Fachrichtung Mathematik WS 2015/16 Institut für Mathematische

Fachrichtung Mathematik
Institut für Mathematische Stochastik / Professur Didaktik der Mathematik
Dr. W. Kuhlisch, Dr. F. Morherr
WS 2015/16
Mathematik
für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie,
Lebensmittelchemie und Erziehungswissenschaften
Blatt 7
Aufgaben Teil 1:
1. Beim einmaligen Würfeln mit einem Würfel werde mit A das zufällige Ereignis ”Augenzahl gleich 5”, mit
B das zufällige Ereignis ”Augenzahl gerade” und mit C das zufällige Ereignis ”Augenzahl größer als
2” bezeichnet.
Man beschreibe die Ereignisse
a) A ∪ B ,
b) A ∩ B ,
c) B ∪ C ,
d) B ∩ C ,
e) B̄ ∪ C ,
f ) B̄ ∩ C ,
g) Ā ∩ B ∩ C̄ ,
h) A ∪ B̄ ∪ C .
i) Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A, B und C sowie der unter (a) bis (h) genannten Ereignisse, falls es sich um einen idealen Würfel (”Augenzahlen gleichwahrscheinlich”) handelt.
2. Im Jahre 1693 wurde ISAAK NEWTON (1643-1727, engl. Physiker und Mathematiker) von dem englischen Schriftsteller SAMUEL PEPYS (1633-1703) folgendes Problem vorgelegt: Was ist wahrscheinlicher, bei 6 Würfen mit einem (idealen) Würfel mindestens einmal eine Sechs oder bei 12 Würfen
mindestens zweimal eine Sechs zu erhalten ?
3. Die Ereignisse A, B, C, D, E eines Ereignisfeldes haben die Wahrscheinlichkeit 13 , 41 , 15 , 16 , 17 .
Sind diese Ereignisse unvereinbar ?
4. Für einen Sportschützen ist bekannt, dass er bei einem Schuss folgende Ergebnisse erreicht:
Ringezahl
Wahrscheinlichkeit
10
0,21
9
0,24
8
0,18
7
0,16
6
0,12
5
0,09
Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er bei einem Schuss
a) mehr als 7 Ringe,
b) weniger als 5 Ringe,
c) mehr als 5 und weniger als 9 Ringe ?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schießt er bei drei unabh”angigen Versuchen
i) wenigstens zweimal 10 Ringe,
(ii) genau 15 Ringe,
1
(iii) 8, 9, 10 Ringe in dieser Reihenfolge,
(iv) 8, 9, 10 Ringe in irgendeiner Reihenfolge,
(v) mindestens 29 Ringe ?
e) Mit welcher Anzahl n1 bzw. n2 von Schüssen schießt er mindestens mit der Wahrscheinlichkeit
p = 0, 5 wenigstens einmal mehr als 9 Ringe bzw. mehr als 8 Ringe ?
5. In der Faschingszeit backt ein Bäcker pro Tag eine große Anzahl Pfannkuchen mit Senf und Marmelade
im Verhältnis 1 : 8 .
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Kauf von 20 Pfannkuchen mindestens zwei Pfannkuchen
mit Senf zu erhalten?
b) Wieviele Pfannkuchen mit Senf erwarten Sie beim Kauf von 45 Pfannkuchen?
c) Wieviele Pfannkuchen müsste man kaufen, um mit Wahrscheinlichkeit 0.99 mindestens einen mit
Senf zu finden?
6. Aus einer Schachtel mit vier 2-EURO-Münzen und fünf 1-EURO-Münzen werden rein zufällig drei
Münzen herausgegriffen. Die Zufallsgröße X bezeichne den Gesamtwert der Münzen. Geben Sie die
Verteilungstabelle für die Zufallsgröße X an. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X .
7. Eine Funktion f (x) heißt Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X , wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt:
f (x) ≥ 0
Z ∞
f (x) dx = 1.
−∞
Es sei f eine durch
f (x) =
0
ae−2x
:
:
falls x ≤ 0
falls x > 0
gegebene Funktion.
a) Bestimmen Sie a so, dass f eine Dichtefunktion ist.
b) Berechnen Sie P (1 < X < 2).
8. Das Gewicht X einer Fruchtsorte ist normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 19 und der Standardabweichung σ = 4, 5 (in Gramm).
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine Frucht zwischen 25 und 30 Gramm?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt sie über 20 Gramm?
c) Wie schwer mindestens sind die schwersten 20% der Früchte?
Aufgaben Teil 2:
1. Für zwei Ereignisse A und B gelte:
P (A) = 0.3 ,
P (B) = 0.6 ,
P (A ∩ B) = 0.2 .
Berechnen Sie P (A ∪ B) , P (Ā ∪ B̄) und P (A|B) .
Sind die Ereignisse A und B unabhängig?
2. Ein Skatspiel wird entsprechend den Regeln gemischt und ausgeteilt (d.h. 3 Spieler bekommen je 10
Karten, 2 Karten liegen im Skat). Man berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
a) die erste verteilte Karte ein Unter(Bube) ist,
b) die ersten beiden verteilten Karten Unter sind,
c) Eichel(Kreuz)- und Grün(Pik)-Unter im Skat liegen,
2
d) ein Spieler alle Unter und alle Asse erhält,
e) der erste Spieler alle Unter und alle Asse erhält,
f ) der Eichel-Unter im Skat liegt, wenn genau ein Unter im Skat liegt und der zweite Spieler Schell(Karo)Unter erhielt,
g) Eichel-As im Skat liegt, wenn im Skat nur Eichel-Karten liegen.
3. Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
√ c
für − 1 < x < 1 , (c > 0)
1−x2
f (x) =
0
sonst
a) Bestimmen Sie c und skizzieren Sie f .
b) Wie lautet die Verteilungsfunktion von F von X ?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X .
d) Berechnen Sie
P
!
√ 2
X>
X > 0 .
2 4. Bei einer Sorte Erlenmeyerkolben beträgt das Volumen X im Mittel µ = 30cm3 mit einer Standardabweichung von σ = 0.2 cm3 . Es werde angenommen, dass X mit dem Erwartungswert µ und der Varianz
σ 2 normalverteilt ist.
a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erlenmeyerkolben ein Volumen von mehr als
30.3cm3 besitzt.
b) Man ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erlenmeyerkolben ein Volumen in den Toleranzgrenzen 30.00 ± 0.25cm3 besitzt.
c) Auf welchen Wert ist σ mindestens zu reduzieren, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
Erlenmeyerkolben außerhalb der Toleranzgrenzen 30.00 ± 0.25cm3 liegt, höchstens 10% beträgt?
5. Von der Funktion z = f (x, y) sind die Niveaulinien zu bestimmen. Von der in der x, y-Ebene skizzierten
zugehörigen ”Karte der Fläche” schließe man auf die Gestalt der durch f bestimmten Fläche F im R3 .
a) z = x − 6 ,
p
b) z = 1 − y 2 , |y| 6 1 ,
c) z = x2 − y 2 + 4 ,
p
d) z = 10 − x2 + y 2 ,
6. Von der Funktion z = f (x, y) sind alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung zu bilden.
a) f (x, y) = sin (ax + by) ,
b) f (x, y) =
x
x2 +y 2
c) f (x, y) = xe
y
x
,
,
d) f (x, y) = ln x2 + y ,
e) f (x, y) = xy arcsin x .
3