24.02.2014

Abiturvorbereitung Stochastik
neue friedländer gesamtschule
Klasse 12 GB
24.02.2014
Holger Wuschke B.Sc.
Siedler von Catan, Rühlow 2014
Organisatorisches
10.04.2014
H. Wuschke
10.04.2014
H. Wuschke
0. Begriffe in der Stochastik
(1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen
Ausgang ungewiss ist.
(2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat bzw. der
Ausgang eines Zufallsexperimentes.
(3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als
Ergebnisraum Ω bezeichnet.
10.04.2014
H. Wuschke
0. Begriffe in der Stochastik
(4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1
zugeordnet, die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird,
wobei alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
Symbolisch: P(E) = a, 0 ≤ a ≤ 1
(5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung von
(mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem Ganzen.
Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des
Ergebnisraumes.
10.04.2014
H. Wuschke
0. Begriffe in der Stochastik
(6) Bernoulli-Experiment
Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der
Ergebnismenge befinden.
(7) Bernoulli-Kette
Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimentes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert.
Benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), schweizer Mathematiker.
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
(1) Eine Funktion X, die jedem Ergebnis eines
Zufallsversuches eine reelle Zahl zuordnet, heißt
Zufallsgröße.
Eine Zufallsgröße heißt:
• stetig, wenn sie alle möglichen reellen Zahlen als
Wert annehmen kann (z.B. auf ein Intervall abbildet).
• diskret, wenn sie nur endlich viele (meist „runde“)
Werte annehmen kann.
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(2) (Wahrscheinlichkeits-)Verteilung
Die Verteilung ist eine Funktion, die jedem Wert einer
Zufallsgröße ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet.
Die Summe aller dieser Wahrscheinlichkeiten ist 1.
Symbolisch: 𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑎, 0 ≤ 𝑎 ≤ 1
Sie heißt:
- Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreten Zufallsgrößen
- Dichtefunktion bei stetigen Zufallsgrößen
10.04.2014
H. Wuschke
Abitur M-V 2010
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln
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W2
W1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
Zum Beispiel: Augensumme beim zweimaligen Würfeln
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(X=k)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
Wertetabelle
(oben)
Histogramm
(links)
Balkendiagramm
(rechts)
Beides sind Wahrscheinlichkeitsfunktionen
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1. Zufallsgrößen und Verteilung
(3) Erwartungswert einer Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße X nehme die Werte 𝑘1, 𝑘2, … , 𝑘𝑛 mit den
Wahrscheinlichkeiten 𝑃(𝑋 = 𝑘1), … , 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑛) an.
Dann wird der zu erwartende Mittelwert der Verteilung als
Erwartungswert der Zufallsgröße bezeichnet.
Symbolisch: E(X), μ (lies: „mü“), 𝑥
Es gilt: μ = 𝐸 𝑋 =
𝑛
𝑖=1
𝑘𝑖 ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑖)
Bemerkungen:
i. Der Erwartungswert wird fast genauso berechnet, wie das arithmetische Mittel (der Durchschnitt).
ii. Ein Spiel (um Geld) wird als fair bezeichnet, wenn der Erwartungswert des Gewinns 0 ist.
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
D. h. beim zweimaligen Würfeln:
1
2
3
4
5
6
5
𝐸 𝑋 =2∙
+3∙
+4∙
+5∙
+6∙
+7∙
+8∙
36
36
36
36
36
36
36
4
3
2
1
+9∙
+ 10 ∙
+ 11 ∙
+ 12 ∙
36
36
36
36
=7
10.04.2014
H. Wuschke
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
(4) Varianz einer Zufallsgröße
Die Varianz misst, wie sehr die Zufallsgröße von ihrem
Erwartungswert abweicht.
Symbolisch: V(X), Var(X), σ²x oder σ²
Es gilt: Var X = 𝜎²𝑥 =
𝑛
𝑖=1(𝑘𝑖
− μ)² ∙ 𝑃(𝑋 = 𝑘𝑖)
D.h. beim Würfeln:
1
2
3
4
5
+ 3−7 2∙
+ 4−7 2∙
+ 5−7 2∙
+ 6−7 2∙
+ 7−7
36
36
36
36
36
5
4
3
2
1
+ 8−7 ²∙
+ (9 − 7)² ∙
+ (10 − 7)² ∙
+ (11 − 7)² ∙
+ (12 − 7)² ∙
36
36
36
36
36
𝑉 𝑋 = 2−7
10.04.2014
2
∙
H. Wuschke
2
∙
6
36
1. Zufallsgrößen und Verteilung
35
6
 𝑉 𝑋 = = 8, 3  Die Zufallsgrößen liegen im
Bereich 7 ± 8,3
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
(5) Standardabweichung einer Zufallsgröße
Die Standardabweichung gibt den Bereich der häufigsten Werte um den Erwartungswert an.
Symbolisch: σx oder σ
Es gilt: 𝜎 =
10.04.2014
𝑉𝑎𝑟(𝑋)
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
D.h. beim Würfeln: σ =
35
6
= 2,42  Der Bereich der häufigsten
Werte ist 7±2,42
10.04.2014
H. Wuschke
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
(6) Normalverteilung von Zufallsgrößen
Eine Normalverteilung (Gauss-Verteilung) einer stetigen
Zufallsgröße X liegt vor, wenn für deren Dichtefunktion
f(x) gilt:
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋σ²
∙𝑒
1 𝑥−𝜇
2
𝜎
− ∙
²
Für μ = 0 und σ = 1 heißt sie Standardnormalverteilung.
Benannt nach dem Mathematiker, Geodät, Physiker und Astronom Carl Friedrich Gauß (1777-1855), der sie im
Zusammenhang mit der Fehlerrechnung entdeckte.
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/binomialnormalverteilung/grenzwertsatz.html,
zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 19:24.
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
Eigenschaften der Dichtefunktion/Normalverteilung:
 Maximum bei 𝑥 = 𝜇
 Symmetrieachse bei 𝑥 = 𝜇

∞
𝑓
−∞
𝑥 𝑑𝑥 = 1
 0 ≤ 𝑓 𝑥 ≤ 1, für alle 𝑥 ∈ ℝ
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
Aus:
Vorlesung
„Wahrscheinlichkeitslehre und
Statistik“
von Prof. Dr.
Thomas Adamek,
Universität
Stuttgart
10.04.2014
H. Wuschke
1. Zufallsgrößen und Verteilung
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Standard_deviation_diagram.svg, zuletzt abgerufen am 20.02.14 um 18:51
10.04.2014
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2. Binomialverteilung
(1) Eine Zufallsgröße X mit der Wertemenge
{𝑘|𝑘 = 1,2, … , 𝑛} heißt binomialverteilt genau
dann, wenn für die Wahrscheinlichkeit gilt:
𝑛
𝑃 𝑋=𝑘 =
∙ 𝑝𝑘 ∙ 1 − 𝑝 𝑛−𝑘
𝑘
Wobei p die Wahrscheinlichkeit eines „Treffers“ ist.
Symbolisch: Bn;p (k) oder P(X=k)
10.04.2014
H. Wuschke