Abiturvorbereitung Stochastik

Abiturvorbereitung Stochastik
neue friedländer gesamtschule
Klasse 12 GB
21.02.2014
Holger Wuschke B.Sc.
Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013
Organisatorisches
21.02.2014
H. Wuschke
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
(1) Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen Ausgang
ungewiss ist.
(2) Das (Versuchs-)Ergebnis ist das Resultat
Ausgang eines Zufallsexperimentes.
bzw.
der
(3) Die Menge aller möglichen Ergebnisse wird als Ergebnisraum
Ω bezeichnet.
(4) Jedem Ergebnis wird eine Zahl zwischen 0 und 1 zugeordnet,
die als Wahrscheinlichkeit bezeichnet wird, wobei alle
Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
Symbolisch: P(E) = a, 0 ≤ a ≤ 1
21.02.2014
H. Wuschke
21.02.2014
H. Wuschke
21.02.2014
H. Wuschke
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
(5) Ein (Versuchs-)Ereignis ist eine Zusammenfassung
von (mehreren) möglichen Ergebnisse zu einem
Ganzen.
Damit sind Ereignisse also auch ein Teil des
Ergebnisraumes.
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
Spezielle Ereignisse:
• Das unmögliche Ereignis: E = Ø, P(E) = 0
• Das sichere Ereignis: E = Ω, P(E) = 1
• Das Elementarereignis ist ein einelementiges Ereignis
bzw. ein Ereignis mit genau einem Ergebnis.
• Das Gegenereignis ist das Gegenteil eines bestimmten Ereignisses E.
Symbolisch: Ē.
21.02.2014
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Abitur M-V 2009
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
(6) Die Komplementärregel
Ist Ā das Gegenereignis zu A, dann gilt:
𝑃 𝐴 = 1 − P Ā , wobei 𝑃 Ω = 1
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1. Begriffe in der Stochastik
(7) Das Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment,
bei dem alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich sind. Hier gilt: Die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreten eines Ereignisses A ermittelt sich aus:
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 ′𝑔ü𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒𝑛′ 𝐹ä𝑙𝑙𝑒
𝑃 𝐴 =
𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑚ö𝑔𝑙𝑖𝑐ℎ𝑒𝑛 𝐹ä𝑙𝑙𝑒
21.02.2014
H. Wuschke
Abitur M-V 2010
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
(8) Gesetz der großen Zahlen (Link)
Wird ein Zufallsexperiment sehr oft wiederholt, nähert
sich die relative Häufigkeit mit zunehmender Versuchszahl der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit an.
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
(9) Das Baumdiagramm ist eine Darstellungsart für
(mehrstufige) Zufallsversuche. Die Zweige zeigen die
Ergebnisse und die Pfade die Ereignisse an.
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Abitur M-V 2010 Aufgabe A3
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
Hier gelten die Pfadregeln:
1. Um die Wahrscheinlichkeit entlang eines Pfades zu
bestimmen, werden die Wahrscheinlichkeiten der
einzelnen Zweige multipliziert.
2. Wenn mehrere Pfade ein Ereignis bilden, werden sie
addiert.
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H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
(10) Bernoulli-Experiment
Als Bernoulli-Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei dem sich genau zwei Elemente in der
Ergebnismenge befinden.
(11) Bernoulli-Kette
Wiederholte Durchführung eines Bernoulli-Experimentes, die Wahrscheinlichkeiten bleiben unverändert.
Benannt nach Jakob Bernoulli (1654-1705), schweizer Mathematiker.
21.02.2014
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Abitur M-V 2009
21.02.2014
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Abitur M-V 2004 Grundkurs
21.02.2014
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Abitur M-V 2004 Leistungskurs
21.02.2014
H. Wuschke
1. Begriffe in der Stochastik
In Worten
In „Mathematisch“
weniger als 4
P(X<4) oder P(X≤3)
höchstens 4
P(X≤4)
genau 4
P(X=4)
zwischen 4 und 7
P(4<X<7) oder P(5≤X≤6)
von 4 bis 7
P(4≤X≤7)
mindestens 4
P(X≥4)
mehr als 4
P(X>4) oder P(X≥5)
21.02.2014
H. Wuschke
2. Begriffe in der Kombinatorik
(1) Permutation
Die geänderte Anordnung (Reihenfolge) einer Menge
heißt Permutation. Bei einer Menge von n verschiedenen Elementen gibt es n! (gelesen: „n Fakultät“)
Permutationen. Wobei hier jedes Element nur einmal
verwendet wird (Ziehen ohne Zurücklegen).
𝑛! ≔ 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛
21.02.2014
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2. Begriffe in der Kombinatorik
(2) Binomialkoeffizient
𝑛
𝑘
Das Symbol
(gelesen: „n über k“) wird als Binomialkoeffizient bezeichnet. Er ist wie folgt definiert:
Seien 𝑘, 𝑛 ∈ ℕ mit 𝑘 ≤ 𝑛
𝑛
𝑛!
≔
𝑘
𝑘! ∙ 𝑛 − 𝑘 !
Spezielle Werte:
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𝑛
0
= 1,
𝑛
1
= 𝑛 und
H. Wuschke
𝑛
𝑛
= 1.
2. Begriffe in der Kombinatorik
(3) Variation und Kombination
Die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge beim
zufälligen Ziehen von k Elementen aus n möglichen
beträgt jeweils:
mit Zurücklegen
ohne Zurücklegen
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Variation
Kombination
Geordnet
Ungeordnet
𝑛
𝑘
𝑛!
𝑛
=
∙ 𝑘!
𝑛−𝑘 !
𝑘
H. Wuschke
𝑛+𝑘−1
𝑘
𝑛
𝑘
Abitur M-V 2009
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