Ubungsblatt 4 - Astrophysik Uni

Sterne, WS 2011/12
W.-R. Hamann / K.G. Strassmeier
Übungsblatt 4
(Ausgabe 23.11.2011, Abgabe 05.12.2011)
1. Aufgabe Strahlungsdämpfung (5 Punkte)
Die spontane Emission lässt sich halbklassisch als ein gedämpfter harmonischer Oszillator betrachten, der ohne äußere Anregung frei ausschwingt. Die Bewegungsgleichung
sei homogen (siehe Skript IV.19 oben, ohne rechte Seite).
a) Zeigen Sie, dass die Lösung eine exponentiell abklingende Schwingung
x(t) = e−at sin (ω1 t)
ist und bestimmen sie die Abklingkonstante a und die Frequenz ω1 .
Wie groß ist etwa die Abklingzeit 1/a bei klassischer Dämpfungkonstante für
eine Linie im Visuellen (5000 Å)? (2 Punkte)
b) Wie sieht das Spektrum der abklingenden harmonischen Schwingung aus?
Bilden Sie dazu von der oben genannten Lösung (für t ≥ 0, jedoch x(t) = 0 für
t ≤ 0) das Betragsquadrat der Fouriertransformierten |F (ω)|2 . (Tipp: Nähern Sie
nach der Fouriertransformation, aber vor der Berechnung des Betragsquadrates,
indem sie (ω1 − ω) ≪ (ω1 + ω) annehmen und so einen der beiden enstehenden
Summanden vernachlässigen.) (2 Punkte)
c) Erinnern Sie sich an die sogenannte Heisenbergsche Energie-Zeit-Unschärfe aus
der Experimentalphysik. Wenn man die Zeitunschärfe mit der Abklingzeit 1/a
identifiziert, wie groß ist dann die Energieunschärfe? Stellen Sie letztere als
Unschärfe der Frequenz dar und vergleichen das Ergebnis mit der Halbwertsbreite des Lorentzprofils für die Strahlungsdämpfung. (1 Punkt)
2. Aufgabe Dämpfungsbereich der Wachstumskurve (3 Punkte)
(Fortsetzung von Übungsblatt 2, Aufgabe 4) Starke Linien können nur noch durch
Absoption in ihren Flügeln wachsen. Ihre Profilfunktion lässt sich durch ein Lorentzprofil beschrieben. Es gilt:
τ (λ) =
τ0
(λ − λ0 )2 +
γ 2
2
(1)
Berechnen Sie erneut die Äquivalentbreite. Nutzen Sie zur Vereinfachung die Formel
Wλ =
Z∞
−∞
1 − e−τ (λ) dλ .
(2)
(Der Fehler durch Integration über negative Wellenlängen ist vernachlässigbar, erleichtert aber die Rechnung deutlich.) Nutzen Sie ferner die Relation λ − λ0 ≫ γ2 , die
insbesondere in den Flügeln gilt. Gegeben seien zudem das folgende Integral:
Z∞ √
−ax−2
dx = 2 πa
1−e
−∞
(3)
W.-R. Hamann / K.G. Strassmeier
Sterne, WS 2011/12
Vergleichen Sie die Abhängigkeit Wλ (τ0 ) mit den anderen beiden Fällen aus Übungsblatt 2, Aufgabe 4.
3. Aufgabe Linienprofil rotierender Sterne (7 Punkte)
a) Ein Stern mit Radius R rotiere mit Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse
(Drehvektor ~ω ), die zur Sichtlinie des Beobachters um den Winkel i (wie Inklination) geneigt sei. Desweiteren definieren wir ein orthogonales Koordinatensystem mit x, y, z und Koordinatenursprung im Mittelpunkt des Sterns, wobei
die z-Achse auf der Sichtlinie liegt und die y-Achse in der von ω
~ und z-Achse
aufgespannten Ebene.
y
~ω
i
z
x
Wie schreibt sich dann ~ω in x, y, z-Koordinaten? Wie lautet der Ausdruck für
die Dopplerverschiebung ∆λ einer Linie der Wellenlänge λ0 infolge der Rotation
in Abhängigkeit vom Ort (~r = xe~x + y e~y + z e~z ) der Linienentstehung auf der
Sternoberfläche? (Hinweis: Welche Geschwindigkeit hat ~r ?)
Welche Form und Lage haben dann insbesondere die Kurven gleicher Dopplerverschiebung auf der Sternscheibe (eventuell Zeichnung)? Welche maximale
Halbbreite ∆λrot hat eine rotationsverbreiterte Linie? (3 Punkte)
b) Angenommen, der vom einem zunächst nicht rotierenden Stern ausgesandte Strahlungsfluss habe das Spektrum einer unendlich schmalen Emissionslinie (δ-Funktion). Durch Rotation entfallen nun auf die verschiedenen DopplerVerschiebungen Beiträge, die proportional zum jeweiligen Flächenanteil an der
Sternscheibe sind, die sich mit der betreffenden Radialgeschwindigkeit bezüglich
des Beobachters bewegen. Wie lautet dieser Anteil für einen Streifen dx? (Hinweis: Betrachten Sie die Ergebnisse aus Teil (a) dieser Aufgabe.)
Bilden Sie das Integral über den gesamten Stern und normieren Sie es auf 1.
Ermitteln Sie anschließend die Profilfunktion für die Rotationsverbreiterung,
indem Sie das Integral von x auf λ transformieren. (∆λ = λ − λ0 ) Mit welcher
Funktion φ(λ) muss man also ein Spektrum falten, um die Verbreiterung durch
Rotation in Rechnung zu stellen? (4 Punkte)