Vorlesung 1 - Universität Hamburg

Brückenkurs Mathematik
Freitag 29.09. - Freitag 13.10.2017
Vorlesung 1
Logik, Mengen, Zahlen
Kai Rothe
Technische Universität
Hamburg-Harburg
Freitag 29.09.2017
Tagesablauf
9:00 - 10:30 Vorlesung
Audimax I
10:30 - 11:00 Pause
11:00 - 11:45 Vorlesung/Übungsbeispiele
12:45 - 14:15 Lösen von Übungsaufgaben Übungsräume
(Begleitet durch Tutoren)
14:30 - 16:00 Lösungsbesprechung
der Übungsaufgaben
Audimax I
Übungsräume
D-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,
D 1021, D 1024, D 2022,
H-SBC5: H0.01-H0.10
N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,
Präsenzbrückenkurs: Aktuelles und Lehrmaterial
www.math.uni-hamburg.de/home
/rothe/vorkurs17/index.html
Online Mathematik Brückenkurs (OMB+):
www.ombplus.de/ombplus
/public/index.html
MINTFIT - Test:
http://www.mintfit.hamburg
Aussage , Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Junktoren, Wahrheitstafeln . . . . . . . . . . . . .
3
Aussageformen, Quantoren . . . . . . . . . . . . . . 11
Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Natürliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Teiler, Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . . 23
Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Produktzeichen, Fakultät . . . . . . . . . . . . . . . 27
Binomialkoeffizienten, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Potenzen mit Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . 33
Wurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ordnungseigenschaften in IR . . . . . . . . . . . . 35
Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Betrag, Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
1
Aussagenlogik
Die kleinste Einheit der Aussagenlogik ist die Aussage.
Aussage
Eine Aussage ist eine sprachliche Formulierung (in der
Regel ein grammatikalisch korrekter Satz) für die es
nur die beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch gibt.
(“tertium non datur”).
Beispiele
A:
B:
C:
D:
3·3=9
3+3=9
Welcher Tag ist heute?
Geh in die Mensa!
wahre Aussage
falsche Aussage
keine Aussage
keine Aussage
2
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Bemerkungen
• Entscheidend ist, dass jeder Aussage ein Wahrheitswert (wahr oder falsch) zugeordnet werden kann,
nicht, ob irgend jemand feststellen kann, ob diese
Aussage nun tatsächlich wahr oder falsch ist.
• Der Inhalt oder die richtige grammatikalische Struktur eines Satzes ist nicht Gegenstand der Aussagenlogik.
• Aussagen können miteinander verknüpft werden.
Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage bestimmt sich allein durch die Wahrheitswerte der
daran beteiligten ’elementaren’ Aussagen.
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3
Verknüpfung von Aussagen
Mit Junktoren (Verknüpfungen) werden mit ’elementaren’ Aussagen A, B neue Aussagen konstruiert.
Der Wahrheitswert der verküpften Aussage wird mit
Hilfe von Wahrheitstafeln angeben.
Übersicht: Junktoren zwischen Aussagen
¬
Negation
nicht
∨ Disjunktion
oder
∧ Konjunktion
und
⇒ Implikation
wenn, dann
⇔ Äquivalenz genau dann, wenn
4
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Negation: nicht
A ¬A
1 0
0 1
Die Negation von A ist also genau dann wahr, wenn A
falsch ist, und genau dann falsch, wenn A wahr ist.
Beispiele
¬A : ¬(3 · 3 = 9) ↔ (3 · 3 6= 9)
¬B : ¬(3 + 3 = 9) ↔ (3 + 3 6= 9)
falsche Aussage,
wahre Aussage.
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5
Disjunktion: oder
A
1
1
0
0
B A∨B
1
1
0
1
1
1
0
0
Die Disjunktion von zwei Aussagen, ist nur dann falsch,
wenn beide Aussagen falsch sind.
Beispiele
A ∨ B : (3 · 3 = 9) ∨ (3 + 3 = 9)
wahre Aussage
A ¬A A ∨ ¬A
1 0
1
0 1
1
Eine von beiden Aussagen A oder ¬A ist immer wahr.
6
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Konjunktion: und
A
1
1
0
0
B A∧B
1
1
0
0
1
0
0
0
Die Konjunktion von zwei Aussagen ist nur dann wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind, ansonsten falsch.
Beispiel
A ¬A A ∧ ¬A
1 0
0
0 1
0
Widerspruch: In einer zweiwertigen Aussagenlogik sind
niemals gleichzeitig A und ¬A wahr.
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7
Implikation: wenn..., dann...
A
1
1
0
0
B A⇒B
1
1
0
0
1
1
0
1
Die Aussage (Wenn A, dann B) ist falsch, wenn A wahr
ist und B falsch, wenn also aus einer wahren Aussage
eine falsche gefolgert wird.
Die logische Wenn-dann-Beziehung kann eine kausale
Ursache-Wirkung-Beziehung sein, muss es aber nicht.
Die beiden Aussagen müssen inhaltlich nichts miteinander zu tun haben und können dennoch eine wahre
Folgerungsaussage bilden.
8
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Beispiel
Für alle n ∈ IN mit n > 2 ist folgende Implikation
wahr:
n
| ist eine{zPrimzahl} ⇒ |n ist ungerade
{z
}
A(n)
B(n)
Wenn n keine Primzahl ist:
d.h. wenn A(n) falsch ist,
dann ist n entweder gerade oder ungerade,
d.h. die Folgerung B(n) ist wahr oder falsch.
Die Implikation A(n) ⇒ B(n) ist aber in beiden Fällen
wahr.
Wenn n eine Primzahl ist:
d.h. wenn A(n) wahr ist,
dann ist n auch immer ungerade,
d.h. B(n) ist auch wahr,
die Implikation A(n) ⇒ B(n) ist also wahr.
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9
Die Umkehrung:
B(n) ⇒ A(n) für alle n ∈ IN mit n > 2 ist nicht wahr.
n
| ist eine{zPrimzahl}
| ist ungerade
{z
} ⇒ n
B(n)
A(n)
Denn es gibt eine Zahl n = 15,
die ungerade ist, aber keine Primzahl ist,
in diesem Fall ist also die Aussage B(n) wahr,
aber A(n) falsch,
und somit ist die Implikation nicht wahr für dieses n
und damit nicht für alle n wahr.
notwendige Bedingung
Die Aussage B(n), d.h. n ist ungerade, ist eine notwendige Bedingung für A(n), d.h. n ist eine Primzahl.
hinreichende Bedingung
B(n) ist keine hinreichende Bedingung für A(n).
Die Menge der Primzahlen ist eine echte Teilmenge der
ungeraden Zahlen.
10
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Äquivalenz: genau dann, wenn
A
1
1
0
0
B A⇔B
1
1
0
0
1
0
0
1
Die Gesamtaussage (genau dann A, wenn B) ist genau
dann wahr, wenn beide Einzelaussagen A, B denselben
Wahrheitswert besitzen, ansonsten falsch.
Dabei ist es nicht erforderlich, dass die beiden Aussagen
A, B einen inhaltlichen Zusammenhang besitzen.
Sind zwei Aussagen A, B äquivalent, d.h. ist A ⇔ B
eine wahre Aussage, können A und B überall durcheinander ersetzt werden.
Beispiele
(3 · 3 = 9) ⇔ Alle durch 4 teilbaren Zahlen sind gerade.
∀ n ∈ IN : n ist gerade ⇔ n ist durch 2 teilbar.
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11
Aussageformen
Man spricht von einer Aussageform, wenn eine Aussage
A(x) von einer freien Variablen x abhängt (ggf. auch
von mehreren).
Eine Aussageform besitzt keinen Wahrheitswert.
Erst wenn für die Variable x konkrete Objekte verwendet werden, wenn sie beispielsweise durch einen Quantor gebunden wird, wird die Aussageform in eine Aussage überführt.
Solche quantifizierten Aussageformen, bei denen auch
die innere Struktur analysiert wird, sind Gegenstand
der Prädikatenlogik, einer Erweiterung der Aussagenlogik.
Quantoren
∀ : Allquantor
,
∃ : Existenzquantor ,
∃1 : Existenzquantor ,
für alle
es gibt
es gibt genau
12
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Beachte die Reihenfolge der Quantoren und der Verknüpfungen:
∀x ∃y : A(x, y)
¬∀x : B(x)
<
<
∃y ∀x : A(x, y)
∀x : ¬B(x).
Beispiel
x ist ein Element aus der Menge aller Kinder,
y ist ein Element aus der Menge aller Frauen.
A(x, y) : x ist das Kind von y.
∀ x ∃ y : A(x, y) wahr.
∃ y∀ x : A(x, y) falsch.
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13
Beweismethoden
Ein Beweis einer Aussage B besteht aus einer Kette
von Aussagen, die zueinander in gültigen Folgerungsbeziehungen stehen und an deren Ende die Wahrheit der
Aussage B folgt.
Direkter Beweis
Ausgehend von einer wahren Aussage A (Voraussetzung) folgert man durch gültige Implikationen die zu
beweisende Aussage B (Behauptung).
A ⇒ ... ⇒ B
Beispiel
Sei A : x > 1.
und B : 6x + 3 > 3x + 6.
Beweise die Aussage
A ⇒ B:
A : x > 1 ⇒ 3x > 3 ⇒ 3x + 3 > 6
⇒ 6x + 3 > 3x + 6 : B.
14
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Indirekter Beweis
Ausgehend von ¬B erzeugt man durch gültige Implikationen einen Widerspruch zu einer wahren Aussage A
(Voraussetzung),
d.h. man erhält die falsche Aussage A ∧ ¬A.
Daraus folgt die Falschheit der Annahme ¬B und also
die Wahrheit von B.
¬B ⇒ . . . ⇒ ¬A.
Beispiel
Sei n ∈ IN beliebig:
A : n2 ist gerade,
B : n ist gerade.
Beweise A ⇒ B indirekt:
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
15
Sei ¬B : n ist ungerade.
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∃ m ∈ IN : n = 2m + 1
n2 = (2m + 1)2
n2 = 4m2 + 4m + 1
n2 = 2(2m2 + 2m) + 1, k := 2m2 + 2m ∈ IN
n2 = 2k + 1
n2 ist ungerade. : ¬A.
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung A, denn
A ∧ ¬A ist falsch.
Da die Implikationen wahr sind, muss somit A ∧ ¬B
falsch sein und damit ¬B.
Es folgt also die Wahrheit von B.
16
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Mengen (nach Cantor)
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung bestimmter
wohl unterscheidbarer Objekte unseres Denkens oder
unserer Anschauung.
Die Objekte m in einer Menge M heißen Elemente.
Man schreibt:
m ∈ M , wenn m Element von M ist,
m 6∈ M , wenn m kein Element von M ist.
M := {m
3 } aufzählende Form
1, m2, m
M := m A(m) beschreibende Form
∅ := {}
leere Menge
“:=” bedeutet “wird festgelegt als” oder auch “wird definiert als”.
Beispiele
M1 := {a, b, c, d} , aufzählend
M2 := {2, 4, 6, 8, 10} , aufzählend
M3 := {Alle Buchstaben im Alphabet von a bis f} ,
beschreibend
M4 := m ∈ IN m ist gerade , beschreibend.
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17
Beziehungen zwischen Mengen
A = B, Gleichheit:
A und B besitzen die gleichen Elemente
A ⊂ B, Teilmenge:
die Elemente von A sind in B enthalten
B ⊃ A, Obermenge:
B enthält die Elemente von A
x ∈ A ∪ B, Vereinigungsmenge:
x ∈ A ∩ B, Schnittmenge:
x gehört zu A oder zu B
x gehört zu A und zu B
x ∈ A \ B, Differenzmenge:
x gehört zu A und nicht zu B
Gilt A ∩ B = ∅, dann heißen A und B disjunkt.
Beispiele
1. {a, d, f } ∩ {a, b, c, d} = {a, d} .
2. {a, d, f } ∪ {a, b, c, d} = {a, b, c, d, f } .
3. {1, 4, 7} \ n ∈ IN n ist gerade = {1, 7} .
18
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Natürliche Zahlen
Ein “Axiom” im klassischen Sinne (Euklid/Aristoteles)
ist ein unmittelbar einleuchtendes Prinzip, welches nicht
beweisbar ist.
Die natürlichen Zahlen IN sind durch die folgenden Axiome eindeutig charakterisiert:
• 1 ist eine natürliche Zahl, d.h. 1 ∈ IN.
• Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n + 1.
• 1 ist kein Nachfolger einer natürliche Zahl.
• Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen n und m sind voneinander verschieden.
• Für eine Menge A mit A ⊆ IN gelte:
1 ∈ A und n ∈ A ⇒ n+1 ∈ A. Dann folgt A = IN.
Diese Axiome formalisieren die intuitive Vorstellung des
Zählens mit Hilfe der natürlichen Zahlen:
IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } .
Bemerkung:
Für IN vereinigt mit der Zahl Null, schreibt man
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } .
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
19
Für die Rechenoperationen ’+’ und ’·’
und k, n, m ∈ IN0 gelten:
Kommutativgesetze
n + m = m + n und n · m = m · n
Assoziativgesetze
(k +n)+m = k +(n+m) und (k ·n)·m = k ·(n·m)
Distributivgesetz
k · (n + m) = k · n + k · m
0 ist neutrales Element für ’+’
n+0=n
1 ist neutrales Element für ’·’
n·1=n
Es gibt keine inversen Elemente für ’+’ und ’·’ in
IN, d.h. es gibt kein n ∈ IN, mit beispielsweise
5 + n = 0 oder 5 · n = 1.
20
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Das Summenzeichen
X
Gegeben seien n Zahlen die mit dem Index
k = 1, 2, 3, . . . , n durchnumeriert werden, also
a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an .
Beispiel:
a1 = 1 ,
a2 = 4 ,
a3 = 9 ,
a4 = 16 ,
a6 = 36 ,
a7 = 49 ,
a8 = 64 ,
a9 = 81 ,
a11 = 121 , a12 = 144 , a13 = 169 , a14 = 196 ,
a16 = 256 , a17 = 289 , a18 = 324 , a19 = 361 ,
a21 = 441 , a22 = 484 , a23 = 529 , a24 = 576 ,
Kurzschreibweise:
a5 = 25
a10 = 100
a15 = 225
a20 = 400
a25 = 625
ak = k 2 mit k = 1, 2, 3, 4, . . . , 25
Die Summe der Zahlen a1 bis an wird abkürzend
mit dem Summenzeichen geschrieben:
a1 + a2 + · · · + an =:
n
X
ak .
k=1
Beispiel:
25
X
k=1
k 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + · · · + 576 + 625 .
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
21
Vollständige Induktion
Eine Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0
kann mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen
werden.
Das Beweisprinzip
Induktionsanfang:
Hier muss gezeigt werden, dass A(n0) richtig ist.
Induktionsschritt:
Hier muss für ein n ≥ n0 Folgendes bewiesen werden:
aus A(n) folgt A(n + 1)
A(n) heißt Induktionsannahme und wird als richtig
für ein n ≥ n0 angenommen. Diese Annahme ist nicht
unbegründet, wie der Induktionsanfang zeigt.
A(n + 1) heißt Induktionsbehauptung
'
$
'
$
'
x
?
x
?
x
A(n0 )
A(n0 + 1)
A(n0 + 2)
...
$
'
$
?
x
?
x
A(n)
A(n + 1)
...
22
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiel
1 + 2 + 3 + ··· + n =
Kurzschreibweise:
n
X
k
k=1
Zeige:
Für alle n ∈ IN gilt die Aussage
n
X
n(n + 1)
A(n) :
k=
.
2
k=1
Beweis:
Induktionsanfang:
A(1) :
n = 1:
1
X
1·2
k=1=
2
k=1
Induktionsschritt: n → n + 1:
(Induktionsannahme = IA):
Die Aussage sei wahr für ein n ≥ 1.
n+1
X
k=1
k=
n
X
k=1
!
k
n(n + 1)
+ (n + 1)
+ (n + 1) =
2
IA
n(n + 1) + 2(n + 1) (n + 1)(n + 2)
=
=
2
2
Damit ist die Aussage für alle n ≥ 1 gezeigt.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
23
Die natürliche Zahl n ∈ IN heißt Teiler von m ∈ IN,
falls eine natürliche Zahl k ∈ IN existiert, so dass
m=k·n
gilt. m ist dann ein Vielfaches von n.
Jede natürliche Zahl m besitzt die Teiler 1 und m.
Die natürliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn sie
nur die zwei (verschiedenen) Teiler 1 und p besitzt.
Primfaktorzerlegung:
Jede natürliche Zahl kann man als Produkt von Primzahlpotenzen darstellen.
kgV(m, n):
kleinstes gemeinsames Vielfaches von m und n
ggT(m, n):
größter gemeinsamer Teiler von m und n
24
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiel
Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
Primfaktorzerlegung:
100 = 2 · 2 · 5 · 5 = 22 · 52,
70 = 2 · 5 · 7,
121 = 11 · 11 = 112.
kgV(100, 70) = 22 · 52 · 7 = 700,
ggT(100, 70) = 2 · 5 = 10,
ggT(121, 100) = 1 teilerfremd,
kgV(121, 100) = 22 · 52 · 112.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
25
Ganze Zahlen
Erweitert man IN0, also die natürlichen Zahlen mit Null,
indem man jeder natürlichen Zahl n ein eindeutiges
inverses Element der Addition −n zuordnet,
so erhält man die ganzen Zahlen
ZZ := {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Addition ’+’ und Multiplikation ’·’,
Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz
und neutrale Elemente
lassen sich auf natürliche Weise auf die ganzen Zahlen
übertragen.
26
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Rationale Zahlen
Erweitert man ZZ\{0}, also die ganzen Zahlen ohne
Null, indem man jeder Zahl m ein eindeutiges
1
inverses Element der Multiplikation
zuordnet,
m
so ergeben sich die rationalen Zahlen (Brüche)
o
n n Q :=
n ∈ ZZ, m ∈ IN .
m
n heißt Zähler und m Nenner des Bruches.
Für diese Menge gilt die Teilmengenbeziehung:
IN ⊂ ZZ ⊂ Q .
Die so definierte Addition und Multiplikation auf Q ist
assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz.
Zudem gibt es neutrale und inverse Elemente der Addition und Multiplikation.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Das Produktzeichen
menzeichen definiert
n
Y
27
Q
wird analog zum Sum-
ak = a1 · a2 · · · · · an.
k=1
Fakultät
Für alle n ∈ IN0 ist die Fakultät wie folgt definiert:
0! := 1,
n! := 1 · 2 · · · · · n =
n
Y
k,
n > 0.
k=1
Beispiel
n! = Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte in Reihenfolge zu bringen:
Beispielsweise drei Objekte a, b, c
können auf 3! = 6 verschiedene Möglichkeiten angeordnet werden:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
28
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Binomialkoeffizienten
Für dienatürlichen Zahlen k ≤ n ist der Binomialkoefn
fizient
(Sprechweise: n über k) wie folgt definiert:
k
(n − k + 1) · · · · · (n − 1) · n
n
n!
=
:=
k! · (n − k)!
k!
k
Speziell ist:
n
n
:= 1 =
,
0
n
n
= n.
1
Beispiel
Die verschiedenen Möglichkeiten ohne Berücksichtigung
der Reihenfolge 6 Zahlen aus 49 auszuwählen:
1 · 2 · · · 48 · 49
44 · · · 49
49
49!
=
=
= 13983816
=
6!43! 1 · · · 6 · 1 · · · 43
1···6
6
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29
Pascalsches Dreieck
0
0
1
0


2
0

3
0
3
1
2
1
1
1


3
2
2
2

3
3
1
1
1
1
3
1
2
3
1
1
Die Addition zweier benachbarter Zahlen einer Zeile,
von denen Pfeile ausgehen, ergeben den Eintrag in der
nächsten Zeile auf den die Pfeile führen.
n
n
n+1
In Formeln bedeutet dies
+
=
.
k−1
k
k
30
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Die Binomischen Formeln
(x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
erste Formel:
zweite Formel:
(x − y)2 = x2 − 2xy + y 2
dritte Formel:
(x + y) (x − y) = x2 − y 2
Der Binomische Lehrsatz
Für beliebige x, y ∈ IR gilt:
(x + y)n =
n X
n
k=0
k
xn−k y k .
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
31
Beispiele
(x + y)2 =
2 X
2
k=0
k
x2−k y k
2 2
2
2 2
=
x +
xy +
y
0
1
2
= x2 + 2xy + y 2
(x + y)3 =
3 X
3
k=0
k
x3−k y k
3 3
3 2
3
3 3
=
x +
x y+
xy 2 +
y
0
1
2
3
= x3 + 3x2y + 3xy 2 + y 3
32
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Reelle Zahlen
Die reellen Zahlen IR sind die Vervollständigung der
rationalen Zahlen Q:
Jede reelle Zahl x ∈ IR ist der Grenzwert einer Folge
rationaler Zahlen qn ∈ Q, n ∈ IN.
Es gilt Q ⊂ IR und Q 6= IR,
√
denn zum Beispiel ist 2 eine reelle,
aber kein rationale Zahl.
Weitere bekannte Beispiele sind e, π ∈ IR \ Q.
Addition ’+’ und Multiplikation ’·’,
Kommutativ-, Assoziativgesetze, Distributivgesetz
und neutrale und inverse Elemente
lassen sich auf natürliche Weise auf die reellen Zahlen
übertragen.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
33
Potenzen
Für a ∈ IR, n ∈ IN ist die Potenz definiert:
n
Y
a.
an := a
· · · a} =
| · ·{z
n−mal
k=1
n heißt Exponent und a Basis.
Rechenregeln für Potenzen
a0 = 1,
a−n =
a 6= 0,
1
,
n
a
a 6= 0, n ∈ IN,
an+m = anam,
(an)m = anm,
a 6= 0, n, m ∈ ZZ,
(ab)n = anbn.
Beispiele
1.
2.
3.
3
2 3
(Es gilt Potenz- vor Punkt- und vor Strichrechnung!)
= 3
2
3
2
3
2
= 3(2+2+2) = 36 = 729
3
3(2 ) = 3(2·2·2) = 38 = 6561
81 34
1=
= 4 = 3(4−4) = 30
81 3
34
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Wurzel
Sie a ≥ 0.
Die eindeutige nichtnegative Lösung x ≥ 0 von
x2 = a
ist die (positive) Quadratwurzel x =
√
1
2
a=a .
Die eindeutige nichtnegative Lösung x ≥ 0 von
xn = a
für n ∈ IN ist die n-te Wurzel x =
√
n
1
a = an .
Es gelten die Rechenregeln für Potenzen!
Beispiele
√
√
1
1
1.
25 = 5 · 5 = (52) 2 = 52· 2 = 51 = 5
2.
3.
√
90
21 · 32 · 51
1
1−
2−1
1
√ =
= 2 2 · 3 · 5 = 15 2
1
3 2
31 · 2 2
√
1
1
1
3
6
12 3
6 3
12 3
12
64x = 2 · x
= 2 · x
6· 31
=2
·x
12· 13
= 22 · x4 = 4x4
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
35
Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen
Die reellen Zahlen sind angeordnet, d.h. je zwei reelle
Zahlen x, y ∈ IR lassen sich der Größe nach miteinander
vergleichen:
Für a, b, c ∈ IR gilt:
1.
a ≤ b oder b ≤ a ,
2.
a≤a,
3.
aus a ≤ b und b ≤ a folgt a = b,
4.
aus a ≤ b und b ≤ c folgt a ≤ c.
Beispiele
Aus x ≤ 5 und 5 ≤ x
folgt
x = 5.
Aus x ≤ 5 und 5 ≤ y
folgt
x≤y
36
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Intervalle: Seien a, b ∈ IR beliebig mit a ≤ b,
[a, b] := x ∈ IR a ≤ x ≤ b , abgeschlossenes Intervall
]a, b[ := x ∈ IR a < x < b , offenes Intervall
[a, ∞[ := x ∈ IR a ≤ x .
Der Ausdruck ∞ bezeichnet keine Zahl,
d.h. ∞ ist nicht einfach eine unendlich große Zahl am
Ende des reellen Zahlenstrahls.
∞ ist immer die Abkürzung für einen Grenzprozess.
Wir können mit ∞ nicht wie gewohnt rechnen!
Beachte:
beispielweise können
1
· ∞ und 0 · ∞
∞
jeden beliebigen Wert annehmen und sind nicht als Produkt zweier Zahlen misszuverstehen.
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
37
Betrag
Der Betrag einer reellen Zahl x ∈ IR ist ihr Abstand
zum Nullpunkt, d.h.
|x| :=
x , 0≤x
−x , x < 0.
Eigenschaften des Betrages
Für x, y ∈ IR besitzt der Betrag folgende Eigenschaften:
1.
|x| ≥ 0 ,
2.
|x| = 0 daraus folgt x = 0 ,
3.
|x · y| = |x| · |y| ,
4.
|x + y| ≤ |x| + |y|
.
Der Abstand zwischen zwei Zahlen x, y ∈ IR wird
durch den Betrag |x − y| gemessen.
38
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Beispiel 1
x = −4, y = 7 daraus folgt |x−y| = |−4−7| = 11.
Beispiel 2
Für welche x ∈ IR gilt:
1. Fall:
2.Fall:
|x + 1| > 4 ?
x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1
x+1>4 ⇔ x>3
x + 1 < 0 ⇔ x < −1
−(x + 1) > 4 ⇔ x + 1 < −4 ⇔ x < −5
Die Lösungsmenge lautet also
L = x ∈ IR x > 3 oder x < −5. .
Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 1
Selbständiges Lösen der Übungsaufgaben:
12:45 - 14:15
Übungsräume:
D-SBC4: D 0010, D 0011, D 0013,
D 1021, D 1024, D 2022,
H-SBC5: H0.01-H0.10
N-ES40: 0005, 0007, 0008, 0009,
(Tutoren in den Räumen geben dabei gerne
Hilfestellung)
Besprechung der Aufgaben:
Audimax I 14:30 - 16:00
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