Waermetrans

VO Planetologie
06.12.2005
Planetare (geothermale)
Wärmetransportprozesse
und deren mathematische Beschreibung
J. J. Leitner
Autor: Leitner J. J.
Planetare Wärmequellen – Allgemein:
 ursprüngliche Wärme: Wärmemenge am Anfang der
Planetengeschichte (durch Impakte von Protoplaneten und
durch Bildung eines Kerns)
 radioaktiver Zerfall von Elementen im Mantel:
U235  Pb207
U238  Pb206
Th232  Pb208
K40  Ca40
 andere Wärmequellen:
-) Reibungswärme durch Konvektion
-) latente Wärme bei Phasenübergängen
-) Gravitationswärme durch laufende Differenzierung
-) Umwandlungswärme durch Kristallisation des
inneren Kerns
Planetare Wärmequellen – Beispiel Erde:
Oberflächenwärmeverlust: 4.43 x 1013 W ~ 87 mW m-2
(ozean. Kruste: 101 ± 2.2, kont. Kruste: 65 ± 1.6, ozean. Rücken ~ 400,
Subduktionszonen ~35 mW m-2)
Wärmefluss Kern  Mantel: 3.6 x 1012 W ~ 8 %
 Kühlen des Kerns: 2.6 x 1012 W
 Kristallisationswärme: 0.34 x 1012 W
 Gravitationswärme: 0.66 x 1012 W
Beitrag durch radioakt. Zerfall (Mantel): 2.4 x 1013 W ~ 55 %
~ 92 % der Wärme wird direkt im Mantel erzeugt
Übersicht Wärmetransportmechanismen:
nicht
materiegebunden
materiegebunden
Mechanismus
Beschreibung
Kontinuum
Wärmeleitung
kinetische Energie wird
zw. benachbarten
= Konduktion
= Wärmediffusion Molekülen in Richtung
des negativen Temp.gradienten übertragen
Fluid,
Festkörper
Wärmeströmung
= Konvektion
transportiert eigentlich
keine Wärme, sondern
innere Energie
Fluid,
hochplastische
Festkörper
Wärmestrahlung
= Temp.strahlung
Energietransport mittels kein Kontinuum
elm. Wellen, welche ein erforderlich
Körper in Abhängigkeit
von seiner Temperatur
emittiert
(0.1 μm < λ < 1000 μm)
(1) Wärmestrahlung:
Stefan-Boltzmann-Gesetz:
 für schwarze Körper gilt:
(ε = α = 1; Kirchhoffsches
Strahlungsgesetz)
P  AT
 für graue Körper gilt:
wegen ε(T) ist P nicht mehr
streng proportional zu T4
P   (T )AT 4
 für reale Körper müssen ε und
α experimentell bestimmt werden
(ε ≠ α ≠ 1)
P … Strahlungsleistung [W m-2]
A … Fläche
T … Temperatur
σ … Stefan-Boltzmann-Konstante
ε … Emissionsgrad
α … Absorptionsgrad
4
(1) Wärmestrahlung:
Wiensches Verschiebungsgesetz:
(Zusammenhang zw. Temperatur eines schwarzen
Körpers und der Wellenlänge seiner Strahlung)
max T  2897.7685  0.0051 μm K
Plancksches Strahlungsgesetz:
(für schwarze Körper, im Vakuum)
2h
1
L ( , T )  2 h / kT
c e
1
3
L ( , T ) 
2h
3
1
5 e hc / kT  1
c
Medium:

c
n

n
L … spektrale Strahldichte [W m-3]
h … plancksche Wirkungsquantum
ν … Frequenz
λ … Wellenlänge
c … Lichtgeschwindigkeit
k … Boltzmannkonstante
n … Brechungsindex des Mediums
(1) Wärmestrahlung:
Bedeutung für die Geothermik:
Strahlungstransportgleichung: dI   I  
 

(vereinfacht, 1D)
dx
2
3
16
n

T
Strahlungsleitfähigkeit: r 
3
I … Intensität der Strahlung
κ … Absorptionskoeffizient
ε … Emissionskoeffizient
n … Brechungsindex
α …Opazität (Abschwächung)
n ~ 1.7
r  8.7 10
1
Ahrens J., 1995
3
T
7

Mineral
Brechungsindex n1
Olivin (Forsterit, Mg2SiO4)
Olivin (Fayalit, Fe2SiO4)
1.636 – 1.772
1.731 – 1.875
Quarz (SiO)
1.54
Feldspatvertreter (= Foide)
1.52 – 1.58
(1) Wärmestrahlung:
Bedeutung für die Geothermik:
in opakem Medium gilt:
I  I 0e
x
Druck im Planeteninneren bewirkt eine Kompression der e- Bahnen
 benachbarte Orbitale überlagern sich
 es kommt zu intraorbitalen Ladungstransfers
 der Absorptionskoeffizient erhöht sich mit steigenden Druck
 erhöhte Opazität blockiert Transport durch Wärmestrahlung
für T ~ 103 K gilt:
(unterer Mantel, Erde)
r  8.7 10
3
T
7


0.00087

0
(2) Wärmeleitung:
Gesetz von Fourier (= Wärmeleitungsgleichung, 3D):
T (r , t )
k

T (r , t )  T (r , t )
t
CP
 2T (r , t )  2T (r , t )  2T (r , t )
wobei: T 


2
2
 x
 y
2 z
k … Wärmeleitfähigkeit
t … Zeit
T … Temperatur
ρ … Dichte
CP … spezifische Wärme(kapazität)
κ … thermische Leitfähigkeit,
Temperaturleitfähigkeit,
Temperaturleitzahl
(2) Wärmeleitung:
Wärmeleitung in Festkörpern: 2 Prozesse:
 Gitterleitung (Phononen = Quasiteilchen zur Beschreibung
von quantisierten Gitterschwingungen, delokalisiert,
zählen zu den Bosonen),
tritt hauptsächlich in Nichtmetallen auf
elektronischer Beitrag (Elektronen) Transport durch
Fluss freier Elektronen,
tritt hauptsächlich in Metallen auf
Bei Wärmetransport ausschließlich durch Konduktion,
treten keine Wirbel auf.
(2) Wärmeleitung:
k

 CP
sowohl k als auch CP stark temperaturabhänigig
Betrachten: Wärmeleitfähigkeit k:
 allgemein gilt:
k
T  TN
p  pN
 1  kT
 kp
kN
TN
pN
 für die meisten Mantelmineralien bei hohen Temp.:
(elektrisch nicht leitend)
1
(Lee D. W. et al., 1960)
k  (a  bT )
 es gilt: k(Λ) (Λ … mittlere freie Weglänge)
tiefe Temp.: C dominiert  Λ ~ const  k ~ T3
hohen Temp.: C ~ const  Λ ~ k ~ T-1
a, b … Materialkonstante unter Berücksichtigung von Phononenstreuungen durch
Verunreinigungen und Phonon-Phonon Wechselwirkungen
pN, TN … Druck, Temp. bei Normalbeding. (1 bar, 293 K)
λkT, λkp …Materialparameter
(2) Wärmeleitung:
Betrachten: Spezifische Wärme C:
 Gesetz von Dulong-Petit:
(nur bei hohen Temp. und
einfacher Kristallstruktur;
Maxwell-Boltzmann Statistik)
 Einstein Modell:
(bei hohen Temp. geht es
in Dulong-Petit über;
Einstein-Bose Statistik)
 Debye Modell:
CV  3R
R … allgemeine Gaskonstante
NA … Avogadro-Konstante
v … Frequenz des harm. Osz.
TD … Debye Temperatur
vD … Debye Frequenz (Phonon)
EF … Fermi Energie
2
 hv  hv / kT
3N A k   e
kT 

CV 
2
hv / kT
e
1


3
T 
12
CV 
N A k    T 3
(auch für niedrigere Temp.
5
 TD 
geeignet, Phononen-Modell)
4
hvD
TD 
k
(2) Wärmeleitung:
 Einstein-Debye Modell:
(auch für Metalle, Phononen
und Elektronen Beitrag)
CV 
 2 N Ak 2
2 EF
12 4 N A k 3
T
T
3
5TD
(2) Wärmeleitung:
Geospezifische Modelle für die spezifische Wärme:
 >1500 K: Fei-Saxena Modell (Amthauer G. et al., 1979):
CP  3nR1  k1T 1  k2T 2  k3T 3   A  BT  CP
 298–1500 K: Maier-Kelley Modell
(Daniels J. M., 1981):
CP  A  BT  CT 1/ 2  DT 2
Abb: CP von Mg2SiO4
(Forsterite)
Rohlf J. W., 1994
(2) Wärmeleitung:
Allgemeine Beziehungen:
 H 
CP  

 dT  P
 E 
CV  

 dT V
für Festkörper ist CP relativ unabhängig
vom Druck p, aber stark abhängig von
der Temperatur T
2
CP  CV  TV

es gilt : T  0  CP  0
V … Molarvolumen
α … thermischer Ausdehnungskoeffizient (= 1/V)
β … Kompressibilität (= - 1/V)
H … Enthalpie
(2) Wärmeleitung:
Bedeutung für die Geothermik:
k
2
2


 
CP 

τ … charakteristische Zeitskala
ℓ … charakteristische Länge
tägliche Temp.schwank.: ℓ = 30 cm
jährliche Temp.schwank.: ℓ = 5 m
eiszeitliche Schwank.: ℓ = 1 km
4 Gyr  ℓ = 350 km
Wärmeleitung als Transportmech.nur für Kruste und
Lithosphäre von Bedeutung
Leitner J. J., 2005
(2) Wärmeleitung:
Anwendung – Abschätzung Oberflächenwärmeverlust:
 1. Modell: -) isotrope Verteilung radioakt. Elemente
-) keine sekularen Kühlungsprozesse
-) Basisfluss = 0
k
qS  C CPT
t
1
 2. Modell: -) wie oben
-) ozeanische Kruste
2
11.3
Erde : qS 

t
7.28
Venus : qS 
t
1
Turcotte D. L., 1995
Harrison C. G. A., 1982
3 Leitner J. J., Firneis M. G., 2005
2
qS  C H C yC
3
qs … Oberflächenwärmefluss
ρc … mittlere Krustendichte
Hc … Wärmeproduktionsrate (Kruste)
k … thermische Leitfähigkeit
t … Krustenalter
(2) Wärmeleitung:
Leitner J. J., 2005
(2) Wärmeleitung:
 3. Modell: Wärmefluss in alter (kontinentaler) Kruste:
  2k 
kT 2kT
qS 

exp   2 t 
a
a
 a 
Leitner J. J., 2005
a … Lithosphährendicke
Leitner J. J., 2005
(3) Konvektion:
2 Subtypen:
 freie Konvektion: Konvektion wird durch einen Temp.gradienten bewirkt, welcher eine
Strömung induziert
 erzwungene Konvektion: durch eine von außen wirksame
Kraft
(3) Konvektion:
Grundgleichungen:
 Wärmeleitungsgleichung (ergibt sich aus Fourier-Glg.
durch Adaption auf ein sich bewegendes Fluidteilchen):
Wärmetransport assoziert mit Strömung d. Teilchens
Strömungsgeschwind. v
dT T

 v gradT  T
dt
t
Temp.änderung Teilchen
Temp.änderung am Referenzpunkt
 Navier-Stokes-Gleichung (für ein Newtonsches Fluid =
Viskosität konstant, inkompressibel):
v
1
 v gradv   gradp  vv  g
t

beschreibt Zusammenhang zw.
(3) Konvektion:
Modell: betrachten:
2 unendlich ausgedehnte vertikale Platten mit verschiedenen
konst. Temperaturen T1 und T2
stationäre Lösung der
Wärmeleitungsglg. ohne
Strömung:
x
T ( x)  T0  T
a
Temp. Verteilung
mit horizontalen
Gradienten
T1  T2
mit T0 
und T  T2  T1
2
(3) Konvektion:
Annahme: inkompressibles Fluid (d.h. Dichte ρ des Fluids
nur von Temp. T, nicht aber von Druck p abhängig
x

 ( x)   0  ( x)   0 1   T ( x)  T0    0 T 
a

Isochoren (Flächen konstanter Dichte) sind vertikal
ist das Fluid anfänglich in Ruhe (v = 0): grad p0  g
Isobare sind horizontal
ohne Beweis sei festgestellt: Isobare ≠ Isochore
→ Wirbelbildung (Entstehung einer Rückströmung)
(3) Konvektion:
Allgemein gilt: es kann kein hydrostatisches Gleichgewicht
für ein Fluid in einem Schwerefeld geben, wenn ein Temp.Gradient mit einer horizontalen Komponente vorhanden ist
Untersuchung der Fluidströmung:
Annahme: stationärer Bereich der Navier-Stokes Glg. erreicht
unter Ausnutzung der Translationsinvarianz der Strömung in
y- und z-Richtung parallel zu der Oberfläche der Platten (d.h.
(Geschwind.feld v hängt nur von x ab, Inkompressibilitätsbedingung div v = 0 reduziert sich auf ∂vx/∂x = 0, aus Randbedingung v → 0 an den Wänden folgt vx = 0), liefert eine
Projektion der N-S-Glg. auf die vertikale Achse:
 2v y
1 p
0
g v 2
 ( x) y
x
(3) Konvektion:
auf jedes Fluidteilchen wirkt also eine zusätzliche Gegenkraft:
pg  0T g
weitere Annahmen:
 kein äußerer Druckgradient
 vertikaler Druckgradient ∂p/ ∂y reduziert sich
auf hydrostatischen Druck bei fehlender
Strömung (= grad p0=ρ0g)
a

 mit Randbedingung v y  x     0
2

gTx  2 a 2 
 x  
vy  
6va 
4
(3) Konvektion:
Hydrodynamische Instabilitäten:
Durch Anlegen eines Temperaturgradienten kann es zu
stabilen und instabilen Gleichgewichtszuständen kommen.
Geht man langsam über Schwelle, an der Instabilität auftritt,
hinaus, so beginnt das System chaotisch zu werden.
Instabilität (Beispiele)
Kontrollparameter
Rayleigh-Bénardsche
Gradient der Temperatur
Taylor-Couettesche
Gradient der Zentrifugalkraft
Bénard-Marangonische
Gradient der Oberflächenspannung
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Betrachten:
von unten erwärmtes Fluid, Teilchen geringerer
Dichte befinden sich unter denjenigen größerer Dichte
 Fluidbewegung (Auftrieb) setzt ein, wenn ΔT einen Grenzwert
(Instabilitätsschwelle) überschreitet (ΔT = ΔTc)
 es bilden sich Konvektionszellen
 ΔT >> ΔTc → chaotisches Verhalten
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Voraussetzung für Instabilität:
 kinematisc her Viskosität
Prandtlzah l Pr  
 thermische r Leitfähigk eit
qualitative Analysen fordern: Pr >> 1
Kriterium für die Instabilität:
Betrachten: kugelförmiges Teilchen mit Radius R mit
Geschwind. v (nach oben gerichtet)
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
es gilt:
A
R2

T
R 2 T
T  y
 Av
y
 a
y  v
R 2 T
    0T   A 0v
 a
A … geometrische Konstante
δT … Temp.differenz, die das Teilchen im Verhältnis zu seiner
Umgebung gewinnt
τ … charakteristische Zeitskala für δT
δρ … Dichtedifferenz zum umgebenden Fluid
δy … Länge, die sich Teilchen während τ verschiebt
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
auf Kugel wirkt also eine auftreibende Kraft Fa:
4 3
4
R 5 T
Fa   R g  A0gv
3
3
 a
Geschwind. v nimmt zu, wenn: Fa > Fvisk
Fvisk = viskose Abbremsung nach Stoke‘schen Formel
Fvisk  6R
ή … Viskosität
4
R 5 T
A 0gv
 6Rv
3
 a
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Stabilitätsbedingung:
Je größer die räumliche Ausdehnung der Störung ist,
desto stärker ist die Instabilität.
Annahme: maximale Ausdehnung R = a/2
Tga 3 72

 Ra  Rayleigh - Zahl  Ra C
v
A
v … kinematische Viskosität
Stabilitätsanalysen für ein Fluid zwischen 2 festen Platten
haben gezeigt: Ra = 1708
Vgl.: Erdmantel: Ra ~ 2 x 109 >> 1708
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
2D Lösung der R-B Instabilität:
Annahme: unendlich ausgedehnte Fluidschicht
Ansatz:
v y ( x, t )  v y 0 (t ) cos kx mit k 

a
kreisförmiger
Querschnitt mit
Durchmesser a
nur eine Näherung, welche nicht den
Randbeding. bei y = ± a/2 genügt
für vertikalen Geschwind.- und Wärmetransport gilt:
v y
v y
1 p
 vy
 vv y 
g
t
y
 y
T
T
 vy
 T
y
y
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Lösungen für obige Gleichungen:
 p0
  g
2
 0 y
v y
 vv y  g
t

T
 vy
 
t
a
Formulierung der R-B Instabilität für
kleine Störungen
unter Ausnützung
der
BOUSSINESQSCHE Approximation
Temp.abhängigkeit aller beteiligten
Stoffwerte vernachlässigt,
insbesondere
auch Temp.abhängigkeit der Dichte,
ausserhalb des Auftriebterms (wird
durch linearen Term approximiert
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Beispiel für Konvektion von unten geheizt:
Boden zunächst kalt  wird plötzlich auf konstant heiße
Temperatur gebracht  Störung wirft die Strömung an 
es bildet sich ein heißer Plume aufsteigenden Materials 
weitere Plumes entstehen  kalte Plumes bilden sich
an Oberfläche und sinken nach unten
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Beispiel für Konvektion von innen geheizt:
Es bildet sich eine kalte Grenzschicht an Oberfläche 
kalte Plumes bilden sich aus und sinken in das Innere
ab  keine heißen Plumes am Boden  Aufströmung
in weiten Bereichen zwischen den abströmenden Tropfen
(3) Konvektion - Rayleigh-Bénardsche Instabilität:
Beispiel für Konvektion von unten (schwächer) und innen
geheizt:
Sinkende Plumes dominieren, aber auch schwächere
aufsteigende Plumes kann man beobachten
WAHRSCHEINLICHSTES MODELL FÜR ERDMANTEL
(3) Konvektion:
Die große Streitfrage:
Peltier W. R. et al., 1982
whole-mantle convection
versus
layered convection
(3) Konvektion:
Die große Streitfrage:
es gilt:
 ( p)
früher: keine Konvektion im unteren Mantel, wegen
Zunahme der Viskosität mit dem Druck
heute: Viskosität (Ra-Zahl) ist superkritisch
Konvektionsmodell für ganzen Mantel gesichert
Kontroverse über whole- oder layered Konvektion
(mit einer thermischen Übergangszone)
(3) Konvektion – Taylor-Couette Instabilität:
Modell:
ein kleiner Zylinder wird in einen
größeren fluidhaltigen Zylinder gedreht
 Fluid wird in Bewegung versetzt
mv
FZ  0
r
2
v0 nimmt nach außen hin ab
Fz auf Teilchen von außen nach innen zu
Ω … Winkelgeschwind.
f … Drehzahl
Entstehung einer instabilen Schichtung
wenn f ≥ fkrit → Fz > innere Reibung des Fluids
 kleine Störungen (Zylinderrand) verursachen Wirbelbildung
(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität:
auch als Marangoni Effekt bezeichnet
tritt auf wenn die untere Seite eines Fluids erwärmt wird
(das obere Ende bleibt frei)
Ursache: Kräfte an der freien Oberfläche, die durch
Gradienten der Oberflächenspannung γ induziert werden
oberhalb von ΔTc erscheinen hexagonale Strömungszellen
zw. dem Boden der Fluidschicht und der freien Oberfläche
Mechanismus: an Punkt der Oberfläche ist die Temp. auf einen
Wert T + Θ erhöht
 erhöhte Temp. verursacht Änderung von γ
 Fluid wird radial aus wärmeren Bereich nach außen getrieben
 Massenerhaltung (wärmeres Fluid von unten steigt auf)
eruptiver Marangoni-Effekt
(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität:
Jäger C., 1996
(3) Konvektion – Bénard-Marangoni Instabilität:
eruptiver Marangoni-Effekt:
Jäger C., 1996
(3) Zusammenfassung: hydrodynamische Instabilitäten:
Instabilität
Kontrollparameter
charakteristischer
Parameter
TaylorCouettesche
BénardMarangonische
Auftrieb
Zentrifugalkraft
Oberflächenspannung
Ra 
Tga
v
1708
kritischer Wert
Ra ga

Ma

RayleighBénardsche
2
3
Ta 
 Ra
v2
2
3
d
Ta
dT
Ma 
1712
beschreibt Bedeutung des Auftriebs und die
durch Temp.schwankungen induzierte OberFlächenspannung
(dünne Schichte: γ, dicke Schichten: T)

80
Literatur:
Ahrens J., 1995, AGU Referene Shell 2 – Mineral Physics and Cristallography
Amthauer G. et al., 1979, J. Chem. Phys., Vol. 70, Nr. 11, p. 4837 – 4842
Daniels J. M., 1981, Can. J. Phys., Vol. 59, p. 182 – 184
Jäger C., 1996, Untersuchungen einer kohärenten Marangoni-Bénard-Konv.zelle,
Diplomarbeit, Inst. Experimentalphysik, Univ. Aachen
Lee D. W., Kingery W. D., 1960, J. Amer. Ceram. Soc., Vol. 43
Leitner J. J., 2005, Heat Transport Mechanisms through the Venusian
Lithosphere, Diplomarbeit, Inst. f. Astronomie, Univ. Wien
Leitner J. J., Firneis M. G., 2005, Geophysical Research Abstracts, Vol. 7
Peltier W. R. et al., 1982, Phys. Earth Plan. Int., Vol. 29, p. 281 - 304
Rohlf J. W., 1994, Modern Physics from A to Z, Wiley Verlag
weitere Literaturtips:
Ibach, Lüth: Festkörperphysik, Springer Verlag
Guyon, Hulin, Petet: Hydrodynamik, Vieweg Verlag
Herwig: Wärmeübertragung A – Z, Springer Verlag
Turner: Buoyancy effects in fluids, Cambridge University Press
Landau, Lifschitz: Lehrbuch der theoret. Physik VI – Hydrodynamik, Akademie Verlag
Turcotte, Schubert: Geodynamics, Cambridge University Press