Schwinger-Mechanismus - an der Universität Duisburg

Ausarbeitung zum Vortrag im Rahmen des Hauptseminars
der theoretischen Physik mit dem Thema:
Schwinger-Mechanismus
Autor
Malte Linder
[email protected]
Betreuung
Prof. R. Schützhold
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Grundlagen
5
2.1
2.2
3
4
5
Herleitung der Dirac-Gleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.1
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.3
Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Ankopplung ans elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1
Lokale Eichsymmetrie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.2
Minimale Ankopplung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Erklärung des Schwinger-Mechanismus
12
3.1
Energiespektrum der Dirac-Gleichung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2
Dirac-See als Vakuummodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.3
Schwinger-Mechanismus im Dirac-See-Modell
15
. . . . . . . . . . . . . . . .
Schwinger-Faktor im statischen homogenen elektrischen Feld
17
4.1
Lösung der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Berechnung der Paarerzeugungswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . .
19
4.3
Exakte Lösung
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Betrachtung dynamischer homogener elektrischer Felder
2
23
1 Einleitung
Um eine Vorstellung vom Thema dieser Arbeit zu bekommen, wird zunächst ein einfaches
beispielhaftes Modell betrachtet. Dazu stelle man sich ein klassisches homogenes elektrisches Feld im Vakuum vor, wie es in guter Näherung experimentell im Inneren eines
Plattenkondensators realisiert werden kann. Die elektrische Feldstärke
E
wird durch den
Grad der Ladungstrennung zwischen den Kondensatorplatten bestimmt. Der Aufbau ist
schematisch in Abbildung 1.1 zu sehen.
Abbildung 1.1: Homogenes elektrisches Feld im Inneren eines Plattenkondensators im
Vakuum
Die zentrale Frage dieser Arbeit ist nun, ob es prinzipiell möglich ist, die elektrische
Feldstärke beliebig zu steigern. Die Aspekte der konkreten Realisation (Erreichen immer
gröÿerer Spannungen) und mögliche Probleme (z. B. Feldemission von Elektronen aus den
Kondensatorplatten) sollen dabei vernachlässigt werden. Die Betrachtung konzentriert
sich auf das elektrische Feld im Vakuum. Genauer lautet die Frage also: Ist ein elektrisches
Feld im Vakuum grundsätzlich stabil oder reagiert das Vakuum in irgendeiner Weise auf
das Feld? Im Rahmen der klassischen Physik wäre eine Wechselwirkung des Vakuums
mit dem Feld nicht zu erwarten.
Durch eine relativistische quantentheoretische Betrachtung dieses Modells lässt sich
jedoch zeigen, dass bei gröÿer werdenden Feldstärken vermehrt Elektron-Positron-Paare
aus dem Vakuum heraus entstehen (Abb. 1.2). Diese Paarerzeugung durch starke elektrische Felder wird Schwinger-Mechanismus genannt (nach Julian Seymour Schwinger).
Die erzeugten Teilchen werden entsprechend ihrer elektrischen Ladungen durch das Feld
beschleunigt und generieren somit einen Stromuss, der in diesem Fall die Ladungstrennung zwischen den Kondensatorplatten abschwächt, sodass eine weitere Steigerung der
Feldstärke verhindert wird. Das Vakuum selbst wird durch diesen Eekt also leitfähig.
3
Abbildung 1.2: Elektron-Positron-Paare entstehen im Vakuum durch starke elektrische
Felder (Schwinger-Mechanismus)
Das Ziel dieser Arbeit ist es, eine theoretische Beschreibung des Schwinger-Mechanismus
zu geben und die konkrete Abhängigkeit der Paarerzeugungsrate von der elektrischen
Feldstärke in einem statischen homogenen
~ -Feld zu berechnen. Letzteres Ergebnis wird
E
zeigen, dass der Schwinger-Mechanismus erst weit oberhalb konventioneller Feldstärken,
die heutzutage im Labor zu realisieren sind (als Gröÿenordnung z. B.
109 V/m
in einem
Linearbeschleuniger), signikant wird und daher bisher experimentell nicht eindeutig bestätigt werden konnte. Als Ausblick wird anschlieÿend noch ein Ansatz für weiterführende
Rechnungen in zeitabhängigen elektrischen Feldern vorgestellt.
4
2 Grundlagen
2.1 Herleitung der Dirac-Gleichung
Die beim Schwinger-Mechanismus beteiligten Teilchen (Elektronen und Positronen) werden in der relativistischen Quantentheorie durch die Dirac-Gleichung beschrieben. Ausgehend von einer heuristischen Herleitung der nicht-relativistischen Schrödinger-Gleichung
werden im Folgenden die Ansätze, die zur Dirac-Gleichung führen, erläutert.
2.1.1 Schrödinger-Gleichung
In der klassischen Mechanik ist der Zustand eines Teilchens durch ein minimales Set
der verallgemeinerten Koordinaten und der zugehörigen kanonischen Impulse vollständig
H , deren Wert bei nicht-expliziter Zeitabhängigkeit (d. h. ∂t H = 0) der Gesamtenergie E des
Teilchens entspricht, bestimmen. Für ein Teilchen der Masse m in einem Potenzial V (~
r)
beschrieben. Die Bewegungsgleichungen lassen sich aus der Hamilton-Funktion
gilt:
H (~r, p~) =
p~2
+ V (~r) = E
2m
(2.1)
Bei einem klassischen freien Teilchen (d. h. im einfachsten Fall
p~ zeitlich konstant, sodass p~ und E
V (~r) = 0) ist der Impuls
Erhaltungsgröÿen sind und jedem Teilchen feste Werte
für diese Gröÿen zugewiesen werden können.
Die Entdeckung des Photoeekts war ein wesentlicher Grund für die Quantenhypothese
des Lichts, das klassisch als reines Wellenphänomen beschrieben wird. Es besteht ein
einfacher Zusammenhang zwischen der Energie
der Kreisfrequenz
ω
E
eines Lichtquants (Teilchenbild) und
der elektrischen bzw. magnetischen Felder (Wellenbild):
E = ~ω
(2.2)
Die De-Broglie-Beziehung verknüpft die Wellenlänge
λ
bzw. den Wellenvektor
elektromagnetischen Strahlung (Wellenbild) mit einem Quantenimpuls
p~
~k
der
(Teilchenbild):
h
p~ = ~~k ⇒ |~
p| =
λ
(2.3)
Der Welle-Teilchen-Dualismus wird nun analog zum Licht auch als für klassische Teilchen gültig postuliert und der Zustand eines Teilchens durch eine Wellenfunktion
Ψ (~r, t)
beschrieben. Mit den Gleichungen 2.2 und 2.3 können jedem klassischen freien Teilchen
mit dem Impuls
vektor
sollte:
~k
p~
und der Energie
zugeordnet werden, sodass
E eine feste Frequenz ω und ein eindeutiger WellenΨ in diesem Fall die Form einer ebenen Welle haben
~
i
Ψ (~r, t) ∝ ei(k·~r−ωt) = e ~ (~p·~r−Et)
5
(2.4)
Die Observablen
p~
und
E
können durch Operatoren aus dieser Wellenfunktion
Ψ
be-
stimmt werden:
i~∂t Ψ = EΨ
(2.5)
−i~∇Ψ = p~Ψ
(2.6)
Nun wird postuliert, dass diese Operatoren allgemein gültig sind, um die Observablen
aus einer Wellenfunktion zu extrahieren. Zur quantentheoretischen Beschreibung eines
Teilchens werden also die Observablen in der klassischen Hamilton-Funktion (2.1) durch
Operatoren ersetzt, die auf
Ψ
wirken.
E
−→ i~∂t
p~ −→ p~ˆ = −i~∇
Die Hamilton-Funktion
H
(2.7)
(2.8)
wird dadurch zum Hamilton-Operator
Ĥ
und es folgt die
Schrödinger-Gleichung:
!
p~ˆ2
~2 2
+ V (~r) Ψ = −
∇ + V (~r) Ψ = ĤΨ = i~∂t Ψ
2m
2m
(2.9)
Aus der Schrödinger-Gleichung lässt sich eine Kontinuitätsgleichung konstruieren, zu
der die Dichte
|Ψ|2 = Ψ? Ψ
ternativ lässt sich dies auch aus der
L2 -Norm
von Ψ) gehört. AlU (1)-Symmetrie der Lagrange-Dichte der Schrödinger-
einer erhaltenen Ladung (hier:
Gleichung mittels des Noether-Theorems herleiten. Damit bleibt eine zu einem Zeitpunkt
t0
gewählte Normierung
˚
!
|Ψ (~r, t0 )|2 d3 r = 1
(2.10)
R3
der Wellenfunktion durch die Schrödinger-Gleichung für alle Zeiten
dem
|Ψ|2 ≥ 0
gilt, wird
|Ψ (~r, t)|2
t erhalten. Da auÿer-
in der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik
als Wahrscheinlichkeitsdichte für das Antreen des Teilchens am Ort
~r
zur Zeit
t
in-
terpretiert. Die erhaltene Normierung bewirkt, dass das Teilchen zu jedem Zeitpunkt
irgendwo im Raum lokalisiert werden kann. Damit kommt der klassisch unverständlichen
Wellenfunktion für Teilchen eine physikalische Bedeutung zu.
Der Schwinger-Mechanismus lässt sich mit der Schrödinger-Gleichung jedoch nicht
erklären, da sie nicht relativistisch invariant ist, was aufgrund der Herleitung aus der
klassischen Hamilton-Funktion plausibel ist.
2.1.2 Klein-Gordon-Gleichung
Der erste Ansatz zur Herleitung einer relativistischen Wellengleichung für die Zustandsfunktion
Ψ
besteht darin, von der relativistischen Energie-Impuls-Relation
E 2 = (c~
p)2 + mc2
2
6
(m: Ruhemasse)
(2.11)
aus der speziellen Relativitätstheorie auszugehen und die Quantisierung analog zur Herleitung der Schrödinger-Gleichung durchzuführen. Die klassischen Observablen werden
also durch quantenmechanische Operatoren (s. Gln. 2.7 u. 2.8) ersetzt und auf
Ψ
ange-
wandt. Das Ergebnis ist die Klein-Gordon-Gleichung:
−~2 ∂t2 Ψ = −c2 ~2 ∇2 + m2 c4 Ψ
(2.12)
Diese Gleichung ist zwar relativistisch invariant, hat allerdings zwei entscheidende
Nachteile, die es unmöglich machen, sie zur Beschreibung einzelner Elektronen heran-
1
2
zuziehen: Erstens würde nicht beachtet, dass es sich um ein Spin- -Teilchen handelt,
da die Gleichung keinerlei Terme, die in irgendeiner Form vom Spin abhängen, enthält.
Der zweite Nachteil folgt aus der physikalischen Interpretation von
Ψ,
wie im Folgenden
beschrieben wird.
Auch für die Klein-Gordon-Gleichung lässt sich eine Kontinuitätsgleichung konstruieren, allerdings ist die Dichte
ρ
der erhaltenen Ladung hier nicht
|Ψ|2 ,
sondern:
ρ = i [Ψ? ∂t Ψ − (∂t Ψ? ) Ψ]
Aufgrund der Zeitableitungen gilt nicht zwingend
sodass
ρ
ρ ≥ 0
(2.13)
für alle Orte und Zeiten,
nicht als Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort eines Teilchens gedeutet werden
kann. Tatsächlich wird
ρ
physikalisch als elektrische Ladungsdichte interpretiert und die
Klein-Gordon-Gleichung zur Beschreibung spinloser Teilchenfelder verwendet.
2.1.3 Dirac-Gleichung
Mathematisch lässt sich zeigen, dass die Dichte
ρ
der erhaltenen Ladung im Falle der
Klein-Gordon-Gleichung (2.13) nicht zwingend positiv ist, weil zweite Zeitableitungen
in der Klein-Gordon-Gleichung auftreten. Diracs Ansatz bestand daher darin, von einer
linearisierten Form der in Gleichung 2.11 quadrierten Terme auszugehen. Der sich nach
dem Übergang zu Operatoren ergebende Ansatz
i~∂t Ψ = ĤDirac Ψ = α
~ · cp~ˆ + βmc2 Ψ
hat die Form einer Schrödinger-Gleichung mit dem Hamilton-Operator
noch unbestimmten Linearfaktoren
β
und die Komponenten des Vektors
(2.14)
ĤDirac , der die
α
~ = αa~ea ent-
hält. Da zunächst nicht ersichtlich ist, um welche Art von algebraischen Objekten es sich
dabei handelt, wird nicht vorausgesetzt, dass die Linearfaktoren untereinander kommutieren.
Um die relativistische Invarianz der gesuchten Gleichung zu gewährleisten, soll dieser Ansatz die relativistische Energie-Impuls-Relation erfüllen, was nach dem bereits
vollzogenen Übergang zu Operatoren der Gültigkeit der Klein-Gordon-Gleichung (2.12)
entspricht:
!
−~2 ∂t2 Ψ = −c2 ~2 ∇2 + m2 c4 Ψ
!
2
⇒ −c2 ~2 ∇2 + m2 c4 Ψ = ĤDirac
Ψ
2
ĤDirac
Ψ
Ansatz
=
2 2 αa αb + αb αa
3
2 2 4
= −c ~
∂a ∂b − ic ~m (αa β + βαa ) ∂a + β m c Ψ
2
7
(2.15)
Durch Koezientenvergleich lassen sich daraus leicht drei Bedingungen für die Linearfaktoren ablesen:
αa αb + αb αa
= δab
2
αa β + βαa = 0
⇒ {αa , αb } = 2δab
(2.16)
⇒
(2.17)
{αa , β} = 0
2
β =1
Auÿerdem soll der Operator
ĤDirac
(2.18)
hermitesch sein, damit er nur reelle Eigenwerte
annehmen kann, sodass diese analog zur Schrödinger-Gleichung physikalisch als Energieeigenwerte des beschriebenen Teilchens interpretierbar sind. Damit ergeben sich weitere
Bedingungen für die Linearfaktoren:
!
†
ĤDirac = ĤDirac
Bei der Suche nach Lösungen für
αa = αa†
⇒
αa
und
β,
und
β = β†
(2.19)
die allen Bedingungen genügen, sieht man
schnell ein, dass es sich bei diesen Objekten nicht um einfache
C-Zahlen
handeln kann.
Durch eine genauere Untersuchung, die hier nicht im Detail vorgestellt werden soll, lässt
sich zeigen, dass Lösungen existieren, wenn
αa
und
β
quadratische Matrizen mit gera-
der Zeilen- und Spaltenanzahl (mindestens 4) sind. Die Wahl der Dimension entscheidet
physikalisch betrachtet darüber, welchen Spin die Teilchen, die mit der resultierenden
1
2
Gleichung beschrieben werden können, haben. Um auf die Dirac-Gleichung, die Spin- Teilchen beschreibt, zu kommen, werden 4
Ö4-Matrizen gewählt. Der Spin der betrach-
teten Teilchen geht also aufgrund des Ansatzes automatisch in die gesuchte Gleichung
ein.
Die vorgestellten Bedingungen an
αa
und
β
erlauben noch unterschiedliche Lösungs-
darstellungen, die physikalisch allerdings alle äquivalent sind. Eine mögliche Darstellung
lautet (nicht aufgeführte Komponenten sind gleich 0):
αa =
Bei den 2
σa
σa
,
β=
12×2
(2.20)
−12×2
Ö2-Matrizen σa handelt es sich um die Pauli-Matrizen, die die Wirkung der
1
2
Spinoperatoren für Spin- -Teilchen im Wesentlichen beschreiben. Sie lauten:
0 1
σ1 =
,
1 0
0 −i
σ2 =
,
i 0
1 0
σ3 =
0 −1
Die Möglichkeit, beliebig viele andere Darstellungen für
αa
und
β
zu nden, ergibt sich
unter anderem dadurch, dass die Spinkomponenten nicht zwingend entlang der
bzw.
z -Achse
(2.21)
x- bzw. y -
gemessen werden müssen. Durch abweichend gewählte Messorientierungen
ergeben sich andere Matrixeinträge und somit andere Lösungsdarstellungen. Physikalisch
sind alle Darstellungen wie gesagt äquivalent, sodass hier die vorgestellte Darstellung
verwendet wird.
Da
αa
und
β
Ö4-Matrizen sind, muss der Zustand Ψ ein vierkomponentiger Vektor
4
sein, damit auf beiden Seiten des Ansatzes (2.14) gleichartige Objekte stehen. Anhand der
8
Form der Matrizen (2.20) kann man erschlieÿen, dass die vier Komponenten von
Ψ
nicht
völlig gleichberechtigt sind, sondern die oberen und unteren beiden Komponenten jeweils
eine Untereinheit bilden. Da die Pauli-Matrizen in
αa
auftauchen, liegt die Vermutung
nahe, dass es sich bei den oberen bzw. unteren zwei Komponenten von
Zweier-Spinor (hier mit
Ψ+
bzw.
Ψ−
Ψ jeweils um einen
bezeichnet), der als obere bzw. untere Komponente
die Wellenfunktion für den Spin-up- bzw. Spin-down-Zustand enthält (hier:
Ψ±,↑
bzw.
Ψ±,↓ ), handelt. Ein genauer Beweis dieser Zusammenhänge soll hier jedoch nicht erfolgen.
Die in der Dirac-Gleichung auftauchenden Zustände haben also die folgende Form:


Ψ+,↑
Ψ+,↓ 
Ψ+

Ψ=
=
Ψ−,↑ 
Ψ−
Ψ−,↓
(2.22)
Durch Einsetzen der Ergebnisse (Gln. 2.20 u. 2.22) in den Ansatz (2.14) erhält man
die gesuchte Dirac-Gleichung (~
σ
i~∂t
= σa~ea ):
Ψ+
Ψ−
=
mc2 ~σ · cp~ˆ
~σ · cp~ˆ −mc2
!
Ψ+
Ψ−
(2.23)
Die Dirac-Gleichung besteht also aus zwei gekoppelten Gleichungen für den oberen
und unteren Zweierspinor
Ψ+
bzw.
Ψ−
des Dirac-Spinors
Ψ.
Aufgrund der formalen
Ähnlichkeit der Gleichungen können beide in der abgekürzten einzeiligen Form
i~∂t ∓ mc2 Ψ± = ~σ · cp~ˆΨ∓
(2.24)
geschrieben werden. Diese Form wird als Ausgangspunkt für die späteren Berechnungen
verwendet.
Analog zu den ersten zwei vorgestellten Zustandsgleichungen lässt sich auch aus der
Dirac-Gleichung eine Kontinuitätsgleichung mit der Dichte
|Ψ|2 = Ψ† Ψ ≥ 0
einer er-
haltenen Noether-Ladung aufstellen. Die Situation ist demnach analog zur SchrödingerGleichung, sodass
|Ψ (~r, t)|2
als Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte interpretierbar ist.
1
2
Mit der Dirac-Gleichung können also einzelne Spin- -Teilchen quantentheoretisch und
relativistisch invariant beschrieben werden. Die Beachtung des Spins geschieht durch den
linearisierten Ansatz automatisch.
2.2 Ankopplung ans elektromagnetische Feld
1
2
Die Dirac-Gleichung (2.23) gilt in der vorgestellten Form für freie Spin- -Teilchen. Da der
Schwinger-Mechanismus nur in Anwesenheit elektrischer Felder auftritt und die erzeugten
Teilchen elektrische Ladungen haben, muss die Wechselwirkung der Teilchen mit dem
Feld noch in die Dirac-Gleichung eingebaut werden. Dies geschieht nach dem Prinzip der
minimalen Ankopplung und kann durch die Forderung einer lokalen Eichsymmetrie der
Zustandsfunktion begründet werden.
9
2.2.1 Lokale Eichsymmetrie
Das Betragsquadrat
|Ψ|2
einer quantenmechanischen Zustandsfunktion
Ψ
ist allgemein
eine physikalisch messbare Gröÿe und steht z. B. im Ortsraum für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Im Gegensatz dazu ist der Phasenwinkel von
Ψ
nicht messbar. Die
physikalische Situation wird daher nicht verändert, wenn man durch eine lokale Trans-
Ψ
formation der Phase von
⇒
Dabei ist
zu
Ψ̃
übergeht:
Ψ −→ Ψ̃ = eiϕ(~r,t) Ψ
2
|Ψ|2 −→ Ψ̃ = |Ψ|2
ϕ (~r, t)
(2.25)
⇒
physikalisch äquivalent
(2.26)
eine beliebige reelle Funktion, die (stetig dierenzierbar wegen nach-
folgender Rechnungen) von Ort und Zeit abhängen darf. Da physikalische Gröÿen durch
die lokale Phasentransformation invariant bleiben, sollten auch die physikalischen Gleichungen, in denen die Zustandsfunktion auftritt, invariant bleiben, um eine allgemein
kovariante Theorie zu erhalten.
Beispiele solcher Gleichungen für die Zustandsfunktion wurden in Kapitel 2.1 bereits
gegeben. Allen Gleichungen ist gemein, dass nicht nur
leitungen
∂µ Ψ
nach der Zeit (µ
= 0)
Ψ,
sondern auch partielle Ab-
oder einer Raumkoordinate (µ
∈ {1, 2, 3})
darin
vorkommen. Dies ist für die angestrebte kovariante Formulierung problematisch, da partielle Ableitungen nicht lokal eichinvariant sind:
∂µ Ψ −→ ∂µ Ψ̃ = ∂µ


eiϕ(~r,t) Ψ = eiϕ(~r,t) ∂µ +

i (∂µ ϕ (~r, t))
|
{z
}

Ψ
(2.27)
Verletzung der Eichinvarianz
2.2.2 Minimale Ankopplung
Die Lösung zur Schaung der Eichinvarianz der physikalischen Gleichungen besteht darin,
die partiellen Ableitungen
∂µ
durch sogenannte kovariante Ableitungen
Dµ
zu ersetzen.
Diese werden so deniert, dass sie sich bei einer lokalen Phasentransformation der Zustandsfunktion (Ψ
−→ Ψ̃)
ebenfalls transformieren (Dµ
−→ D̃µ ).
Der konkrete Ansatz
lautet (ab hier in natürlichen Einheiten):
Dµ = ∂µ + iqAµ −→ D̃µ = ∂µ + iq õ
(2.28)
Der zur partiellen Ableitung hinzugefügte transformierende Summand
Aµ
wird als
Eichfeld bezeichnet. Seine physikalische Bedeutung und Transformationsvorschrift sind
zunächst unbekannt. Im Hinblick auf das spätere Ergebnis wurde noch ein Vorfaktor, der
die Konstante
q
enthält, hinzugefügt.
Die Forderung an
Dµ
kovarianten Ableitungen
ist nun, dass sich bei einer lokalen Phasentransformation die
Dµ Ψ
genau so transformieren wie
kalischen Gleichungen aufgrund ihrer Linearität in
!
Ψ
Dµ Ψ −→ D̃µ Ψ̃ = eiϕ(~r,t) Dµ Ψ
10
Ψ
selbst, da dann die physi-
invariant bleiben.
(2.29)
Aus dieser Bedingung kann die Transformationsvorschrift des Eichfelds
Aµ
abgeleitet
werden:
eiϕ(~r,t) Dµ Ψ = D̃µ Ψ̃
⇒
h
i
eiϕ(~r,t) (∂µ + iqAµ ) Ψ = eiϕ(~r,t) ∂µ + i (∂µ ϕ (~r, t)) + iq õ Ψ
⇒
iqAµ = i (∂µ ϕ (~r, t)) + iq õ
ϕ (~r, t)
õ = Aµ − ∂µ
q
⇒
(2.30)
Diese Transformation entspricht formal exakt der Eichtransformation des elektromagnetischen Viererpotenzials. Da in der Physik keine anderen Felder mit vergleichbarer
Eichtransformation bekannt sind, kann das Eichfeld mit diesem Viererpotenzial
~
Aµ = φ, −A
identiziert werden. Dabei sind
namik. Die Konstante
q
φ
das Skalar- und
~
A
(2.31)
das Vektorpotenzial der Elektrody-
aus der kovarianten Ableitung (2.28) nimmt also die Rolle einer
Kopplungskonstante zwischen dem betrachteten Quantenobjekt und dem elektromagnetischen Feld ein und entspricht daher der elektrischen Ladung des Teilchens. Damit sind
alle in der kovarianten Ableitung auftauchenden Gröÿen identiziert und die Eichinvarianz der physikalischen Gleichungen gewährleistet.
Partielle Ableitungen treten in der Dirac-Gleichung in Form des Energie- und des
Impulsoperators auf. Durch den Übergang zu kovarianten Ableitungen erfolgt die Ankopplung ans elektromagnetische Potenzial. Für diese zwei speziellen Operatoren ergibt
sich (ab hier wieder in SI-Einheiten):
i~∂t
p~ˆ
i~∂t − qφ
~
p~ˆ − q A
11
(2.32)
(2.33)
3 Erklärung des Schwinger-Mechanismus
Die bisher erarbeiteten Werkzeuge, die Dirac-Gleichung und die minimale Ankopplung, ermöglichen die Beschreibung eines Elektrons als relativistisches Quantenobjekt
unter Beachtung der Wechselwirkung mit dem elektromagnetischen Potenzial. Zur Erklärung des Schwinger-Mechanismus ist jedoch noch nicht klar, wo die erzeugten ElektronPositron-Paare überhaupt herkommen und warum ein starkes elektrisches Feld ihre Erzeugung aus dem Vakuum heraus ermöglicht. Da in den Grundlagen nur die Observablen
durch Operatoren ausgedrückt wurden (d. h. die 1. Quantisierung wurde durchgeführt),
beschreibt die resultierende Dirac-Gleichung ein einzelnes Quantenobjekt (EinteilchenBetrachtung). Zur Herleitung einer Vielteilchentheorie, die Systeme mit variabler Teilchenzahl beschreiben kann, müssten auch die Zustände selbst durch Operatoren ausgedrückt werden (2. Quantisierung). In diesem Kapitel soll erklärt werden, dass die Paarerzeugung jedoch auch im Einteilchen-Bild beschrieben werden kann, um damit den
Schwinger-Mechanismus theoretisch zu begründen.
3.1 Energiespektrum der Dirac-Gleichung
Die Dirac-Gleichung wurde ursprünglich von Dirac hergeleitet, um eine relativistische
Wellengleichung für Elektronen zu nden. Die Existenz des Positrons war zu diesem
Zeitpunkt noch nicht bekannt. Um die möglichen Energieeigenwerte
stands
Ψ
E
eines Eigenzu-
des Energieoperators auszurechnen, ist mit der Dirac-Gleichung (2.23) das
Eigenwertproblem
mc2 c~σ · p~
Ψ
c~σ · p~ −mc2
EΨ =
(3.1)
zu lösen. Aus dem charakteristischen Polynom folgen die Lösungen:
2
mc − E
det
c~σ · p~
c~σ · p~
−mc2 − E
=0
⇒
p
E = ±c p~2 + m2 c2
(3.2)
Das Ergebnis entspricht der Wurzel der relativistischen Energie-Impuls-Relation (2.11).
Schematisch sieht das Spektrum demnach wie in Abbildung 3.1 aus.
12
Abbildung 3.1: Energiespektrum der Dirac-Gleichung. Die grauen Kreise deuten die Bereiche des Spektrums mit erlaubten Elektronenzuständen an. Gemäÿ
Gleichung 3.2 gibt es zu jedem erlaubten Eigenwert
E
mit
|E| > mc2
unendlich viele mögliche Zustände, die sich durch die Orientierung des
zugehörigen Impulses
p~
geht. Die eingezeichnete
voneinander unterscheiden, da in
x-Achse
E
nur
|~
p|
ein-
hat hier noch keine tiefere Bedeutung.
Die positiven Energieeigenwerte, die bei der Ruheenergie eines Elektrons beginnen
und bei zusätzlichem Impuls ansteigen, konnten in dieser Form erwartet werden. Problematisch ist allerdings das Auftauchen der negativen Energieeigenwerte ab der negativen
Ruheenergie, da das Spektrum dadurch nach unten hin unbeschränkt ist, sodass ein Elektron bei passenden Bedingungen unter ständiger Aussendung von Energie in die negativen
Eigenwerte gelangen und immer weiter absteigen könnte. Damit wäre jedes Elektron eine potenzielle Quelle beliebig groÿer Energiemengen und jedes System instabil, da kein
Grundzustand existieren würde.
3.2 Dirac-See als Vakuummodell
Um das Problem des unbegrenzten energetischen Abstiegs eines Elektrons zu vermeiden,
postulierte Dirac, dass das Vakuum nicht dem Zustand entspricht, in dem keine Teilchen
enthalten sind. Vielmehr sind im Vakuum genau alle negativen Energiezustände bereits
mit Elektronen besetzt. Die aufgefüllten negativen Energiezustände werden als Dirac-See
bezeichnet. Jedem Elektron positiver Energie, das man experimentell irgendwie isolieren
kann, ist es durch das Pauli-Prinzip damit verboten, in die negativen Energiezustände
abzusinken. Der Vakuumzustand sieht als Spektrum also so aus:
13
Abbildung 3.2: Energiespektrum mit Dirac-See (schwarze/graue Kreise: besetzte/unbesetzte Elektronenzustände, zu verstehen wie in Abb. 3.1)
In diesem Modell ist es denkbar, dass ein Elektron aus dem Dirac-See durch eine ausreichend groÿe externe Anregung (z. B. ein eingestrahltes Photon mit
~ω ≥ 2mc2 )
in
einen positiven Energiezustand angehoben werden könnte. Im Dirac-See würde dadurch
ein unbesetzter Zustand, der sich als eigenes Objekt auassen lässt, verbleiben. Dieses
Elektronen-Löcher-Bild ist vollkommen analog zum Halbleitermodell, wobei der DiracSee hier die Rolle des Valenz- und die positiven Energieniveaus die Rolle des Leitungsbands übernehmen. Das Loch im Dirac-See verhält sich wie ein Elektron mit negiertem
Ladungsvorzeichen. Auÿerdem kann ein Elektron positiver Energie unter Aussendung von
Energie in ein Loch zurückfallen, sodass wieder der normale Vakuumzustand eintritt.
Ein Loch im Dirac-See hat demnach die typischen Eigenschaften, die man einem Antiteilchen des Elektrons zuschreiben würde. Es unterscheidet sich vom Elektron lediglich
durch sein Ladungsvorzeichen. Die Paarerzeugung entspricht dem Übergang eines Elektrons aus dem Dirac-See in ein positives Niveau, die Annihilation entspricht der Rekombination eines Elektron-Loch-Paares. Damit ist verständlich, wie die Paarerzeugung im
Einteilchenbild aufzufassen ist: Das bei der Paarerzeugung entstehende Elektron ist in
diesem Bild zu allen Zeiten da, es bendet sich vor der Erzeugung aber im Dirac-See,
was dem normalen Vakuumzustand entspricht. Das Auftauchen des Positrons ergibt sich
aus dem Fehlen des Elektrons im Dirac-See.
Die Einführung des Dirac-Sees rettet also die Verträglichkeit des beobachtbaren Verhaltens normaler Elektronen, die z. B. im Labor durch Ladungstrennung erzeugbar sind,
mit der Theorie und impliziert gleichzeitig die Existenz von Positronen. Dennoch sind
erhebliche Zweifel dabei angebracht, den Dirac-See als reales allgemeines Vakuummodell
zu verstehen. Da es an jedem Raumpunkt unendlich viele negative Energiezustände gibt,
würden die Dirac-See-Elektronen auch überall eine unendlich groÿe Massen- und Ladungsdichte erzeugen. Auch die Abstoÿung der Elektronen aufgrund ihrer Ladung sollte
zu Problemen führen. Des Weiteren wären dann auch Schallwellen im Vakuum denkbar.
Insgesamt wirkt der Dirac-See also sehr unrealistisch und bringt viele Probleme mit sich.
Die Notlösung Dirac-See kann vermieden werden, indem man mittels 2. Quantisierung
zu einer Vielteilchenbeschreibung übergeht. In den Feldoperatoren ersetzt man dann
die Erzeuger/Vernichter für Elektronen in negativen Energiezuständen durch Vernich-
14
ter/Erzeuger von Positronen. Dadurch lässt sich eine nach unten beschränkte HamiltonDichte für die Dirac-Gleichung konstruieren, sodass das Vakuum problemlos wieder als
der Zustand, der keine Teilchen enthält, deniert werden kann. Die Positronen treten
in dieser Theorie als eigene Teilchen und nicht als fehlende Elektronen auf, sodass die
theoretische Beschreibung insgesamt wieder mehr dem intuitiven Verständnis entspricht.
Die relativistische Quantentheorie erzwingt daher quasi eine Vielteilchenbetrachtung, um
die Physik sauber zu beschreiben.
Nichtsdestotrotz ist der Dirac-See als Modell anwendbar, um beispielsweise den SchwingerMechanismus zu erklären, solange sich die Betrachtung auf einzelne Elektronen aus dem
Dirac-See konzentriert und die Wechselwirkung mit anderen See-Elektronen vernachlässigt wird. Dies entspricht dem Einteilchenbild und ist ohne 2. Quantisierung möglich,
liefert jedoch das gleiche Ergebnis.
3.3 Schwinger-Mechanismus im Dirac-See-Modell
Im vorigen Unterkapitel wurde die Paarerzeugung im Vakuum durch energetische Anregungen (z. B. mittels Photonen) von Elektronen aus dem Dirac-See erklärt. Beim einführenden Beispiel für den Schwinger-Mechanismus erfolgte die Paarerzeugung jedoch durch
klassische elektrische Felder (d. h. ohne Photonencharakter), sodass zu klären bleibt, wie
ein solches Feld Paarerzeugungen im Vakuum bewirkt. Dazu wird zunächst betrachtet,
~ -Feld den
E
Feldstärke E lautet:
wie ein statisches homogenes
chen Feldes mit der
~ = E~ex
E
⇒
Dirac-See beeinusst. Das Potenzial eines sol-
φ (x) = Ex ,
~=0
A
(3.3)
Wegen der minimalen Ankopplung bewirkt dieses Potenzial eine Änderung des Energieoperators (2.32), sodass die Energieeigenwerte des freien Elektrons (3.2) verschoben
werden:
p
p
E = ±c p~2 + m2 c2 −→ E = ±c p~2 + m2 c2 + qEx
Die Energielevel sind entlang der
x-Koordinate
mit der Steigung
qE
(3.4)
geneigt. In dieser
Situation ist es möglich, dass ein Elektron aus dem Dirac-See den verbotenen Bereich des
Spektrums (die Bandlücke) durchtunnelt und in den Bereich der positiven Energieeigenwerte gelangt, sodass ein Loch im Dirac-See zurückbleibt und daher eine Paarerzeugung
stattndet. Abbildung 3.3 veranschaulicht diesen Prozess.
15
Abbildung 3.3: Energiespektrum im homogenen elektrischen Feld mit Dirac-See, Paarerzeugungsprozess als Tunnelphänomen (schwarze/graue Kreise: besetzte/unbesetzte Elektronenzustände)
Die Länge der zu durchtunnelnden Barriere ist durch die Neigung der Energielevel beeinussbar und verkleinert sich mit zunehmender Feldstärke
E,
sodass die Tunnelwahr-
scheinlichkeit und damit die Paarerzeugungsrate streng monoton mit
E
steigen sollten.
Dies ist die Erklärung des Schwinger-Mechanismus im Dirac-See-Modell. Die Paarerzeugung durch elektrische Felder ist ein Tunnelphänomen und für geringe Feldstärken wegen
der kleinen Tunnelwahrscheinlichkeit so stark unterdrückt, dass der Eekt vernachlässigbar klein wird. Erst für groÿe Feldstärken wird die Tunnelwahrscheinlichkeit so groÿ,
dass hinreichend viele Paarerzeugungen stattnden können, sodass das Vakuum auf das
elektrische Feld reagiert und quasi leitfähig wird.
Die genaue Abhängigkeit der Paarerzeugungsrate von der elektrischen Feldstärke wird
für dieses Szenario im nächsten Kapitel mit der Dirac-Gleichung berechnet. Mit dem
Ergebnis wird sich auch die Frage beantworten lassen, in welcher Gröÿenordnung
liegen muss, damit der Schwinger-Mechanismus spürbar wird.
16
E
4 Schwinger-Faktor im statischen
homogenen elektrischen Feld
Nachdem im vorigen Kapitel der Schwinger-Mechanismus im Dirac-See-Modell erklärt
worden ist, soll die Abhängigkeit der Paarerzeugungswahrscheinlichkeit von der elektrischen Feldstärke in einem statischen homogenen Feld nun ausgerechnet werden. Dazu
werden die möglichen Zustände (d. h. die Lösungen der Dirac-Gleichung) einzelner Elektronen aus dem Dirac-See betrachtet und die Tunnelwahrscheinlichkeit für das Durchdringen des verbotenen Bereichs im Energiespektrum (s. Abb. 3.3) bestimmt.
4.1 Lösung der Dirac-Gleichung
Das skalare Potenzial
φ (x)
für das elektrische Feld
~ = E~ex
E
(3.3) bewirkt aufgrund der
minimalen Ankopplung eine Änderung des Energieoperators (2.32), sodass aus der DiracGleichung für ein freies Teilchen (2.24) Gleichung 4.1 wird. Durch einige Umformungen
erhält man:
⇒
⇒
i~∂t − qφ ∓ mc2 Ψ± = ~σ · cp~ˆΨ∓
(4.1)
2
2
2
i~∂t − qφ ± mc
i~∂t − qφ ∓ mc Ψ± = −ic~ i~∂t − qφ ± mc σa ∂a Ψ∓
i
h
(i~∂t − qφ)2 − m2 c4 Ψ± = −ic~ σa ∂a i~∂t − qφ ± mc2 + qEσx Ψ∓
h
i
= −ic~ σa ∂a ~σ · cp~ˆΨ± + qEσx Ψ∓
= −c2 ~2 (δab + iεabd σd ) ∂a ∂b Ψ±
− ic~qEσx Ψ∓
⇒
= −c2 ~2 ∇2 Ψ± − ic~qEσx Ψ∓
i
h
(i~∂t − qEx)2 + c2 ~2 ∇2 − m2 c4 Ψ± = −ic~qEσx Ψ∓
(4.2)
Die rechte Seite der resultierenden Gleichung (4.2) bewirkt die Kopplung der beiden
Spinoren und ist der einzige Term, der aufgrund der enthaltenen Pauli-Matrix spinabhängig ist. Dieser zu
Ψ∓
proportionale Term steht dem Term
m2 c4 Ψ±
auf der anderen
Seite gegenüber. Die elektrische Feldstärke, bei der beide Terme gleich stark beitragen,
wird hier mit
ES
bezeichnet:
ES =
c3 m2
≈ 1018 V/m
~q
⇒
m2 c4 = c~qES
(4.3)
Experimentell realisierbare statische Feldstärken liegen in der Regel weit unterhalb
dieser kritischen Feldstärke
ES .
Praktisch dominiert daher der Masseterm, sodass der
17
koppelnde Term vernachlässigt werden kann:
E ES
h
i
(i~∂t − qEx)2 + c2 ~2 ∇2 − m2 c4 Ψ± ≈ 0
⇒
Der Spinorcharakter von
Ψ±
(4.4)
wird von Gleichung 4.4 nicht mehr beachtet, sodass es
sich eektiv um ein Skalarfeldproblem handelt. Es wird also eine skalare Lösung für eine Komponente gesucht, wobei hier
Zeit- und Raumtranslationen in
y-
Ψ+ gewählt wird. Da das System invariant unter
z -Richtung ist (die Koordinaten t, y und z tau-
und
chen in Gleichung 4.4 nicht auf ), müssen sich alle Lösungen als Linearkombinationen
von Eigenzuständen des Energieoperators (∝
Impulsoperators (∝
∂y
bzw.
∂z )
∂t )
und der
y-
bzw.
z -Komponente
des
darstellen lassen. Im Folgenden werden die Lösungen
untersucht, die Eigenzustände dieser Operatoren sind. Das physikalische Verhalten aller
anderen Lösungen ergibt sich daher aus einer Überlagerung verschiedener Eigenzustände.
Der Lösungsansatz lautet also:
~
Ψ+ = ψ (x) e-iωt eiky y eikz z = ψ (x) ei(k⊥~r−ωt)
 
0
mit ~
k⊥ = ky 
kz
(4.5)
Durch Einsetzen in Gleichung 4.4 ergibt sich die Gleichung
h
für die abseparierte
zusätzlicher Beitrag
i
2
(~ω − qEx)2 + c2 ~2 ∂x2 − c2 ~2~k⊥
− m2 c4 ψ = 0
x-Abhängigkeit ψ (x).
zur Ruhemasse m auf,
Der Wellenvektor
~k⊥
(4.6)
tritt hier formal als
sodass die letzten beiden Terme innerhalb
der Klammer durch die Einführung der eektiven Masse
s
meff =
m2 +
~~
k⊥
c
2
(4.7)
zusammengefasst werden können:
i
h
(~ω − qEx)2 + c2 ~2 ∂x2 − m2eff c4 ψ = 0
(4.8)
Diese Gleichung kann durch einen Variablenwechsel weiter vereinfacht werden. Dieser
ist wie folgt motiviert: Der Energieeigenwert
~ω
des betrachteten Dirac-See-Elektrons
bestimmt die energetische Höhe des Elektrons in Abbildung 3.3. Die
x-Koordinaten
der Randpunkte des klassisch verbotenen Bereichs hängen, wie in der Abbildung erkennbar ist, vom Energieeigenwert ab. Die Situation ist anschaulich ähnlich der einer
klassischen Punktmasse, die im homogenen Schwerefeld entlang eines Hangs gleitet. Je
höher die Gesamtenergie der Masse ist, desto höher kann sie sich hinauf bewegen, bis die
kinetische Energie vollständig in potenzielle Energie umgewandelt wurde und die Masse
ihre Bewegungsrichtung umkehrt. Eine vergleichbare Masse mit geringerer Gesamtenergie kehrt schon früher um, allerdings sind beide Situationen physikalisch äquivalent, da
die Trajektorien lediglich räumlich verschoben sind.
18
Die Idee besteht nun darin, die reale Ortskoordinate
eine neue Koordinate (hier
χ)
x
in der Beschreibung so durch
zu substituieren, dass die resultierende Formel nicht mehr
von der Wahl einer konkreten Gesamtenergie
~ω abhängt, da das Verhalten des Dirac-See-
Elektrons physikalisch äquivalent zu allen anderen Energieleveln ist und sich lediglich die
Trajektorien (bzw. in der Quantentheorie die Zustände) räumlich verschieben. Konkret
wird hier
qEx − ~ω =
p
qEχ
⇒
p
∂χ
∂χ = qE∂χ
∂x
ψ (χ) lautet:
∂x =
gewählt, sodass die resultierende Gleichung für
(4.9)
qEχ2 + c2 ~2 qE∂χ2 − m2eff c4 ψ = 0
c2 ~2 ∂χ2 ψ =
⇒
ξ − χ2 ψ
mit
ξ=
m2eff c4
qE
(4.10)
Diese Dierentialgleichung kann exakt gelöst werden, allerdings ist für die Berechnung
der Tunnelwahrscheinlichkeit eines einzelnen Dirac-See-Elektrons nur der exponentielle
Abfall der Wellenfunktion im klassisch verbotenen Bereich entscheidend. Der Tunnelkoezient wird im nächsten Unterkapitel durch die Anwendung der WKB-Näherung ausgerechnet. Die exakte Lösung wird anschlieÿend nur kurz vorgestellt und wäre beispielsweise nötig, um die Beiträge aller See-Elektronen zum Schwinger-Mechanismus korrekt
aufzuaddieren und so eine Gesamt-Paarerzeugungsrate zu berechnen. Für die Abhängigkeit der Tunnelwahrscheinlichkeit von
E
liefert sie aber das gleiche Ergebnis wie die
WKB-Näherung.
4.2 Berechnung der Paarerzeugungswahrscheinlichkeit
Der Tunnelkoezient eines Dirac-See-Elektrons hängt nur vom Verhältnis der Betragsquadrate der Wellenfunktion
|Ψ+ |2 = |ψ (χ)|2
zwischen den Randpunkten
χ+
und
χ−
des klassisch verbotenen Bereichs ab. Diese Randpunkte sind durch
ξ − χ2± = 0
⇒
p
χ± = ± ξ
(4.11)
ψ wegen Gleichung 4.10 dort von oszillierend (χ ∈
/ [χ− , χ+ ]
2
ξ−
< 0) zu exponentiell abfallend (χ ∈ [χ− , χ+ ] ⇒ ξ − χ ≥ 0) oder
umschlägt. Zwischen den Umkehrpunkten kann ψ näherungsweise durch die
gegeben, da das Verhalten von
und daher
umgekehrt
χ2
Anwendung der WKB-Näherung berechnet werden, um daraus den Tunnelkoezienten
zu bestimmen. Dazu wird der Ansatz
ψ (χ) = eiS(χ)
(4.12)
gewählt und in Gleichung 4.10 eingesetzt, sodass folgt:
c2 ~2 iS 00 (χ) − S 02 (χ) = ξ − χ2
(4.13)
Im Rahmen der WKB-Näherung wird nun angenommen, dass
S 00 (χ) S 02 (χ)
gilt
und die zweite Ableitung somit vernachlässigt werden kann:
c2 ~2 iS 00 (χ) − S 02 (χ) ≈ −c2 ~2 S 02 (χ)
19
⇒
S 0 (χ) = ±
1p 2
χ −ξ
c~
(4.14)
Zur anschaulichen Begründung dieser Näherung betrachte man zunächst den gewählten
Ansatz (4.12). Die Funktion
erste Ableitung
S 0 (χ)
S (χ)
bestimmt die Phase der Wellenfunktion, sodass die
die Änderung der Phase mit dem Ort angibt und daher wie eine
Wellenvektorkomponente vorstellbar ist. Die zweite Ortsableitung
S 00 (χ)
steht damit
für die Änderung dieser Impulskomponente mit dem Ort. Solange die lokale Änderung
der Impulskomponente, die durch Potenzialgradienten bewirkt wird, klein ist gegen die
Impulskomponente selber, ist die WKB-Näherung hinreichend gültig. Das elektrische
Feld, das im hier betrachteten Fall (V
also nicht zu stark sein (E
(d. h.
S 0 (χ)
ES ,
(x) = qEx)
den Potenzialgradienten bewirkt, darf
s. Gl. 4.4), damit die Wellenlänge sehr viel kleiner ist
ist groÿ) als die Skalen, auf denen sie sich ändert.
Mit der Stammfunktion
ˆ p
x2 + a dx =
i
p
1h p 2
x x + a + a ln x + x2 + a
2
(4.15)
und Gleichung 4.14 kann der gesuchte Tunnelkoezient ausgerechnet werden:
3
m2
ψ (χ+ ) 2 i[S(χ )−S(χ )] 2 i ´ χ+ S 0 (χ) dχ 2
eff c
−π ~qE
χ−
+
−
= e
=e
= e
ψ (χ− ) (4.16)
Für Dirac-See-Elektronen ohne Impulskomponenten senkrecht zum elektrischen Feld
lässt sich dieser Ausdruck kompakt mit der bereits eingeführten kritischen Feldstärke
ES
(4.3) schreiben:
~k⊥ = 0
ES
⇒
⇒
meff = m
ψ (χ+ ) 2
E
= e−π ES
ψ (χ− ) (4.17)
gibt also die Gröÿenordnung der elektrischen Feldstärke vor, ab der die Tunnel-
wahrscheinlichkeit und damit der Schwinger-Mechanismus nicht mehr stark unterdrückt
sind. Die Schwierigkeit, den Eekt experimentell nachzuweisen, ergibt sich aus dem hohen Wert dieser kritischen Feldstärke von ca.
1018 V/m.
Gleichzeitig bildet
ES
aber auch
die Gültigkeitsgrenze für die in dieser Herleitung durchgeführten Näherungen (s. Gl. 4.4),
sodass zu vermuten ist, dass bei gröÿeren Feldstärken noch andere Eekte im Vakuum
möglich sind.
Laut Gleichung 4.16 ist der Tunnelkoezient nicht für alle Dirac-See-Elektronen gleich,
sondern sinkt mit zunehmender eektiver Masse (d. h. mit steigendem Impuls senkrecht
zu
~)
E
exponentiell ab. Die Elektronen, die senkrecht auf die Potenzialbarriere treen,
haben also die gröÿte Tunnelwahrscheinlichkeit. Anschaulich kann dies dadurch begründet werden, dass diese Elektronen den kürzesten Weg durch den klassisch verbotenen
Bereich zurückzulegen haben.
Die berechnete Tunnelwahrscheinlichkeit gilt nur für einzelne Dirac-See-Elektronen.
Um die gesamte zu erwartende Paarerzeugungsrate, die experimentell auch messbar wäre,
zu berechnen, muss der Beitrag aller Elektronen unter Beachtung der unterschiedlichen
Tunnelkoezienten zusammengefasst werden. Eine solche Rechnung soll hier jedoch nicht
erfolgen. Die exponentielle Abhängigkeit von der elektrischen Feldstärke ändert sich dabei
jedoch nicht.
20
4.3 Exakte Lösung
Gleichung 4.10 lässt sich mathematisch exakt lösen, wobei die genaue Herleitung hier
nicht vorgestellt wird. Die Lösung kann durch die Whittaker-Funktionen
Wκ,µ (x)
Mκ,µ (x)
und
ausgedrückt werden und hat die Form (in natürlichen Einheiten):
− 3π
8
ψ (χ) ∝ e
m2
eff
qE
mit
!
√
Wκ,µ iχ2
4 π Mκ,µ iχ2
p
Θ (χ) +
√
Γ (µ − κ)
χ
|χ|
i m2eff
κ=
4 qE
und
(4.18)
1
µ=
4
Für den Schwinger-Faktor liefert die Untersuchung dieser Lösung das gleiche Ergebnis wie die im vorigen Unterkapitel vorgestellte WKB-Näherung. Das Durchtunneln der
Potenzialbarriere lässt sich im Plot der exakten Lösung (Abb. 4.1) gut erkennen.
Abbildung 4.1: Plot der exakten Lösung
ψ (χ)
(4.18) mit
meff = 1
und
qE = 3/4
(roter
Linienbereich: exponentieller Abfall)
Die für den Plot gewählte elektrische Feldstärke ist wegen
Näherung
E ES
E
ES
=
3
4 so groÿ, dass die
eigentlich nicht mehr gültig ist, allerdings lässt sich das qualitative
21
Verhalten der Wellenfunktion dadurch im Plot besser erkennen.
rechts (d. h. aus positiver
χ-Richtung)
beschreibt ein von
einfallendes Dirac-See-Elektron (s. a. Abb. 3.3),
das zum Groÿteil am rechten Randpunkt
reektiert wird. Dadurch hat
ψ
ψ (χ > χ+ )
χ+
(4.11) des klassisch verbotenen Bereichs
fast die Form einer stehenden Welle, die bei
vollständiger Reexion exakt erreicht würde. Die Amplitude und die Wellenlänge steigen mit zunehmender Nähe zu
χ+ ,
da der Impuls des Elektrons aufgrund des geneigten
Potenzials dort immer weiter sinkt und die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Bereich
kleinerer Geschwindigkeiten gröÿer ist. Zwischen den klassischen Umkehrpunkten
und
χ−
χ+
bendet sich der exponentiell abklingende Verlauf (roter Linienbereich in Ab-
bildung 4.1), der wegen der endlichen Breite der Barriere bei
abgeklungen ist. Daher ergibt sich für
ψ (χ < χ− )
χ−
noch nicht gänzlich
wieder ein oszillierendes Verhalten,
das dem physikalischen Fall der Transmission des Elektrons durch die Barriere und damit der Paarerzeugung entspricht. Da es auf der linken Seite keinen einfallenden Anteil
des betrachteten Elektrons gibt, rotiert
ψ
in diesem Bereich in der komplexen Ebene.
22
5 Betrachtung dynamischer homogener
elektrischer Felder
Im vorigen Kapitel wurde der Schwinger-Faktor im vergleichsweise einfachen Fall eines
statischen homogenen
~ -Feldes
E
berechnet. Ein möglicher nächster Schritt bei der Unter-
suchung des Schwinger-Mechanismus besteht darin, ein zeitabhängiges homogenes Feld
zu betrachten, um beispielsweise die Frage zu beantworten, wie groÿ die Wahrscheinlichkeit für ein Dirac-See-Elektron ist, durch eine zeitlich begrenzt wirkende Feldstärke in
die positiven Energieeigenwerte zu gelangen. Dieses als Ausblick gedachte letzte Kapitel
soll einen möglichen Ansatz für solch weiterführende Berechnungen aufzeigen.
Das Vorgehen ist analog zum statischen Fall, allerdings ist das elektrische Feld hier
natürlich dynamisch. Für das Viererpotenzial wird die Eichung
~ (t) = f˙(t) ~ex
E
gewählt. Die Funktion
f (t)
⇒
φ=0 ,
~ (t) = f (t) ~ex
A
(5.1)
ist eine Stammfunktion der dynamischen Feldstärke und
beliebig wählbar. Aufgrund der minimalen Ankopplung bewirkt dieses Potenzial eine
Anpassung des Impulsoperators (2.33), sodass die Dirac-Gleichung (2.24) für ein Elektron
in diesem Potenzial
i~∂t ∓ mc2 Ψ± = ~σ · c p~ˆ − q f (t) ~ex Ψ∓
(5.2)
lautet. Durch ähnliche Umformungen wie im vorigen Kapitel (Gln. 4.1 bis 4.2) erhält
man:
Mit der
i
h
~2 ∂t2 + c2 (i~∇ + q f (t) ~ex )2 + m2 c4 Ψ± = ic~q f˙(t) σx Ψ∓
~ ˙ zum statischen Fall analogen Annahme E
(t) = f (t) ES
(5.3)
wird der kop-
pelnde Spinterm auf der rechten Seite vernachlässigt (s. Gl. 4.4), sodass sich die Betrachtung auch hier eektiv auf ein Skalarfeldproblem reduziert:
h
i
~2 ∂t2 + c2 (i~∇ + q f (t) ~ex )2 + m2 c4 Ψ± ≈ 0
(5.4)
Da in dieser Gleichung explizit keine Raumkoordinaten auftauchen und daher ein generalisierter Impuls
ponente
~~k
erhalten ist, lautet der Lösungsansatz für die obere Spinorkom-
Ψ+ :
~
Ψ+ = ψ (t) eik·~r
Der mechanische Impuls lautet wegen der minimalen Ankopplung (2.33)
(5.5)
~~k − q f (t) ~ex .
Durch Einsetzen des Ansatzes in Gleichung 5.4 folgt die zu lösende Dierentialgleichung
23
ψ (t):
für die Zeitabhängigkeit
2
c2 2 2
~
ψ̈ = − 2 q f (t) ~ex − ~k + m c ψ
~
(5.6)
Die Lösbarkeit dieser Gleichung hängt natürlich von der konkreten Wahl der Funktion
f (t)
ab. Für einige spezielle Zeitabhängigkeiten lassen sich analytische Lösungen nden,
ansonsten kann die Gleichung nur durch numerische Verfahren annähernd gelöst werden. Formal ähnelt die Gleichung einem Streuproblem, da der Ausdruck vor
rechten Seite immer negativ ist und
ψ
ψ
auf der
daher für alle Zeiten oszilliert. Trotzdem ist die
Paarerzeugung in diesem Modell nach wie vor ein Tunnelphänomen, da ein Dirac-SeeElektron grundsätzlich eine Potenzialbarriere durchdringen muss, um in die positiven
Energieniveaus zu gelangen.
Zur Interpretation von Gleichung 5.6 kann ein mögliches Experiment wie folgt veranschaulicht werden: Man stelle sich vor, dass die elektrische Feldstärke nur innerhalb eines
begrenzten Zeitfensters um
verschwindet.
f (t)
t = 0 in irgendeiner Form variiert und für alle anderen Zeiten
nimmt dann für sehr groÿe und kleine Zeiten einen konstanten Wert
an (s. Gl. 5.1), sodass dort Zeittranslationsinvarianz herrscht und sich das Teilchen damit
in einem Eigenzustand des Energieoperators bendet. Allgemein kann
werden, dass
f (t → −∞) = 0
gilt. Dann entspricht
~~k
f (t)
so gewählt
vor dem Versuchsbeginn dem
mechanischen Impuls und kann je nach zu betrachtendem Dirac-See-Elektron gewählt
werden. Wegen der Zeittranslationsinvarianz lautet der Ansatz vor dem Einschalten des
Feldes
ψ (t → −∞) ∝ eiωt . Das um t = 0 ansteigende Potenzial f (t) bewirkt dann wegen
Gleichung 5.6 eine Art Streuung der einlaufenden Welle, sodass die Wellenfunktion nach
dem Ausschalten des Feldes die Form
ψ (t → ∞) ∝ αeiωt + βe-iωt
hat. Es kommt also
durch das dynamische Feld zu einer Vermischung von negativen und positiven Energiekomponenten, wobei
|β|2
hier der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass sich das Vorzeichen
des Energieeigenwerts des Elektrons geändert hat. Das Elektron hat also nach dem Experiment mit dieser Wahrscheinlichkeit die Potenzialbarriere durchtunnelt und damit zu
einer Paarerzeugung geführt.
Quantitative Ergebnisse sind wie gesagt vom genauen Verlauf der Feldstärke abhängig
und für viele Zeitabhängigkeiten nur numerisch bestimmbar. Die Wahl der Eichung des
Potenzials (5.1) und die damit hergeleitete Gleichung 5.6 sind jedoch ein Beispiel für eine
mögliche Herangehensweise an ein dynamisches Problem.
24