28.02.2014

Abiturvorbereitung Stochastik
neue friedländer gesamtschule
Klasse 12 GB
28.02.2014
Holger Wuschke B.Sc.
Binomialverteilung mit GeoGebra, 2014
Organisatorisches
26.02.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(X=k)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Wertetabelle
(oben)
Histogramm
(links)
Balkendiagramm
(rechts)
Beides sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen
26.02.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 18:51
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
(1) Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge
{𝑘|𝑘 = 1,2, … , 𝑛} heißt binomialverteilt genau
dann, wenn für die Wahrscheinlichkeit gilt:
𝑛
𝑃 𝑋=𝑘 =
∙ 𝑝𝑘 ∙ 1 − 𝑝 𝑛−𝑘
𝑘
Wobei p die Wahrscheinlichkeit eines „Treffers“ ist.
Symbolisch: Bn;p (k) oder P(X=k)
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
Beispiel 1: Werfen von 3 Münzen;
X = Anzahl der geworfenen „Wappen“;
geg.: n = 3
p = 0,5
Ereignis:
genau zwei Mal Wappen.
k=2
B3;0,5 (2) = P(X=2) = 0,375
Im CAS: binewkt(n,p,k)
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
Beispiel 2: Werfen von 10 Münzen;
X = Anzahl der geworfenen „Wappen“;
geg.: n = 10
p = 0,5
Ereignisse: (A) höchstens vier Mal Wappen.
(B) mehr als 5 Wappen.
(C) zwischen 3 und 6 Mal Wappen.
Im CAS: biniwkt(n,p,kStart,kEnde)
26.02.2014
H. Wuschke
Abitur M-V 2004 Leistungskurs
26.02.2014
H. Wuschke
Abitur M-V 2000
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
(2) Der Erwartungswert hat im Falle einer Binomialverteilung die vereinfachte Formel:
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛 ∙ 𝑝
(3) Die Varianz besitzt die vereinfachte Formel:
𝜎²𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝)
(4) Daraus ergibt sich für die Standardabweichung:
𝜎 = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ (1 − 𝑝)
26.02.2014
H. Wuschke
Abitur M-V 2009
26.02.2014
H. Wuschke
Abitur M-V 2010
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
• n = 15
• Maximum bei 1
μ=1
1
 p ist etwa 15
In diesem Fall ist
p=0,1
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
26.02.2014
H. Wuschke
2. Binomialverteilung
26.02.2014
H. Wuschke