Planetare (geothermale) Wärmetransportprozesse und deren mathematische Beschreibung J. J. Leitner Autor: Leitner J. J. Planetare Wärmequellen – Allgemein: ursprüngliche Wärme: Wärmemenge am Anfang der Planetengeschichte (durch Impakte von Protoplaneten und durch Bildung eines Kerns) radioaktiver Zerfall von Elementen im Mantel: U235 Pb207 U238 Pb206 Th232 Pb208 K40 Ca40 andere Wärmequellen: -) Reibungswärme durch Konvektion -) latente Wärme bei Phasenübergängen -) Gravitationswärme durch laufende Differenzierung -) Umwandlungswärme durch Kristallisation des inneren Kerns Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde: Oberflächenwärmeverlust: 4.43 x 1013 W ~ 87 mW m-2 (ozean. Kruste: 101 ± 2.2, kont. Kruste: 65 ± 1.6, ozean. Rücken ~ 400, Subduktionszonen ~35 mW m-2) Wärmefluss Kern Mantel: 3.6 x 1012 W ~ 8 % Kühlen des Kerns: 2.6 x 1012 W Kristallisationswärme: 0.34 x 1012 W Gravitationswärme: 0.66 x 1012 W Beitrag durch radioakt. Zerfall (Mantel): 2.4 x 1013 W ~ 55 % Mechanismus Beschreibung Kontinuum materiegebunden Wärmeleitung = Konduktion = Wärmediffusion kinetische Energie wird zw. benachbarten Molekülen in Richtung des negativen Temp.gradienten übertragen Fluid, Festkörper Wärmeströmung = Konvektion transportiert eigentlich keine Wärme, sondern innere Energie Fluid, hochplastische Festkörper nicht materiegebunden Übersicht Wärmetransportmechanismen: Wärmestrahlung = Temp.strahlung Energietransport mittels kein Kontinuum elm. Wellen, welche ein erforderlich Körper in Abhängigkeit von seiner Temperatur emittiert (0.1 μm < λ < 1000 μm) (1) Wärmestrahlung: Stefan-Boltzmann-Gesetz: für schwarze Körper gilt: (ε = α = 1; Kirchhoffsches Strahlungsgesetz) P AT für graue Körper gilt: wegen ε(T) ist P nicht mehr streng proportional zu T4 P (T )AT 4 für reale Körper müssen ε und α experimentell bestimmt werden (ε ≠ α ≠ 1) P … Strahlungsleistung [W m-2] A … Fläche T … Temperatur σ … Stefan-Boltzmann-Konstante ε … Emissionsgrad α … Absorptionsgrad 4 (1) Wärmestrahlung: Wiensches Verschiebungsgesetz: (Zusammenhang zw. Temperatur eines schwarzen Körpers und der Wellenlänge seiner Strahlung) max T 2897.7685 0.0051 μm K Plancksches Strahlungsgesetz: (für schwarze Körper, im Vakuum) 2 h 1 L ( , T ) 2 h / kT c e 1 3 L ( , T ) 2h 3 1 5 e hc / kT 1 Medium: c c n n L … spektrale Strahldichte [W m-3] h … plancksche Wirkungsquantum ν … Frequenz λ … Wellenlänge c … Lichtgeschwindigkeit k … Boltzmannkonstante n … Brechungsindex des Mediums (1) Wärmestrahlung: Bedeutung für die Geothermik: Strahlungstransportgleichung: dI I (vereinfacht, 1D) dx 2 3 16 n T Strahlungsleitfähigkeit: r 3 n ~ 1.7 r 8.7 10 1 Ahrens J., 1995 3 T 7 I … Intensität der Strahlung κ … Absorptionskoeffizient ε … Emissionskoeffizient n … Brechungsindex α …Opazität (Abschwächung) Mineral Brechungsindex n1 Olivin (Forsterit, Mg2SiO4) Olivin (Fayalit, Fe2SiO4) 1.636 – 1.772 1.731 – 1.875 Quarz (SiO) 1.54 Feldspatvertreter (= Foide) 1.52 – 1.58 (1) Wärmestrahlung: Bedeutung für die Geothermik: in opakem Medium gilt: I I 0e x Druck im Planeteninneren bewirkt eine Kompression der e- Bahnen benachbarte Orbitale überlagern sich es kommt zu intraorbitalen Ladungstransfers der Absorptionskoeffizient erhöht sich mit steigenden Druck erhöhte Opazität blockiert Transport durch Wärmestrahlung für T ~ 103 K gilt: (unterer Mantel, Erde) r 8.7 10 3 T 7 0.00087 0 (2) Wärmeleitung: Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D): T ( r , t ) k T ( r , t ) T (r , t ) t C P 2T (r , t ) 2T (r , t ) 2T (r , t ) wobei: T 2 2 2z y x k … Wärmeleitfähigkeit t … Zeit T … Temperatur ρ … Dichte CP … spezifische Wärme(kapazität) κ … thermische Leitfähigkeit, Temperaturleitfähigkeit, Temperaturleitzahl (2) Wärmeleitung: Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse: Gitterleitung (Phononen = Quasiteilchen zur Beschreibung von quantisierten Gitterschwingungen, delokalisiert, zählen zu den Bosonen), tritt hauptsächlich in Nichtmetallen auf elektronischer Beitrag (Elektronen) Transport durch Fluss freier Elektronen, tritt hauptsächlich in Metallen auf Bei Wärmetransport ausschließlich durch Konduktion, treten keine Wirbel auf. (2) Wärmeleitung: k CP sowohl k als auch CP stark temperaturabhänigig Betrachten: Wärmeleitfähigkeit k: allgemein gilt: k T TN p pN 1 kT kp kN TN pN für die meisten Mantelmineralien bei hohen Temp.: (elektrisch nicht leitend) 1 (Lee D. W. et al., 1960) k (a bT ) es gilt: k(Λ) (Λ … mittlere freie Weglänge) tiefe Temp.: C dominiert Λ ~ const k ~ T3 hohen Temp.: C ~ const Λ ~ k ~ T-1 a, b … Materialkonstante unter Berücksichtigung von Phononenstreuungen durch Verunreinigungen und Phonon-Phonon Wechselwirkungen pN, TN … Druck, Temp. bei Normalbeding. (1 bar, 293 K) λkT, λkp …Materialparameter (2) Wärmeleitung: Betrachten: Spezifische Wärme C: Gesetz von Dulong-Petit: (nur bei hohen Temp. und einfacher Kristallstruktur; Maxwell-Boltzmann Statistik) Einstein Modell: (bei hohen Temp. geht es in Dulong-Petit über; Einstein-Bose Statistik) Debye Modell: CV 3R R … allgemeine Gaskonstante NA … Avogadro-Konstante v … Frequenz des harm. Osz. TD … Debye Temperatur vD … Debye Frequenz (Phonon) EF … Fermi Energie 2 hv 3N A k e hv / kT kT CV 2 hv / kT e 1 3 T 12 CV N A k T 3 (auch für niedrigere Temp. 5 TD geeignet, Phononen-Modell) 4 hvD TD k (2) Wärmeleitung: Einstein-Debye Modell: (auch für Metalle, Phononen und Elektronen Beitrag) CV 2 N Ak 2 2 EF 12 4 N A k 3 T T 3 5TD (2) Wärmeleitung: Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme: >1500 K: Fei-Saxena Modell (Amthauer G. et al., 1979): C P 3nR 1 k1T 1 k 2T 2 k3T 3 A BT C P 298–1500 K: Maier-Kelley Modell (Daniels J. M., 1981): C P A BT CT 1/ 2 DT 2 Abb: CP von Mg2SiO4 (Forsterite) Rohlf J. W., 1994 (2) Wärmeleitung: Allgemeine Beziehungen: H CP dT P E CV dT V für Festkörper ist CP relativ unabhängig vom Druck p, aber stark abhängig von der Temperatur T 2 C P CV TV es gilt : T 0 CP 0 V … Molarvolumen α … thermischer Ausdehnungskoeffizient (= 1/V) β … Kompressibilität (= - 1/V) H … Enthalpie (2) Wärmeleitung: Bedeutung für die Geothermik: k 2 2 CP τ … charakteristische Zeitskala ℓ … charakteristische Länge tägliche Temp.schwank.: ℓ = 30 cm jährliche Temp.schwank.: ℓ = 5 m eiszeitliche Schwank.: ℓ = 1 km 4 Gyr ℓ = 350 km Wärmeleitung als Transportmech.nur für Kruste und Lithosphäre von Bedeutung Leitner J. J., 2005 (2) Wärmeleitung: Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust: 1. Modell: -) isotrope Verteilung radioakt. Elemente -) keine sekularen Kühlungsprozesse -) Basisfluss = 0 k q S C C PT t 1 2. Modell: -) wie oben -) ozeanische Kruste 2 11.3 Erde : qS t 7.28 Venus : qS t Turcotte D. L., 1995 2 Harrison C. G. A., 1982 3 Leitner J. J., Firneis M. G., 2005 1 q S C H C yC 3 qs … Oberflächenwärmefluss ρc … mittlere Krustendichte Hc … Wärmeproduktionsrate (Kruste) k … thermische Leitfähigkeit t … Krustenalter (2) Wärmeleitung: Leitner J. J., 2005 (2) Wärmeleitung: 3. Modell: Wärmefluss in alter (kontinentaler) Kruste: 2k kT 2kT exp 2 t qS a a a Leitner J. J., 2005 a … Lithosphährendicke Leitner J. J., 2005 (3) Konvektion: 2 Subtypen: freie Konvektion: Konvektion wird durch einen Temp.gradienten bewirkt, welcher eine Strömung induziert erzwungene Konvektion: durch eine von außen wirksame Kraft (3) Konvektion: Grundgleichungen: Wärmeleitungsgleichung (ergibt sich aus Fourier-Glg. durch Adaption auf ein sich bewegendes Fluidteilchen): Wärmetransport assoziert mit Strömung d. Teilchens Strömungsgeschwind. v dT T v gradT T t dt Temp.änderung Teilchen Temp.änderung am Referenzpunkt Navier-Stokes-Gleichung (für ein Newtonsches Fluid = Viskosität konstant, inkompressibel): v 1 v gradv gradp vv g t beschreibt Zusammenhang zw. Druckkräften und der Dichte (3) Konvektion: Modell: betrachten: 2 unendlich ausgedehnte vertikale Platten mit verschiedenen konst. Temperaturen T1 und T2 stationäre Lösung der Wärmeleitungsglg. ohne Strömung: x T ( x) T0 T a Temp. Verteilung mit horizontalen Gradienten T1 T2 mit T0 und T T2 T1 2 (3) Konvektion: Annahme: inkompressibles Fluid (d.h. Dichte ρ des Fluids nur von Temp. T, nicht aber von Druck p abhängig x ( x) 0 ( x) 0 1 T ( x) T0 0 T a Isochoren (Flächen konstanter Dichte) sind vertikal ist das Fluid anfänglich in Ruhe (v = 0): grad p0 g Isobare sind horizontal ohne Beweis sei festgestellt: Isobare ≠ Isochore → Wirbelbildung (Entstehung einer Rückströmung) (3) Konvektion: Allgemein gilt: es kann kein hydrostatisches Gleichgewicht für ein Fluid in einem Schwerefeld geben, wenn ein Temp.Gradient mit einer horizontalen Komponente vorhanden ist Untersuchung der Fluidströmung: Annahme: stationärer Bereich der Navier-Stokes Glg. erreicht unter Ausnutzung der Translationsinvarianz der Strömung in y- und z-Richtung parallel zu der Oberfläche der Platten (d.h. (Geschwind.feld v hängt nur von x ab, Inkompressibilitätsbedingung div v = 0 reduziert sich auf ∂vx/∂x = 0, aus Randbedingung v → 0 an den Wänden folgt vx = 0), liefert eine Projektion der N-S-Glg. auf die vertikale Achse: 2v y 1 p 0 g v 2 ( x) y x (3) Konvektion: auf jedes Fluidteilchen wirkt also eine zusätzliche Gegenkraft: pg 0T g weitere Annahmen: kein äußerer Druckgradient vertikaler Druckgradient ∂p/ ∂y reduziert sich auf hydrostatischen Druck bei fehlender Strömung (= grad p0=ρ0g) a v x mit Randbedingung y 0 2 gTx 2 a 2 x vy 6va 4 (3) Konvektion: Hydrodynamische Instabilitäten: Durch Anlegen eines Temperaturgradienten kann es zu stabilen und instabilen Gleichgewichtszuständen kommen. Geht man langsam über Schwelle, an der Instabilität auftritt, hinaus, so beginnt das System chaotisch zu werden. Instabilität (Beispiele) Kontrollparameter Rayleigh-Bénardsche Gradient der Temperatur Taylor-Couettesche Gradient der Zentrifugalkraft Bénard-Marangonische Gradient der Oberflächenspannung (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Betrachten: von unten erwärmtes Fluid, Teilchen geringerer Dichte befinden sich unter denjenigen größerer Dichte Fluidbewegung (Auftrieb) setzt ein, wenn ∆T einen Grenzwert (Instabilitätsschwelle) überschreitet (∆T = ∆Tc) es bilden sich Konvektionszellen ∆T >> ∆Tc → chaotisches Verhalten (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Voraussetzung für Instabilität: kinematisc her Viskosität Prandtlzah l Pr thermische r Leitfähigk eit qualitative Analysen fordern: Pr >> 1 Kriterium für die Instabilität: Betrachten: kugelförmiges Teilchen mit Radius R mit Geschwind. v (nach oben gerichtet) (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: es gilt: A R2 R 2 T T T y Av a y y v R 2 T 0T A 0v a A … geometrische Konstante δT … Temp.differenz, die das Teilchen im Verhältnis zu seiner Umgebung gewinnt τ … charakteristische Zeitskala für δT δρ … Dichtedifferenz zum umgebenden Fluid δy … Länge, die sich Teilchen während τ verschiebt (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: auf Kugel wirkt also eine auftreibende Kraft Fa: 4 3 4 R 5 T Fa R g A 0gv 3 3 a Geschwind. v nimmt zu, wenn: Fa > Fvisk Fvisk = viskose Abbremsung nach Stoke‘schen Formel Fvisk 6R ή … Viskosität 4 R 5 T A 0gv 6Rv 3 a (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Stabilitätsbedingung: Je größer die räumliche Ausdehnung der Störung ist, desto stärker ist die Instabilität. Annahme: maximale Ausdehnung R = a/2 Tga 3 72 Ra Rayleigh - Zahl Ra C v A v … kinematische Viskosität Stabilitätsanalysen für ein Fluid zwischen 2 festen Platten haben gezeigt: Ra = 1708 Vgl.: Erdmantel: Ra ~ 2 x 109 >> 1708 (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: 2D Lösung der R-B Instabilität: Annahme: unendlich ausgedehnte Fluidschicht Ansatz: v y ( x, t ) v y 0 (t ) cos kx mit k a kreisförmiger Querschnitt mit Durchmesser a nur eine Näherung, welche nicht den Randbeding. bei y = ± a/2 genügt für vertikalen Geschwind.- und Wärmetransport gilt: v y v y 1 p vy vv y g t y y T T vy T y y (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Lösungen für obige Gleichungen: p0 g 2 0 y v y vv y g t T vy t a Formulierung der R-B Instabilität für kleine Störungen unter Ausnützung der BOUSSINESQSCHE Approximation Temp.abhängigkeit aller beteiligten Stoffwerte vernachlässigt, insbesondere auch Temp.abhängigkeit der Dichte, ausserhalb des Auftriebterms (wird durch linearen Term approximiert (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Beispiel für Konvektion von unten geheizt: Boden zunächst kalt wird plötzlich auf konstant heiße Temperatur gebracht Störung wirft die Strömung an es bildet sich ein heißer Plume aufsteigenden Materials weitere Plumes entstehen kalte Plumes bilden sich an Oberfläche und sinken nach unten (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Beispiel für Konvektion von innen geheizt: Es bildet sich eine kalte Grenzschicht an Oberfläche kalte Plumes bilden sich aus und sinken in das Innere ab keine heißen Plumes am Boden Aufströmung in weiten Bereichen zwischen den abströmenden Tropfen (3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität: Beispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innen geheizt: Sinkende Plumes dominieren, aber auch schwächere aufsteigende Plumes kann man beobachten WAHRSCHEINLICHSTES MODELL FÜR ERDMANTEL (3) Konvektion: Die große Streitfrage: Peltier W. R. et al., 1982 whole-mantle convection versus layered convection (3) Konvektion: Die große Streitfrage: es gilt: ( p) früher: keine Konvektion im unteren Mantel, wegen Zunahme der Viskosität mit dem Druck heute: Viskosität (Ra-Zahl) ist superkritisch Konvektionsmodell für ganzen Mantel gesichert Kontroverse über whole- oder layered Konvektion (mit einer thermischen Übergangszone) (3) Konvektion – Taylor-Couette Instabilität: Modell: ein kleiner Zylinder wird in einen größeren fluidhaltigen Zylinder gedreht Fluid wird in Bewegung versetzt mv FZ 0 r 2 v0 nimmt nach außen hin ab Fz auf Teilchen von außen nach innen zu Ω … Winkelgeschwind. f … Drehzahl Entstehung einer instabilen Schichtung wenn f ≥ fkrit → Fz > innere Reibung des Fluids kleine Störungen (Zylinderrand) verursachen Wirbelbildung (3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität: auch als Marangoni Effekt bezeichnet tritt auf wenn die untere Seite eines Fluids erwärmt wird (das obere Ende bleibt frei) Ursache: Kräfte an der freien Oberfläche, die durch Gradienten der Oberflächenspannung γ induziert werden oberhalb von ∆Tc erscheinen hexagonale Strömungszellen zw. dem Boden der Fluidschicht und der freien Oberfläche Mechanismus: an Punkt der Oberfläche ist die Temp. auf einen Wert T + Θ erhöht erhöhte Temp. verursacht Änderung von γ Fluid wird radial aus wärmeren Bereich nach außen getrieben Massenerhaltung (wärmeres Fluid von unten steigt auf) eruptiver Marangoni-Effekt (3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität: Jäger C., 1996 (3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität: eruptiver Marangoni-Effekt: Jäger C., 1996 (3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten: Instabilität Kontrollparameter charakteristischer Parameter TaylorCouettesche BénardMarangonische Auftrieb Zentrifugalkraft Oberflächenspannung Ra Tga v 1708 kritischer Wert Ra ga Ma RayleighBénardsche 2 3 Ta Ra v2 2 3 d Ta dT Ma 1712 beschreibt Bedeutung des Auftriebs und die durch Temp.schwankungen induzierte OberFlächenspannung (dünne Schichte: γ, dicke Schichten: T) 80 Literatur: Ahrens J., 1995, AGU Referene Shell 2 – Mineral Physics and Cristallography Amthauer G. et al., 1979, J. Chem. Phys., Vol. 70, Nr. 11, p. 4837 – 4842 Daniels J. M., 1981, Can. J. Phys., Vol. 59, p. 182 – 184 Jäger C., 1996, Untersuchungen einer kohärenten Marangoni-Bénard-Konv.zelle, Diplomarbeit, Inst. Experimentalphysik, Univ. Aachen Lee D. W., Kingery W. D., 1960, J. Amer. Ceram. Soc., Vol. 43 Leitner J. J., 2005, Heat Transport Mechanisms through the Venusian Lithosphere, Diplomarbeit, Inst. f. Astronomie, Univ. Wien Leitner J. J., Firneis M. G., 2005, Geophysical Research Abstracts, Vol. 7 Peltier W. R. et al., 1982, Phys. Earth Plan. Int., Vol. 29, p. 281 - 304 Rohlf J. W., 1994, Modern Physics from A to Z, Wiley Verlag weitere Literaturtips: Ibach, Lüth: Festkörperphysik, Springer Verlag Guyon, Hulin, Petet: Hydrodynamik, Vieweg Verlag Herwig: Wärmeübertragung A – Z, Springer Verlag Turner: Buoyancy effects in fluids, Cambridge University Press Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoret. Physik VI – Hydrodynamik, Akademie Verlag Turcotte, Schubert: Geodynamics, Cambridge University Press