Raumgeometrie - schiefe Pyramide - mathe-physik

Realschule / Gymnasium
Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
1.0
Die Raute ABCD mit den Diagonalen AC = e und BD = f ist die Grundfläche
einer schiefen Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D
der Grundfläche. Es gilt: e = 14 cm; f = 10 cm; DS = h = 9 cm.
Verlängert man die Diagonale [AC] über A und C hinaus jeweils um x cm und
verkürzt [DS] von S aus um x cm, so erhält man neue Pyramiden A'BC'DS’.
1.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide mit AC als Schrägbildachse, ω = 45°; q = 0,5.
Zeichne ferner eine der neu entstehenden Pyramiden A'BC'DS' in das Schrägbild ein.
1.2
Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden A'BC'DS' in Abhängigkeit von x dar.
[Ergebnis: V(x) =
(
)
1
−10x2 + 20x + 630 ]
3
1.3
Ermittle den Extremwert für das Volumen und gib an, um welche Art von Extremwert
es sich handelt.
1.4
Für welche Werte von x wird der Flächeninhalt des Schnittdreiecks DBS' der
Pyramiden kleiner als 14 cm2 ? .
2.0
Gegeben ist eine schiefe Pyramide mit der quadratischen Grundfläche ABCD.
Die Seiten des Quadrates sind 4 cm lang, die Höhe [DS] beträgt 8 cm (S liegt senkrecht über D).
Man erhält neue Pyramiden AB’C’DS’ mit rechteckiger Grundfläche, wenn man die
Seiten [AB] und [DC] um x cm verlängert und gleichzeitig die Höhe [DS] um x cm
verkürzt.
2.1
Zeichne ein Schrägbild der ursprünglichen Pyramide ABCDS mit DC als Schrägbildachse; ω = 45°, q = 1 : 2.
Zeichne außerdem für x = 2 die Pyramide AB’C’DS’ in das Schrägbild ein.
2.2
Ermittle das Volumen V(x) der Pyramiden AB’C’DS’ in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: V(x) = − 34 (x2 - 4x - 32) cm3 ]
2.3
Für welchen Wert für x erhält man eine Pyramide mit 20 cm3 Volumen ?
2.4
Ermittle rechnerisch die Zahl für x, für die die Pyramide mit dem größten Volumen
entsteht. Berechne sodann die Oberfläche dieser Pyramide.
RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
3.0
Im Drachenviereck ABCD hat die Symmetrieachse [AC] die Länge 14 cm und die
Diagonale [BD] die Länge 10 cm. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M mit
AM = 5 cm. Das Drachenviereck ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide ABCDS,
bei der die Spitze S senkrecht über M mit MS = 6,5 cm liegt.
3.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [AC] auf der Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
3.2
Aus der Pyramide ABCDS entstehen neue Pyramiden ABCnDSn dadurch, dass [AC]
von C aus um x cm verkürzt und zugleich die Höhe [MS] über S hinaus um x cm
verlängert wird.
Zeichne die Pyramide ABC1DS1 für x = 2,5 in das Schrägbild ein.
3.3
Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden ABCnDSn in Abhängigkeit von x dar.
3.4
Unter den Pyramiden ABCnDSn hat die Pyramide ABCoDSo das größte Volumen Vmax.
Berechne Vmax und das Maß ε des Winkels BSoD.
3.5
In der Pyramide ABC2DS2 schließt die Seitenkante [C2S2] mit der Grundfläche den
Winkel S2C2M mit dem Maß 77° ein.
Berechne die Länge der Strecke [MC2].
Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden !
4.0
Die Raute ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD] ist Grundfläche einer geraden
Pyramide ABCDS mit der Höhe [MS]. M ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
Es gilt: AC = 10 cm, BD = 14 cm, MS = 11 cm.
Verlängert man [AC] über A und C hinaus jeweils um x cm und verkürzt [MS] von S
aus um ebenfalls x cm, so erhält man neue Pyramiden AnBCnDSn. D(x) = [0; 11]
4.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS mit AC auf der Schrägbildachse
mit q = 0,5, ω = 45°.
4.2
Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden An‘BCn‘DSn‘ in Abhängigkeit von x dar.
4.3
Ermittle rechnerisch die Belegung für x, für die das Volumen V(x) den größten
Wert hat. Gib Vmax an.
4.4
Berechne die Länge s(x) der Pyramidenkanten [AnSn] in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: V(x) = (300 + 20x – 5x2) cm3]
[Ergebnis: s(x) =
4.5
2x 2 − 8x + 136 cm]
Gibt es eine Belegung für x, für die s(x) den Wert 11 cm annimmt ?
Begründe die Antwort durch Rechnung.
Für welche Belegung von x nimmt s(x) den Wert 14 cm an ?
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
5.0
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [AB] und der Höhe h = [MC} ist
Grundfläche einer Pyramide ABCS, deren Spitze senkrecht über M liegt.
AB = 10 cm; MC = 10 cm; MS = 12 cm
5.1
Zeichne das Schrägbild der Pyramide.
q = 0,5; ω = 45°; [MC] liegt auf der Schrägbildachse.
5.2
Berechne das Maß des Winkels MCS = ϕ sowie die Länge der Seitenkante [CS].
5.3
Berechne Volumen und Oberfläche der Pyramide ABCS.
5.4
Verlängert man [MC] über C hinaus um x cm und verkürzt die Höhe [MS] von S aus
um x cm, so entstehen neue Pyramiden ABCnSn, 0 < x < 12; x ∈ R .
Zeichne die Pyramide ABC1S1 für x = 3 cm in das Schrägbild ein.
5.5
Gib eine Gleichung für das Volumen V(x) der Pyramiden ABCnSn in Abhängigkeit
von x an.
5.6
Bestimme den x-Wert für den die zugehörige Pyramide ABCnSn das größte Volumen
Vmax besitzt und gib Vmax an.
Berechne für diese Belegung von x das Maß des Winkels MC2S2.
5.7
Ermittle den x-Wert für den das Volumen der zugehörigen Pyramide ABC3S3 gleich
der Hälfte des Volumens der Pyramide ABCS ist.
6.0
Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis [AB] und der Höhe h = [MC} ist
Grundfläche einer Pyramide ABCS, deren Spitze senkrecht über M liegt.
AB = 10 cm; MC = 10 cm; MS = 12 cm
Aus der Pyramide ABCS entstehen neue Pyramiden AnBnCSn, indem man [CM]
über M hinaus um x cm verlängert und [CS] von S aus um x cm verkürzt.
6.1
Zeichne die Schrägbilder der Pyramiden ABCS und A1B1CS1 für x = 3 cm.
q = 0,5; ω = 45°; [M1C] liegt auf der Schrägbildachse.
6.2
Gib die Definitionsmenge für x (x ∈ R ) an.
6.3
Berechne die Belegung von x, für die das Maß des Winkels CS2M2 gleich 100° ist.
6.4
Stelle das Volumen V(x) der Pyramiden AnBnCSn in Abhängigkeit von x dar.
6.5
Bestimme rechnerisch die Belegung von x, für die das Volumen der zugehörigen
Pyramide maximal ist. Welchen Wert hat Vmax ?
6.6
Weise durch Rechnung nach, ob es in der Menge der Pyramiden AnBnCSn eine
Pyramide gibt, die das gleiche Volumen wie die Pyramide ABCS besitzt.
RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
7.0
Das Rechteck ABCD mit AB = 8 cm und AD = 10 cm ist Grundfläche einer
Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über D liegt und DS = 12 cm ist.
7.1
Erstelle ein Schrägbild der Pyramide ABCDS.
q = 0,5; ω = 45°; [DC] liegt auf der Schrägbildachse.
7.2
Berechne die Länge der Pyramidenkante [BS] sowie das Maß des Winkels
DBS = ϕ .
Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS.
7.3
7.4
Man erhält neue Pyramiden ABCnDSn, wenn man [DC] über C hinaus um x cm
verlängert und [BS] von S aus um x cm verkürzt.
Zeichne für x = 2,5 cm die zugehörige Pyramide ABC1DS1 in das Schrägbild ein.
7.5
Die Punkte Fn ∈ [DB] sind Fußpunkte der Höhen hn der Pyramiden ABCnDSn.
Weise nach, dass für die Höhen hn(x) in Abhängigkeit von x gilt:
hn(x) = (12 - 12 x) cm
17,55
Stelle sodann das Volumen V(x) der Pyramiden ABCnDSn in Abhängigkeit von x dar.
7.6
Für welche Belegung von x hat die zugehörige Pyramide ABC2DS2 das größte
Volumen ? Gib dieses größte Volumen Vmax an.
7.7
Berechne die Höhe h2 der Pyramide ABC2DS2 sowie das Maß des Winkels F2BS2.
8.0
Der Punkt D ist der Mittelpunkt der Basis [BC] des gleichschenkligen Dreiecks ABC
mit BC = 8 cm und AD = 8 cm. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer
Pyramide ABCS, deren Spitze S senkrecht über D mit DS = 10 cm liegt.
8.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AD] soll auf der Schrägbildachse
liegen. Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
Berechne das Maß ϕ des Winkels DAS.
8.2
Punkte Pn auf der Seitenkante [AS] der Pyramide sind Eckpunkte von
Dreiecken BCPn.
Zeichne das Dreieck BCP1 für AP 1 = 4 cm in das Schrägbild ein.
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks BCP1.
8.3
Es gibt ein Dreieck BCP2, so dass ) B2DA = 65° gilt.
Berechne das Maß ε des Winkels BP2C.
8.4
Die Basis [BC] des Dreiecks ABC wird über B und C hinaus jeweils um x cm
verlängert, gleichzeitig wird die Pyramidenhöhe [DS] von S aus um 2x cm verkürzt.
Es entstehen neue Pyramiden ABnCnSn.
Zeichne die Pyramide AB1C1S1 für x = 1,5 in das Schrägbild ein.
Zeige durch Rechnung, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden ABnCnSn in
Abhängigkeit von x gilt: V(x) = - 8 (x2 + 3x – 40) cm3.
3
Berechne das Volumen V der Pyramide AB2C2S2, bei der der Winkel B2S2C2 das
Maß 120° besitzt.
8.5
Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden !
RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
9.0
Das bei B rechtwinklige Dreieck ABC mit AB = 6 cm und BC = 8 cm ist die Grundfläche einer Pyramide ABCS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt A mit
AS = 10 cm.
9.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AB] liegt auf der Schrägbildachse.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
Berechne das Maß α des Winkels BAC.
9.2
Die Seiten [AB] und [AC] der Grundfläche der Pyramide ABCS werden jeweils
über B und C hinaus verlängert. Es entstehen neue Pyramiden ABnCnS.
Dabei gilt: BBn = x cm mit x ∈ R + und [BnCn] II [BC].
Zeichne die Pyramide AB1C1S für x = 2 in das Schrägbild ein.
9.3
9.4
Berechne die Streckenlängen AC1 und BC1 .
Berechne die Grundkantenlänge BnCn (x) und sodann das Volumen V(x) der
Pyramiden ABnCnS jeweils in Abhängigkeit von x.
9.5
In der Pyramide AB2C2S hat der Winkel SB2B das Maß 30°.
Berechne das Volumen der Pyramide AB2C2S.
Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden !
10.0
Im gleichschenkligen Dreieck ABC hat die Basis [AB] die Länge 10 cm und die
Höhe [CF] ist 12 cm lang. Das Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide
ABCS, deren Spitze S senkrecht über F liegt mit FS = 9 cm.
10.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCS. [AF] liegt auf der Schrägbildachse.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
Berechne das Maß α des Winkels FCS und die Länge der Seitenkante [CS].
10.2
Die Punkte Dn sind Endpunkte von Strecken [CDn], die durch Verlängerung der
Strecke [CF] um x cm über F hinaus entstehen. Die Punkte Pn liegen auf der
Seitenkante [CS] in 2x cm Entfernung von S. Die Punkte Pn sind die Spitzen von
Pyramiden CADnBPn.
Zeichne die Pyramide CAD1BP1 für x = 3 zusammen mit der Pyramidenhöhe [P1E1]
in das Schrägbild ein.
10.3
In der Pyramide CAD2BP2 hat der Winkel CP2D2 das Maß 90°.
Berechne den zugehörigen Wert für x.
10.4
Zeige durch Rechnung, dass für die Höhen PnEn (x) der Pyramiden CADnBPn in
Abhängigkeit von x gilt: PnEn (x) = (9 – 1,2x) cm.
Weise rechnerisch nach, dass sich das Volumen V(x) der Pyramiden CADnBPn in
Abhängigkeit von x wie folgt darstellen lässt:
V(x) = (-2x2 – 9x + 180) cm3.
10.5
Überprüfe rechnerisch, ob es unter den Pyramiden CADnBPn eine Pyramide gibt, die
das gleiche Volumen wie die Pyramide ABCS hat.
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
11.0
Die Pyramide ABCDS hat das Rechteck ABCD mit den Seitenlängen AB = 8 cm
und AD = 10 cm als Grundfläche. Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über
dem Punkt D in 9 cm Höhe über der Grundfläche.
11.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [DC] liegt auf der Schrägbildachse.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
11.2
Berechne die Länge der Seitenkante [CS] und die Oberfläche A der
Pyramide ABCDS.
11.3
Man erhält neue Pyramiden ABCnDnSn, wenn die Höhe [DS] um x cm verkürzt und
gleichzeitig die Kante [CD] über C und D hinaus jeweils um 2x cm verlängert wird.
Zeichne für x = 2 cm die Pyramide ABC1D1S1 in das Schrägbild ein.
11.4
Bestätige durch Rechnung, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden ABCnDnSn
in Abhängigkeit von x gilt: V(x) = 20 (-x2 – 5x + 36) cm3.
3
11.5
Die Pyramide ABC2D2S2 hat das größtmögliche Volumen Vmax. Berechne den
zugehörigen Wert für x und Vmax.
11.6
In der Pyramide ABC3D3S3 hat der Winkel D3C3B das Maß 70°.
Berechne den zugehörigen Wert für x.
Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet.
12.0
Die Raute ABCD mit den Diagonalenlängen AC = 10 cm und BD = 16 cm ist die
Grundfläche einer Pyramide ABCDS, deren Spitze S senkrecht über dem Punkt C
mit CS = 10 cm liegt. [AC] und [BD] schneiden sich im Punkt M.
Punkte Pn liegen auf der Strecke [AM] und die Punkte Qn auf der Seitenkante [AS].
Es gilt PnM = SQ n = x cm.
Die Punkte Qn sind die Spitzen der Pyramiden ABPnQn.
12.1
Zeichne ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. [AC] liegt auf der Schrägbildachse.
Zeichne die zu x = 3,5 gehörende Pyramide ABE1F1 in das Schrägbild ein.
Für die Zeichnung: q = 0,5; ω = 45°
12.2
Berechne das Maß γ des Winkels SAC und die Länge der Seitenkante [AQ1] der
Pyramide ABP1Q1.
12.3
Unter den Pyramiden ABPnQn gibt es eine Pyramide ABP2Q2, bei der der Winkel
P2BA das Maß 70° hat. Berechne den zugehörigen Wert für x.
12.4
Berechne das Volumen V2 der Pyramide ABP2Q2.
Alle Ergebnisse auf 2 Stellen nach dem Komma runden !
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Raumgeometrie - schiefe Pyramide
Funktionale Abhängigkeiten
13.0
Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck ABC ist die Grundfläche einer Pyramide
ABCS. Die Spitze S liegt dabei senkrecht über C. [AC] = 8 cm, [CS] = 10 cm, der
rechte Winkel liegt bei C.
Verlängert man den Schenkel [AC] der Grundfläche um x cm und verkürzt gleichzeitig die Höhe um 1,5x cm, so erhält man neue Pyramiden A1BCS1.
13.1
Zeichne ein Raumbild der Pyramide ABCS und trage eine neue Pyramide für x = 2
in die Zeichnung ein.
13.2
Berechne das Volumen V(x) der neuen Pyramiden in Abhängigkeit von x.
[Ergebnis: V(x) = (-2x2 - 2 32 x + 106 32 )cm3]
13.3
Bestimme das Intervall für x damit neue sinnvolle Pyramiden entstehen.
13.4
Für welche Belegung für x erhält man die Pyramide mit dem größten Volumen ?
Gib dieses Volumen an.
[Teilergebnis: V(x) = ( -2(x +
RM_AU011 **** keine Lösungen vorhanden
2 2
)
3
+ 105 79 ) cm3]
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