Vorlesung 1 - Universität Hamburg

Brückenkurs Mathematik
Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016
Vorlesung 1
Elementare Algebra
Kai Rothe
Technische Universität
Hamburg-Harburg
Mittwoch 5.10.2016
Tagesablauf
9:00 - 10:30 Vorlesung
Audimax I
10:30 - 11:00 Pause
11:00 - 11:45 Vorlesung/Übungsbeispiele
12:45 - 14:15 Lösen von Übungsaufgaben Übungsräume
(Begleitet durch Tutoren)
14:30 - 16:00 Lösungsbesprechung
der Übungsaufgaben
Audimax I
Übungsräume
D-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,
D 1021, D 1023, D 2022,
H-SBC5: H0.01-H0.10
N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,
Präsenzbrückenkurs: Aktuelles und Lehrmaterial
www.math.uni-hamburg.de/home
/rothe/vorkurs16/index.html
Online Mathematik Brückenkurs (OMB+):
www.ombplus.de/ombplus
/public/index.html
Bekannte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Rechenoperationen in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Eigenschaften der Addition in Q . . . . . . . . . .
3
Eigenschaften der Multiplikation in Q . . . . .
7
Recheneigenschaften / Potenzrechnung in Q 10
Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Proportionalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Dreisatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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Bekannte Mengen
natürliche Zahlen:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . . }
ganze Zahlen:
ZZ := {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
rationale Zahlen (Brüche):
n n o
Q :=
n ∈ ZZ, m ∈ IN
m
n heißt Zähler und m Nenner des Bruches
Für diese Menge gilt die Teilmengenbeziehung:
IN ⊂ ZZ ⊂ Q .
1
2
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Rechenoperationen in Q
Für a, b ∈ Q, also a und b aus der Menge der rationalen
Zahlen, sind zwei Rechenoperationen erklärt.
Addition ’+’
a+b
Multiplikation ’·’
a · b = ab
Bemerkungen:
1. Mathematischen Rechenausdrücke wie beispielsweise
a + b und a · b nennt man in Kurzsprechweise auch
Terme.
2. Das Rechenoperationszeichen ’·’ im Term a·b wird in
Kurzschreibweise weggelassen. ab wird also als Multiplikation von a und b aufgefasst.
3. Im Folgenden gilt grundsätzlich Potenz- vor Punktund vor Strichrechnung.
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3
Eigenschaften der Addition in Q
Für a, b, c ∈ Q gilt:
1. Summensatz:
Für zwei rationale Zahlen a und b gibt es genau eine
rationale Zahl a + b.
Die Addition zweier Brüche in der Form
n
p
a=
und b =
m
q
erfolgt durch ’Erweiterung’ auf einen gemeinsamen
’Hauptnenner’
a+b=
n p
n·q m·p n·q+m·p
+ =
+
=
.
m q m·q m·q
m·q
Die Darstellung in gekürzter Form ist eindeutig.
4
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2. Assoziativgesetz der Addition:
(a + b) + c = a + (b + c)
3. Kommutativgesetz der Addition:
a+b=b+a
4. Das neutrale Element der Addition ist 0:
a+0=a
5. Das inverse Element der Addition ist −a:
a + (−a) = 0
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5
Beispiele:
In folgenden Termen löse man die Klammern auf, fasse
die Variablen zusammen und schreibe sie in alphabetischer Reihenfolge:
1. x − (z + y)
=x−z−y =x−y−z,
2. z − (x − (w + y))
= z − x + (w + y) = z − x + w + y = w − x + y + z ,
3. y − (w + [x + z])
= y −w −[x+z] = y −w −x−z = −w −x+y −z ,
4. (x + y) + (x − y)
= x + y + x − y = 2x ,
5. −(z − x − y) + (x − y + z)
= −z + x + y + x − y + z = 2x
6
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6. (x − y + z) − (y − z + x) − (z − x + y)
= x − y + z − y + z − x − z + x − y = x − 3y + z ,
7. x − [(u + w) − (v − y)]
= x − (u + w) + (v − y)
= x − u − w + v − y = −u + v − w + x − y ,
8. (x − y + z) − [(x + y + z) − (z − x − y)]
= x − y + z − (x + y + z) + (z − x − y)
= x − y + z − x − y − z + z − x − y = −x − 3y + z ,
9. w − [x + (y − z)] + [(y + z) − (w − x)]
= w − x − (y − z) + (y + z) − (w − x)
= w − x − y + z + y + z − w + x = 2z
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7
Eigenschaften der Multiplikation in Q
Für a, b, c ∈ Q gilt:
1. Produktsatz:
Für zwei rationale Zahlen a und b gibt es genau eine
rationale Zahl a · b.
Die Multiplikation zweier Brüche in der Form
n
p
a=
und b =
m
q
führt zur Merkregel:
’Zähler’ mal ’Zähler’ durch ’Nenner’ mal ’Nenner’
n p
n·p
· =
.
m q m·q
Die Darstellung in gekürzter Form ist eindeutig.
a·b=
8
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2. Assoziativgesetz der Multiplikation:
(a · b) · c = a · (b · c)
3. Kommutativgesetz der Multiplikation:
a·b=b·a
4. Das neutrale Element der Multiplikation
ist 1:
a·1=a
5. Für a 6= 0 ist das inverse Element der Mul1
tiplikation :
a
a·
1
=1
a
Distributivgesetz:
a · (b + c) = a · b + a · c
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9
Beispiel 1:
Man multipliziere folgende Terme aus:
1) 3x(4y + 5z)
= 12xy + 15xz ,
2) (−1)(x − y + z)
= −(x − y + z) = −x + y − z ,
Beispiel 2:
Man schreibe folgende Terme durch ausklammern in
Produktform:
1) (x − y)z − x + y
= (x − y)z − (x − y) = (x − y)(z − 1) ,
2) xy − x − 2y + 2
= x(y − 1) − 2(y − 1) = (x − 2)(y − 1) ,
10
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Recheneigenschaften / Potenzrechnung in Q:
a) Inversionsregeln:
(a) −(−a) = a
(b) für a 6= 0 gilt
1
1
a
=a
(c) −(a + b) = (−a) + (−b) = −a − b
(d) für a, b 6= 0 gilt
1 1
1
= ·
a·b a b
b) Subtraktion:
Die eindeutige Lösung der Gleichung a+x = b lautet
x = b − a.
c) Division:
Die eindeutige Lösung der Gleichung a · x = b für
a 6= 0 lautet
1 b
x=b· = .
a a
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d) Besondere Produkte:
(a) a · 0 = 0
(b) (−a)b = a(−b) = −ab
(c) (−a)(−b) = ab
e) Potenzen:
(a) a · a = a2
(b) |a · {z
... · a} = an mit n ∈ IN
n − mal
Für a 6= 0 setzt man a0 = 1.
n heißt Exponent und a Basis.
(c) anam = an+m mit n, m ∈ IN ,
n m
(a ) = anm ,
(ab)n = anbn
an
n−m
=
a
am
11
12
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Beispiel 1:
Man multipliziere folgende Terme aus und fasse gleiche
Terme zusammen:
1) x(x + y)
= x2 + xy ,
2) a(a2 + a5)
= a3 + a6 ,
3) (x + y)(x − y − x + y)
= (x + y)(x − x − y + y)
= (x + y) · 0 = 0 ,
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13
4) (12a + 8b)(10a − 9b)
= 120a2 − 108ab + 80ba − 72b2
= 120a2 − 28ab − 72b2 ,
5) (15b − 13a)(14a − 16b)
= 210ba − 240b2 − 182a2 + 208ab
= −182a2 + 418ab − 240b2 ,
6) x(x + 1)(x − 2)
= x(x2 − 2x + x − 2)
= x3 − x2 − 2x ,
7) (2x2 − 5x + 7)(3 + 4x − x2)
= 6x2 −15x+21+8x3 −20x2 +28x−2x4 +5x3 −7x2
= −2x4 + 13x3 − 21x2 + 13x + 21 .
14
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Beispiel 2:
Man fasse in folgenden Termen die Potenzen zusammen
1) x2 · x3
= x2+3 = x5 ,
2) (x2)3
= x2·3 = x6 ,
3) (xy)5
= x5 y 5 ,
4) x4y 2x6z 5y 3z
= x4 x6 y 2 y 3 z 5 z
= x4+6y 2+3z 5+1 = x10y 5z 6 .
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15
Binomische Formeln:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3) (a + b)(a − b) = a2 − b2
Beispiel 1:
Unter Verwendung der binomischen Formeln schreibe
man folgende Terme in Summen um
1) (x + 1)2
= x2 + 2x + 1 ,
2) (x − 3y)2
= x2 − 2 · 3xy + (3y)2 = x2 − 6xy + 9y 2 ,
16
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiel 2:
Unter Verwendung der binomischen Formeln schreibe
man folgende Summen in Produkte um
1) x2 − 4x + 4
= x2 − 2 · 2x + 22
= (x − 2)2 ,
2) x2 − 64
= x2 − 8 2
= (x + 8)(x − 8) ,
3) x8 − 1
= (x4)2 − 12
= (x4 + 1)(x4 − 1) = (x4 + 1)((x2)2 − 12)
= (x4 + 1)(x2 + 1)(x2 − 1)
= (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x − 1)
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17
Bruchrechnung:
Für a, b, c, d ∈ Q gelten folgende Rechenregeln.
Dabei wird immer angenommen, dass der Nenner von
Null verschieden ist.
a) Erweitern eines Bruches mit c 6= 0:
a a·c
=
b b·c
b) Kürzen eines Bruches mit c 6= 0:
a·c a
=
b·c b
c) Vorzeichenschreibweise:
a
a
−a a
−a
=
=−
und
=
b
−b
b
−b b
18
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiele:
Man kürze in folgenden Brüchen
13
1)
78z
2)
5a
4a
x2
3)
3x
4)
6x
15y
x3 y 3
5)
xy
65y 2z 4
6)
91x3z 5
1
=
,
6z
=
5
,
4
x
= ,
3
=
2x
,
5y
= x2 y 2 ,
5y 2
= 3 ,
7x z
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
a2 + ab
7)
ab + b2
=
8)
a(a + b) a
= ,
b(a + b) b
6a − 12b
9a + 18b
=
3(2a − 4b) 2a − 4b
=
,
3(3a + 6b) 3a + 6b
a2 − b2
9)
a−b
(a + b)(a − b)
=
= a+b,
a−b
3x2 − 27y 2
10)
3x − 9y
=
3(x + 3y)(x − 3y)
= x + 3y .
3(x − 3y)
19
20
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Addition und Subtraktion zweier Brüche:
a) mit gleichem Nenner:
a c a±c
± =
b b
b
b) mit verschiedenen Nennern:
a c a·d±b·c
± =
b d
b·d
(Erweitern auf einen gemeinsamen ’Hauptnenner’.)
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
21
Beispiele:
Man addiere folgende Brüche
1)
3
5
+
2b 2b
=
3+5 4
= ,
2b
b
2)
16
8
−
3b 3b
=
16 − 8
8
= ,
3b
3b
3)
y + 6 2y + 3
−
x
x
4)
4x − 5y 2x − 7y
−
x−y
x−y
=
y + 6 − (2y + 3) −y + 3
=
,
x
x
4x − 5y − (2x − 7y) 2x + 2y
=
,
=
x−y
x−y
x
5) 1 +
y
5
4
6)
−
xy yx
y x y+x
= + =
,
y y
y
5−4
1
=
=
,
xy
xy
22
7)
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x+y
−y
2
=
8)
x + y 2y x + y − 2y x − y
−
=
=
,
2
2
2
2
x
+1
x−y
x − y x + x − y 2x − y
x
+
=
=
,
=
x−y x−y
x−y
x−y
8
3
9)
−
5a + 5 2a + 2
=
16
15
1
−
=
,
10a + 10 10a + 10 10a + 10
1
1
−
10)
x−3 x+4
x−3
x+4
−
(x − 3)(x + 4) (x − 3)(x + 4)
x + 4 − (x − 3)
7
=
=
.
(x − 3)(x + 4)
(x − 3)(x + 4)
=
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23
Multiplikation zweier Brüche:
a c a·c
· =
b d b·d
(Zähler mal Zähler geteilt durch Nenner mal Nenner.)
Beispiele:
Man multipliziere folgende Brüche miteinander und vereinfache durch kürzen
1)
2
·7
x
=
14
,
x
2)
x
·5
15
=
5x x
= ,
15 3
60 x − y
3)
·
x+y
15
4)
1 1
+
xy
y x
1
5) (x + 4x)
x
3
60(x − y) 4(x − y)
=
=
,
15(x + y)
x+y
xy xy
=
+
=x+y,
y
x
x3 + 4x x(x2 + 4)
=
=
= x2 + 4
x
x
24
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Inverses Element der Multiplikation
(Kehrwert) eines Bruches:
a
6 0 gilt
Für =
b
a b a·b
· =
= 1.
b a b·a
Division zweier Brüche:
a c a d a·d
: = · =
b d b c
b·c
(Division entspricht Multiplikation mit Kehrwert.)
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25
Beispiele:
Man dividiere folgende Brüche durcheinander und vereinfache durch kürzen
1)
24
:8
y
2)
x
5
x3
3) 42 :
=
24 1 24 3
· =
= ,
y 8 8y y
x
1
= 3= 2,
5x
5x
28
x
4)
x x
:
y y
5)
1
x−y
1
(x−y)2
= 42 ·
=
x
42x 3x
=
=
,
28
28
2
x y xy
· =
=1,
y x yx
2
(x
−
y)
1
=
· (x − y)2 =
=x−y,
x−y
x−y
6) (x7y 2) : (x2y 6)
x7 y 2
x5
7−2 2−6
5 −4
= 2 6=x y
=x y = 4
xy
y
26
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Proportionalität
Zwischen zwei Veränderlichen y und x besteht Proportionalität, wenn ihr Quotient konstant gleich c
ist, d.h.
y
= c.
x
Dies enstspricht der Geradengleichung y = cx, d.h. y
hängt linear von x ab.
Beispiel 1:
Hookesches Gesetz F = DL
Längenausdehnung L einer Schraubenfeder mit Federkonstante D durch Gewichtsbelastung F
L
50
F
4
6
10
14
20
Wertetabelle
L
L/F
10 10/4 = 2.5
15 15/6 = 2.5
25 25/10 = 2.5
35 35/14 = 2.5
50 50/20 = 2.5
Federkonstante
F
2
D= =
L 5
40
30
20
10
F
5
10
15
Hookesches Gesetz
F
L=
D
20
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
27
Beispiel 2:
In folgender Wertetabelle werden einige Temperaturen
von Grad Celsius TC in Grad Fahrenheit TF umgerechnet.
Besteht zwischen TF und TC eine Proportionalität?
T_F
TC
5
10
20
40
100
Wertetabelle
TF
TF /TC
41
41/5 = 8.2
50
50/10 = 5.0
68
68/20 = 3.4
104 104/40 = 2.6
212 212/100 = 2.12
200
150
100
50
T_C
0
affin lineare Abhängigkeit
20
40
60
80
TF = 1.8TC + 32
Damit sind TF und TC nicht proportinal.
100
28
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Dreisatz:
Der Dreisatz setzt eine proportionale Abhängigkeit zwischen zwei Veränderlichen y und x voraus.
Gibt man drei der vier Veränderlichen y1 und y2 sowie x1 und x2 vor, dann lässt sich die vierte über den
Dreisatz
y1 y2
=
,
x1 x2
also die Proportionalität ausrechnen.
Berechnung der vierten Größe
1)
y1 =
y 2 x1
,
x2
2)
y2 =
y 1 x2
,
x1
3)
y 1 x2
x1 =
,
y2
4)
x2 =
y 2 x1
y1
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
29
Beispiel 1:
Ein Flugzeug fliegt mit konstanter Geschwindigkeit und
legt dabei 3400 Kilometer in 5 Stunden zurück. Wieviel
Kilometer y legt es in 9 Stunden zurück?
Der Dreisatz lautet
Man erhält
y=
y 3400
=
.
9
5
3400 · 9
= 6120 (Kilometer).
5
Proportionalitätskonstante
Beispiel 2:
3400
= 680 (Kilometer/Stunde)
5
Kartoffelparodoxon
Ein Landwirt erntet im Herbst 100 kg Kartoffeln mit
einem Wassergehalt von 99 % und lagert diese über den
Winter in seinem Keller. Im Frühjahr sind die Kartoffeln etwas ausgetrocknet und besitzen nur noch einen
Wassergehalt von 98%. Wieviel kg Kartoffeln besitzt
der Landwirt noch?
Antwort: 50 kg Kartoffeln.
(Die direkte intuitive Dreisatzanwendung ist hier falsch.)
30
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Prozentrechnung:
Der Prozentwert W einer Zahl gibt das Verhältnis
dieser Zahl zu einer weiteren Zahl dem Grundwert G
an und wird über den Dreisatz in den Prozentsatz p
dem entsprechenden Anteil von Hundert umgerechnet:
p
W
=
.
G
100
p
Man schreibt
= p%,
100
1
= 0.01,
speziell:
1% =
100
100
100% =
= 1.
100
Durch Vorgabe von zwei Größen ergibt sich die
Berechnung der dritten Größe
1)
pG
W =
,
100
2)
p=
3)
100W
G=
.
p
100W
,
G
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiel 1:
31
Steigung im Straßenverkehr
Setzt man den Höhenzuwachs y (in Metern) ins Verhältnis zur zurückgelegten Strecke x, so lässt sich der Anstieg in Prozent umrechnen, z.B.
y
3
=
= 12%,
x 25
Beispiel 2:
25
= 100%
25
Kartoffelparodoxon
Kartoffeln direkt nach der Ernte: 99% Wasser
100kg Kartoffeln = 99 kg Wasser + 1 kg Trockenmasse
Kartoffeln nach der Lagerung : 98% Wasser
M kg Kartoffeln = W kg Wasser + 1 kg Trockenmasse
98
W
=
100 W + 1
⇒ 98(W + 1) = 100W ⇒ 98 = 2W ⇒ W = 49
Man erhält
M = W + 1 = 50 kg Kartoffeln.
32
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Zinsrechnung:
Zinsen sind Entgelte auf geliehene Geldbeträge, die in
der Regel mit Hilfe der Prozentrechnung berechnet werden. Man verwendet dabei die Bezeichnungen:
Anfangskapital:
K0
Kapital nach n Jahren:
Zinssatz
(z.B. pro Jahr):
Kn
p, z.B.
p = 4% = 0.04
Verzinsung ohne Zinseszins:
K1 = K0 + K0p = K0(1 + p),
K2 = K0 + K0p + K0p = K0 + 2K0p = K0(1 + 2p),
..
Kn = K0 + nK0p = K0(1 + np)
Verzinsung mit Zinseszins:
K1 = K0 + K0p = K0(1 + p),
K2 = K1(1 + p) = K0(1 + p)2,
..
Kn = K0(1 + p)n
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiel 1:
33
Verzinsung ohne Zinseszins
Nach wieviel Jahren hat sich ein (positives) Anfangskapital K0 bei jährlicher Verzinsung von 4% verdreifacht?
Kn = 3K0 = K0(1 + np)
⇒
3 = 1 + np
Beispiel 2:
⇒
2
2
= 50 Jahre
n= =
p 4/100
Verzinsung mit Zinseszins
Nach wieviel Jahren hat sich ein (positives) Anfangskapital K0 bei jährlicher Verzinsung von 4% verdreifacht?
Kn = 3K0 = K0(1 + p)n
⇒
3 = (1+p)n
⇒
⇒
ln 3 = ln(1+p)n = n ln(1+p)
ln 3
ln 3
n=
=
≈ 28 Jahre
ln(1 + p) ln 1.04
34
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Selbständiges Lösen der Übungsaufgaben:
12:45 - 14:15
Übungsräume:
D-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,
D 1021, D 1023, D 2022,
H-SBC5: H0.01-H0.10
N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,
(Tutoren in den Räumen geben dabei gerne
Hilfestellung)
Besprechung der Aufgaben:
Audimax I 14:30 - 16:00