Effiziente Algorithmen (SS13)

Effiziente Algorithmen (SS13)
Übungsblatt 11
Prof. A. Schulz
Christian Scheffer
Abgabe: 15.07.201312:15 Uhr
Briefkasten 161
Alle Antworten müssen begründet werden, bzw. der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein. Bei Nutzung von Quellen sind diese anzugeben (auch aus dem
Internet). Wenn Aufgaben in Gruppenarbeit gelöst wurden, geben Sie alle Mitarbeiter an. Alle Laufzeiten müssen bewiesen werden.
Aufgabe 31
Baumweite (3+3 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass ein Kreis C eine Baumweite von tw(C) = 2 hat.
(b) Zeigen Sie, dass der vollständiger Graph Kn eine Baumweite von tw(Kn ) = n − 1 hat.
Aufgabe 32
HittingSet (6 Punkte)
Wir betrachten folgendes Entscheidungsproblem
HittingSet
Eingabe:
Frage:
Universum U ,
S = {Si | i ≤ n}, mit Si ⊆ U ,
k ∈ Z.
Gibt es eine Menge H ⊆ U , mit |H| = k und
jedes Si enthält ein Element aus H.
Entwerfen Sie einen FPT-Algorithmus, für HittingSet mit Laufzeit f (d + k) · O(nc ), wobei
d die maximale Anzahl von Elementen in einer der Mengen Si bezeichnet und c ≥ 1.
Anmerkung: Es geht in f (d + k) · O(n) Zeit.
Tipp: Geschicktes Back-tracking.
Aufgabe 33
Räuber und Gendarm (5 Punkte)
Ein Dieb befindet sich in einer Stadt und wird von Polizisten gejagt. Er bewegt sich dabei
durch die Stadt mit einem wahnsinnig schnellen Auto. Die Polizisten hingegen verfügen über
je einen Helikopter. Von Zeit zu Zeit bewegen sich die Polizisten (koordiniert) und nehmen
neue Positionen ein. Sie können sich frei über die Stadt bewegen. Polizisten können aber
auch ihre Position halten. Der Dieb sieht nun die landenden Helikopter und bewegt sich kurz
vor der Landung auf eine sichere Position. Dabei kann er sich beliebig durch die Straßen
bewegen (sein Auto ist wie gesagt sehr schnell), nur er darf keinem Polizisten begegnen (auf
der Erde, die im Landeanflug zählen nicht). Ziel der Polizisten ist es, den Dieb zu fangen
— der Dieb möchte natürlich entkommen. Sowohl Dieb als auch Polizisten wissen, wo sich
alle Beteiligten gerade aufhalten.
Übungsblatt 11
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Zeigen Sie: Wenn der dem Straßennetz zu Grunde liegende Graph eine Baumweite von k
hat, dann reichen immer k + 1 Polizisten aus, um den Dieb zu fangen. Gehen Sie davon aus,
dass sich Dieb und Polizisten immer auf den Knoten des Graphen, oder aber in der Luft
befinden.
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