Höhere Mathematik I Zentralübungen Tutorübungen

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Dr. P. Vachenauer
H.W. Kirstein
WS 2004/05
Blatt 6
Höhere Mathematik I
(Elektrotechnik und Informationstechnik)
Unterstützung im Internet unter http://www-hm.ma.tum.de/
Zentralübungen
Z 19. Man wähle a = αe1 und b = βe1 + γe2 , bestätige hierfür die Grassmann-Identität
a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c
und leite die Produktdarstellung für die zu a orthogonale Komponente von x ab:
1
x⊥
a = a · a a × (x × a)
Wieso hat man damit alle Fälle erledigt?
Z 20. Für die beiden Ebenen E und F im Raum x + 2y + 3z = 1 bzw. z = 0 bestimme man
a) je eine Parameterdarstellung, b) den Abstand zum Punkt P = (1, 1, 1) , c) den Winkel zwischen E und F und d) die winkelhalbierenden Ebenen von E und F und deren Schnittgerade.
Z 21. Man bestätige, dass
f (x) = (a·x)a ,
0 6= a ∈ Rn , eine lineare Abbildung im
Rn
darstellt.
— Man berechne Bild f , Kern f sowie die Abbildungsmatrix A bzgl. (e1 , . . . , en ) .
— Für welche a ist die Abbildung f längentreu oder volumentreu?
— Für welche x gilt f (x) = x ?
— Man beschreibe die Abbbildung für n = 3 geometrisch.
— Wie lautet die transponierte Abbildung f T ?
Z 22. Gegeben ist im
Rn
ein Unterraum U mit der ON-Basis (b1 , . . . bm ) , (m ≤ n) . Man bestätige:
a) Die orthogonale Projektion des
Rn
auf den Unterraum U ist genau
f (x) = (x · b1 )b1 + . . . + (x · bm )bm .
b) Die Abbildungsmatrix von f :
c) Die Abbildungsmatrix von f :
Rn → Rn ist b1 bT1 + . . . + bm bTm .
Rn → U in Bezug auf die ON-Basis in
U ist (b1 , . . . bm )T .
Tutorübungen
T 20. Ein reguläres Tetraeder im
R3
hat die Ecken
A = (1, 1, 1) , B = (1, −1, −1) , C = (−1, −1, 1) , D = (−1, 1, −1) .
a) Man bestimme
— eine Gleichung für die Ebene durch A, B, C ,
— den Fußpunkt des Lotes von D auf diese Ebene,
— die gemeinsame Lotgerade und den Abstand der Kanten AB, CD .
b) Verbindet man in jeder Seitenfläche die Kantenmittelpunkte, so erhält man die 12 Kanten
eines regulären Oktaeders. Welches Volumen besitzt dieses?
Bitte wenden !
T 21. Man bestätige wie in Z 19. die Lagrange-Identität (a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (b · c)(a · d) .
x
1 0 −1
T22. Durch die Parallelprojektion
= f (x) =
x
y
0 1 −1
wird der R3 auf die (x, y)-Ebene (PC-Bildschirm) abgebildet.
Man berechne und skizziere das Bild des Achsenkreuzes des R3 .
Man bestimme Bild f , Kern f , f T , Bild f T und Kern f T .
Ist f oder f T surjektiv, ist f oder f T injektiv?
T 23. Man wiederhole Z 21. für die lineare Abbildung im
R3 :
f (x) = a × x mit a 6= 0 .
Hausaufgaben
H 19. Für die Vektoren
 
 
 
0
2
3
x =  1  , y =  1  , z =  0  berechne man
2
0
4
a) (x · y)z , x(y · z) und die Komponenten xz , xy von x in Richtung z bzw. y ,
b) x × y und, abhängig davon, (x + y) × (x − y) ,
c) (x × y) × z − x × (y × z) als Gegenbeispiel zur Assoziativität .
H 20. (DVP Masch SoS 1979)
g1 :
x−1=
Im
R3
sollen sich die beiden Geraden g1 und g2 schneiden:
y+1
z+1
=−
;
2
λ
g2 :
x+2=y−1=z .
a) Wie groß muss λ sein ?
b) Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt ?
c) In welcher Ebene liegen g1 und g2 ?
d) Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen g1 und g2 ?
H 21. Das Dach eines Kirchturms mit quadratischer Grundfläche
besteht aus vier Rauten; die Giebel sind gleichseitige Dreiecke.
Man berechne
a) die Winkel zwischen zwei Seiten der Raute,
b) den Winkel β zwischen der Ebene der Raute und der Ebene
eines angrenzenden Giebels,
c) den Winkel zwischen den Ebenen zweier benachbarter Rauten.
H 22. Normalprojektion
Die Punkte des R3 werden in Blickrichtung b = (b1 , b2 , b3 )T mit |b| = 1 auf eine Ebene E
durch O projiziert, die senkrecht zu b verläuft.
a) Für den Fall 0 < b3 < 1 wähle man ein ONS in E und bestimme mittels Z 22 die Abbildungsmatrix in Bezug auf diese Basis. Man berechne Kern und Bild der Projektion und ihrer
transponierten Abbildung.
b) Man setze speziell b = ( 32 , 13 , 23 )T und zeichne das Bild des Tetraeders aus T 20.