Lösung - MA@TUM - Technische Universität München

Technische Universität München
Fakultät Mathematik
Tag der offenen Tür
Mathe Quiz (2016)
Leichte Aufgaben
Aufgabe 1: Der Detektiv sagt immer die Wahrheit. Der Dieb lügt immer. Der Zeuge kann
jede Art von Aussage machen. Wer ist der Dieb? Kreuze an!
Armin:„Ich bin nicht der Zeuge.“
Armin
Bob: „Ich bin kein Dieb.“
Bob
Chris: “Ich bin kein Detektiv!“
Chris
Lösung: Besonders auffällig ist die Aussage: “Ich bin kein Detektiv!“. Für den Detektiv wäre
diese Aussage falsch, also gelogen, das geht also nicht. Für den Dieb wäre die Aussage wahr. Das
kann auch nicht sein. Daher muss Chris der Zeuge sein. Armin behauptet, er sei nicht der Zeuge.
Das wäre für sowohl Dieb als auch den Detektiv die Wahrheit. Da aber nur der Detektiv die
Wahrheit sagt, ist Armin der Detektiv und somit Bob der Dieb.
Aufgabe 2: Du musst die Summe der Ziffern des Quadrats einer Zahl berechnen, die größer
als 2016 ist. Die kleinste mögliche Lösung für diese Summe bei einer geeigneten Zahl ist?
Lösung:
1
Lösung: Diese Frage ist eine Trickfrage und nur etwas schwer zu verstehen. Gesucht ist eine
Zahl größer als 2016, deren Quadrat eine möglichst kleine Quersumme hat. 10.000 ist eine
mögliche Zahl. Ihr quadrat ist 100.000.000 und die Quersumme daovn ist 1. Eine kleinere Lösung
kann es nicht geben, da 0 durch „größer als 2016“ ausgeschlossen wurde.
Mittelschwere Aufgaben
Aufgabe 3: In einer Bastelgruppe basteln Kinder für
den Pausenverkauf Armbänder aus schwarzen und weißen
Perlen.
Wie viele verschiedene Armbänder können sie herstellen,
wenn für jedes Armband genau sechs Perlen verwendet
werden? (Die Armbänder sind rund, ohne Verschluss und
gleichfarbige Perlen sind identisch. Die im Bild gezeigten
Armbänder sind gleich)
Lösung:
13
6 schwarz 0 weiß
1 Möglichkeit
ssssss
5 schwarz 1 weiß 1 Möglichkeiten
sssssw
4 schwarz 2 weiß 3 Möglichkeiten
ssssww; ssswsw; sswssw
3 schwarz 3 weiß 3 Möglichkeiten
ssswww; sswssw; swswsw
Lösung:
2 schwarz 4 weiß 3 Möglichkeiten sswwww; swswww; swwsww
1 schwarz 5 weiß
1 Möglichkeit
swwwww
0 schwarz 6 weiß
1 Möglichkeit
wwwwww
Das ergibt zusammen 13 mögliche Kombinationen.
Aufgabe 4:
Wir färben alle natürlichen Zahlen. Dabei ist zu beachten:
• Jede Zahl erhält genau eine Farbe.
• Es gibt die Farben grün und rot. Es muss mindestens eine rote Zahl geben.
• Die 2 ist grün.
• Die Summe aus 3 (nicht notwendigerweise verschiedenen) roten Zahlen ist rot.
• Die Summe aus 3 (nicht notwendigerweise verschiedenen) grünen Zahlen ist grün.
Welche Farbe erhält dann die Zahl 2016?
Rot
Beides ist möglich
Grün
Es gibt keine Färbung, die alle Punkte erfüllt
Lösung: Wir überlegen zunächst welche Farbe die 1 hat. Ist sie grün, so wäre auch 3=1+1+1
grün, genauso auch 4=2+1+1 und 5=2+1+1...
Dann wären alle Zahlen grün, das widerspricht Punkt 1 oder 2. Also muss die 1 rot sein.
Daraus folgt, dass die 3=1+1+1 auch rot ist, wie auch die 5=3+1+1, die 7=5+1+1... und alle
weiteren ungeraden Zahlen.
Mit einer ähnlichen Überlegung erhält man, dass 6=2+2+2, 10=6+2+2, 14=10+2+2... grün
sein müssen. Die 4 kann nicht rot sein, da sonst wieder 4+1+1=6 rot wäre und das schon grün
ist, also ost die 4 ebenfalls grün und wir erhalten, dass alle geraden Zahlen grün sein müssen.
Dies führt dazu, dass 2016 eindeutig eine grüne Zahl ist.
Aufgabe 5: Gesucht ist eine natürliche Zahl kleiner als 40.000.
Die Zahl ist durch alle natürlichen Zahlen von 1 bis 13 ohne Rest teilbar, bis auf 2 Ausnahmen.
Die beiden Ausnahmen sind sogar aufeinanderfolgend. Gesucht ist die Zahl x. Die Lösung darf
sowohl als ausmultiplizierte Zahl als auch als Produkt natürlicher Zahlen von 1 bis 13 angegeben
werden.
Lösung:
25740=1 · 4 · 5 · 9 · 11 · 13
Lösung: Es gibt nur 2 Ausnahmen an Zahlen. Diese müssen aufeinander folgen.
2 kann keine Ausnahme sein, da sonst auch 4,8 Ausnahmen wären.
3 kann keine Ausnahme sein wegen 6, 9.
4 kann keine Ausnahme sein wegen 8,12.
5 kann keine Ausnahme sein wegen 10. (Nicht aufeinanderfolgend).
6 kann keine Ausnahme sein, da 2 und 3 keine Ausnahmen sind.
10 kann keine Ausnahme sein, da 2 und 5 keine Ausnahmen sind.
12 kann keine Ausnahme sein, da 3 und 4 keine Ausnahmen sind.
Es bleiben übrig 7,8,9,11 und 13. 11 und 13 kommen nicht in Frage, da dann jeweils 10 oder 12
Ausnahmen hätten sein müssen.
Es verbleiben nur noch 7 und 8 oder 8 und 9.
Nun muss noch beachtet werden, dass keine Faktoren zu oft verwendet werde. 6 ergibt sich z.B.
aus 3 und 2 automatisch. Das kleinste gemeinsame Vielfache aller Zahlen bis 13 ist 260360. (Hier
kein Beweis!) Sind 7 und 8 Ausnahmen fehlen die Teiler 2 und 7 ⇒ 25740
Sind 8 und 9 Ausnahmen fehlen die Teiler 3 und 2 ⇒ 60060
Nur eine dieser Zahlen ist kleiner als 40.000 und damit die Lösung.
Aufgabe 6: In einer fiktiven Stadt gelten sehr komplizierte Verkehrsregeln. So dürfen an vielen Kreuzungen nicht alle Abzweigungen genommen werden und es
ist auch wichtig aus welcher Richtung man kommt. Jeder Pfeil zeigt an, welche Richtungen an einer Kreuzung erlaubt sind. Wie oft muss das Auto im kürzesten Fall über eine Kreuzung fahren/an einer Kreuzung abbiegen um zum Ziel rechts aus dem Labyrinth zu kommen? (Wie oft verwendet man einen
Pfeil?)
Lösung:
31
Lösung:
Aufgabe 7: 100 Passagiere sind für eine Schiffahrt angemeldet, bei der jeder einen festen
Sitzplatz hat. Der erste Passagier mit Sitznummer 1 ist aber fürchterlich betrunken und setzt
sich zufällig auf irgendeinen Platz. Jeder weitere Passagier wird nun versuchen sich auf seinen
Platz zu setzen, falls dieser frei ist. Ansonsten setzt er sich zufällig auf einen Platz. Wie hoch ist
die Wahrscheinlichkeit, dass Passagier 100, der Platznummer 100 hat und als letzter das Schiff
besteigt, seinen Platz noch frei vorfindet?
Lösung:
50 Prozent
Lösung: Wenn der letzte Passagier 100 seinen Platz sucht, sind Plätze 2-99 garantiert besetzt,
da jeder der Passagiere 2-99 seinen Sitz einnimmt, wenn möglich. Es kann nur Platz 1 oder
Platz 100 noch frei sein. Da alle vorherigen Schritte weder Platz 1 noch Platz 100 bevorzugen,
sind beide Möglichkeiten aus Symmetriegründen gleich wahrscheinlich. Die Antwort ist also 50
Prozent.
Schwere Aufgaben
Aufgabe 8: 150 Personen sitzen an einem runden Tisch. Jede Person beginnt mit einem
brennenden Teelicht vor sich (welches von alleine nie ausgehen wird). Person 1 beginnt und löscht
das Teelicht von Person 2. Die nächste Person mit brennendem Teelicht, Person 3, ist nun an der
Reihe und löscht das Licht von Person 4. Das geht so weiter bis Person 149 das Licht von 150
löscht. Nun ist Person 1 wieder an der Reihe und löscht das Licht von Person 3, usw. bis am
Ende nur noch eine Person ein brennendes Teelicht vor sich hat. Dies ist welche Person?
Lösung:
45
Lösung: Wäre die Anzahl der Personen eine 2er Potenz (2,4,8,16,32,...), dann würde die erste
Person gewinnen, da in jedem Durchlauf genau die Hälfte der Personen ausscheidet und Person 1
erneut beginnt. Die nächste 2er Potenz an 150 ist 128. Wenn noch 128 Personen verbleiben, sind
bereits 22 Personen ausgeschieden. Da jede 2. Person ausscheidet (Zuerst Person 2, dann 4, dann
6...), ist die 22. Person, die ausscheidet, Person 44. Danach ist Person 45 an der Reihe und es
verbleiben 128 Teilnehmer, wodurch Person 45 sicher gewinnt.
Für alle, die es tatsächlich nachgestellt haben. Gelöscht werden der Reihenfolge nach Zahlen: 2,
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56,
58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106,
108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 124, 126, 128, 130, 132, 134, 136, 138, 140, 142, 144, 146,
148, 150, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59, 63, 67, 71, 75, 79, 83, 87, 91, 95,
99, 103, 107, 111, 115, 119, 123, 127, 131, 135, 139, 143, 147, 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73,
81, 89, 97, 105, 113, 121, 129, 137, 145, 5, 21, 37, 53, 69, 85, 101, 117, 133, 149, 29, 61, 93, 125,
13, 77, 141, 109, wodurch 45 als letzte verbleibt!