Technische Universität München Zentrum Mathematik Dr. P. Vachenauer H.W. Kirstein WS 2004/05 Blatt 6 Höhere Mathematik I (Elektrotechnik und Informationstechnik) Unterstützung im Internet unter http://www-hm.ma.tum.de/ Zentralübungen Z 19. Man wähle a = αe1 und b = βe1 + γe2 , bestätige hierfür die Grassmann-Identität a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c und leite die Produktdarstellung für die zu a orthogonale Komponente von x ab: 1 x⊥ a = a · a a × (x × a) Wieso hat man damit alle Fälle erledigt? Z 20. Für die beiden Ebenen E und F im Raum x + 2y + 3z = 1 bzw. z = 0 bestimme man a) je eine Parameterdarstellung, b) den Abstand zum Punkt P = (1, 1, 1) , c) den Winkel zwischen E und F und d) die winkelhalbierenden Ebenen von E und F und deren Schnittgerade. Z 21. Man bestätige, dass f (x) = (a·x)a , 0 6= a ∈ Rn , eine lineare Abbildung im Rn darstellt. — Man berechne Bild f , Kern f sowie die Abbildungsmatrix A bzgl. (e1 , . . . , en ) . — Für welche a ist die Abbildung f längentreu oder volumentreu? — Für welche x gilt f (x) = x ? — Man beschreibe die Abbbildung für n = 3 geometrisch. — Wie lautet die transponierte Abbildung f T ? Z 22. Gegeben ist im Rn ein Unterraum U mit der ON-Basis (b1 , . . . bm ) , (m ≤ n) . Man bestätige: a) Die orthogonale Projektion des Rn auf den Unterraum U ist genau f (x) = (x · b1 )b1 + . . . + (x · bm )bm . b) Die Abbildungsmatrix von f : c) Die Abbildungsmatrix von f : Rn → Rn ist b1 bT1 + . . . + bm bTm . Rn → U in Bezug auf die ON-Basis in U ist (b1 , . . . bm )T . Tutorübungen T 20. Ein reguläres Tetraeder im R3 hat die Ecken A = (1, 1, 1) , B = (1, −1, −1) , C = (−1, −1, 1) , D = (−1, 1, −1) . a) Man bestimme — eine Gleichung für die Ebene durch A, B, C , — den Fußpunkt des Lotes von D auf diese Ebene, — die gemeinsame Lotgerade und den Abstand der Kanten AB, CD . b) Verbindet man in jeder Seitenfläche die Kantenmittelpunkte, so erhält man die 12 Kanten eines regulären Oktaeders. Welches Volumen besitzt dieses? Bitte wenden ! T 21. Man bestätige wie in Z 19. die Lagrange-Identität (a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (b · c)(a · d) . x 1 0 −1 T22. Durch die Parallelprojektion = f (x) = x y 0 1 −1 wird der R3 auf die (x, y)-Ebene (PC-Bildschirm) abgebildet. Man berechne und skizziere das Bild des Achsenkreuzes des R3 . Man bestimme Bild f , Kern f , f T , Bild f T und Kern f T . Ist f oder f T surjektiv, ist f oder f T injektiv? T 23. Man wiederhole Z 21. für die lineare Abbildung im R3 : f (x) = a × x mit a 6= 0 . Hausaufgaben H 19. Für die Vektoren 0 2 3 x = 1 , y = 1 , z = 0 berechne man 2 0 4 a) (x · y)z , x(y · z) und die Komponenten xz , xy von x in Richtung z bzw. y , b) x × y und, abhängig davon, (x + y) × (x − y) , c) (x × y) × z − x × (y × z) als Gegenbeispiel zur Assoziativität . H 20. (DVP Masch SoS 1979) g1 : x−1= Im R3 sollen sich die beiden Geraden g1 und g2 schneiden: y+1 z+1 =− ; 2 λ g2 : x+2=y−1=z . a) Wie groß muss λ sein ? b) Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt ? c) In welcher Ebene liegen g1 und g2 ? d) Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen g1 und g2 ? H 21. Das Dach eines Kirchturms mit quadratischer Grundfläche besteht aus vier Rauten; die Giebel sind gleichseitige Dreiecke. Man berechne a) die Winkel zwischen zwei Seiten der Raute, b) den Winkel β zwischen der Ebene der Raute und der Ebene eines angrenzenden Giebels, c) den Winkel zwischen den Ebenen zweier benachbarter Rauten. H 22. Normalprojektion Die Punkte des R3 werden in Blickrichtung b = (b1 , b2 , b3 )T mit |b| = 1 auf eine Ebene E durch O projiziert, die senkrecht zu b verläuft. a) Für den Fall 0 < b3 < 1 wähle man ein ONS in E und bestimme mittels Z 22 die Abbildungsmatrix in Bezug auf diese Basis. Man berechne Kern und Bild der Projektion und ihrer transponierten Abbildung. b) Man setze speziell b = ( 32 , 13 , 23 )T und zeichne das Bild des Tetraeders aus T 20.