Grundlagen der Elektrotechnik Protokoll Schwingkreise

Grundlagen der Elektrotechnik Protokoll Schwingkreise
Christian Kötz, Jan Nabbefeld
29. Mai 2001
3. Versuchsdurchführung
3.1. Versuchsvorbereitung
3.1.2. Herleitung Resonanzfrequenz und der 45o Frequenz
Resonanzfrequenz am Schwingkreis
q
1
1
1
ωC = ωL
und ωL = ωC
=⇒ ωr = LC
ergibt für die Frequenz fr = 2π√1 LC .
Für den Reihenschwingkreis gilt Im{Z} = 0 und für den Paralellschwingkreis Im{Y } = 0.
45o - Frequenz
Bedingung: Im{Z} = Re{Z} und Im{Y } = Re{Y }.
1
1
Die Gleichung ωL − ωC
= R wird mit ω erweitert und nach Null umgestellt: ω2 − RL ω- CL
= 0. Mit der
p-q-Formel ergibt sich:
q
q
1
R
R2
1
R2
1
R
+
+
⇒
f
=
±
± 4L
ω1/2 = 2L
45
2
CL .
LC
2π 2L
4L2
3.1.3. Bestimmung ωL,Cmax bei maximaler Spannung
Umstellen der Spannungsteilerregel: UC = U
jωC
1
R+ jωL+ jωC
, UL = U
jωL
1
R+ jωL− j ωC
=U
ω für Umax an der Spule1
Funktion nach ω ableiten um das Maximum für die Spannung zu ermitteln.
2
2
ω2CL
/
√
= ωCL(ω C(R C−2L)+2)U 3 = 0
f (ω) = U
2
2
2
(ωRC) +(ω CL+1)
(ω4C2 L2 +ω2C(R2C−2L)+1) 2
Jetzt wird nach ω umgestellt und die Gleichung umgeformt:
r
q
1
1
√
ω = R2C−2
=
∗
2 −2CL
R2 C
CL
1− 2L
Umstellen der Kreisdämpfungsgleichung und einsetzen.
dr =
1
Qr
=
R
ωr L
=
R
√1 ∗L
CL
Für ω ergibt sich ω =
=
√1
CL
√
R∗
√ C
L
1
∗q
1− 12 dr2
.
≈ 1 + 2x für x 1, ergibt sich für ω:
2 2 2
d
d
1
r
r
ω ≈ √CL 1 + 4 in unserem Fall ωLmax ≈ ωr 1 + 2
= ωr 1 + 2Q1 r
Für die Näherung
1 Der
√1
1−x
Herleitungsweg für den Kondensator entspricht dem der Spule.
1
−ω2CL
jωRC+ω2CL+1
3.1.4. Vertauschen der Bauteile
Um die Spannung der Spule und des Kondensators gegen Masse messen zu können.
3.1.5. Bedeutung des Kondensators CK
Dieser Kondensator wird vor den Paralellschwingkreis geschaltet, um den Strom konstant zu halten.
3.1.6. Einfluß der äußeren Schaltung
Durch den Widerstand wird der Schwingkreis gedämpft. Bei einem Reihenschwingkreis sinkt die Spannung und die Güte. Das bedeutet, daß sich die Bandbreite und die Resonanzfrequenz erhöht. Im Paralellschwingkreis sinkt die Stromstärke im Schwingkreis, die Güte wird kleiner, und die Bandbreite steigt.
3.1.7. U=konst., I=konst.
Beim Reihenschwingkreis muß die Spannung konstant sein, um die Resonanzfrequenz am Strommaximum
bestimmen zu können. Beim Paralellschwingkreis muß der Strom konstant gehalten werden, um bei maximaler Spannung die Resonanzfrequenz zu bestimmen.
3.1.8. Güte der Spule = Güte des Schwingkreises
Die Güte des Schwingkreises berechnet sich: Q = QL + QC . Die Kondensatorgüte ergibt sich aus der
Formel QC = ωR1rC , die Spulengüte aus QL = ωL
Rr . Das heißt der Anteil der Kondensatorgüte ist sehr viel
kleiner als der der Spule.
3.2. Versuchsaufgaben
Die einzelnen Bauelemente weisen folgende Eigenschaften auf:
• Spule:
L=15.42mH, RLR =34.85Ω
• Kondensator:
C=219nF
3.2.1. Berechnung der Resonanzfrequenz
f=
1
√
2π LC
=
1
√
2π 15.42mH∗219nF
= 2738.8Hz
3.2.2. Berechnung der Spulengüte
QL =
2π∗ f ∗L
RLR
=
2π∗2738.8Hz∗0.01542H
34.85Ω
= 7.6
2
3.2.3. Berechnung der Kreisgüte, 45o Frequenzen, und der Bandbreiten für Rd =0Ω, 50Ω, 100Ω
Kreisgüte:
45o Frequenzen:
f±45o =
Kreisgüte
7.6
3.13
1.97
Rr
± 2L
q
Qr = ωL
R
r
Rr 2
1
+ LC
2L
B = f+45o − f−45o und Brel =
absolute und relative Bandbreite:
Rd in Ω
0
50
100
1
2π
f−45o in Hz
2912.8
2515.2
2304.2
f+45o in Hz
3093
3392.8
3703.4
Bandbreite
180.2
877.6
1339.2
rel. Bandbreite
0.066
0.32
0.51
Tabelle 1: Kreisgüte, 45o Frquenzen, Bandbreiten
3.2.4. Resonanzspannung ULr und UCr für Rd =0Ω, 50Ω, 100Ω
Es gilt: UCr = ULr ≈ QrU damit ergeben sich für Rd =0Ω, 50Ω und 100Ω: 760mV, 313mV und 197mV
3.2.5. Messung der Resonanzfrequenz
Die Messung ergab bei uns f ≈ 2, 8 kHz.
3.2.6. Messen von UL und UC am Reihenschwingkreis für Rd 0Ω, 50Ω und 100Ω
f in kHz
0.5
1.0
1.5
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.5
4.0
4.5
Rd =0Ω
UL in mV UC in mV
7
100
20
100
45
150
100
200
200
273
310
400
560
620
720
680
530
450
250
150
200
80
150
50
Rd =50Ω
UL in mV UC in mV
5
100
20
120
40
140
100
200
150
230
210
270
280
310
310
290
300
250
220
130
180
80
150
60
Rd =100Ω
UL in mV UC in mV
5
100
20
120
40
130
90
160
120
180
160
210
210
230
200
190
200
170
180
110
160
74
140
50
Tabelle 2: Spannung am Reihenschwingkreis (Abbildungen 1, 2, 3)
3
B
fr
800
Spannung in mV
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
Frequenz in kHz
U Spule in mV
U Kondensator in mV
Abbildung 1: UL un UC für Rd =0Ω
3.2.7. Kreisgüten der gemessenen Verläufe
QrC = UCmax
mit U=100mV
U
Rd =0Ω UCmax =680mV QrC =6.8
Rd =50Ω UCmax =310mV QrC =3.1
Rd =100Ω UCmax =230mV QrC =2.3
QrL = ULmax
U mit U=100mV
Rd =0Ω ULmax =720mV QrL =7.2
Rd =50Ω ULmax =310mV QrL =3.1
Rd =100Ω ULmax =210mV QrL =2.1
3.2.8. Verlustleistung des Kondensators
Zur Berchnung der Verlustleistung wird die Gleichung dC = dr − dL =
1
1
dC = 7.2
− 7.6
= 0.007.
1
Qr
−
1
QL
verwendet. Also ist
3.2.9. Ermittlung der jeweiligen Bandbreiten
Die Bandbreite wird berechnet mit U3dB =
Rd in Ω
0
50
100
UCr in mV
680
310
230
√1
2
U3dB in mV
480.8
219.2
162.6
∗Ur und B =
B in Hz
500
800
1100
fr
Qr .
ULr in mV
720
310
210
Tabelle 3: Bandbreiten bei 3dB-Abfall
4
U3dB in mV
509.1
219.2
148.5
B in Hz
550
1100
2050
800
Spannung in mV
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
Frequenz in kHz
U Spule für 0 Ohm
U Spule für 50 Ohm
U Spule für 100 Ohm
Abbildung 2: UL für alle Rd
3.2.10 Spannungsmessung am Paralellschwingkreis bei 1 Volt Generatorspannung
f in kHz
U in mV
1
0.2
1.5
0.3
2
0.6
2.2
0.8
2.4
1.3
2.6
2.4
2.8
3.1
3
2.0
3.5
1.0
4
0.8
Tabelle 4: Spannung am Paralellschwingkreis (Abbildung 4)
3.2.11. Dämpfungswiderstand am Paralellschwingkreis
Der Dämpfungswiderstand beträgt ≈ 2 kΩ.
3.2.12. Bandbreite, Kreisgüte des Paralellschwingkreises
RL
34.85Ω
B = 2πL
= 2π∗0.01542H
= 359.9Hz
Daraus ergibt sich für die Güte: Qr =
fr
B
=
2738.8Hz
359.9Hz
= 7.6
5
4.5
0.7
800
Spannung in mV
600
400
200
0
0
1
2
3
4
5
Frequenz in kHz
U Kondensator für 0 Ohm
U Kondensator für 50 Ohm
U Kondensator für 100 Ohm
Abbildung 3: UC für alle Rd
4. Versuchsauswertung
4.1. Messwerte vs theoretische Erwartung
Die gemessenen Werte entsprechen im allgemeinen den Erwartungen. Natürlich sind Messfehler und Ungenauigkeiten der Messgeräte nicht auszuschließen. Um bessere Kurvenverläufe zu erreichen hätte man in
kleineren Intervallen messen müssen.
4.2. Wertevergleich
Leider weichen die gemessenen Werte von den erechneten teilweise stark ab, wobei die Tendenz trotzdem
noch klar erkennbar ist. Der Hauptgrund dafür ist sicherlich die ungenaue Messung. Leider waren genaue
Feineinstellungen nur schwer möglich. Die gemessenen Werte liegen mal über, mal unter den Errechneten.
Die Fehler pflanzen sich natürlich mit jeder weiteren Rechnung fort. Weiterhin gelten die Punkte aus 4.1.
6
4
Spannung in mV
3
2
1
0
1
2
3
4
Frequenz in kHz
Spannung in mV
Abbildung 4: Spannungkurve am Paralellschwingkreis
7