Fachrichtung Mathematik WS 2016/17 Institut für Mathematische

Fachrichtung Mathematik
Institut für Mathematische Stochastik / Professur Didaktik der Mathematik
Dr. W. Kuhlisch, Dr. F. Morherr
WS 2016/17
Mathematik
für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie,
Lebensmittelchemie und Erziehungswissenschaften
Blatt 7
Aufgaben Teil 1:
1. Beim einmaligen Würfeln mit einem Würfel werde mit A das zufällige Ereignis "Augenzahl gleich 5", mit
B das zufällige Ereignis "Augenzahl gerade" und mit C das zufällige Ereignis "Augenzahl größ
er als
2" bezeichnet.
Man beschreibe die Ereignisse
a) A [ B ,
b) A \ B ,
c) B [ C ,
d) B \ C ,
e) B [ C ,
f) B \ C ,
g) A \ B \ C ,
h) A [ B [ C .
i) Man ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A; B und C sowie der unter (a) bis (h) genannten Ereignisse, falls es sich um einen idealen Würfel ("Augenzahlen gleichwahrscheinlich") handelt.
2. Im Jahre 1693 wurde ISAAK NEWTON (1643-1727, engl. Physiker und Mathematiker) von dem englischen Schriftsteller SAMUEL PEPYS (1633-1703) folgendes Problem vorgelegt: Was ist wahrscheinlicher, bei 6 Würfen mit einem (idealen) Würfel mindestens einmal eine Sechs oder bei 12 Würfen
mindestens zweimal eine Sechs zu erhalten ?
3. Die Ereignisse A; B; C; D; E eines Ereignisfeldes haben die Wahrscheinlichkeit 31 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 .
Sind diese Ereignisse unvereinbar ?
4. Für einen Sportschützen ist bekannt, dass er bei einem Schuss folgende Ergebnisse erreicht:
Ringezahl
Wahrscheinlichkeit
10
0,21
9
0,24
8
0,18
7
0,16
6
0,12
5
0,09
Mit welcher Wahrscheinlichkeit schieß
t er bei einem Schuss
a) mehr als 7 Ringe,
b) weniger als 5 Ringe,
c) mehr als 5 und weniger als 9 Ringe ?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit schieß
t er bei drei unabh"angigen Versuchen
i) wenigstens zweimal 10 Ringe,
(ii) genau 15 Ringe,
1
(iii) 8, 9, 10 Ringe in dieser Reihenfolge,
(iv) 8, 9, 10 Ringe in irgendeiner Reihenfolge,
(v) mindestens 29 Ringe ?
e) Mit welcher Anzahl n1 bzw. n2 von Schüssen schieß
t er mindestens mit der Wahrscheinlichkeit
p = 0; 5 wenigstens einmal mehr als 9 Ringe bzw. mehr als 8 Ringe ?
5. In der Faschingszeit backt ein Bäcker pro Tag eine groß
e Anzahl Pfannkuchen mit Senf und Marmelade
im Verhältnis 1 : 8 .
a) Wie großist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Kauf von 20 Pfannkuchen mindestens zwei Pfannkuchen
mit Senf zu erhalten?
b) Wieviele Pfannkuchen mit Senf erwarten Sie beim Kauf von 45 Pfannkuchen?
c) Wieviele Pfannkuchen müsste man kaufen, um mit Wahrscheinlichkeit 0:99 mindestens einen mit
Senf zu …nden?
6. Aus einer Schachtel mit vier 2-EURO-Münzen und fünf 1-EURO-Münzen werden rein zufällig drei
Münzen herausgegri¤en. Die Zufallsgröß
e X bezeichne den Gesamtwert der Münzen. Geben Sie die
Verteilungstabelle für die Zufallsgröß
e X an. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröß
eX .
7. Eine Funktion f (x) heiß
t Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröß
e X , wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt:
f (x) 0
Z 1
f (x) dx = 1:
1
Es sei f eine durch
f (x) =
0
ae
2x
:
:
falls x 0
falls x > 0
gegebene Funktion.
a) Bestimmen Sie a so, dass f eine Dichtefunktion ist.
b) Berechnen Sie P (1 < X < 2).
8. Das Gewicht X einer Fruchtsorte ist normalverteilt mit dem Erwartungswert
abweichung = 4; 5 (in Gramm).
= 19 und der Standard-
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt eine Frucht zwischen 25 und 30 Gramm?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wiegt sie über 20 Gramm?
c) Wie schwer mindestens sind die schwersten 20% der Früchte?
Aufgaben Teil 2:
1. Für zwei Ereignisse A und B gelte:
P (A) = 0:3 ;
P (B) = 0:6 ;
P (A \ B) = 0:2 .
Berechnen Sie P (A [ B) ; P (A [ B) und P (AjB) :
Sind die Ereignisse A und B unabhängig?
2. Ein Skatspiel wird entsprechend den Regeln gemischt und ausgeteilt (d.h. 3 Spieler bekommen je 10
Karten, 2 Karten liegen im Skat). Man berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
a) die erste verteilte Karte ein Unter(Bube) ist,
b) die ersten beiden verteilten Karten Unter sind,
c) Eichel(Kreuz)- und Grün(Pik)-Unter im Skat liegen,
2
d) ein Spieler alle Unter und alle Asse erhält,
e) der erste Spieler alle Unter und alle Asse erhält,
f ) der Eichel-Unter im Skat liegt, wenn genau ein Unter im Skat liegt und der zweite Spieler Schell(Karo)Unter erhielt,
g) Eichel-As im Skat liegt, wenn im Skat nur Eichel-Karten liegen.
3. Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichte
f (x) =
p c
1 x2
0
für
1 < x < 1 ; (c > 0)
sonst
a) Bestimmen Sie c und skizzieren Sie f .
b) Wie lautet die Verteilungsfunktion von F von X ?
c) Berechnen Sie den Erwartungswert von X .
d) Berechnen Sie
P
!
2
X>0 .
X>
2
p
4. Bei einer Sorte Erlenmeyerkolben beträgt das Volumen X im Mittel = 30 cm3 mit einer Standardabweichung von = 0:2 cm3 . Es werde angenommen, dass X mit dem Erwartungswert und der Varianz
2
normalverteilt ist.
a) Man bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erlenmeyerkolben ein Volumen von mehr als
30:3 cm3 besitzt.
b) Man ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Erlenmeyerkolben ein Volumen in den Toleranzgrenzen 30:00 0:25 cm3 besitzt.
c) Auf welchen Wert ist mindestens zu reduzieren, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
Erlenmeyerkolben auß
erhalb der Toleranzgrenzen 30:00 0:25 cm3 liegt, höchstens 10% beträgt?
5. Von der Funktion z = f (x; y) sind die Niveaulinien zu bestimmen. Von der in der x; y-Ebene skizzierten
zugehörigen "Karte der Fläche" schließ
e man auf die Gestalt der durch f bestimmten Fläche F im R3 .
a) z = x 6 ,
p
b) z = 1 y 2 , jyj 6 1 ,
c) z = x2
d) z = 10
y2 + 4 ,
p
x2 + y 2 ,
6. Von der Funktion z = f (x; y) sind alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung zu bilden.
a) f (x; y) = sin (ax + by) ,
b) f (x; y) =
x
x2 +y 2
c) f (x; y) = xe
y
x
,
,
d) f (x; y) = ln x2 + y ,
e) f (x; y) = xy arcsin x .
Wir wünschen Ihnen für die Klausur viel Erfolg!
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