
0
• Ebenen parallel zu Koordinatenebenen:
Das kommt immer dann vor, wenn die Ebene durch einen Punkt P geht, der nicht in der Koordinatenebene liegt. Wir
machen das hier auch nur an einem Beispiel:
Die Parameterform ergibt sich durch den Stützvektor zum Punkt und die gleichen Richtungsvektoren, wie bei der
Koordinatenebene (da die Ebenen ja parallel sein sollen). Wir machen mal eine parallel zu Ex−y :
 
 


1
0
p1 + r
−−→ −−→
−
−
→
E : OX = OP + r · 0 + s · 1 oder auch OX = p2 + s
0
0
p3
 
0
h−−→ −−→i
Die Normalengleichung sieht dann folgendermaßen aus: E : OX − OP · 0 = 0
1
Und, natürlich am schönsten, die Koordinatengleichung: E : z = p3
Zu bemerken wäre noch, dass der jeweilige Normalenvektor, wie ich ihn gewählt habe (mit jeweils einer 1) auch gleichzeitig
der Normaleneinheitsvektor ist (da seine Länge ja 1 ist und sich bei geteilt durch 1 nichts ändert). Alle obigen Gleichungen
sind also auch gleichzeitig Hesse-Normalformen, was die Abstandsberechnungen zu einem Kinderspiel macht.
• Ebenen senkrecht zu Koordinatenachsen:
Man stelle sich das anschaulich vor. Senkrecht zu einer Koordinatenachse (z.Bsp. der z-Achse) heißt nichts anderes als
parallel zu der Koordinatenebene zu der diese Achse senkrecht steht (also in diesem Fall zur x − y-Ebene). Zusammen
mit einem gegebenen Punkt, läuft das also wie oben.
Oder anders: Die Koordinatenachse können wir als Gerade auffassen (siehe nächste Seite unter Koordinatenachsen).
Damit die Ebene senkrecht ist, nehmen wir einfach den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor. Dann den
Punkt dazu und fertig.
• Ebenen senkrecht zu Koordinatenebenen:
Die Ebene gehe wieder durch einen Punkt P , ist aber diesmal senkrecht. Für die Eindeutigkeit der Ebene reicht das
allerdings noch nicht. Das liegt an Folgendem: Wir können eine eindeutig festgelegte Gerade angeben, die durch P geht
und senkrecht zu unserer Koordinatenebene ist, da der Normalenvektor der Ebene (sowas mit zwei Nullen und einer 1)
gerade der Richtungsvektor der Geraden ist. Jede Ebene, die nun diese Gerade enthält, ist damit senkrecht zur Koordinatenebene. Das sind aber unendlich viele; anschaulich gesprochen können wir die Ebene um diese Gerade herumdrehen
und zu jedem Zeitpunkt der Drehung ist sie senkrecht zur Koordinatenebene. Für die Eindeutigkeit brauchen wir also
noch einen zusätzlichen Punkt, der nicht auf dieser Geraden, aber in der senkrechten Ebene liegen soll. Dann wieder die
gewünschte Ebenengleichung nach Schema F berechnen.
• Ebenen parallel zu Koordinatenachsen:
Hier ist es ähnlich: Wir brauchen für die Eindeutigkeit (mindestens) zwei Punkte. Dabei darf der Vektor, der diese
beiden Punkte verbindet, nicht kollinear zu dem Vektor entlang der Koordinatenachse sein. Warum? Na, der Koordinatenachsenvektor (wiedermal so ein Ding mit zwei Nullen und einer 1) ist ja auch ein Richtungsvektor der Ebene (wegen
parallel und so). Wir brauchen aber einen zweiten nicht kollinearen Richtungsvektor ( Victory“) um , mit einem der
”
beiden Punkte zusammen, die Ebene eindeutig festzulegen.
1
Wichtig: Die letzen vier Punkte lassen sich Verallgemeinern. Wenn wir Ebenen kontruieren sollen, die parallel/senkrecht zu
irgendwelchen beliebigen Ebenen oder Geraden sein sollen, die nicht identisch sind mit den Koordinatenebenen oder -Achsen,
läuft das ganz genauso. Nur sieht der Normalen- bzw. der Richtungsvektor nicht so hübsch aus. Alles andere bleibt beim
Alten.
2. Besondere Geraden
• Koordinatengeraden:
Jede Koordinatenachse kann durch eine Gerade beschrieben werden. Sie enthalten alle drei den Nullpunkt und haben so
einen schicken Richtungsvektor. Hier als Beispiel gx :
 
 
 
0
1
r
−−→  
−
−
→
gx : OX = 0 + r · 0 oder schöner: gx : OX = 0
0
0
0
• Geraden parallel zu Koordinatengeraden:
Einfach in die jeweilige Koordinatengerade anstatt dem Nullvektor den Ortsvektor zum gegebenen Punkt P einsetzen.
Wichtig: Auch das lässt sich wieder verallgemeinern. Wenn ich eine Gerade konstruieren will, die parallel zu einer
−−→
beliebigen Geraden g ist und durch einen Punkt P läuft, einfach OP in die Geradengleichung g dort einsetzen, wo der
Ortsvektor dieser Geraden ist.
• Gerade senkrecht zu einer Koordinatenebene: Einfach den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor nehmen
und den Ortsvektor zu dem gegebenen Punkt verwenden.
Schon wieder wichtig: Das kann man mit beliebigen Ebenen machen.
• Gerade parallel zu einer Koordinatenebene:
Altes Problem: Ein Punkt alleine reicht für die Eindeutigkeit nicht aus, da wir unendlich viele Möglichkeiten haben einen
Richtungsvektor zu wählen. Bei zwei Punkten ist die Sache ja klar und wie bei allgemeinen Geraden zu berechnen (so
eine Augabenstellung kommt also nicht vor).
• Gerade senkrecht zu einer Koordinatenachse: Ähnlich wie oben: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten für einen
Richtungsvektor, der senkrecht zu dem gegebenen Richtungsvektor steht.
• Spurgeraden:
Diese Geraden beschreiben die Schnittmenge von einer Ebene mit einer Koordinatenebene. Es sind also alles Geraden,
die in der entsprechenden Koordinatenebene liegen. Die Berechnung läuft wie allgemein bei Schnitt Ebene-Ebene, nur
einfacher: Es reicht ja, eine Zeile der als einen Vektor zusammengefassten Ebene (je nachdem welche Koordinatenebene
wir betrachten) gleich Null zu setzten. Dann Ergebnis in Ebenengleichung einsetzen.
3. Besondere Punkte
• Spurpunkte von Geraden:
So nennt man die Schnittpunkte von einer Geraden mit den Koordinatenebenen. Davon gibts mindestens einen und
höchstens drei, je nachdem zu welchen Koordinatenebenen die Gerade parallel ist. Berechnung ist wie bei Schnitt GeradeEbene nur einfacher.
• Spurpunkte von Ebenen:
So nennt man die Schnittpunkte von Ebenen mit den Koordinatenachsen. Wie bei Geraden sind gibts mindestens einen
und höchstens drei. Auch die Berechnung ist wie gehabt.
Wichtig: Diese Dinger sind meistens dann besonders hilfreich, wenn man eine Ebene einzeichen soll. Man berechnet der
Reihe nach die Spurpunkte, zeichnet sie ein und zieht die Verbindungslinie. Um es besonders hübsch zu machen, zeichnet
man die Linie zwichen den Achsen durch und strichelt dann ihre Verlängerung zu beiden Seiten.
4. Scharen
• Geradenscharen:
Das ist eine Familie von Geraden. Diese ganze Familie sieht ähnlich aus wie eine einzelne Gerade, hat nur noch irgendwo
eine zusätzliche Unbekannte (gerne im Richtungsvektor). Was die Geraden zu einer Familie macht ist, dass sie (wie das
in Familien so ist) alle etwas gemeinsam haben, aber trotzdem alle unterschiedlich sind (das liegt an der Unbekannten).
Was man hier jetzt zum Beispiel machen kann ist, einen (oder eine) aus der Familie rausgreifen, der bestimmte Eigenschaften hat. Also zum Beispiel parallel oder senkrecht zu einer Ebene steht. Man muss nur rausfinden wer das ist,
d.h. welche Zahl ich für die Unbekannte einsetzen muss um für den Richtungsvektor die entsprechende Eigenschaft zu
erhalten. Das löst man immer in einem Gelichungssystem (üben wir).
Man kann auch für die ganze Familie eine bestimmte Eigenschaft nachweisen (z.Bsp. dass alle in einer bestimmten Ebene
liegen). Man muss dafür zeigen, dass es egal ist, was ich in die Unbekannte einsetze, alle Mitglieder der Familie erfüllen
dasselbe Gleichungssystem (üben wir auch).
Für Ebenenscharen gilt genau das gleiche.
2
II. Geometrische Flächen
1. Das Dreieck
• Das Schönste, seit es zweidimensionale Flächen gibt!
In jedem Dreieck
– ergeben die Winkel zusammen 180◦
– schneiden sich die Seitenhalbierenden, Winkelhalbierenden und Höhen (auch Transversalen genannt) jeweils in einem
Punkt
– ist der Flächeninhalt A∆ =
1
2
· c · hc (analog für a und b).
• Mit Hilfe von Koordinaten können wir das für beliebige Dreiecke im Raum berechnen!
1. Die Winkel ergeben sich aus der Winkelberechnung zwischen den Vektoren, die die jeweiligen Punkte verbinden
2. Für die Seitenhalbierenden können Geradengleichungen angeben, indem wir den Ortsvektor zu dem Mittelpunkt einer
Strecke berechnen und dann als Richtungsvektor den Vektor zwischen diesem Punkt und dem gegenüberliegenden Punkt
des Dreiecks nehmen.
3. Die Länge der Höhe ist nichts anderes als der Abstand Punkt-Gerade: Eine Dreiecksseite als Gerade angeben und den
Abstand zu dem Punkt des Dreiecks, der nicht auf dieser Geraden liegt nach Schema F berechnen (Hilfsebene und so,
siehe IB, S.5 oben. Achtung: Schreibfehler in der Überschrift!).
4. Mit der Höhe und dem Abstand zwischen den zwei Punkten des Dreiecks ( Grundseite“), können wir dann den Flä”
cheninhalt angeben. Für den Flächeninhalt im allgemeinen Dreieck gibt es aber auch schnellere Methoden:
(a) Habe ich zwei Seiten (z.B. |~a| und |~b|) und den eingeschlossenen Winkel (hier also γ), kann ich den Sinussatz
anwenden:
1
A∆ = · |~a| · |~b| · sinγ
2
ha
~
~
Das gilt, weil ha = |b| · sinγ = |b| ·
= ha .
|~
b|
(b) Eine weitere Möglichkeit ist, das A∆ als die halbe Fläche eines Parallelogramms zu interpretieren (siehe nächste
Seite).
• spezielle Dreiecke:
Bei gleichseitigen Dreiecken
Bei gleichschenkligen Dreiecken
Bei rechtwinkligen Dreiecken
– sind alle Seiten gleich lang
– sind zwei Seiten gleich lang
– gibt es einen rechten Winkel
– alle Winkel gleich groß
– zwei Winkel gleich groß
– die Transversalen und deren Schnittpunkte identisch
– drei Transversalen identisch (und die
drei Schnittpunkte auf einer Linie)
– gilt der Satz des Pythagoras (könnt
ihr, nech?)
– der Flächeninhalt gaaanz
einfach zu berechen (könnt
ihr selber).
– der Flächeninhalt auch gaaanz einfach zu berechen (könnt ihr auch selber).
3
– gilt der Höhensatz (machen wir)
– gilt der Thalessatz (können wir auch
machen)
– der Flächeninhalt ist noch viel viel
einfacher.
2. Das Parallelogramm
• Das zweitschönste seit es zweidimensionale Flächen gibt!
In jedem Parallelogramm
– sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang (jedes Quadrat, jedes Rechteck und jede Raute ist also ein
Parallelogramm und jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez!)
– sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß
– schneiden sich die Diagonalen genau auf der Hälfte
– ergeben die Winkel zusammen (wie in allen Vierecken) 360◦
– ist der Flächeninhalt A♦ = c · h (analog für die anderen Seiten).
• Wie beim Dreieck geht das auch hier alles im Raum.
1. Winkel(-Summe), Seitenlängen und Geradengleichungen für die Diagonalen könnt ihr.
2. Mit dem Flächeninhalt ist es folgendermaßen: Klar können wir wieder (mit Abstand Punkt-Gerade) die Höhe ausrechenen, aber es geht schneller und zwar so
q
2
A♦ = ~a2 · ~b − (~a · ~b)2
Warum? Wegen
A♦ = |~a| · h = |~a| · |~b| · sinγ
q
= |~a|2 · |~b|2 · sin2 γ
q
= |~a|2 · |~b|2 · (1 − cos2 γ)
q
= |~a|2 · |~b|2 − |~a|2 · |~b|2 · cos2 γ
q
2
= ~a2 · ~b − (~a · ~b)2
Benutzt haben wir sinγ =
h
|~
b|
und die Kosinusformel ~a · ~b = |~a| · |~b| · cosγ.
Gleichzeitig haben wir damit eine dritte und sehr einfache Möglichkeit A∆ auszurechnen:
q
2
1
A∆ = · ~a2 · ~b − (~a · ~b)2
für das ∆(ABC)
2
Warum? Jedes Parallelogramm enthält zwei kongruente Dreiecke.
4
3. Das Trapez
• Das (höchstens) drittschönste zweidimensionale Flächen.
In jedem Trapez
– sind zwei gegenüberliegende Seiten parallel
– gilt, dass die Seite, die genau auf der Hälfte zwischen den beiden parallelen Seiten liegt, die Länge
|CD|+|AB|
2
hat.
Der Flächeninhalt von dem Ding brechnet sich dann:
|CD| + |AB|
A = |EC| ·
2
oder vektoriell:
−−→
−−→
−−→ |CD| + |AB|
A = |EC| ·
2
Warum? Man klappe das Trapez entlang der Strecke auf halber Höhe zusammen. Wenn man anschließend die kleinen Dreiecke an
den Seiten einklappt erhalten wir ein Rechteck! Dieses Rechteck hat die Grundseite |CD|+|AB|
und die Breite |EC|
2
2 . Um daraus den
Flächeninhalt für unser Trapez zu berechnen müssen wir den Flächinhalt des Rechtecks nur doppelt nehmen. Also
A = 2 ·
|EC| |CD| + |AB|
·
2
2
Das ergibt aber - durch kürzen mit 2 - gerade die obige Formel.
Wie komme ich auf die Höhe, also in unserem Fall die Strecke |EC|?
|EC| is doch auch gleichzeitig die Höhe im ∆ACB. Kenne ich also die Seite |AC| und den Winkel bei A (nennen wir einfach α),
ergibt sich:
|EC|
sinα =
und umgestellt: |EC| = |AC| · sinα
|AC|
III. Geometrische Körper
1. Prisma
2. Pyramide
Jedes Prisma besteht aus
Jede Pyramide besteht aus
• einer Grund- und Deckelfläche, die beide kongruent und
parallel sind.
Sonderform: Kreis als Grundfläche → Zylinder.
• einer Grundfläche, meistens Drei- oder Vierecke.
Sonderform: Kreis als Grundfläche → Kegel.
• einer Spitze und einer Mantelfläche.
Die ist entweder in Einzelflächen (Dreiecke) unterteilt,
oder - beim Kegel - eine ganze Fläche.
• einer Mantelfläche drumrum.
Die ist entweder in Einzelflächen (Parallelogramme) unterteilt, oder - beim Zylinder - eine ganze Fläche (ein
großes Rechteck).
Das Volumen berechnet sich aus Ein Drittel mal Grundfläche
”
mal Höhe“.
Das Volumen berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe“. Die
”
Höhe ist dabei als Abstand Punkt-Ebene anzusehen.
Die Oberfläche aus Grundfläche plus Mantelfläche“.
”
Die Oberfläche aus Zweimal Grundfläche plus Mantelfläche“.
”
5