Brückenkurs Schulmathematik 8. Veranstaltung: Geometrie 4: Dreiecke 26. Mai 2011 1. Dreieckskonstruktionen, Kongruenzsätze 1. Aufgabe: Konstruieren Sie, falls möglich, ein passendes Dreieck ABC mit Zirkel und Lineal! Sind alle konstruierbaren Dreiecke kongruent? Formulieren Sie anhand Ihrer Erfahrungen Kongruenzsätze für Dreiecke! a. a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm b. a = 3 cm, b = 4 cm, γ = 30° c. a = 3 cm, b = 4 cm, α= 30° d. a = 3 cm, b = 4 cm, β=30° e. a = 5 cm, β=30°, γ = 45° f. a = 5 cm, α=30°, γ = 45° g. α=30°, β=105°, γ = 45° 2. Aufgabe: Denken Sie sich jeweils drei Größen eines Dreiecks aus, zu denen man kein Lösungsdreieck konstruieren kann, und zwar in den folgenden Kombinationen: a. drei Seiten b. zwei Seiten und ein Winkel c. eine Seite und zwei Winkel. Begründen Sie, warum es zu den Angaben kein entsprechendes Dreieck existiert. 2. Ähnlichkeit von Dreiecken 3. Aufgabe: Mit Ähnlichkeit und ähnlichen Figuren haben wir uns bereits beschäftigt. Daher wissen wir schon, dass zwei Dreiecke zueinander ähnlich sind, wenn es eine Ähnlichkeitsabbildung gibt, die das eine Dreieck dem anderen zuordnet. a. Zeichnen Sie zwei ähnliche Dreiecke! Was kann man über ihre Seiten und Winkel behaupten? b. Formulieren Sie anhand Ihrer Erfahrungen Ähnlichkeitssätze für Dreiecke! c. Vergleichen Sie diese Sätze mit den Kongruenzsätzen für Dreiecke? Was fällt Ihnen auf? 3. Satzgruppe des Pythagoras 6. Aufgabe: Formulieren Sie den Satz des Pythagoras! 7. Aufgabe: Für diesen Satz sind mehrere hundert Beweise bekannt. Ein klassischer Beweis, der oft in der Schule behandelt wird, arbeitet mit Flächenumwandlung. Rekapitulieren Sie diesen Beweis! 8. Aufgabe: Ein weiterer Beweis geht aus der Tatsache aus, dass bei der Errichtung der Höhe zur Hypotenuse insgesamt drei zueinander ähnliche Dreiecke entstehen. Zeigen Sie mithilfe dieser ähnlichen Dreiecke den Satz des Pythagoras! Welche anderen Zusammenhänge sind dabei als „Nebenprodukt“ bewiesen worden? 9. Aufgabe: Sind Ihnen weitere Beweise für den Satz des Pythagoras bekannt? Zeigen Sie diese! 10. Aufgabe: Der Höhensatz und die Kathetensätze können ebenfalls durch Flächenumwandlung bewiesen werden. Hinweis: Um diese durchzuführen brauchen Sie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks geschickt zu wählen. Zeigen Sie den Höhensatz und die Kathetensätze durch Flächenumwandlung! 11. Aufgabe: Zeigen Sie mithilfe des Höhensatzes, wie man ein beliebiges Rechteck in ein flächengleiches Quadrat umwandeln kann! 12. Aufgabe: Formulieren Sie die Umkehrung des Satzes! Wie könnte man die Gültigkeit dieser Aussage zeigen? 13. Aufgabe: Der Satz des Pythagoras lässt sich auf ähnliche Figuren über die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks verallgemeinern. Dies bedeutet, dass es für den Flächeninhalt ähnlicher Figuren, die über die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks errichtet werden, gilt, dass die Summe der Flächeninhalte der Figuren über den Katheten gleich dem Flächeninhalt der Figur über der Hypotenuse ist. Beweisen Sie diesen Satz mithilfe der Ähnlichkeit! 14. Aufgabe: Zeichnen Sie über den Seiten a, b, c eines rechtwinkligen Dreiecks die jeweiligen Halbkreise Ha,Hb,Hc “nach oben”, d.h. Hc durch die Spitze C des Dreiecks. Die Flächen Ma und Mb zwischen den Halbkreisen über den Katheten und Hc heißen Möndchen des Hippokrates. Zeigen Sie mithilfe des verallgemeinerten Satzes des Pythagoras: Die Summe der Flächeninhalte der Möndchen ist dem Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks gleich! 15. Aufgabe: Pythagoreische Zahlentripel sind solche ganze Zahlen, die die Seitenlängen eines rechtwinkliges Dreiecks darstellen können, also solche Tripel aus ganzen Zahlen, für die gilt, dass die Quadratsumme von zwei Zahlen dem Quadrat der dritten Zahl entspricht. Das bekannteste (und einfachste) solche Tripel besteht aus den Zahlen 3, 4 und 5. a. Kennen Sie weitere pythagoreische Zahlentripel? Zeigen Sie, dass für diese Zahlen der gewünschte Zusammenhang gilt! b. Ein allgemeines Verfahren ist bis heute nicht bekannt, nach dem man alle pythagoreischen Zahlentripel erzeugen könnte. Es gibt allerdings Methoden, die pythagoreische Zahlentripel erzeugen. Recherchieren Sie nach solchen Verfahren und versuchen Sie zu begründen, warum die jeweilige Methode geeignet ist, Zahlentripel mit der gewünschten Eigenschaft zu liefern!