Ökonomik der Agrar` und Ernährungswirtschaft Teil 2

Skript der Vorlesung
Ökonomik der Agrar- und
Ernährungswirtschaft
Teil 2
WS 2007/08
Prof. Dr. T. Becker
Institut für Agrarpolitik und Landwirtschaftliche Marktlehre (420)
Universität Hohenheim
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2
2 Marktstruktur und Verhaltensweise
2.1 Marktformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Das Konkurrenzgleichgewicht: Paradigma des Vollkommenen Marktes .
2.3 Ein kleines Modell des ”Vollkommenen Marktes”mit zwei Anbietern, die
Mengenanpasser verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
sich als
. . . . .
4
4
6
7
3 Preis- und Mengenwettbewerb
3.1 Mengenwettbewerb im Cournot-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Das Cournot-Modell mit unterschiedlichen Kosten . . . . . . . . .
3.1.2 Cournot-Nash-Lösung mit vielen Unternehmen . . . . . . . . . . .
3.1.3 Was ist ein Nash-Gleichgewicht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Sequentieller Mengenwettbewerb (Stackelberg-Modell) . . . . . . .
3.1.5 Vergleich Stackelberg mit Nash-Gleichgewicht im Cournot-Modell .
3.2 Mengenkartell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bruch der Kartellvereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Preiswettbewerb: Bertrand-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10
10
17
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24
25
27
27
29
30
4 Preisunterschiede und Suchtheorie
4.1 Preisunterschiede . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Theorie der Informationssuche . . . . . . . .
4.3 Zur Suche nach dem optimalen Preis . . . . .
4.3.1 Ermittlung eines festen Suchumfangs:
4.3.2 Stoppregelprozesse . . . . . . . . . . .
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33
33
34
34
35
Suchkosten der Konsumenten und Marktergebnis .
4.4.1 Das Modell der Touristenfalle . . . . . . . .
4.4.2 Das Touristen- und Einheimischen - Modell
Produktdi¤erenzierung . . . . . . . . . . . . . . . .
Strategisches Verhalten von Firmen . . . . . . . . .
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35
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37
5 Varianten- oder Standortwettbewerb
5.1 Hotellings Straß
endorf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Annahmen auf der Angebotsseite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Nachfrageseite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Erste unternehmenspolitische Einsichten . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4 Simultaner Positions- mit anschließ
endem simultanen Preiswettbewerb
5.2 Spiel mit Wahl von 2 Standorten und 2 Preisen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Markteintritt und Eintrittsabschreckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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37
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41
41
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4.4
4.5
4.6
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6 Qualitätswettbewerb
46
7 Anhang
47
8 Übungsaufgaben
51
Literatur
vorlesungsbegleitend:
Pfähler, Wilhelm und Harald Wiese: Unternehmensstrategien im Wettbewerb: eine
spieltheoretische Analyse. Springer Verlag, 1998.
vorlesungsergänzend:
Shy, Oz: Industrial Organization: Theory and applications. MIT Press, 1995.
Gibbons, Robert: Game theory for applied economists. Princeton University, 1992.
Carlton, D. C. und J. M. Perlo¤: Modern industrial organization, 2. Au‡age, 1994.
Schmalensee, Richard: Handbook of Industrial Organization, Band 1 + 2, 1989.
Tirole, Jean: The theory of industrial organization. MIT Press, 1988.
Praktische Beispiele:
Lebensmittel-Zeitung
1
1
Einführung
Die Vorlesung ”Ökonomik der Ernährungswirtschaft I”, die auch als ”Einführung in die Industrieökonomik”bezeichnet werden kann, stellt die theoretische Ergänzung zu den beiden anderen,
sehr praxisorientierten Vorlesungen ”Lebensmittelmarketing” und ”Organisation und Management von Wertschöpfungsketten” dar. Mit dem Ziel, das abstrakte, ökonomische Denken zu erlernen und zu üben, werden für die Ernährungswirtschaft relevante Teile der Industrieökonomie
vermittelt. Hauptaufgabe der Industrieökonomik ist es, sich mit der Funktionsweise von Märkten
zu befassen. Ausgangspunkt ist dabei das Verhalten; der Strategiebegri¤ wird im spieltheoretischen Sinne gebraucht. Die bisher hauptsächlich betrachteten Grenzfälle einer Marktstruktur,
Monopol und Polypol, sind in der Realität kaum anzutre¤en. Die Marktstruktur des Oligopols,
in dem die Aktion eines einzelnen Marktteilnehmers die Aktionen der anderen Marktteilnehmer
beein‡uß
t, kommt der Wirklichkeit wesentlich näher. In den folgenden Kapiteln werden die Aktionsparameter der Unternehmen (Preis, Menge, Qualität, Variantenzahl und Standort) näher
betrachtet.
Kurzer geschichtlicher Abriß
:
”structure-conduct-performance-Paradigma” (Bain / Mason; 40er bis 60er Jahre, auch
Harvard-Tradition genannt): Die Marktstruktur determiniert das Verhalten; dieses wiederum bestimmt die Marktergebnisse (empirische Arbeiten, kaum theoretisch fundiert).
Historische Schule (bis in die 80er Jahre): Einzelfallanalysen, Beschreibung von casestudies; wenig Theorie
Chicago-school (Milton Friedman, Gary S. Becker): Anwendung der Neoklassischen Ökonomie (Preistheorie) auf die Industrie
Spieltheoretische Herangehensweise (seit den 90er Jahren): Verhaltensanalyse von Unternehmen
Exkurs: Interaktive Entscheidungstheorie
Ergebnismatrix:
Handlungsalternativen
Umweltzustände (UWZ)
A
B
C
D
(f)
.
.
1
2
3
(g)
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.
.
.
.
.
Dominiert eine Handlungsalternative alle anderen in jedem Umweltzustand (UWZ), so wird sie
gewählt. Ist dies nicht der Fall, so ist es notwendig, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Umweltzustände p(UWZ) zu kennen, damit man den Erwartungswert für alle Handlungsalternativen
berechnen und nach einer Entscheidungsregel maximieren kann.
In der Spieltheorie oder beim strategischen Spiel hängen die Aktionen eines Spielers von den Aktionen der übrigen ab. Es bestehen Interdependenzen zwischen der Reaktion der anderen Spieler
und den eigenen Handlungen. Zusätzlich gibt es eine objektive Umwelt. Diese Konstellation
nennt sich ”Reaktionsverbundenheit”.
2
Reaktionsverbundenheit:
1. Das Ergebnis von Entscheidungen hängt von mehreren Entscheidungsträgern ab (nicht nur
ein Spieler und eine anonyme Umwelt), so dass ein einzelner das Ergebnis von Entscheidungen nicht unabhängig von der Wahl der anderen bestimmen kann.
2. Jeder Entscheidungsträger ist sich dieser Abhängigkeiten bewuß
t.
3. Jeder Entscheidungsträger geht davon aus, daßalle anderen sich ebenfalls der Interdependenzen bewuß
t sind.
4. Jeder Entscheidungsträger berücksichtigt bei seinen Entscheidungen Punkt 1, 2 und 3.
Handlungsalternativen / Parameter von Unternehmen (unabhängig davon, welcher Industrie sie
angehören):
Preis-, Mengen- oder Kostenführerschaft können angestrebt werden.
Di¤erenzierung (Produkt, Varianten, Standort, Qualität), um einen komparativen Vorteil
oder größ
eren Gewinn zu erzielen.
Integrationsgrad.
Forschung und Entwicklung: angestrebt wird ein zeitlicher Vorteil.
Werbung.
Voraussetzungen bei der Betrachtung des Mengenanpasserverhaltens:
Der Marktpreis p̄ ist gegeben; am Markt be…ndet sich ein Unternehmen, das nur ein Produkt
herstellt und einen Faktor einsetzt, dessen Preis r̄ gegeben ist.
G=p q
r x(q)
Berücksichtigt man zwei Unternehmen bei der Betrachtung, so lassen sich die Interdependenzen
folgendermaß
en darstellen (q1 bzw. q2 ist die Menge, die von Unternehmen 1 bzw. 2 produziert
wird):
G1 = p(q1 ; q2 ) q1
r x(q1 )
und: q2 (q1 (q2 (q1 (....)))) Produktionsmenge des zweiten Unternehmens hängt von der des ersten
ab, die wiederum ....
Genau mit diesen Problemen beschäftigt sich die Spieltheorie. Es sollte deutlich geworden sein,
dass die heutige Industrieökonomik als angewandte Spieltheorie betrachtet werden kann. Die
Verbindungen zwischen Industrieökonomik und Spieltheorie sind sehr vielfältig: sie befruchten
sich gegenseitig.
3
2
Marktstruktur und Verhaltensweise
2.1
Marktformen
Marktformen:
Anbieter
wenige
Nachfrager
einer
einer
wenige
viele
Bilaterales Monopol
Beschränktes Monopol
Monopol
Beschränktes Monopson
Bilaterales Oligopol
Oligopol
viele
Monopson
Oligopson
Polypol
Dieses Marktformenschema tri¤t nur Aussagen über die Menge der Anbieter und Nachfrager,
die auf einem Markt vertreten sind, nicht über deren Verhalten. Im folgenden wird näher auf
das Verhalten einzelner in unterschiedlichen Situationen eingegangen.
Gewinnbedingungen:
1. positiver Gewinn (langfristige Fixkostendeckung)
2. Preis = Grenzkosten
Gewinnmaximierung eines Mengenanpassers
(Marktpreis = Datum, zu dem jede Menge abgesetzt werden kann)
p= r
@x
@q
(Preis = Grenzkosten)
Gewinnmaximierung eines Monopolisten
(Anbieter kann Marktpreis beein‡ussen: Preis- oder Mengen…xierung; Preis-Absatz Funktion ist
relevant)
G = p(q) q
@q
@G
@q = p @q +
@p
@G
@q = p + @q
1
@p
@q
q
p
r x(q)
q
p
p (1+ ) = r
r
r
@x
@q
@x
@q
@x
@q
(G: Gewinn, p: Preis des Gutes,
q: Output-, x: Inputmenge, r: geg. Faktorpreis)
(Produktregel: (u v)0 = u0 v + v 0 u)
@q p
(Preiselastizität der Nachfrage " = @p
q)
Bedingung f. optimale Produktionsmenge
Beim Verhalten eines Mengenanpassers können drei Fälle unterschieden werden:
Fall 1
Konstante Grenzkosten (variable Kosten steigen proportional)
Liegt der Marktpreis p über den Grenzkosten, so bietet der Anbieter ab der Mindestmenge
(diejenige, die die Fixkosten deckt) eine unendlich groß
e Menge an; es existiert kein Marktgleichgewicht. Liegt der Preis unter den Grenzkosten, kommt kein Angebot zustande.
(p < GK ) q = 0; p > GK ) q ! 1)
Fall 2
Steigende Grenzkosten
Beim Marktpreis p ergibt sich ein Marktgleichgewicht mit der angebotenen Menge q unter der
Voraussetzung, dass die totalen Kosten durch den Preis gedeckt werden. Je größ
er die Fixkosten
sind, desto größ
er ist die minimale Menge, unter der kein Angebot zustande kommt (Charakteristische Konstellation in der Tierhaltung).
4
Fall 3
Sinkende Grenzkosten
Wegen steigender Grenzgewinne aufgrund der abnehmenden Grenzkosten steigt der Gewinn mit
jeder zusätzlich verkauften Einheit. Die Produktion wird daher unbegrenzt ausgedehnt (Annahme: keine Kapazitätsrestriktionen). (Diese Konstellation ist tendenziell in der Schweinemast, vor
allem jedoch in der industriellen Produktion (Computerchips, CD’s oder Autos) zu beobachten.)
TK
TK
TK
p
p
p
GK
VK
VK
P*
FK
P*
FK
FK
GK
P*
GK
Fall 1
q
q*
q
q
Fall 2
Fall 3
TK: totale Kosten; FK: Fixkosten; VK: variable Kosten; GK: Grenzkosten
Beispiel
Erklärung der Wachstumstendenz in der Schweinemast im Vergleich zur Schweinezucht:
Die Schweinemast ist gekennzeichnet durch die relativ groß
e Bedeutung des Faktors Kapital die Fixkosten, z.B. für eine Stallinvestition, sind hoch. Bei Betriebsvergröß
erungen sinken die
Fixkosten pro produzierter Einheit (das Seuchenrisiko steigt, wird jedoch durch Schleusen, eine
begrenzte Zahl fester Zulieferer etc. in Grenzen gehalten). Da Kapital ein homogener Faktor
ist und in unbegrenzter Menge zur Verfügung steht, und weil das Fachwissen für die Mast von
1000 dem für 10000 Schweinen entspricht, ist ein Größ
enwachstum relativ leicht realisierbar.
Die Schweinezucht dagegen ist abhängig vom Faktor Arbeit. Detailliertes Wissen der jeweiligen
Arbeitskraft ist ausschlaggebend, kann jedoch nicht problemlos überprüft beziehungsweise weitergegeben werden. Der Drang zum Größ
enwachstum ist geringer, wenn Erfahrung eine wichtige
Rolle in der Produktion spielt.
Exkurs: Problem der Nicht-Teilbarkeit von Faktoren
Da Faktoren nicht beliebig teilbar sind, existieren Sprungkosten. Zwischen p1 und p2 liegt ein Bereich, in dem sich bei steigendem Preis die angebotene Menge nicht ändert (trotz Preissteigerung
zum Beispiel keine Stallbauinvestition).
p
TK
p1
FK
p2
VK
P*
q
q
Sprung…xe Kosten
Im folgenden wird zumeist von den Fixkosten abstrahiert, die nur ausschlaggebend sind für
die Entscheidung: Produktion - ja oder nein? Nur die variablen Kosten sind Gegenstand der
Betrachtung, da sie für die zu produzierende Menge relevant sind.
Bemerkung
Kapazitätsgrenze
An der Kapazitätsgrenze steigen die Grenzkosten der Produktion sprunghaft auf ein höheres Niveau oder ins Unendliche. Das Unternehmen wird seine Produktion also nicht ohne weiteres über
5
diese Begrenzung hinaus ausdehnen, sondern eine neue Entscheidung in Abhängigkeit vom Planungshorizont tre¤en. Möglicherweise wird es kurzfristig an der Kapazitätsgrenze produzieren,
langfristig seine Kapazität durch eine Investition ausdehnen.
2.2
Das Konkurrenzgleichgewicht: Paradigma des Vollkommenen Marktes
Bedingungen
homogenes Produkt
keine Transaktionskosten
vollständige Information der Marktteilnehmer
atomistische Angebots- und Nachfragestruktur = Mengenanpasser
Wohlfahrtsmaximierung im Modell des Vollkommenen Marktes
p
A
p0
P*
α
γ
β
N
q0
q
*
q
Wohlfahrtswirkungen
Im Gleichgewicht (p*, q*) wird die Wohlfahrt maximiert. Wird der Preis (zum Beispiel durch
staatliche Verordnungen) auf p0 angehoben, so steigt die Produzentenrente um und sinkt um
, die Konsumentenrente verringert sich um und , da die Konsumenten einen höheren Preis
zu zahlen haben. Insgesamt beträgt der Unterschied in der Wohlfahrt durch die Preiserhöhung
w = -( + ). Es handelt sich also um einen Wohlfahrtsverlust. Ähnliche Wohlfahrtswirkungen
sind auch bei einer Preissenkung zu beobachten.
Das Modell des ”Vollkommenen Marktes”, der die Wohlfahrt maximiert (Arrow-Debreu), wird
formuliert, um eine möglichst einfache Struktur zu erhalten - Ökonomen erheben nicht den
Anspruch, damit die Realität abzubilden. Die in der Wirklichkeit existierenden verschiedenen
Marktformen, unvollständige Information, etc., …nden Eingang in moderne ökonomische Modelle. Modelle können, da die Wirklichkeit sehr komplex und vielfältig ist, immer nur einen Ausschnitt der Wirklichkeit darstellen. Um diese Wirklichkeit besser zu verstehen, gilt es, UrsacheWirkungs-Zusammenhänge herauszuarbeiten. Dies geschieht in Modellen, die sich auf die Darstellung und Analyse eines oder weniger Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge konzentrieren.
6
2.3
Ein kleines Modell des ”Vollkommenen Marktes” mit zwei Anbietern,
die sich als Mengenanpasser verhalten
De…nition:
Ein Käufer oder Verkäufer (Agent) verhält sich als Mengenanpasser, wenn er annimmt, dass der
Marktpreis gegeben ist und dass seine Aktionen den Marktpreis nicht beein‡ussen.
Annahmen
homogenes Produkt
lineare aggregierte Nachfrage: p(Q) = a b Q
a; b > 0
(p=Preis, Q=Gesamtnachfrage) (die Nachfragefunktion verläuft nur im ersten Quadranten
(oben rechts) und hat einen fallenden, linearen Verlauf)
zwei Firmen (i=1, 2) produzieren das homogene Produkt (qi = Menge, die Unternehmen
i produziert; ci =variable Kosten des Unternehmens i); in beiden Unternehmen sind keine
Fixkosten vorhanden, beide haben linear steigende Totalkosten
p
c
ci= Steigung
a
Steigung: (-)b
q
Q
Nachfragefunktion
Kostenfunktion
a p
b
b
Hieraus folgt: Die Nachfragefunktion hat die Steigung -b; sie schneidet die Q-Achse bei ab .
p=a
b Q
,
b Q=a
p
,
Q=
Totale Kosten:
T Ki (qi ) = ci qi
i = 1; 2 c2 > c1 > 0
[T K1 (q1 ) = c1 q1
T K2 (q2 ) = c2 q2 ]
Die Kostenfunktion impliziert, dass keine Fixkosten vorhanden sind, und daßdie totalen Kosten
linear steigen. Da weiterhin gilt c2 > c1 > 0, hat Unternehmen 2 höhere variable Kosten. Hieraus
folgt:
Grenzkosten:
GKi (qi ) =
@T Ki (qi )
= ci
@qi
[T K1 (q1 ) = c1 q1
@T K1 (q1 )
= c1 ]
@q1
Durchschnittskosten:
T Ki (qi )
= ci
qi
Diese Ableitung beweist, dass bei der angenommenen Kostenfunktion die Grenzkosten den
Durchschnittskosten entsprechen. Dies gilt nur, wenn keine Fixkosten vorhanden sind und die
variablen Kosten konstant sind. Gäbe es Fixkosten, so würden die Grenzkosten unter den Durchschnittskosten verlaufen, und die Kurven würden sich asymptotisch annähern.
DKi (qi ) =
DK = c = GK = konstant
Wie sieht in der Situation ”2 Unternehmen mit unterschiedlichen Grenzkosten, die sich als
Mengenanpasser verhalten” das Marktgleichgewicht aus?
7
p
a
c2
c1
a b
Q
Grenz- und Durchschnittskosten
Das Triplet {pe ,qe1 ,qe2 } ist ein Konkurrenzgleichgewicht, wenn
De…nition:
1. pei ,qei die Lösung ist von
max
qi
i (qi )
= pe q i
T Ki (qi ) i = 1; 2
(pe = Gleichgewichstpreis, e = Index für ”equilibrium”; qie = Gleichgewichtsmenge;
Unternehmen i) und
2. gilt, dass
pe = a b (q1e + q2e )
pe ; qie 0
i
= Gewinn
d.h., das Preisgleichgewicht muss auf der Nachfragekurve liegen. (Im Gleichgewicht wird die
gesamte angebotene Menge nachgefragt ! Markträumung.)
Lemma 1
Die Angebotsfunktion ist gegeben durch
qi =
1
[0, 1[
0
für p > ci
für p = ci
für p < ci
Beweis. Die Gewinnspanne (p ci ) bleibt konstant pro Produkteinheit. Das Unternehmen würde
also unendlich (qi = 1) produzieren, wenn p ci > 0; es würde gar nichts produzieren (qi = 0),
wenn p ci < 0. Ist p ci = 0, dann macht das Unternehmen einen Gewinn von 0 bei jeder
Produktionsmenge - die Produktionsmenge ist somit unbestimmt.
Behauptung 2.1
Wenn a c2 > c1 , dann ist der einzige Konkurrenzgleichgewichtspreis pe = c1 und wenn c2 > c1 ;
dann ist q2e = 0 (Unternehmen 2 produziert nicht) und q1e = a bc1 (Unternehmen 1 produziert
die gesamte nachgefragte Menge.)
p
a
c2
p
e
c1
qe=q1
Q
Gleichgewichtspreis
8
Es gilt: pe = c1 = a
b q1e
q1e =
()
a c1
b
Bemerkung
Bisher wurde keine Reaktionsverbundenheit berücksichtigt, sondern nur Mengenanpasserverhalten! (Bei jedem Preis p > c2 : Produktionsmenge q = 1 ! Anpassungsprozess wegen des
Angebotsüberschusses: p # ; Unternehmen 2 scheidet aus dem Markt aus; noch immer Überproduktion ! p # weiter bis pe = c1 ; erst hier Marktgleichgewicht.)
De…nition:
Im Marktgleichgewicht (pe , q1e , q2e ) mit c2 > c1 ist die soziale Wohlfahrt de…niert durch
W (p) = KR(p) +
2
X
i (p)
i=1
mit KR = Konsumentenrente, PR =
2
P
i (p)
= Produzentenrente
i=1
p
α
β
p0
γ
c1=pe
ϕδ
µ
Q0
Qe
pu
Qu
q
Wohlfahrtsvergleich
Behauptung 2.2
Das Wohlfahrtsmaximum be…ndet sich in (pe , q1e , q2e ) mit q1e =
Beweis. KR =
+
+
PR =
= (pe
Im Punkt (Q0 ; p0 ) ist die Wohlfahrt um
KR =
P R = = (p0 c) Q0 =
c) Qe = 0
a c1
b
und q2e = 0.
W = KR + P R =
geringer.
W = KR + P R =
+
+
+
Im Punkt (Qu ; pu ) erleiden die Produzenten einen Verlust von +'+ , die Produzentenrente
beträgt somit -( + +'), die Konsumentenrente ist größ
er als im Wohlfahrtsmaximum (sie steigt
um +'), reicht jedoch nicht aus zur Kompensation =) Wohlfahrtsverlust W = :
9
3
3.1
Preis- und Mengenwettbewerb
Mengenwettbewerb im Cournot-Modell
Das Cournot-Modell: Ein kleines Modell eines Marktes mit zwei Anbietern und Reaktionsverbundenheit.
Annahmen
homogenes Produkt
lineare aggregierte Nachfrage
b=1
!
p(Q) = a
p(Q) = a
bQ
a; b > 0
Q
zwei Unternehmen (i=1, 2) produzieren das homogene Produkt
beide Unternehmen haben linear steigende Totalkosten:
T K(qi ) = ci qi
i = 1; 2
mit ci > 0
beide Unternehmen haben identische Kostenfunktionen
c1 = c2 = c
statisches Spiel: beide Unternehmen tre¤en ihre Entscheidungen über die jeweilige Produktionsmenge simultan ohne Kenntnis der tatsächlichen Produktionsmenge des Konkurrenten
vollständige Information: jedes Unternehmen kennt seine Kostenfunktion und die des anderen Unternehmens sowie die Gesamtnachfragefunktion
die Produktionsmenge ist (einziger) strategischer Parameter für beide Unternehmen
Reaktionsverbundenheit
Wie sieht das Marktgleichgewicht aus?
De…nition:
Strategieraum: Si = [0, 1[, d. h. qi
0
Da p(Q) = 0 für Q > a, wird kein Unternehmen eine größ
ere Menge als a anbieten.
p
a
Q
a
De…nition:
Gewinn:
i (qi ; qj )
= qi [p(qi + qj )
c] = qi [a
(qi + qj )
beziehungsweise bei zwei Unternehmen:
c] = q1 [a (q1 + q2 )
1 (q1 ; q2 ) = q1 [p(q1 + q2 )
c] = q2 [a (q1 + q2 )
2 (q1 ; q2 ) = q2 [p(q1 + q2 )
c]
für alle i; j mit i 6= j
c]
c]
De…nition:
Nash-Gleichgewicht: Ein Strategiepaar (s1 , s2 ) ist ein Nash-Gleichgewicht, wenn für jeden Spieler
i gilt:
ui (si ; sj ) ui (si ; sj )
10
für jede mögliche Strategie si in Si .
Konkret bedeutet das im Duopol:
1 (q1 ; q2 )
2 (q1 ; q2 )
1 (q1 ; q2 )
1 (q1 ; q2 )
Wenn si 2 Si obiger De…nition entspricht, ist die gewählte Strategie si die Lösung der Optimierungsaufgabe
max ui (si ; si )
si 2Si
1. Lösungsweg zur Bestimmung des Cournot-Nash-Gleichgewichts: algebraisch
im Fall von zwei Unternehmen:
max u1 (s1 ; s2 ) = s1
und
s1 2S1
max u2 (s1 ; s2 ) = s2
s2 2S2
(= De…nition des Nash-Gleichgewichts!)
Analog im Cournot-Duopol-Modell: das Paar von Angebotsmengen (q1 , q2 ) ist dann ein NashGleichgewicht, wenn für jede Firma i qi die Lösung ist von
max
i (qi ; qj )
= max qi [a
(qi + qj )
c]
0
qi
1
beziehungsweise bei zwei Unternehmen:
max
[
@
1 (q1 ; q2 )
@q1
1 (q1 ; q2 )
=a
= max q1 [a
(q1 + q2 )
c] 1
a
2q1
(q1 + q2 )
c]
q1 1 = 0
q2
c = 0
2q1 = a q2 c
1
(a q2 c)
q1 =
2
und
max
2 (q1 ; q2 )
=
max q2 [a (q1 + q2 ) c]
1
=)
q2 = (a q1 c)
2
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten (ineinander einsetzen, um die Lösung zu erhalten):
q1 =
q1 =
3
q =
4 1
q1 =
1
1
[a
(a
2
2
1
1
a + q1
4
4
1
1
a
c
4
4
a c
und
3
q1
1
c] = a
2
c)
1
1
1
a + q1 + c
4
4
4
1
c
2
1
c
4
q2 =
a
c
3
Gleichgewichtsmenge im Duopol (Cournot): beide Unternehmen bieten (bei gleicher Kostenfunktion) die gleiche Menge qi = a 3 c an.
11
Gewinn im Cournot-Nash-Modell:
i (q1 ; q2 )
a
=
c
3
a
=
c
(a
2
(a
3
(a
c)
3
3 2
= (
)
9 9
c)
a
(a
3
(a
c)2 =
c) =
2
(a
9
(a
c)2 =
(a
c)
c)2
3
2
(a c)2
9
2(a c)2
9
c
(a
3
c)
c)2
9
Der Gewinn der beiden Unternehmen im Duopol beträgt
anbieten:
(a c)2
9 ,
wenn sie jeweils qi =
a c
3
2. Lösungsweg zur Bestimmung des Cournot-Nash-Gleichgewichts: geometrisch (aus Maximierungsansatz)
Aus q1 = q2 und qi = 12 (a
R2 (q1 ) = 12 (a
R1 (q2 ) = 21 (a
q1
q2
qj
c) mit i = 1; 2 und i 6= j folgt:
c)
c)
R2 und R1 sind die jeweils beste Antwort auf jede beliebige Menge q1 beziehungsweise q2 .
1
(a
2
R2 (q1 ) =
1
a
2
1
q1
2
1
c = 0
2
q1 = a
q1
!
c) = 0
c
q2
(0,a-c)
R1(q2)
(0, ½(a-c))
R2(q1)
(½(a-c), 0)(a-c, 0)
q1
Reaktionsfunktion
Das Optimum liegt im Schnittpunkt der beiden Reaktionsfunktionen q1opt und q2opt ! (qi = a 3 c )
(q opt bezeichnet die Reaktionsfunktion, die jeder beliebigen Menge des Konkurrenten eine Menge
zuordnet; q kennzeichnet den Gleichgewichtswert, der die optimale Antwort auf das q opt des
Konkurrenten darstellt.)
(q1 ; q2 ) = Nash-Gleichgewicht = ”wechselseitig beste Antworten”
12
p1, q2
QM = ½ (a-c)
a
Q* =2/3 (a-c)
Qe = a-c
P=a-Q
QM < Q* < Qe
pM > p* > pe
(0, a-c)
pM
P*
Pe
c
QM
q
Q* Qe
(a-c, 0)
GE
Q, q1
c
Exkurs
Fall 1
Situation im Monopol: Wie sieht die Angebotsmenge des Monopolisten aus?
max M
max M
@ M
@qM
2qM
= qM (a qM c)
2
= a qM qM
qM c
= a
2qM
qM
= a
a
=
c
c
pM
= a
!
c=0
2
a
qM = a
c
2
=
1
(a + c)
2
Der Monopolist bietet qM = a 2 c an. (Zur Erinnerung: Im Duopol (bzw. Cournot-Nash-Gleichgewicht)
bieten die beiden Unternehmen jeweils qi = a 3 c an. Das heiß
t, die gesamte angebotene Menge,
2
mit Q = 3 (a c) ist größ
er.)
Gewinn des Monopolisten:
M
=
=
a
2
2a2
c
(a
2ac
a
c
c) =
2
a2 + 2ac
4
a2
c2
2ac + c2 ac c2
2
4
2
2ac + 2c2
a2 2ac + c2
(a c)2
=
=
4
4
ac
a2
Fall 2
Situation bei Absprache: Gewinn eines Kartells (im Kartell wird die gewinnmaximale Monopolmenge angeboten, es existiert ein symmetrisches Gleichgewicht):
qk = qM = q1 + q2
qM
qi =
2
(a c)2
M
und i =
=
2
8
Halten sich beide Unternehmen an getro¤ ene Absprachen, so erzielen sie jeweils den halben
Monopolgewinn. Da die geringe Angebotsmenge im Monopol einher geht mit einem hohen Preis,
besteht für jedes Kartellmitglied ein Anreiz, abzuweichen, um den eigenen Gewinn zu erhöhen.
13
Ist es für Unternehmen 1 optimal, wenn Unternehmen 2 die halbe Monopolmenge anbietet,
ebenfalls die gleiche Menge anzubieten (vorausgesetzt eine Bindung und Sanktionierung ist nicht
möglich)?
1 a c
a c
q i = qM
2 = 2
2 = 4
(q1 + q2 ) c), wobei q2 =
1 = q1 (a
1
1
a c
4
= q1 (a (q1 + a 4 c ) c)
= aq1 q12 q1 a 4 c q1 c
@ 1
@q1
a
a
c
= a
2q1
a
c
!
c=0
4
c = 2q1
4
q1 =
3
(a
8
c)
Bietet Unternehmen 2 die halbe Monopolmenge q2 = a 4 c an, so ist es für Unternehmen 1 nicht
optimal, das auch zu tun. Es kann seinen Gewinn durch Ausdehnung der Angebotsmenge auf
q1 = 38 (a c) maximieren. Es existiert kein stabiles Gleichgewicht.
Vergleich der Gewinne
halbe Monopolmenge:
1
= q1 (a
a
c
2
Unternehmen 1: q1 = 38 (a
0
1
0
1
0
1
= q10 (a 58 (a c) c)
= q10 38 (a c)
= 83 (a c) 38 (a c) =
9
64 (a
c) = q1
a
c
!
2
1
=
c); Unternehmen 2: q2 =
a
c a
c
4
2
a c
4
= 28 (a
1
= (a
8
c)2
c):
c)2
In der zweiten Situation hat Unternehmen 1 einen um
1
64 höheren
Gewinn.
Vergleich Mengenanpasser, Monopolist, Duopol
Was ändert sich, wenn die Nachfragefunktion nicht-linear ist?
Bei ”normaler” (d.h. stetig abnehmender) Nachfragefunktion gilt immer: Qe > Q > QM
p: Lautet die Nachfragefunktion zum Beispiel p = a Q2 ; ist also somit Q2 = a p ! Q = 2 a p;
dann rücken die Gleichgewichte auf der Mengenachse näher zusammen.
y
10
8
6
4
2
0
2
4
14
6
8
10
x
Nachfrage: p = 9 Q2 , Reaktionsfunktionen: R1 = 6
p
p
(Q = 61 + 16 2 69; p = 16 2 69 + 16 )
3Q2 und R2 =
q
2
2+
Q
3
Behauptung 3.1
Auch bei nicht-linearen Nachfragekurven (solange diese stetig abnehmend sind) gilt
Qe > Q > QM :
Beweis.
1. Qe > Q
Es kann keine Menge angeboten werden, die zu einem Preis führt, der unter dem Konkurrengleichgewichtspreis pe liegt. Dies bedeutet, dass die im Cournot-Nash-Gleichgewicht
angebotene Gesamtmenge unter der bei Mengenanpasserverhalten angebotenen Gesamtmenge liegen muß
.
2. Qe > QM
Die von einem Monopolisten angebotene Menge liegt immer unter der Menge, die bei
Mengenanpasserverhalten angeboten wird. Die Argumentation entspricht 1.
3. Q > QM
Die Monopolmenge ist die beste Antwort auf eine Angebotsmenge des Konkurrenten von
Null. Wenn zwei Unternehmen auf dem Markt sind und sich beide als Nash-Spieler verhalten, ist die gesamte Angebotsmenge immer größ
er als die Monopolmenge.
) Da Qe > Q ; Qe > QM und Q > QM gilt: Qe > Q > QM
Sollte man Konkurrenten auf sich aufmerksam machen? (Situation: Monopolist am Markt, neuer
Mitbewerber tritt ein - sollte er den Monopolisten aufmerksam machen?)
Zur Beantwortung dieser Frage wird das Cournot-Modell mit folgender Verhaltensannahme betrachtet: Unternehmen 1 verhält sich als Monopolist, Unternehmen 2 ”spielt”Nash-Gleichgewicht.
Annahmen
homogenes Produkt
lineare aggregierte Nachfrage mit b = 1
p(Q) = a
bQ = a
Q
a; b > 0
zwei Unternehmen (i=1, 2) produzieren das homogene Produkt
beide Unternehmen haben linear steigende Totalkosten:
T K(qi ) = ci qi
i = 1; 2
mit ci > 0
die Unternehmen haben identische Kostenfunktionen c = c2 = c1 > 0; mit a > c
statisches Spiel: die Unternehmen tre¤en ihre Entscheidungen über die Produktionsmenge simultan; der ”Monopolist” weißnicht, dass er nicht mehr alleine am Markt ist, der
neue Anbieter blickt auf die Erfahrung zurück, welche Menge der Monopolist in früheren
Perioden angeboten hat
Information: jedes Unternehmen kennt seine eigene Kostenfunktion, der neue Mitbewerber
kennt auch die des ”Monopolisten” sowie die Gesamtnachfragefunktion
die Produktionsmenge ist (einziger) strategischer Parameter für beide Unternehmen
Reaktionsverbundenheit nur für den neuen Anbieter
15
Optimale Angebotsmenge Unternehmen 1 (nimmt an, dass Q = q1 und daßes bei dieser Menge
den Monopolpreis erzielen kann):
= q1 (a
1
Q
@ 1
= (a q1
@q1
2q1 c = 0
a c
q1M =
2
a
c)
!
c)
q1 1 = 0
Optimale Angebotsmenge Unternehmen 2 (sucht die Menge, die den Gewinn maximiert bei
monopolistischem Verhalten des anderen Unternehmens):
2
@ 2
@q2
= q2 (a
q1
q2
= a
q1
q2
c
a
a
q1
q1
2
2q2
c
q2opt =
c)
!
q2 = 0
!
c=0
da q1 = q1M (einsetzen)
a c
2
a
q2 =
c
2
a
q2 =
c
4
Gleichgewichtspreis (?) bei monopolistischem Verhalten von Unternehmen 1 und Nash-Verhalten
von Unternehmen 2 im Cournot-Modell:
p? = a
Q=a
a
c
a
4
c
2
1
3
= a+ c
4
4
Gewinne: Da die Angebotsmenge von Unternehmen 1 doppelt so hoch ist wie diejenige von
Unternehmen 2 und beide dieselben konstanten Grenzkosten haben, ist der Gewinn von Unternehmen 1 doppelt so hoch wie der von Unternehmen 2.
2
=
a
c
4
1
3
( a+ c
4
4
c) = (
a
c
4
)2
P
a
¼(a-c)
a1P
a2P
pM
P?
c1=c2=c
q1M
q2*
Q
Verhaltensänderung des Monopolisten
16
Ist dies ein Gleichgewicht?
Nein. Unternehmen 2 hat zwar die beste Antwort auf die von Unternehmen 1 geplante und
tatsächlich angebotene Menge gegeben, Unternehmen 1 jedoch erzielt nicht den erwarteten Monopolpreis: In der nächsten Periode wird Unternehmen 1 (angenommen, es verhält sich weiterhin
als Monopolist) eine geringere Menge anbieten als in Periode 1. Da das monopolistische Unternehmen den Punkt (q1M ; q ? ) in der ersten Periode ”beobachtet”(realisiert) hat, nimmt es an, die
Nachfragekurve verlaufe jetzt (zum Beispiel aufgrund von Präferenzänderungen) durch diesen
Punkt und richtet sein (monopolistisches) Angebotsverhalten danach aus.
a c
4
a2P = a1P
M (2P )
q1
=a
2P
2
c
=a
3
a+ 4c
4
=
2
a c
4
c
c
4
= 34 a +
= 38 (a1P
c)
Angebotsmenge ”Monopolist”
Gewinnmaximales Verhalten des unbemerkten Konkurrenten (er weiß
, dass sich die Nachfragekurve nicht verschoben hat):
2P
2
2P
@ 2
@q22P
= q22P (a
Aus q21P opt = 14 (a
q22P
M (2P )
q22P
M (2P )
2q22P
M (2P )
c
= a
q1
a
q1
a
q1
q22P opt =
M (2P )
q1
=
2
c) und q22P opt =
5
16 (a
c
c)
!
q22P = 0
!
c=0
3 1P
8 (a
a
c)
c
2
=
5
(a
16
c)
c) erkennt man, dass die vom Unternehmen 2 angeboM (1P )
tene Menge mit jeder Periode steigt, da die Menge des Monopolisten abnimmt (q1
M (2P )
c); q1
= 21 (a
= 38 (a c)). Dieser Vorgang setzt sich so lange fort, bis Unternehmen 1 vom Markt
verdrängt ist, Unternehmen 2 wird zum Monopolisten.
Was ändert sich, wenn die Kosten der am Markt vertretenen Unternehmen unterschiedlich sind?
(Lohnt sich ein Markteintritt, wenn man weiß
, dass man höhere Kosten als der Konkurrent hat?)
Die Beantwortung dieser Frage obliegt dem folgenden Abschnitt.
3.1.1
Das Cournot-Modell mit unterschiedlichen Kosten
Annahmen
homogenes Produkt
lineare aggregierte Nachfrage
b=1
!
p(Q) = a
p(Q) = a
bQ
a; b > 0
Q
zwei Unternehmen (i=1, 2) produzieren das homogene Produkt
beide Unternehmen haben linear steigende Totalkosten:
T K(qi ) = ci qi
i = 1; 2
mit ci > 0
die Unternehmen haben unterschiedliche Kostenfunktionen c2 > c1 > 0; mit a > c2
statisches Spiel: beide Unternehmen tre¤en ihre Entscheidungen über die jeweilige Produktionsmenge simultan ohne Kenntnis der tatsächlichen Produktionsmenge des Konkurrenten
vollständige Information: jedes Unternehmen kennt seine Kostenfunktion und die des anderen Unternehmens sowie die Gesamtnachfragefunktion
die Produktionsmenge ist (einziger) strategischer Parameter für beide Unternehmen
Reaktionsverbundenheit
17
Wie sieht das Marktgleichgewicht in diesem Fall mit unterschiedlichen Kosten der Unternehmen
aus?
De…nition:
Strategieraum: Si = [0; 1[ mit qi
si 2 Si
Auszahlung Unternehmen i (i = 1; :::; n):
i
n
X
(
qj )
= qi (a
ci );
j=1
hier also:
1 = q1 (a
(q1 + q2 )
c1 ) und
2
= q2 (a
(q1 + q2 )
c2 )
Gewinnbedingung für jedes einzelne Unternehmen (a; c1 und c2 sind exogen also …x; q1 und q2
sind Strategieparameter, die endogen bestimmt werden.):
a
@ 1
= (a (q1 + q2 )
@q1
c1 = a 2q1 q2
q2 c1 = 2q1
a q2 c1
q1opt =
2
@ 2
@q2
= (a
(q1 + q2 )
a
q2opt =
q1
2
c2 )
c1 )
!
q1 = 0
!
q2 = 0
c2
Da im Nash-Gleichgewicht q1 = q1opt = q1 (einsetzen, nach q1 au‡ösen, in q2 einsetzen):
q1 =
q1 =
a q 1 c2
2
a
2
1
1
a + c2
3
3
c1
1
1
1
= a + q1 + c2
4
4
4
2
1
2
c1 und q2 = a
c2 +
3
3
3
Für die Gesamtmenge Q erhält man
Q
und, da p = a
= q1 + q2
1
1
a + c2
=
3
3
2
1
=
a
c2
3
3
2
1
c1 + a
3
3
1
c1
3
2
1
c2 + c1
3
3
Q ist, für den Preis
p
2
1
1
( a
c2
c1 )
3
3
3
1
1
1
a + c2 + c1
3
3
3
= a
=
18
1
c1
2
1
c1
3
sowie für den Gewinn von Unternehmen 1 und 2:
1
2
= p q1 c1 q1
1
1
1
1
1
2
1
1
= ( a + c2 + c1 ) ( a + c2
c1 ) c1 ( a + c2
3
3
3
3
3
3
3
3
1 2 2
4
1 2 4
4 2
=
a + ac2
ac1 + c2
c2 c1 + c1
9
9
9
9
9
9
1
=
(a 2c1 + c2 )2
9
= p q2 c2 q2
1
1
1
1
2
1
1
= ( a + c2 + c1 ) ( a
c2 + c1 ) c2 ( a
3
3
3
3
3
3
3
1 2 4
2
4 2 4
1 2
=
a
ac2 + ac1 + c2
c2 c1 + c1
9
9
9
9
9
9
1
(a 2c2 + c1 )2
=
9
2
c1 )
3
2
1
c2 + c1 )
3
3
Bei c1 = c2 = c : 1 = 2 , d.h. bei gleichen Kosten gleiche Gewinne; bei c1 < c2 :
das Unternehmen mit den höheren Kosten hat die niedrigeren Gewinne.
1
>
2,
d.h.
Übersicht über mögliche Situationen:
a < c1 und a < c2 : keines der beiden Unternehmen produziert, der Marktzutritt ist
blockiert.
0
c1 < a und c2
pM (c1 ) = 21 (a + c1 ): Unternehmen 1 ist Monopolist
0
c2 < a und c1
pM (c2 ) = 21 (a + c2 ): Unternehmen 2 ist Monopolist
0
c1 < pM (c2 ) und 0
c2 < pM (c1 ): Duopol
Beispiel
Für ein Cournot-Modell mit unterschiedlichen Kosten existieren zwei Unternehmen, die mit
Kosten von c1 und c2 = 43 c1 produzieren könnten (c1 = 34 c2 , d. h. c1 < c2 ).
Unternehmen 1:
vollkommene Konkurrenz: wegen p = a Q und p = c1 ist Qe = a
1 mit den geringeren Kosten produziert.)
Monopol: die produzierte Menge beträgt QM
1 =
c1 . (Nur Unternehmen
a c1
2 :
Duopol:
q1 =
=
=
1
1
2
1
a + c2
c1 =
(a + c2
3
3
3
3
1
4
1
(a +
c1 2c1 ) =
(a
3
3
3
a 2
c1
3 9
Unternehmen 1 produziert q1 =
a
3
2
9
c1 :
19
2c1 )
2
c1 )
3
Unternehmen 2:
vollkommene Konkurrenz: wegen c1 < c2 produziert Unternehmen 2 nicht
a c2
2 :
Monopol: die produzierte Menge beträgt QM
1 =
Duopol:
1
a
3
1
a
3
1
a
3
q2 =
=
=
2
c2 +
3
2
c2 +
3
5
c2
12
1
c1
3
1 3
( c2 )
3 4
5
5 4
1
Da 13 a 92 c1 = q1 > q2 = 13 a 12
c2 = 13 a 12
3 c1 = 3 a
Unternehmen 1 eine größ
ere Menge als Unternehmen 2.
3.1.2
5
9 c1
2
9 c1
(
>
5
9 c1 )
produziert
Cournot-Nash-Lösung mit vielen Unternehmen
p(Q) = a Q
c1 = c2 = ci = c
8 i = 1; :::; n
i
= qi (a
qi
= a
X
X
qj
c)
c
qi = 0
j6=i
@ i
@qi
a
2qi
X
qj
qi
qj
!
j6=i
= c
j6=i
a
(GE=GK)
2
4a
2qi
X
j6=i
qj
j6=i
()
qj = c
P
= qiopt
2
()
a
c
qi
(qi +
X
j6=i
3
qj ) = c5
Anstatt n Gleichungen zu lösen (n Bedingungen 1. Ordnung) und ineinander einzusetzen, schreiben wir für die gesamte Angebotsmenge
a
qi
Q =c
()
a
c
Q = qi
Aufsummiert über alle qi , i = 1; :::; n ergibt dies, da alle Unternehmen identisch sind:
n a n c = n Q +Q
n (a c) = (n + 1) Q
n
Q =
(a c)
n+1
also bei 1 Unternehmen
2 Unternehmen
n! 1 Unternehmen
Q = 12 (a c)
Q = 23 (a c)
Q =a c
(Monopol)
(Nash im Duopol)
(Konkurrenzgleichgewicht, Mengenanpasser)
20
3.1.3
Was ist ein Nash-Gleichgewicht?
max
1 (q1 ; q2 )
q1
=)
q1opt (q2 )
q2 wird auf q1 abgebildet;
Spieler 1 kennt den Strategieraum von Spieler 2.
2 (q1 ; q2 )
max
q2
=)
q2opt (q1 )
q1 wird auf q2 abgebildet;
Spieler 2 kennt den Strategieraum von Spieler 1.
Im Nash-Gleichgewicht gilt:
Spieler 1 kennt die Lösung des Maximierungsproblems von Spieler 2 (Strategieraum, payo¤s)
Spieler 2 kennt die Lösung des Maximierungsproblems von Spieler 1 (Strategieraum, payo¤s)
Da beide dies alles wissen, suchen beide Spieler nach wechselseitig besten Antworten.
q1opt (^
q2 ) =) q1 (^
q2 )
q2opt (^
q1 ) =) q2 (^
q1 ) , wenn die Bedingungen q1 = q^1
und
q2 = q^2
erfüllt sind. (^
q = erwartete Strategie des anderen Spielers, q = Gleichgewichtsstrategie; diese
Bedingungen besagen, daßjeder das tut, was von ihm erwartet wird.)
q1 (q2opt ) =) q1 (q2 )
q2 (q1opt ) =) q2 (q1 )
Hieraus folgt:
1 (q1 ; q2 )
1 (q1 ; q2 )
2 (q1 ; q2 )
2 (q1 ; q2 )
Beispiele
Spiel mit einem Nash-Gleichgewicht (”Gefangenendilemma”):
2
1
D
C
D
C
2, 2
1, 5
5, 1
4, 4
(Die Zahlenwerte geben die Jahre an, die man einsitzen muss.)
D = defektieren (leugnen), C = kooperieren (gestehen); (x, x) = Payo¤ (Spieler 1, Spieler 2)
C ist die dominante Strategie, unabhängig davon, was der andere Spieler tut. [Eine dominante
Strategie ist eine Strategie, die immer besser (oder zumindest genauso gut) ist als jede andere
Strategie.] Bei Variation der Wahrscheinlichkeiten, mit denen D oder C gespielt wird: Erwartungswerte berechnen.
Bei pD = pC = 0; 5 bei Spieler 2 ergibt sich für Spieler 1: EWD = 0; 5 2 + 0; 5 5 = 3; 5 und
EWC = 0; 5 1 + 0; 5 4 = 2; 5; so daßD bevorzugt wird, weil D die dominante Strategie ist. Das
Nash-Gleichgewicht in (C, C) ist nicht pareto-optimal, das heiß
t, mindestens ein Spieler kann
besser gestellt werden, ohne dass der andere schlechter gestellt wird (Hier ist sogar für beide eine
Besserstellung möglich.).
Spiel mit zwei Nash-Gleichgewichten:
2
O
T
3, 4
0, 0
0, 0
4, 3
O = Oper, T = Theater
1
O
T
(Nutzenwerte)
Bei dieser ”battle of sexes” ist kein Gleichgewicht vorhersagbar (Es hängt davon ab, wer in der
Beziehung die größ
ere Macht hat.)
21
Spiel mit einem Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien:
2
K
Z
-1, 1
1, -1
1, -1
-1, 1
K = Kopf, Z = Zahl
1
K
Z
Erklärung der Ergebnismatrix: Bei gleichen Zeichen [(K, K) oder (Z, Z)] bekommt Spieler 2 eine
Geldeinheit, bei ungleichen Zeichen [(Z, K) oder (K, Z)] bekommt Spieler 1 eine Geldeinheit.
Es handelt sich um ein Nullsummenspiel. Alternativen optimaler Antworten:
S1 = K
S1 = Z
!
!
S2 = K
S2 = Z
S2 = K
S2 = Z
!
!
S1 = Z
S1 = K
d.h., es existiert kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, jedoch ein Nash-Gleichgewicht
in der gemischten Strategie 0; 5K + 0; 5Z. Problem hier: Sobald der andere die eigene Strategie
erkennt, hat man ”verloren”, d.h., das beste Verhalten ist eine stochastische Auswahl von K und
Z. Das Nash-Gleichgewicht liegt hier in gemischten Strategien, und zwar solche, bei denen mit
p = 0; 5 gespielt wird. (Schwaches Nash-Gleichgewicht, das heiß
t, kein Spieler kann sich durch
Veränderung seiner Wahrscheinlichkeiten verbessern.)
Variante
2
K
Z
-1, 1
1, -1
1, -1
-1, 1
K = Kopf, Z = Zahl
1
K (p=0,8)
Z (p=0,2)
In dieser Variante spielt Spieler 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,8 K, Z mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2. Die Erwartungswerte für Spieler 2 betragen:
EW (K) = 0; 8 1 + 0; 2 ( 1) = 0; 6
EW (Z) = 0; 8 ( 1) + 0; 2 1 = 0; 6
Seine optimale Handlungsalternative ist somit K.
De…nition:
In einem Normalform-Spiel G = fS1 ; :::; Sn ; u1 ; :::; un g ist, wenn Si = fsi1 ; :::; siK g angenommen wird, eine gemischte Strategie für einen Spieler i eine Wahrscheinlichkeitsfunktion pi =
(pi1 ; :::; piK ), wobei 0 pik 1 für k = 1; :::; K und pi1 + ::: + piK = 1:
Beispiel
Spiel mit zwei Nash-Gleichgewichten ”Hirschjagd”
hoch
S2
hoch
niedrig
5, 5
3, 0
S1
niedrig
0, 3
3, 3
Der Hirsch kann nur bei gemeinsamen hohen Einsatz erlegt werden. Payo¤ der beiden Spieler
bei ”Hirsch” 10 (5, 5), bei Hase 3 pro Spieler, der n gespielt hat. In diesem Spiel existieren
zwei (nicht gleichwertige) Nash-Gleichgewichte: beide bringen einen hohen oder beide bringen
einen niedrigen Einsatz. Bei beidseitig hohem Einsatz sind beide bessergestellt. Dieses Ziel ist
erreichbar durch vorherige bindende Absprache, die Sanktionen bei Nichteinhaltung ankündigt.
(Dies ist im Gefangenendilemma nicht möglich.)
Zusammenfassung
Es gibt immer mindestens ein Nash-Gleichgewicht, das heiß
t eine wechselseitig beste Antwort!
Existiert dieses nicht in reinen Strategien, dann jedoch in gemischten Strategien.
22
Vorgehensweise bei der Suche nach dem Nash-Gleichgewicht:
Maximierung der Gewinne von Unternehmen 1 und Unternehmen 2; 1. Ableitung bilden, um die
Reaktionsfunktion (opt) zu bestimmen
i
=
qi (a
qi
qj
ci )
i 6= j
max
i
=)
qi (qj )
=)
qiopt
max
j
=)
qj (qi )
=)
qjopt
Konsistentes Verhalten (c1 6= c2 ):
1
2
q1 (q20 )
q2 (q10 )
=)
=)
=)
=)
q100
q200
Annahme
Unternehmen 1 und 2 planen ihre Angebotsmenge ”im stillen Kämmerchen”unabhängig voneinander. Beim Aufeinandertre¤en auf dem Markt wird deutlich, dass Unternehmen 2 eine wesentlich größ
ere Menge anbietet, als Unternehmen 1 erwartet hat. Wie soll Unternehmen 1 sich in
der folgenden Periode verhalten? Es stellt folgende Überlegungen an, warum nicht die erwartete
Menge angeboten wurde:
Die Kosten von Unternehmen 2 sind geringer als Unternehmen 1 dachte.
! Unternehmen 1 mußneue Berechnungen anstellen.
Unternehmen 2 hat bessere Marktinformationen.
! Unternehmen 1 mußneue Berechnungen anstellen.
Unternehmen 2 macht systematisch Fehler.
1
= q1 (a
q200
q1
c1 )
! max!
q1
(neu)
Rechtfertigungen dafür, dass Nash (keine andere Strategie!) gespielt wird:
1. Nash-Gleichgewicht = sich selbst erfüllende Prophezeiung, wechselseitig beste Antwort,
d.h. Konsistenz mit den Erwartungen; Pre-play Kommunikation
2. Wenn eine Theorie, die eindeutig das Verhalten der Spieler vorhersagt, den Spielern bekannt ist, dann mußdiese Theorie ein Nash-Gleichgewicht vorhersagen.
3. (Thomas Schelling, 1960): Fokal point
”If there is an obvious way to play a game (derived from either the structure of the game
itself or from the setting) then players will know what other players are doing.
(Ist eine o¤ensichtliche Lösung vorhanden, so werden die Spieler sie spielen.)
4. ”Lernen” (Anpassung führt zur Annäherung.)
Zwei weitere Gleichgewichtskonzepte, die mit Nash ”in Verbindung stehen”:
De…nition:
Eine evolutionär stabile Strategie p zeichnet sich aus durch folgende Merkmale:
Wenn p gegen p gespielt wird ist der payo¤ mindestens so großwie beim Spielen irgendeiner
anderen Strategie gegen p (symmetrisches schwaches Nash-Gleichgewicht).
Für jede andere Strategie q, die denselben payo¤ gegenüber p hat, gilt, dass der payo¤
dann, wenn p gegen q gespielt wird, zumindest genauso großist wie der payo¤, wenn q
gegen q gespielt wird.
23
De…nition:
Rationalisierbare Strategien
Beste Antwort auf eine beliebige Vorstellung gesucht:
q1opt (^
q2 ) =) q1 (^
q2 )
q2opt (^
q1 ) =) q2 (^
q1 )
Es mußjedoch nicht gelten:
q1 = q^1 ; q2 = q^2 ;
das heiß
t, die Wechselseitigkeit muss nicht erfüllt sein bzw. der andere muss nicht unbedingt das
tun, was von ihm erwartet wird.
Beispiel für Nicht-Rationalisierbarkeit: Kooperation im Gefangenendilemma
3.1.4
Sequentieller Mengenwettbewerb (Stackelberg-Modell)
Dynamisches Modell des Duopols von Stackelberg (1934): die dominante Unternehmung (der
Führer) zieht zuerst, ein untergeordnetes Unternehmen (der Folger) zieht als Zweiter.
Schritte:
1. Unternehmen 1 wählt die Menge q1 > 0
2. Unternehmen 2 beobachtet q1 und wählt dann die Menge q2
0:
3. Die Auszahlung (payo¤) für Unternehmen i ist durch die Gewinnfunktion gegeben
i (qi ; qj )
= qi [P (Q)
c]
mit P (Q) = a
Q und Q = q1 + q2 ( sowie c = ci = cj )
Lösungsansatz: Rückwärtsinduktion
1. Reaktionsfunktion von Unternehmen 2 auf beliebige Mengen von Unternehmen 1: R2 (q1 )
ist die Lösung von
max 2 (q1 ; q2 ) = max q2 [a q1 q2 c]
q2 0
q2 0
1. Ableitung nach q2 (Strategievariable) = 0 =) q2 = a q21 c bzw. R2 (q1 ) = a q21 c ; wenn
q1 < a c.
Diese Gleichung ist bereits aus dem ersten Schritt bei der Berechnung des Nash-Gleichgewichts
im Cournot-Modell bekannt. Unterschied ist jedoch, dass hier R2 (q1 ) die beste Antwort auf
die tatsächlich beobachtete Angebotsmenge von Unternehmen 1 ist, während im CournotModell dies die beste Antwort auf eine hypothetische Menge, die gleichzeitig von Unternehmen 1 gewählt wird, darstellt.
Da Unternehmen 1 das Problem genauso gut lösen kann wie Unternehmen 2, sollte Unternehmen 1 antizipieren, dass der von Unternehmen 1 angebotenen Menge mit R2 (q1 )
begegnet wird.
2. Problem von Unternehmen 1 in der ersten Stufe des Spiels ist folglich:
max
q1 0
1 (q1 ; R2 (q1 ))
= max q1 [a
q1
q1 0
R2 (q1 )
c]
aus dem ersten Schritt eingesetzt:
max q1
q1 0
a
q1
2
c
=)
24
q1 =
a
c
2
und R2 (q1 ) =
a
c
4
3.1.5
Vergleich Stackelberg mit Nash-Gleichgewicht im Cournot-Modell
3
= (a
2
4
4
a
c
2
a
c
+
= (a
= q1C + q2C =
3
3
3
QS = q1S + q2S =
QC
a
c
+
a
c
c)
c)
da 34 > 23 folgt QS > QC , das heiß
t, die nach Stackelberg angebotene Gesamtmenge ist größ
er.
Somit gilt auch pS = a QS < pC = a QC , d.h. der Preis im Stackelberg-Modell ist niedriger
2
2
als im Cournot-Modell. Der Gewinn von Unternehmen 1 ist größ
er ( (a 8c) > (a 9c) ), der von
2
2
Unternehmen 2 geringer ( (a 16c) < (a 9c) ) als im Cournot-Modell. Das bedeutet, dass der Spieler
mit der besseren Information schlechtergestellt ist, weil der ”Führer” die Bedingungen setzen
kann, an die sich der Folger (Unternehmen 2) anpassen muss . Die Marktmacht von Unternehmen
1 ermöglicht den größ
eren Gewinn (…rst-mover-Vorteil); die zeitliche Struktur ist in diesem
Modellansatz entscheidend für das Ergebnis. Der Gesamtgewinn ist im Cournot-Modell größ
er
3
( 16
(a c)2 < 92 (a c)2 ).
Beweis. Unternehmen 1 hätte auch die Cournot-Menge a 3 c wählen können. Hierauf hätte Unternehmen 2 ebenfalls die Cournot-Menge gewählt. Aber Unternehmen 1 wählt eine andere
Menge: a 2 c , die einen größ
eren Gewinn bringt.
Der Gleichgewichtspreis im Stackelberg-Modell ist geringer. Also ist auch der gesamte Gewinn
geringer. Dass Unternehmen 1 besser gestellt ist als im Cournot-Modell impliziert, dass Unternehmen 2 vergleichsweise schlechtergestellt ist.
”First-mover-Vorteil” (= Vorteil der Zeitführerschaft): bei gleichen Stückkosten stellt sich
im Stackelberg-Nash-Gleichgewicht der Stackelberg-Führer immer besser als der StackelbergFolger, weil er eine größ
ere Menge als der Folger anbietet. Ist er zugleich Kostenführer, so kann
er seinen Gewinnvorsprung gegenüber dem Folger ausbauen. Ist dies nicht der Fall, so hängt
die Gewinn-Führerschaft von der Größ
e der Kostennachteile ab (geringfügige Kostennachteile
können durch den …rst-mover-Vorteil kompensiert werden).
Diskussion:
1. Vergleich mit Duopol: Unternehmen 1 denkt, es wäre Monopolist, Unternehmen 2 ”spielt”
beste Antwort.
2. Warum stellt hier eine zusätzliche Information von Unternehmen 2, nämlich die tatsächliche Angebotsmenge von Unternehmen 1, dieses schlechter, als wenn es (und auch Unternehmen 2) diese Information nicht erhalten hätte und dies beiden Unternehmen bekannt
ist (d.h. im Cournot-Modell)? Ist es nicht immer so, dass zusätzliche Information, wie in
der Entscheidungstheorie, nützt?
q2
(0, a-c)
R1(q2)
(0, ½(a-c))
R2(q1)
(½(a-c), 0) (a-c, 0) q1
25
Überlegungen zum Stackelberg-Modell:
Unternehmen 1 bietet Konkurrenzmenge (a
weil es Verluste machen würde
Unternehmen 1 bietet die Monopolmenge
a c
2
c) an ! Unternehmen 2 bietet nicht an,
an ! Unternehmen 2 bietet
a c
4
Unternehmen 1 bietet nicht an ! Unternehmen 2 bietet die Monopolmenge
an
a c
2
an
Wenn c2 > pM (c1 ): Unternehmen 2 (Folger) geht nicht auf den Markt, da der Markteintritt
blockiert ist; der Führer ist Monopolist. Gilt ci > a für beide Unternehmen, so spricht man
von einem blockierten Markteintritt (blockaded entry).
Bringt der Stackelberg-Führer eine so hohe Menge aus, dass der Marktpreis unter das
Niveau der Stückkosten des Folgers sinkt, so wird dieser nicht mehr anbieten, um keine
Verluste hinnehmen zu müssen. Der Folger ist vom Markteintritt abgeschreckt. (LimitMengenstrategie). Die Limitmenge des Stackelberg- und Kostenführers, die den Marktpreis
auf c2 abfallen lässt, ist q1L = a c2 . Der dazugehörige Limit-Gewinn des StackelbergFührers beträgt L
c1 ) (a c2 ): Die Abschreckung lohnt, wenn der Gewinn
1 = (c2
1
S
größ
er als der Führergewinn im Stackelberg-Duopol ist. ( L
! c2
1
1
3 (a + 2c1 )).
Menge, Preis und Gewinn bei abgeschrecktem Markteintritt hängen nicht von den eigenen,
sonderen von den Kosten des (potentiellen!) Konkurrenten ab. Die Limit-Menge ist eine
strategische, keine strukturelle oder gesetzlich / administrative Markteintrittsbarriere.
Für den Stackelberg-Führer ist der Markteintritt blockiert, wenn der Folger Kostenführer
ist und die Stückkosten des Stackelberg-Führers über pM (c2 ) liegen.
Traveller’s Paradoxon
Geschichte: Zwei Reisende kehren mit identischen Antiquitäten von einer Insel zurück. Die Wertgegenstände werden im Flugzeug zerstört, die Airline verspricht jedoch, die Passagiere adäquat
zu kompensieren. Da sie den Preis der Gegenstände nicht kennt, geht sie nach folgendem Schema
vor:
Jeder der beiden Reisenden muss auf ein Papier den bezahlten Preis schreiben, der Wert kann
zwischen 2 und 100 Geldeinheiten liegen (ni ).
gleiche Zahl: annahmegemäßwahr, jeder erhält den angegebenen Betrag
ni > nj : i lügt und j sagt annahmegemäßdie Wahrheit. nj wird als wahre Kosten angesehen. i erhält nj 2 (Strafe für Lügen) und j erhält nj + 2 (Belohnung für Ehrlichkeit)
Welche Strategie werden die Spieler fahren, wenn sie ihren payo¤ maximieren?
Angabe 1
Angabe 2
100
100
100
100
100
99
98
96
!
payo¤ 2
payo¤ 1
100
101
100
98
100
97
96
94
Beide Spieler erhalten den gleichen, sehr hohen Geldbetrag, wenn sie 100 sagen. 99 ist jedoch die
beste Antwort für 2, wenn 1 100 angibt (und umgekehrt). Diese Argumentation kann man wiederholen, bis man zur Kombination (2, 2) kommt. Hier be…ndet sich das einzige Nash-Gleichgewicht
dieses Spiels. Es gibt auch kein anderes Gleichgewicht, wenn von der schwächeren Bedingung
des Gleichgewichts in rationalisierbaren Strategien ausgegangen wird.
26
3.2
Mengenkartell
Eine Kartellabsprache muss Festlegungen zu wenigstens vier Punken enthalten:
1. Gemeinsame Gewinnmaximierung: Eine wirksame Kartellvereinbarung kommt nur zustande, wenn sich bei einem Cournot-Mengenwettbewerb eine Gleichgewichtssituation mit mindestens zwei Anbietern ergibt (Unternehmen mit Stückkosten unter dem Prohibitivpreis
ci < a, die sich nicht aufgrund von Kostenvorteilen im Mengen-Wettbewerb als Monopolist
durchsetzen können, verhalten sich (gemeinsam) wie ein monopolistisches Unternehmen).
2. Verteilung des Kartellgewinns: Jedes Kartellmitglied muss mindestens den Gewinn des
Cournot-Duopols erzielen können, um genausogut gestellt zu sein. Die Verteilung des Überschusses hängt vom Verhandlungsgeschick ab.
3. Produktion der Kartellmenge: Es muss geregelt werden, wer welchen Anteil der Kartellmenge herstellt. (c1 6= c2 : Unternehmen mit den geringeren Kosten produziert die gesamte
Menge; c1 = c2 : ein Unternehmen wählt eine beliebige Menge [0; q M ], das andere produziert den Rest).
4. Kontroll- und Sanktionsmechanismen: Aufgrund der bestehenden GefangenendilemmaProblematik (Anreiz zum Bruch, Instabilität des Kartells) sind Sanktionen notwendig. Sie
gereichen dem Verbraucher zum Vorteil. (Wohlfahrtsverluste eines Kartells entsprechen
denen eines Monopols.)
3.2.1
Bruch der Kartellvereinbarungen
K
@ K
@q1
@K
@q1
c1
c1
=
1
+
2
= (E1
K1 ) + (E2
K2 ) = p(q1 ; q2 ) (q1 + q2 )
K(q1 )
@p
@K !
@ K
@p
(q1 + q2 ) + p
=
(q1 + q2 ) + p
=0
@q1
@q1
@q2
@q2
@p
@K
@p
= p+
(q1 + q2 )
=p+
(q1 + q2 )
@q1
@q2
@q2
= a (q1 + q2 ) 1 (q1 + q2 )
= a 2q1 2q2
c2 = a 2q1 2q2
=
Symmetrisches Kartell bei eingehaltener Kartellvereinbarung
27
K(q2 )
@K !
=0
@q2
Die immanente Eigenschaft von Kartellen, der Anreiz, die Kartellabsprache zu brechen, spiegelt
sich graphisch darin wider, dass alle denkbaren Kartelllösungen (mit Ausnahme der Randpunkte) nicht auf einer Reaktionskurve liegen. Obwohl die in der Kartellvereinbarung festgelegten
Outputmengen den gemeinsamen Gewinn maximieren, kann jedes einzelne Unternehmen durch
eine einseitige Outputerhöhung den eigenen Gewinn steigern.
Annahmen
Zwei Unternehmen mit identischen Stück- bzw. Grenzkosten (c1 = c2 = c).
Cournot-Nash Gleichgewicht:
q1C = q2C =
a
c
3
pC =
a + 2c
3
C
1
=
c)2
(a
9
Kartellvereinbarung: Jeder produziert die halbe Monopolmenge und verkauft sie auf eigene
Rechnung.
1. Fall: Beide Unternehmen halten sich an die Kartellabsprache
q1 = q2 =
a
c
4
pM =
a
c
1
2
=
2
=
c)2
(a
8
! Preise und Gewinne sind höher, Mengen niedriger als im Cournot-Mengenwettbewerb
2. Fall: Nur Unternehmen 2 hält sich an die Kartellabsprache: q2 =
für Unternehmen 1 ergibt sich aus der Reaktionsfunktion
R1 (
a
c
4
) =
=
a c
4 .
1
1
a c
(a q1 c) = (a
c)
2
2
4
1 4a a + c 4c
3a 3c
3
(
)=
= (a
2
4
8
8
Die optimale Menge
c)
5
3
5
9
6
Q = (a c)
p= a+ c
(a c)2
(a c)2
1 =
2 =
8
8
8
64
64
Der Gewinn von Unternehmen 1 ist größ
er als der halbe Monopolgewinn, so dass sich der
einseitige Bruch der Kartellabsprache lohnt. Der Gewinn von Unternehmen 2 ist geringer
- evtl. liegt er sogar noch unter dem im Cournot-Mengenwettbewerb.
3. Fall: Nur Unternehmen 1 hält sich an die Kartellabsprache. Die Situation entspricht Fall
2.
4. Fall: Beide Unternehmen unterlaufen die Kartellabsprache (und vertrauen dabei auf die
Vertragstreue des Partners)
3
Q = (a
4
c)
1
p = (a + 3c)
4
1
=
2
=
3
(a
32
c)2
Der Gewinn beider Unternehmen ist geringer als im Cournot-Nash-Gleichgewicht.
Gef angenendilemma
Unternehmen 2
Unternehmen 1
K (q1 = 2)
D (q1 = 3)
K (q2 = 2)
8, 8
9, 6
28
D (q2 = 3)
6, 9
6, 6
(K=kooperiert, D=betrügt)
3.2.2
Schlussfolgerungen
1. Durch eine von allen Beteiligten eingehaltene Kartellvereinbarung können die Unternehmen ihre Gewinne im Vergleich zum Cournot-Wettbewerb steigern.
2. Kartelle sind in der Regel nicht stabil, da für die beteiligten Unternehmen ein ökonomischer
Anreiz besteht, das Kartell zu brechen, um den eigenen Gewinn zu erhöhen. Brechen alle
die Vereinbarung, stellen sie sich schlechter als bei Einhaltung aller und evtl. auch als im
Cournot-Wettbewerb.
3. Kartelle sind umso stabiler
je weniger Anbieter (bessere Kontrolle; ”wichtiger”, da höhere Marktanteile)
je homogener das Produkt (Markt stärker verbunden)
je unelastischer die Nachfrage und je höher deshalb der Kartellgewinn (”steilere Nachfrage ! höherer Preis)
je ähnlicher die Kostensituation
je geringer die Kosten der Überwachung und Durchsetzung der Kartellabsprache
je besser die horizontale Markttransparenz und die Möglichkeiten einer schnellen Bestrafung von Kartellbetrügern
je höher die Markteintritts- und -austrittsbarrieren
je größ
er die Gemeinsamkeiten (Unternehmenspolitik, -ziele etc.)
je größ
er das gegenseitige Vertrauen
je weniger ausgeprägt der ”Wettbewerbsgeist”.
4. Allgemeines Kartellverbot (GWB) mit Ausnahmen (z. B. Strukturkrisenkartelle)
5. Marktzutrittsbarrieren (gesetzlich, strukturell, natürlich, ...) schützen Kartelle.
6. Kartell-Dilemma ”Superspiel”: mehrmalige Wiederholung der gleichen Entscheidungssituation. Gleiche Konkurrenten in einem Markt über längere Zeit haben Anreiz, sich verlässlich zu verhalten, um langfristig hohe Gewinne nicht zu gefährden. Sie drohen gegenseitig,
bei Zuwiderhandlung das Kartell platzen zu lassen (tit for tat).
7. Instabilität von Kartellen ist der Wettbewerbspolitik sehr willkommen.
Exkurs: ”Wiederholte Spiele” (= einmaliges Spiel, das in identischer Form wiederholt wird)
Wiederholte Spiele werden betrachtet, weil sich durch die Wiederholung desselben Spiels möglicherweise kooperative Gleichgewichte einstellen, während sich bei einmaligem Spielen ein nichtkooperatives Ergebnis einstellen würde. Annahmegemäßsind die simultanen Ergebnisse aller
Spieler ex post bekannt, so dass jeder in der nächsten Runde die Aktionen der anderen berücksichtigen kann.
endliche Wiederholung (Zeithorizont ex ante bekannt):
Rückwärtsinduktion, keine Kooperation: In der letzten Periode lohnt es sich nicht mehr
zu kooperieren / Reputation aufzubauen, da man sich besserstellt, wenn man defektiert /
betrügt. Dasselbe gilt für die Periode davor und alle anderen vorausgehenden.
Begrenzter Zeithorizont mit unbekanntem Ende oder unbegrenzter Zeithorizont:
Es existiert keine ”letzte Periode”, in der die Rückwärtsinduktion starten kann. Kooperation / Reputationsaufbau lohnt sich möglicherweise.
– trigger-strategie: (= ”Auslöse-Strategie”): Jeder einzelne Spieler kooperiert, solange
alle Spieler kooperieren. Defektiert / Betrügt einer, so löst er das nicht-kooperative
Handeln der anderen (für immer) aus. (Die Kooperation hängt ab von der Zeitpräferenzrate.)
– tit for tat–strategie: Der Spieler spielt die Alternative, die der Gegner in der Vorrunde
gespielt hat. Eine Rückkehr zur Kooperation ist also möglich, auch wenn ein Spieler
zwischenzeitlich defektiert / abweicht.
29
3.3
Preiswettbewerb: Bertrand-Modell
Annahmen
homogenes Produkt
lineare aggregierte Nachfrage
b=1
!
p(Q) = a
p(Q) = a
bQ
a; b > 0
Q
zwei Unternehmen (i = 1; 2) produzieren das homogene Produkt
beide Unternehmen haben linear steigende Totalkosten:
T K(qi ) = ci qi
i = 1; 2
mit ci > 0
vollständige Information: jedes Unternehmen kennt seine Kostenfunktion und die des anderen Unternehmens sowie die Gesamtnachfragefunktion
Aktionsparameter der Unternehmen: Preis. Wettbewerb im Bertrand-Modell nicht über
Mengen, sondern über den Preis. (Begründung: Unternehmen können kurzfristig einfacher
Preise als Mengen ändern.)
Konsumenten kaufen immer vom günstigsten Anbieter; bieten zwei Anbieter denselben
Preis, so kauft die Hälfte der Konsumenten vom einen, die andere Hälfte vom anderen.
Wie sieht das Marktgleichgewicht aus?
De…nitionen:
Strategieraum: Si = [0; 1[, d. h. pi
0
Gewinn:
i (pi ; pj )
= qi [pi
ci ]
fu
•r
alle i; j
Nash-Gleichgewicht:
1 (p1 ; p2 )
1 (p1 ; p2 )
2 (p1 ; p2 )
2 (p1 ; p2 )
Wie sieht das Nash-Gleichgewicht aus?
Optimale Reaktionsfunktion von Unternehmen 1 und 2:
1. wenn p1 > p2 , dann
1
=0
2. wenn p1 < p2 ; dann
1
= q1 (p1
3. wenn p1 = p2 ; dann q1 = q2 und
c1 )
1
= q1 (a
30
2q1
c1 )
mit i 6= j
Die beste Antwort jedes Unternehmens:
1. Die beste Antwort liegt nie über dem Preis des anderen.
2. Die beste Antwort liegt entweder unter dem Preis des anderen,
3. oder beide wählen denselben Preis.
Da 1. für beide Spieler gilt, folgt, dass nur 3. möglich ist.
De…nition:
soll die kleinste Geldeinheit sein. Ist = 0, so ist das Medium des Austausches (Geld) kontinuierlich; ist > 0; dann ist das Medium des Austausches diskret.
Behauptung 3.2
Wenn das Medium des Austausches kontinuierlich ist und wenn die beiden Unternehmen dieselbe
Kostenstruktur haben (c1 = c2 = c), dann liegt das Bertrand-Gleichgewicht bei p1 = p2 = c und
q1 = q2 = a 2 c :
Behauptung 3.3
Wenn das Medium des Austausches diskret ist und c2 annahmegemäßc2 =
, wobei
1
ganzzahlig, ist, und weiterhin gilt, dass genügend klein ist und folgender Bedingung genügt:
(c2
c1 ) [a
(c2
)] > (c2
(a
c1 )
c2 )
2
Dann gilt, wenn c2 c1 > , dass das einzige Bertrand-Gleichgewicht p2 = c2 , p1 = c2
;
q2 = 0 und q1 = a c2 + ist.
(Das heiß
t, dass der Gewinn von Unternehmen 1 größ
er ist, wenn es als alleiniger Anbieter auf
dem Markt ist, weil es c2 geringfügig unterbietet, als bei Aufteilung des Marktes auf die beiden
Unternehmen.)
Beweis.
Teil 1: Im Gleichgewicht muss jedes Unternehmen nicht-negative Gewinne machen, also pi ci
mit i = 1; 2:
Wechselseitig beste Antworten nur dann, wenn beide denselben Preis wählen ! p1 = p2 . Falls
p1 = p2 > c, dann ist dies kein Nash-Gleichgewicht, da es einen Anreiz gibt, den Preis des
anderen geringfügig zu unterbieten und den gesamten Markt zu beliefern.
Teil 2: Ist dies ein Nash-Gleichgewicht?
Für Unternehmen 2 gibt es keinen Anreiz, abzuweichen. Der Gewinn steigt nicht, wenn der Preis
p2 > c2 gesetzt wird. Wenn p2 < c2 , dann macht Unternehmen 2 sogar Verluste.
Für Unternehmen 1 gibt es ebenfalls keinen Anreiz, abzuweichen: wenn p1 = c2 = p2 , dann
teilen sich beide Unternehmen den Markt, jeder verkauft qi = a 2c2 : In diesem Fall beträgt der
Gewinn für Unternehmen 1:
1
= (c2
c1 ) q1 = (c2
c1 )
a
c2
2
Wenn jedoch Unternehmen 1 um die geringste Geldeinheit weniger fordert, wird es zum einzigen
Anbieter und q1 = a (c2
). In diesem Fall beträgt der Gewinn für Unternehmen 1:
1
= (c2
c1 ) q1 = (c2
Hieraus folgt die in Teil 2 geforderte Bedingung.
31
c1 ) [a
(c2
)]
Diskussion:
Preis- versus Mengenstrategie (Preis als Strategievariable ist vorteilhaft für Nachfrager, da
p = c).
zeitliche Dimension: 1. Periode Wahl der Menge (Lagerbestand), 2. Periode Wahl der
Preise (bei festgelegten Mengen). Mengen in der 1. Periode und Preise in der 2. Periode
sind genau die Mengen und Preise im Cournot–Modell.
Die Lösung für das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht im zweistu…gen Spiel entspricht
genau der Lösung für das Nash-Gleichgewicht im einstu…gen Cournot–Modell (vgl. Shy S.
110 ¤.)
Exkurs: Monopolist
Gewinnmaximierung über die Menge: (p = a
= q(p
@
@q
= a
c) ! (q) = q(a
2q
q c) = aq
a
c
!
c = 0 () q =
2
Gewinnmaximierung über den Preis: (q = a
= q(p
@
@p
einsetzen in q = a
= a
q)
q2
cq
p)
c) ! (p) = (a
p)(p c) = ap
a+c
!
2p + c = 0 () p =
2
p
p2
ac + pc
a+c
a c
=
2
2
Der Monopolist erhält den gleichen optimalen Preis und die gleiche optimale Menge bei Gewinnmaximierung über den Preis wie bei Optimierung über die Menge. Aufgrund der Reaktionsverbundenheit erhält man dieses Ergebnis nicht, wenn mehr als ein Anbieter auf dem Markt ist. Die
optimale Reaktionen sehen unterschiedlich aus, je nachdem, ob Preis- oder Mengenwettbewerb
gespielt wird (aggregierte 6= individueller Nachfragekurve).
q=a
32
4
4.1
Preisunterschiede und Suchtheorie
Preisunterschiede
Das ”Law of one price”ist eine Abstraktion, die es zu hinterfragen gilt. Bisher konnten wir nicht
erklären, warum unterschiedliche Preise für dasselbe Produkt bei verschiedenen Anbietern zu
…nden sind.
Preisunterschiede auf dem Markt für homogene Produkte können erklärt werden durch:
Angebotsseite: unterschiedliche Produktions-, Transport- und generell Transaktionskosten
Nachfrageseite: unterschiedliche Raumüberwindungs-, Such- und Informationskosten
Wir versuchen jetzt, Preisunterschiede durch Kosten, die bei der Suche nach Informationen
anfallen, zu erklären. Konsumenten wägen diese Suchkosten gegen die erwartete Preisreduktion
ab.
4.2
Theorie der Informationssuche
Zwei Vorgehensweisen sind möglich:
Ermittlung des optimalen Suchumfangs ex ante
Ermittlung des Reservationspreises ex ante
Modellvarianten:
mit / ohne Rückgri¤ (man kann auf früher erhaltenes Angebot zurückkommen)
mit / ohne Markierung (”ohne”: Händler ”würfelt”, d.h. nicht jedem Laden ist ein fester
Preis zugeordnet)
mit endlichem / unendlichem Planungshorizont
mit a priori bekannter / unbekannter Verteilungsfunktion
homogene / heterogene Güter
Exkurs: Verteilungsfunktion
Die Prämisse einer bekannten Verteilungsfunktion der Preise ist kritisch, weil gerade Typ und
Parameter der Verteilungsfunktion ausschlaggebend für die Entscheidung sind, wann der Suchvorgang abgebrochen wird. Wenn der Suchende nur vage Vorstellungen über die Verteilung der
Preise hat, dann kommt künftigen Preisangeboten eine doppelte Funktion zu:
als Kostenbestandteil beein‡ussen sie die Suchentscheidung direkt,
sie stellen eine zusätzliche Information dar, mit deren Hilfe die unbekannte Verteilungsfunktion ermittelt werden kann (Formal wird der Lernprozess durch das Bayessche Theorem
erfasst).
Ein Nachteil ist, dass sich die Suchdauer verlängert. Durch die sich einstellenden Preise kann
sich die Einschätzung des Suchenden über die Verteilungsfunktion ständig ändern. Daher muss
die optimale Suchstrategie nicht länger durch einen einzelnen, vorab festgelegten Reservationspreis gekennzeichnet sein (Die Modellkomplexität steigt.).
Beispiel
Suchschritte
Alternativen
a
b
10
15
1
2
12
13
Bei welcher Alternative (a oder b) soll man weitersuchen?
33
Zwei mögliche Argumentationen:
Bei a hat man schon den Wert gefunden, der vermutlich weit unter dem Mittelwert liegt daher nicht weitersuchen; bei b weitersuchen, weil man gute Chancen auf einen niedrigeren
Wert hat.
bei a nimmt man an, dass die Varianz größ
er ist. Bei einer groß
en Varianz lohnt die Suche
eher, weil der Grenznutzen der Suche größ
er ist.
4.3
Zur Suche nach dem optimalen Preis
Suchmodelle:
Einstu…ge Informationsentscheidung ex ante: Wie lange suchen? Ermittlung eines festen
Suchumfangs
Mehrstu…ge Informationsentscheidung: Weitersuchen oder nicht? Ermittlung des Reservationspreises oder Stopregelprozess.
4.3.1
Ermittlung eines festen Suchumfangs:
Drei Angebotspreise sollen möglich sein: 10, 20 oder 30 e mit jeweils ein Drittel Wahrscheinlichkeit. Es soll 10 Händler geben.
Enumeration der möglichen Suchergebnisse:
1. Suchschritt
2. Suchschritt
Wahrscheinlichkeit
Minimalpreis
10
10
20
30
1/9
1/9
1/9
10
10
10
20
10
20
30
1/9
1/9
1/9
10
20
20
30
10
20
30
1/9
1/9
1/9
10
20
30
In fünf von neun Fällen wird man nach dem zweiten Suchschritt einen Minimalpreis von 10
erhalten, in drei von neun Fällen einen Minimalpreis von 20 und nur in einem von neun Fällen
wird man auf einen Preis von 30 in beiden Schritten stoß
en.
In neunzehn von 27 Fällen wird man spätestens nach dem dritten Suchschritt den Minimalpreis
von 10 erreicht haben. In einem von 27 Fällen erhält man jedesmal den Minimalpreis von 30
und in dem Rest, d.h. in 7 von 27 Fällen, beträgt der Minimalpreis 20.
Der Erwartungswert des Minimalpreises sinkt immer weiter, jedoch in einer abnehmenden Rate. Die Wahrscheinlichkeiten P für einen geringen Minimalpreis steigen und für einen hohen
Minimalspreis sinken. Der Erwartungswert E des Minimalpreises sinkt und dabei nimmt der
Grenznutzen GN der Information ab.
Anzahl Suchschritte
P(10e)
P(20e)
P(30e)
E
GN
1
2
3
...
0,33
0,56
0,70
...
0,33
0,33
0,26
...
0,33
0,11
0,04
...
20
15,6
13,4
...
4,4
2,2
...
34
4.3.2
Stoppregelprozesse
1. Suchschritt:
E = 1=3 10 + 1=3 20 + 1=3 30 = 20
Preis P 1 = 20 wird gefunden:
2. Suchschritt:
Erwartungswert des Preises bei weiterer Suche:
E = 1=3 10 + 1=3 20 + 1=3 20 = 16; 67
Preis P 2 = 30 wird gefunden:
3. Suchschritt:
Erwartungswert des Preises bei weiterer Suche:
Siehe Schritt 2
Es wird nach dem N -ten Schritt solange weitergesucht, solange
N +1
PM in E(PM
Kosten der weiteren Suche (GK der Suche)
in ) (GN der Suche)
Grenzkosten (GK) der Suche = Grenznutzen (GN) der Suche bestimmen den optimalen Suchumfang.
4.4
Suchkosten der Konsumenten und Marktergebnis
Bei gegebener Varianz der Preise:
Suche umso länger, je geringer Suchkosten. Maß
nahmen, die die Suchkosten senken, wie Information, Werbung etc. führen zu mehr Wettbewerb unter den Anbietern. Kostenungünstige
Produzenten scheiden aus.
Bei gegebenen Suchkosten:
Je größ
er die Varianz der Preise, umso größ
er der Grenznutzen der Suche und desto länger die
Suche. Eine Erhöhung der Varianz der Preise führt zu längerer Suche und damit höheren totalen
Suchkosten für die Nachfrager, jedoch steigt auch der Nettonutzen, die Konsumentenrente.
4.4.1
Das Modell der Touristenfalle
Lisa sucht in Pisa den schiefen Turm von Pisa aus Metall als Souvenir. Es gibt eine Reihe von
Touristengeschäften, die alle denselben Turm verkaufen und identische Kosten haben.
Annahmen
Eine Broschüre soll die Touristen über die Verteilung der Preise informiert haben.
Es enstehen Kosten durch die für die Suche aufgewendete Zeit (Opportunitätskosten) c,
diese seien konstant.
Was passiert, wenn es viele solche Touristen gibt, die alle eine identische Nachfragefunktion
haben?
1. Fest vorgegebene Anzahl von Geschäften
Ist das Konkurrenzgleichgewicht (Preis= Grenzkosten) ein Gleichgewicht?
Wenn alle anderen Geschäfte den Konkurrenzpreis pc nehmen, so lohnt es sich für
ein Geschäft, einen höheren Preis zu fordern, z.B. p + , wobei eine kleine Zahl ist.
Lisa geht nur zu einem anderen Geschäft, wenn p < pc + c. Somit lohnt es für dies
Geschäft, den Preis bis fast um die Suchkosten anzuheben.
Ist dies ein Gleichgewicht?Nein, da alle anderen ebenfalls einen Anreiz haben, den
Preis anzuheben.
Ist es ein Gleichgewicht, wenn alle Geschäfte p fordern? Nein, hier gilt dieselbe
Argumentation.
35
Was ist der Gleichgewichtspreis? Wenn es einen einheitlichen Preis gibt, kann es nur
der Monopolpreis sein. Dies ist das einzige Preisgleichgewicht.
Was passiert, wenn es nur einige Geschäfte gibt und ein Geschäft einen so geringen
Preis fordert, dass die Suchkosten zusätzlicher Touristen gedeckt werden, die weitersuchen?
Was passiert, wenn die Suchkosten sinken? Gilt dann dieselbe Argumentation?
2. Variable Anzahl der Geschäfte
Was passiert, wenn Geschäfte jederzeit aufgemacht werden können (freier Eintritt)?
Eintritt …ndet statt, bis die Gewinne gegen Null tendieren. Ein monopolistisches
Konkurrenzgleichgewicht mit Preis über Grenzkosten jedoch ohne Gewinne, d.h. Preis
= Durchschnittskosten. Durch die Fixkosten wird die Anzahl der Geschäfte bestimmt.
4.4.2
Das Touristen- und Einheimischen - Modell
Gibt es die Möglichkeit, dass im Gleichgewicht verschiedene Preise für ein identisches Produkt
zu beobachten sind?
Was passiert, wenn einige Nachfrager vollständig informiert sind?
Einheimische haben keine Suchkosten und kaufen nur bei den billigsten Anbietern. Preiskonkurrenz kann zu einem Konkurrenzgleichgewicht p = GK, bzw. p = DK führen, wenn genug
informierte Kunden vorhanden sind. Aber sind auch Gleichgewichte mit einem höheren Preis
oder Gleichgewichte mit vielen verschiedenen Preisen möglich?
Annahmen
L Konsumenten mit
Touristen.
L, dem Anteil der Einheimischen und (1
)L, dem Anteil der
Jeder Tourist kauft eine Einheit des Gutes, solange der Preis unter pober liegt. Es gibt n
Geschäfte.
Dieses Modell hat mehrere mögliche Gleichgewichte, wie das Konkurrenzgleichgewicht bei vollständiger Information und ein Gleichgewicht mit zwei unterschiedlichen Preisen.
Wann kann das Konkurrenzgleichgewicht gebrochen werden?
Im Konkurrenzgleichgewicht haben alle Geschäfte den Preis pc und verkaufen einen gleichen
Anteil q c = L=n. Wenn ein Geschäft abweicht und p = pc + fordert, so kaufen keine Einheimischen mehr in dem Geschäft, aber immer noch alle Touristen, solange bis der Preis pober erreicht
ist. Damit fallen die Verkäufe auf (1 a) q c . Wenn der Preis marginal unter pc gesetzt wird,
kaufen alle Einheimischen und der Anteil, den das Geschäft an den Touristen hat.
4.5
Produktdi¤erenzierung
Subjektive Sichtweise der Konsumenten wichtig.
- Je mehr, desto besser
- Idealpunkt
Hotelling Strecke und Salop Kreis
Nutzenfunktion der Konsumenten
Konsumenten liegen auf Eiskremkreis mit verschiedenen Geschmacksrichtungen
Position der Firmen bei unterschiedlicher Anzahl und gleichen Grenzkosten ohne Fixkosten
Position der Firmen bei unterschiedlicher Anzahl und gleichen Grenzkosten mit Fixkosten
Anzahl der Firmen durch Fixkosten d.h. Deckung der Durchschnittskosten beschränkt.
Position der Firmen bei hohen Fixkosten und konstanten Grenzkosten
Monopol Region und Konkurrenzregion
Konsequenzen für Nachfragekurve
36
4.6
Strategisches Verhalten von Firmen
Kampfpreise identischer und unterschiedlicher Firmen
Um Konkurrenten abzuschrecken
Bei unterschiedlichen Kosten als Signal
Preisdiskriminierung
Nonlinear Pricing
Vertical Integration and Restrictions, Franchising, EZG
5
Varianten- oder Standortwettbewerb
Unter Varianten- oder Standortwettbewerb versteht man einen mehrstu…gen Wettbewerb zwischen Unternehmen, die ein di¤erenziertes (ähnliches, aber nicht gleiches) Produkt anbieten,
um sich horizontal zu di¤erenzieren (Standort oder Produkteigenschaft ist wesentlich und für
Kunden erkennbar).
Der Preiswettbewerb tendiert zum Verlust von Gewinnen (Bertrand-Gleichgewicht: p = GK,
= 0). Um den Preiswettbewerb abzuschwächen und somit Gewinne abschöpfen zu können,
ist die Verlagerung auf andere Strategieparameter von Vorteil für die Unternehmen. Auß
erdem
können durch horizontale Di¤erenzierung bisher nicht erschlossene Marktsegmente bedient werden.
Wie weit soll man sich vom Wettbewerber abheben, wie großsoll der Unterschied in der Produktvariante / der Abstand der Standorte sein?
Die Antwort auf diese Frage hängt von den Verhaltensannahmen ab (Wird Zeit-, Positions- oder
Preisführerschaft angestrebt? Werden die Entscheidungen simultan getro¤en?).
Wenn im Standortwettbewerb Position und Preis gefunden sind, die die Gewinne sichern, dann
kann es zu neuen Markteintritten kommen (aufgrund überdurchschnittlicher Gewinne). Die etablierten Unternehmen werden diese jedoch zu verhindern suchen und gleichzeitig andere Wettbewerber aus dem Markt drängen wollen. Sie versuchen, Lücken im geographischen Raum oder
im Produktraum selbst mit eigenen Standorten oder Produktvarianten zu füllen, um potentiellen Konkurrenten keine Nische zu lassen. Die höhere Standort-/ Variantenzahl verringert zwar
den Branchengewinn, aber der Gewinn fällt allein den wenigen etablierten Unternehmen zu und
muss nicht mit neuen Konkurrenten geteilt werden (Produktproliferationsstrategie).
5.1
Hotellings Straß
endorf
Hotelling-Nachfragemodell eines Straß
endorfes (1929)
5.1.1
Annahmen auf der Angebotsseite
a1
0
a2
h
1
Zwei Unternehmen i = 1; 2; Q = q1 + q2
Die Standorte der beiden Unternehmen a1 und a2 liegen auf der Strecke zwischen 0 und
1. a1 und a2 heiß
en Heterogenisierungsparameter. (0
a1
a2
1 und a1 < a2 ) (im
homogenen Wettbewerb: a1 = a2 );
Heterogenisierung des Angebots durch horizontale (unterschiedliche Produktvarianten oder
Standorte) Produktdi¤erenzierung;
Ein-Standort- bzw. Ein-Variantenunternehmen (ein Produkt in einer Variante oder an
einem Standort)
1. Stufe: Standort- beziehungsweise Variantenwahl (langfristig),
2. Stufe: Preisentscheidung (kurzfristig)
37
Konstante Grenz- und Stückkosten der laufenden Produktion, für beide Unternehmen
gleich: c1 = c2 = c; keine Fixkosten
Keine Kosten der Heterogenisierung (vernachlässigbar, da identisch und unabhängig von
der Ausbringung)
Kosten des Markteintritts und -austritts (…x): F (sunk costs)
Horizontale Markttransparenz: die Unternehmen kennen die Angebotsbedingungen ihrer
Konkurrenten; Sicherheit
Keine Kapazitätsengpässe
Gewinnmaximierung
5.1.2
Nachfrageseite
Heterogenität: Die Konsumenten nehmen die Produktdi¤erenzierung der Anbieter wahr.
Ihre Präferenzen sind gleichverteilt (uniform) bezüglich der Heterogenisierungseigenschaften. Sie werden entlang einer Einheitsstrecke der Länge 1 (Hotellingsches Straß
endorf)
aufgereiht.
Vertikale Markttransparenz: alle tatsächlichen und potentiellen Käufer sind vollständig
über die Angebotsbedingungen informiert. Es entstehen keine Wechselkosten beim Wechsel
des Anbieters, die den (E¤ektiv-)Preis erhöhen könnten.
Nutzenmaximierung = Maximierung der Konsumentenrente
(Konsumentenrente = Zahlungsbereitschaft (Z) - e¤ektivem Preis pef f (h);
e¤ektiver Preis pef f (h) = Produktpreis + Transport- / Qualitätskosten
KR1 = Z
f
pef
1 (h) = Z
f
pef
2 (h)
(p1 + K1 (h)) ! M ax!
KR2 = Z
= Z (p2 + K2 (h)) ! M ax!
Die Konsumenten kaufen bei dem Unternehmen, das den niedrigsten e¤ektiven Preis fordert.
Transportkosten: Ein konkreter Konsument wird durch die Zahl h gekennzeichnet. 0
h 1. Sein Standort hat die Entfernung j h a1 j zu a1 (Standort Unternehmen 1) und
die Entfernung j a2 h j zu a2 (Standort Unternehmen 2).
j h a1 j und j a2 h j sind sowohl geographischer Abstand (! Transportkosten) als auch
Abweichung der Produkteigenschaft vom Konsumentenwunsch (! Nutzeneinbuß
en)
K1 (h) = t(h
a1 )2 ;
K2 (h) = t(a2 h)2 ;
wobei t der Parameter zur Kennzeichnung der Gewichtung der Abweichung vom optimalen
Standort / Produkt ist (Transportkostensatz, Heterogenitätsparameter).(Je größ
er t ist,
desto stärker fallen die Unterschiede zwischen den bevorzugten und den tatsächlichen
Produkteigenschaften beziehungsweise Standorten ins Gewicht.)
Markennachfrage: Für gegebene Positionen (a1 , a2 ) und Preise (p1 , p2 ) kaufen die Konsumenten bei dem Unternehmen, dessen e¤ektiver Preis jeweils am niedrigsten ist. Der
Konsument mit dem Standort h kauft also bei Unternehmen 1, wenn
f
f
pef
p2 + K2 (h) = pef
1 (h) = p1 + K1 (h)
2 (h);
beziehungsweise nach Einsetzen von K1 und K2 und Au‡ösung nach h:
h
p2 p1
a1 + a2
+
=: h
2
2t(a2 a1 )
38
Anteilige Nachfrage bei uniformer Verteilung
Alle Konsumenten h, für die diese Ungleichung erfüllt ist, kaufen Produkt 1. h ist die Position
des indi¤erenten Konsumenten, für den die e¤ektiven Preise beider Unternehmen identisch sind.
Damit ist die Markennachfragefunktion von Unternehmen 1:
q1 (p1 ; p2 ; a1 ; a2 ) = h =
1
+
(p2 p1 )
a
}|
{
z
2t a
z
}|
{
z
}|
{
”natürlicher Kundenstamm”
Pr
eisvorteil
Wettbewerb sin tensität
2
mit a = a1 +a
a = a2 a1 .Wegen q1 + q2 = 1 beziehungsweise q2 = 1
2 ;
Markennachfrage für Unternehmen 2:
q2 (p1 ; p2 ; a1 ; a2 ) = 1
h =1
a
1
2t a
(p2
q1 …nden wir die
p1 )
Markennachfrage bei maximaler (horizontaler) Di¤erenzierung:
a1 = 0;
a2 = 1;
q1 (p1 ; p2 ; a1 ; a2 ) =
q2 (p1 ; p2 ; a1 ; a2 ) =
a = 1;
1
2
1
2
+
1
2t
1
2t
a=
1
2
(p2
p1 )
(p2
p1 )
Die folgende Aufgabe dient der Erklärung / Herleitung der obigen Formel:
Aufgabe:
Im Hotellingschen Straß
endorf ist, wenn die Nachfrage uniform verteilt ist, ein Konsument
h indi¤erent zwischen zwei Anbietern a1 und a2 , wenn sich auf seiner Position die e¤ektiven
Preise der Anbieter entsprechen. Dies ist der Fall bei
h =a+
1
2t a
(p2
p1 )
2
wobei a = a1 +a
und
a = a2 a1 :
2
Leiten Sie bei Kenntnis der Kostenfunktionen
K1 (h) = t(h a1 )2
K2 (h) = t(a2 h)2
die Formel für h her.
Lösung:
Um diese Frage beantworten zu können, muss man wissen, dass
f
pef
1 (h) = p1 + K1 (h)
f
pef
2 (h) = p2 + K2 (h)
39
!
f
ef f
pef
1 (h) = p1 + K1 (h) = p2 + K2 (h) = p2 (h)
!
a1 )2
t(h
h2
h2
2ha1 + a21
t(a2
(a22
h)2 =
2ha2 + h2 ) =
2ha1 + a21
a22 + 2ha2
h2 =
2ha2
2ha1 + a21
a22 =
2h(a2
a1 ) + (a1
p1 + t(h a1 )2 = p2 + t(a2 h)2
p2 p1
1
(p2 p1 )
t
1
(p2 p1 )
t
1
(p2 p1 )
t
1
(p2 p1 )
t
1
(p2 p1 ) (a1 a2 )(a1 + a2 )
t
1
(p2 p1 ) + (a2 a1 )(a1 + a2 )
t
1
(p2 p1 ) + (a1 + a2 )
t (a2 a1 )
1
(a1 + a2 )
(p2 p1 ) +
2t (a2 a1 )
2
a2 )(a1 + a2 ) =
2h(a2
a1 ) =
2h(a2
a1 ) =
2h =
h =
Da a =
a1 +a2
2
und
a = a2
a1 entspricht dies
h =
5.1.3
1
2t a
(p2
p1 ) + a
Erste unternehmenspolitische Einsichten
1. Die horizontale Di¤erenzierung verringert die Preiselastizität der Nachfrage. Dies ist am
einfachsten für p1 = p2 = p einzusehen.
q1 ;p1
=
@q1 p1
@p1 q1
=
p1 =p2 =p
1 p1
2t q1
=
p1 =p2 =p
p
t
Je erfolgreicher sich also ein Unternehmen von anderen Unternehmen, die ähnliche Produkte herstellen, horizontal di¤erenziert, um so größ
er ist der monopolistische Preiserhöhungsspielraum, umso weniger elastisch ist seine Markennachfrage.
2. Jedes Unternehmen hat einen ”natürlichen Kundenstamm” (=diejenigen Konsumenten,
die bei dem Unternehmen kaufen, weil es näher liegt als das andere Unternehmen).
Die natürlichen Kundenstämme der Unternehmen
40
Es gilt: (x1 = q1 ; x2 = q2 ).
Bei identischen Preisen (p1 = p2 ) ist die Nachfrage gleich dem natürlichen Kundenstamm.
3. Die Güter sind gewöhnliche Güter. Die Nachfrage nach Gut 1 sinkt mit steigendem Preis
von Gut 1 und steigt mit steigendem Preis von Gut 2.
4. Ein Preisvorteil vergröß
ert den Kundenstamm. Hat Unternehmen 1 einen Preisvorteil,
d.h. p2 > p1 , dann vergröß
ert es seinen Kundenstamm über den natürlichen Kundenstamm
hinaus. (Zusätzliche Kunden nicht durch Nähe, sondern durch günstigeren e¤ektiven Preis)
5. Produktdi¤erenzierung vermindert die Wettbewerbsintensität. Je größ
er die Produktdi¤erenzierung (höhere Transportkosten beziehungsweise Nutzeneinbuß
en t und /oder Standortoder Produktunterschied a := a1 a2 ), desto unwichtiger sind die Preise für die Konsumenten. (! "Monopolisierungstendenz”)
1
2t a
kann als Wettbewerbsintensität interpretiert werden (hoch, wenn t beziehungsweise
a gering, d.h. geringer Transportkostensatz bzw. Heterogenitätsparameter beziehungsweise geringer Abstand der Unternehmen).
5.1.4
Simultaner Positions- mit anschließ
endem simultanen Preiswettbewerb
Nash-Gleichgewicht:
1. Stufe: Die beiden Unternehmen nehmen beim simultanen Positionswettbewerb extreme
Positionen auf der Hotellingstrecke ein, das heiß
t sie lassen sich an den entgegengesetzten Enden nieder, betreiben also maximale Produktdi¤erenzierung, um einen Preiswettbewerb zu vermeiden. Überlegung: Unternehmen 1/2, das links/rechts von Unternehmen
2/1 sitzt, wird immer nach links/rechts gehen, um seinen Preisspielraum zu vergröß
ern.
Transportkosten ermöglichen es, diese ”Lagerente” zu erzielen, wobei sie mit steigenden
Transportkosten ebenfalls steigt.
2. Stufe: Preiswettbewerb wird minimiert. (Annahme hier: die Preise können aus einem
Kontinuum gewählt werden.)
Zu beobachten sind zwei gegenläu…ge Tendenzen:
”auseinander gehen”: Verlust von Kunden, aber " p > GK =) G "
”zusammen gehen”: Gewinn von Kunden, p ! GK =) G ! 0
5.2
Spiel mit Wahl von 2 Standorten und 2 Preisen
De…nition:
Teilspielperfektheit: Unter einem teilspielperfekten Gleichgewicht versteht man eine Strategiekombination, die ein Nash-Gleichgewicht für das gesamte Spiel darstellt und deren induzierte
Strategiekombinationen der Teilspiele sich im Nash-Gleichgewicht be…nden. Es ist also für keinen
Spieler optimal, in irgendeinem Teilspiel von seiner Strategie abzuweichen.
Die Methode des ”Von-hinten-Lösens” (Rückwärts-Induktion) eines Spielbaumes stellt ein teilspielperfektes Gleichgewicht sicher (Beginn mit der letzten Stufe).
Während bisher auf der zweiten Stufe ein Preiskontinuum betrachtet wurde, konzentriert sich die
Betrachtung jetzt nur auf die Möglichkeit der Wahl zwischen zwei Preisen. Die Unternehmen
entscheiden nur, ob sie einen niedrigen (p = GK) oder einen hohen Preis (p > GK) setzen
wollen. (Sie können also nur zwischen zwei Preisen wählen!)
Vorüberlegungen zum später folgenden Spielbaum:
In der 1. Stufe können beide Unternehmen eine Position in der Mitte oder ”Auß
en” auf der
Hotelling-Strecke einnehmen. Sie werden sich also entweder gemeinsam in der Mitte positionieren, oder ihr Abstand beträgt die halbe beziehungsweise die ganze Hotelling-Strecke. Für
letzteres sind folgende Kombinationen möglich, die zu den in der Tabelle angegebenen Gewinnen führen:
41
Distanz
==
halb
G0
ganz
G0
>>
gemischte Preissetzung
G 1 auß
en >
G 2 innen >
G0
=
G 5 > (beide)
G0
=
G3
G4
auß
en
innen
G6
Dieser Gewinnkonstellation liegt die Annahme zugrunde, dass die Transportkosten ausreichend
hoch sind, so dass der Markt sich immer zwischen den beiden Anbietern teilt und dass der linke
Anbieter nicht noch Kunden rechts vom rechten Anbieter beliefert.
Die folgende Übersicht veranschaulicht die vorhandenen Möglichkeiten graphisch:
G0
=
G0
=
=
G0
=
G0
G3
>
G4
>
G6
>
G6
>
> >
G6 G6
G1
>
G0
=
=
G0
>
G2
G5
>
G0
=
=
G0
>
G5
Gewinne in Abhängigkeit von Position und Preissetzung der Unternehmen
Die Gewinne stehen in folgender Relation zueinander:
G0 < G1 < G2
G3 < G4
G5 < G6
Ein Vergleich zwischen G2 und G3 beziehungsweise G4 und G5 ist ohne weitere Berechnungen
nicht möglich; er ist für die weitere Betrachtung auch nicht von Bedeutung.
42
I
II
I
II
P=GK
P=GK
M
P>GK
P=GK
P>GK
P>GK
P=GK
M
A
P=GK
(li) (re)
π1 π 2
G0 G0
G0 G0
G0 G0
G6 G6
G0 G0
G0 G1
P>GK
P=GK
P>GK
G2 G0
G4 G3
P>GK
P=GK
P=GK
A
M
G0 G2
P>GK
P=GK
P>GK
G1 G0
G3 G4
P>GK
P=GK
A
G0 G0
P=GK
P>GK
P=GK
G0 G0
G0 G5
G5 G0
P>GK
G6 G6
P>GK
Spielbaum für die Wahl zwischen p=GK und p>GK
Bei der Lösung des Spielbaumes ”von hinten her” betrachten wir zunächst die Preise. Unternehmen 1 und Unternehmen 2 können zwischen p = GK und p > GK (und nur diese!) wählen.
Die rechte Spalte hinter dem Baum zeigt die zu erzielenden Gewinne in Abhängigkeit von der
gewählten Position (M = Mitte, A = Auß
en).
Vorgehensweise:
4. Spalte: Für jeden Teil (ingesamt acht) ist die optimale Wahl für Unternehmen 2, p > GK
der Alternative p = GK vorzuziehen.
3. Spalte: Vorausgesetzt, Unternehmen 2 handelt rational gemäßder Beschreibung für
Spalte 4, wählt Unternehmen 1 ebenfalls p > GK (in allen vier Teilen)
2. Spalte: In der oberen Hälfte ist es für Unternehmen 2 vorteilhaft, die Mitte zu wählen,
in der unteren Hälfte, Auß
en zu wählen.
1. Spalte: Unternehmen 1 wählt in Abhängigkeit von der Wahl des Unternehmen 2 die
gleiche Strategie.
=) Problem bei simultaner Wahl!
Bei der sequentiellen Wahl, das heiß
t, wenn die Handlungen dessen, der zuerst zieht, bekannt
sind, ergibt sich kein Problem. Die Unternehmen erreichen auf jeden Fall das Gewinnoptimum
G 6.
Da sie bei simultaner Wahl jedoch die Entscheidung des anderen nicht kennen, besteht ein Risiko.
43
Teilspiele:
2
p = GK
p > GK
G 0, G 0
G 0, G 0
G 0, G 0
G 6, G 6
Teilspiel 1:
p = GK
p > GK
1
2
p = GK
p > GK
G 0, G 0
G 2, G 0
G 0, G 1
G 4, G 3
Teilspiel 2:
p = GK
p > GK
1
2
p = GK
p > GK
G 0, G 0
G 1, G 0
G 0, G 2
G 3, G 4
Teilspiel 3:
p = GK
p > GK
1
2
p = GK
p > GK
G 0, G 0
G 5, G 0
G 0, G 5
G 6, G 6
Teilspiel 4:
p = GK
p > GK
1
2
A
M
G 6, G 6
G 4, G 3
G 3, G 4
G 6, G 6
Gesamtspiel:
1
A
M
Für dieses Gesamtspiel existieren zwei Nash-Gleichgewichte: in (A, A) und (M, M).
44
5.3
Markteintritt und Eintrittsabschreckung
Das Ringdorf von Salop (1979)
Salop’s Ringdorf
Auch in einer kreisförmigen Stadt sind die Konsumenten gleichmäß
ig verteilt. Die Unternehmen
ordnen sich im Ringdorf unter Abwesenheit von Fixkosten immer gleichmäß
ig, das heiß
t mit
gleichen Abständen, auf dem Kreis an (2-Stufen-Spiel mit simultanen Entscheidungen). Diese
maximale Produktdi¤erenzierung bedingt, dass die Preise für alle Unternehmen gleich sind,
wobei p > GK und G ! 0. [Beispiel aus der Realität: Supermärkte, die kreisförmig um ein
Stadtzentrum angeordnet sind; Badeort, der sich um einen See erstreckt, wobei Boote ine¢ ziente
Verkehrsmittel sind.)]
Bedeutung …xer Kosten Kf (= Markteintritt- und -austrittsbarrieren):
Kf ! 0 =) Anzahl A ! 1: Sind keine Fixkosten vorhanden, so wird die Zahl der
Anbieter unendlich groß(in Abhängigkeit von der Anzahl der Nachfrager).
Je höher die …xen Kosten sind, desto weniger Anbieter treten in den Markt ein und desto
geringer ist folglich die Produktvielfalt. Grund: Marktanteil und Gewinnspanne müssen
relativ großsein, damit man die Fixkosten ”herausholen” kann. Das bedeutet auch, dass
bei höheren Fixkosten die Monopoltendenz größ
er ist, die Preise also zunehmend über den
Grenzkosten liegen. Markteintritt- und -austrittsbarrieren gehen zu Lasten der Konsumenten. (100 % Marktanteil eines Anbieters gefährden den Wettbewerb dann nicht, wenn
keine Barrieren vorhanden sind, potentieller Markteintritt also möglich ist (Unternehmenszusammenschlüsse werden vom Kartellamt häu…g untersagt, weil bestimmte Marktanteile
überschritten werden. Der Grund dafür liegt in der Praktikabilität und in der Schwierigkeit der Beurteilung der Bedrohung des freien Wettbewerbs auf komplexen Märkten.). Die
Scha¤ung einer wettbewerbsfreien Zone ist der Grund für den Versuch von Unternehmen,
Markteintrittsbarrieren aufzubauen (Beispiel Microsoft).
Je höher die Transportkosten sind, umso höher sind die Deckungsbeiträge der Unternehmen
und umso mehr Unternehmen können am Markt bestehen.
Exkurs:Netze¤ekte
Der Nutzen eines Gutes ist größ
er, wenn andere Konsumenten das System ebenfalls benutzen
(Beispiel Telefon, Windows-Betriebssystem und MS-O¢ ce-Packet: je mehr, desto besser). Starke
Netze¤ ekte bedingen eine Monopoltendenz.
45
6
Qualitätswettbewerb
Konzept zur Erfassung von Qualität
s
ZBi = ^i si
ZBi = Zahlungsbereitschaft für Produkt i
^s = marginale Zahlungsbereitschaft für eine Eigenschaft (Wertschätzung)
i
si = Ausprägung der Eigenschaft
X s
s
s
s
^ sn
ZBi = ^i s1i + ^i s2i + ^i s3i + ::: =
i
i
n
Pi = Wertschätzung eines Produktes = gewichtete Summe der Wertschöpfungen der Eigenschaften
Man kann folgende Arten von Eigenschaften unterscheiden:
Art des Gutes
Erklärung
Inspektionsgut
Eigenschaft vor dem Kauf bekannt
Erfahrungsgut
Eigenschaft vor Kauf unbekannt, nach Konsum bekannt
Vertrauensgut
Eigenschaft sowohl vor Kauf als auch nach Konsum unbekannt
Beispiel für ein nicht-teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht:
Art des Gutes
Qualitätsproblematik und Marktergebnis
Inspektionsgut
N ! 1; A ! 1 =) p = GK; G = 0
vollkommener Markt, keine Barrieren, kein Qualitätsproblem
Erfahrungsgut
Bei einem unendlichen Zeithorizont besteht bei Marken
kein Qualitätsproblem, weil sich die Qualität ”einpendelt”
(Reputation, Garantien). Handelt es sich nicht um eine
Marke, ist das Angebot zu gering, weil die Qualität a priori
nicht erkennbar ist, sondern erst nach dem Konsum.
Vertrauensgut
Hier existiert ein Qualitätsproblem, das Angebot ist zu
gering. Marken können eventuell Abhilfe scha¤en.
Zur Überwachung und Kontrolle ist eine dritte, neutrale Person
notwendig (z. B. Staat).
46
7
Anhang
Die folgenden Seitenangaben für die De…nitionen/Theoreme beziehen sich auf das Buch ”Game
theory for applied economists” von Robert Gibbons.
De…nitionen:
Normalform-Darstellung: Die Normalform-Darstellung eines Spieles mit n Spielern legt
den Strategieraum der Spieler S1 ; :::; Sn und ihre Auszahlungsfunktionen u1 ; :::; un fest. Wir
bezeichnen das Spiel als G = fS1 ; :::; Sn ; u1 ; :::; un g:
(Seite 4)
Die Normalform ist eine stark vereinfachte Darstellung eines Spieles, die alle möglichen
Situationen enthält. Kennt man die Strategien aller Spieler, dann sind Spielverlauf und
Spielergebnis determiniert.
In einem Normalform-Spiel G = fS1 ; :::; Sn ; u1 ; :::; un g, wobei s0i und s00i mögliche Strategien für Spieler i sind (s0i und s00i 2 Si ), wird Strategie s0i strikt dominiert von s00i in
jeder möglichen Kombination der Strategien der anderen Spieler, wenn die Auszahlung
des Spielers i beim Spielen von s0i strikt geringer ist als die Auszahlung, wenn er s00i spielt:
ui (s1 ; :::; si
1;
s0i ; si+1 ; :::; sn ) < ui (s1 ; :::; si
1;
s00i ; si+1 ; :::; sn )
für alle (s1 ; :::; si 1 ; si 0; si+1 ; :::; sn ), die aus den Strategieräumen der anderen Spieler konstruiert werden können S1 ; :::; Si 1 , Si+1 ; :::; Sn .
(Seite 5)
In einem Normalform-Spiel mit n Spielern G = fS1 ; :::; Sn ; u1 ; :::; un g sind die Strategien
(s1 ; :::; sn ) ein Nash-Gleichgewicht, wenn für jeden Spieler i si seine beste Antwort auf
die Strategien der anderen n 1 Spieler ist (s1 ; :::; si 1 ; si+1 :::; sn ) :
ui (s1 ; :::; si
1;
si ; si+1 ; :::; sn ) > ui (s1 ; :::; si
1;
si ; si+1 ; :::; sn )
für jede mögliche Strategie si in Si , wobei si folgende Gleichung löst:
max ui (s1 ; :::; si
si 2Si
1;
si ; si+1 ; :::; sn )
(Seite 8)
In einem Normalform-Spiel G = fS1 ; :::; Sn ; u1 ; :::; un g ist, wenn Si = fsi1 ; :::; siK g angenommen wird, eine gemischte Strategie für einen Spieler i eine Wahrscheinlichkeitsfunktion pi = (pi1 ; :::; piK ), wobei 0 pik 1 für k = 1; :::; K und pi1 + ::: + piK = 1:
(Seite
31)
In einem Zwei-Spieler-Normalform-Spiel G = fS1 ; S2 ; u1 ; u2 g sind die gemischten Strategien (p1 ; p2 ) ein Nash-Gleichgewicht, wenn die gemischte Strategie jedes Spielers die
beste Antwort auf die gemischte Strategie des anderen ist. Es muss gelten:
v1 (p1 ; p2 )
v2 (p1 ; p2 )
v1 (p1 ; p2 )
v1 (p1 ; p2 )
(Seite 37)
Theorem 2
(Nash 1950): In einem Normalform-Spiel mit n Spielern G = fS1 ; :::; Sn ; u1 ; :::; un g existiert,
wenn n und Si (für jedes i endlich sind, mindestens ein Nash-Gleichgewicht, mö glicherweise in
gemischten Strategien.
(Seite 45)
De…nition:
(Selten, 1995): Ein Nash-Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategie der Spieler ein
Nash-Gleichgewicht in jedem Teilspiel bedingt.
(Seite 95)
47
Spiele mit extensiver Form
Die extensive Form ist eine reichhaltigere Beschreibung des Spieles als die Normalform, mit
der man zeitliche Abfolgen darstellen und berücksichtigen kann. Die Reihenfolge der Züge, die
Auszahlungen für jede Zugfolge und die Informationsstände zu den jeweiligen Zeitpunkten sind
festgelegt. Spielt die zeitliche Struktur eine Rolle, so muss das Spiel extensiv dargestellt werden.
De…nitionen:
Eine Strategie eines Spielers ist ein kompletter Handlungsplan. Er spezi…ziert jede denkbare Handlung in jeder Möglichkeit, die der Spieler auszuführen geheiß
en werden könnte.
(Seite 117)
Als Informations-Set eines Spielers wird eine Sammlung von Entscheidungsknoten bezeichnet, die folgende Bedingungen erfüllt:
– an jedem Knoten in dem Informations-Set ist der Spieler am Zug
– wenn beim Spielen des Spiels ein Knoten in diesem Informations-Set erreicht wird,
weißder Spieler, der am Zuge ist, nicht, welchen Knoten im Informations-Set er
(nicht) erreicht hat.
(Seite 119)
Ein Teilspiel in einem Spiel mit extensiver Form
– beginnt an einem Entscheidungsknoten n, der ein Singleton (einelementige Menge, das heiß
t, der Spieler weiß
, an welchem Entscheidungsknoten er sich be…ndet)
Informations-Set ist (Nicht der erste Entscheidungsknoten des Spiels!),
– schließ
t alle Entscheidungs- und Endknoten, die im Spielbaum n folgen, ein (aber
nicht die Knoten, die nicht n folgen) und
– zerschneidet nicht irgendein Informations-Set (zum Beispiel wenn ein Entscheidungsknoten n0 dem n im Spielbaum folgt: alle anderen Knoten im Informations-Set, das
n0 enthält, müssen auch n folgen und somit zum Teilspiel gehören).
(Seite 122)
(Selten 1965): Ein Nash–Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn die Strategien der Spieler ein Nash-Gleichgewicht in jedem Teilspiel konstituieren.
(Seite 124)
48
Beispiel für ein nicht-teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht:
1
L‘
3
1
L
R
R‘
L‘
2
1
1
2
R‘
0
0
Spieler 1 macht den ersten Zug (Führer), Spieler 2 den zweiten (Folger).
2
1
R
L
R’
L’
0, 0
1’, 2’
2, 1’
3’, 1
Das Nash-Gleichgewicht der Normalform be…ndet sich in (L, R’)=(1’, 2’). Betrachtet man jedoch
die extensive Form des Spiels, so wird deutlich, dass Spieler 2 L’wählt, wenn Spieler 1 R wählt,
sich jedoch für R’ entscheidet, wenn Spieler 1 L wählt. Da Spieler 1 das erkennt, wird er sich
für R entscheiden, weil er hier einen höheren payo¤ hat. Das Ergebnis des Spiels wird somit
lauten (R, L’), was in der Normalform unplausibel wäre. Die Begründung für die Abweichung
liegt darin, dass die extensive Darstellungsform mehr Informationen enthält, weil sie die zeitliche
Struktur abbilden kann.
Bemerkung
Sequentielles und simultanes Gleichgewicht entsprechen sich, wenn trotz zeitlichem Auseinderfallen der Aktionen Spieler 1 nicht weiß
, was Spieler 2 gemacht hat und umgekehrt.
In Anknüpfung an frühere Kapitel: Cournot wird gespielt, wenn die Handlungen des anderen nicht beobachtbar sind (, simultan - Darstellung in Normalform möglich), das
Ergebnis beim Stackelberg-Führer und -Folger resultiert aus der Beobachtung der Handlung des anderen (, sequentiell - Darstellung in extensiver Form notwendig). Das Modell
mit Stackelberg-Führer und -Folger stellt ein ”Parade-Beispiel” für ein teilspielperfektes
Gleichgewicht dar.
Unglaubwürdige Drohungen
In einem teilspielperfekten Nash-Gleichgewicht sind unglaubwürdige Drohungen ausgeschlossen.
Unter einer unglaubwürdigen Drohung versteht man den Versuch, den anderen Spieler in ein
nicht-teilspielperfektes Gleichgewicht zu zwingen.
Beispiel
Spieler 2 droht Spieler 1: Wenn Du R spielst, spiele ich auch R; wenn Du L spielst, spiele ich
auch L. Diese Drohung kann man für glaubwürdig halten, wenn man annimmt, daßin die Nutzenfunktion des 2 nicht nur sein eigener payo¤ eingeht, sondern noch eine andere Komponente.
Die könnte zum Beispiel sein, dass er aus dem Schaden des anderen einen Nutzen zieht, oder
dass er einen größ
eren Nutzen hat, wenn die Di¤ erenz der payo¤ s größ
er ist. Ansonsten wird
man davon ausgehen, dass Spieler 2 seine Drohung nicht wahr machen wird, das heiß
t, wenn
Spieler 1 R wählt, wählt er L. Schenkt Spieler 1 der Drohung Glauben (zum Beispiel obiger Argumentation folgend), ergibt sich das nicht teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht (L, L’). Glaubt
Spieler 1 nicht und wählt R, dann ergibt sich (R, L’) als teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht.
49
1
R
L
2
L‘
R‘
L‘
R‘
-3
0
-2
-10
1
0
1
0
Beispiel für unglaubwürdige Drohung
2
1
R
L
R’
L’
-3, 2*
-2*, 1*
0*, 0
-10, 0
50
8
Übungsaufgaben
Die Lösungsvorschläge der folgenden Übungsaufgaben erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit.
Aufgabe 1
Einperiodiger simultaner Mengenwettbewerb: Die Marktnachfrage sei durch p(X) = 100 X
gegeben, d.h. a = 100, b = 1. Die Grenz- und Stückkosten von Unternehmen 1 seien c1 = 20, die
von Unternehmen 2 seien c2 = 45. Berechnen Sie den Preis, die Absätze und die Gewinne im
Gleichgewicht eines einperiodigen Mengenwettbewerbs. Welchen Output müsste Unternehmen 1
mindestens erzeugen, damit der Marktpreis nicht größ
er wird als die Kosten von Unternehmen
2? Wird Unternehmen 2 dann noch einen Output erzeugen? Wie hoch sind die Gewinne in
einer solchen Situation? Warum bilden die entsprechenden Outputmengen kein Gleichgewicht
des betrachteten Cournot-Modells?
Lösung:
p(X) = 100 X
a = 100, b = 1
c1 = 20, c2 = 45
gesucht: p; X;
im Gleichgewicht bei simultanem Mengenwettbewerb
X = x1 + x2
!
p = 100
= (100
= (100
1
2
@ 1
@x1
@ 1
@x2
x1
x1
x1
x2
x2
x2
x21
x22
20) x1 = 80x1
45) x2 = 55x2
!
= 80
2x1
x2 = 0
= 55
x1
2x2 = 0
x1 x2
x1 x2
()
!
! Max!
! Max!
40
55
()
2
x2
= x1
2
x1
= x2
Reaktionsfunktionen ineinander einsetzen:
40
55 x1
2
2
160
= x1
160
4
()
55 = 4x1
x1
55
x1
55
x1
4
= x1
()
105
= x1
3
()
x2 =
()
x1 = 35
daraus folgt:
x2 =
2
55
35
2
= 10
und
X = x1 + x2
p = 100 x1
1
1
2
2
x2
=
=
=
=
!
X = 35 + 10 = 45
()
p = 100 35
10 = 55
(100 x1 x2 20) x1
(55 20) 35 = 1225
(100 x1 x2 45) x2
(55 45) 10 = 100
Mindest-Output des Unternehmen 1, damit der Marktpreis nicht größ
er wird als die Kosten
von Unternehmen 2: c2 = 45, daher p
45. Für diesen Preis / einen Preis darunter müssen
mindestens 55 Einheiten erzeugt werden.
p = 100
X
()
45
100
51
X
()
X = 55
Bei diesem Preis macht Unternehmen 2 keinen Gewinn. Daher wird es nicht produzieren: x2 = 0;
x1 55
1
= (100
x1
x2
20) x1
!
1
x21
= 80x1
!
1
= 80 55
552 = 1375
Da gilt
p = 100
x1
und
1
= (100
x1
20) x1 = 80x1
x21
@ 1
!
!
x1 = 40
= 80 2x1 = 0
@x1
40 20) 40 = 1600
1 (40) = (100
Wenn Unternehmen 1 allein am Markt ist, läge die optimale Produktionsmenge bei 40 Einheiten,
der Gewinn würde 1600 Einheiten betragen. Daraus erkennt man, dass bei einer Produktionsausweitung, die mit einer Preissenkung einhergeht, von der Produktionsmenge 55 aus eine weitere
Gewinnsteigerung nicht möglich ist. Versucht das Unternehmen, den Gewinn zu erhöhen durch
Verringerung der Produktionsmenge, so wird der Preis zwar steigen, aber Unternehmen 2 wird
auch wieder auf dem Markt erscheinen, da sich die Produktion wieder lohnt.
Aus der obigen Berechnung erkennt man, dass die optimale Antwort auf x2 = 0 ist x1 =
40. Daher ist die Kombination x2 = 0 mit x1 = 55 kein Gleichgewicht. Unternehmen 2
kann x2 = 0 nur erzwingen beziehungsweise Unternehmen 2 vom Markt verdrängen, wenn es
Gewinneinbuß
en hinzunehmen bereit ist.
Diese Betrachtungsweise ist nur zulässig beim Stackelberg-Modell, in dem der Leader zuerst
zieht, der Folger seine Produktionsmenge an die Vorgabe anpasst. Beim simultanen Mengenwettbewerb ist sie nicht möglich.
Aufgabe 2
Die Marktnachfrage beträgt p = 24 X. Der Stackelberg-Folger (Unternehmen 2) hat Kosten
in Höhe von c2 = 2. Berechnen Sie Outputmengen und Gewinne im Stackelberg-Gleichgewicht,
wenn die Kosten des Stackelberg-Führers (Unternehmen 1) c1 = 3, c1 = 5 oder c1 = 7 betragen. Vergleichen Sie! Zeigen Sie die Wirkungen des …rst-mover-Vorteils und des Kostenvorteils
auf (De…nition bzw. Erklärung der Begri¤e nicht vergessen!). Welcher E¤ekt überwiegt in der
jeweiligen Situation? Nehmen Sie zur Erklärung folgende Tabelle zur Hilfe:
c1
x1
x2
3
5
7
1
2
Lösung:
p = 24 X
Folger: c2 = 2
Führer: c1 = 3, c1 = 5 oder c1 = 7
gesucht: x1 ; x2 , 1 , 2
Empfehlung: für Führer allgemein lösen, so dass man dann nur noch einsetzen muss (c1 stehenlassen)
Folger:
2
@ 2
@x2
1
= (24
= 22
= (24
x1
x1
x1
(11
@ 1
= 13
@x1
x2
x22
2) x2 = 22x2
!
2x2 = 0
()
x1
)
2
c1 ) x1 = (13
c1
!
x1 = 0
x2 = 11
11
()
13
c1
2
52
x1 x2
x1
= x2
2
=
! Max!
x1
) x1 ! Max!
2
c1
13
9 + c1
2
c1 = x1
Durch Einsetzen lassen sich die Werte der folgenden Tabelle errechnen:
c1
x1
x2
1
2
3
10
6
50
36
5
8
7
32
49
7
6
8
18
64
Interpretation: Je höher die Kosten des Führers (d. h. je größ
er die Distanz der Kosten zu denen
des Folgers), desto weniger produziert der Führer.
De…nition:
…rst-mover-Vorteil : Der …rst-mover-Vorteil bezeichnet eine zeitliche Führerschaft. Ein Unternehmen macht den ”ersten Zug” und zwingt damit das andere Unternehmen, sich anzupassen. Nicht immer ist es vorteilhaft, diese zeitliche Führerschaft zu übernehmen. Im sequentiellen
Wettbewerb kann ein …rst-mover-Vorteil für den Stackelberg-Führer aufgezeigt werden. (secondmover-Vorteil : Bei Innovationen, die mit Unsicherheit belastet sind, oder beim Preiswettbewerb
kann es sich lohnen, abzuwarten, was die Konkurrenz unternimmt.
…rst-mover-Vorteil:
zeitliche Führerschaft
erster Zug”: Zwang für das andere Unternehmen, sich anzupassen.
vorteilhaft im sequentiellen Wettbewerb für Stackelberg-Führer
second-mover-Vorteil : Bei riskanten Innovationen
De…nition:
Kostenvorteil : Der Begri¤ bezieht sich auf die Kostenstruktur im Markt. Nur Unternehmen mit
einer konkurrenzfähigen Kostenstruktur können am Markt bestehen. Die Kostenführerschaft
lohnt sich sowohl im Mengen- als auch im Preiswettbewerb.
Anmerkung: Zeitliche Führerschaft und Kostenführerschaft müssen nicht zusammenfallen. Ein
kostenungünstigeres Unternehmen kann versuchen, seinen Kostennachteil durch einen …rst-moverVorteil auszugleichen. (Wie die Aufgabe zeigt.) Wenn das kostengünstigere Unternehmen im
Mengenwettbewerb den ”ersten Zug”macht, verstärkt sein Kostenvorteil den …rst-mover-Vorteil
noch.
Bei c1 = 3 kompensiert der Stackelberg-Führer seinen Kostennachteil durch den …rst-moverVorteil: er erreicht einen höheren Output und einen höheren Gewinn als der Folger. Bei c1 = 5
hat der Stackelberg-Führer zwar noch einen höheren Output als der Folger, sein Gewinn ist
aber niedriger als der des Folgers: durch den höheren Output kann die geringere Gewinnspanne
nicht mehr ausgeglichen werden. Bei c1 = 7 erreicht der Stackelberg-Folger aufgrund seiner
Kostenführerschaft die marktbeherrschende Position trotz des …rst-mover-Vorteils des Führers:
Output und Gewinn des Folgers sind höher als Output und Gewinn des Führers.
Aufgabe 3
Was versteht man unter sunk costs? (verlorene / versunkene Kosten)
In der Kostentheorie und der Mikroökonomie wird der Begri¤ für spezi…sche Kosten eines Anlagegutes ohne alternative Verwendungsmöglichkeiten benutzt. Diese Kosten eines Kapitalgüterbestandes bestehen, zumindest kurzfristig, auch nach Stilllegung weiter (man erhält sie nicht
wieder zurück). Sie sind in der Realität häu…g ein Grund dafür, dass Anlagen weiterbetrieben werden, obwohl sie bei den gegebenen Marktpreisen nicht mehr rentabel arbeiten. Beispiel:
Kosten zur Erschließ
ung eines Kupferbergwerkes.
Es folgt für Übungszwecke die im Februar 1999 gestellte Klausur mit Lösungsvorschlägen, die
keinen Anspruch auf Vollständigkeit erheben.
53
Aufgabe 4
Die Marktnachfrage sei durch p(Q) = 80 Q gegeben, d.h. a = 80 und b = 1. Die Grenz- und
Stückkosten von Unternehmen 1 seien c1 = 15, die von Unternehmen 2 seien c2 = 30.
a.) Berechnen Sie die Absatzmengen (5P), den Preis (2P) und die Gewinne (3P) im Gleichgewicht
eines simultanen Mengenwettbewerbs (Cournot-Modell). [10P]
b.) Welchen Output müsste Unternehmen 1 mindestens erzeugen, damit der Marktpreis nicht
größ
er wird als die Kosten von Unternehmen 2 (2P)? Wird Unternehmen 2 dann noch einen
Output erzeugen (1P)? Wie hoch sind die Gewinne in einer solchen Situation (2P)? Ist diese
Situation ein Nash-Gleichgewicht? Bitte begründen Sie Ihre Aussage (5P). [10P]
c.) Berechnen Sie die Menge, die Unternehmen 1 anbieten würde, wenn es Monopolist auf dem
Markt wäre (5P). Vergleichen Sie den Gewinn des Unternehmens 1 als Monopolist mit den
Gewinnen im simultanen Mengenwettbewerb (5P). [10P]
Lösung:
p(X) = 80 Q = 80
a = 80, b = 1
c1 = 15, c2 = 30
q1
q2
a)
gesucht: p; Q; q1 , q2 , 1 ; 2
im Gleichgewicht bei simultanem Mengenwettbewerb
Q = q1 + q2
!
p = 80 q1 q2
= (80
= (80
1
2
@ 1
@x1
@ 1
@x2
q1
q1
q2
q2
q12
q22
15) q1 = 65x1
30) q2 = 50q2
!
= 65
2q1
q2 = 0
= 50
q1
2q2 = 0
!
q1 q2
q1 q2
! Max!
! Max!
65
2
50
()
()
2
q2
= q1
2
q1
= q2
Reaktionsfunktionen ineinander einsetzen:
50 q1
2
65
2
= q1
2
130
130
4
()
50 = 4q1
q1
()
50
q1
4
80
= q1
3
= q1
()
q1 = 26
2
3
daraus folgt:
q2 =
50
q1
()
2
q2 =
150 80
3
2
=
70
35
2
=
= 11
6
3
3
und
Q = q1 + q2
p = 80
q1
1
= (80
1
= (65
2
= (80
2
= (50
!
q2
Q=
()
80 35
115
1
+
=
= 38
3
3
3
3
240 115
125
2
115
p = 80
=
=
= 41
3
3
3
3
q1 q2 15) q1
80 35 80
195 80 35 80
6400
1
)
=
=
= 711
3
3
3
3
3
9
9
q1 q2 30) q2
80 35 35
1225
1
)
=
= 136
3
3
3
9
9
54
b)
Mindest-Output des Unternehmen 1, damit der Marktpreis nicht größ
er wird als die Kosten
von Unternehmen 2: c2 = 30, daher p
30. Für diesen Preis / einen Preis darunter müssen
mindestens 50 Einheiten erzeugt werden.
p = 80
Q
()
30
80
Q
()
Q = 50
Bei diesem Preis macht Unternehmen 2 keinen Gewinn. Würde es produzieren, so würde die
Gesamtmenge ansteigen und somit der Preis sinken. Da dies aufgrund eines Preises unter den
Grenzkosten einen Verlust bedeuten würde, wird es nicht produzieren: q2 = 0; q1 50
1
2
= (80
= 0
q1
q2
15) q1
!
= 65q1
1
q12
!
1
= 65 50
502 = 750
Es gilt
q1 15) q1 = 65q1 q12
65
@ 1
!
!
q1 =
= 65 2q1 = 0
@x1
2
65
65
65
160 65 30 65
4225
1
) = (80
15)
=
=
= 1056
1(
2
2
2
2
2
4
4
p = 80
q1
und
1
= (80
Wenn Unternehmen 1 allein am Markt ist, läge die optimale Produktionsmenge bei 65
2 Einhei1
ten, der Gewinn würde 1056 4 Einheiten betragen. Daraus erkennt man, dass bei einer Produktionsausweitung, die mit einer Preissenkung einhergeht, von der Produktionsmenge 50 aus eine
weitere Gewinnsteigerung nicht möglich ist. Versucht das Unternehmen, den Gewinn durch Verringerung der Produktionsmenge zu erhöhen, so wird der Preis zwar steigen, aber Unternehmen
2 wird auch wieder auf dem Markt erscheinen, da sich die Produktion wieder lohnt.
Aus der obigen Berechnung erkennt man folgendes: die optimale Antwort auf q2 = 0 ist q1 =
65
2 = 32; 5. Daher ist die Kombination q2 = 0 mit q1 = 50 kein Gleichgewicht (nicht die beste
Antwort!). Unternehmen 2 kann q2 = 0 nur erzwingen beziehungsweise Unternehmen 2 vom
Markt verdrängen, wenn es Gewinneinbuß
en hinzunehmen bereit ist.
Diese Betrachtungsweise ist nur zulässig beim Stackelberg-Modell, in dem der Leader zuerst
zieht, der Folger seine Produktionsmenge an die Vorgabe anpasst. Beim simultanen Mengenwettbewerb ist sie nicht möglich.
c)
p = 80
q1
= (80
1
q1
15) q1 = 65q1
@ 1
!
= 65 2q1 = 0
@q1
q1 = 32; 5
1 = 1056; 25
q12
p = 47; 5
simultan:
1
= 711
=
1
1
9
+
2
1
Q = 38
3
3
6400 1225
7625
1
=
+
=
= 847
9
9
9
9
q1 = 26
2
2
3
p = 42
Der Gewinn im simultanen Cournot-Modell ist die Summe der Gewinne. Er ist immer geringer
als der Monopolgewinn.
Aufgabe 5
Die Marktnachfrage beträgt p(Q) = 80 Q, d.h. a = 80 und b = 1. Die Grenz- und Stückkosten
von Unternehmen 1 seien c1 = 15, die von Unternehmen 2 c2 = 30 (wie in Aufgabe 1).
a.) Berechnen Sie die Angebotsmengen (5P), den Preis (2P) und die Gewinne (3P) im Gleichgewicht eines sequentiellen Mengenwettbewerbs (Stackelberg-Modell) mit Unternehmen 1 als
Führer und Unternehmen 2 als Folger. [10P]
55
b.) Vergleichen Sie die Gewinne im Cournot-Modell mit denen im Stackelberg-Modell. Begründen
Sie, warum ein Unternehmen als Stackelberg-Führer besser gestellt ist als ein Cournot-Spieler.
[5P]
Lösung:
p = 80 Q
Folger: c2 = 30
Führer: c1 = 15
a) gesucht: q1 ; q2 ; Q;
1;
2
Folger:
2
@ 2
@x2
1
= (80
= 50
= (80
q1
q1
q1
q2
!
2q2 = 0
(25
q22
30) q2 = 50q2
()
q1
)
2
@ 1
= 40
@x1
25
15) q1 = (40
!
q1 = 0
()
q2 = 25
40
=5
2
q1 q2
q1
= q2
2
! Max!
q1
) q1 ! Max!
2
40 = q1
Q = q1 + q2 = 40 + 5 = 45
p = 80 45 = 35
1
= (40
2
= (80
q1
) q1
2
q1 q2
=)
30) q2
1
= (40
=)
40
) 40 = 800
2
40 5
2 = (80
30) 5 = 25
b) Im Cournot-Modell erhält Unternehmen 1 einen Gewinn von 711 91 ; im Stackelberg-Modell
erzeilt es jedoch einen Gewinn von 800. Unternehmen 1 ist im Stackelberg-Modell besser gestellt,
da Unternehmen 2 sich an die tatsächliche Mengenvorgabe von Unternehmen 1 anpassen muss.
Im Cournot-Modell passt sich Unternehmen 2 an eine hypothetische Menge von Unternehmen
1 an.
Unternehmen 2 erhält im Cournot-Modell einen Gewinn von 136 19 , im Stackelberg-Modell von 25.
Unternehmen 2 ist als Stackelberg-Folger schlechter gestellt im Vergleich zum Cournot-Spieler,
da es sich an eine tatsächliche Menge von Unternehmen 1 anpassen muss und Unternehmen 1
dies weiß
.
”…rst-mover-Vorteil” (erster Zug, zeitliche Führerschaft)
Zwang zur Anpassung des Folgers an eigene Handlungen
Vorteil im sequentiellen Wettbewerb für Stackelberg-Führer; hier besonders, weil c1 < c2
und kein besonderes Risiko (Kostenvorteil)
Ausnahme: second-mover-Vorteil bei riskanten Investitionen
sequentiell bedeutet, dass man etwas real beobachten kann, bevor man agiert.
weitere Begründung: siehe Aufgabe 4
56
Aufgabe 6
Begründen Sie verbal, warum Unternehmen einen Mengen- oder Variantenwettbewerb einem
Preiswettbewerb vorziehen. [5P]
Preiswettbewerb wird immer bei Preis = Grenzkosten enden, daher sind die Gewinne 0. Grund:
die Wettbewerber unterbieten sich solange, bis sie diesen Punkt erreichen. (Bei unterschiedlichen
Kosten gewinnt das Unternehmen mit den geringeren Kosten im Bertrand-Wettbewerb.)
Beim Mengen- oder Variantenwettbewerb ist es möglich, Gewinne einzustreichen.
Aufgabe 7 Wie sieht ein Nash-Gleichgewicht bei vier Unternehmen (mit gleichen Grenzkosten)
auf der Hotelling-Strecke aus? Begründen Sie ihren Lösungsvorschlag verbal. [10P]
a1 a2
a3 a4
0
1
Kein Unternehmen ist in der Lage, durch Wanderung an einen anderen Standort seine Gewinne
vergröß
ern.
Aufgabe 8
Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in den folgenden Matrixspielen. (Wenn kein NashGleichgewicht in reinen Strategien existiert, dann bestimmen Sie bitte das Nash-Gleichgewicht
in gemischten Strategien):
a)
1
o
u
R
5, 3
2, 7
5, 1
8, 6
c)
1
b)
2
L
(2P)
1
o
u
R
12, 0
10, 12
18, 22
8, 100
d)
2
o
u
2
L
L
R
-5, 3
5, -3
-3, 5
3, -5
(2P)
o( )
u (1- )
1
(2P)
L( )
2
R (1- )
2, 1
1, 2
0, 2
3, 0
(4P)
a) 5, 3
b) 18, 22
c) 5, -3
d) kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien;
Berechnung für gemischte Strategien:
Spieler 2:
EW (L) =
1 + (1
EW (R) = 2 1 + (1
2
>2 ;
wenn
) 2= +2
) 0=2
2>3 ;
2 =2
d:h: wenn
<
2
3
Schlussfolgerung:
wenn
<
2
3
ist, dann ist es vorteilig, L zu spielen,
wenn
>
2
3
ist, dann ist es vorteilig, R zu spielen.
Spieler 1:
EW (o) =
EW (u) =
2 + (1
1 + (1
2 >3
wenn
2 ;
) 0=2
) 3= +3
4 > 3;
57
3 =3
d:h: wenn
2
3
>
4
Schlussfolgerung:
wenn
>
3
4
ist, dann ist es vorteilig, o zu spielen,
wenn
<
3
4
ist, dann ist es vorteilig, u zu spielen.
Aufgabe 9
Nehmen Sie an, dass es n Unternehmen im Cournot-Modell gibt. Mit qi wird die Menge bezeichnet, die Unternehmen i produziert. Q = q1 + q2 + ::::: + qn ist die Gesamtmenge auf dem Markt.
p soll den Gleichgewichtspreis bezeichnen. Die (inverse) Nachfrage ist durch p(Q) = a Q, mit
Q < a (sonst p 0) gegeben. Nehmen Sie an, dass die Gesamtkosten des Unternehmens i bei
der Produktion der Menge qi : C(qi ) = c qi entsprechen (d.h. keine Fixkosten und konstante
Grenzkosten von c) mit c < a. Die Unternehmen haben identische Grenzkosten. Entsprechend
dem Cournot-Modell soll angenommen werden, dass die Unternehmen ihre Produktionsmengen
simultan wählen.
a) Wie sehen die Angebotsmengen (10P), der Preis (5P) und die Gewinne (5P) im NashGleichgewicht aus? [20P]
b) Was passiert, wenn die Anzahl der Unternehmen gegen unendlich geht? [10P]
= qi (p
i
c)
n
X
p=a
qj
j=1
i
n
X
= qi (a
qj
c)
j=1
i
= qi a
qi
X
qi2
qj
qi c
i6=j
@ i
@qi
X
= a
qj
!
2qi
c=0
j6=i
a
qj
[qj +
X
qj ]
c=0
j6=i
Da [qj +
P
qj ] = Q folgt daraus:
j6=i
a
c = qi + Q
mit n multipliziert ergibt sich
n (a
c) = nqi + nQ
was wegen nqi = Q folgendes ergibt
n (a
n (a
c) = Q + nQ
c) = Q (1 + n)
n
(a c) = Q
(1 + n)
a c
= qi
n+1
Für den Preis errechnet man
p = a
n
X
qj
j=1
p = a
n
(a
(1 + n)
58
c) =
a + cn
1+n
Die Gewinne betragen für jedes Unternehmen
i
n
X
= qi (a
qj
c)
j=1
i
=
a c a + cn
(
1+n
1+n
c) = (
a c 2
)
1+n
b)
Mengen:
a c
n+1
= qi
n!1
qi ! 0
Für n ! 1 geht qi gegen 0, da der Nenner gegen 1 und somit der Bruch gegen 0 geht.
Gewinne:
i
a c 2
)
= ( 1+n
n!1
i
!0
Für n ! 1 geht der Nenner gegen 1, so dass der Bruch gegen 0 geht und somit die Gewinne
gegen 0 gehen. Diese Situation entspricht der vollständigen Konkurrenz, mit p = GK = c und
i = 0.
Preis:
p=
p=
a+cn
1+n
n!1
p!c
a
a + cn
n
=
+c
1+n
+ n}
+ n}
|1 {z
|1 {z
| !0 {z !1 }
!c
59