Appendix A: Herleitung PC

Appendix A: Herleitung Phillips Kurve (PC)
Prof. Dr. Jochen Michaelis
Wintersemester 2015/2016
Appendix A: Herleitung PC
Gali, Jordi (2008): Monetary Policy, Inflation, and the Business Cycle, Chap. 3
zwei Schritte:
1.
Bestimmung des gewinnmaximalen Preises bei Calvo-Kontrakten
2.
Herleitung der Güterangebotskurve (Phillips Curve PC)
ad 1.: Nominale Preisrigiditäten à la Calvo (1983)
• Die Unternehmen müssen bei der Gewinnmaximierung beachten, dass sie ihren
Preis nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit in der nächsten Periode ändern
können (Calvo Pricing).
• zu jedem Zeitpunkt darf ein Unternehmen seinen Preis mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 − 𝜃 anpassen („Lotterie“); mit der Wahrscheinlichkeit 𝜃 bleibt er
konstant, es gilt der Preis der Vorperiode.
• 𝜃 = Maß für den Grad der Preisrigidität (sog. Calvo-Parameter)
• 𝑃𝑡 ∗ = optimaler Preis im Fall der Preisanpassung
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Ziel der folgenden Überlegungen:
(A.1) 𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 +
(1−𝜃)(1−𝛽𝜃)
𝜃
∙ 𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
Inflation steigt mit Inflationserwartungen mit gap der realen Grenzkosten
Ausgangspunkt: Gewinnfunktion
(A.2)
𝐺𝑡 𝑖 = 𝐸𝑡
∞
𝑠−𝑡
𝑠=𝑡(𝛽𝜃)
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 𝑌𝑠 𝑖 − 𝑊𝑠 𝑁𝑠 (𝑖)
Zeitindex beachten!
Technologie:
(A.3)
𝑌𝑡 𝑖 = 𝑁𝑡 (𝑖)
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Einsetzen in Gewinnfunktion:
(A.4) 𝐺𝑡 𝑖 = 𝐸𝑡
∞
𝑠−𝑡
𝑠=𝑡(𝛽𝜃)
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 𝑌𝑠 𝑖 − 𝑊𝑠 𝑌𝑠 (𝑖)
Nominale Grenzkosten:
(A.5) 𝑀𝐶𝑠 = 𝑊𝑠
Summe ausformulieren:
(A.6)
𝐺𝑡 𝑖 = 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 𝑌𝑡 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡 𝑖 + 𝐸𝑡 𝛽𝜃 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 𝑌𝑡+1 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1 𝑖
+𝐸𝑡 (𝛽𝜃)2 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 𝑌𝑡+2 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑖
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+
+…
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Nachfragefunktion:
(A.7)
𝑌𝑠 𝑖 =
𝑃𝑡 ∗ (𝑖) −𝜀
𝑌𝑠
𝑃𝑠
Einsetzen in Gewinnfunktion:
(A.8)
𝐺𝑡 𝑖 = 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡 𝑌𝑡 𝑃𝑡 𝜀 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
−𝜀
+ 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+1 𝑌𝑡+1 𝑃𝑡+1 𝜀 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
+(𝛽𝜃)2 𝐸𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 − 𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑃𝑡+2 𝜀 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
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−𝜀
−𝜀
+
+
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Maximiere den Gewinn durch Wahl von 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 :
(A.9)
𝜕𝐺𝑡 (𝑖)
𝜕𝑃𝑡 ∗ 𝑖
1 − 𝜀 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
=
−𝜀
+ 𝜀𝑀𝐶𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
𝛽𝜃𝐸𝑡 1 − 𝜀 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
−𝜀
(𝛽𝜃)2 𝐸𝑡 1 − 𝜀 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
Division durch (1 − 𝜀)𝑃𝑡 ∗ 𝑖
(A.10) 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
𝜀
𝑀𝐶𝑡
𝜀−1
2
𝑌𝑡 𝑃𝑡 𝜀 +
+ 𝜀𝑀𝐶𝑡+1 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
−𝜀
−𝜀−1
+ 𝜀𝑀𝐶𝑡+2 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
𝑌𝑡+1 𝑃𝑡+1 𝜀 +
−𝜀−1
𝑌𝑡+2 𝑃𝑡+2 𝜀 + ⋯ = 0
−𝜀−1 :
𝑌𝑡 𝑃𝑡 𝜀 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
(𝛽𝜃) 𝐸𝑡 𝑃𝑡
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−𝜀−1
∗
𝜀
𝑀𝐶𝑡+1
𝜀−1
𝑌𝑡+1 𝑃𝑡+1 𝜀 +
𝜀
𝑖 −
𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑃𝑡+2 𝜀 + ⋯ = 0
𝜀−1
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Umformulierung von (A.7) führt zu:
𝑌𝑠 𝑃𝑠 𝜀 = 𝑌𝑠 𝑖 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
𝜀
für 𝑠 = 𝑡, 𝑡 + 1, 𝑡 + 2, …
Einsetzen:
(A.11)
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
𝜀
𝑀𝐶𝑡
𝜀−1
𝑌𝑡 𝑖 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
(𝛽𝜃)2 𝐸𝑡
𝑃𝑡
∗
𝜀
+ 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
𝜀
𝑀𝐶𝑡+1
𝜀−1
𝜀
𝑖 −
𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑖 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
𝜀−1
𝜀
𝑌𝑡+1 𝑖 𝑃𝑡 ∗ 𝑖
𝜀
+
+⋯=0
Division durch 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 𝜀 :
(A.12)
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
𝜀
𝑀𝐶𝑡
𝜀−1
2
𝑌𝑡 𝑖 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
(𝛽𝜃) 𝐸𝑡 𝑃𝑡
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∗
𝜀
𝑀𝐶𝑡+1
𝜀−1
𝑌𝑡+1 𝑖 +
𝜀
𝑖 −
𝑀𝐶𝑡+2 𝑌𝑡+2 𝑖 + ⋯ = 0
𝜀−1
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bzw.
(A.13)
𝐸𝑡
∞
𝑠−𝑡
𝑠=𝑡(𝛽𝜃)
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 −
𝜀
𝑀𝐶𝑠
𝜀−1
𝑌𝑠 𝑖 = 0
Gali, S. 44
Nächster Schritt: log-Linearisierung von (A.13) um Zero-Inflation Steady State
Im Steady State gilt:
1. Der optimale Preis der Firma i ist gleich dem aggregiertem Preisniveau:
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 = 𝑃𝑡 ∗ = 𝑃𝑡 = 𝑃
2. Der Preis ist ein Markup auf die nominalen Grenzkosten:
𝑃=
𝜀
𝑀𝐶
𝜀−1
3. Der Output einer Firma ist in allen Perioden gleich:
𝑌𝑡 𝑖 = 𝑌𝑡+1 𝑖 = 𝑌(𝑖)
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- (A.12) ausmultiplizieren:
𝜀
𝑀𝐶𝑡 ∙ 𝑌𝑡 𝑖 +
𝜀−1
𝜀
𝑖 − 𝛽𝜃𝐸𝑡
𝑀𝐶𝑡+1 ∙ 𝑌𝑡+1 𝑖 + ⋯ = 0
𝜀−1
𝑃𝑡 ∗ 𝑖 ∙ 𝑌𝑡 𝑖 −
𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 ∙ 𝑌𝑡+1
-
log-Linearisierung der einzelnen Summanden:
(A.13)
(1. Summand)
𝑃∗ 𝑖 ∙ 𝑌 𝑖 1 + 𝑝∗ 𝑡 𝑖 + 𝑦𝑡 𝑖
(2. Summand)
−
(3. Summand)
+𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃∗ 𝑖 ∙ 𝑌 𝑖 1 + 𝑝∗ 𝑡 𝑖 + 𝑦𝑡+1 𝑖
(4. Summand)
−𝛽𝜃
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𝜀
MC
𝜀−1
∙ 𝑌 𝑖 1 + 𝑚𝑐𝑡 + 𝑦𝑡 𝑖
𝜀
𝐸 MC ∙
𝜀−1 𝑡
𝑌 𝑖 1 + 𝑚𝑐𝑡+1 + 𝑦𝑡+1 𝑖
+⋯=0
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Steady-State Relation:
(A.14)
𝑃∗
𝜀
𝜀
∗
𝑖 ∙𝑌 𝑖 −
MC ∙ 𝑌 𝑖 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃 𝑖 ∙ 𝑌 𝑖 − 𝛽𝜃
𝐸 MC ∙ 𝑌 𝑖 + ⋯ = 0
𝜀−1
𝜀−1 𝑡
Subtrahiere (A.14) von (A.13):
(A.15)
𝑃∗ 𝑖 ∙ 𝑌 𝑖 𝑝∗ 𝑡 𝑖 + 𝑦𝑡 𝑖
−
𝜀
MC
𝜀−1
∙ 𝑌 𝑖 𝑚𝑐𝑡 + 𝑦𝑡 𝑖
+𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑃∗ 𝑖 ∙ 𝑌 𝑖 𝑝∗ 𝑡 𝑖 + 𝑦𝑡+1 𝑖
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− 𝛽𝜃
𝜀
𝐸 MC ∙ 𝑌 𝑖 𝑚𝑐𝑡+1 + 𝑦𝑡+1 𝑖
𝜀−1 𝑡
+⋯=0
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Division durch 𝑌(𝑖) und Beachtung von 𝑃𝑡 ∗ 𝑖 = 𝑃𝑡 ∗ = 𝑃:
𝜀
𝑃−
MC 𝑦𝑡 𝑖 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑦𝑡+1 𝑖 + ⋯
𝜀−1
+𝑃 1 + 𝛽𝜃 + (𝛽𝜃)2 + ⋯ 𝑝∗ 𝑡
−
Wegen 𝑃 =
(A.16)
𝜀
MC 𝑚𝑐𝑡 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+1 + 𝛽𝜃 2 𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+2 + ⋯ = 0
𝜀−1
𝜀
MC
𝜀−1
1
𝑝∗ 𝑡
1−𝛽𝜃
vereinfacht sich dies zu
= 𝑚𝑐𝑡 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+1 + 𝛽𝜃 2 𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+2 + ⋯
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Da wir den optimalen Preis 𝑃𝑡 ∗ bestimmen wollen (und nicht die prozentuale
Abweichung von StSt), müssen die hat-Größen als Differenz der logarithmierten
Werte formuliert werden, also
𝑝∗ 𝑡 𝑖 = 𝑙𝑛𝑃𝑡 ∗ − 𝑙𝑛𝑃 = 𝑝𝑡 ∗ − 𝑝
(für die Grenzkosten analog)
Damit formt sich (A.16) um zu:
1
1−𝛽𝜃
𝑝𝑡 ∗ − 𝑝 =
𝑚𝑐𝑡 − 𝑚𝑐 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+1 − 𝑚𝑐 + 𝛽𝜃 2 𝐸𝑡 (𝑚𝑐𝑡+2 − 𝑚𝑐) + ⋯
1
𝑝𝑡 ∗ − 𝑝 = −𝑚𝑐(1 + 𝛽𝜃 + 𝛽𝜃
1 − 𝛽𝜃
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∞
2
(𝛽𝜃)𝑠−𝑡 𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑠
+ ⋯)+
𝑠=𝑡
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1
𝑚𝑐
𝑝𝑡 ∗ − 𝑝 = −
+
1 − 𝛽𝜃
1 − 𝛽𝜃
(𝛽𝜃)𝑠−𝑡 𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑠
𝑠=𝑡
∞
𝑠−𝑡
𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑠
𝑠=𝑡(𝛽𝜃)
𝑝𝑡 ∗ − 𝑝 = −𝑚𝑐 + (1 − 𝛽𝜃)
(A.17)
∞
Formuliere den Steady State in logarithmierten Werten:
𝑃=
(A.18)
𝜀
𝑀𝐶
𝜀−1
𝑝 = 𝜇 + 𝑚𝑐
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
𝑙𝑛𝑃 = 𝑙𝑛
𝜀
𝜀−1
+ 𝑙𝑛𝑀𝐶
mit 𝜇 ≡ 𝑙𝑛
𝜀
𝜀−1
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Einsetzen in (A.17) liefert den gesuchten optimalen Preis:
(A.19)
𝑝𝑡 ∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃)
∞
𝑠−𝑡 𝐸 𝑚𝑐
𝑡
𝑠
𝑠=𝑡(𝛽𝜃)
Der optimale Preis ist ein Markup auf die gewichtete Summe der laufenden und der
für die Zukunft erwarteten nominalen Grenzkosten.
Für später alternative Formulierung:
𝑝𝑡 ∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃)
∞
𝑠=𝑡
𝛽𝜃
𝑠−𝑡
𝐸𝑡 (𝑚𝑐𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑠 )
𝑝𝑡 ∗ = 𝜇 + (1 − 𝛽𝜃)
∞
𝑠=𝑡
𝛽𝜃
𝑠−𝑡
𝐸𝑡 (𝑚𝑐𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑚𝑐 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑠 )
Gali, S.45
Aus (A.18) folgt 𝑚𝑐 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑚𝑐 − 𝑝 = −𝜇 und damit
(A.20)
𝑝𝑡 ∗ = (1 − 𝛽𝜃)
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∞
𝑠=𝑡
𝛽𝜃
𝑠−𝑡
𝐸𝑡 (𝑚𝑐𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑠 )
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ad 2. Herleitung der PC
Ausgangspunkt: Definition des Preisindex (vgl. Gali S. 62)
(A.21) 𝑃𝑡 =
𝜃
1−𝜀 𝑑𝑖
𝑃
(𝑖)
𝑡−1
0
+
1 ∗
1−𝜀
𝑃
(𝑖)
𝑡
𝜃
𝑃𝑡 1−𝜀 = 𝜃𝑃𝑡−11−𝜀 + (1 − 𝜃)𝑃𝑡 ∗
𝑑𝑖
1
1−𝜀
1−𝜀
Division durch 𝑃𝑡−11−𝜀 :
𝑃𝑡 1−𝜀
𝑃𝑡−1
= 𝜃 + (1 − 𝜃)
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𝑃𝑡 ∗ 1−𝜀
𝑃𝑡−1
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(A.22)
Π𝑡
1−𝜀
= 𝜃 + (1 − 𝜃)
𝑃𝑡 ∗ 1−𝜀
𝑃𝑡−1
Gali, S. 62, Gl. (34)
Log-Linearisieren:
(A.23)
𝜋𝑡 = 1 − 𝜃 𝑝𝑡 ∗ − 𝑝𝑡−1
Gali, S. 62, Gl. (35)
Eine Periode vordatieren:
(A.24)
𝜋𝑡+1 = 1 − 𝜃 𝑝𝑡+1 ∗ − 𝑝𝑡
Erwartungswert bilden:
(A.25)
𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 = 1 − 𝜃 𝐸𝑡 𝑝𝑡+1 ∗ − (1 − 𝜃)𝑝𝑡
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Für den optimalen Preis hatten wir abgeleitet (vgl. A.20):
𝑝𝑡 ∗ = (1 − 𝛽𝜃)
(A.26)
∞
𝑠=𝑡
𝛽𝜃
𝑠−𝑡
𝐸𝑡 (𝑚𝑐𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑠 )
𝑝𝑡 ∗ = (1 − 𝛽𝜃) 𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑡 + 𝛽𝜃[𝑚𝑐𝑡+1 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑝𝑡+1 ] + ⋯
Eine Periode vordatieren und Erwartungswert bilden:
(A.27)
𝐸𝑡 𝑝𝑡+1 ∗ =
(1 − 𝛽𝜃) 𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+1 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝐸𝑡 𝑝𝑡+1 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑚𝑐𝑡+2 𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝛽𝜃𝐸𝑡 𝑝𝑡+2 + ⋯
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Einsetzen von (A.27) in (A.26):
𝑝𝑡 ∗
1−𝛽𝜃
= 𝑚𝑐𝑡
𝑟𝑒𝑎𝑙
+ 𝑝𝑡 +
𝐸𝑡 𝑝𝑡+1 ∗
𝛽𝜃
1−𝛽𝜃
1
𝑝𝑡 ∗
𝛽𝜃
−
Umformulieren:
(A.28) 𝐸𝑡 𝑝𝑡+1 ∗ =
1−𝛽𝜃
𝑝𝑡
𝛽𝜃
−
1−𝛽𝜃
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝛽𝜃
Einsetzen von (A.28) in (A.25):
𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 =
1−𝜃 ∗
1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
𝑝𝑡 −
𝑝𝑡 −
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙 − (1 − 𝜃)𝑝𝑡
𝛽𝜃
𝛽𝜃
𝛽𝜃
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Appendix A: Herleitung PC
𝐸𝑡 𝜋𝑡+1
(A.29)
𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 =
1−𝜃
1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
∗
=
(𝑝𝑡 − 𝑝𝑡 ) −
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝛽𝜃
𝛽𝜃
1−𝜃
(𝑝𝑡 ∗
𝛽𝜃
− 𝑝𝑡−1 − (𝑝𝑡 − 𝑝𝑡−1 )) −
1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝛽𝜃
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝜋
Aus (A.23) folgt 𝑝𝑡 ∗ − 𝑝𝑡−1 = 𝑡 und gemäß Definition der Inflationsrate gilt
1−𝜃
𝜋𝑡 = 𝑝𝑡 − 𝑝𝑡−1 . Damit vereinfacht sich (A.29) zu:
𝐸𝑡 𝜋𝑡+1
1 − 𝜃 𝜋𝑡
1 − 𝜃 1 − 𝛽𝜃
=
− 𝜋𝑡 −
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
𝛽𝜃 1 − 𝜃
𝛽𝜃
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Appendix A: Herleitung PC
Neu-Keynesianische Phillips-Kurve:
(A.30)
𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 +
1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙
(vgl. A.1 bzw. Gali, S. 47)
Der Betrag der heutigen Grenzkosten zur Inflation ist umso geringer,
je höher der Grad der Price stickiness (Calvo-Parameter 𝜃) ist, weil bei seltener
Preisanpassung der in t gesetzte Preis länger beibehalten werden muss und daher
Einschätzungen über zukünftige Entwicklungen an Gewicht gewinnen.
 flache NKPC
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Appendix A: Herleitung PC
Formulierung der NKPC in Abhängigkeit der Output gap
Nominale Grenzkosten (siehe A.5):
(A.31) 𝑀𝐶𝑡 = 𝑊𝑡
Reale Grenzkosten in log-Termen:
(A.32)
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑤𝑡 − 𝑝𝑡
In Abweichungen vom Steady State:
(A.33)
𝑚𝑐𝑡 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 𝑤𝑡 − 𝑝𝑡
Optimale Arbeitsangebotsentscheidung der Haushalte:
(A.34)
𝑤𝑡 − 𝑝𝑡 = 𝜎𝑐𝑡 + 𝜂𝑛𝑡
(A.35)
𝑤𝑡 − 𝑝𝑡 = 𝜎𝑐𝑡 + 𝜂𝑛𝑡
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Appendix A: Herleitung PC
Unter Berücksichtigung von Gütermarktgleichgewicht 𝑦𝑡 = 𝑐𝑡 und Technologie
𝑦𝑡 = 𝑛𝑡 folgt:
(A.36)
𝑤𝑡 − 𝑝𝑡 = 𝜎 + 𝜂 𝑦𝑡
Unter Beachtung von (A.33) folgt für PC:
(A.38)
𝜋𝑡 = 𝛽𝐸𝑡 𝜋𝑡+1 +
1−𝜃 1−𝛽𝜃
𝜃
𝜎 + 𝜂 𝑦𝑡
Gali, S.49, Gl. (21)
Inflation steigt mit positiver Output gap, weil
-
mit steigendem Output die Beschäftigung steigt,
-
eine höhere Beschäftigung gemäß Arbeitsangebot einen höheren Lohnsatz erfordert
-
ein höherer Lohnsatz die Grenzkosten steigert
-
steigende Grenzkosten den gewinnmaximalen Preis der Unternehmen, die in Periode t den
Preis anpassen können, erhöht
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