( ) ( )p

Grundwissen Mathematik
9. Klasse
Grundwissen Mathematik
9. Klasse
Potenzen mit rationalen Exponenten
Rechnen mit Quadratwurzeln
Die Quadratwurzel
Die n-te Wurzel
• Die Quadratwurzel x ist diejenige nicht-negative Zahl, welche
zum Quadrat genommen die Zahl x ergibt:
Die n-te Wurzel aus a ist diejenige nicht-negative Zahl, die man
hoch n nehmen muss, um a zu erhalten. Hierbei ist n immer eine
natürliche Zahl und a nicht-negativ.
z.B. Dritte Wurzel aus a:
x⋅ x =x
Die Zahl x, die unter der Wurzel steht, heißt Radikand.
3
• Manche Quadratwurzeln sind irrationale Zahlen, d.h. Zahlen,
deren Dezimalbrüche unendlich viele Nachkommastellen, jedoch
keine Periode besitzen.
a =a
n
a = an
b)
x:y =
x
p
y
anwendbar falls x, y
=
x: y
anwendbar falls x
y
≥0
Beispiel:
x
=
4
2
x ⋅x = x ⋅ x
anwendbar falls x ≥ 0
2
4 ⋅ 5 = 80
− 31
2
q
∈ Z, q ∈ N
1
3
2
3
=
2
3
1
3
1 −1
2
( 27 )
3
2
= 32 = 9
4
b b + 9 = b ⋅ (b + 9)
2
− 3 a + 1 = − 3 ⋅ (a + 1)
Merke: Das Minus bleibt draußen!
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p
a
a
1
2 + ( ) = 8 + 2 = 2 18
−3
2
4
1
=
27 3 =
d) Unter die Wurzel ziehen
4 5 =
1
a3 = a3
a
( a)
( ) = ( a) =
2
Beispiele:
≥ 0 und y > 0
c) Teilweises Radizieren
5
q
hierbei ist a ≥ 0, p
x
=
1
a q = ap =
Rechenregeln
x⋅ y
=a
Potenzen mit rationalen Exponenten
Die Menge der reellen Zahlen R
setzt sich zusammen aus der
Menge der rationalen Zahlen Q und
der Menge der irrationalen Zahlen.
x⋅y =
3
3
1
3
3
Merke: Der Radikand ist nicht-negativ!
a)
( a)
a ⋅ 3 a ⋅ 3 a = a , d.h.
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a ⋅3 a
Grundwissen Mathematik
9. Klasse
Quadratische Funktionen und Gleichungen
Quadratische Funktionen
Jede quadratische Funktion
f(x) = ax2 + bx + c mit a ≠ 0
Grundwissen Mathematik
Lösung linearer Gleichungssysteme mit drei
Unbekannten
I
2a + 3b − c = −6
⇒ c = 2a + 3b + 6
II
−a + b + 2c = 1
3a + 3b + c = −1
III
kann durch quadratische Ergänzung in die
Scheitelform
f(x) = a ⋅ (x − d)2 + e
übergeführt werden.
3a + 7b + 12 = 1
5a + 6b + 6 = −1
)2 − 3
2
f 2 (x) = 1⋅ (x − 2 ) − 3
(
)
2
−3
ax2 + bx + c = 0
gebracht werden!
Die Lösungen der quadratischen Gleichung erhält man mit der
MITTERNACHTSFORMEL:
x1/ 2 =
I’
II’
(
Jede quadratische Gleichung muss auf die
NORMALFORM
−a + b + 2 ⋅ (2a + 3b + 6) = 1
3a + 3b + (2a + 3b + 6) = −1
f1 (x) = 2 x − 2
f3 (x) = −3 x − 2
Quadratische Gleichungen
in II
in III
Das verbleibende lineare Gleichungssystem mit zwei Unbekannten
löst man mit einem der Verfahren aus der 8. Jahrgangsstufe
(Einsetzverfahren oder Additionsverfahren)
Der Funktionsgraph einer quadratischen
Funktion ist immer eine Parabel. Der höchste
bzw. tiefste Punkt der Parabel heißt
Scheitelpunkt S der Parabel.
9. Klasse
−b ± b 2 − 4ac
2a
Mehrstufige Zufallsexperimente
Beispiele mehrmaliges Werfen eines Würfels hintereinander,
gleichzeitiges Werfen von mehreren Würfeln, Ziehen von Kugeln aus
einer Urne mit oder ohne Zurücklegen.
• 1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad zu diesem
Ereignis.
• 2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich
der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem
Ereignis führen.
Beispiel: Urneninhalt 4 rote und 6 blaue Kugel;
Zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen
Die Anzahl der Lösungen erhält man mit der DISKRIMINANTE D:
P(„genau eine Kugel ist rot“) =
D = b2 − 4ac
D<0 bedeutet keine Lösung
D=0 bedeutet genau eine Lösung
D>0 genau zwei Lösungen.
Seite 3 von 7
4
6
6
4
48
3
9
8
⋅ +
⋅ =
=
10 9 10 9 90 15
Start
4
10
r
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r
6
10
6
9
4
9
b
r
b
5
9
b
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9. Klasse
Grundwissen Mathematik
Satzgruppe des Pythagoras
Trigonometrie
Merke: Die Satzgruppe des Pythagoras ist nur auf
rechtwinklige Dreiecke anwendbar!
Gegenkathete von α
Hypotenuse
sin α =
C
Satz des Pythagoras
a +b = c
2
2
2
Ankathete von α
cos α =
Hypotenuse
a
b
hc
Höhensatz
q
2
Kathetensatz
hc = q ⋅ p
A
a2 = c ⋅ p
b2 = c ⋅ q
9. Klasse
p
B
c
tanα =
Hypotenuse
Gegenkathete
von α
Gegenkathete von α
Ankathete von α
Schreibweise:
sin α = sin(α)
Ankathete von α
sin2 α = (sin α)2
Anwendungen:
• Diagonale im Quadrat:
d = 2⋅a
•
• Entfernung zweier Punkte P( xP | yP ) und Q( xQ | yQ ):
d
a
PQ = (xP − xQ )2 + (yP − yQ )2
y
tanα =
sin α
cos α
y
sin α = cos(90° − α)
P(xP | yP)
yP - yQ
sin2 α + cos2 α = 1
x
Q(xQ | yQ)
Beziehungen:
(„Trigonometrischer
Pythagoras“)
xP - xQ
Binomische Formeln
2
2
2
2
2
2
Plus-Formel:
(a + b) = a + 2ab + b
Minus-Formel:
(a − b) = a − 2ab + b
Plusminus-Formel:
(a + b) ⋅ (a − b) = a − b
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2
2
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1
α
cosα
sinα
x
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9. Klasse
Raumgeometrie
P r i s ma
Volumen:
V = G ⋅h
h
G
2πr
Zylinder
Volumen:
VZ = G ⋅ h = r π ⋅ h
2
h
Mantelfläche:
M = UK ⋅ h = 2πr ⋅ h
Mantelfläche
M
Pyramide
Volumen:
VP =
1
⋅ G⋅ h
3
h
Grundfläche
G
Merke: Eine Pyramide mit vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen nennt man
gleichseitiges Tetraeder.
Kegel
Volumen:
VK =
1
1
⋅ G ⋅ h = ⋅ r 2π ⋅ h
3
3
h
r
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s