B-M_st_TH08 Wahrscheinlichkeit_mk

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Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
1
Der Würfel und die Münze sind in der Wahrscheinlichkeit wichtige Werkzeuge zum Arbeiten.
Der Würfel
Sehen wir uns doch mal einen Würfel an. Beim Spielen sagt man
oft: „Das ist ein klarer 4er-Würfel“, weil es scheint, als ob die 4 am
meisten vorkommt. Wie wahrscheinlich ist es aber wirklich, dass die
Zahl 4 kommt?
Wir beginnen mit einer kleinen Statistik, in der wir in 2er-Gruppen je 100mal würfeln.
Ereignis
Augenzahl 1
Augenzahl 2
Augenzahl 3
Augenzahl 4
Augenzahl 5
Augenzahl 6
Nun tragen wir die Ergebnisse aller 2er-Gruppen in einer Tabelle zusammen
Ereignis
Augenzahl 1
Augenzahl 2
Augenzahl 3
Augenzahl 4
Augenzahl 5
Augenzahl 6
Was sagt diese Statistik nun aus?
Wahrscheinlichkeit
2
Einfache Wahrscheinlichkeit
„Sicher“ und „unmöglich“ stellen im Leben Extremfälle dar und sind daher selten. Die meisten Ereignisse sind
möglich (wahrscheinlich), aber nicht unbedingt „sicher“ bzw. „unmöglich“.
Wir befassen uns in der Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem mit Fragen bezüglich des Eintreffens möglicher
Ereignisse.
Beispiel
Gruppenweise würfeln wir mit einem Würfel und erstellen eine Statistik. Jede Gruppe würfelt 100 mal
und wir tragen dann die gesamten Ergebnisse in der untenstehenden Tabelle ein.
Ereignis
Versuch
gewünschte Augenzahl
günstige Fälle g
mögliche Fälle m
relative Häufigkeit
6
grösser als 2
höchstens gleich 5
ungleich 4
Definition
Die mathematische Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen eines bestimmten Ereignissen stellen wir
folgendermassen dar:
Anzahl der günstigen Fälle
Wahrscheinlichkeit w =
oder als Formel
Anzahl der möglichen Fälle
Wir setzen dabei voraus, dass alle Fälle gleich möglich (gleich wahrscheinlich) sind.
Es gilt: für
w=1
w > 0.5
w = 0.5
w < 0.5
w=0
ist das Eintreffen des Ereignisses
„gewiss“
„wahrscheinlich“
„zweifelhaft“
„unwahrscheinlich“
„unmöglich“
Beispiel
Analog zu dem durchgeführten Versuch mit den Würfeln soll nun eine Tabelle mit der
mathematischen Wahrscheinlichkeit erstellt werden.
Ereignis
Theorie
gewünschte Augenzahl
günstige Fälle g
mögliche Fälle m
Wahrscheinlichkeit w
6
grösser als 2
höchstens gleich 5
ungleich 4
Wenn die Anzahl der Versuche genügend gross ist, weicht die relative Häufigkeit nur unwesentlich von
der mathematischen Wahrscheinlichkeit ab..
Definition (erweitert)
Für die Wahrscheinlichkeit des Nichteintreffens q eines Ereignisses gilt:
g
q = 1 – w
oder
q = 1–
m
Die Aussageform w + q = 1 ist allgemeingültig,
vorausgesetzt, die Ereignisse schliessen sich
gegenseitig aus.
Wahrscheinlichkeit
3
Einfache Wahrscheinlichkeiten bestimmen
1 a) Welche Wahrscheinlichkeit hat jeweils das
Ergebnis „5“ beim Drehen der unterschiedlichen
Räder?
(1)
(2)
(3)
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für eine
gerade Zahl?
(1)
(2)
(3)
2 a) Wie gross ist beim Roulette die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel auf ein rotes (hier
helleres) Feld fällt?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel
auf eine Zahl unter 10 fällt?
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel
auf eine Zahl fällt, die durch 3 teilbar ist?
d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel
auf eine Zahl fällt, in der die Ziffer 3 vorkommt?
3 Das Glücksrad wird einmal gedreht.
a) Schauen Sie sich die Zahlen genau an. Welche Wahrscheinlichkeit hat die Zahl 0?
b) Schauen Sie sich die Farben genau an. Welche Wahrscheinlichkeit hat
dunkelgrau?
Welche Wahrscheinlichkeit hat hellgrau?
4 Jana verspricht Regine, dass sie morgen Zeit für ein Minigolfspiel hat. Sie sagt: „Diesmal habe ich ganz
sicher Zeit, mit 150 %-iger Wahrscheinlichkeit.“ Warum ist diese Aussage mathematisch nicht richtig?
5 Liz, Merima und Sonja wollen mithilfe des Zufalls entscheiden, ob
sie Eis essen, ins Kino gehen oder eine Radtour machen. Wie
können sie dies mit den abgebildeten „Würfeln“ machen?
Der Körper links heisst Dodekaeder, auf Deutsch Zwölfflächner.
6 Nehmen Sie an, dass alle Tage des Jahres als mögliche Geburtstage gleich wahrscheinlich sind. Bestimmen
Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand an folgenden Tagen geboren ist:
a) am 12. Januar
b) im März
c) an einem Sonntag
Wahrscheinlichkeit
4
Übung 1: Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Hier sind verschiedene Zufallsgeräte abgebildet. Bestimmte Ergebnisse sollen mit ihnen erzielt werden.
Alle Primzahlen gewinnen.
Die Zahl „4“ gewinnt.
Alle geraden Zahlen gewinnen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P für ein günstiges Ereignis. Benutzen Sie dazu folgende Formel:
P (Ereignis) =
Anzahl der günstigen Ergebnisse
Anzahl der möglichen Ergebnisse
.
Beginnen Sie mit der obersten Aufgabe. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit als Bruch, als Dezimalzahl und
in Prozent. Hüpfen Sie dann zu der Aufgabe, bei der das passende Ergebnis steht. In der richtigen Reihenfolge
ergibt sich dann aus den Buchstaben hinter den Ergebnissen, rückwärts gelesen, ein Lösungswort.
a) Wie wahrscheinlich ist es, bei dem Wurf einer Münze die Seite mit der Zahl zu
werfen?
P (Ereignis) = 0 %
(R)
b) Ein Ikosaeder ist ein regelmäßiger Vielflächner mit 20 Seiten.
Mit den Zahlen 1 bis 20 versehen, kann man ihn als Würfel benutzen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl, die durch 5 teilbar ist, oben
liegt.
P (Ereignis) = 4 %
(L)
c) Drei grüne, zwei gelbe, eine rote und zwei blaue Kugeln befinden sich in einer
Urne. Wie wahrscheinlich ist es, beim ersten Zug eine blaue Kugel zu ziehen?
P (Ereignis) = 0,5
(E)
d) Wie wahrscheinlich ist es, beim Lotto aus den 49 mit Zahlen versehenen Kugeln
beim ersten Zug ein Vielfaches von 7 zu ziehen?
P (Ereignis) = 0,375
(T)
e) Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Tag 48 Stunden hat?
P (Ereignis) = 2
(O)
P (Ereignis) = 25 %
(T)
g) Wie wahrscheinlich ist es, an einem Montag oder an einem Mittwoch
Geburtstag zu haben?
P (Ereignis) = 0,2
(U)
h) Auf einer CD sind 25 Lieder. Wie wahrscheinlich ist es, dass das
Shuffle-Programm mit dem 5. Lied beginnt?
Info: Ein Shuffle-Programm spielt die Lieder in einer zufälligen Reihenfolge ab.
P (Ereignis) = 1
(E)
7
f)
In einer Lostrommel befinden sich 640 Lose. 400 davon sind Nieten.
Wie wahrscheinlich ist es, einen Gewinn zu ziehen, wenn man ein Los kauft?
Reihenfolge der Buchstaben der gelösten Aufgabe:
das Lösungswort lautet also
E
7
,
E .
Wahrscheinlichkeit
5
Übung 2: Augensummen – welche wählen Sie?
Partnerarbeit zu Zweit, Material: zwei Würfel
1
Die Punkte auf den Würfeln werden auch Augen genannt.
Notieren Sie alle Augensummen, die man mit zwei Würfeln würfeln kann.
2
Auf welche Augensumme würden Sie setzen, wenn Sie bei einem gleichzeitigen Wurf mit den zwei
abgebildeten Würfeln gewinnen möchten? Begründen Sie Ihre Wahl.
Ich würde auf die Augensumme
3
setzen, denn
Tragen Sie in diese Tabelle alle möglichen Augensummen ein und bestimmen Sie ihre
Wahrscheinlichkeiten als Bruch.
1+1
=2
3
3
4
a)
Würfeln Sie mit zwei Würfeln 36-mal. Zählen Sie die Augensummen zusammen und tragen Sie das
Ergebnis durch einen Strich in der Tabelle ein.
b)
Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Tabelle von Aufgabe 3. Treten Ihre Augensummen genauso häufig
wie dort auf? Warum ist das so? Was würde passieren, wenn Sie 360-mal würfeln würden? Diskutieren
Sie!
Augensumme
Häufigkeit
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit
6
Zusammengesetzte Wahrscheinlichkeit
Die Verknüpfung von Einzelwahrscheinlichkeiten sehen wir uns anhand eines Beispieles an. Voraussetzung ist,
dass die Ereignisse voneinander unabhängig sind.
Beispiel 1
Führen Sie mit einer Münze 4 Würfe aus.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass viermal hintereinander „Kopf“ zu liegen kommt?
Zur Lösung dieser Aufgabe sind verschiedene Wege möglich:
1. Wir erstellen ein Baumdiagramm:
Mögliche Fälle
Günstige Fälle
2.
Rechnen mit Einzelwahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit, dass
im 1. Wurf K:
im 2. Wurf K
im 3. Wurf K
im 4. Wurf K
Wahrscheinlichkeit für K und K und K und K:
Regel 1
Die Verknüpfung mit ___________ führt zu einer ____________________________
der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Wahrscheinlichkeit
7
Beispiel 2
Führen Sie mit einer Münze 4 Würfe aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal „Kopf“ nach
oben zu liegen kommt (d.h. K entweder im ersten oder im zweiten oder im dritten oder im vierten Wurf)?
Auch hier sind zwei Lösungswege möglich.
1. Baumdiagramm (siehe rote Lösung oben)
Mögliche Fälle
Günstige Fälle
2.
Rechnen mit Einzelwahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit, dass
KZZZ:
ZKZZ
ZZKZ
ZZZK
Wahrscheinlichkeit für KZZZ oder ZKZZ oder ZZKZ oder ZZZK
w=
Regel 2
Die Verknüpfung mit ___________ führt zu einer ____________________________
der Einzelwahrscheinlichkeiten.
Wahrscheinlichkeit
Abhängige, mehrstufige Ereignisse
Dieses Kapitel handelt von mehrstufigen Ereignissen, bei denen die Anzahl der
Auswahlmöglichkeiten abnimmt. Ein Beispiel wäre das Ziehen von Kugeln ohne Zurücklegen.
Beispiel
In einer Urne liegen 6 Kugeln, davon sind 2 weiss und 4 schwarz. Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit, in 2 Zügen ohne Zurücklegen beide weissen Kugeln zu ziehen?
Wahrscheinlichkeit für „weiss“ im 1. Zug
Wahrscheinlichkeit für „weiss“ im 2. Zug
Wahrscheinlichkeit für „weiss“ und „weiss“
Aufgabe
In einer Schachtel liegen 9 Farbstifte, nämlich 6 rote, 2 blaue und ein gelber. Es werden
nacheinander 2 Farbstifte gezogen und jeder gezogene Stift wird auf den Tisch gelegt.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass
1)
zweimal ein roter Stift gezogen wird?
..............................................................................
2)
zweimal ein blauer gezogen wird?
..............................................................................
3)
zuerst ein roter und nachher ein blauer
Farbstift gezogen wird?
..............................................................................
Sie einen roten und einen blauen Stift
in beliebiger Reihenfolge ziehen?
..............................................................................
5)
kein roter Stift gezogen wird?
..............................................................................
6)
kein gelber Stift gezogen wird?
..............................................................................
7)
Sie mindestens einen roten ziehen?
..............................................................................
8)
Sie entweder zwei rote Stifte ziehen
oder einen roten und einen blauen in
beliebiger Reihenfolge?
..............................................................................
4)
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Wahrscheinlichkeit
Übung 3: Mit Baumdiagrammen Wahrscheinlichkeit bestimmen
1 Sie drehen zweimal den Kreisel.
a) Zeichnen Sie das Baumdiagramm zu diesem Zufallsversuch.
b) Tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade ein.
c) Markieren Sie den Pfad für (schwarz, schwarz).
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (schwarz,
schwarz)? Benutzen Sie die Pfadregel.
d) Markieren Sie den Pfad für (weiss, grau). Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (weiss, grau)?
2 Der zweite Kreisel sieht anders aus. Dieser Kreisel wird zweimal
a)
b)
c)
d)
e)
gedreht.
Zeichnen Sie das Baumdiagramm zu diesem Zufallsversuch.
Achten Sie darauf, dass Sie für jede Farbe (schwarz, weiss, grau)
nur einen Ast zeichnen.
Tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade ein.
Überlegen Sie genau, wie Sie Zähler und Nenner des Bruches
wählen.
Tipp: Der Nenner nennt die gesamte Anzahl der Seiten, auf die der
Kreisel fallen kann. Der Zähler zählt die Anzahl der Felder einer
Farbe.
Markieren Sie den Pfad für (schwarz, schwarz). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis
(schwarz, schwarz)? Benutzen Sie die Pfadregel.
Markieren Sie den Pfad für (weiss, grau). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (weiss,
grau)?
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (weiss, schwarz)?
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (schwarz, weiss)?
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Wahrscheinlichkeit
Übung 4: Pralinendose und Ballwurfmaschine – so ein Zufall!
1
a)
b)
2
a)
b)
c)
d)
Eine Pralinendose ist mit zwölf Pralinen gefüllt. Vier von ihnen
sind in helle und acht in dunkle Folie gewickelt. Angelina nimmt
nacheinander drei Pralinen heraus. Um sich überraschen zu
lassen, schaut sie dabei nicht in die Dose hinein.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie nur helle
Pralinen erwischt. Ein Baumdiagramm kann dabei helfen.
Überlegen Sie genau, wie Sie Zähler und Nenner des Bruches
wählen, denn die Anzahl der Pralinen wird von Mal zu Mal
weniger!
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie zuerst eine
helle, dann eine dunkle und zum Schluss nochmal eine helle
Praline erwischt.
Eine Ballwurfmaschine auf einem Tennisplatz kann 75 Bälle
nacheinander werfen. Gefüllt ist sie mit 45 gelben und 30 weissen
Bällen. Sie wirft drei Bälle nacheinander.
Zeichnen Sie das Baumdiagramm zu diesem Zufallsversuch und
tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade ein.
Achtung: Die Anzahl der Bälle in der Maschine nimmt ab!
Markieren Sie den Pfad für (weiss, weiss, weiss). Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (weiss, weiss, weiss)?
Benutzen Sie die Pfadregel.
Markieren Sie den Pfad für (gelb, weiss, weiss). Wie gross ist die
Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (gelb, weiss, weiss)?
Rechnen Sie: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Maschine bei fünf Würfen nur gelbe Bälle wirft?
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Wahrscheinlichkeit
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Pfadregel im Baumdiagramm
Nehmen wir an, in einer Urne befinden sich 7 Kugeln, 4 sind blau, die restlichen 3 rot. Es werden
ohne Zurücklegen nacheinander 3 Kugel gezogen.
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kugeln blau sind?
• Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei Kugeln genau eine rote dabei ist?
Das Baudiagramm unten zeigt die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten, für diesen
dreistufigen Zufallsversuch:
B
R
B
B
R
R
B
B
R
B
R
R
B
R
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist
gleich dem Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm.
Diese Pfadregel wird angewandt, wenn man Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort UND verknüpft.
3 blaue Kugel soll gezogen werden:
Zuerst eine blaue und dann noch eine blaue und dann noch eine blaue.
2. Pfadregel (Additionsregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich der
Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Pfade (Produktregel).
Diese Pfadregel wird angewandt, wenn man Wahrscheinlichkeiten mit dem Wort ODER verknüpft.
Genau eine rote Kugel soll gezogen werden:
Entweder die Kugeln blau, blau, rot oder blau, rot, blau oder rot, blau, blau.
Wahrscheinlichkeit
Spielen mit der Wahrscheinlichkeit...
Mäxchen
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Wahrscheinlichkeit
Grosse Sprünge, kleine Sprünge
"Can't Stop" ist ein ähnliches Spiel, Sie finden es auch online zum Beispiel unter
http://www.brettspielwelt.de/Spiele/CantStop/
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