File - Kluge Schule

Übungen
I
GEOMETRIE
Nützliche Details
sin0'=
cos0" =
0
sin 30o = 0,5
sin
45" = +tlî
sin
ó0' = +f3
90' =
sin
cos 3Oo = +r/3
cos45o = +rt7
tan 90o =
cosó0" = 0,5
cos90'=
1
270' = -1
1
*
tan 180' = 0
tan 135": -1
0
cos 180' = -1
cos270" = 0
sin 180" = 0
sin
tan0" = 0
tan45" =
1
tan225" = 1
tan270" =*
Wann sind diese Zusammenhänge nützlich?
Mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens kann in einem rechtwinkligen Dreieck
z. B. aus
zwei bekannten Seiten ein
Winkel berechnet werden oder aus einer bekannten Seite und einem angegebenen Winkel eine weitere Seite be-
stimmt werden.
Aufgaben zu den Grundfertigkeiten
1
Berechne die gesuchten Angaben. Fertige vor dem Rechnen eine Skizze des Dreiecks an
gegeben: 13 = 90', b = 4cm, a = 2,8 cm, gesucht: o
a.
b.
c.
2
gegeben: y = 90", 13: 65" , b = 8 cm, gesucht: a
gegeben:
90", [3 = 49", a = 3,9 cm, gesucht: b
a:
Berechne die gesuchten Größen
-
runde auf eine Stelle nach dem Komma
Zur Kontrolle ist das Endergebnis angegeben!
ZIEL!
5cm
5ÏARrI
v
= 3,0cm
v
o
o
4cm
3
4,3 cm
Eine 2,40m lange Leiterwird an eine Hauswand gestellt. Der Stellwinkel soll aus Sicherheitsgründen nicht
größer als 50" sein. Kann die Leiter an die obere Kante des Fensters gestellt werden, die sich in 2 m Höhe
befindet?
4
Aus Sicherheitsgründen sollte die Steigung einer Tribüne nie über ó0% liegen. Welches ist also der größte
Steigungswinkel, der eingebaut werden darf? B0% Steigung bedeutet:Auf 100m Länge wird eine Höhe von
80 m überwunden.
5
ln dem rechts dargestellten gleichschenkligen Trapez sind die Schenkel 5cm lang
und der Basiswinkel ø ist
45'
2cm
5
groß.
Wie hoch ist das Trapez und wie lang ist die Basis a?
AX
(nicht maßstabsgetreu)
GEOMETRIE
ó
7
I
Übungen
Verbindet man in einem regelmäßigen Achteck die jeweiligen Ecken mit dem Mittelpunkt, so wird die Fläche
des Achiecks in acht gleichschenklige Dreiecke aufgeteilt. Bestimme den Umfang des Achtecks, wenn die
Schenkellängen s der gleichschenkligen Dreiecke jeweils 8cm betragen.
Beweise, dass gilt:tan
=ffi#f
Nutze dabei dein wissen, dass sin
:
ifrïåiH:'
und cos
:
#ffi
I
Eine Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den Seitenlängen a:10cm und b= 6cm sowie die
Höhe h = 4cm. Der Fußpunkt der Höhe liegt über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Berechne die Länge
einer Kante s und den Winkel Ezwischen Kanie und Grundfläche.
Welche Werte kann E in einer solchen Pyramide annehmen, damit noch eine Pyramide entsteht?
9*
Ein rechtwinkliges Dreieck hat den Umfang 50cm. Einerseiner lnnenwinkel beträgt
30". Bestimme alle Sei-
ten und Winkel, fertige eine Zeichnung des Dreiecks an.
1O
Ein Dreieck wird aus zwei Radien eines Kreises und der Verbindung ihrer Endpunkte gebildet. Berechne den
Flächeninhalt in Abhängigkeit vom Winkel c zwischen den Radien.
11.
Will man die Höhe eines Gebäudes bestimmen, dem man sich
nur bis auf einen gewissen Abstand nähern kann, so geht man
tr
oft folgendermaßen vor: Man bestimmt den Winkel, aus dem
die Spitze des Gebäudes erscheint, an zwei Standorten. Der
Abstand zwischen den Messpunkten ist bekannt. Die Skizze
zeigt das Ergebnis einer solchen Messung. Wie hoch ist das
8"
40
15m
Gebäude?
7.2 Sinus- und Kosinussatz
Überblick
Mit den bisher behandelten trigonometrischen Zusammenhängen konnten nur Problemstellungen mit rechtwinkligen Dreiecken gelöst werden. Es gibt allerdings auch Beziehungen, die für allgemeine Dreiecke genutzt werden
können.
Sinussatz
ln jedem allgemeinen Dreieck gilt:
L
Die Verhältnisse der Seitenlängen zum Sinus des jeweils gegenüberliegenden Winkels sind gleich.
abc
b
A
sin
B
c
sin
/3
sin y
GEOMETRIE
7
I
Lösungen
Trigonometrie
7.1 Sinus, Kosinus und Tangens in rechtwinkligen Dreiecken
Aufgaben zu den Grundfertigkeiten
1
a. a = 44,43"
2
a. x= sin35".Scm
+
y:
c. z:
=
cos55o.x
y=1,7cm
tana:
ffi -
b.
+
14
b.
+
a = 3,73 cm
x=2,9cm
c.
b = 2,94cm
d.
u:*ãr" =
u=7,5cm
e. þ= 90'- 35o
cm)z
>
13= 55"
cm
V:-4.3
+ Y::JCm
ân l1
z = 4,3cm
oder
3
a:23";
t=## + z=4,3cm
Für die Höhe x der oberen Leiterkante gilt: x
sich
:
2,40m'
sin o, für den maximalen Stellwinkel
50" ergibt
x: 1,8 m. Die Leiter liegt also unterhalb der Fensterkante an. Bei Anlegen an der Fensterkante
ergäbe sich ein Winkel
a=
56,4", der größer als der maximal zulässige Winkel ist.
ffi * a: 31": Der Steigungswinkel der Tribüne darf maximal 31 " groß sein.
5 Berechnung der Höhe h: sin45o = fr * h = 3,5cm
Berechnung der dritten Dreiecksseite x: cos 45 o = ffi + x = 3,5 cm
4
tan o =
Basisa:
6
a:2cm+2'x + a:9cm
Der lnnenwinkel o jedes der Dreiecke beträgt 3ó0" : B = 45"
Für die Strecke x (halbe Außenkante) gilt:
x=s.sin(f).
+ x :3,0ó cm
Der Umfang des Achtecks beträgt 1ó .x, also ungefähr 49 cm
7
Für Sinus, Kosinus und Tangens gilt: tan =
.
Sin
tan = cos :
Beziehungen
Gegenkathete Hypotenuse Gegenkathete
Ankathete = Hypotenuse Ankathete
Ankathete
F
8
S. f insetzen der gegebenen
Gegenkathete
Hypotenuse
poten,ise
Strecke x zwischen dem Fuß punkt der Höhe und einer Ecke der Grundfläche: x =
Kante s: s = x2+h2
f
Gr . (t)'
Winkel Ezwischen Kante und Grundfläche: sin E:
Einsetzen der Werte:
5,B3cm; s = 7,07 cm; E= 34,46o. Damit noch eine Pyramide entsteht, muss E
größer als 0" und kleiner als 90o sein.
x:
Lösungen
9
I
GEOMETRIE
ß:30";a+ b+c:50cm
y:90" -a-[3=60"
Gegeben:0=90",
Es
gilt:
(l)
sin30'=2=+
+ ø:|a
(ll) sinó0'=3=+
-
"=$u
Setzt man (l) und (ll) in die Umfangsgleichung ein, so erhält man a =
und damitb
=t'þcm = 1o,57cm und
Höhe des Dreiecks: h =
11
1. Lösungsmöglichkeit ohne Sinussatz:
(l)
tan4Oo
(ll) tan28'
=ffi.r
= 21,13cm,
= tB,30cm.
sino, Flächeninhalt: A = |. r2 . sina
1O
r.
"
ffi.r
12
=! *
:,¿f^ ^:#æ
+ V+15m). tan28"
Einsetzen von (l) in (ll) und Auflösen nach h ergibt
, 15m.lan?8"
+
h=-ffi
'
tan
tr
h
28"
h=21,77m
40"
X
40'
2. Lösungsmöglichkeit mit Sinussatz:
Uber die Winkelsumme im Dreieck werden die weiteren Winkel in der Zeichnung bestimmt.
Danngilt:#þ=#*=
sin40o
=
j *
h=y.sin40".EinsetzenderZahlenwerteergibth =21,77m.
7.2 Sinus- und Kosinussatz
Aufgaben zu den Grundfertigkeiten
r ry=-# + y:42,4o
Aufgaben zum Tra¡n¡eren
2 a. c':a'+b2-za.b.cosy+ c:3,7m
g
Person A und B stehen 3,7 m voneinander entfernt!
,ac
b.
+
"*-: ñ
b2 =
a' * c' - Za . c. cosB
a,=
32,2" P= 180" - a-
+
cosp =
";
Y= 67,8"
tr-:'
Einsetzen der Zahlenwerte ergibt: [3= 38,9'
4
b: c = 4cm gegeben, die Basislänge a
ist gesucht. Der Winkel a entspricht einem Neuntel des Vollkreises: c =
ry: : 40". Da das Dreieck
gleichschenklig ist, gilt für die Basiswinkel 13= V:1'glftlC = 70".
Von den neun gleichseitigen Dreiecken sind die Schenkellängen
Berechnungvon a mitdem
Sinussatz:"*¿=#
-
a:2,74cm;Umfang u=9.a; u=24,63cm
Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck
-.1
I
Satz des Pythagoras
Flächensätze
a2 +b2 = c2
Kathetensätze:
des Dreiecks.
c.p
b2 = c.e
a2
=
Höhensatz:
A
)
Im DrachenviereckABCD mit der Symmetrieachse AC und
dem Diagonalenschnittpt'nkt M gilt:
Þ= ô= 90"; DC= 9cm; MC=7cm
Fertige eine Skizze an, berechne die Längen AC-, BD und AB
und konstruiere das Drachenviereck.
3
Ein Würfel hat 6 cm Kantenlänge.
h2=p.g
B
c=7 cm; a=4cm; T=90';
b=xcmi q=ycm
4'+x'= /'
Satz des Pythagoras:
x= \[72 - 4z
x="'ß3 =5,74
a) Berechne die Länge e seiner Raumdiagonalen.
H
b) Es entstehen Quader, wenn
b = 5,74 cm
Ergebnis:
Kathetensatz:
5,74'z=7
Y = 4,7r
Ergebnis
9=
In einem rechtwinkligen Dreieck mt!-L = 90' sind die Höhe
h,= 4,32 cm und die Kathetenlänge AC = 5,83 cm gegeben.
Berechne die anderen Seitenlängen und den Flächeninhalt
.'Í
4,77 cm
[AE] und [BF] um x cÍr v€r-
kürzt. Für welche
Belegung
Raumdiagonale
x
wird
die
von
des Quaders 2./30 cm lang?
Gleichschenkliges Dreieck
Berechnung der Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck
4
c=6cm; a=9cm; a=b; h=xcm
Die Punkte
b)
Teildreieck AMC:
x2+32-92
x=tly4
A
3cm c 3cm
B
c)
x=
8,49
Ergebnis: h = 8,49 cm
5
Sonderfall: gleichseitiges Dreieck
¡=l{t
o=ï.,tt
B (xe
lyr)
c)
Ye- Y¡
A (xol yo)
X"-X^
Parallelen zu den Achsen:
gF = (yr
AF = (x, - xo)
LE
-
yA) LE
beliebige Strecke:
+
(yu
-
yo)'z LE
Mit A (-211) und B (al-3) folgt für AB:
AB= (4- (-2))' + (-3
AB = {52
LE=7,2ILE
l,
BX
B (312), C (213) und D (1 l2) bilden
ABCD in ein Koordinaten-
Beschreibe die besondere Lage des Drachenvierecks im
Koordinatensystem und berechne seinen Flächeninhalt.
Berechne die Seitenlängen des Vierecks ABCD'
verlängert man gleichzeitig die Seite [BC] von B um x cm,
so entstehen neue rechtwinklige Dreiecke A'B"C.
Zetchne das Dreieck ArBrC für x = 2 in das Koordinatensystem zu a) ein.
Für welche Belegung von x wird die Hypotenusenlänge
AF,
6
-x
ó
mjnimal? Berechne
ÃEn,,n.
F
X
AB=
6
A
GegebenistdasDreieckABCmitA (-6 l -4,5),8 (3,5 l -0,5)
und C (211,5).
a) Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem und
zeige durch Rechnung, dass es rechtwinklig ist.
b) Verkürzt man die Seite [AC] von A aus um 2x cm und
Streckenlängen im Koordinatensystem
v
6
system.
im rechtwinkligen
9cm
A(21-l),
das Drachenviereck ABCD.
a) Zeíchne das Drachenviereck
Satz des Plthagoras
9cm
U
man die Seiten [AB] und [DC]
des Würfels um x cm verlän- xE
gert und gleichzeitig die Seiten
-
I
LE
Gegeben ist eine Schar von Dreiecken ABC,.
Esgilt:A(-3lo); n $l-2); C.(2ly)
a) Zeichne die Dreiecke ABC, für y = 2 wd
ABC, für y =
5
in ein Koordinatensystem ein.
b) Ermittle AQ und BÇ in Abhängigkeit von y.
c) Ein Dreieck ABC. der Schar ist gleichschenklig mit der
Basis [AB]. BerecÉne den zugehörigen Wert für y. Konstruiere das Dreieck.
d) Zeige, dass das Dreieck ABC, gleichschenklig-rechtwinklig ist.
Raumgeometrie
Schrägbild
im Schrägbild erscheinen alle au Zeichenebene parallel verlaufenden Strecken,
Flächen und Winkel in wahrer Größe.
Strecken, die senkrecht zur Zeichenebene
verlaufen, werden um den Winkel r¡ ver-
15
I
Berechne in der links unten abgebildeten Pyramide:
a) die Länge der Strecke [AS],
b) die Länge der Strecke [ES] mit Hilfe des Dreiecks ECS,
c) den Flächeninhalt der Seitenfläche ABS.
2
Das RechteckABCD ist Grundfläche der Pyramide ABCDS.
Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D.
zerrt und den Faktor q verkürzt dargestellt,
z.B.
Verzerrungswinkel r¡ = 45',
Verkürzungslaktor q = 9,5.
Schrägbild der Pyramide ABCDS
Es gilt: AB = BC = 3 cm; MS = 3,5 cm;
r¡ = 45'; g = 0,5; Schrägbiidachse DC
Esgilt:ÃE=5ð-; Ee =3cm; DS=4cm
a) Zeichne ein Schrägbild dieser Pyramide
(q = i; o = 60o; CD ist Schrägbildachse).
b) Bèreðhne die Längen der Strecken [AS] und [BS].
c)
3
Berechne im Heft die fehlenden Größen. Runde alle Werte
auf eine Stelle nach dem Komma'
a
A
b
h
d
4
Fläche in
Fläche in
verzerrter
wahrer
Größe
Größe
rnd
lnd
31ïì,
en-
c)
3cm
2cm
4cm
3cm
4cm
AB
E
h
2,5 cm
4,7 cm
5cm
7cm
A
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der markierten Dreiecke (Maße in cm).
90'
b)
a)
c)
q
tl
C
D,
),5)
b)
cb
S
en-
im
rlt.
a)
e
Bo
Ao
len
Berechne die Höhe der Seitenfläche BCS.
d)
Winkels SEM bezeichnet
man als Neigungswinkel zwischen der
Seitenfläche BCS und der Grundfläche, das
Maß cr des Winkels MAS als NeigungswinDas Maß
des
kel der Seitenkante [AS] zur Grundfläche.
nge
Berechnungen in der Pyramide ABCDS
Länge ES
im Dreieck MES:
ES={ME2+MS'z
Es=
-5
(l'z¡'
+ 3,52 cm= 3,8 cm
Länge AS im Dreieck AMS:
5
Die Abbildu ng zeigt eine Pyramide.
a) Berechne die Inhalte der markierten Flächen'
b) Berechne die Längen der rot
markierten Seitenkanten der
oberen kleinen Pyramide.
AS = trAM'z+ MSZ
der
AS=
,tC)'*
E
o
LO
Ir,tS'
)nscm
:ht-
cm
ztr
I
zu Seite 14
Flächensätze
im
C
rechtwinkligen
Dreieck
AD =xcm
ÃB =ycm
x =\þßy=/,ty
ÀD = 3,91 .*
5,83
BC =xcm
B
z
.y
5,832 = 3,91
ÃB = g,69.a = j.s,s: cm.6,44 cm
={1,6s,-s,By
A = 18,78 cm2
BC = 6,44 cm
)
c
A
c
z
MD= ¡ çr¡
x={92 az
MD= 5,66.-
y .7 = 5,66,
AM-= 4,58 cm
ÃE=26¡¡
AC=AM+MC
z=
AM=ycm
tljjç
¡ a,5s,
Æ=7,2Bcm
z
B
= I 1,58 cm
SD=Z.MD
=
19,32 cm
Du beginnst mit dem Dreieck MCD,
um das Drachenviereck zu konstruieren.
3 a)
sD=d={6cmt;-l6imF
b) ÀB' =(6+x)cm
ÃE =(6-x)cm
= 8,49 cm
Für die Maßzahlen silt:
dr=(6+xy+62
e2
= (8,49 cm)z + (6 cm)2
= 10,40 cm
e'z
e
= (6 + x)2 + 6z + (6 - x)2
Q,tm)'=lo8+2xj
6=x2 x=2,45(vx=_2,45)
4 a)
b) Die.Diagonalen
ordinatenachsen.
des Drachenvierecks verlaufen parallel
zu den Ko_
Ãe=y.-yo
ac=(¡-(-l))LE=4LE
D
I
ED=xs-xo
sD=(: - t)LE=2LE
A=+.Ãc.sD=¿F,B
c)
o
Da die Diagonalen parallel zu den
Koordinatenachsen verlaufen,
besitzr der Schnirtpunkt_der Diagonalen
s¡ù ¡v¡rLLçrP
der Strecke
[BDJ die Koordináten ¡ul tilii.-""-'-¡!¡r
"iñj'riör.ru
Mc=y.-y"
tutc=(: -z)LE=tLE
BC=
5
b)
v
1o
\P
ìY
^
I
ÃM=y"-y^
erur=(z_(_l))LE=3LE
LE ÃB- = úf
a)Ac=@LE=\n*LE
2)2
+
1z
LE =
t,4t
= l0
LF.
AB
{
r),
.y
)'+ -0,5 = ",lToøB
Eõ=
-
LE = 3,16 LE
LE
rn = to,3 LE
3,5)2 +
- o,s))'
LE = ",16,2s LE
=2,5LF;
F¡!þflaßzahlen
gilt nach dem Sarz des p¡hagoras:
1706,25'z = ./100,
106,25 = 106,25 (w) ^lø8,
rechtwinklig
i
c) Ã;BJ= t(10 -
Ã"4*.
2x),
+
+(2,5+x)2lLE2;44=úF=sx+ 1062ELE=r/s(x_15¡1a5
¡6,
= r/4FrE = 6,71 LEfürx = 3,5
Lösungen zu,,Wiederholung" /,,Vorbereitung Abschlussprüfung"
ua)
b)
v
Aq
=
Bq, =
c)
{t-l_:t4ly
{L-f
+ (y
-¡P rn = tps + ¡ rn
- (-ÐF LE =
AC3 = BC3
'@ +,¡ rn=
+4y+13L8
25+y'¿=y)+4y+13
d)
AC3
Y=3
t'LE = {34 LE
- (-3))'+ (-2 - 0 LE = {68 LE
= øCu= "[ZS +
AB=
B
Für die Maßzahlen gilt: ¡6gz = "'{l[z
68 = 68 (w) + rechtwinkiig
zu Seite
l5
Raumgeometrie
b)
ra)
j rc¡'+ rvts'
AS=
+.
^l9iey
2a)
=
!AS'
-
çBCr
^'Eia-f9
B
A
4 a) r
= 5 cm + 2.
{lI
2
AB- ES
a)
b)
c)
=5cm
Eß=ú2+5'?cm
a
3cm
3,6 cm
3cm
b
2cm
3cm
4cm
=7,07 cm
h
4cm
2,5 cm
4,9 cm
ac)
h=CS=ls\4c
d
3,6 cm
4,7 cm
5cm
e
5,4 cm
5,3 cm
7cm
=6,40cm
c
4,5 cm
3,9 cm
6,3 cm
A _1
-2 5 cm.
cm = 19,42 cm
b) u = 3 cm + {ã cm + {30 cm = 13,06 cm
A _1
-2
3
6,76 cm = 16,90 cm2
cm ' {21 cm = 6,87 cm2
rEõcm + 2. "'lA cm =
18,73 cm
A _1
-2 r/50 cm.r/215 cm = 16,39 cmz
d) u = ^ß cm + 2. 3,84 cm =
13,51 cm
A _l
-2 {34 cm .r/625 cm =7,29
c)
5 a)
u=
^829fr29
-lcm-8cm''rot--'A*t-- 2,25 cm.2,25 cm = 5,06 cm2
cm = 3,18 cm
Länge der roten Seitenkante:
Srot
1 y: Temperatur in'F; x: Temperatur in
cm2
b) Länge der Diagonalen der roten Grundfläche:
cm' 6 cm = 36 cmz
_6cm. a =2-25cm
40,", = 6
â,o,
zu Seite 150
tþ42
_1 3cm.3,8cm=5,7cm
-2
J
AS=\ß?+4'zcm
)------ --
I
Aoou,
cm = 3,8 cm
b)
D
¡
c)
t-
E5 =
+ 3,52 cm = 4,1 cm
+4y+13LE
=
(l.l,ts¡'
+ 32 cm = 3,40 cm
oC
g
Aufgaben ohne
^^
y=îx+r¿
Hilfsmittel
-136=lx+32
t =*
tu9t
-93,3=x
2 2.1 Bereinem Säulendiagramm
2.2
Die Temperatur beträgt
-93,3'C'
z. B. beträgt die Höhe der gelben Säule das 64-fache der grünen Säule. Zeichnet man die grüne Säule 1 cm hoch, hat die gelbe Säule eine Höhe von 64 cm. Dies ist auf einem DIN A4
Blait gar nicht darstellbar. Zeichnet man die grüne Sãule kürzer, wird die Darstellung sehr ungenau.
Beispiel: Kantenlãnge grüner Würfel I cm, Kantenlänge roter Würfel 2 cm
Somlt besitzt der grüne Wtirfel ein Volumen von I cm3, der rote Würfel ein Volumen von (2 cm)3 = B cm3.
Dies entspricht einer Personenanzahlvon 8000 zwischen I und 16 fahren.
SATZ DES PYTHAGORAS
@
B¡st clu f¡t?
L.
Berechne die Länge der roten Seite'
a)
c)
b)
C
C
a \\
E
n3
ll
D
2.
A
c=60cm
lJ¡
C,S
c
õ
II
3
c
B
E
\
r
d)
a=52cu
//
q=
B
53 nr
Berechne die Höhe und bestimme den Flächeninhalt für
Basis g='12 cm;
a) ein gleichschenkliges Dreieck mit Schenkellänge s = 85 cm und
b) ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 26 cm'
3. Berechne die Längen der rot eingezeichneten Strecken'
E
E
d
cl
E
cç
3 cni
2cm
4.
c)
b)
a)
O
ùs
3cm
werden, die in f, der Höhe beEin 120 m hoher sendemast soll durch vier stahlseile abgesichert
verankert werden'
festigt sind. Die Seile sollen 60 m vom Mast entfernt im Boden
Wie viel m Seil werden benötigt?
(Das Durchhängen der Seite soll unberücksichtigt bleiben')
5. An einer Straße wird ein 60 m langer Lärmschutzwall geplant, dessen Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Trapez sein
so11.
a) Berechne die Länge s einer Böschung'
b) Beide Böschungen sollen bepflanztwer-
ú
I
den. Das Bepflanzen kostet 36 € pro m2
zusätzlich
19
7o Mehrwertsteuer' Be-
rechne die Kosten.
6.
die übrigen der sechs Längen a' b'
Ein Dreieck ABC hat einen rechten Winkel bei C. Berechne
c,p,qundh'KontrollieredurchZeichnlng.BerechneauchdenFlächeninhaltdesDreiecks.
a) b=6cml
Q={srn
b) P=3cm; q=4cm
ein dazu flächenist ein Rechteck mit den Seitenlängen 7 cm und 5 cm. Konstruiere
Höhensatzes]'
des
inhãltsgteiches euadrat mithilfe des Kathetensatzes fmithilfe
7. Gegeben
B¡st clu f¡t?
seite 42
- lösungen
12.
7.{4 F\2r- _ 28+7\2 _
dl'4-\2i , _ (.t-V2)(4+V2)
to 2
al- i= lt'-3==lr,q
v-ì v3 vl rr
nl -L = o:VI -= t'.1ã --u'
*'
ru \t.\t ¿ = ¡rñ
c)
13. a)
t4
_¡*.Lr.T
-'2r'
=+f: fiir c>0 un<t c*b
10 - l"¿ r ,/Tõ
f)
= ,ì',1\,1 ',\t,',, - \Õ+\
--2vu-J!
" ++
rll-ts -rlT-1s.¡q\:*1rs.¡3J
") J,.
g=11ã iur z>0
+=+
Yz yz
yz
/izìT= :
x2+1--9
28r 7\2
=T--.*,.-".4&-
(Quaclrielen beicter Seiten)
|
l-l
x2=8
*=-V8
octer
x=V8
Die Probe zeigt:
b)
-16
und
y'l
1Ç{l= 3*
x2+l=9x2
1=8x2
I-
sind Lösungen der Wurzelgleichung, also I- =
t-16; 16l.
(Quadr.ieren beidcr Seiten)
|
l -*'
l,¡ì
-2
x=--L oder x=-l
V8
V8
Dje Probe zeigt: - { ist nicht Lösung der Wurzelgleichung.
" \8
cl x-{n-zx=l
¡- 1=1f tl -Zx
x2-2:x+l=1.7-2x
tr-l
l-tlt
|
l- = {tvsJ'}.
aÌso L
{QLmrlr'ìelcr beitlel Seitcn)
I l+2x
x2=16
x=-4
oder
x=4
Die Probe zeigt:
Seite 70
1. a) c=1ãz-uz=
2. a)
h={e
3. a)
d = Vl2
-4 ist nicht
t00cm
Lösung der Wurzelgleichung, also L =
b;
b=\Æ2+a2=zscrn
c¡
{4}.
a={t-l=zscm
a¡ r=1Gz--tz=zscm
1c:.2 ='7i cm; A= + = 2't't2cm2
b) h=åVt=13cm.15= 22,5cm; o=+ ß=16e.15cn2 -292,i2cm2
cmt
+ rzcrnP
e--./PiO;nP
b)
c)
d=
\,Ei't
e
Vãt;
=
o=
+ (3
=2. \D
cm= 2.8 cm
=2111 cm = 3,5 cm
cmt= 3\ãcm
(2 cnr)2- =,yØ.
1ftimlìlTcm/=
= 4,2 cm
cn = 4,7 cm
1To cm = 3,2 cm
!ãl;( tì;7 = /lì cm = 3.3 cm
4. t = 4 .,f(60 rnP;q . rn nF = 4 VGo mt
e=
+
(eñt
mPlj3¡6;y = 3,s .\E m = 4,e5 m
b) K= 2. s. 60 m. 36# . t,t9 = 25446€= 25400
5. a)
s=
= 4 . 30
.l[¡
m
=
432,67 m
=
433 m
1ftJo
ln
€.
E
o
Vì
3,50 m
3,00 m
10,00 m
3,50 m
266
Se¡te 70
6.
Es gibt teilweise mehrere Möglichkeiten, die fehlenden Größen mit dem Satz des Pythagoras, dem Kathetensatz oder
dem Höhensatz zu belechnen.
¿¡'qç=!=9sm
b) c=p+q=7cm
a=y'c.p=\f2Icm=4,6cm
P=c-q=5cm
a =',1c, - bz = 3 . V5 cm = 6.7 cm
h=
A=
7.
Vbriz
+ =+
2.,fi
cm= 5,3 cm
Vp.q 2.11
cm= 3,5 cm
b = Vc . q =
h=
= 2,.,15 cm = 4,5 cm
= e .,f 5 cm2 = 20,t2 cm2
Kathetensatz- Konstruktion
,
=
a.h
A= î
Höhensatz
-
=
c.h
1/3 cm2
î=7
= 12.t2cm2
Konstrukt¡on
G
H
q
il
q
p
C
O
q,
il
7cm=p
a
A
se¡te 116
1. Aist
ähnlich zu
7cm=p+q
B
H; Ahnlichkeitsfaktor
1
Aist ähnlich zu I; Ahnlichkeitsfaktor 2
B ist ähnlich zu E; Ähnlichkeitsfaktor j
B ist ähnlich zu F; Ähnlichkeitsfaktor J
E ist ähnlich zu
E,
ist ähnlich zu
B; Ähnlichkeitsfaktor
F ist ähnlich zu
B; Ähnlichkeitsfaktor f
F ist ähnlich zu
E; Ähnlichkeitsfaktor
H ist ähnlich
A;
Ähnlichkeitsfaktor
I;
Ahniichkeitsfaktor 2
zu
H ist ähnlich zu
2
I ist ähnlich zuA; Ähnlichkeitsfaktor
F: Ähnlichkeitsfakror J
I ist ähnlich zu H; Ähnlichkeitsfaktor
)
3. a) z(21-z); u=
3
b)
z(-tl-z); k=\
]
1
]
j