Elektrodynamik

Martin R. Zirnbauer
Elektrodynamik
3. Juli 1998
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Hong Kong Barcelona
Budapest
Inhaltsverzeichnis
0. Mathematische Grundlagen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
Euklidischer Raum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Linearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Alternierende Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
A ueres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Inneres Produkt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Zuruckholen alternierender Multilinearformen : : : : : : : : : : : : : :
Hodgescher Sternoperator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Dichten... : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Vektorfelder und 1-Formen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Cartan-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Poincaresches Lemma : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Pullback : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Kurvenintegrale : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Flachen- und Volumenintegrale im E3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Integration von Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Allgemeiner Satz von Stokes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Lie-Ableitung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Stromformen und Stromlinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
Laplace-Operator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
1
3
6
9
11
13
14
16
17
22
24
28
30
33
38
44
47
50
52
58
1. Prinzipien des Elektromagnetismus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
1.1 Mathematischer Rahmen und Masystem : : : : : : : : : : : : : : : : : : 63
1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung : : : : : : : : : : : : : : : 64
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen MaxwellGleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 67
1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 71
1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 74
1.6 Flulinienbild : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 76
1.7 Axiom 4: Materialgesetze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80
1.8 Energiesatz : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 85
1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 86
VI
Inhaltsverzeichnis
1.10 Elektrodynamik in Materie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 93
1.11 Flulinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 98
2. ElektroMagnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 101
2.1 Elementare Anwendungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102
2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104
2.2 Poisson-Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
2.2.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 107
2.2.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 109
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113
2.3.1 Elektrostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 113
2.3.2 Magnetostatik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 114
2.4 Randwertaufgaben : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
2.4.1 Die Greenschen Identitaten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117
2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem : : : : : : : : 117
2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastrome : : : : : 122
2.5 Energiebetrachtungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122
2.5.1 Kapazitatskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 122
2.5.2 Induktionskoezienten : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 125
2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 128
3. Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133
3.1 k-Komplexe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 133
3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136
3.2.1 Kapazitives Netzwerk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136
3.2.2 Resistive Netzwerke : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140
3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : 144
3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 144
3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145
3.3.3 Materialgleichungen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145
3.4 Flulinien : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 147
3.5 Dynamik (diskret) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 151
4. Elektromagnetische Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157
4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 157
4.2 Ebene Wellen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159
4.2.1 Ein Beispiel fur Pulserzeugung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159
4.2.2 Skin-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 161
4.2.3 Brechung an ebenen Grenzachen : : : : : : : : : : : : : : : : : : 162
4.2.4 Losung der inhomogenen Wellengleichung : : : : : : : : : : : 162
4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen : : : : : : : : : : : : : : : : : 164
4.3.1 Losung der homogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : : 164
4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms : : : : : : : : : : : : : : 168
4.3.3 Losung der inhomogenen Gleichung : : : : : : : : : : : : : : : : : 169
Inhaltsverzeichnis
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
VII
Elektrische Dipolstrahlung : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 170
Strahlung einer beschleunigten Punktladung : : : : : : : : : : : : : : : 173
Beugungsphanomene : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174
Symmetrien und Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174
Das Feynmansche Paradoxon : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 174
Geometrische Optik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178
5. Relativistisch kovariante Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179
Der Minkowski-Raum M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179
Die Poincare-Gruppe : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180
A uerer Kalkul auf M4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181
Kovariante Formulierung der Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 181
Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie : : : : : : : : : : : 183
Anschauliche Deutung mittels Stromformen : : : : : : : : : : : : : : : : 183
Altes relativistisch aufgewarmt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 184
Transformationsverhalten der Felder und Strome : : : : : : : : : : : 186
5.8.1 Transformation des Viererstroms : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 186
5.8.2 Transformation der Felder : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 187
5.8.3 Aharonov-Casher-Eekt : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188
5.9 Erhaltungssatze : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 188
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien : : : : : : : : : : : : : : 191
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik : : : : : : : : : : : : : : : 193
Erhaltene Strome : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 194
Ginzburg-Landau-Theorie : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195
Abelsches Higgs-Modell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 199
Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung : : : : : : : : : : : : 202
A. Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Dierentialformen : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 205
0. Mathematische Grundlagen
0.1 Euklidischer Raum
Perspektive. Zur Formulierung der Elektrodynamik benotigen wir ein mathematisches Modell der physikalischen Raum-Zeit. In der ersten Halfte dieser Vorlesung behandeln wir die Zeit separat vom Raum und modellieren
den physikalischen Raum durch den dreidimensionalen Euklidischen Raum
E3 . In der zweiten Halfte werden wir dann zum Zweck der relativistisch
kovarianten Formulierung der Elektrodynamik zu einer einheitlichen Beschreibung von Raum und Zeit ubergehen und die physikalische Raum-Zeit
durch den vierdimensionalen Minkowski-Raum M4 modellieren. (Wir wollen hier nur erwahnen, ohne darauf weiter einzugehen, da das MinkowskiModell adaquat ist, solange die raumkrummenden Eekte der Gravitation
vernachlassigt werden konnen.) Beiden Modellen, E3 und M4 , liegt der Begri eines anen Raumes zugrunde.
Der n-dimensionale ane Raum An . Der Begri des "Vektorraumes\ (oder
linearen Raumes) wird als bekannt vorausgesetzt, und wir
erinnern nur daran,
da die "Vektoren\ genannten Elemente eines solchen Raumes addiert und
mit reellen Zahlen multipliziert werden konnen. Per Denition besteht nun
ein aner Raum nicht aus Vektoren, sondern aus Punkten, und die letzteren
lassen sich nicht sinnvoll addieren. Ein aner Raum ist also kein Vektorraum, obwohl er zu einem solchen in enger Beziehung steht. Jedem Paar von
Punkten a und b eines anen Raumes ist namlich in eindeutiger Weise ein
Vektor zugeordnet. Auerdem ist es moglich, zu einem Punkt a eines anen
Raumes einen Vektor v zu addieren, was einen neuen Punkt b = a + v zum
Resultat hat. Die Operation des Addierens von Vektoren zu Punkten ist assoziativ und fuhrt einen Punkt nur dann in sich uber, wenn der hinzugefugte
Vektor der Nullvektor ist. Diesen Sachverhalt fassen wir in der folgenden Denition zusammen: ein aner Raum A ist ein Tripel (M; V; +), bestehend
aus einer Punktmenge M , einem reellen Vektorraum V und einer Addition
+ : M V ! M , (a; v) 7! a + v mit den Eigenschaften
(1) a + (v + w) = (a + v) + w (a 2 M ; v; w 2 V );
(2) a + v = a () v = 0 (a 2 M ; v 2 V );
(3) zu jedem Paar a; b 2 M existiert ein v 2 V mit b = a + v :
2
0. Mathematische Grundlagen
Der nach (2) eindeutige Vektor v von (3) heit der "Dierenzvektor\ von a
und b und wird mit b a bezeichnet. Fur V = Rn ist A = (M; V; +) der
n-dimensionale ane Raum An .
Aufgabe 0.1.1. Gegeben sei ein Tripel von Punkten a; b; c 2 M . Deduzieren
Sie aus den Axiomen (1)-(3) die Beziehung c a = (c b) + (b a).
Unter der Geraden durch a in Richtung von v versteht man die Menge von Punkten der Form a + sv mit beliebigem s 2 R. Der von m Vektoren v1 ; :::;Pvmm aufgespannte Spat mit Basispunkt p ist die Punktmenge
faja = p + i=1 ti vi g fur 0 t1 ; :::; tm 1. Fur m = 2 sprechen wir auch von
einem Parallelogramm. Ein anes Koordinatensystem ist eine Gesamtheit
(o; e1 ; e2; :::; en ), bestehend aus einem ausgewahlten Punkt o 2 M ("Koordinatenursprung\)
P und n linear unabhangigen Elementen e1; :::; en von V . Die
durch a o = ni=1 xi ei einem Punkt a 2 M zugeordneten Zahlen x1 ; :::; xn
heien ane Koordinaten von a bezuglich (o; e1 ; :::; en ). Eine ane Abbildung
: M ! M bildet Geraden auf Geraden ab.
e2
a
x2
x1
o
e1
Abbildung 0.1.
Anes Koordinatensystem
(o; e1 ; e2 ) und ane Koordinaten x1 , x2 eines
Punktes a 2 A2 .
Aufgabe 0.1.2. Zeigen Sie, da jede ane Abbildung sich in der Form
(p) = (o) + L(p o)
ausdrucken lat, wobei o ein beliebig gewahlter Referenzpunkt und die Abbildung L : V ! V linear ist.
Euklidischer Vektorraum. Der Dierenzvektorraum V eines anen Raumes
hat zu wenig Struktur, als da es moglich ware, Langen von Vektoren oder
von Vektoren eingeschlossene Winkel zu messen. Diese Moglichkeit wird erst
durch die Einfuhrung eines positiv deniten Skalarprodukts h; i eronet. Ein
Vektorraum V mit positiv denitem Skalarprodukt h; i heit Euklidischer
Vektorraum
p . Die Lange jvj eines Vektors v ist in diesem Fall erklart durch
jvj = hv; vi und der Winkel (u; v) zwischen zwei Vektoren u und v durch
cos (u; v) = hu; vi=jujjvj.
0.2 Linearformen
3
Der n-dimensionale Euklidische Raum En . Unter einem Euklidischen Raum
E versteht man einen anen Raum A, dessen Dierenzvektorraum V die
zusatzliche Struktur eines Euklidischen Vektorraums hat. Der Abstand d(a; b)
zweier Punkte a; b 2 M wird durch d(a; b) = jb aj erklart. Der ndimensionale Euklidische Raum wird mit En bezeichnet. Ein kartesisches
Koordinatensystem von En ist ein anes Koordinatensystem (o; e1 ; :::; en )
mit der zusatzlichen Eigenschaft, da die Vektoren e1 ; :::; en eine Orthonormalbasis bilden:
hei ; ej i = ij (i; j = 1; :::; n) :
Hierbei ist ij Kroneckers Delta-Symbol, d.h. ij = 1 fur i = j , und ij = 0
fur i 6= j . Sind xi und yi die Koordinaten von a 2 M und b 2 M bezuglich
eines solchen Systems, dann gilt:
v
u
n
n
X
uX
i
i
d(a; b) = j(b o) (a o)j = (x y )ei = t (xi yi )2 :
i=1
i=1
Da d(a; b)Pvon der Wahl des Koordinatensystems unabhangig ist, folgt dasselbe fur ni=1 (xi yi )2 .
Euklidische Bewegungen. Sei E ein Euklidischer Raum und : E ! E eine
ane Abbildung. Wir nennen eine Euklidische Bewegung, wenn fur jedes
Paar a; b 2 E gilt
j (a) (b)j = ja bj :
Euklidische Bewegungen lassen also den Abstand zwischen Punkten ungeandert. Aus der Behauptung von Aufgabe 0.1.2 folgt, da jede Euklidische
Bewegung in der Form
(a) = (o) + R(a o)
ausgedruckt werden kann, wobei die lineare Abbildung R : V ! V der Orthogonalitatsbedingung hRv1 ; Rv2 i = hv1 ; v2 i unterliegt. Der Spezialfall R = id
heit Translation, fur (o) = o liegt eine Rotation mit Fixpunkt o vor.
0.2 Linearformen
Hier und im folgenden bezeichne V immer einen Vektorraum der Dimension
n uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine Linearform auf V ist eine lineare
Abbildung, die jedem Element von V eine reelle Zahl zuweist. In Formeln
schreiben wir
:V !R;
v 7! (v) ;
d.h. wir bezeichnen die v 2 V durch zugewiesene Zahl mit (v). Linearitat
der Abbildung bedeutet, da fur alle u; v 2 V und x; y 2 R gilt:
4
0. Mathematische Grundlagen
(xu + yv) = x(u) + y(v) :
Linearformen lassen sich wie Vektoren in naturlicher Weise addieren und
mit reellen Zahlen multiplizieren:
( + )(v) := (v) + (v) ;
(x)(v) := x(v) :
Sie bilden also ihrerseits einen linearen Raum, den sogenannten "Dualraum\
von V , den wir mit L(V; R) oder kurzer mit V bezeichnen. Man sieht leicht,
da V die gleiche Dimension wie V hat. Damit ist schon alles gesagt, was
es an dieser Stelle uber Linearformen zu wissen gibt, und wir konnten jetzt
im Prinzip sofort zu Abschn. 0.3 ubergehen. Fur manche Zwecke ist es aber
hilfreich, mit dem abstrakten Begri der Linearform eine anschauliche Vorstellung verbinden zu konnen.
Graphische Veranschaulichung. Nach obiger Denition setzt der Begri der
Linearform einen reellen Vektorraum V voraus und sonst nichts. Um den
Begri der Linearform graphisch zu veranschaulichen, ist es jedoch gunstig,
V als den Dierenzvektorraum eines anen Raumes A = (M; V; +) zu interpretieren, was wir hier tun wollen. Ein Vektor v 2 V lat sich dann als
ein Pfeil auassen, der zwei Punkte von M miteinander verbindet. Addition
zweier Vektoren u und v erfolgt in diesem Bild dadurch, da man den Schaft
des Pfeils von v durch Parallelverschiebung an die Spitze des Pfeils von u
setzt.1 Der Summenvektor u + v ist dann derjenige Pfeil, der vom Schaft
von u zur Spitze von v zeigt. Dieser nutzlichen Veranschaulichung des Vektorbegris und der Addition von Vektoren entspricht eine Vorstellung von
Linearformen, die in Abb. 0.2 illustriert ist.
+3
a
f
o
α
e
+3
b
+2
+2
v
+1
0
-1
+1
0
-1
o
-2
α
Abbildung 0.2. Anes Modell einer Linearform
-2
α(v)= 2,69
Abb. 0.2 entsteht auf die folgende Weise. Wir geben uns einen Punkt o
und einen Vektor e vor und zeichnen die Gerade durch o in Richtung von e.
Diese Gerade nennen wir die "Nullgerade\. Nun nehmen wir einen zweiten,
von e linear unabhangigen Vektor
f , bringen den Schaft von f durch Parallelverschiebung auf irgendeinen Punkt (z.B. o) der Nullgeraden und zeichnen
die Gerade durch die Spitze von f in Richtung von e. Dann schieben wir
1 Parallelverschiebung beruht auf der algebraischen Relation b + v = a + v +(b a).
0.2 Linearformen
5
den Schaft von f auf einen Punkt der so entstandenen "Einsgeraden\ und legen durch die Spitze von f wiederum eine Gerade in Richtung
von e. Diesen
Proze setzen wir fort und produzieren auf diese Weise eine Schar durchnumerierter und paralleler Geraden, die wir mit bezeichnen (Abb. 0.2a).
Nach dieser vorbereitenden Konstruktion wahlen wir nun irgendeinen Vektor
v 2 R2 und bringen seinen Schaft (wiederum durch Parallelverschiebung) auf
die Nullgerade (Abb. 0.2b). Die Spitze von v wird dann im allgemeinen nicht
auf einer der gezeichneten Geraden liegen, sondern auf einer gedachten Zwischengeraden, deren Nummer\ durch lineare Interpolation bestimmbar ist;
in Abb. 0.2b ware dies" ungefahr die Gerade 2,69. Durch die Geradenschar wird also dem Vektor v die reelle Zahl 2,69 eindeutig zugeordnet. Eine solche
Zuordnung existiert oensichtlich nicht nur fur v sondern fur jedes Element
des R2 . Die Geradenschar deniert folglich eine Abbildung von R2 nach R,
und diese Abbildung ist per Konstruktion von linear. Mit anderen Worten,
die Geradenschar von Abb. 0.2 veranschaulicht in graphischer Weise ein Element von L(R2 ; R). Ganz analog kann man sich die Elemente von L(R3 ; R)
als Scharen paralleler Ebenen im dreidimensionalen anen Raum, und allgemein die Elemente von L(Rn ; R) als Scharen von (n 1)-dimensionalen
Hyperebenen im n-dimensionalen anen Raum, vorstellen.
v
Abbildung
0.3. Modell einer Linearform
3
α
2 L(R ; R). Der Wert von (v) wird festgestellt, indem man die von v durchstoenen Ebenen von abzahlt und linear interpoliert. Der Pfeil von legt die positive
Zahlrichtung fest.
Beispiel 0.2.1. In den Kursen fur Physik-Anfanger wird die physikalische
Groe "Kraft\ ublicherweise als Vektor eingefuhrt. In der Tat ist in einem
Euklidischen
Raum jedem Kraftfeld eindeutig ein Vektorfeld zugeordnet. Jedoch lat sich der Begri "Kraft\ bereits auf einem anen Raum, d.h. vor
Einfuhrung eines Skalarprodukts mit Sinn erfullen. Ein konservatives Kraftfeld wird namlich vollstandig charakterisiert durch die Arbeit, die aufzubringen ist, um einen Korper von einem Punkt zu einem anderen zu transportieren. Fur ein homogenes Kraftfeld hangt diese Arbeit nur vom Dierenzvektor
der beiden Punkte ab, nicht aber von ihrer individuellen Position. Bewegt
man den Korper zunachst von a nach b und dann von b nach c, so setzen sich
die Arbeiten linear zusammen. Ein homogenes Kraftfeld lat sich also als eine lineare Abbildung auassen, die jedem (Verschiebungs-)Vektor die Arbeit
zuordnet, die beim Verschieben eines Korpers vom Schaft bis zur Spitze des
6
0. Mathematische Grundlagen
betreenden Vektors aufzubringen ist. Kurz gesagt, ein homogenes Kraftfeld
ist eine Linearform.
Beispiel 0.2.2. Es sei hier betont, da die Denition des Begris der Linearform kein Skalarprodukt erfordert. Fur dieses zweite Beispiel wollen wir aber
den Vektorraum V dennoch mit einem Skalarprodukt h; i versehen. Auf V
lassen sich dann Linearformen dadurch erzeugen, da man in das erste (oder
das zweite) Argument des Skalarprodukts permanent einen fest gewahlten
Vektor einsetzt: = hv; i. Ist speziell v = e ein Vektor der Lange Eins, dann
entspricht die Linearform = he; i fur V = R2 einer Geradenschar im E2
mit der Eigenschaft, da die Geraden der Schar auf e senkrecht stehen und
Abstand Eins haben.
Basisdarstellung. Sei e1 ; e2 ; :::; en eine Basis von V . Die sogenannte \Dualbasis" 1 ; 2 ; :::; n von V wird eindeutig festgelegt durch die Forderung
i (ej ) = ji (i; j = 1; :::; n) ;
wobei ji Kroneckers Delta-Symbol ist. Fur den Fall n = 2 werden Basis und
zugehorige Dualbasis in Abb. 0.4 graphisch veranschaulicht.PSind ein Vektor
vPund eine Linearform in Basisdarstellung durch v = i vi ei und =
i
i i gegeben, so folgt aus der Denition der Dualbasis sofort
(v) =
n
X
i=1
i vi :
θ1
+2
+1
e1
0
-1
-2
θ2
e2
-1
0
+1
+2
+3
Abbildung 0.4. Basis und Dualbasis
0.3 Alternierende Multilinearformen
In Abschn. 0.2 haben wir Linearformen als lineare Abbildungen eines Vektorraums in die reellen Zahlen kennengelernt. Solche Abbildungen konnen
0.3 Alternierende Multilinearformen
7
wir uns auch als \Maschinen" vorstellen, die einen Eingabeschlitz fur Vektoren haben und auf die Eingabe eines Vektors mit der Ausgabe einer reellen
Zahl antworten. Wir nehmen nun eine Verallgemeinerung vor und betrachten Maschinen mit nicht nur einem sondern k Eingabeschlitzen (k 1) fur
Elemente eines n-dimensionalen Vektorraumes V . Wie zuvor seien die Maschinen so konstruiert, da sie die Eingabe von k Vektoren v1 ; v2 ; :::; vk mit
der Ausgabe einer reellen Zahl quittieren. Den von der Maschine ausgegebenen Wert bezeichnen wir mit (v1 ; v2 ; :::; vk ). Wir stellen zwei zusatzliche
Forderungen an unsere Maschinen. Erstens sollen sie in allen Argumenten
linear sein. In Formeln heit das:
(xu + yv; w; :::) = x(u; w; :::) + y(v; w; :::)
(u; xv + yw; :::) = x(u; v; :::) + y(u; w; :::) usw:
(Hierbei sind u; v; w 2 V und x; y 2 R.) Zweitens verlangen wir die Eigenschaft des "Alternierens\, d.h. wenn wir die Eingabe durch Austausch zweier
Argumente abandern, dann soll die ausgegebene reelle Zahl dem Betrag nach
gleichbleiben aber ihr Vorzeichen wechseln. In Formeln:
(:::; u; :::; v; :::) = (:::; v; :::; u; :::) :
Nichttriviale Maschinen mit der zweiten Eigenschaft existieren nur fur k n.
Abbildungen vom beschriebenen Typ heien alternierende Multilinearformen vom Grad k oder etwas kurzer "alternierende k-lineare Formen\. Solche
Abbildungen lassen sich in naturlicher Weise addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Sie bilden also ebenfalls einen linearen Raum, den wir mit
Altk (V ) bezeichnen.
Beispiel 0.3.1. Wir bezeichnen die Komponenten eines Vektors u in V = R3
bezuglich einer fest gewahlten Basis e1 ; e2 ; e3 mit ui (i = 1; 2; 3) und die
Komponenten der Vektoren v; w entsprechend mit vi bzw. wi . Die durch
0 u1 v 1 w 1 1
(u; v; w) = Det @ u2 v2 w2 A
u3 v 3 w 3
denierte Abbildung ist 3-linear und alternierend und ist folglich ein Element von Alt3 (V ).
Beispiel 0.3.2. Die xy-Ebene durch den Koordinatenursprung des dreidimensionalen Euklidischen Raums werde von zwei orthonormalen Basisvektoren
ex und ey aufgespannt. ! sei die alternierende 2-lineare Form, die jedem Paar
von Vektoren u und v in R3 die reelle Zahl
!(u; v) = hex; uihey ; vi hex; vihey ; ui
zuweist. Der Absolutbetrag von !(u; v) ist dann die Flache der Projektion
eines von u und v aufgespannten Parallelogramms auf die xy-Ebene.
Aufgabe 0.3.1. Weisen Sie nach, da der Raum Altk (V ) fur maximalen Grad
k = dimV eindimensional ist.
8
0. Mathematische Grundlagen
Orientierung. Sei e1 ; :::; en eine fest gewahlte, geordnete Basis von V . Die Anwendung eines von Null verschiedenen Elements 2 Altn (V ) auf e1 ; :::; en
resultiert in einer reellen Zahl (e1 ; :::; en ), die entweder positiv oder negativ
ist. Auf diese Weise wird der eindimensionale Raum Altn (V ) in zwei A quivalenzklassen eingeteilt, eine positive und eine negative Klasse. Umgekehrt legt
die Wahl eines Elements 2 Altn (V ) (
6= 0) eine Einteilung in positive
und negative Systeme von Basisvektoren e1; :::; en fest. Diese Einteilung hangt
nur von der enthaltenden A quivalenzklasse ab, nicht aber von selbst.
Durch die Entscheidung fur eine der beiden A quivalenzklassen wird, wie man
sagt, eine Orientierung bestimmt. Im R3 xiert man die Orientierung ublicherweise durch die sogenannte Rechte-Hand-Regel. Danach heit ein System
von linear unabhangigen Vektoren u, v, w rechtshandig oder positiv orientiert, wenn sich die Vektoren mit Daumen, Zeigenger und Mittelnger der
rechten Hand (in der angegebenen Reihenfolge) zur Deckung bringen lassen.
Andernfalls heit das System linkshandig oder negativ orientiert.
Graphische Veranschaulichung. Nach Abschn. 0.2 lassen sich Linearformen
2 L(R3 ; R) als Scharen paralleler Ebenen im anen Raum A3 darstellen.
In analoger Weise konnen wir auch alternierende Multilinearformen hoheren
Grades veranschaulichen. Zum Beispiel dient als anes Modell eines Elements
! 2 Alt2 (R3 ; R) eine homogene Schar paralleler Geraden mit Schraubensinn
(Abb. 0.5a). Um den Wert !(u; v) auf zwei Vektoren u und v zu ermitteln,
zahlen wir ab, wieviele Geraden der Schar ein Parallelogramm mit den Basisvektoren u und v schneiden (der Basispunkt des Parallelogramm ist beliebig)
und interpolieren linear. Die Schnittpunkte zahlen wir als positiv (bzw. negativ), wenn der Schraubensinn der Geraden mit der Orientierung der Vektoren
u, v ubereinstimmt (bzw. nicht ubereinstimmt). Durch die Berucksichtigung
des Schraubensinns wird gewahrleistet, da der Wert !(u; v) unter Austausch
von u und v sein Vorzeichen wechselt.
a
v
ω
b
ω
w
ρ
ρ
u
ω
ω
ρ
ρ
ρ
v
ρ
ρ
u
Abbildung 0.5. Modelle ... Modelle
ρ
0.4 A ueres Produkt
9
Im Falle einer alternierenden 3-linearen Form 2 Alt3 (R3 ; R) verwenden wir zur Veranschaulichung ein System von Gitterpunkten. Die Punkte
sind nicht strukturlos, sondern tragen eine Orientierung. Der Absolutwert
von (u; v; w) wird der Zahl der in einem Spat mit Kantenvektoren u, v und
w bendlichen Gitterpunkte gleichgesetzt. (Auch hier mu linear interpoliert
werden, und die genaue Position der Basis des Spats ist dann wieder irrelevant). Stimmt die Orientierung der Punkte mit der Orientierung des Systems
von Vektoren uberein, so ist das Vorzeichen von !(u; v; w) positiv, andernfalls
negativ.
0.4 A ueres Produkt
Perspektive. In den folgenden Abschnitten werden wir vier mathematische
Operationen kennenlernen, die auf dem Raum der alternierenden Multilinearformen agieren: das auere Produkt, das innere Produkt, das Zuruckholen
von Formen, und den Hodgeschen Sternoperator. Die ersten drei Operationen
setzen keine metrische Struktur voraus.

Aueres
Produkt von Linearformen. Gegeben seien zwei Linearformen ; 2
L(V; R). Unter ihrem aueren Produkt ^ verstehen wir die Abbildung
^ : V V !R ;
(u; v) 7! ( ^ )(u; v) := (u) (v) (v) (u) :
Diese Abbildung ist oensichtlich linear in beiden Argumenten und alternierend. Folglich gilt: ^ 2 Alt2 (V ).
Beispiel 0.4.1. Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum V = (R2 ; h; i)
mit Orthonormalbasis e1 ; e2 und Flachenform
!(u; v) = he1 ; uihe2 ; vi he1 ; vihe2 ; ui = u1v2 v1 u2 :
Mit der Denition2 #i = hei ; i (i = 1; 2) konnen wir schreiben ! = #1 ^ #2 .
Aufgabe 0.4.1. Zeige, da der Ausdruck #1 ^ #2 unter eigentlichen Drehungen
von V invariant ist.
Visualisiere Linearformen im dreidimensionalen Raum als Ebenenscharen.
Das 
auere Produkt der Linearformen entspricht dann der Schnittmenge
der Ebenenscharen (einer Schar von Geraden).
2
In einem Euklidischen Vektorraum mit Orthonormalbasis ei gilt #i (ej ) =
hei ; ej i = ij = i (ej ) (wie immer sind i die Elemente der Dualbasis). Dagegen ist in einem nicht-Euklidischen Vektorraum wie z.B. dem Lorentzraum
der speziellen Relativitatstheorie zwischen #i und i zu unterscheiden.
10
0. Mathematische Grundlagen

Aueres
Produkt alternierender Multilinearformen. Allgemein versteht man
unter dem aueren Produkt zweier Elemente 2 Altk (V ) und 2 Altl (V )
(k; l 1) die durch
( ^ )(v(1) ; : : : ; v(k) ; v(k+1) ; : : : ; v(k+l) ) =
1 X sign() (v((1)) ; :::; v((k)) ) (v((k+1)) ; :::; v((k+l)) )
k !l ! denierte Abbildung ^ 2 Altk+l (V ), wobei die Summe uber alle Permutationen der Indexmenge 1; 2; :::; k + l lauft und sign() das Signum von ist. Das so denierte Produkt hat die Eigenschaften
(1) ^ = ( 1)kl ^ ;
(2) ( ^ ) ^ = ^ ( ^ ) :
Aufgabe 0.4.2. Beweise die Super-Kommutativitat (1) und die Assoziativitat
(2) des aueren Produkts!
Eine sofortige Konsequenz von (1) ist ^ = ^ = 0 fur 2
Alt2l+1 (V ). Fur den Spezialfall v(1) ; :::; v(k) 2 V und (1) ; :::; (k) 2 V gilt:
0 (v(1)) : : : (v(k) ) 1
(1)
(1)
B
.
.. C
(1)
(
k
)
.
..
((1) ^ ::: ^ (k) )(v ; :::; v ) = det @ ..
. A:
(1)
(k) (v ) : : : (k) (v(k) )
Es ist zweckmaig, das auere Produkt ^ auch fur den Fall zu erklaren, da
und/oder reelle Zahlen sind. Wir vereinbaren, da ^ in diesem Fall mit
der gewohnlichen Multiplikation zusammenfallt. Zum Zweck der bequemen
Notation spater einzufuhrender Operatoren denieren wir Alt1 (V ) = V und
Alt0 (V ) = R.
Beispiel 0.4.2. Im orientierten E3 sei eine alternierende 3-lineare Form dadurch erklart, da einem Tripel von Vektoren u; v; w das Volumen eines von
ihnen aufgespannten Spats zugewiesen wird. Hierbei zahlen wir das Volumen
positiv (bzw. negativ), wenn u; v; w ein rechtshandiges (bzw. linkshandiges)
System bilden. heit Volumenform. Wenn wir wie oben eine Basis von
Linearformen #i auf R3 durch #i = hei ; i (i = 1; 2; 3) erklaren, dann ist
= #1 ^ #2 ^ #3 .
Basisdarstellung. Sei e1; e2 ; :::; en eine Basis von V und entsprechend 1 , 2 ,
..., n die Dualbasis von V . Die Gesamtheit der aueren Produkte i ^ i ^
::: ^ ik fur 1 i1 < i2 < ::: < ik n bildet eine Basis von Altk (V ), d.h.
jedes Element ! von Altk (V ) ist darstellbar als geordnete Summe
X
!=
!i :::ik i ^ ::: ^ ik :
1
1i1 <:::<ik n
2
1
1
Verwenden der Relation (i ^ ::: ^ ik )(ei ; :::; eik ) = 1 zeigt, da die reellen
Zahlen !i :::ik durch !i :::ik = !(ei ; :::; eik ) bestimmt sind.
1
1
1
1
1
0.5 Inneres Produkt
11
Aufgabe 0.4.3. Beweise durch Abzahlen der angegebenen Basis die Dimensionsformel
dim Altk (V ) = k!(nn! k)! :
k
n k l
Veranschaulichung des 
aueren Produkts einer -linearen mit einer
alternierenden Form als Schar von
-dimensionalen
Hyperebenen, n
amlich einer Schnittmenge von Scharen
- und
-dimensionaler Hyperebenen. Insbesondere wird im dreidimensionalen
Raum das 
auere Produkt einer Linearform mit einer 2-linearen alternierenden
Form (n
amlich eine 3-lineare alternierende Form) durch die Schnittmenge
einer Schar von Ebenen mit einer Schar von Geraden (n
amlich einem
Gitter von Punkten) veranschaulicht.
l-linearen
l
n k
n
0.5 Inneres Produkt
Perspektive. Die in Abschn. 0.4 eingefuhrte Operation ^ hat die Eigenschaft,
den Grad alternierender k-linearer Formen bei Produktbildung zu erhohen.
Im folgenden werden wir eine Operation kennenlernen, welche die Elemente
von Altk (V ) auf Elemente von Altk 1 (V ) abbildet, d.h. den Grad um Eins
erniedrigt.
Denition 0.1. Wir haben uns oben die Vorstellung zueigen gemacht, da alternierende k-lineare Formen Maschinen mit k Eingabeschlitzen fur Vektoren
sind. Wenn wir nun in einen dieser Schlitze, sagen wir den ersten, permanent
einen fest gewahlten Vektor einsetzen, dann bleiben nur noch k 1 Eingabeschlitze ubrig. Es entsteht eine Abbildung, die in den verbleibenden k 1
Argumenten linear und alternierend ist. Die Operation des permanenten Einsetzens eines Vektors u in das erste Argument einer alternierenden k-linearen
Form heit \inneres Produkt" und wird mit iu bezeichnet. In Formeln denieren wir fur ! 2 Altk (V ):
(iu !)(v(1) ; :::; v(k 1) ) = !(u; v(1); :::; v(k 1) ) :
Mit der oben getroenen Vereinbarung Alt0 (V ) = R und Alt1 (V ) = V fassen wir zusammen (1 k n):
iv : Altk (V ) ! Altk 1 (V ) ;
! 7! iv ! = !(v; :::):
Um das Auftreten von Subskripten an Subskripten zu vermeiden, wird das
innere Produkt iv ! auch mit v1 ! bezeichnet.
Beispiel 0.5.1. Wir betrachten die Euklidische Ebene E2 mit der wie in Beispiel 0.4.1 denierten Flachenform !, durch die E2 orientiert werde. Fur einen
1
12
0. Mathematische Grundlagen
+2
+1
0
1
u
|u|
-1
-2
i uω
Abbildung 0.6. Inneres Produkt des Vektors u mit der Flachenform !
ausgewahlten Vektor u 2 R2 fragen wir dann nach der Bedeutung der Linearform iu !. Wie in Abschn. 0.2 erlautert, konnen wir iu ! durch eine Schar paralleler Geraden veranschaulichen. Wegen (iu !)(u) = !(u; u) = 0 mussen die
Geraden der Schar zu u parallel sein. Ist e ein zu u orthogonaler Einheitsvektor, so gilt (iu !)(e) = !(u; e) = juj, woraus wir schlieen, da die Geraden
der Schar den Abstand 1=juj voneinander haben (Abb. 0.6). Die Nummern
der Geradenschar wachsen in Richtung von e, wenn u; e ein rechtshandiges
(d.h. bezuglich ! positiv orientiertes) System bilden.
Beispiel 0.5.2. Wir stellen uns elektrische Ladungstrager vor, die homogen
uber den E3 verteilt sind und sich mit einer konstanten Geschwindigkeit u 2
R3 bewegen. Der homogenen Ladungsdichte entspricht dann eine homogene
Stromdichte j . Wir behaupten, da der Zusammenhang zwischen den beiden
Groen durch j = iu gegeben ist. Zum Beweis betrachten wir irgendein von
zwei Vektoren v und w aufgespanntes Parallelogramm. Die hierdurch pro
Zeiteinheit ieende Ladung ist einerseits gleich j (v; w) per Denition von j ,
und andererseits gleich (u; v; w), denn das Parallelogramm uberstreicht pro
Zeiteinheit genau das Innere des durch die Vektoren u; v; w aufgespannten
Spats (siehe Abb. 0.5).
Auch hier kann man der Anschauung des Studenten noch besser nachhelfen.
Das innere Produkt eines Vektors mit einer topdimensionalen alternierenden
Form wird ganz allgemein durch eine Schar von Geraden veranschaulicht.
(Man bekommt die Geraden, indem man den Vektor an die Gitterpunkte
der topdimensionalen Form ansetzt.) Mit demselben Prinzip veranschaulicht
man das innere Produkt von Vektoren mit alternierenden Multilinearformen
beliebigen Grades.
Kompatibilitat mit ^. Wir mussen jetzt noch klaren, wie sich inneres und
aueres Produkt miteinander vertragen. Zu diesem Zweck wenden wir iv
zunachst auf das auere Produkt zweier Linearformen und an. Aus
iv ( ^ ) (w) = ( ^ )(v; w) = (v) (w) (w) (v)
lesen wir ab:
iv ( ^ ) = (iv ) ^ ^ (iv ) :
0.6 Zuruckholen alternierender Multilinearformen
13
Seien nun und zwei alternierende Multilinearformen vom Grad k bzw. l.
Aus der Denition des inneren Produkts und der alternierenden Eigenschaft
von ^ folgt dann allgemein
iv ( ^ ) = (iv ) ^ + ( 1)k ^ (iv ) :
Aufgabe 0.5.1. U berprufe diese Identitat fur k = 1 und l = 2.
Wenn wir i mit einem Dierentialoperator vergleichen und von den zusatzlich auftretenden Vorzeichen absehen, dann erinnert uns die angegebene Identitat an die Produktregel der Dierentialrechnung. (Man spricht davon, da
der Operator i eine "Anti-Derivation der assoziativen Algebra alternierender
Multilinearformen\ ist.)
0.6 Zuruckholen alternierender Multilinearformen
Perspektive. Jede lineare Abbildung eines Vektorraums auf einen anderen induziert eine Abbildung zwischen den zugehorigen Dualraumen. Dieser Sachverhalt liegt der in Abschn. 0.13 denierten Operation \Pullback" zugrunde,
die ihrerseits wichtig ist fur die praktische Integration von Dierentialformen;
siehe Abschn. 0.14.
Denition 0.2. Gegeben seien zwei Vektorraume V und W und eine lineare
Abbildung A : V ! W , v 7! Av. Mit A haben wir dann auch die durch
(A )(v) = (Av)
bestimmte Abbildung A : W ! V . Man sagt, da die Linearform 2 W mittels A nach V zuruckgeholt wird. Beachte, da die Dimensionen von V
und W keinen Beschrankungen unterliegen und insbesondere Gleichheit nicht
erforderlich ist.
Aufgabe 0.6.1. Die lineare Abbildung A : V ! W werde bezuP
glich zweier Basen e1 ; :::; em und f1 ; :::; fn von V bzw. W durch Aei = nj=1 Aji fj
(i = 1; :::; m) dargestellt. Die Darstellung
von A bezuglich der Dualbasen
P
m
1
m
1
n
j
; :::; und ; :::; sei A = i=1 (A )ji i (j = 1; :::; n). Zeige, da
(A )ji j=1;:::;n;i=1;:::;m die zu (Aji )i=1;:::;m;j=1;:::;n transponierte Matrix ist.
Die Idee des Zuruckholens von Linearformen lat sich in naturlicher Weise
auf alternierende Multilinearformen verallgemeinern. Ist A wie zuvor eine
lineare Abbildung von V nach W , so denieren wir
A : Altk (W ) ! Altk (V ) ;
! 7! A !
durch
(A !)(v(1) ; :::; v(k) ) = !(Av(1) ; :::; Av(k) ) :
14
0. Mathematische Grundlagen
Fur einen Satz (i) (i = 1; :::; m) alternierender Multilinearformen beliebigen Grades folgt aus dieser Denition und den Eigenschaften des aueren
Produkts sofort
A ((1) ^ (2) ^ ::: ^ (m) ) = A (1) ^ A (2) ^ ::: ^ A (m) :
Aufgabe 0.6.2. Zeige, da fur die Komposition zweier linearer Abbildungen
A und B gilt: (AB ) = B A .
Beispiel 0.6.1. Wir betrachten speziell fur V = W und dimV = n eine lineare Abbildung A : V ! V . Es sei 2 Altn (V ) eine von Null verschiedene
alternierende Multilinearform maximalen Grades. Wegen der Eindimensionalitat von Altn (V ) mu A 2 Altn (V ) ein reelles Vielfaches von sein, d.h.
wir konnen schreiben A = f (A)
mit f (A) 2 R. Da A linear ist, hangt
f (A) nur von A, nicht aber von ab. Die Funktion A 7! f (A) =: detA heit
Determinante.
Aufgabe 0.6.3. In der linearen Algebra fuhrt man detA haug als die Determinante einer Matrix (Aij )i;j=1;:::;n ein, die A bezuglich einer Basis darstellt.
Zeige, da diese Denition zu der soeben gegebenen basisfreien Denition
aquivalent ist.
0.7 Hodgescher Sternoperator
Perspektive. In der ersten Halfte dieser Vorlesung formulieren wir die Elektrodynamik im Euklidischen Raum E3 , in der zweiten durch Hinzunahme
der Zeit im Minkowski-Raum M4 . Beide Raume besitzen eine auf dem jeweiligen Dierenzvektorraum erklarte nichtentartete quadratische Form. (Im
ersten Fall ist dies eine positiv denite, im zweiten Fall eine indenite quadratische Form.) Eine derartige Form auf einem Vektorraum V induziert eine
entsprechende nichtentartete
quadratische Form auf dem Dualraum V und
L
n
k
allgemeiner auf k=0 Alt (V ). Die Einfuhrung einer Orientierung fuhrt dann
zur Denition des Sternoperators. Diesen verwenden wir zur Konstruktion aller mathematischer Operationen, die von der metrischen Struktur der Raume
E3 und M4 Gebrauch machen.
Vorbereitungen. Sei V ein reeller Vektorraum der Dimension n, wie zuvor.
Wir versehen V mit einer nichtentarteten (aber eben nicht notwendig positiv
deniten) quadratischen Form h; i. Auf einem so strukturierten Vektorraum
ist jedem Vektor v die Linearform hv; i zugeordnet { ein Sachverhalt, von dem
schon in mehreren Beispielen die Rede war. Wir formalisieren die Zuordnung
v 7! hv; i durch die Einfuhrung von
I : V ! V ;
v 7! I (v) := hv; i :
0.7 Hodgescher Sternoperator
15
Aufgabe 0.7.1. Folgere aus dem Nichtentartetsein von h; i, da I injektiv ist.
Die Injektivitat von I zieht wegen dimV = dimV Surjektivitat nach sich,
d.h. I ist ein Isomorphismus, und es existiert auch die inverse Abbildung I 1 .
Mit deren Hilfe denieren wir eine quadratische Form (; ) auf V durch
(; ) = hI 1 (); I 1 ( )i :
Die Eigenschaft der Nichtentartung ubertragt sich von h; i auf (; ).
Aufgabe 0.7.2. Sei e1 ; :::; en eine Basis von V mit hei ; ej i = gij (i; j = 1; :::; n).
Zeige, da fur die duale Basis 1 ; :::n gilt: (i ; j ) = gij , wobei (gij )i;j=1;:::;n
die zu (gij )i;j=1;:::;n inverse Matrix ist.
Die quadratische Form (; ) dehnen wir nun aus auf Elemente ; 2
Altk (V ) der speziellen Form = (1) ^ (2) ^ ::: ^ (k) und = (1) ^ (2) ^
::: ^ (k) mit (i) ; (i) 2 V (i = 1; :::; k), indem wir denieren
0 ( ; ) : : : ( ; ) 1
(1) (1)
(1) (k)
CA :
..
...
(; ) = det B
@ ...
.
((k) ; (1) ) : : : ((k) ; (k) )
Da solche Elemente Altk (V ) aufspannen, wird (; ) hierdurch per Linearitat
auf dem gesamten Raum Altk (V ) erklart.
Denition 0.3 (Sternoperator). Es sei 2 Altn (V ), 6= 0. Wegen (x; x) =
x2 (; ) fur x 2 R ist die quadratische Form (; ) auf dem eindimensionalen
Raum Altn (V ) entweder positiv denit oder negativ denit. Durch die Normierung j(; )j = 1 wird bis auf das Vorzeichen eindeutig festgelegt. Wir
entscheiden uns fur eines der beiden moglichen Vorzeichen und xieren somit
eine Orientierung von V . Mit Hilfe von (; ) und erklaren wir nun einen
Isomorphismus3
? : Altk (V ) ! Altn k (V ) ;
7! ?
durch die Forderung
^ = (?; )
fur alle 2 Altn k (V ). Auerdem vereinbaren wir ? = 1 und ?1 = (; ).
Aufgabe 0.7.3. Zeige, da fur zwei alternierende Multilinearformen identischen Grades ; gilt: ^ ? = ^ ?.
Aufgabe 0.7.4. Beweise die Relation ?? = ( 1)k(n k) (; ) fur 2 Altk (V ).
3
In der physikalischen Literatur wird ? oft hochgestellt.
16
0. Mathematische Grundlagen
Beispiel 0.7.1. Wir betrachten den Euklidischen Vektorraum V = R3 mit
Orthonormalbasis e1 ; e2 ; e3 und Dualbasis 1 ; 2 ; 3 . V werde durch = 1 ^
2 ^ 3 orientiert. Aus der obigen Denition errechnet man dann leicht die
folgende Wirkung von ?:
?1 = 2 ^ 3 ;
?2 = 3 ^ 1 ;
?3 = 1 ^ 2 ;
2
3
1
3
1
2
?( ^ ) = ;
?( ^ ) = ;
?(1 ^ 2 ) = 3 :
Wir sehen, da in diesem Fall insbesondere gilt ?? = id.
E
Im 3 veranschaulichen wir Linearformen durch Ebenenscharen und 2-lineare
alternierende Formen durch Geradenscharen. Der Sternoperator wandelt
dann eine Geradenschar in die dazu senkrechte Ebenenschar um und
umgekehrt. Dabei geht offensichtlich die Metrik des 3 ein.
E
Beispiel 0.7.2. Sei V = R4 mit der Standardbasis e0 ; e1 ; e2 ; e3 und der
Dualbasis 0 ; 1 ; 2 ; 3 . Wir versehen V mit der durch hei ; ej i = gij mit
g00 = g11 = g22 = g33 = +1 und gij = 0 fur i 6= j denierten LorentzMetrik, und wir legen die Orientierung von V durch = 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3
fest. Es gelten dann u.a. die Gleichungen
?0 = 1 ^ 2 ^ 3 ;
?1 = 0 ^ 2 ^ 3 ;
0
2
1
3
?( ^ ) = ^ ; ?(2 ^ 3 ) = 0 ^ 1 :
Die aus der Denition des Sternoperators resultierende Rechenvorschrift hierzu lautet wie folgt. Der Sternoperator ist auf das Dachprodukt von einigen
i 's anzuwenden. Setze gleich dem Dachprodukt der ubrigen i 's und ordne die Faktoren so an, da ^ gerade ergibt. Dann gilt ? = (bzw.
? = ), falls 0 in vorkommt (bzw. nicht vorkommt).
Aufgabe 0.7.5. Beweisen Sie die folgenden Relationen, die in einem Vektorraum mit Skalarprodukt und Sternoperator das innere mit dem aueren Produkt verknupfen:
I (v) ^ = ( 1)deg() ? 1 iv ? ;
iv = ( 1)deg() 1 ? 1 I (v) ^ ? :
(Verkettung von Operatoren () schon eingefuhrt?)
0.8 Dichten...
Beispiel 0.8.1. Wir legen hier wie im Hauptteil der Vorlesung den durch die
Rechte-Hand-Regel orientierten E3 zugrunde und betrachten eine raumlich
und zeitlich konstante elektrische Stromdichte j . Eine solche Groe fassen wir
als Vorschrift auf, welche jedem Paar von Vektoren v und w die { mit j (v; w)
bezeichnete { Ladung zuordnet, die pro Zeiteinheit durch ein von v und w aufgespanntes Parallelogramm iet. Hierbei zahlen wir den Stromu positiv
0.9 Vektorfelder und 1-Formen
17
in Richtung desjenigen Normalenvektors u, der mit v und w (in dieser Reihenfolge) ein rechtshandiges System bildet (Abb. 0.5). Da u unter Austausch
von v und w sein Vorzeichen umkehrt, gilt: j (v; w) = j (w; v). Fur v = w
folgt dann insbesondere j (v; v) = j (v; v) = 0, was sich mit der Beobachtung
vertragt, da ein von zwei linear abhangigen Vektoren aufgespanntes Parallelogramm Null ist und somit verschwindenden Ladungsdurchu haben mu.
Da j auerdem linear ist, folgt j 2 Alt2 (R3 ), d.h. j ist eine alternierende
2-lineare Form.
Beispiel 0.8.2. Eine raumlich und zeitlich konstante Ladungsdichte im orientierten E3 ist ein Element von Alt3 (R3 ). Sie ist namlich eine Abbildung, die
jedem von einem Tripel von Vektoren u; v; w aufgespannten Spat die darin
enthaltene elektrische Ladung (u; v; w) zuordnet. Hierbei vereinbaren wir,
die Ladung positiv (bzw. negativ) zu zahlen, falls u; v; w ein rechtshandiges (bzw. linkshandiges) System bilden. Sind zwei der Vektoren, sagen wir u
und v = xu, linear abhangig, so entartet der Spat zu einer Flache und die
eingeschlossene Ladung verschwindet, was algebraisch aus
(u; v; w) = x(u; u; w) = x(u; u; w) = 0
folgt.
0.9 Vektorfelder und 1-Formen
Perspektive. In den Abschn. 0.1-0.7 haben wir das in dieser Vorlesung benotigte Material aus der linearen Algebra bereitgestellt. Wie an einigen Beispielen
sichtbar wurde, ist hiermit eine Beschreibung raumlich und zeitlich konstanter physikalischer Groen moglich. Fur den U bergang zu raumlich und zeitlich
veranderlichen Groen bedarf es der Verallgemeinerung der oben eingefuhrten Strukturen auf integro-dierentielle Form. Damit werden wir uns nun im
Rest des einfuhrenden mathematischen Kapitels beschaftigen.
Vektorfelder. In der Dierentialgeometrie deniert man Vektorfelder als
Schnitte des Tangentialbundels einer dierenzierbaren Mannigfaltigkeit\.
"Da
diese Denition in ihrer ganzen Schonheit fur unsere Zwecke nicht wirklich
unbedingt erforderlich ist, bescheiden wir uns mit der Einfuhrung des Vektorfeld-Begries uber einem anen Raum, A. In dem laufenden Abschnitt
seien Punktmenge und Dierenzvektorraum von A durchweg mit M bzw. V
bezeichnet. Unter einem Vektorfeld v auf A verstehen wir dann eine Abbildung, die jedem Punkt a 2 M einen Vektor v(a) 2 V zuordnet; mathematisch
ausgedruckt:
v:M !V ;
a 7! v(a) :
Die Dimension von V halten wir hier allgemein und spezialisieren an spaterer
Stelle zu dimV = 3 (fur den Euklidischen Raum E3 ) und dimV = 4 (fur den
18
0. Mathematische Grundlagen
Minkowski-Raum M4 ). Ist eine Basis e1 ; :::; en von V fest vorgegeben, so
bezeichnen wir das konstante Vektorfeld a 7! ei fur i 2 f1; :::; ng mit @i . Das
Vektorfeld @i folgt also den Koordinatenlinien xj = const (j = 1; :::; n; j 6= i),
siehe Abb. 0.7.
x2 = const
(a)
2
a
x1 =
(a)
1
const
Abbildung
0.7. Das
konstante Vektorfeld @1 (@2 ) folgt den Koordinatengeraden
2
1
x = const (bzw. x = const).
Koordinatenfunktionen. In einem anen Raum A mit Koordinatensystem
(o; e1 ; :::; en ) sind jedem Punkt a in eindeutiger Weise ein Satz von Koordinaten xi (a) (i = 1; :::; n) zugeordnet. Wir wollen die eindeutige Zuordnung a 7! xi (a) fur i 2 f1; :::; ng fortan als Funktion auassen und nennen
xi : M ! R eine Koordinatenfunktion. Allgemeiner wird der Begri "Funktion\ in dieser Vorlesung immer fur Abbildungen von Teilmengen eines anen
Raumes in die reellen Zahlen stehen.
Partielle Ableitung. Es sei nun A mit seiner ublichen Topologie versehen.4
Sei weiter (o; e1 ; :::; en ) ein anes Koordinatensystem von A und f eine auf
einem oenen Teilgebiet U M stetig dierenzierbare Funktion f : M ! R.
Die partielle Ableitung (@f=@xi )(a) wird durch Dierenzieren von f im Punkt
a 2 U in Richtung des i-ten Basisvektors gebildet:
d f (a + se ) :
(@f=@xi )(a) = ds
i s=0
Die hierdurch denierte Groe @f=@xi ist wiederum eine Funktion auf U . Wir
schreiben fur @f=@xi auch kurzer @i f . Beachte, da die partiellen Ableitungen
@f=@xi (i = 1; :::; n) nicht invariant deniert sind, sondern von der Wahl
der Basisvektoren e1 ; :::; en abhangen. Dieser Umstand motiviert die folgende
basisfreie Denition des Ableitungsbegris.
4
Die Begrie "Topologie\ und "stetig dierenzierbar\ werden hier als aus der
Analysis bekannt vorausgesetzt.
0.9 Vektorfelder und 1-Formen
19
Das Dierential einer Funktion. Gegeben sei wie zuvor eine auf einem oenen
Teilgebiet U M stetig dierenzierbare Funktion f . Wir bezeichnen mit
(df )a die Linearform, die fur festes a 2 U jedem Vektor v 2 V die Ableitung
von f im Punkt a in Richtung von v zuweist. Die formale Denition lautet:
d f (a + sv) :
(df )a (v) = ds
s=0
Fur die oben denierte partielle Ableitung (@i f )(a) haben wir dann den Ausdruck (@i f )(a) = (df )a (ei ), d.h. sie wird durch Einsetzen des Basisvektors ei
in (df )a erhalten. Das Dierential der Funktion f ist die Abbildung
df : U ! L(V; R) ;
a 7! (df )a :
Das Dierential df einer Funktion f wird in der Literatur manchmal auch
mit Df bezeichnet, und man schreibt dann Da f anstelle von (df )a .
Beispiel 0.9.1. Wir greifen Beispiel0.2.1 wieder auf und nehmen die Verallgemeinerung auf ein raumlich veranderliches konservatives Kraftfeld K vor.
Ein solches Kraftfeld wird durch die Angabe einer "Potentialfunktion\ vollstandig charakterisiert. Per Denition von ist die beim Verschieben eines Korpers vom Punkt a zum Punkt b aufzubringende Arbeit gerade durch
(b) (a) gegeben. Das Kraftfeld K selbst weist nun jedem Punkt a die
Linearform Ka zu, deren Anwendung auf einen Vektor v die (dierentielle)
Energie ergibt, die bei Verschiebung des Korpers im Punkt a in Richtung von
v frei wird; in Formeln:
d (a + sv) = (d) (v) ;
Ka (v) = ds
a
s=0
d.h. K ist gleich minus dem Dierential von .
Veranschaulichung des Differentials einer Funktion f : R2 ! R
mittels der (lokalen) Schar von Tangentengeraden an die H
ohenlinien
der Funktion.
1-Formen. Oben haben wir das Dierential einer Funktion kennengelernt als
Abbildung, die jedem Punkt eine Linearform zuweist. Abbildungen vom Typ :
(Punkte ! Linearformen) heien Dierentialformen ersten Grades oder kurz
1-Formen. Im "Maschinenbild\ konnten wir sagen, da durch eine 1-Form in jedem Punkt
p eine lineare Maschine p mit einem Eingabeschlitz fur
Vektoren aufgestellt wird. Beachte, da wir das Ortsargument p als Subskript
an heften. Dies tun wir deshalb, weil dann rechts von noch Platz fur den
einzugebenden Vektor bleibt.
Produktregel. Multiplikation einer 1-Form mit einer Funktion f wird punktweise deniert: (f)p = f (p)p . Die resultierende Groe f ist wieder eine
1-Form. Fur das Dierential des Produktes zweier Funktionen f und g gilt
die Produktregel
d(fg) = (df )g + f (dg) :
20
0. Mathematische Grundlagen
Koordinatenformen. Sei nun (o; e1 ; :::; en ) ein anes Koordinatensystem von
A und 1 ; :::; n die entsprechende Dualbasis von V = L(V; R). Dann sind die
Koordinatenformen dxi (i = 1; :::; n) durch dxi : M ! V , a 7! i erklart.
Eine allgemeine
1-Form lat sich durch die Koordinatenformen dxi ausP
n) sind hierbei Funkdrucken: = i i dxi . Die Komponenten i (i = 1; :::;P
(@f=@xi )(a)i hat
tionen. Wegen (df )a (ei ) = (@f=@xi)(a) und (df )a = iP
das Dierential einer Funktion die Basisdarstellung df = i (@f=@xi )dxi .
Aufgabe 0.9.1. Zeige, da dxi mit dem Dierential der Koordinatenfunktion
xi : M ! R identisch ist.
Beispiel 0.9.2. Sei E2 die Euklidische Ebene mit Koordinatenfunktionen x :=
x1 und y := x2 . Wir nehmen den Koordinatenursprung o aus E2 heraus und
betrachten die 1-Form
= (x2 + y2) 1 (xdy ydx) :
ist auf E2 fog wohldeniert. Zur geometrischen Deutung von sei p ein
Punkt mit Abstand d(p; o) = jp oj vom Ursprung und v ein Vektor mit
Komponenten vx = (dx)p (v) und vy = (dy)p (v). Dann gilt:
p (v) = x2 (p) + y2 (p) 1 x(p)(dy)p (v) y(p)(dx)p (v)
= x(p)dvy2 (p; yo()p)vx = jp jvj oj sin #(p o; v) ;
wobei #(p o; v) den von den Vektoren p o und v eingeschlossenen Winkel
bezeichnet. Die sich hieraus ergebende Berechnungsvorschrift fur p (v) ist
in Abb. 0.8 illustriert: durch eine Skalentransformation, d.h. eine Streckung
oder Stauchung, bezuglich o gehen wir von v zu v0 = v=jp oj uber.
Der Vektor v0 wird sodann auf die zu p o senkrechte und an den Einheitskreis um o tangentiale Gerade projeziert. Die Projektion hat wegen
der trigonometrischen Bedeutung der Sinusfunktion den gewunschten Wert
p (v) = jvj sin #(p o; v)=jp oj. Wir nennen die \Winkel-1-Form" auf der
Euklidischen Ebene mit Ursprung o.
Vektorfeld als Dierentialoperator. Eine 1-Form ! kann auf ein Vektorfeld u
angewendet werden { oder, anders gesagt, u lat sich in ! einsetzen {, wobei
eine Funktion !(u) entsteht, die punktweise durch !(u)p = !p (u(p)) deniert
ist. Wir nennen !(u) das innere Produkt von u mit ! und schreiben hierfur
auch iu ! oder u !. Wegen (dxi )(@j ) = i (ej ) = ji ergibt das innere Produkt
von ! mit dem Basisvektorfeld
P u = @i die i-te Komponente !i = !(@i ) der
Koordinatendarstellung ! = !i dxi . Insbesondere entsteht beim Einsetzen
von @i in df die i-te partielle Ableitung (df )(@i ) = @^i f . Hieran erkennt man
auch den Sinn der gewahlten Notation fur die Basisvektorfelder @i : fat man
das Vektorfeld @i : p 7! ei als Vektorfeld von Richtungsableitungen auf, so
geht es in den Dierentialoperator @^i = @=@xi uber. Ganz allgemein ist jedem
Vektorfeld u : U M ! V in kanonischer Weise ein Dierentialoperator
0.9 Vektorfelder und 1-Formen
21
v
ϑ (p-o,v)
p
v’
αp(v)
o
Einheitskreis
im E 2
Abbildung 0.8. Geometrische Bedeutung der
Winkel-1-Form erster Ordnung u^ zugeordnet (^u operiert auf den auf U stetig dierenzierbaren
Funktionen f ), und zwar durch die Gleichung u^f = (df )(u).
Krummlinige Koordinaten. In vielen physikalischen Anwendungen ist das
Rechnen mit kartesischen Koordinaten unbequem. Fur zylindersymmetrische
Probleme verwendet man lieber Zylinderkoordinaten, fur kugelsymmetrische
lieber Kugelkoordinaten usw., und im allgemeinsten Fall wird man sich geeigneter krummliniger Koordinaten bedienen wollen. Unter einem krummlinigen Koordinatensystem von U M versteht man einen Satz von Funktionen
1 ; :::; n (n = dimV ) mit der Eigenschaft, da die Dierentiale d 1 ; :::; d n
in allen Punkten von U linear unabhangig sind. Wie im kartesischen Fall
wird die Dualbasis der Vektorfelder @i durch (d i )(@j ) = ji erklart. Die
Denition der partiellen Ableitung @f=@ i ist dann
d f a + s@ i (a) :
(@f=@ i)(a) := (df )a @i (a) = ds
s=0
Aufgabe 0.9.2. Wir wollen die Bedeutung der Winkel-1-Form von Beispiel 0.9.2 noch besser verstehen und fuhren dazu in der Euklidischen xyEbene Polarkoordinaten r; ' durch x = r cos ' und y = r sin ' ein. Zeige,
da in diesen Koordinaten den Ausdruck = d' hat. Zeige weiter, da mit der Flachenform ! = dx ^ dy und dem radialen Vektorfeld @r als inneres
Produkt = @r !=r geschrieben werden kann.
Gradient. In einem Euklidischen Raum E = (A; h; i) ist uber den kanonischen Isomorphismus I : v 7! hv; i jedem Vektor v die Linearform I (v)
zugeordnet. Durch punktweise Verallgemeinerung von I entsteht ein Isomorphismus I^, der Vektorfelder auf 1-Formen abbildet. In Formeln ist I^ durch
22
0. Mathematische Grundlagen
I^(v) (a) := I v(a) erklart. Die Anwendung von I^ 1 auf das Dierential
einer Funktion f ergibt ein Vektorfeld, das man den Gradienten von f nennt
und mit gradf bezeichnet:
gradf = I^ 1 (df ) :
Auswertung auf einer Orthonormalbasis fei gi=1;:::;n liefert uber
h(gradf )(a); ei i = hI 1 (df )a ; ei i = (df )a (ei ) = (@f=@xi )(a)
den Ausdruck
(gradf )(a) =
n
X
i=1
(@f=@xi )(a)ei :
0.10 Dierentialformen
Denition 0.4. Wie in Abschn. 0.9 sei A ein aner Raum mit Punktmenge
M und Dierenzvektorraum V . (Die Topologie von A sei wieder die gewohnliche.) Weiter sei U M oen. Eine Dierentialform k-ten Grades ! auf U
ist eine Abbildung
! : U ! Altk (V ) ;
a 7! !a :
Wie man hieran erkennt, stehen Dientialformen k-ten Grades zu 1-Formen
in derselben Beziehung wie alternierende Multilinearformen zu Linearformen.
Dierentialformen vom Grad k heien kurz k-Formen. Der Begri 0-Form
wird synonym mit dem Begri "Funktion\ gebraucht. Wenn nichts anderes
speziziert ist, setzen wir hier wie im folgenden voraus, da die betrachteten
Dierentialformen { als Abbildungen mit Denitionsbereich U { unendlich
oft dierenzierbar sind. Die k-Formen auf U bilden einen linearen Raum uber
R, der mit k (U ) bezeichnet wird.5 Eine k -Form mit dem maximalen Grad
k = dimV heit top-dimensional.
Operationen mit Dierentialformen. Die in den Abschn. 0.4, 0.5 und 0.7 eingefuhrten Operatoren ^, i und ? verallgemeinern sich trivial auf Dierentialformen (anstelle von alternierenden Multilinearformen) und Vektorfelder
(anstelle von Vektoren). Dies geschieht in naturlicher Weise durch punktweise
Denition aller Operationen. Es seien f 2 0 (U ), 2 k (U ) und 2 l (U ).
Dann gelten die Relationen
(f)p = f (p)p ;
( ^ )p = p ^ p ;
5
Der Kurze halber verzichten wir an dieser Stelle auf die Unterscheidung zwischen
gewohnlichen Dierentialformen und solchen mit \Schraubensinn". Die Unterscheidung ist wichtig fur die Paritatsinvarianz der elektromagnetischen Theorie
und wird spater (in Kap. 5.1) nachgeholt.
0.10 Dierentialformen
23
(iv )p = iv(p) p :
Fur den Fall, da durch Vorgabe einer metrischen Struktur und Orientierung
auf V (dimV = n) ein Sternoperator ? : Altk (V ) ! Altn k (V ) erklart ist,
denieren wir ? : k (U ) ! n k (U ) durch
(?)p = ?(p ) :
Alle in den Abschn. 0.4, 0.5 und 0.7 angegebenen Eigenschaften ubertragen
sich; insbesondere gelten fur 2 k (U ), 2 l (U ) und v ein Vektorfeld auf
U die Gleichungen
^ = ( 1)kl ^ ;
iv ( ^ ) = (iv ) ^ + ( 1)k ^ (iv ) :
Von der Verallgemeinerung der Operation des Zuruckholens alternierender Multilinearformen zum Zuruckholen von Dierentialformen wird in Abschn. 0.13 noch ausfuhrlich die Rede sein.
Koordinatendarstellung von Dierentialformen. Sind dx1 ; :::; dxn ein Satz
von Koordinatenformen auf U , so hat ! 2 k (U ) die Darstellung
X
!=
!i :::ik dxi ^ ::: ^ dxik :
1
1
1i1 <:::<ik n
Die Koezienten !i :::ik sind Funktionen : U ! R und werden durch
!i :::ik = !(@i ; :::; @ik ) bestimmt. Es ist manchmal zweckmaig, von der geordneten Indizierung der Koezienten von Dierentialformen abzuweichen.
Wir denieren !(i ):::(ik ) = sign()!i :::ik , wobei eine Permutation bezeichnet, und schreiben auch
n
X
!i :::ik dxi ^ ::: ^ dxik :
! = k1!
i ;:::;ik =1
1
1
1
1
1
1
1
P
Aufgabe 0.10.1. EsP
seien ein Vektorfeld v = i vi @i und zwei 1-Formen =
P
i
i
i i dx und = i i dx gegeben. Zeige die Gultigkeit der Relationen
X
i
j
1
^ =
iv ( ^ ) =
1i<j n
n
X
i;j =1
(i j j i ) dx ^ dx ;
vi (i j j i ) dxj :
Aufgabe 0.10.2. Im Euklidischen Raum E3 seien ein Ursprung o und kanonische Koordinatenfunktionen x := x1 , y := x2 , z := x3 ausgezeichnet. Die
Volumenform dx ^ dy ^ dz werde mit und der Abstand eines Punktes
a von o mit r(a) = d(a; o) bezeichnet. Ferner sei X das radiale Vektorfeld
x@x + y@y + z@z mit Symmetriepunkt o. Wir erklaren die Raumwinkel-Form
auf E3 n fog durch
= iX =r3 :
24
0. Mathematische Grundlagen
Zeige die Gultigkeit der folgenden Aussagen: (1) ist in Koordinatendarstellung durch
= (x2 + y2 + z 2 ) 3=2 (xdy ^ dz + ydz ^ dx + z dx ^ dy)
gegeben. (2) ist unter den eigentlichen Drehungen des E3 , die den Punkt o
xieren, invariant. (3) In spharischen Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
x = r sin cos ' ; y = r sin sin ' ; z = r cos hat den Ausdruck sin d ^ d'.
Illustration des Raumwinkels
0.11 Cartan-Ableitung
Perspektive. Nachdem wir die Verallgemeinerung von alternierenden Multilinearformen zu Dierentialformen geschat haben, werden wir jetzt lernen,
wie man Dierentialformen dierenziert. Dies geschieht durch einen Dierentialoperator d, der den Grad einer Dierentialform um Eins erhoht. d
zusammen mit dem inneren Produkt i und dem Sternoperator ? gestattet
die Konstruktion aller Dierentialoperatoren, die wir benotigen.
Denition 0.5. Wir denieren einen Dierentialoperator
d : k (U ) ! k+1 (U )
! 7! d!
auf die folgende Weise. Zunachst einmal falle d! fur k = 0 mit dem in Abschn. 0.9 erklarten Dierential der Funktion ! zusammen. Dann vereinbaren
wir, da das Fehlen eines Vektors v in einer geordneten Liste von Vektoren
durch ein Dach (^v) uber dem betreenden Vektor symbolisiert wird. Die Liste (v(0) ; :::; v^(j) ; :::; v(k) ) besteht also aus k Vektoren, wobei v(j) ausgelassen
wird. Mit dieser Konvention denieren wir (d!)a fur k 1 durch die Formel
(d!)a (v(0) ; :::; v(k) ) =
k
X
j =0
( 1)j (Da !)(v(j) ) (v(0) ; :::; v^(j) ; :::; v(k) ) ;
wobei Da ! das Dierential der Abbildung ! : U ! Altk (V ) im Punkt a
bezeichnet:
d ! :
(Da !)(v) := ds
a+sv s=0
(d!)a ist per Konstruktion (k + 1)-linear und alternierend. Folglich gilt
(d!)a 2 Altk+1 (V ) und die Abbildung d! : a 7! (d!)a ist in der Tat eine Dierentialform vom Grad k + 1. Der so erklarte Dierentialoperator d
heit Cartan-Ableitung oder auere Ableitung (engl. "exterior derivative\).
0.11 Cartan-Ableitung
25
Zweimal d ist Null. Die Cartan-Ableitung d zeichnet sich durch viele schone
Eigenschaften aus. Wir werden spater insbesondere sehen, da die Denition von d genauso gemacht ist, wie es sein mu, damit die Integration von
Dierentialformen ihre Dierentiation umkehrt (Abschn. 0.17). Hier zeigen
wir zuallererst, da die zweimalige Anwendung von d in jedem Fall Null ergibt. Dazu ersetzen wir in dem denierenden Ausdruck fur d 2 k+1 (U ) die
k-Form durch = d! und erhalten per Denition
d(d!) a (v(0) ; :::; v(k) ) =
d2 ! j l v(0) ; :::; v^(l) ; :::; v^(j) ; :::; v(k) ( 1)j+l dsdt
a+sv +tv
s=t=0
X
l<j
+
( )
( )
d2 ! j l v(0) ; :::; v^(j) ; :::; v^(l) ; :::; v(k) ( 1)j+l 1 dsdt
a+sv +tv
s=t=0 :
l>j
X
( )
( )
Dieser Ausdruck verschwindet, weil jeder Term der ersten Summe durch einen
entsprechenden Term der zweiten Summe genau weggehoben wird. Wir haben
also die wichtige Eigenschaft
dd=0 ;
wobei Verkettung von Operatoren bedeutet.
Kompatibilitat mit ^. Als nachstes fragen wir, wie sich die Cartan-Ableitung
mit dem aueren Produkt vertragt. Dazu schauen wir uns d! zunachst fur
den Spezialfall ! = f mit f einer Funktion und einer 1-Form an. Per
Denition von d gilt:
(d!)p (u; v) = (Dp !)(u) (v) (Dp !)(v) (u) :
Nun ist nach der Produktregel
d f (p + sv) = (df ) (v) + f (p)(D )(v) ;
(Dp !)(v) = ds
p
p
p
p+sv s=0
und Antisymmetrisieren ergibt:
(d!)p (u; v) = (df )p (u)p (v) + f (p) (Dp )(u) (v)
(df )p (v)p (u) f (p) (Dp )(v) (u) :
Man sieht, da gilt:
(d!)p (u; v) = (df )p ^ p (u; v) + f (p) (d)p (u; v) ;
und folglich ist
d(f) = df ^ + f d :
Aufgabe 0.11.1. Zeige fur zwei 1-Formen und die Gultigkeit der Gleichung
d( ^ ) = (d) ^ ^ (d ) :
26
0. Mathematische Grundlagen
Cartan-Ableitung als Anti-Derivation. Die Aussage der Aufgabe liefert zusammen mit der Assoziativitat des aueren Produkts die allgemeine Regel
d( ^ ) = (d) ^ + ( 1)k ^ (d )
fur 2 k (U ), 2 l (U ). Ein Operator
L mit dieser Eigenschaft heit eine
Anti-Derivation der aueren Algebra nk=0 k (U ). Wir kennen bereits eine
andere Anti-Derivation derselben Algebra: das innere Produkt mit einem
Vektorfeld (siehe Abschn. 0.5 und 0.10).
Cartan-Ableitung axiomatisch. Zusammenfassend halten wir fest, da d die
folgenden charakteristischen Eigenschaften hat: (1) d ist eine Anti-Derivation
der aueren Algebra von Dierentialformen,
P (2) d d = 0, und (3) d auf Funktionen f ergibt das Dierential df = (@f=@xi)dxi . Man kann umgekehrt
zeigen, da diese Eigenschaften die Cartan-Ableitung vollstandig bestimmen.
Beim praktischen Rechnen mit d wird man eher selten auf die grundlegende
Denition 0.5 zuruckgreifen, sondern meist mit den Regeln (1){(3) arbeiten.
Wie oben kurz angedeutet, ist die Denition 0.5 durch die Integration von
Dierentialformen motiviert.
Cartan-Ableitung in Koordinatendarstellung. Der Umgang mit d in Koordinatendarstellung ist besonders einfach, weil die Cartan-Ableitung jeder Koordinatenform dxi (i = 1; :::; n) wegen d d = 0 verschwindet. Bei Anwendung
von d auf eine k-Form ! mit Koordinatendarstellung
X
!=
!i :::ik dxi ^ ::: ^ dxik
1i1 <:::<ik n
1
1
entsteht deshalb nach der Anti-Derivations-Regel der Ausdruck
X
d! =
d!i :::ik ^ dxi ^ ::: ^ dxik :
1i1 <:::<ik n
1
1
Dieser Ausdruck lat sich durch Entwickeln des Dierentials d!i :::ik nach den
Koordinatenformen und Umordnen der Summe in Standardform bringen.
P
Beispiel 0.11.1. Eine 1-Form = i i dxi hat die Cartan-Ableitung
1
d =
n
X
i=1
di ^ dxi =
X
1i<j n
(@i j @j i ) dxi ^ dxj :
Rotation eines Vektorfeldes. Jedem dierenzierbaren Vektorfeld X auf dem
orientierten E3 (oder einem Teil davon) ist ein "Wirbelfeld\ zugeordnet, das
wir X mit Hilfe des kafolgendermaen konstruiert wird. Zunachst wandeln
nonischen Isomorphismus I , der in Abschn. 0.9 mit I^ bezeichnet wurde, in
die 1-Form = I (X ) = hX; i um. Im zweiten Schritt bilden wir die CartanAbleitung d. Die resultierende 2-Form konvertieren wir im dritten Schritt
durch Anwendung des Sternoperators in die 1-Form ?d. Abschlieende Anwendung von I 1 auf ?d resultiert dann in einem Vektorfeld, das man die
0.11 Cartan-Ableitung
27
Rotation von X nennt und mit rotX bezeichnet. Laut Denition ist "rot\ der
Dierentialoperator
rot = I 1 ? d I :
Beachte, da die Dierentialform ?dI (X ) im En den Grad n 2 hat. Die Rotation eines Vektorfeldes ist deshalb nur fur den Spezialfall n = 3 deniert.
Beachte weiter, da rotX von der Orientierung des E3 abhangt. Die Rotation ist oenbar ein im Vergleich zu d reichlich komplizierter und spezieller
Dierentialoperator. In dieser Vorlesung werden wir nie Gebrauch von ihm
machen.
Aufgabe 0.11.2. Es sei ijk (i; j; k = 1; 2; 3) der Levi-Civita Tensor:
(1)(2)(3) = sign() und
P Null sonst. Zeige, da rotX in kartesischer Koordinatendarstellung X = i X i @i durch
(rotX )i =
3
X
j;k=1
ijk @X k =@xj
(i = 1; 2; 3)
ausgedruckt wird. Wie stellt sich rotX in Kugelkoordinaten (oder noch allgemeiner: in krummlinigen Koordinaten) dar?
Divergenz eines Vektorfeldes. Auf einer sogenannten Riemannschen Mannigfaltigkeit lat sich ein Dierentialoperator \div" konstruieren, der Vektorfelder auf Funktionen abbildet. Im E3 ist dieser Dierentialoperator wie folgt
deniert. Sei = dx1 ^ dx2 ^ dx3 die kanonische Volumenform des E3 , und sei
X : E3 ! R3 ein dierenzierbares Vektorfeld. Wir setzen X in ein und bilden sodann die Cartan-Ableitung. Die resultierende Dierentialform d(iX )
hat Grad 3 und lat sich folglich als Produkt einer Funktion f (X ) : E3 ! R
mit schreiben:
d(iX ) = f (X )
:
Hierdurch wird dem Vektorfeld X in invarianter Weise seine Divergenz
f (X ) =: divX zugeordnet.
P
Aufgabe 0.11.3. Beweise die folgenden Aussagen: (1) Ist X = i X i @i die
Koordinatendarstellung
bzgl. einer kartesischen Basis des E3 , so gilt divX =
P @X i=@xi. (2) divX h
angt nicht von der Orientierung ab. (3) Die obige
i
Denition des Divergenzoperators ist aquivalent zu
div = ? d ? I :
Aufgabe 0.11.4. Deduziere aus d d = 0 die Identitaten rot grad = 0 und
div rot = 0 (im E3 ).
28
0. Mathematische Grundlagen
0.12 Poincaresches Lemma
Denition 0.6. Sei ! 2 k (U ). Wir vereinbaren die folgenden Sprechweisen.
(1) Erfullt ! die Gleichung d! = 0, so heit ! geschlossen. (2) Existiert zu
! eine global wohldenierte (k 1)-Form mit der Eigenschaft d = !, so
heit ! exakt. (3) Die (k 1)-Form nennen wir, sofern sie existiert, ein
Potential von !. Oenbar ist wegen d d = 0 jede exakte Dierentialform
auch geschlossen. Wie steht es aber mit der Umkehrung? Dazu benotigen wir
die folgende Vorbereitung.
Denition 0.7. Sei A ein aner Raum und U A oen. U heit sternformig,
wenn ein Punkt o 2 U existiert mit der Eigenschaft, da fur jedes p 2 U das
Geradensegment von o nach p ganz in U enthalten ist. Ein solcher Punkt o
heit ein Sternpunkt von U .
0011
p
1100
00
o11
Abbildung 0.9. Ein sternformiges Gebiet mit Sternpunkt o
Satz 0.1 (Poincaresches Lemma). Auf einem sternformigen Gebiet U ist jede
geschlossene Form ! 2 k (U ) auch exakt.
Das Poincaresche Lemma behauptet mit anderen Worten, da unter der
Voraussetzung der Sternformigkeit von U jede k-Form ! mit d! = 0 auf U
ein Potential auf U besitzt. ist nicht eindeutig bestimmt. Erfullt namlich
die Gleichung d = !, so gilt wegen d d = 0 dieselbe Gleichung fur + d
mit beliebigem 2 k 2 (U ). Die Beweisidee von Satz 0.1 ist unten skizziert.
Mitteilung. Die Voraussetzung der Sternformigkeit lat sich stark abschwachen. (Zum Beispiel kann die ane Struktur durch die Struktur einer \differenzierbaren Mannigfaltigkeit" ersetzt werden, und fur den Fall k = 1
genugt es, wenn U einfach zusammenhangend ist.) Da die Aussage aber
nicht global gelten kann und irgendeine Voraussetzung notwendig ist, sieht
man an dem folgenden Gegenbeispiel. Betrachte die Winkel-1-Form =
(x2 + y2 ) 1 (xdy ydx) auf E2 n fog. Eine kurze Rechnung zeigt, da geschlossen ist, d.h. d = 0. Andererseits kann man sich durch Ausprobieren davon uberzeugen, da kein Potential hat. Es gilt zwar = d' mit
0.12 Poincaresches Lemma
29
' = arctan(y=x) gilt, aber ' wachst bei jedem vollstandigen Umlauf um o
um 2 an und ist daher als Funktion nicht global auf E3 nfog deniert. (Den
tatsachlichen Beweis, da nicht exakt ist, verschieben wir auf Abschn. 0.17.)
Beweisidee. Der Beweis des Poincareschen Lemmas wird konstruktiv gefuhrt.
Fur einen Sternpunkt o 2 U und k 1 deniert man einen Operator H :
k (U ) ! k 1 (U ) durch die Formel
(H!)p (v(2) ; :::; v(k) ) =
Z1
sk 1 !o+s(p o)(p o; v(2) ; :::; v(k) )ds :
0
H hat die interessante Eigenschaft
d(H!) + H (d!) = ! :
Der Nachweis dieser Identitat ndet sich unten. Damit ist Satz 0.1 aber schon
bewiesen, denn unter der Voraussetzung d! = 0 folgt sofort ! = d mit
= H!.
Mitteilung. Das Studium von geschlossenen Dierentialformen, die nicht exakt sind, ist Thema der Topologie, insbesondere der Theorie von Kohomologiegruppen dierenzierbarer Mannigfaltigkeiten.
Nachtrag zum Beweis. Im folgenden sei ! wieder eine k-Form (k 1) auf
U und o ein Sternpunkt von U . Wir denieren den Operator H : k (U ) !
k 1 (U ) wie oben. Um die Identitat (d H! + H d!) = ! zu beweisen, untersuchen wir zunachst den ersten Term der linken Seite. Fur einen beliebigen
Punkt p 2 U gilt
R
1
H d! p (v ;:::;v k ) = sk d!o
(1)
( )
s p o) (p o;v(1) ;:::;v(k) ) ds
+ (
R sk Do s p o !(p o)(v ;:::;v k ) ds
R Pk + sk ( 1)j D
! v j p o;v
0
=
1
+ (
(1)
)
( )
0
1
( ) (
o+s(p o)
j=1
0
( )
(1)
;:::;v(j
1)
;v(j+1) ;:::;v(k) ) ds :
Die Berechnung des zweiten Terms der linken Seite ergibt
R
1
d H! p (v ;:::;v k ) = k sk !o
(1)
R Pk (
+ sk
1
0
1
j=1
( )
1)j
1
1
0
s p o) (v(1) ;:::;v(k) ) ds
+ (
Do+s(p o) ! (sv(j) ) (p o;v(1) ;:::;v(j
1)
;v(j+1) ;:::;v(k) ) ds :
Durch Zusammenfassen beider Ergebnisse erhalt man schlielich
R
1
d H! + H d! p = k sk !o
1
R 1
sk Do+s(p o) ! (p o) ds
+s(p o) ds +
R = s sk !o s p o ds = !p :
0
1
0
d
d
+ (
0
)
q.e.d.
30
0. Mathematische Grundlagen
0.13 Pullback
Pullback einer Funktion. Gegeben seien zwei ane Raume A = (M; U; +),
B = (N; V; +) und zwei oene Gebiete G M , H N . Gegeben sei weiter
eine Abbildung : G ! H und eine Funktion f : H ! R. Durch Verkettung
von f mit entsteht die Funktion f : G ! R; man sagt, da f mittels von
H nach G zuruckgeholt wird (Abb. 0.10). Diese Operation des Zuruckholens
(engl. pullback) wird mit : f 7! f := f bezeichnet.
G
a
H
φ
φ*f
φ(a)
f
(φ*f )(a) = ( f φ )(a)
IR
Abbildung 0.10.
Pullback
einer Funktion f mittels einer
Abbildung : G ! H
Pullback von Dierentialformen. 6 Es sei nun zusatzlich die Dierenzierbarkeit der Abbildung : G ! H vorausgesetzt. Fur jeden Punkt a 2 G haben
wir dann mit : a 7! (a) auch eine Abbildung Da : U ! V durch die
Vorschrift
d (a + sv) :
v 7! (Da )(v) := ds
s=0
Da ist das Dierential von im Punkt a. induziert eine Abbildung :
k (H ) ! k (G), ! 7! !, die durch
( !)a (v(1) ; :::; v(k) ) = !(a) (Da )(v(1) ); :::; (Da )(v(k) )
deniert ist. ! heit die mittels von H nach G zuruckgeholte Dierentialform. Die Konstruktion von ! ist fur den Fall einer 1-Form ! in Abb. 0.11
illustriert.
6
Genau genommen unterscheidet man zwischen zwei Typen von Dierentialformen, namlich solchen, die unter orientierungs
andernden Abbildungen in der
gewohnlichen Weise transformieren (! 7!!) und anderen, die einen zusatzlichen Vorzeichenwechsel erleiden (! 7! !). Diese Unterscheidung ist unnotig,
wenn man vereinbart, da nur orientierungserhaltende Abbildungen zugelassen sind, was wir hiermit tun. In Kap.?? werden wir die elektromagnetische
Theorie hinsichtlich ihrer Symmetrien untersuchen und insbesondere
auch die Invarianz unter Raumspiegelungen herausarbeiten. Dabei wird
sich der Unterschied zwischen den zwei Typen von Differentialformen
als wesentlich herausstellen.
0.13 Pullback
(φ*ω)a
G
H
4
v
φ
1
0
a
ω φ(a)
(Da φ)(v)
3
2
31
4
3
2
φ(a)
1
0
(φ*ω)a (v) = 2.84 = ω φ(a)((Daφ)(v))
Abbildung 0.11. Pullback einer 1-Form !
Aufgabe 0.13.1. Beweise fur die Komposition zweier dierenzierbarer Abbildungen : G ! H und : H ! I und eine k-Form ! auf I die Formel
( ) ! = ( !).
Beispiel 0.13.1. Sei B der um den Koordinatenursprung o zentrierte Einheitsball im E3 mit der kanonischen Volumenform . Der Rand von B ist
die Einheitssphare S . Eine den Punkt o enthaltende Ebene E2 habe Normalenvektor e3 und werde durch die Flachenform ! = e3 orientiert. E2
zerschneidet S in zwei Hemispharen, deren obere mit S + bezeichnet werde. Weiter sei D := E2 \ B (Einheitskreisscheibe). Wir betrachten nun die
Abbildung : D ! S + , die jedem Punkt a 2 D den Schnittpunkt der
zu E2 senkrechten Geraden durch a mit S + zuordnet (Abb. 0.12). Mittels
S+
φ(a)
e3
e2
D
a
o
e1
Abbildung 0.12. Illustration der Abbildung
: D ! S+
dieser Abbildung soll die in Aufgabe 0.10.2 denierte Raumwinkel-Form von S + nach D zuruckgeholt werden. Zu diesem Zweck bemerken wir, da
: D ! Alt2 (R2 ) top-dimensional ist, weshalb eine Funktion f : D ! R
mit der Eigenschaft
= f!
existieren mu. Die Funktion f berechnen wir wie folgt. Sei d(a; o) = r(a)
der Abstand eines Punktes a 2 D vom Koordinatenurspung o. Per Denition
von gilt dann:
32
0. Mathematische Grundlagen
p
(a) = a + 1 r2 (a) e3 ;
und Dierenzieren ergibt:
(Da )(v) = v pha o;2vi e3 :
1 r (a)
Wir wenden auf eine zu e3 senkrechte und bezuglich ! positiv orientierte
Orthonormalbasis e1 ; e2 an und erhalten per Denition des Zuruckholens von
Formen den Ausdruck:
!
h
a
o;
e
i
h
a
o;
e
i
1
2
( )a (e1 ; e2 ) = (a) e1 p
e ; e p 2 e3 :
1 r2 (a) 3 2
1 r (a)
Die rechte Seite berechnen wir mit Hilfe der in Aufgabe 0.10.2 angegebenen Koordinatendarstellung
fur . Kurze Rechnung ergibt den Ausdruck
p
( )a (e1 ; e2) = 1=p 1 r2 (a). Mit !a (e1 ; e2 ) = +1 und = f! haben
wir dann f (a) = 1= 1 r2 (a), und insgesamt folgt
p
= != 1 r2 :
Pullback vertauscht mit d. Wir fragen nun, wie sich die Operation des
Zuruckholens von Dierentialformen mit der aueren Ableitung d vertragt.
Es sei hierfur wie zuvor eine dierenzierbare Abbildung : G ! H und
eine Funktion f : H ! R vorgegeben. Fur das Dierential der zuruckgeholten Funktion f gilt nach der Kettenregel der Dierentialrechnung die
Gleichung
d( f ) a (v) = d(f ) a (v) = (df )(a) (Da )(v) :
Die rechte Seite hiervon ist aber per Denition des Zuruckholens von Formen
gleich (df ) a (v). Folglich gilt d( f ) = (df ). Zur Verallgemeinerung
dieses Resultats betrachten wir eine k-Form der Gestalt ! = f0 df1 ^ ::: ^ dfk
mit Funktionen fi : H ! R (i = 0; 1; :::; k). Dann gilt einerseits
(d!) = (df0 ^ df1 ^ ::: ^ dfk ) = (df0 ) ^ (df1 ) ^ ::: ^ (dfk )
und andererseits
d( !) = d (f0 ) (df1 ) ^ ::: ^ (dfk ) :
Wir wenden die Produktregel fur d an und benutzen die eben bewiesene
Aussage d(f0 ) = (df0 ) und d( (dfi )) = d(d( fi )) = 0 (i = 1; :::; k).
Da k-Formen der betrachteten Gestalt k (H ) aufspannen, folgt die Gleichheit
d( !) = (d!)
fur ! 2 k (H ), k beliebig.
0.14 Kurvenintegrale
33
Der Spezialfall dimG = k. Fur die in Abschn. 0.16 erklarte Integration von
Dierentialformen benotigen wir den Spezialfall, der sich einstellt, wenn
wir den Grad der zuruckzuholenden Dierentialform mit der Dimension des
Raumes, in den sie zuruckgeholt wird, gleichsetzen. Die Voraussetzungen seien wieder dieselben wie im vorigen Paragraphen, aber es gelte jetzt speziell
G Rk . Die Identitat
(f0 df1 ^ ::: ^ dfk ) = (f0 ) (df1 ) ^ ::: ^ (dfk )
und Anwendung der Rechenregel d = d ergibt
(f0 df1 ^ ::: ^ dfk ) = (f0 )d(f1 ) ^ ::: ^ d(fk ) :
Wir setzen Fi = fi (i = 0; 1; :::; k) und entwickeln die Dierentiale
dF1 ; :::; dFk nach einem Satz von Koordinatenformen dx1 ; :::; dxk auf G Rk .
Es resultiert dann die Formel
0 @F : : :
@x
(f0 df1 ^ ::: ^ dfk ) = F0 det B
@ ... . . .
1
1
@F1
@xk
@Fk1
@x
k
: : : @F
@xk
..
.
1
CA dx1 ^ ::: ^ dxk :
0.14 Kurvenintegrale
Heuristische Vorbetrachtung. Wir legen unseren Betrachtungen wie immer
ein oenes Gebiet U in einem anen Raum zugrunde. ! sei eine 1-Form auf
U und ein Weg, der zwei Punkte a und b in U verbindet. (Der Begri \Weg"
wird hier intuitiv gebraucht.) Wir streben eineR Denition des Integrals von
! langs an. Dieses Integral werden wir mit ! bezeichnen. Die physikalische Motivation fur das Betrachten von Wegintegralen
R liegt auf der Hand.
Stellte ! zum Beispiel ein Kraftfeld dar, so ware ! die Arbeit, die gegen
das Kraftfeld zu verrichten ist, um langs von a nachR b zu gelangen. Eine
naheliegende Idee fur die Denition des Wegintegrals ! ist die folgende:
wahle eine Folge von N + 1 auf liegenden Punkten p0 := a, p1 , ..., pN := b
(Abb. 0.13). Werte die 1-Form
p5 = b
p4
p1
p0 = a
p2
γ
p3
AbbildungR 0.13. Heuristische Denition des Wegintegrals !: approximiere durch einen Polygonzug von Punkten
P p0; :::; pN und bilde die
Riemann-Summe !pl (pl+1 pl).
34
0. Mathematische Grundlagen
! in den Punkten pl auf den Dierenzvektoren vlP:= pl+1 pl aus
(l = 0; :::; N 1) und bilde die Riemannsche
Summe Nl=0 1 !pl (vl ). VerR
feinere die Punktfolge und erklare ! als den Grenzwert, gegen den die
Summe im Limes N ! 1 konvergiert. Dieser Denitionsversuch enthalt etwas Richtiges, leidet aber unter mehreren Deziten: (1) Es bleibt ungeklart,
wie weit der Begri \Weg" gespannt ist. (Eine ordentliche Denition sollte
irregulare Wege, wo die Konvergenz der Summe gefahrdet ist, ausschlieen.)
(2) Die Wahl der Punktefolge p0 ; :::; pN und ihre Verfeinerung ware naher zu
spezizieren. (3) Von einem allgemeinen mathematischen Standpunkt ist es
unschon, da durch die Bildung der Dierenzvektoren pl+1 pl von der anen
Struktur Gebrauch macht wird. Man mochte die Integration von Dierentialformen auch fur Raume ohne solche Struktur erklaren. Um diese Mangel zu
beheben und potentiellem Benutzermibrauch vorzubeugen, benotigen wir
einige Denitionen.
Kurven und Tangentenvektoren. Wir ersetzen den Begri \Weg" durch den
Begri \Kurve". Unter einer Kurve verstehen wir ein Dupel = ([0; 1]; )
mit : [0; 1] ! U einer dierenzierbaren Abbildung. nennen wir eine Parametrisierung der Kurve . Beachte den Kunstgri, eine Kurve nicht als
eindimensionale Punktmenge, sondern als dierenzierbare Abbildung des Intervalls [0; 1] auf eine solche Menge, zu denieren. Damit wird sichergestellt,
da die Bildmenge, die uns als Integrationsweg dienen soll, genugend glatt
ist. Sei nun x 2 [0; 1] eine Zahl. Der Vektor
d (x + s 1)
0 (x) := (Dx )(1) := ds
s=0
heit ein Tangentenvektor der Kurve im Punkt p = (x). Die Gerade
durch (x) in Richtung von 0 (x) heit der Tangentialraum von im Punkt
p = (x).
Kurvenintegral. Das Integral einer 1-Form ! langs einer Kurve = ([0; 1]; )
wird folgendermaen erklart. Seien xl = l=N (l = 0; :::; N ) reelle Zahlen im
Intervall [0; 1]. Anstatt wie im obigen Versuch den Integrationsweg durch ein
Folge von Dierenzvektoren (xl+1 ) (xl ) (l = 0; :::; N 1) zu approximieren, verwenden wir jetzt die Tangentenvektoren (Dxl )(xl+1 xl ) (Abb. 0.14).
Die Riemannsche Summe
NX1
l=0
!(xl) (Dxl )(xl+1 xl )
strebt fur N ! 1 gegen einen endlichen Grenzwert. Die Denition
Z
! := Nlim
!1
NX1
l=0
!(xl) (Dxl )(xl+1 xl )
ist daher sinnvoll. Sie ist mit F (x) = !(x) (Dx )(1) aquivalent zu
0.14 Kurvenintegrale
35
φ
γ:
φ(xl+1 )
φ(x l)
xl
0
xl+1
( D xl φ ) (xl+1-x l )
1
Abbildung 0.14. Eine Kurve wird durch eine dierenzierbare Abbildung :
[0; 1] ! U beschrieben.
Mit den Tangentenvektoren vl = (Dxl )(xl+1P xl) ist das
R
Kurvenintegral ! deniert als der Grenzwert der Riemann-Summe !(xl) (vl ).
Z
!=
Z1
0
F (x)dx ;
wobei die rechte Seite als gewohnliches Riemannsches
Integral aufzufassen
ist. Beachte auch, da der Ausdruck !(x) (Dx )(1) identisch ist mit derR in
x auf e = 1 ausgewerteten 1-Form !. Die Berechnungsvorschrift fur !
lat sich deshalb wie folgt in Worte fassen: (1) Hole die 1-Form ! mittels
von U nach [0; 1] zuruck und setze ! = f dx. (2) Drucke die Funktion
fR : [0; 1] ! R durch x aus: f = F (x). (3) RBerechne das Riemannsche Integral
1
0 F (x)dx. Das Resultat ist dann gleich ! .
Beispiel 0.14.1. Im E2 mit kartesischen Koordinaten x und y und Ursprung
o soll das Integral der 1-Form A = xdy ydx langs des Einheitskreises S 1 =
fp 2 E2 jx2 (p)+ y2 (p) = 1g (mit Gegenuhrzeigersinn) berechnet werden. Dazu
parametrisieren wir S 1 durch : [0; 1] ! S 1 mit
(s) = o + ex cos(2s) + ey sin(2s) :
Das Dierential der Abbildung ist
(Ds )(1) = dtd (s + t)t=0 = 2ex sin(2s) + 2ey cos(2s) ;
und Zuruckholen der 1-Form A mittels ergibt
A = 2 cos2 (2s) + sin2 (2s) ds = 2ds :
Fur das Kurvenintegral folgt das Ergebnis
Z
S1
A = 2
Z1
0
ds = 2 :
Reparametrisierungsinvarianz. Die Denition des Kurvenintegrals erfordert
die Parametrisierung des Integrationsweges durch eine Abbildung : [0; 1] !
U . Nun ist aber durch einen vorgegebenen Integrationsweg keinesfalls eindeutig bestimmt, denn fur jede dierenzierbare Abbildung : [0; 1] ! [0; 1]
mit (0) = 0 und (1) = 1 beschreibt die Komposition : [0; 1] ! U
denselben Weg. Vor dem Hintergrund der anfangs versuchten heuristischen
36
0. Mathematische Grundlagen
Denition, die auf keinen Bezug nahm, erwarten
R wir naturlich, da es hierauf nicht ankommen sollte und das Integral ! unter der Ersetzung von durch seinen Wert behalt. Diese Invarianz unter Reparametrisierung
liegt in der Tat vor. Es gilt namlich nach der Kettenregel
(( ) !)x (1) = !( )(x) ((Dx ( ))(1))
= !( (x)) (D (x) )( 0 (x)) = F ( (x)) 0 (x) ;
und die Invarianz ergibt sich rechnerisch als Konsequenz der Substitutionsregel fur Riemannsche Integrale:
Z1
0
F (x)dx =
Z1
0
F ( (x)) 0 (x)dx :
Beachte, da die Substitutionsregel das monotone Anwachsen von (x) mit
0 (x) < 0 auf einem
x nicht als notwendige Voraussetzung hat, sondern
R
Teil von [0; 1] zulat. Fur das Kurvenintegral ! bedeutet dies, da auch
Parametrisierungen zulassig sind, die Kehrtwendungen machen und in der
Spur des Integrationsweges ein Stuck weit zurucklaufen.
Kovarianz unter Abbildungen. Aus der Reparametrisierungsinvarianz des
Kurvenintegrals folgt sofort sein kovariantes Verhalten unter Abbildungen.
Betrachte dazu Abb. 0.15, wo zwei Kurven und mit Parametrisierungen
U
V
f
δ
γ
ψ
φ
0
1
IR
Abbildung 0.15. Skizze zur Kovarianz des Kurvenintegrals
: [0; 1] ! U bzw. : [0; 1] ! V gezeigt sind. Der Weg der Kurve werde
durch f auf den Weg von in dierenzierbarer Weise abgebildet. BijektiFur eine 1-Form ! auf V betrachten wir
vitat wird von f Rnicht gefordert.
R
nun die Integrale ! und f !. Zu ihrer Berechnung holen wir ! und f !
nach Vorschrift mittels bzw. zuruck und integrieren sodann uber [0; 1].
Da f eine zu aquivalente Parametrisierung von ist und auerdem
(f !) = (f ) ! gilt, sind die Resultate nach Integration gleich. Es folgt
also mit = f ( ) := ([0; 1]; f ) das Ergebnis
Z
f ( )
!=
0.14 Kurvenintegrale
Z
37
f ! :
R
Beispiel 0.14.2. Sei das Kurvenintegral der Winkel-1-Form = (x2 +
y2 ) 1 (xdy ydx) langs des in Abb. 0.16 skizzierten Integrationsweges in E2 n
fog. Um dieses Kurvenintegral zu berechnen, bedienen wir uns der Abbildung
f , die jedem Punkt a auf dem Einheitskreis S 1 um o den Schnittpunkt f (a)
der Geraden fo + s(a o)js 2 Rg mit dem Integrationsweg zuweist. Aus
Aufgabe 0.9.2 ist uns bekannt, da in ebenen Polarkoordinaten r; den
Ausdruck = d hat. Hiermit und mit der Rechenregel f d = d f holen
wir mittels f nach S 1 zuruck: f = f (d) = d(f ) = d( f ). Da f lokal
eine Streckungin Radialrichtung ist, die den Polarwinkel ungeandert lat,
folgt f = dS (Einschrankung auf S 1 ), und das zu berechnende Integral
hat den Wert
Z
1
=
Z =2
0
d = =2 :
f(a)
f
a
γ
E2
o
Einheitskreis S1
Abbildung 0.16. Skizze zu Beispiel 0.14.2
Integrieren ist die Umkehrung von Dierenzieren. Sei f eine dierenzierbare
Funktion und = ([0; 1]; ) eine Kurve vom Punkt a = (0) zum Punkt
b = (1). Per obiger Denition
ist das Integral des Dierentials von f langs R
1
durch das Riemann-Integral 0 F (x)dx mit F (x) = ( df )(@x ) gegeben. Die
Rechenregel d = d zeigt, da der Integrand eine Ableitung ist:
d ( f ) = d (f ) :
F (x) = (d f )(@x ) = dx
dx
Nach dem Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung folgt daher
Z
df = f ((1)) f ((0)) = f (b) f (a) :
38
0. Mathematische Grundlagen
0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3
Perspektive. Bei der Einfuhrung des Kurvenintegrals von 1-Formen haben
wir mit einer heuristischen Diskussion begonnen und im Anschlu daran die
mathematisch einwandfreie Denition gegeben. Aus didaktischen Grunden
werden wir fur Flachen- und Volumenintegrale von 2- bzw. 3-Formen im
E3 genauso vorgehen. Im laufenden Abschnitt prasentieren wir einen heuristischen Zugang, der sich durch Anschaulichkeit auszeichnet und ein unmittelbares Verstandnis der Eigenschaften des Integrals eronet. Die exakte
Formulierung folgt dann in Abschn. 0.16.
Orientierung von Flachen im E3 . Unser erstes Ziel ist es zu erklaren, was
man sich unter dem Flachenintegral einer 2-Form im dreidimensionalen Euklidischen Raum vorzustellen hat. (Mit dem Wort \Flache" ist hier das gemeint, was man intuitiv darunter versteht, namlich eine \glatte" zusammenhangende Punktmenge, die lokal durch zwei Koordinaten beschrieben
werden kann. RDazu erinnern wir zunachst an die heuristische Denition des
Wegintegrals in Abschn. 0.14. Wir hatten dort im ersten Schritt den
Weg durch einen Polygonzug angenahert, dann die Vektoren des Polygonzuges in die entsprechenden Ausdrucke fur eingesetzt und schlielich die
Riemann-Summe der resultierenden Werte und ihren Grenzwert gebildet. Wie
man diese Konstruktion auf das Flachenintegral einer 2-Form ! zu verallgemeinern hat, liegt auf der Hand: wir approximieren die Integrationsache S
durch viele kleine Flachenstucke (z.B. Dreiecke), setzen die Kantenvektoren
der Flachenstucke in ! ein und gehen dann wieder zum Limes der RiemannSumme uber. Im Vergleich zum Wegintegral kommt jedoch als neuer Aspekt
hinzu, da an jedem Diskretisierungspunkt p jetzt zwei Vektoren (sagen wir
u und v) einzusetzen sind, und wir wegen des alternierenden Vorzeichens von
!p (u; v) = !p (v; u) entscheiden mussen, welche Reihenfolge des Einsetzens
(u; v oder v; u) die richtige ist. Diese Entscheidung wird ganz allgemein durch
die Orientierung (Abschn. 0.3 und 0.16) der Flache getroen, d.h. durch eine
Vorschrift, die zwischen positiv und negativ orientierten Paaren von linear
unabhangigen und zu S tangentialen Vektoren zu unterscheiden gestattet. Im
E3 mit seinen speziellen Eigenschaften konnen wir die Orientierung durch ein
stetiges Normalenvektorfeld7 n zusammen mit der Rechte-Hand-Regel xieren: wir erklaren ein Vektorenpaar u; v im Punkt p 2 S als positiv oder
\richtig" orientiert, falls u und v (in dieser Reihenfolge) mit dem Normalenvektor n(p) ein rechtshandiges System bilden. Fur unsere gegenwartigen
Zwecke ist eine orientierte Flache im E3 also ein glattes zusammenhangendes
zweidimensionales Gebiet mit einem stetigen Normalenvektorfeld.8
7
Die globale Existenz eines stetigen Normalenvektorfeldes setzt die \Orientierbarkeit" der Flache voraus. Nicht alle Flachen sind orientierbar. Ein Beispiel fur
eine nichtorientierbare Flache ist das beruhmte Mobiusband.
8 Beachte, da die Eigenschaft des Senkrechtstehens des Normalenvektors auf der
Flache nicht wesentlich ist. Ein anderes, stetiges und nirgendwo zur Flache tangentiales Vektorfeld wurde denselben Zweck erfullen.
0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3
39
Flachenintegral durch Triangulation. Die folgende anschauliche Konstruktion bietet sich jetzt an. Wir uberziehen die orientierte Flache S mit einem
Netz von auf S liegenden Punkten. Wie in Abb. 0.17 illustriert ist, konnen
wir das Netz auch als Triangulation, d.h. als ein Paster aus ebenen Drei-
S
Abbildung 0.17. Triangulation einer Flache
ecken auassen. (Beachte, da ein Paster aus ebenen Vierecken nicht ohne
weiteres moglich ist, da vier Punkte im allgemeinen nicht in einer Ebene liegen.) Jedes Dreieck des Pasters wird durch einen Basispunkt p und ein
positiv orientiertes Paar von Kantenvektoren uP
und v charakterisiert. Damit betrachten wir nun die Riemann-Summe !p (u ; v ) =2. Ihr Wert
hangt u.a. von der nicht eindeutigen Wahl des Basispunkts fur jedes Dreieck
ab. Allerdings ist der Unterschied fur hinreichend kleine Dreiecke (u = u,
v = v) wegen der alternierenden Eigenschaft
!p (u; v) = !p (v u; u) = !p ( v; v + u)
und der Stetigkeit von !,
!p (u; v) = !p+u (u; v) + O(3 ) = !p+v (u; v) + O(3 ) ;
von vernachlassigbarer Groenordnung O() nach Summation. (Siehe hierzu
auch Abb. 0.20.) Deshalb ist es vernunftig zu erwarten, da die RiemannSumme unter Verfeinerung der Triangulation gegen einen eindeutigen Grenzwert konvergiert.
Dieser Grenzwert ist genau das zu denierende FlacheninR
tegral S !:
Z
S
! = lim
X
!p (u ; v ) =2 :
Der Faktor 1/2 wird z.B. durch die Beobachtung motiviert, da der Wert
!p (u; v) fur ! = dx ^ dy gleich der Flache der xy-Projektion des von u und
v aufgespannten Parallelogramms ist. Um die Flache des Dreiecks (anstelle
des Parallelogramms) zu erhalten, mussen wir durch 2 dividieren.
Kovarianz unter Abbildungen. Zusatzlich zu S U sei nun eine zweite Flache
S 0 U 0 gegeben, die sich als Bild von S unter einer orientierungstreuen
Abbildung : U ! U 0 darstellen lat. Dann gilt
Z
(S )
!=
Z
S
! ;
40
0. Mathematische Grundlagen
wie man auf folgende Weise leicht einsieht. Sei fp ; u ; v g eine Triangulation von S . Dann ist das Bild f(p ); (p + u ) (p ); (p + v ) (p )g
eine Triangulation von S 0 . Per Denition des Zuruckholens von Dierentialformen gilt
( !)p (u ; v ) = !(p ) ((Dp )(u ); (Dp )(v )) ;
und mit der Taylorentwicklung
(Dp )(v) = (p + v) (p) + O(2 )
erhalten wir naherungsweise
( !)p (u ; v ) =
!(p ) ((p + u ) (p ); (p + v ) (p )) + ::: :
Nach Summation uber alle Dreiecke des Pasters und anschlieender
VerfeiR ! und
die
nerung der Triangulation
konvergiert
die
linke
Seite
gegen
2
S
R
rechte Seite gegen 2 (S)=S0 !. Das Flachenintegral einer 2-Form verhalt sich
also kovariant unter Abbildungen, wie behauptet.
Berechnung durch Parametrisierung. Die heuristische Denition des Flachenintegrals per Triangulation hat den Vorzug, anschaulich und frei von mathematischem Ballast zu sein. Fur praktische Berechnungen eignet sie sich allerdings nicht. Zu diesem Zweck ist es besser, die Flache geeignet zu parametrisieren. Wir illustrieren das Prinzip am Beispiel eines zweidimensionalen Quaders, d.h. einer Flache Q, die sich als Bild des Einheitsquadrats [0; 1]2 unter
einer dierenzierbaren und orientierungstreuen AbbildungR darstellen
R lat.
Das Zuruckholen von ! mittels resultiert in der Formel Q ! = [0;1] !.
Es seien nun es ; et eine Basis von R2 und s; t die entsprechenden Koordinaten
fur das Einheitsquadrat (0 s; t 1). Das Integral der zuruckgeholten Form
! ist dann identisch mit dem gewohnlichen iterierten Riemann-Integral der
Funktion F (s; t) := ( !)(@s ; @t ):
2
Z
Q
!=
Z
[0;1]2
! =
Z 1 Z 1
0
0
F (s; t)dt ds :
In der Tat haben wir die Koordinatendarstellung
! = ( !)(@s ; @t )ds ^ dt = F (s; t)ds ^ dt ;
und indem wir das Einheitsquadrat so triangulieren, da Paare benachbarter Dreiecks sich jeweils zu einem kleinen Quadrat zusammenfassen lassen
(\Quadrangulation"), erhalten wir
Z
[0;1]2
! = Nlim
!1
NX1
m;n=0
2
= Nlim
!1 N
wie behauptet.
F (m=N; n=N )(ds ^ dt)(m=N;n=N ) (es =N; et =N )
NX1
m;n=0
F (m=N; n=N ) =
Z 1 Z 1
0
0
F (s; t)dt ds ;
0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3
41
Beispiel 0.15.1. Im E3 mit dem kartesischen Koordinatensystem fo; ex; ey ; ez g
wollen wir die Raumwinkelform
= (x2 + y2 + z 2 ) 3=2 (xdy ^ dz + ydz ^ dx + z dx ^ dy)
uber die Einheitssphare S := fp 2 E3 jx2 (p) + y2 (p) + z 2 (p) = 1g integrieren.
Von den vielen Moglichkeiten der Parametrisierung fur S wahlen wir hier die
der stereographischen Projektion, die folgendermaen erklart ist. Seien o + ez
Nordpol
a
E2
φ(a)
o
S
..
Sudpol
Abbildung 0.18.
Stereographische Projektion a 7! (a)
und o ez der Nordpol bzw. Sudpol der Sphare S . Die zu S tangentiale
Ebene durch den Nordpol bezeichnen wir mit E2 . Dann denieren wir eine
Abbildung : E2 ! S , indem wir jedem Punkt a 2 E2 den Schnittpunkt (a)
mit S der a mit dem Sudpol verbindenden Geraden zuordnen (Abb. 0.18).
Elementargeometrische Betrachtungen ergeben die explizite Formel
8ez
(a) = o ez + 4x(a4)+exx+2 (4ay) (+a)ye2y(+
a) :
Die mittels zuruckgeholte Raumwinkelform hat die Koordinatendarstellung
2
= (4 4+dxx2 ^+dyy2 )2 :
Folglich berechnet sich der gesamte Raumwinkel zu
Z 1 Z 1
Z
Z
dy
d
x
^
d
y
dx
= 16 (4 + x2 + y2 )2 = 16
E
S
Z 11 dx1 (4 + x2 + y2)2
= 8
= 4 :
p
1 4 + x2 3
Rand einer orientierten Flache im E3 . Wir verstehen intuitiv, was mit dem
\Rand" einer Flache im dreidimensionalen Raum gemeint ist. Der Rand einer
Kreisscheibe ist eine Kreislinie, der Rand eines Dreiecks besteht aus drei
Geradenstucken, der Rand eines Quadrats aus vier gleichen Kanten usw.
Daruber hinaus ist hier festzustellen, da durch die Orientierung der Flache
auch eine Orientierung auf den Randstucken induziert wird: im E3 bestimmt
2
42
0. Mathematische Grundlagen
das Normalenvektorfeld der orientierten Flache zusammen mit der RechteHand-Regel einen Drehsinn (Abb. 0.19a), der seinerseits eine Laufrichtung
oder Orientierung fur die Randstucke festlegt (Abb. 0.19b). Der orientierte
Rand einer Flache S wird mit dem Symbol @S bezeichnet.
(a)
(b)
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
D
D
1111111111111111
0000000000000000
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
∆
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
0000000000000000
1111111111111111
∆
11111111111111
00000000000000
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
Q
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
00000000000000
11111111111111
Q
Abbildung 0.19. Teil (b) zeigt den orientierten Rand @S der im E3 durch ihr
Normalenvektorfeld orientierten Flache S von Teil (a).
Satz (Stokes). Ist S eine orientierte Flache mit Rand @S , dann gilt fur jede
dierenzierbare 1-Form !
Z
@S
!=
Z
S
d! :
Beweis (heuristisch). Wir spalten die Flache in zwei angrenzende und gleichorientierte Teile auf: S = S1 + S2 . Gilt der RSatz furRS1 und RS2 separat, so
gilt er wegen der Linearitat des Integrals ( S ! + S ! = S !) und der
Operation der Randbildung (@S1 + @S2 = @S ) auch fur die Summenache
S = S1 + S2. Da wir S in beliebig guter Naherung durch ein Paster winziger
ebener Dreiecke approximieren konnen, genugt es folglich, den Beweis fur ein
Dreieck mit Basispunkt p und Kantenvektoren u und v im Limes ! 0
zu fuhren. Betrachte hierzu Abb. 0.20. Das Randintegral ist
1
Z
@
!=
Z
1
!+
Z
2
!+
Z
3
!
2
0.15 Flachen- und Volumenintegrale im E3
Z
!p+su (u) + !p+sv ( v) + !p+u+s(v
=
Z0
=
!p+u su (u) !p+u+s(v u) (u)
0
u) (v
43
u) ds
!p+v sv (v) + !p+v+s(u v) (v) ds ;
wobei fur das dritte Gleichheitszeichen Variablensubstitutionen (wie s 7!
1 s) und die Linearitat von Linearformen benutzt wurden. Nun haben wir
nach Taylor:
!p+v+s(u v) !p+v sv = (Dp !)(su) + O(2 ) ;
!p+u+s(v u) + !p+u su = (Dp !)(sv) + O(2 ) :
R
Mit 0 sds = 2 =2 folgt
Z
2
2
! = 2 ((Dp !)(u)) (v) 2 ((Dp !)(v)) (u)
@
2
= 2 (d!)p (u; v) + O(3 ) :
Das zweite Gleichheitszeichen erkennt das antisymmetrisierte Dierential von
! als die auere Ableitung d!. Auf der anderen Seite gilt aufgrund der Denition des Flachenintegrals per Triangulation
Z
d! = (d!)p (u; v)=2 + O(3 ) :
R
R
Vergleich der genaherten Ausdrucke fur @ ! und d! zeigt, da sie mit
der erforderlichen Genauigkeit (O(3 ), oder O() nach Summation uber eine
Zahl von 2 Dreiecken) ubereinstimmen. MERKE: die auere Ableitung d
ist genau so deniert, da der Stokessche Satz gilt.
(a)
p +εv
εv
∆
p
ε (v-u)
εu
p +εu
(b)
γ2
γ3
γ1
Abbildung 0.20. Skizze zum Beweis des Stokesschen Satzes
Hier fehlt noch einiges zum Thema Volumenintegrale... Ben
otigt
wird auch mehr Diskussion der Randoperation (Linearit
at und
=
0)... Auch: Differentialform ist die infinitesimale Version des Integrals...
Nat
urlichkeit der Cartan-Ableitung stark betonen (in MERKE...)
@ @
44
0. Mathematische Grundlagen
0.16 Integration von Dierentialformen
Vorbereitung. In Abschn. 0.14 haben wir das Kurvenintegral einer 1-Form
unter Zuhilfenahme einer Parametrisierung : [0; 1] ! U erklart. Dieses
Vorgehen lat sich verallgemeinern und fuhrt zur Denition des Integrals
von k-Formen uber k-dimensionale Gebiete. Um zum Beispiel eine 2-Form
uber eine Flache S U zu integrieren, wahlen wir eine Parametrisierung
von S durch : [0; 1] [0; 1] ! U , werten ! in den Punkten von S auf
Paaren von Tangentenvektoren aus und berechnen wieder den Grenzwert
einer Riemannschen Summe. Um zu entscheiden, in welcher Reihenfolge die
Tangentenvektoren einzusetzen sind, benotigen wir eine Orientierung, d.h.
eine Vorschrift, die zwischen richtig und falsch orientierten Systemen von
Tangentenvektoren unterscheidet.
k-Zellen. Das Gesagte motiviert die folgende k-dimensionale Verallgemeinerung einer Kurve. Sei U ein n-dimensionales Gebiet. Wir denieren eine kZelle in U als ein Tripel ([0; 1]k ; ; ), bestehend aus dem k-dimensionalen
Einheitskubus [0; 1]k := [0; 1] ::: [0; 1] (k-faches direktes Produkt) in Rk ,
einer dierenzierbaren Abbildung : [0; 1]k ! U , und einer Orientierung von Rk . Diese Denition ist fur k = 2 und n = 3 in Abb. 0.21 illustriert.
Auerdem verabreden wir, da unter einer 0-Zelle in U ein Punkt von U zu
verstehen ist.
φ
U
1
γ:
σ
IR2
1
Abbildung 0.21. Zur Denition von k-Zellen
Das Integral einer k-Form uber eine k-Zelle.
R Fur k 1 sei ! eine k-Form auf
U und eine k-Zelle in U . Das Integral ! ist durch die folgende Berechnungsvorschrift deniert. (1) Hole ! mittels nach Rk zuruck. (2) Drucke
0.16 Integration von Dierentialformen
45
! durch die kanonischen Koordinatenfunktionen xi : Rk ! R (i = 1; :::; k)
aus:
! =: f dx1 ^ ::: ^ dxk ; f =: F (x1 ; :::; xk ) :
(3) Berechne das k-dimensionale Riemannsche Integral
Z 1 Z 1 Z 1
0
0
:::
0
F (x1 ; x2 ; :::; xk )dxk ::: dx2 dx1 :
R
Die resultierende Zahl ist gleich dem Wert von !. Zu dieser Denition
ist folgendes zu bemerken. (1) Die Orientierung der k-Zelle legt eine
Reihenfolge der Faktoren in dx1 ^ ::: ^ dxk und somit das Vorzeichen der
Funktion f fest. (2) Das iterierte Riemannsche Integral lat nach dem Satz
von Fubini eine beliebige Reihenfolge fur die Ausfuhrung der einzelnen Integrationen zu. (3) Injektivitat von wird nicht gefordert. Die Bildmenge
([0; 1]k ) darf sich selbst
R kreuzen oder in sich falten. (4) Wie schon im Fall
k = 1 ist das Integral ! unter einer orientierungstreuen Reparametrisierung der k-Zelle invariant. Dies wird durch den Transformationssatz fur
k-dimensionale Riemannsche Integrale garantiert. (5) Als Konsequenz der
Reparametrisierungsinvarianz folgt auch hier sofort
Z
f ( )
!=
Z
f !
fur jede dierenzierbare Abbildung f und f ( ) = ([0; 1]k ; f ; ).
Beispiel 0.16.1. Sei die in Aufgabe 0.10.2 eingefuhrte Raumwinkel-Form
auf E3 fog. Es soll hier das Integral von uber die um o zentrierte Einheitssphare S berechnet werden. Dazu parametrisieren wir S durch
f : [0; ] [0; 2] ! E3 ;
(; ') 7! o + sin cos ' e1 + sin sin ' e2 + cos e3 :
In spharischen Polarkoordinaten ~; '~ gilt bekanntlich = sin ~d~ ^ d'~. (Um
unnotige Verwirrung zu vermeiden, unterscheiden wir in der Notation zwischen ~; '~ : E3 ! R und = ~ f , ' = '~ f : [0; ] [0; 2] ! R.) Die
mittels f zuruckgeholte Form f hat somit den Ausdruck
f = f (sin ~d~ ^ d'~) = sin d ^ d' ;
und es folgt
Z
S
=
Z
[0;][0;2]
sin d ^ d' =
Z 2 Z 0
0
sin d d' = 4 :
46
0. Mathematische Grundlagen
k-Kette. Ein wesentliches Element in der Denition des Begries k-Zelle ist
die Dierenzierbarkeit der Abbildung . Diese Eigenschaft
R garantiert die Existenz von ! und somit die Existenz des Integrals !. Nun ist aber die
Forderung der Dierenzierbarkeit von fur viele Zwecke unbequem. Zum
Beispiel konnten wir uns fur das Integral einer 2-Form uber den Rand eines
Wurfels oder Zylinders im E3 interessieren. Ein solcher Rand hat Kanten und
lat sich folglich nicht als Bild von [0; 1] [0; 1] unter einer dierenzierbaren
Abbildung darstellen. Es bedarf daher einer weiteren Verallgemeinerung. Motiviert durch die Beobachtung, da ein \kantiger Rand" sich aus mehreren
glatten Teilen zusammensetzt, vereinbaren wir die folgende Denition. Eine
Kette c der Dimension k (kurz: k-Kette c; engl. \k-chain") ist eine Linearkombination von k-Zellen 1 ; :::; m mit reellen Koezienten r1 ; :::; rm . In
Formeln schreiben wir
c = r1 1 + ::: + rm m :
Eine 0-Kette c ist eine Linearkombination c = r1 a1 + ::: + rm am von Punkten
a1 ; :::; am .
Beispiel 0.16.2 (Der Rand einer k-Zelle). Wir kommen gleich zu einer praktisch wichtigen Anwendung des Kettenbegris. Gegeben sei fur k > 1 eine
k-Zelle = ([0; 1]k ; ; ). Der k-dimensionale Einheitskubus [0; 1]k (gemeint
ist hier das \Urbild" der k-Zelle) hat 2k Seitenachen, deren jede sich als
(k 1)-dimensionaler Einheitskubus im Rk 1 auassen lat. Ist Sj = [0; 1]k 1
eine dieser Seitenachen, so bezeichnen wir die Einschrankung der Abbildung
auf Sj mit j (j = 1; :::; 2k). Eine Orientierung j auf Sj erklaren wir wie
folgt. Sei n ein nach auen gerichteter Normalenvektor von Sj . (Fur diesen
Schritt wird Rk in der ublichen Weise als orientierter Euklidischer Vektorraum aufgefat.) Dann deklarieren wir eine geordnete Basis e1 ; :::; ek 1 der Sj
enthaltenden (k 1)-dimensionalen Hyperebene als positiv orientiert, wenn
das System n; e1 ; :::; ek 1 bezuglich positiv orientiert ist. Nach diesen Vorbereitungen denieren wir nun den Rand @ der k-Zelle als die Summe der
(k 1)-Zellen (Sj ; j ; j ) mit reellen Koezienten +1:
@ =
2k
X
j =1
([0; 1]k 1 ; j ; j ) :
Siehe dazu Abb. 0.22. Fur den Spezialfall k = 1 denieren wir @ als die aus
dem Endpunkt b und dem Anfangspunkt a der Kurve bestehende 0-Kette
mit reellen Koezienten +1 bzw. 1: @ = b a. (Achtung! Verwechsle die
0-Kette b a nicht mit dem Dierenzvektor
P b a zweier Punkte eines anen
Raumes.) Der Rand @c einer Kette c = ri i wird per Linearitat erklart:
@c = @ (r1 1 + ::: + rm m ) :
Aufgabe 0.16.1. Zeige, da der Rand des Randes einer jeden k-Kette verschwindet: @@c = 0.
0.17 Allgemeiner Satz von Stokes
47
1
γ
IR2
1
Abbildung 0.22. Der Rand der k-Zelle von Abb. 0.21
Denition 0.8. FP
ur k 1 denieren wir das Integral einer k-Form ! uber
eine k-Kette c = ri i durch
Z
c
! = r1
Z
1
! + ::: + rm
Z
m
!:
Das \Integral" einer Funktion f uber eine 0-Kette r1 a1 + ::: + rm am ist ganz
einfach die Linearkombination der Funktionswerte an den Punkten a1 ; :::; am :
Z
r1 a1 +:::+rm am
f := r1 f (a1 ) + ::: + rm f (am) :
Damit haben wir nun einen Integralbegri, der genugend elastisch ist, um
alle fur uns interessanten Anwendungen in der Physik zu erfassen.
Beispiel 0.16.3. Vielleicht ware hier noch ein Beispiel angebracht?
(Volumen und Oberfl
ache eines Torus im dreidimensionalen Raum?)
Irgendwo (vielleicht am besten hier) wird noch ein Abschnitt 
uber
gerade und ungerade Differentialformen (oder Dichten) ben
otigt. Dabei
w
are auch auf den Unterschied zwischen innerer und 
auerer Orientierung
einzugehen.
0.17 Allgemeiner Satz von Stokes
Motivation (heuristisch). Es sei U ein n-dimensionales Gebiet, und k (U )
bezeichne wie immer den Raum der k-Formen auf U . k (U ) ist ein linearer
Raum unendlicher Dimension uber dem reellen Zahlenkorper R. Eine k-Kette
c in U lat sich als Abbildung
c : k (U ) ! RR ;
! 7! c ! =: c(!)
auassen. Wegen der Linearitat des Integrals gelten fur x; y 2 R und ; 2
k (U ) die Gleichungen
48
0. Mathematische Grundlagen
Z
Z
Z
c(x + y ) = (x + y ) = x + y = xc() + yc( ) ;
c
c
c
d.h. c ist ebenfalls linear. In seiner Eigenschaft als lineare Funktion auf
k (U ) ist c ein Element des Dualraums von k (U ). Dieser Dualraum ist
zwar wie k (U ) unendlich-dimensional, trotzdem durfen wir getrost seine
Existenz unterstellen. (Eine prazise Denition wurde die Spezikation der
Dierenzierbarkeits- und Tragereigenschaften der Elemente von k (U ) erfordern. Dieser Muhe wollen wir uns hier nicht unterziehen, sondern einfach
die vernunftige Annahme machen, da k (U ) und sein Dualraum mathematisch sauber deniert werden konnen.) Er heie k (U ) := k (U ) . Nun
erinnern wir an den folgenden, aus der linearen Algebra wohlbekannten Sachverhalt. Sind uns zwei lineare Raume V und W und eine lineare Abbildung
A : V ! W gegeben, so haben wir immer auch eine Abbildung A : W ! V der Dualraume durch (A !)(v) = !(Av). Die Abbildung A existiert ungeachtet der Dimension von V und W , sofern nur A wohldeniert ist. Eine interessante Konsequenz ergibt sich, wenn wir V = k (U ) und W = k+1 (U )
setzen und A mit der aueren Ableitung d : k (U ) ! k+1 (U ) identizieren.
Es resultiert dann ein Operator d , der (k + 1)-Ketten auf k-Ketten abbildet
und durch (d c)(!) = c(d!) deniert ist. Kehren wir jetzt zur Schreibweise
von c(!) als Integral zuruck, so haben wir
Z
c
d! =
Z
d c
!:
In andereren Worten: wir erwarten aus ganz allgemeinen Grunden, da das
Integral der aueren Ableitung einer k-Form ! uber die (k +1)-Kette c gleich
dem Integral von ! uber eine k-Kette d c ist. Es ware a priori denkbar, da
d hochpathologische Eigenschaften hat. Da dem nicht so ist, sondern d
sich gutartig verhalt und d c mit dem Rand @c von c zusammenfallt, ist die
Aussage des folgenden Satzes. (Ende der Motivation.)
Satz 0.2 (Allgemeiner Stokesscher Satz). Sei U ein n-dimensionales Gebiet,
! eine k-Form auf U und c eine (k + 1)-Kette in U . Dann ist das Integral der
exakten Form d! uber c gleich dem Integral von ! uber den Rand @c:
Z
c
d! =
Z
@c
!:
Bemerkungen. (1) Zur Formulierung von Satz 0.2 hat eine Vielzahl von Mathematikern beigetragen, und er heit ausfuhrlich der Satz von NewtonLeibniz-Gauss-Green-Ostrogradskii-Stokes-Poincare. Da man ihn heute kurz
nach Stokes benennt, ist eine Konvention, die der historischen Entwicklung
nicht vollig gerecht wird. (2) Aus der in der Physik traditionellen Vektoranalysis im dreidimensionalen Euklidischen Raum sind drei Spezialfalle von
Satz 0.2 bekannt. Es sind dies die Integralsatze fur das Wegintegral des Gradienten einer Funktion, das Flachenintegral der Rotation eines Vektorfeldes
0.17 Allgemeiner Satz von Stokes
49
(\Satz von Stokes") und das Volumenintegral der Divergenz eines Vektorfeldes (\Satz von Gauss"). Beachte allerdings, da Satz 0.2 im Unterschied zu
den drei genannten Integralsatzen keinerlei Gebrauch von einer metrischen
Struktur (Euklidisch oder anders) macht.
Beweis von Satz 0.2. Um Satz 0.2 zu beweisen, ist es wegen der Invarianz des Integrals unter pullback ausreichend, den Beweis fur den Fall zu
fuhren, da die Kette c aus einem einzigen (k + 1)-dimensionalen Kubus
= ([0; 1]k+1 ; ; ) in U besteht. Dieser Kubus habe Basispunkt p und Kantenvektoren se1; :::; sek+1 (s 2 R):
: [0; 1]k+1 ! U ; P
+1 t e :
(t1 ; :::; tk+1 ) 7! p + s kj=1
j j
Der Kubus lat sich in viele kleine Teilkuben i (i = R1; :::; N k+1 ) partitionieren, siehe Abb. 0.23, und per Linearitat von Integral und Randoperator
@ gilt
Z
d! =
XZ
i
i
d!
und
Z
@
!=
XZ
@i
i
!:
φ
s e2
γ:
:
s e1
N Stucke
Abbildung 0.23.
p
Zum Beweis von Satz 0.2 reicht es daher, den reellen Zahlenfaktor s klein zu
wahlen und alle Integrale in fuhrender Approximation in s zu berechnen. Der
Rand @ besteht aus 2(k +1) Kuben 1 ; :::; k+1 ; 1 0 ; :::, k+1 0 der Dimension
k. Der k-Kubus j (j 2 f1; :::; k + 1g) hat Basispunkt p und Kantenvektoren
se1 ; :::, sej 1 ; sej+1 ; :::; sek+1 , der k-Kubus j 0 hat Basispunkt p + sej und
dieselben Kantenvektoren wie j . Wir betrachten jetzt speziell j = 1. Unter
Berucksichtigung der Orientierung von 1 und 1 0 haben wir per Denition
des Integrals die Formel
50
0. Mathematische Grundlagen
Z
1 +1
!=
0
Z 1 Z 1
:::
0
0
!p+se +s Pi> ti ei
1
2
!p+s Pi> ti ei (se2 ; :::; sek+1 ) dtk+1 ::: dt2 :
P
Die Dierenz !p+se +sv !p+sv (mit v = i>2 ti ei ) wird in fuhrender Approximation durch (Dp !)(se1 ) genahert. Nach dieser Naherung sind die Integrale
uber t2 ; :::; tk+1 trivial, und ihre Ausfuhrung ergibt
2
1
Z
1 +1
! = sk+1 (Dp !)(e1 ) (e2 ; :::; ek+1 ) + O(sk+2 ) :
0
Das Integral von ! uber j + j 0 fur j 2 f2; :::; k + 1g wird analog berechnet.
Aufsummieren aller Randintegrale fuhrt zu dem Zwischenergebnis
Z
@
!=
sk+1
kX
+1 Z
j =1 j +j 0
kX
+1
j =1
!=
( 1)j 1 (Dp !)(ej ) (e1 ; :::; ej 1 ; ej+1 ; :::; ek+1 ) + O(sk+2 ) :
Der Ausdruck auf der rechten Seite lat sich, wie man durch Vergleich mit der
Denition der aueren Ableitung in Abschn. 0.11 sieht, auch folgendermaen
schreiben:
Z
! = sk+1 (d!)p (e1 ; :::; ek+1 ) + O(sk+2 ) :
@
Damit ist Satz 0.2 bewiesen, denn die rechte Seite der letzten
R Gleichung ist
gerade gleich der fuhrenden Approximation fur das Integral d!.
0.18 Lie-Ableitung
Gegeben sei auf einem Gebiet U An ein Vektorfeld
X : U ! Rn ;
a 7! X (a) :
Der Flu des Vektorfeldes, : U R ! U , (a; s) 7! s (a) wird bestimmt
durch die Dierentialgleichung 1. Ordnung
d
ds s (a) = X (s (a))
mit der Anfangsbedingung s=0 = id. Insbesondere gilt
d (a) = X (a) :
ds s s=0
0.18 Lie-Ableitung
Beispiel 0.18.1.
51
In der klassischen Mechanik hat man das Hamiltonsche
Vektorfeld H = (
)q (
) p . Die Gleichung _ t ( ) = ( t ( ))
ist in diesem Fall eine andere Schreibweise f
ur die kanonischen Bewegungsgleichungen
_=
und _ =
. Der Flu (mit
gleich der Zeit ) beschreibt
dann die dynamische Zeitentwicklung. F
ur den harmonischen Oszillator
[ = ( 2 + 2 ) 2] ist
= q
p und t ist eine Drehung in der
-Ebene (Phasenraum) um den Drehwinkel 2
( ist die Oszillatorperiode).
X
q @H=@p
H
qp
p
@H=@p @
@H=@q @
a
p @H=@q
q =
X p@
s
q@
X a
t
t=T T
Denition 0.9 (Lie-Ableitung). Ist ! eine k-Form und s der Flu des Vektorfeldes X , dann wird die Lie-Ableitung LX ! von ! deniert durch
d ! :
LX ! := ds
s s=0
Interpretation. ``Fischer-Ableitung''... Die Lie-Ableitung einer Funktion f fallt mit der Richtungsableitung: zusammen:
d f = d f = (df )(X ) = (i d)f :
LX f = ds
X
s s=0
s s=0 ds
Satz 0.3 (Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung).
LX = iX d + d iX :
Beweisskizze.
1. Man zeigt zunachst, da LX eine Derivation der Algebra von Dierentialformen ist, d.h. der Leibnizregel genugt:
d ( ^ )
LX ( ^ ) = ds
s
s=0
d
= ds (s ^ s ) s=0 = (LX ) ^ + ^ (LX ) :
2. Dann beweist man durch explizites Rechnen und Anwenden der Produktregeln fur die Cartan-Ableitung und das innere Produkt, da iX d + diX
ebenfalls eine Derivation ist.
3. Wegen 1. und 2. genugt der Nachweis des Hauptsatzes fur Funktionen f
und 1-Formen dg:
a) iX f := 0 ) LX f = iX df = (iX d + diX )f :
b)
d (dg) = d d ( g) LX (dg) = ds
s=0 ds s s=0
s
= d (iX dg) = (d iX ) (dg) = (diX + iX d) (dg) :
Beispiel 0.18.2. Ein Geschwindigkeitsvektorfeld v mit Flu ft g beschreibe
eine zeitunabhangige Stromung, die elektrische Ladungen mit sich tragt und
auf diese Weise eine Stromdichte j bewirkt:
Es folgt eine Relation fur die Ladungsdichte :
52
0. Mathematische Grundlagen
D φt,p (u3 )
D φt,p (u2 )
Fluss
u2
u3
φt (p)
p
u1
D φt,p (u1 )
Abbildung 0.24.
p (u1 ; u2 ; u3 ; 0) = t (p) Dt;p (u1 ); : : : ; t
oder kurz p (: : : ; 0) = t p (: : : ; t). Dierenzieren nach der Zeit ergibt
d 0 = @
@t t=0 + dt t t=0
oder _ + Lv = 0. (In dieser dierentiellen Form ist die Gleichung auch
fur zeitabhangige Vektorfelder und beliebige Zeiten gultig.) Mit Lv =
(div + iv d) = d(iv ) und iv = j (Stromdichte) folgt dann die Kontinuitatsgleichung _ + dj = 0 (siehe Abschn. 1.2).
Beispiel 0.18.3.
Induktion in einer bewegten Schleife
0.19 Stromformen und Stromlinien
Motivation. In der Physik begegnen wir zuweilen Funktionen und Dierentialformen, die Singularitaten aufweisen. Zum Beispiel ist die elektrische Fludichte eines punktformigen geladenen Teilchens singular am Ort des Teilchens. Die Cartan-Ableitung einer solchen Dierentialform ist a priori nicht
deniert, was den unangenehmen Eekt hat, das Rechnen recht beschwerlich zu machen. Beim Integrieren geht man typisch so vor, da man eine Umgebung der Singularitat aus dem Integrationsgebiet herausschneidet, was
im Falle einer nachfolgenden Anwendung des Satzes von Stokes zu Randtermen fuhrt, die dann sorgfaltig diskutiert werden mussen. (Mehrere Beispiele solchen Vorgehens nden sich im Kapitel uber ElektroMagnetostatik.)
Die hier anzukundigende gute Nachricht lautet, da derlei Umstandlichkeiten vermieden werden konnen, indem man den mathematischen Rahmen wie
unten beschrieben erweitert.
Die Erweiterung hat noch einen zweiten wichtigen Zweck: sie suggeriert
die Idee, Dierentialformen durch Ketten zu approximieren, was fur die Visualisierung des elektromagnetischen Feldes sehr hilfreich ist. Insbesondere
werden wir in die Lage versetzt, die magnetische und elektrische Fludichte
im dreidimensionalen Raum durch magnetische bzw. elektrische Flulinien
0.19 Stromformen und Stromlinien
53
veranschaulichen zu konnen. Im Unterschied zu den \Feldlinien" klassischer
Texte zeichnen sich Flulinien durch eine invariante und metrikfreie Bedeutung aus, die auch der U bertragung zur relativistischen Formulierung im
Minkowski-Raum standhalt.
Distributionen. An den Anfang stellen wir eine kurze Skizze des mathematischen Hintergrundes. In einem n-dimensionalen Raum (bei unseren limitierten Vorkenntnissen hat dies der Rn oder An zu sein, allgemeiner wurde
man eine n-dimensionale dierenzierbare Mannigfaltigkeit zugrundelegen)
betrachten wir die Menge der Funktionen, die unendlich oft dierenzierbar
sind und zudem kompakten Trager haben, d.h. auerhalb eines beschrankten
Gebiets identisch verschwinden. Der reelle Vektorraum solcher \Testfunktionen", wie sie heien, wird (in einer bestimmten, hier nicht naher spezizierten
Topologie) mit D bezeichnet. Der Fokus richtet sich nun auf den Dualraum
D0 , namlich den Vektorraum der stetigen linearen Abbildungen D ! R. Die
Elemente von D0 heien Distributionen. Als prominentes Beispiel fur eine
Distribution sei die Abbildung angefuhrt, welche jeder Testfunktion f ihren
Funktionswert im Punkt p zuweist:
(p) : f 7! f (p) =: (p) [f ] :
Sie heit nach ihrem Physiker-Ernder die Diracsche -Distribution bzgl. p.
Der Kalkul mit Distributionen wurde von dem franzosischen Mathematiker L.
Schwartz initiiert und entwickelt. Er zeigte, da sich fast alle in der Analysis
gebrauchlichen Operationen auf Funktionen in sinnvoller Weise auf Distributionen ubertragen lassen. Zum Beispiel wird die partielle Ableitung einer
Distribution T : f 7! T [f ] durch
@
i
@xi T [f ] := T [@f=@x ]
sinnvoll erklart. Wir werden dieses Thema hier nicht elaborieren. Die fur die
Elektrodynamik benotigten Objekte sind ja die Dierentialformen (anstelle
der Funktionen), denen wir uns nun zuwenden.
Stromformen. Die Erweiterung der Schwartz'schen Theorie zu den Dierentialformen wurde von de Rham vorgenommen. Ihm folgend bezeichnen wir
den Vektorraum der \Testformen", d.h. jener Dierentialformen, deren Koezienten Testfunktionen sind, wieder mit D (beachte die A nderung der
Bedeutung des Symbols). Der Vektorraum D wird durch den Grad k der
Dierentialformen graduiert: D = nk=0 k , d.h. k ist der Vektorraum der
k-Formen in D. Wenden wir uns nun wieder dem Dualraum D0 zu. Dieser
besteht aus den stetigen linearen Abbildungen T : D ! R, ! 7! T [!]. Durch
die Graduierung von D und die Paarung von D mit D0 wird naturlich eine
Graduierung D0 = nl=0 l induziert. Per Konvention ordnet man den Grad
in D0 so zu, da T 2 n k auf dem Komplement von k in D Null ist oder,
anders ausgedruckt, n k ist mit k gepaart. Sollten diese abstrakten Begrisbildungen nicht auf Anhieb einleuchten, werden die folgenden Beispiele
54
0. Mathematische Grundlagen
helfen. (Bedeutungswechsel von k (U ) gegenuber fruher?)
Beispiel 1: eine k-Kette c. Wie wir ja inzwischen gut verstehen, lassen sich
k-Formen uber eine k-Kette c integrieren, was eine stetige lineare Abbildung
c : k ! R,
Z
c[!] := ! ;
c
also ein Element c 2 n k , deniert.
Beispiel 2: eine (n k)-Form . Wir konnen eine k-Form ! 2 k nehmen, das
auere Produkt mit bilden und die resultierende n-Form uber den gesamten
n-dimensionalen Raum integrieren. (Die Existenz des Integrals wird durch die
Kompaktheit des Tragers von ! guarantiert.) So bekommen wir wieder eine
stetige lineare Abbildung : k ! R, durch
Z
[!] := ^ ! :
Dem Leser konnte aufgestoen sein, da wir den Elementen von n k noch
keinen Namen gegeben haben. Nun, de Rham nennt sie \Strome" (franz.
\courants") vom Grad n k. Er denkt dabei an den physikalischen Prototypen der ersten Beispielklasse fur k = 1, namlich die 1-Kette der elektrischen
Stromlinien eines bewegten Systems von Punktladungen. Vom Standpunkt
des Physikers, insbesondere des Elektrodynamikers, ist diese Wortwahl etwas unglucklich, da der Name \Strom" bereits an eine spezielle physikalische
Groe vergeben ist. Aber gegen den \Strom" der etablierten Nomenklatur
anzuschwimmen ist aussichtslos, und wir mussen uns deshalb mit dem Kompromi Stromformen abnden.

Auerer
Kalkul mit Stromformen. Kurz gesagt lassen sich praktisch alle fur
Dierentialformen erklarte Operationen auf die Stromformen ubertragen: das
innere Produkt mit einem Vektorfeld, das auere Produkt mit Dierentialformen, die Operation des Zuruckholens mittels einer Abbildung, der Hodgesche Sternoperator und die Cartan-Ableitung. In allen Fallen geschieht die
U bertragung durch naturliche Transposition von D nach D0 , und zwar mit
derjenigen Wahl des Vorzeichens, welche die resultierende Operation fur den
Spezialfall einer Dierentialform (anstelle einer allgemeinen Stromform) genau so wirken lat wie gehabt. Es genuge die Illustration dieses Prinzips am
Beispiel der aueren Ableitung. Fur jede Dierentialform ! 2 n k 1 und
eine k-Form gilt
Z
Z
d ^ ! = ( 1)k ^ d! :
Der sonst beim partiellen Integrieren entstehende Randterm fehlt hier infolge
des kompakten Tragers von !. Dementsprechend erklart man die CartanAbleitung eines beliebigen Elementes T 2 k durch
dT [!] := ( 1)k T [d!] :
0.19 Stromformen und Stromlinien
55
Da d : n k 1 ! n k wohldeniert ist, bekommt man auf diese Weise
eine sinnvolle Operation d : k ! k+1 . Was ergibt nun letztere auf einer
(n k)-Kette c 2 k ? Die Antwort folgt aus dem Satz von Stokes,
dc[!] = ( 1)k c[d!] = ( 1)k+1
Z
c
d! = ( 1)k
Z
@c
!;
und sie lautet dc = ( 1)k @c. Fassen wir also eine (n k)-Kette als Stromform in k auf, so ist die auere Ableitung der Kette (bis auf k + 1 Minuszeichen) gleich ihrem Rand. ...Andere Operationen:
T [!] := T [!] (Transformationsverhalten unter Abbildung )
T ^ [!] := T [ ^ !] (Dachprodukt mit Dierentialform )
?T [!] := ( 1)deg(T )(n deg(T )) T [?!] (Sternoperator)
iv T [!] := ( 1)deg(T ) T [iv !] (inneres Produkt mit Vektorfeld v)
Beispiel 0.19.1. Als einfaches und doch instruktives Beispiel mu nochmal
(a) , die Raumwinkel-2-Form bzgl. a 2 E3 , herhalten. Im Punkt a ist (a)
nicht dierenzierbar (auf E3 n fag ist (a) bekanntlich geschlossen, doch die
Koezienten der Dierentialform divergieren bei Annaherung an a wie das
inverse Quadrat des
Abstandes), weshalb (a) sicher nicht in 2 (E3 ) liegt. Da
R
aber das Integral (a) ^ ! fur alle ! 2 1 (E3 ) wohldeniert ist, konnen wir
den Raumwinkel problemlos als Stromform (a) 2 2 (E3 ) ansehen und als
solche auch sinnvoll dierenzieren! Was ist nun in diesem wohlverstandenen
Sinn die Cartan-Ableitung d (a) 2 3 (E3 )? Eine kurze Rechnung enthullt
die Antwort: Z
Z @f
(a)
d (a) [f ] =
(a) ^ df =
@r dra ^ 1
Z2Z 0Z1 @F
@
(ra ; a ; 'a )dra A sin a da d'a
a
=
0 0 0
Z2Z
= f (a)
0 0
@ra
sin dd' = 4f (a) = 4(a) [f ] :
Was auf der rechten Seite entstanden ist, erkennen wir als die Dirac--Distribution bzgl. a, aufgefat als Stromform (a) 2 3 (E3 ). Dieses Resultat,
d (a) = 4(a) ;
ist insbesondere in der Elektrostatik von einigem Nutzen.
Veranschaulichung der Operationen auf Differentialformen (nicht nur
Cartan-Ableitung, sondern auch inneres und 
aueres Produkt, und Sternoperator)
durch die entsprechenden Operationen auf Ketten. Das 
auere Produkt
ist nat
urlich wieder der Durchschnitt der Ketten, beim inneren Produkt
ben
utzt man das einzusetzende Vektorfeld, um den Grad der Kette zu
56
0. Mathematische Grundlagen
erh
ohen (aus Linien werden Fl
achen usw.), und der Sternoperator angewendet
auf eine Fl
ache produziert die orthogonalen ``Haare'' der Fl
ache
usw.
Regularisierung. Die Einsicht, da k-Ketten und (n k)-Formen Elemente
ein und desselben Vektorraums D0 sind, schuf die Grundlage fur de Rhams
zelebrierte Beweisarbeit zur Theorie dierenzierbarer Mannigfaltigkeiten und
ihrer topologischen Invarianten. Uns suggeriert sie die Idee, Ketten durch Formen zu approximieren und umgekehrt. Da ein solches Bestreben Aussicht
auf Erfolg hat und k-Ketten durch glatte (n k)-Formen tatsachlich beliebig
gut angenahert werden konnen, davon uberzeugt man sich anhand einiger
Beispiele. Lassen Sie uns die xy-Ebene, die z -Achse und den Koordinatenursprung im E3 als Stromformen 2 1(E3 ) bzw. 2 2 (E3 ) bzw. o 2 3 (E3 )
auassen. Die folgenden drei Grenzwerte fur f 2 0 (E3 ), 2 1 (E3 ) und
! 2 2 (E3 ) pruft man leicht nach:
83 1
Z
= lim
!0 ()
1
o[f ] := f (o) = lim
!0
[] :=
[!] :=
Z
z Achse
Z
xy Ebene
Z
p
fe x +y +z = dx ^ dy ^ dz ;
2
Z
2
2
e (x +y )=dx ^ dy ^ ;
2
2
= dz ^ ! :
! = lim
2
!0 + z 2
Charakteristisch fur die Integranden auf der rechten Seite ist das Auftreten einer durch parametrisierten Familie von Funktionen (hier vom Exponential, Gau- bzw. Cauchy-Typ), deren \Trager" im Limes ! 0 auf die Spur
(definiert?) der entsprechenden Kette zusammenschrumpft. Die -abhangigen Normierungsfaktoren wurden so gewahlt, da die (3 k)-dimensionale,
zur Spur der k-Kette transversale Integration in jedem Punkt der Spur genau
Eins ergibt. Auf diese Weise konvergiert fur ! 0 das Raumintegral auf der
rechten Seite gegen das k-dimensionale Integral uber die k-Kette. Wir sagen,
die Familie von approximierenden Dierentialformen sei eine Regularisierung
der als Stromform aufgefaten Kette. Eine solche Regularisierung existiert
immer. (Jede Kette, und allgemeiner jede Stromform, kann durch innitesimales \Verschmieren" glatt gemacht werden. Diese Behauptung wurde in
einem mathematisch sauber denierten Sinn von Schwartz und de Rham bewiesen.) Die Regularisierung ist oensichtlich nicht eindeutig, wie durch die
unterschiedliche Wahl der regularisierenden Familie von Funktionen in den
Beispielen illustriert wird. Eindeutig ist lediglich der Limes (die Stromform),
gegen den die Approximation fur ! 0 konvergiert.
Diskretisierung. Oben haben wir \Diskretes" durch \Kontinuierliches" approximiert: durch die Manahme der Regularisierung wurde aus einer k-Kette
(oder allgemeiner: einer Stromform T 2 n k ) eine kontinuierliche Dierentialform. Interessant ist auch der umgekehrte Weg (\Diskretisierung") von
0.19 Stromformen und Stromlinien
57
der glatten Dierentialform zur \diskreten" Kette. Zum Beispiel konnen wir
eine kontinuierliche Ladungsdichte im E3 durch eine Verteilung von Punktladungen Qi and Orten pi (i = 1; :::; N ) annahern. Dazu plazieren wir in
Raumbereichen mit hoher Ladungsdichte viele (oder groe) Punktladungen,
in Raumbereichen mit geringer Ladungsdichte wenige (oder kleine). Das Integral von gegen eine Testfunktion 2 0(E3 ) wird dann durch
Z
= [] '
Z
N
X
i=1
Qi
:=
pi
N
X
i=1
Qi (pi )
P
approximiert. Der 3-Form entspricht also die 0-Kette i Qi pi . Um die
Approximation zu verbessern, machen wir N groer und verfeinern das System von Punktladungen entsprechend. Ganz ahnlich konnen wir versuchen,
eine kontinuierliche Stromdichte j im E3 durch eine Verteilung von Stromen
Ii langs Stromlinien i (i = 1; :::; N ) zu beschreiben. Wo die Stromdichte hoch
ist, plazieren wir wieder viele Stromlinien (oder wahlen die Strome gro), wo
die Stromdichte niedrig ist, dorthin legen wir wenige Stromlinien (oder kleine
Strome). Das Integral von j gegen eine 1-Testform A wird dann durch
Z
j ^ A = j [A] '
N Z
X
i=1
Ii
i
A
P
ersetzt. Der 2-Form j entspricht also die 1-Kette i Ii i . Um die Approximation zu verbessern, machen wir wieder N groer und verfeinern das
System von Stromlinien.
Allgemeiner konnen wir auf die beschriebene Weise jede n-Form im ndimensionalen Raum durch eine 0-Kette approximieren, jede (n 1)-Form
durch eine 1-Kette usw. Eine solche Diskretisierung ist fur didaktische Zwecke
nutzlich, weil 1-Ketten sich leichter visualisieren lassen als (n 1)-Formen.
Beispiel 0.19.2. Wir wollen uns uberlegen, wie die Veranschaulichung der auf
den Koordinatenursprung o bezogenen Raumwinkel-2-Form durch eine 1Kette aussieht. In Kugelkoordinaten r; ; ' haben wir R= sin d ^ ' und
^ = ^ r dr ( 2 1 (E3 )). Das Integral [] = ^ testet also
nur die Radialkomponente r von . Folglich haben die \Stromlinien" der
Stromform in Radialrichtung zu liegen. Als Randpunkt fur die Stromlinien
kommt wegen d = @ = 4(o) nur der Koordinatenursprung o in Frage.
Unter Berucksichtigung des richtigen Vorzeichens sind die Stromlinien von
dann Halbachsen oder Strahlen i , die im Punkt o beginnen und sich bis
ins Unendliche erstrecken. Da = r 2 @r (dx ^ dy ^ dz ) drehinvariant ist,
sind die Strahlen (so gut sich das bei einer endlichen Anzahl einrichten lat)
isotrop anzuordnen. Damit der Rand richtig herauskommt (@ = 4(o)),
bekommt jeder Strahl das Gewicht 4=N :
N
X
' 4N i :
i=1
58
0. Mathematische Grundlagen
Abbildung: Veranschaulichung der Raumwinkel-2-Form als isotrope Schar
von Strahlen, die im Ursprung
beginnen und sich bis ins Unendliche
erstrecken. Jeder der
Strahlen tr
agt das Gewicht 4
.
o
N
=N
Aufgabe 0.19.1. Zeige, da das Integral von uber eine Flache S im Stromlinienbild durch 4=N mal der Zahl der S durchstoenden Strahlen approximiert wird.
0.20 Laplace-Operator
Laplace-Operator auf Funktionen und 1-Formen im E3 . Der Laplace-Operator 4 auf den Funktionen im dreidimensionalen Raum wird in kartesischen
Koordinaten x; y; z bekanntlich durch
2
2
2
4f = @@xf2 + @@yf2 + @@zf2
dargestellt. In der Elektrodynamik haben wir es hauptsachlich mit Dierentialformen zu tun. Man wute daher gerne, wie der Laplace-Operator im
aueren Kalkul aussieht. Von einer nutzlichen Verallgemeinerung z.B. auf
1-Formen im E3 wird man verlangen
4 (Ax dx + Ay dy + Az dz ) = (4Ax)dx + (4Ay )dy + (4Az )dz :
Die Frage ist nun, ob ein solcher Operator existiert und in sinnvoller, d.h.
koordinatenunabhangiger Weise deniert werden kann. Die Antwort lautet
ja. Dazu bringen wir zunachst den Ausdruck fur 4 : 0 (E3 ) ! 0 (E3 ) in
koordinatenfreie Form. Eine kleine Rechnung,
@f dz ^ dx + @f dx ^ dy
? d ? df = ? d @f
d
y
^
d
z
+
@z
@ 2f @x@ 2f @ 2f @y
= @x2 + @y2 + @y2 ? (dx ^ dy ^ dz ) = 4f ;
zeigt, da 4 auf den Funktionen im E3 mit ? d ? d ubereinstimmt. Wahrend
die auere Ableitung d den Grad einer Dierentialform um Eins erhoht, hat
die Verkettung ?d? die Eigenschaft, den Grad um Eins zu erniedrigen:
k+1 (E3 ) ?! 2 k (E3 ) d! 3 k (E3 ) ?! k (E3 ) :
Im nachsten Schritt untersuchen wir die Wirkung des Dierentialoperators
? d ? d auf den 1-Formen im E3 . Die Operatoren d und ? sind linear und
drehinvariant, weshalb es ausreicht, 1-Formen von der speziellen Gestalt f dx
zu betrachten. In diesem Fall nden wir @f dz
d
y
? d ? d(f dx) = ? d @f
@z
@y
@ 2 f dz @ 2 f dx @ 2 f dx + @ 2 f dy :
= @x@z
@z 2
@y2
@x@y
0.20 Laplace-Operator
59
Zu dem fur den Laplace-Operator erwarteten Resultat fehlt oenbar noch
etwas. Was hier fehlt, ist nicht schwer zu sehen; es ndet sich in
@f
d ? d ? (f dx) = d ? @x dx ^ dy ^ dz
2
@ 2 f dy + @ 2 f dz :
= @@xf2 dx + @y@x
@z@x
Durch Substraktion der Gleichungen nden wir
( ? d ? d + d ? d ? ) (f dx) = (4f )dx ;
wie gewunscht. Insgesamt haben wir also die beiden folgenden Formeln fur
den Laplace-Operator:
4 auf Funktionen im E3 : 4 = ? d ? d ;
4 auf 1-Formen im E3 : 4 = ? d ? d + d ? d ? :
Wir sehen, da in die koordinatenfreie Formulierung des Laplace-Operators
die metrische Struktur des Raumes in wesentlicher Weise eingeht. Es ist nun
zweckmaig, einen Operator : ! 7! ( 1)k ? d ? ! einzufuhren, der k + 1Formen auf k-Formen abbildet. Dieser Operator heit kurz die Ko-Ableitung.
Mit ihm konnen wir den Laplace-Operator in der einheitlichen Form 4 =
d + d schreiben. (Der zweite Term in 4 verschwindet auf den Funktionen
f wegen f 2 0 1 (E3 ) = 0.)
Aufgabe 0.20.1. Im dreidimensionalen Euklidischen Raum existiert neben
dem Gradienten (grad) und der Divergenz (div) auch der Vektordierentialoperator der Rotation (rot); siehe Abschn. 0.11. Drucke hiermit den LaplaceOperator auf Funktionen bzw. 1-Formen folgendermaen aus:
4 auf 0(E3 ) : 4 = div grad ;
4 auf 1(E3 ) : 4 = I ( rot rot + grad div) I 1 :
Allgemeine Formel fur die Koableitung. Der Dierentialoperator hat die
folgende allgemeine Bedeutung. Sei U An ein n-dimensionales Gebiet mit
Sternoperator ? : k (U ) ! n k (U ). Wir denieren das Skalarprodukt zweier k-Formen !1 und !2 auf U durch
(!1 j!2 )U =
Z
U
!1 ^ ?!2 :
Dieses Skalarprodukt ist symmetrisch, (!1 j!2 )U = (!2 j!1 )U , und in beiden
Argumenten linear. (Unter Vorgabe einer Euklidischen Struktur auf U En ist es auch noch positiv denit, worauf es hier aber nicht ankommt.)
Nun ist es bequem, den Raum der Dierentialformen vorubergehend dadurch
einzuschranken, da ihr Verschwinden auf dem Rand @U verlangt wird. Fur
eine k-Form und eine (k 1)-Form folgt dann durch partielle Integration
60
0. Mathematische Grundlagen
( jd)U =
Z
U
d ^ ?
= ( 1)k 1
Z
^d? =
Z
( 1)k 1 ? 1 d ? ^ ? ;
U
U
wobei wegen @U = 0 = @U kein Randterm entstand. Wir denieren jetzt
den Operator als die Abbildung
: k (U ) ! k 1 (U ) ;
! 7! ! = ( 1)k 1 ? 1 d ? ! ;
Die Motivation fur diese allgemeine Denition ist, da mit ihr die Relation
( jd)U = ( j)U ;
gilt, d.h. ist bzgl. des Skalarprodukts (mit der geforderten Randbedingung)
zu d adjungiert. Aus d d = 0 folgt = 0. Im E3 , wo ? mit seinem
Inversen ? 1 zusammenfallt, reduziert sich die allgemeine Denition von auf die anfangs gegebene.
Denition 0.10. Der Laplace-Operator 4 : k (U ) ! k (U ) ist erklart durch
4=d+d :
Aufgabe 0.20.2. Zeige die folgenden Eigenschaften des Laplace-Operators:
(1) 4d = d4; (2) 4 = 4; (3) ? 4 = 4?;
(4) (!1 j4!2)U = (4!1j!2 )U + Randterme:
Satz 0.4. Sei dx1 ; :::; dxn eine Basis von Koordinatendierentialen mit
(dxi ; dxj )p = gij ;
unabhangig von p. Dann gilt fur die Wirkung des Laplace-Operators auf eine
k-Form ! mit Koordinatendarstellung
X
! = !i :::ik dxi ^ ::: ^ dxik
die Formel
X 2
4! = gij @@x!il@x:::ljk dxl ^ : : : ^ dxlk :
1
1
1
1
Beweisskizze. Mit der Dualbasis der Vektorfelder ei = @i (p) sind uns
ProP
j
jektoren i (i = 1; :::; n) auf den Vektoren durch i v = i j v ej = vi ei
gegeben. Hiermit denieren wir Operatoren di : k (U ) ! k+1 (U ) durch
(di !)p (v(0) ; :::; v(k) ) =
k
X
j =0
( 1)j (Dp !)(i v(j) ) (v(0) ; :::; v^(j) ; :::; v(k) ) :
0.20 Laplace-Operator
61
Diese Operatoren
P antivertauschen miteinander (di dj = dj di), und ihre
Summe ergibt i di = d (auere Ableitung). Auf die k-Form ! mit der
angegebenen Koordinatendarstellung wirken sie wie folgt:
X@
lk
i
l
di ! =
i !l :::lk dx ^ dx ^ ::: ^ dx :
@x
l :::lk
1
1
1
Der zu di (formal) adjungierte Operator i : k (U ) ! k 1 (U ) ist
i = ( 1)k 1 ? 1 di ? (i = 1; :::; n). AuchPdiese Operatoren antivertauschen
(i j = j i ), und ihre Summe ergibt i i = . Ihre Wirkung in Koordinatendarstellung ist
X@
lk
l
1 i
i ! =
i !l :::lk I (dx ) (dx ^ ::: ^ dx ) ;
@x
l :::lk
wie sich mit der Behauptung von Aufg. 0.7.5
P verizieren lat. Mit Hilfe der
Formeln fur di und i und mit I 1 (dxi ) = j gij @j zeigt man ohne Muhe
X 2
X
(i dj + dj i )! = gij @@x!il@x:::ljk dxl ^ ::: ^ dxlk :
ij
1
1
1
1
Andererseits gilt
X
(i dj + dj i ) = d + d = 4 ;
ij
womit die Behauptung des Satzes folgt.
1
62
0. Mathematische Grundlagen
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
1.1 Mathematischer Rahmen und Masystem
Ziel dieses ersten Kapitels ist es, { im Stile Sommerfelds1 { das elektromagnetische Feld einzufuhren, die fundamentalen Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zu formulieren und Vorschriften anzugeben, wie sich die
Feldgroen zumindest im Prinzip (d.h. per Gedankenexperiment) messen lassen. Dabei wird vieles notgedrungen unvollstandig bleiben. Einige Gleichungen werden wir ohne weitere Erlauterung einfach postulieren. Die Richtigkeit
der Postulate folgt aus den Konsequenzen fur experimentell beobachtbare
Groen, die wir in den darauolgenden Kapiteln aus den Grundgleichungen
ableiten.
Den Kap. 1-?? liegt der dreidimensionale Euklidische Raum E3 als Modell fur den physikalischen Raum zugrunde. Der Zeit wird in diesen Kapiteln eine Sonderrolle zugewiesen, was die volle Schonheit und relativistische Kovarianz der elektromagnetischen Theorie zwar verschleiert, aber
den didaktischen Vorteil eines intuitiveren und leichteren Zugangs fur den
Studenten hat. Wir fassen kurz die wichtigsten Strukturen, Bezeichnungen und Rechenregeln zusammen, von denen wir dann im folgenden ausgiebig Gebrauch machen werden. Der Raum der Dierentialformen k-ten Grades (k = 0; 1; 2; 3) auf E3 heit k (E3 ). Hier sind auch die ungeraden
Differentialformen zu erw
ahnen. Auf dem Dierenzvektorraum von E3
ist ein Skalarprodukt h; i erklart. Hierdurch wird ein kanonischer Isomorphismus I bestimmt, der Vektorfelder auf 1-Formen abbildet. h; i induziert ein
Skalarprodukt (; ) : k (E3 ) k (E3 ) ! 0 (E3 ). E3 wird in der konventionellen Weise durch die Rechte-Hand-Regel fur Tripel von Vektoren orientiert,
was in Verbindung mit (; ) einen Sternoperator ? : k (E3 ) ! 3 k (E3 ) bestimmt. ? ist unter Euklidischen Bewegungen invariant. Die Wahl eines kartesischen Koordinatensystems (o; e1 ; e2 ; e3) zeichnet drei Koordinatenformen
dx = dx1 , dy = dx2 und dz = dx3 aus. ? wirkt auf sie { wie auch auf jede
andere lokal orthonormale und rechtshandige Basis { in der folgenden Weise:
?dx = dy ^ dz , ?dy = dz ^ dx und ?dz = dx ^ dy. Da die Zeitvariable t in
den Kap. 1-5 separat behandelt wird, meint "d\ hier immer die "raumliche\
1
A. Sommerfeld, Elektrodynamik (Vorlesungen uber theoretische Physik,
Band III), Dietrich'sche Verlagsbuchhandlung, Wiesbaden 1948
64
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Cartan-Ableitung. Die partielle Zeitableitung einer Dierentialform ! wird
mit !_ = @!=@t bezeichnet.
Eine detaillierte Einf
uhrung in die hier ben
otigten mathematischen
Grundlagen wird in Abschn. 0.1 bis 0.15 gegeben.
Zum Masystem. Fur die quantitative Buchfuhrung bei der Beschreibung
rein mechanischer Vorgange reicht ein Masystem aus, das auf den fundamentalen Einheiten von Masse (Kilogramm), Lange (Meter) und Zeit (Sekunde)
beruht. Mit der Erweiterung auf elektromagnetische Phanomene kommt als
neue und unabhangige Qualitat physikalischer Korper ihre elektrische Ladung
hinzu. Es ist unter Theoretikern beliebt, die Ladung zu \mechanisieren\ und
sie in den Einheiten von Masse1=2 Lange3=2 Zeit 1 anzugeben. Dieser
Praxis konnen wir uns nicht anschlieen. Wir folgen dem im Jahre 1948 von
einer internationalen Kommission empfohlenen Standard ( SI-Masystem\),
nach dem Ladungen in Einheiten von Coulomb gemessen" werden. Die Ladungseinheit Coulomb wird im SI-Masystem aus der Stromeinheit Ampere
= Coulomb/Sekunde als der grundlegenden elektromagnetischen Einheit abgeleitet.
1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung
Die Erfahrung zeigt, da elektrische Ladungen in der mikroskopischen Welt
von Atomen und subatomaren Teilchen stets als ganzzahlige Vielfache einer
Elementarladung auftreten. So haben das Proton und das Elektron, die zwei
Bausteine des Wasserstoatoms, eine dem Betrag nach gleiche und im Vorzeichen verschiedene Ladung von e = 1:602 10 19 Coulomb. Wir beschreiben
diesen Sachverhalt mit der Aussage, die elektrische Ladung sei "quantisiert\.2
Die Quantisierung der Ladung macht das Bestimmen des Ladungszustandes
zu einer im Prinzip sehr einfachen Aufgabe: um die gesamte Ladung Q(V )
in einem Gebiet V zu ermitteln, mussen wir lediglich die in V enthaltenen
positiven und negativen Elementarladungen abzahlen, die Dierenz bilden
und mit dem Ladungsquantum e multiplizieren.
Nach dem gegenwartigen Stand unseres Wissens haben elementare Ladungstrager wie Elektronen oder Quarks keine raumliche Ausdehnung. Ein
treues mathematisches Modell mute demnach ein System von Ladungen
als System strukturloser Punkte beschreiben { jedenfalls solange die Heisenbergsche Unscharferelation der Quantenmechanik auer acht gelassen werden
kann. Fur das Thema dieser Vorlesung, namlich elektromagnetische Phanomene der makroskopischen Physik, ist die Punktformigkeit der Ladungen jedoch nicht wesentlich. Wir werden uber die diskrete und punktformige Natur
2 Quarks, die Konstituenten des Protons und anderer Hadronen, tragen 1=3 oder
2=3 der Elementarladung e. U brigens hangt die elektrische Ladung nach den
Erkenntnissen der Quantenfeldtheorie als laufende Kopplungskonstante von der
Beobachtungsskala ab. Fur die klassische Theorie, die es hier zu entwickeln gilt,
hat diese Tatsache aber keine wesentlichen Konsequenzen.
1.2 Axiom 1: Erhaltung der elektrischen Ladung
65
der elektrischen Ladungen meist hinwegsehen und ihre raumliche Verteilung
als kontinuierlich betrachten.
Ladungsdichte. Wie modellieren wir nun eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf mathematisch und physikalisch angemessene Art? Diese Frage fuhrt
uns zur elektrischen Ladungsdichte, die wir mit dem Symbol bezeichnen.
Sie wird durch die Forderung erklart, da ihr Integral uber ein Gebiet
R V
mit der in V enthaltenen Gesamtladung Q(V ) ubereinstimmt: Q(V ) = V .
Der mathematische Formalismus sagt uns, da die naturlichen Kandidaten
furs Integrieren unter den Dierentialformen zu suchen sind. Da die Gesamtladung durch Integration uber dreidimensionale Gebiete zu berechnen ist,
konnte ein erster Vorschlag lauten, die Ladungsdichte als 3-Form zu modellieren. Dieser Vorschlag ist akzeptabel, solange wir nicht auf die Orientierung
achten (oder Invarianz der Formulierung nur unter orientierungstreuen Transformationen verlangen). Bei sorgfaltigem Hinsehen fallt uns aber auf, da das
Integral einer 3-Form die Eigenschaft hat, mit der Orientierung des Gebiets V
das Vorzeichen zu wechseln, wogegen die in V enthaltene Gesamtladung von
der Orientierung des Gebiets unabhangig ist { sie wird wie gesagt ganz einfach durch Abzahlen der Elementarladungen ermittelt. Um diese Diskrepanz
zu beheben, modellieren wir die Ladungsdichte als ungerade 3-Form oder
3-Dichte. Das Integral der Ladungsdichte ist dann automatisch von der Orientierung des Gebiets unabhangig (und lat sich sogar fur nichtorientierbare
Gebiete erklaren).3
(a)
(b)
S
V
Q(V) = ρ
V
I(S) = j
S
Abbildung 1.1. Zur denierenden Mevorschrift fur (a) die Ladungsdichte und
(b) die Stromdichte j . Die positive Stromrichtung ist durch einen Normalenvektor
der Flache S gegeben.
3
Traditionell meint man mit dem Begri "Ladungsdichte\ nicht die Dierentialform
an sich, sondern die ihr durch eine Basis von Koordinatenformen
dx1 ; dx2 ; dx3 zugeordnete skalare Komponente 123 . Als koordinatenfrei denierte Groe ist fundamentaler und nutzlicher als 123 . Wir setzen uns deshalb
uber die Tradition hinweg und ubertragen den Namen Ladungsdichte von 123
auf . Eine analoge Bemerkung gilt fur die elektrische Stromdichte j und ihre
Komponenten j12 ; j23 ; j31 .
66
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Stromdichte. Die pro Zeiteinheit durch eine Flache S stromende Ladungsmenge heit der Strom durch S und wird mit I (S ) bezeichnet. Zur quantitativen Beschreibung einer kontinuierlichen Stromverteilung bedient man
sich der elektrischen Stromdichte j . Erklart wird sie durch die ForderungR der
Gleichheit von I (S ) mit dem Integral von j fur beliebiges S : I (S ) = S j .
Da das Integrationsgebiet S zweidimensional ist, ware es mathematisch am
naturlichsten, j als Dierentialform zweiten Grades zu denieren. Eine solche
Denition fuhrt aber wieder zu Widerspruchen, sobald orientierungsandernde
Abbildungen zugelassen werden. Zum Beispiel andert der elektrische Strom
unter Raumspiegelung seinen Richtungssinn, wahrend eine gewohnliche 2Form unter derselben Abbildung ihr Vorzeichen beibehalt. Wie schon bei der
Ladungsdichte ist auch hier der physikalisch korrekte Ansatz, die Stromdichte
als Dierentialform vom ungeraden Typus zu erklaren. Wir modellieren j also
als ungerade 2-Form. Das anschauliche Bild fur j besteht dann aus Stromlinien, die mit einem Richtungssinn versehen sind (Abb. 1.1). Man beachte,
da es zur Integration der ungeraden 2-Form j keines Orientierungssinnes der
Flache S bedarf, sondern lediglich der Angabe einer positiven Stromrichtung
(z.B. durch einen Normalenvektor).
Koordinatendarstellung und physikalische Dimension. In Koordinatendarstellung schreiben wir
= 123 dx1 ^ dx2 ^ dx3 und
j = j12 dx1 ^ dx2 + j23 dx2 ^ dx3 + j31 dx3 ^ dx1 :
Die Komponenten 123 und j12 ; j23 ; j31 sind Funktionen : Raum Zeit ! R.
Sie haben die physikalische Dimension [123 ] = Ladung/Volumen und [j12 ] =
[j23 ] = [j31 ] = Strom/Flache. Da die Koordinaten-1-Formen dxi (i = 1; 2; 3)
die Dimension einer Lange tragen, haben wir fur und j die "absoluten\
physikalischen Dimensionen
[] = Ladung; und [j ] = Strom :
Da und j von der Wahl der Langeneinheit unabhangig sind, folgt unmittelbar aus ihrer Denition.
Betrachten wir zum Beispiel die denierende GleiR
chung Q(V ) = V . Die linke Seite wird (auf mikroskopischer Ebene) durch
Abzahlen von Elementarladungen berechnet, die rechte Seite verwendet Einsetzen von Vektoren in alternierende Multilinearformen und Berechnung von
Riemannschen Summen. Keine dieser Operationen erfordert Langen- oder
Winkelmessung. ist also, wie wir sagen, metrikfrei erklart. Das gleiche gilt
fur j .
Kontinuitatsgleichung. Es ist eine Erfahrungstatsache, da elektrische Ladung nicht plotzlich aus dem Nichts auftaucht oder ins Nichts verschwindet.
Zwar konnen in elementaren Prozessen Ni Teilchen in Nf andere Teilchen
umgewandelt werden, aber dies geschieht immer so, da gleich viel positive
wie negative Ladung erzeugt oder vernichtet wird. Wir sagen daher, Ladung
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
γ
e+
eγ
Abbildung 1.2. In der Quantenelektrodynamik konnen Paare
von Elektronen (e ) und Positronen (e+) aus einem Photon ( )
erzeugt werden oder sich unter Bildung eines Photons vernichten.
Die elektrische Ladung bleibt dabei erhalten.
sei erhalten. Ihren mathematischen Ausdruck ndet diese Gesetzmaigkeit in
der sogenannten Kontinuitatsgleichung:
@ Z +Z j =0:
Axiom 1 : @t
@V
V
Sie besagt in Worten, da die zeitliche A nderung der in einem Gebiet V enthaltenen Ladungsmenge mit einem dem Betrag nach gleichen und im Vorzeichen umgekehrten Stromu durch den Rand von V einhergehen mu.
Wir konnen diesen Sachverhalt auch als dierentielles Gesetz formulieren.
Der Stokessche Satz
R gestattet uns, das Flachenintegral von j uber @V in das
Volumenintegral V dj umzuformen. Da V beliebig ist, folgt
_ + dj = 0 ;
oder in Koordinatendarstellung
23 @j31 @j12
_123 + @j
@x1 + @x2 + @x3 = 0 :
Wir haben das Gesetz der Ladungserhaltung diesem Kapitel vorangestellt,
weil es am Anfang der historischen Entwicklung der Elektrizitatslehre steht
und, wie wir gleich sehen werden, die Form der inhomogenen MaxwellGleichungen festlegt.
Aufgabe 1.2.1. Die lokale Stromungsgeschwindigkeit in einem einkomponentigen Plasma, z.B. einem Elektronengas, werde durch ein Vektorfeld v :
Raum Zeit ! R3 beschrieben. Zeigen Sie, da in diesem Fall zwischen
Ladungsdichte und Stromdichte j der Zusammenhang j = (v) besteht.
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die
inhomogenen Maxwell-Gleichungen
Die elektrische Erregung. Als 3-Form hat die Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum den maximalen Grad. Sie ist daher automatisch geschlossen
(d = 0). Nach dem Poincareschen Lemma folgt dann sofort die Existenz
eines Potentials auf jedem sternformigen Teilgebiet U des Raumes:
67
68
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
dD = :
Dieses Potential D, eine 2-Form, nennen wir die elektrische Erregung, was
zum Ausdruck bringt, da die Anwesenheit elektrischer Ladungen den umliegenden Raum in gewissem Sinne anregt. Da eine Dierentialform vom
ungeraden Typ ist und die Cartan-Ableitung lediglich dierenziert und den
Typ nicht andern kann, mu D wie ungerade sein.
Wir erhalten ein zu dD = aquivalentes Gesetz, indem wir uber ein
beliebiges Gebiet V integrieren und auf der linken Seite den Stokesschen
Satz anwenden. Die resultierende Beziehung heit das Gausche Gesetz:
Z
@V
D=
Z
V
:
In Worten besagt es, da das Flachenintegral der elektrischen Erregung uber
den Rand eines Gebietes V gleich der gesamten in V enthaltenen Ladung
ist. Dieser Sachverhalt suggeriert die anschauliche Vorstellung von der elek-
Abbildung 1.3. Elektrische Flulinien einer kugelsymmetrischen Ladungsvertei-
lung
trischen Erregung als einer elektrischen Fludichte, d.h. der Stromdichte eines elektrischen Flusses, der aus elektrischen Ladungen herausquillt und von
dort nach auen stromt. Wir sagen auch, Ladungen seien die Quellen des
elektrischen Flusses. In Abb. 1.3 wird der elektrische Flu einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung durch sogenannte Flulinien bildlich dargestellt.4
Die physikalische Dimension von D ist5
4
5
Die prazise Formulierung des Flulinienbildes wird in Abschn. 1.6 gegeben.
Eine Dimension Lange geht hier nicht ein. D ist ja metrikfrei erklart und folglich
auch langenunabhangig.
1.3 Konsequenzen der Ladungserhaltung: die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
[D] = Ladung :
P
In Koordinatendarstellung D = i<j Dij dxi ^ dxj hat das dierentielle Gesetz dD = die Gestalt
@D23 + @D31 + @D12 = :
123
@x1 @x2 @x3
Die Komponenten von D tragen die physikalische Dimension [Dij ] = Ladung/Flache. Man beachte auch, da die Forderung dD = die elektrische
Erregung nicht eindeutig bestimmt. Erfullt namlich D diese Forderung, so
gilt wegen d d = 0 dasselbe fur D + d. Die eindeutige Festlegung von
D erfolgt uber zusatzliche Relationen, die wir in den Abschn. 1.5 und 1.7
vorstellen. Als Konsequenz dieser Relationen ist D zum Beispiel vom Bewegungszustand der Ladungen abhangig. Eine Mevorschrift fur D wird in
Abschn. 1.9 nachgereicht.
Die magnetische Erregung. Im nachsten Schritt betrachten wir die Summe
aus der elektrischen Stromdichte j und der Zeitableitung der elektrischen
Erregung D. Beide sind ungerade 2-Formen und haben die physikalische Dimension Ladung/Zeit. Die Summe j + D_ ist somit eine mathematisch wie
dimensionsmaig sinnvolle Groe. Auerdem ist sie geschlossen:
d(j + D_ ) = 0 ;
was mit dem Gauschen Gesetz dD = sofort aus der Kontinuitatsgleichung
dj +_ = 0 folgt. Das Poincaresche Lemma garantiert dann wieder die Existenz
eines Potentials auf jedem sternformigen Gebiet U des dreidimensionalen
Raumes:
j + D_ = dH :
Diese Gleichung heit das Ampere-Maxwell-Gesetz in dierentieller Form. Die
1-Form H tragt den Namen magnetische Erregung6 und hat die physikalische
Dimension
[H ] = Strom :
Aus Grunden mathematischer Konsistenz mussen wir verlangen, da H mit
j und D_ eine Dierentialform vom ungeraden Typ ist.
Auch hier ist es der anschaulichen Vorstellung dienlich, das dierentielle
Gesetz dH = j + D_ in integrale Form umzuschreiben. Durch Integration uber
eine beliebige Flache S und Anwenden des Stokesschen Satzes bekommen wir
Z
Z
H = (j + D_ ) :
@S
6
S
Wir machen uns hier die Sprechweise Sommerfelds zueigen, die sich durch besondere Pragnanz und Systematik auszeichnet.
69
70
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Das Linienintegral von H langs einer geschlossenen Kurve @S ist also gleich
dem Integral von j + D_ uber eine von @S berandete Flache S. Hieraus resultiert die bildliche Vorstellung (Abschn. 1.6), da der um die zeitliche A nderung des elektrischen Flusses erganzte elektrische
R Strom von einem magnetischen Wirbelfeld begleitet ist. Das Integral H nennen wir die magnetische
Spannung langs des Weges .
H
j
H
Abbildung 1.4. Magnetische Erregung ei-
nes unendlich langen geraden stromtragenden Leiters.
P
In Koordinatendarstellung H = Hi dxi gliedert sich das dierentielle
Gesetz dH = j + D_ in drei skalare Gleichungen auf. Die erste davon lautet
@H2 @H1 = j + D_ ;
@x1 @x2 12 12
die anderen zwei entstehen durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge
f1; 2; 3g. Die Komponenten von H haben die physikalische Dimension [Hi ] =
Strom/Lange.
Was oben fur D gesagt wurde, gilt gleichermaen fur H : mit H ist auch
H + df (f eine Funktion) eine Losung der Gleichung dH = j + D_ . Folglich
wird H erst durch die Angabe zusatzlicher Relationen eindeutig bestimmt.
Eine Mevorschrift fur H ndet sich in Abschn. 1.9. Es sei auch darauf hingewiesen, da die Unbestimmtheit von D durch die Gleichung dD = unserem
logischen Aufbau keinen Abbruch tut. Der U bergang von D zu D + d erfordert lediglich die Ersetzung von H durch H _.
Die Gleichungen dD = und dH = j + D_ heien insgesamt die inhomogenen Maxwell-Gleichungen. Wie gezeigt wurde, sind sie eine unmittelbare
Konsequenz des Axioms der Ladungserhaltung. Im Kapitel uber die relativistisch kovariante Formulierung der Elektrodynamik werden wir sie zu einem
einzigen Gesetz vereinigen.
Ladungsneutralitat des Universums. Es ist noch auf eine Subtilitat bei der
Herleitung des Gauschen Gesetzes hinzuweisen. Wir waren dabei von der
1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung
71
Geschlossenheit der Ladungsdichte im dreidimensionalen Raum ausgegangen und hatten aus dem Poincareschen Lemma gefolgert, da auf jedem
sternformigen Teilgebiet des Raumes ein Potential D hat. Da wir als Modell
fur den Raum den E3 zugrunde legen und E3 selbst sternformig ist, hatten
wir auf den Zusatz "sternformiges Teilgebiet\ auch verzichten konnen. Interessant wird es jedoch,
wenn wir E3 als Modell fur den Raum durch eine
dreidimensionale Mannigfaltigkeit V , die geschlossen ist (@V = 0), ersetzen.
Unter der Forderung, da die Gleichung dD = global auf V gultig sei, haben
wir dann Z
Z
Z
Q := = dD = D ;
V
V
@V
und mit @V = 0 folgt das Verschwinden der Gesamtladung Q. Oensichtlich
reicht die Gleichung d = 0 fur die globale Existenz von D im allgemeinen
nicht aus. In einem raumlich geschlossenen Universum ist auch noch seine
Ladungsneutralitat notwendige Voraussetzung. Anschaulich lat sich dies so
verstehen, da in einem endlichen Raum der aus einer positiven Ladung hervorquellende elektrische Flu sich nicht im Unendlichen "verlieren\ kann,
sondern auf einer negativen Ladung gleicher Groe enden mu.
1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung
Die elektrische Feldstarke. Die Beobachtung zeigt, da ein elektrisch geladener Korper im ladungserfullten Raum einer raumlich veranderlichen Kraft
unterliegt, die zu seiner Ladung proportional ist. Die Ursache dieses elektrischen Kraftfeldes ist das Vorhandensein einer den Raum erfullenden Qualitat,
die wir die elektrische Feldstarke E nennen. Zu ihrer operativen Denition
betrachten wir einen Testkorper, der genau eine Ladungseinheit tragt und
moglichst geringe Ausdehnung hat. Beim Verschieben des Testkorpers langs
eines Weges ist gegen das elektrische Kraftfeld Arbeit zu leisten. Diese Arbeit setzt sich aus vielen innitesimalen Arbeiten zusammen, die sich beim
Durchlaufen von addieren, d.h. es wird langs integriert. Die Groe, die
integriert wird, ist abgesehen vom Vorzeichen die elektrische Feldstarke E .
Oenbar ist sie ihrem mathematischen Charakter nach eine (gerade) Differentialform ersten Grades. Wenn wir die bei Verschiebung langs (pro
Ladungseinheit) aufzubringende Arbeit { sie ist gleich minus der freiwerdenden Energie { mit We ( ) bezeichnen (Abb. 1.5), haben wir die denierende
Gleichung
Z
E = We ( ) :
Durch U bergang zu einem innitesimalen Weg folgt, da auf eine ruhende
Punktladung q am Ort p die elektrische Kraft
Kp(e) = qEp
72
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
:
wirkt. Diese Kraft heit auch die Coulomb-Kraft.
Testkorper
γ
Arbeit =: We (γ)
Abbildung 1.5. Per Denition ist die beim
Verschieben einer Einheitsladung langs Rfreiwerdende Energie gleich dem Wegintegral E
der elektrischen Feldstarke E .
R
Wir betonen, da das Integral E im allgemeinen Fall nicht nur vom
Anfangs- und Endpunkt von abhangt, sondernR von insgesamt; oder differentiell ausgedruckt: dE 6= 0. Insbesondere ist E fRur einen geschlossenen
Weg = @S im allgemeinen von Null verschieden. E heit dieRelektrische Spannung langs . (Fur einen geschlossenen Weg nennen wir E die
elektrische Ringspannung langs .) Die denierende Gleichung fur die elektrische Feldstarke bedeutet, da sich ihre physikalische Dimension [E ] wie folgt
konstituiert:
[E ] = Energie=Ladung :
Im Unterschied
hierzu tragen die Komponenten der elektrischen Feldstarke
P
E = Ei dxi die Dimension Energie/(LadungLange) = Kraft/Ladung.
Die magnetische Feldstarke. Die Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke
auf eine Testladung ist von deren Bewegungszustand unabhangig. Fur sich
allein genommen reicht sie nicht aus, um { in Verbindung mit dem Newtonschen Bewegungsgesetz { die Bewegung geladener Korper zu erklaren. Zum
Beispiel erfahrt ein stromtragender Leiter in der Nahe eines Stabmagneten
eine Kraft, die von seinem Ladungszustand unabhangig ist aber mit seinem
Strom, d.h. mit der Dichte und Geschwindigkeit seiner frei beweglichen Ladungstrager, linear zunimmt. Dieses Phanomen, wie viele andere Beobachtungen auch, weist auf die Existenz einer geschwindigkeitsabhangigen Kraft,
der sogenannten Lorentz-Kraft, hin. Die lokale Ursache der Lorentz-Kraft ist
eine Groe, die wir die magnetische Feldstarke B nennen. Wie E denieren
wir auch B in metrikfreier und invarianter Weise uber den Arbeitsbegri. Es
sei dazu ein Teststrom in Form eines elektrisch neutralen aber stromtragenden Leiterstucks mit moglichst kleinem Querschnitt gegeben. Der Teststrom
betrage genau eine Stromeinheit. Wir xieren den Leiter an zwei Punkten a
und b und bezeichnen mit den Weg des dazwischenliegenden Leiterstucks
(Abb. 1.6). Nun verandern wir den Verlauf des Zwischenstucks von nach
0 . Dabei uberstreicht das Leiterstuck eine orientierte Flache S1 , die durch
@S1 = 0 berandet ist. Das Verschieben des Leiters erfordert die Arbeit Wm(S1 ). Was wir soeben beschrieben haben, ist eine Prozedur, die jeder
1.4 Axiom 2: Feldstarken und Kraftwirkung
γ
b
Teststrom I
= 1 Stromeinheit
S1
a
73
S1 = γ − γ
γ
Abbildung 1.6. Zur operativen Denition der magnetischen Feldstarke
orientierten Flache S eine reelle Zahl, namlich gerade die entsprechende Arbeit Wm(S ), zuordnet. Die Funktion S 7! Wm (S ) ist linear und deshalb als
Flachenintegral einer (geraden) Dierentialform zweiten Grades darstellbar.
Diese 2-Form identizieren wir als minus die magnetische Feldstarke B . Die
Denition von B wird also durch die folgende Formel ausgedruckt:
Z
B = Wm(S ) :
S
Oenbar hat B die physikalische Dimension
[B ] = Energie=Strom = Wirkung=Ladung :
R
Das Flachenintegral S B heit auch der magnetische Flu durch S . Wenn wir
den Charakter von B als 2-Form besonders hervorheben wollen, nennen wir
B alternativ
P die magnetische Fludichte. B hat die Koordinatendarstellung
B = i<j Bij dxi ^ dxj . Die Komponenten von B tragen die physikalische
Dimension [Bij ] = Wirkung/(LadungFlache).
Um aus der uber den Arbeitsbegri formulierten Denition der magnetischen Feldstarke einen expliziten Ausdruck fur die Lorentz-Kraft zu gewinnen, betrachten wir eine idealisierte Situation, wie sie in Abb. ?? gezeigt ist.
Dort wird ein kurzes gerades Leiterstuck, das anfangs zwischen den Punkten
p und p0 verlauft, bei konstantem Strom I in die Endkonguration zwischen
p1 und p01 parallel verschoben. Ist u der Vektor des Leiterstucks und u1 der
Verschiebungsvektor, so wird per Denition von B die Energie (fur kleines )
I
Z
S
B = IBp (u1 ; u) + O(3 )
frei. Hieraus lesen wir ab, da auf das Leiterstuck unabhangig vom Verschiebungsvektor u1 die Kraft Bp (; Iu) wirkt. Nun stellen wir uns vor, da der
Strom I durch das Geradenstuck p + su (0 s ) von einer einzelnen Ladung q mit Geschwindigkeit v verursacht wird und setzen Iu = qv (es kommt
hier nur auf das Produkt qv { eben den Strom { an). Die Lorentz-Kraft auf
diese Ladung ist dann gleich 7
7
In dem unter Theoretikern beliebten Gauschen Masystem steht in der Formel
fur die Lorentz-Kraft ein Faktor der inversen Lichtgeschwindigkeit. Ein solcher
74
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
K (m) = Bp (; qv) = (qv)Bp :
Wir fassen zusammen: auf eine Punktladung q mit Geschwindigkeit v
wirkt am Ort p die elektromagnetische Kraft
Axiom 2 : Kp = q (Ep (v)Bp ) (Kraft auf Punktladung).
Wie aus den Mevorschriften per Wegintegration bzw. Flachenintegration
zwingend folgt, mussen die in dieses Kraftgesetz eingehenden Feldstarken E
und B Dierentialformen vom geraden Typ sein.
Aufgabe
1.4.1. Empirisch ndet man, da die magnetische Arbeit Wm(S ) =
R B nur
vom Rand @S = 0 der Flache S , nicht aber von der Flache
S
selbst, abhangt. Antizipieren Sie aus dieser Beobachtung die Quellenfreiheit
der magnetischen Feldstarke (dB = 0).
1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des
magnetischen Flusses)
Per Konstruktion der Erregungen D und H in Abschn. 1.4 haben wir bereits
die inhomogenen Maxwell-Gleichungen
dD = und dH = j + D_ :
Ihnen zur Seite stellen wir jetzt ein Gesetz, das die Feldstarken E und B
miteinander verknupft. Es sei dazu S ein beliebiges orientiertes Flachenstuck
mit Rand @S . Per Postulat verlangen wir das Verschwinden der Summe aus
der Zeitableitung des magnetischen Flusses durch S und der elektrischen
Ringspannung langs @S :
@ Z B + Z E = 0 (Induktionsgesetz).
Axiom 3 : @t
@S
S
Wir sagen auch, da ein zeitlich veranderlicher magnetischer Flu eine elektrische Ringspannung induziert. Das relative Vorzeichen merkt man sich uber
die Lenzsche Regel. Sie besagt folgendes. Der magnetische
R Flu durch die orientierte Flache S nehme z.B. mitR der Zeit ab, d.h. S B_ sei negativ. Dann
ist die induzierte Ringspannung @S E positiv. Verlauft nun langs @S eine
Leiterschleife, so bewirkt die induzierte Ringspannung einen Strom, welcher
dem Durchlaufsinn von @S folgt. Wie wir spater sehen werden, erzeugt ein
solcher Strom nach dem Gesetz dH = j + D_ in Verbindung mit einer H
und B verknupfenden Relation seinerseits einen positiven magnetischen Flu
durch S . Der induzierte Strom wirkt also seiner Ursache entgegen (Lenzsche
Faktor ist hier fehl am Platz. Wie die Herleitung uber den Arbeitsbegri deutlich
herausstellt, ist die Lorentz-Kraft invariant deniert und hat keinerlei Kenntnis
von der metrischen Information, die in der Lichtgeschwindigkeit steckt.
1.5 Axiom 3: Induktionsgesetz (Erhaltung des magnetischen Flusses)
75
Regel). Historisch war es so, da das postulierte Gesetz durch die experimentellen Beobachtungen von Faraday (1831) entdeckt wurde. Es heit deshalb
ausfuhrlich das Faradaysche Induktionsgesetz.
Das Induktionsgesetz in dierentieller Form lautet
B_ + dE = 0 :
Wie nach mehrfacher Ausfuhrung derselben Manipulationen inzwischen klar
sein sollte, wird es aus
Gesetz in integraler Form gewonnen, indem man
R dem
E
mit
Stokesschen Satz in das Flachenintegral
das
Kurvenintegral
R dE umwandelt und@Sdann diedem
Beliebigkeit
der Flache S ausnutzt. Das difS
ferentielle Gesetz hat in Koordinatendarstellung die Gestalt
2 @E1
B_ 12 + @E
@x1 @x2 = 0 ;
mit zwei weiteren Gleichungen, die wieder durch zyklisches Vertauschen der
Indexmenge f1; 2; 3g entstehen.
Die magnetische Feldstarke ist quellenfrei. Wir zeigen nun, da aus dem
Induktionsgesetz in Verbindung mit der Aussage des Relativitatsprinzips {
namlich, da die Naturgesetze in allen Inertialsystemen dieselbe Form haben
{ die Gleichung dB = 0 folgt. Dazu wenden wir auf das Induktionsgesetz in
dierentieller Form die Cartan-Ableitung an und erhalten dB_ = d(dE ) = 0.
Folglich gilt dB = m mit m einer zeitunabhangigen 3-Form. Per Analogie
zur Gleichung dD = liee sich m als magnetische Ladungsdichte auassen.
Im Unterschied zu den elektrischen Ladungen waren aber die magnetischen
Ladungen, wenn sie existierten, wegen m = const (unabhangig von t) fest
mit dem Raum verankert. Es ware deshalb ein spezielles Bezugssystem ausgezeichnet, namlich jenes, bezuglich dessen die magnetischen Ladungen in
Ruhe sind. Da dies im Widerspruch zum Relativitatsprinzip stunde, folgt
das Gesetz
dB = 0 :
In Koordinatendarstellung schreibt es sich
@B23 + @B31 + @B12 = 0 :
@x1 @x2 @x3
Seine integrale Form
Z
@V
B=0
besagt, da der magnetische Flu durch jede geschlossene Flache @V verschwindet, d.h. die magnetische Fludichte ist quellenfrei. Die Gleichungen
B_ + dE = 0 und dB = 0 heien die homogenen Maxwell-Gleichungen in
dierentieller Form.
76
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
1.6 Flulinienbild
Bevor wir den axiomatischen Aufbau der Elektrodynamik mit der Aufstellung der Materialgesetze abschlieen, wollen wir innehalten und das Formulierte der intuitiven Anschauung besser zuganglich machen. Erfreulicherweise
zeichnet sich der auere Kalkul durch den besonderen Vorzug aus, da er den
Feldgroen und Gesetzen der Elektrodynamik eine bildliche Vorstellung mitliefert, mit der sich die physikalische Realitat gleichermaen anschaulich wie
akkurat beschreiben lat. (A hnliches kann der traditionelle Vektorkalkul nicht
von sich behaupten; siehe z.B. Feynmans Diskussion der Unzulanglichkeiten
des Feldlinienbildes.)
Der Schlussel zur anschaulichen Darstellung im E3 ist die U bersetzung von
(3 k)-Formen in k-Ketten, d.h. in Linearkombinationen von Flachenstucken
der Dimension k. (In einem d-dimensionalen Raum ware hier die Zahl 3
durch d zu ersetzen.) Die Motivation fur eine solche U bersetzung liegt auf der
Hand: k-dimensionalen Flachenstucke, namlich Punkte, Linien, Flachen und
Gebiete (k = 0; 1; 2; 3), lassen sich leichter visualisieren als Dierentialformen.
Die Grundlage fur die U bersetzung schuf der franzosische Mathematiker de
Rham mit dem von ihm entwickelten Begri der k-Strome, der k-Formen
und (3 k)-Ketten in einer einzigen groen Klasse von Objekten (namlich
Dierentialformen mit distributionswertigen Koezienten) zusammengefat.
Es geht also darum, aus einer k-Form ! im E3 eine (3 k)-Kette c zu
machen. Zu diesem Zweck vergleichen
R wir fur eine beliebige
"TestdierentiLinearkombination
von
alform\ das Volumenintegral EP! ^ R mit einer
R
(3 k)-dimensionalen Integralen mi ci = P mi ci . Beide Ausdrucke
sind invariant denierte lineare Funktionale (oder Distributionen) auf dem
Raum derP
Testformen. Diese Koinzidenz suggeriert die Idee, eine U bertragung
! ! c = mi ci durch folgende "Ubersetzungsformel\ (siehe Abschn. 0.19)
zu versuchen:
3
Z
E3
Z
! ^ =! :
c
Das Ausrufezeichen soll zum Ausdruck bringen, da Gleichheit nur durch
einen entweder auf der linken oder auf der rechten Seite durchzufuhrenden Grenzproze erreicht werden kann. Hier sind zwei kontrare Sichtweisen
moglich und nutzlich. Zum einen konnen wir wie oben die kontinuierliche Differentialform ! auf der linken Seite als fundamental ansehen und sie mittels
der U bersetzungsformel durch eine geeignete Kette c annahern ("Approximation des Kontinuierlichen durch das Diskrete\). Der gesunde Menschenverstand sagt uns, da wir unter der Voraussetzung hinreichender Glattheit
der Testform die Approximation beliebig genau machen konnen, indem
wir die Kette c genugend fein wahlen. (Ist ! eine 3-Form, zum Beispiel, verbessern wir die Gute der Approximation dadurch, da wir einen Punkt der
0-Kette c mit "Masse\ mi durch einen Schwarm von 100 Punkten mit Masse
m =100 ersetzen usw.) Der andere mogliche Standpunkt ist, die vorgegebene
i
1.6 Flulinienbild
77
Groe in der diskreten Kette auf der rechten Seite zu sehen und aus ihr durch
eine glatte Dierentialform zu machen ("Approximation des
"Verschmieren\
Diskreten
durch das Kontinuierliche\).
Die zweite Sichtweise wurde bereits in Abschn. 1.2 implizit verwendet, als
wir die elektrische Ladungsdichte einfuhrten. Das fundamentale Modell der
Ladungsdichte
P war ja ein System von Ladungen qi an Punkten pi, also eine 0Kette c = qi pi . Die zugehorige kontinuierliche Ladungsdichte bestimmte
sich durch die Forderung
Z
E3
f =!
X
qi f (pi )
P
Testfunktion f . Berucksichtigen wir die Schreibkonvention qi f (pi ) =
Rfurfbeliebige
, so hat diese Forderung genau die Form der obigen U bersetzungsformel.
c
Gleichheit wird erzielt, indem man den Trager der kontinuierlichen Dierentialform durch einen Grenzproze auf die Punkte pi konzentriert.
Die alternative Sichtweise ("Approximation des Kontinuierlichen durch
das Diskrete\) wollen wir am Beispiel
der elektrischen Ladungsdichte j illustrieren. Dazu betrachten wir ein System geschlossener Stromkreise i, die
stationare Strome Ii (i = 1; 2; :::) tragen. Sind die stromtragenden Kabel
dunn genug (oder die Test-1-Form A hinreichend glatt), dann gilt in guter
Naherung
Z
E3
j^A=
X Z
Ii
i
A:
wobei die geschlossenen
R der Strome wiederP Integrationswege i den Verlauf
geben. Mit c[j ] := Ii i wird die rechte Seite zu c[j] A, und die Gleichung
nimmt wieder die Gestalt der obigen U bersetzungsformel an. In diesem Fall
ubersetzen wir also die P
kontinuierliche Stromdichte j naherungsweise in die
diskrete 1-Kette c[j ] := Ii i .
Man beachte, da die U bersetzungsformel nicht nur koordinatenfrei formuliert ist, sondern auch ohne jede metrische Struktur (Skalarprodukt oder
ahnliches) auskommt. Zudem liegt Invarianz unter orientierungstreuen Diffeomorphismen des E3 vor, wenn wir die Transformationsgesetze 7! ,
! 7! ! und c 7! 1 c vereinbaren. Wir unterstreichen diese Invarianzeigenschaften, weil sie fur die logische Konsistenz unserer Darstellung unentbehrlich sind. Da auf der linken Seite der U bersetzungsformel der E3 mit
seiner Orientierung eingeht, hat eine interessante Konsequenz, die wir gleich
noch beleuchten werden.
Im folgenden wollen wir die U bersetzungsformel dazu benutzen, uns ein
anschauliches Bild von der magnetischen Feldstarke B zu verschaen. Da
die Dierentialform B den Grad k = 2 hat, ubersetzt sie sich im E3 in eine Kette der Dimension 3 2 = 1. Wir bezeichnen die 1-Kette von B mit
c[B ]. Eine eben schon angedeutete Feinheit ist, da die linke Seite der U bersetzungsregel unter orientierungsandernden Dieomorphismen des E3 (z.B.
Raumspiegelungen) das Vorzeichen wechselt, wahrend das Linienintegral auf
78
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
der rechten Seite von der Orientierung des einbettenden Raumes gar nicht
abhangt und deshalb ungeandert bleibt. Um diese Diskrepanz im Transformationsverhalten zu beheben, versehen wir die 1-Kette c[B ] mit der aueren
Orientierung durch einen Umlaufsinn (anstelle der gewohnlichen inneren
OriR
entierung durch einen Richtungssinn). Vor der Berechnung von B gema
der Integrationregeln fur Dierentialformen ist dann die auere Orientierung
von c[B ] in eine innere Orientierung umzuwandeln. Da hierbei die RechteHand-Regel (oder die Linke-Hand-Regel) im E3 eingeht, ist hiermit fur die
mathematische Konsistenz der U bersetzungsregel gesorgt. Anders verhalt es
sich fur ungerade 2-Formen wie die Stromdichte j oder die elektrische Erregung D: hier hangt das Integral auf der linken Seite der U bersetzungsregel von
der Orientierung des E3 nicht ab, und das korrekte Pendant auf der rechten
Seite ist eine 1-Kette mit einer inneren Orientierung, d.h. einem Richtungssinn (siehe Abb. 1.3 und 1.1b).
Abbildungen hier einf
ugen
Die 2-Form der magnetischen Feldstarke B wird also durch eine 1-Kette
c[B ] mit Umlaufsinn approximiert. Wir nennen die Elemente der 1-Kette
magnetische Flulinien. Nun kommt es unserer Darstellung sehr entgegen,
da die Natur spezielle physikalische Systeme kennt, wo die magnetischen
Flulinien nicht nur ein periphares Dasein als mathematisch-anschauliche
Hilfskonstruktion fristen, sondern eine experimentell beobachtbare Realitat
annehmen! So dringt in der Shubnikov-Phase von Typ-II Supraleitern ein
externes Magnetfeld in der Form von sogenannten Vortizes\ oder magnetischen Fluschlauchen in den Supraleiter ein. Jeder" Vortex tragt ein magnetisches Fluquant 0 = h=2e (h ist die Plancksche Konstante und e die
Elektronladung). Die transversale Ausdehnung eines Vortex ist system- und
> 10 7 m. [Fur die quantemperaturabhangig und von der Groenordnung tenmechanische Erklarung des Phanomens der Supraleitung und der Fluquantisierung mussen wir auf die einschlagige Literatur der theoretischen
Festkorperphysik verweisen. Kurz gesagt ist es fur die Elektronen des Supraleiters energetisch optimal, in einen makroskopisch koharenten und magnetfeldfreien Quantenzustand zu kondensieren. Wird einem Typ-II Supraleiter
durch die experimentellen Randbedingungen ein magnetischer Flu von auen aufgezwungen, dann motorisiert er (bis zu einem oberen kritischen Feld)
Abschirmstrome, die den magnetischen Flu auf schlauchformige Bereiche
der transversalen Ausdehnung eingrenzen.] Fur die Zwecke der makroskopischen Physik durfen wir die endliche Dicke der Fluschlauche vernachlassigen
und zu einem idealisierten Modell ausdehnungsloser Flulinien ubergehen.
Es versteht sich von selbst, da das Bild quantisierter magnetischer Flulinien im Vakuum oder in Medien ohne Supraleitung nur als Hilfskonstruktion
(ohne nachweisbare physikalische Realitat) unserer Anschauung nachhelfen
soll. Es sei jedoch vorweggenommen, da sich das Flulinienbild (im Unterschied zum traditionellen Feldlinienbild des Vektorkalkuls) als mathematisch
konsistent und durchaus akkurat erweisen wird, und auch nicht im Wider-
1.6 Flulinienbild
79
spruch zur Beobachtung steht, wenn wir die Flulinien nur feiner machen als
das Experiment sie aufzulosen vermag.
Im Flulinienbild (mit Fluquantisierung), das wir den folgenden Ausfuhrungen zugrunde legen, reduziert sich die Berechnung des magnetischen Flusses
durch eine Flache S zu einer elementaren Zahlaufgabe: wir zahlen ganz einfach ab, wieviele Flulinien die Flache S kreuzen und multiplizieren mit dem
Fluquant 0 . Dabei zahlen wir einen Kreuzungspunkt positiv oder negativ,
je nachdem ob der Umlaufsinn der Flulinie mit der Orientierung von S ubereinstimmt oder nicht. Im Kontinuumslimes immer feiner werdender Flulinien (mit entsprechend verkleinertem
Fluquant) geht dieses Abzahlverfahren
R
unmittelbar in das Integral S B uber, das ja invariant und metrikfrei erklart
ist. 8
Was bedeutet nun die Quellenfreiheit der magnetischen Feldstarke im
Flulinienbild? Dazu machen wir folgende formale Rechnung:
Z
E3
f dB =
Z
E3
B ^ df =
Z
c[B ]
df =
Z
@c[B ]
f;
wobei neben der U bersetzungsregel B ! c[B ] auch partielle Integration und
der Satz von Stokes verwendet wurde. Insgesamt folgt c[dB ] = @c[B ]. Das
Gesetz dB = 0 entspricht demnach @c[B ] = 0, d.h. die 1-Kette c[B ] hat
keinen Rand oder, anders ausgedruckt, magnetische Flulinien sind stets geschlossen. Fur kunftige Zwecke vermerken wir, da eine analoge Rechnung
fur eine Dierentialform ! mit beliebigem Grad deg(!) zu der Relation
c[d!] = ( 1)deg(!)+1 @c[!] :
fuhrt.
Als nachstes fuhren wir den in Abschn. 1.5 angekundigten Beweis der
A quivalenz des Induktionsgesetzes zu einem Erhaltungssatz fur magnetische
Flulinien. Dazu zeigen wir zunachst, da die Bewegung eines Systems magnetischer Flulinien mit Geschwindigkeitsfeld v die elektrische Feldstarke
E = (v)B induziert. Das Argument ist wie folgt. In Abwesenheit eines elektrischen Feldes wirkt im (lokalen) Ruhesystem der Flulinien auf einen geladenen Testkorper keine Kraft; insbesondere erleidet der Testkorper keine
Beschleunigung. Daran darf sich nach dem Relativitatsprinzip nichts andern,
wenn wir in ein gleichformig geradlinig bewegtes Bezugssystem ubergehen, in
dem die Flulinien wie die Testladung sich mit der Geschwindigkeit v bewegen. Die Testladung q unterliegt jetzt der Lorentz-Kraft K = (qv)B . Damit
keine Beschleunigung eintritt, mu eine elektrische Kraft K wirken, die der
Lorentz-Kraft genau die Waage halt. Dies erfordert aber die lokale Existenz
einer elektrischen Feldstarke E = (v)B , wie behauptet. (In der Sprache der
8
Im Gegensatz hierzu benotigt der traditionelle Vektorkalkul zur Berechnung des
magnetischen Flusses durch die Flache S das Skalarprodukt des Vektorfeldes von
B mit dem Normalenvektor von S . Hierdurch wird die metrische Struktur des
Raumes eingeschleppt, was ganz und gar unnotig und der Problemstellung an
sich vollig fremd ist.
80
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Relativitatstheorie besagt die Flulinien-Beziehung E = (v)B nichts weiter,
als da E und B sich zu einem kovarianten Tensor zweiter Stufe, namlich der
Faraday-Form F = B + E ^ dt, vereinigen.)
Wir kommen jetzt zum zentralen Thema des Abschnitts: der Begrundung
des Induktionsgesetzes im Flulinienbild. Ausgangspunkt hierzu ist das Postulat der Erhaltung des magnetischen Flusses. Im aktuellen Kontext besagt
dieses Postulat, da magnetische Flulinien nicht abrupt verschwinden oder
aus dem Nichts auftauchen. Zwar durfen sie sich auf jede erdenkliche Weise
bewegen und ihre Form andern { sie konnen auch auf einen Punkt zusammenschrumpfen und auf diese Weise annihiliert oder im inversen Proze aus
einem Punkt durch Expansion kreiert werden { aber der postulierte Erhaltungssatz verlangt, da all diese Vorgange kontinuierlich ablaufen. Da wir
auf dem Gesetz dB = 0 (Nicht-Existenz magnetischer Monopole) insistieren,
bleiben die magnetischen Flulinien auerdem zu allen Zeiten geschlossen.
Seine mathematische Formulierung ndet der postulierte Erhaltungssatz im Verschwinden der totalen Zeitableitung der magnetischen Feldstarke,
dB=dt = 0. Bekanntlich (hier wird noch ein Verweis benotigt) ist die
totale Zeitableitung gleich der partiellen Zeitableitung B_ plus der duch das
Stromen mit dem Geschwindigkeitsfeld v verursachten zeitlichen A nderung
der Flulinien. Da letztere durch die Lie-Ableitung Lv = d(v) + (v)d von
B ausgedruckt wird, schreibt sich der Erhaltungssatz in der Form
d
_
dt B = B + Lv B = 0 :
(Es ist bequem, die Rechnung anhand der Dierentialform B durchzufuhren.
Mit de Rhams Formalismus von Stromformen lat sie sich ohne weiteres auf
die 1-Kette c[B ] ubertragen.) Nun vereinfacht sich aber mit dB = 0 und
E = (v)B die Lie-Ableitung zu Lv B = d(v)B = dE , und es folgt das
Induktionsgesetz
0 = dtd B = B_ + dE :
Das Induktionsgesetz lat sich also als Kontinuitatsgleichung fur magnetische
Flulinien verstehen.
ahnliches Argument trit auch fur die elektrische Erregung zu... ... ...
1.7 Axiom 4: Materialgesetze
Machen wir eine Bestandsaufnahme. Oben haben wir 12 unbekannte Funktionen : Raum Zeit ! R eingefuhrt, namlich die 3+3+3+3 Komponenten der
Feldgroen E , B , D und H . Dieser Zahl stehen bislang 8 skalare Gleichungen gegenuber. Es sind dies die 1 + 3 + 3 + 1 Komponenten der Gleichungen
dD = , dH = j + D_ , dE = B_ und dB = 0 in dieser Reihenfolge. Wir
haben also mehr zu bestimmende Funktionen als Bestimmungsgleichungen.
1.7 Axiom 4: Materialgesetze
81
Das Miverhaltnis ist sogar noch groer als es auf den ersten Blick scheint,
denn die skalaren Gleichungen dD = und dB = 0 sind gar keine dynamischen Gleichungen sondern Nebenbedingungen. Erfullen namlich D und B
diese Gleichungen zur Zeit t = 0, so tun sie das infolge der Gultigkeit der
dynamischen Gleichungen dH = j + D_ und dE = B_ fur alle Zeiten.
Aufgabe 1.7.1. Veriziere diese Aussage fur die Gleichung dD = .
Zur Bestimmung von 12 zeitabhangigen Funktionen stehen bislang 6 dynamische Gleichungen bereit. Es mussen daher zusatzliche Beziehungen zwischen den Feldern geknupft werden, um das Gleichungssystem zu schlieen.
Dies geschieht durch die sogenannten Materialgleichungen, welche die elektrische Erregung und die elektrische Feldstarke einerseits, und die magnetische
Erregung und die magnetische Feldstarke andererseits, zueinander in Beziehung setzen. Sie lauten:
D = "0 ? E und B = 0 ? H :
Hierbei ist ? der Sternoperator (?dx = dy ^ dz ), und "0 und 0 sind zwei
empirische Konstanten. "0 heit die dielektrische Konstante des Vakuums
und 0 die magnetische Permeabilitat des Vakuums . Die Materialgleichungen zeichnen sich durch die folgenden Eigenschaften aus. Sie sind linear, sie
sind lokal (d.h. sie verknupfen die elektromagnetischen Feldstarken am Ort p
und zur Zeit t mit den elektromagnetischen Erregungen nur am selben Ort
und zur selben Zeit), und sie sind wegen der Invarianz des Sternoperators unter Euklidischen Bewegungen translations- und rotationsinvariant. Man kann
zeigen, da diese Eigenschaften ihrerseits die Form der Materialgleichungen
vollstandig bestimmen.9 Die Invarianz der Materialgleichungen unter Translationenen und Rotationen druckt die Homogenitat und Isotropie des Raumes
aus.
Die Materialgleichungen sind mathematisch sinnvoll: in beiden Fallen
wird durch ? eine Dierentialform ersten Grades auf eine Dierentialform
zweiten Grades abgebildet. Da die Operation des Sternoperators die physikalische Dimension der 1-Form auf der rechten Seite jeweils um die einer Lange
erhoht, gilt fur die Dimensionen der Proportionalitatskonstanten
9
Die Gultigkeit der Materialgleichungen in der angegebenen Form setzt voraus,
da in den inhomogenen Maxwell-Gleichungen durch und j die gesamte Ladungsdichte und Stromdichte erfat wird. Zur phanomenologischen Beschreibung
von Festkorpern und anderen Materieformen ist es jedoch zweckmaig, nur einen
ausgewahlten Teil der Ladungstrager explizit zu behandeln und den Rest durch
Umdenition der Felder D und H aus dem Gleichungssystem zu eliminieren.
Wie wir Abschn. 1.11 sehen werden, gehen dabei im allgemeinen Lokalitat, Rotationsinvarianz, Translationsinvarianz und Linearitat der Materialgleichungen
verloren.
82
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
[D] = Ladung
["0 ] = Lange
[E] EnergieLange ;
[B] = EnergieZeit :
[0 ] = Lange
[H] Ladung Lange
Im SI-Masystem ist 0 per Denition der Stromeinheit Ampere auf den
numerischen Wert 0 = 4 10 7 Newton=(Ampere)2 festgelegt. (Newton ist die Krafteinheit Kilogramm Meter=(Sekunde)2 .) Zum numerischen
Wert von "0 werden wir gleich noch etwas sagen. In Koordinatendarstellung
bezuglich eines kartesischen Koordinatensystems haben wir
D12 = "0 E3 ; D23 = "0 E1 ; D31 = "0 E2 ;
B12 = 0 H3 ; B23 = 0 H1 ; B31 = 0 H2 :
Die durch die Materialgleichungen geknupften Verwandtschaften honorieren
wir dadurch, da wir E wie D pauschal das elektrische Feld nennen, und B
wie H pauschal das magnetische Feld. Alle Groen E , D, B und H zusammen
nennen wir das elektromagnetische Feld.
Zusammenfassung. An dieser Stelle tragen wir alle Gleichungen zusammen,
denen die elektromagnetischen Felder genugen:
inhomogene
Materialhomogene
Maxwell-Gln Gleichungen Maxwell-Gln
dD = D = "0 ? E
dE = B_
dH = j + D_
B = 0 ? H
dB = 0
2
2
2
Dies sind die Grundgleichungen der elektromagnetischen Theorie. Fur vorgegebene Ladungen und Strome bilden sie ein vollstandig determiniertes System. Zum Beispiel kann man die 1-Formen E und H zugunsten der 2-Formen
D und B eliminieren und erhalt:
D_ = j + 0 1 d ? B ;
B_ =
"0 1 d ? D :
Diese Gleichungen zusammen mit den Nebenbedingungen dD = und dB =
0 denieren ein eindeutig losbares Anfangswertproblem, das wir im Kapitel
uber elektromagnetische Wellenausbreitung untersuchen werden.
Aufgabe 1.7.2. Dem elektromagnetischen Feld werden mittels ? und des kanonischen Isomorphismus I die Vektorfelder E = I 1 E , B = I 1 ? B ,
D = I 1 ? D und H = I 1H zugeordnet. Auerdem sei := ? und
j := I 1 ?j . Zeige, da die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie unter
diesen Zuordnungen mit den in Abschn. 0.10 denierten Dierentialoperatoren div und rot die folgende Gestalt annehmen: divD = , rotH = j + @ D=@t,
rotE = @ B=@t, divB = 0, D = "0 E und B = 0 H.
1.7 Axiom 4: Materialgesetze
83
Metrische und dierentielle Struktur. In den Grundgleichungen der elektromagnetischen Theorie, so wie sie oben aufgeschrieben sind, sehen wir die differentielle Struktur des Raumes (und der Zeit) von seiner metrischen Struktur
klar getrennt. Die homogenen und inhomogenen Maxwell-Gleichungen enthalten neben den Feldern und Stromen nur den Dierentialoperator d. Da
d metrikfrei erklart ist, sind die Maxwell-Gleichungen nicht an die metrische Struktur von E3 gebunden. Dies hat die erfreuliche Konsequenz, da
sie beim U bergang zu einer gekrummten Raum-Zeit, wie sie die Einsteinsche
Gravitationstheorie erfordert, ihre Gultigkeit behalten. Im Gegensatz hierzu hangen die Materialgleichungen durch den Sternoperator sehr wohl von
der metrischen Struktur des Raumes ab. (Wie wir in der zweiten Halfte der
Vorlesung sehen werden, bestimmen die empirischen Konstanten "0 und 0
eine Lorentzsche metrische Struktur auf der vierdimensionalen Raum-Zeit.)
Bei der Einfuhrung der Maxwell-Gleichungen via Denition der Felder bzw.
per Postulat haben wir alle Gleichungen in dierentieller Form jeweils auch
in Koordinatendarstellung angegeben. Wir mochten hier besonders hervorheben, da diese Gleichungen in allen Koordinatensystemen { krummlinige
eingeschlossen { dieselbe Form haben. Hierfur sind die kartesischen Koordinaten x1 ; x2 ; x3 lediglich durch krummlinige Koordinaten 1 ; 2 ; 3 zu ersetzen.
Fur die Materialgleichungen in der angegebenen Koordinatendarstellung ist
jedoch die Orthonormalitat der Basis dx1 ; dx2 ; dx3 wesentlich. Sie andern
beim U bergang zu krummlinigen Koordinaten ihre Form.
Paritatsinvarianz. Gehen wir zuruck und inspizieren wir die Formulierung
aller Gesetze, dann fallt uns auf, da wir nirgendwo die Orientierung des
Raumes benutzen muten... ... ...
Magnetische Monopole. Wir wollen den Faden noch etwas weiter spinnen und
auf die Moglichkeit hinweisen, da neben den elektrischen Ladungen auch
magnetische Ladungen { als dynamische Groen { existieren konnten. Der
Widerspruch zum Relativitatsprinzip entstand ja dadurch, da das Induktionsgesetz in der angegebenen Form nur statische Ladungen (und somit gar
keine) zulat. Wenn wir den magnetischen Ladungen eine dynamische Existenz zugestehen und das Induktionsgesetz um eine magnetische Stromdichte
jm erweitern, entsteht das Gleichungssystem
dB = m ;
dD = e ;
_
dE = jm + B ;
dH = je + D_ ;
wobei die Symbole e ; je fur ; j stehen. Dieses Gleichungssystem ist unter
der Voraussetzung, da das Gesetz der Ladungserhaltung auch fur magnetische Ladungen gilt, mit allen bekannten Prinzipien der Physik vertraglich
(siehe dazu Kap. ??), und es zeichnet sich auerdem durch eine perfekte Symmetrie { von einem Vorzeichen abgesehen { zwischen den elektrischen und
magnetischen Feldern aus. Es ist aber bis heute nicht gelungen, die Existenz
84
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
magnetischer Ladungen experimentell nachzuweisen. Die Natur hat anscheinend von dieser theoretischen Moglichkeit keinen Gebrauch gemacht.10
Lichtgeschwindigkeit. Oben haben wir die physikalische Dimension der Naturkonstanten "0 und 0 angegeben. Die Kombination c := ("0 0 ) 1=2 hat,
wie man sieht, die physikalische Dimension einer Geschwindigkeit. Um die Bedeutung dieser Geschwindigkeit zu klaren, machen wir eine kleine Rechnung.
Im Vakuum, d.h. in Abwesenheit von Ladungen und Stromen, reduzieren sich
die Feldgleichungen fur D und B zu
dD = 0 ; dB = 0 ; D_ = 0 1 d ? B ; B_ = "0 1 d ? D :
Spezielle Losungen hiervon sind leicht zu nden. Betrachte zum Beispiel fur
eine dierenzierbare Funktion f : R ! R die Ausdrucke
B = f (z ct)dz ^ dx und D = (0 c) 1 f (z ct)dy ^ dz :
Die angegebenen Fludichten sind oensichtlich quellenfrei (dD = dB = 0),
und an den Gleichungen
B_ = cf 0(z ct)dz ^ dx = "0 1 d ? D ;
D_ = 0 1 f 0 (z ct)dz ^ dy = 0 1 d ? B
erkennt man, da auch die dynamischen Feldgleichungen fur B und D erfullt
sind. Was ist nun die Bedeutung dieser Losung der Gleichungen fur das
elektromagnetische Feld im ladungsfreien Raum? Sei dazu f eine \lokalisierte" Funktion (Abb. 1.7) mit Maximum bei Null. Die angegebene Losung
beschreibt dann eine planare, in z -Richtung raumlich lokalisierte elektromagnetische Welle, deren Kamm zur Zeit t auf der Ebene z = ct liegt. Die
Welle bewegt sich (ohne A nderung ihres Prols) mit der Geschwindigkeit
c fort. c ist also die Lichtgeschwindigkeit, d.h. die Fortpanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum. Messungen haben fur c den
Wert c = 2:9979 108 Meter=Sekunde ergeben. Hierdurch ist jetzt auch
die Konstante "0 festgelegt. Sie hat den numerischen Wert "0 = 1=0 c2 =
8:8544 10 12 (Coulomb)2 =(Joule Meter).
10
Es sind theoretische Anstrengungen gemacht worden, Materie und Strahlung bei
extrem hohen Energiedichten, wie sie z.B. fur den Bruchteil einer Sekunde nach
dem Urknall existierten, durch sogenannte "groe vereinheitlichte Feldtheorien\
(engl. grand unied theories, kurz: GUTs) zu beschreiben. In diesen Feldtheorien werden magnetische Ladungen als topologisch nichttriviale Losungen der
Feldgleichungen auf ganz naturliche Weise und in reicher Anzahl produziert. Es
ist fur solche Feldtheorien daher problematisch, da magnetische Ladungen bislang nicht beobachtet worden sind. GUTs werden durch die Nichtbeobachtung
magnetischer Ladungen aber nicht ausgeschlossen, denn es lassen sich kosmologische Modelle konstruieren, die fur eine hinreichend groe "Ausdunnung\ der
magnetischen Ladungen sorgen. Beachte auch die physikalische Dimension [m]
= Energie/Strom = Wirkung/Ladung. Dirac hat schon 1932 gezeigt, da magnetische Ladungen, wenn sie existieren, den Prinzipien der Quantentheorie zufolge
nur als ganzzahlige Vielfache von h=e mit h dem Planckschen Wirkungsquantum
und e der Elektronladung auftreten konnen.
1.8 Energiesatz
f (z-ct1)
85
f (z-ct2)
t1 < t2
z
z = ct1
Abbildung 1.7. Fortpanzung einer Wellenfront
z = ct2
1.8 Energiesatz
In einer zeithomogenen Welt gilt ganz prinzipiell das Gesetz der Energieerhaltung. Da das elektromagnetische Feld auf geladene Korper Krafte ausubt
und ihnen auf diese Weise Energie zufuhrt oder entzieht, mu auch das elektromagnetische Feld Trager von Energie sein. Ausdrucke fur die Energiedichte
und die Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes werden aus den
Grundgleichungen der Theorie wie folgt hergeleitet.
Leistung des Feldes an der Materie. In einem vorbereitenden Schritt betrachten wir uber ein Gebiet V kontinuierlich verteilte Ladungstrager mit
elektrischer Ladungsdichte . Jedem Punkt p 2 V werde durch das Vektorfeld v : V ! R3 (fur eine feste Zeit t) die lokale Geschwindigkeit v(p)
der Ladungstrager zugeordnet. Gema ihrer Denition leistet die elektrische
Feldstarke E an einem ausdehnungslosen Korper am Ort p mit Ladung q
und Geschwindigkeit v(p) pro Zeiteinheit die Arbeit qEp (v(p)) = qiv(p) Ep .
Materie in U wird also pro Zeiteinheit insgesamt die Energie
RDerigeladenen
E
zugef
u
hrt. Wegen ^ E = 0 (als 4-Form im E3 mu ^ E verV v
schwinden) gilt iv ( ^ E ) = 0 und folglich iv E = (iv ) ^ E . Mit iv = j
(siehe
1.2.1) haben wir dann fur die Gesamtleistung den Ausdruck
R E ^Aufgabe
j
.
Besteht
die Materie { wie das z.B. fur einen Festkorper oder ein
V
zweikomponentiges Plasma der Fall ist { aus mehreren durch k = 1; :::; N
indizierten Komponenten, so fuhren wir die obige U berlegung fur jede Komponente separat durch und bilden am Ende diePSumme. Der Ausdruck fur
die Gesamtleistung bleibt dann richtig mit j = j (k) .
Aufgabe 1.8.1. Zeige, da die Leistung der magnetischen Feldstarke an der
Materie gleich Null ist. (Tip: nach Aufgabe ?? hat die Lorentz-Kraft Kp auf
einen Korper am Ort p mit Ladung q und Geschwindigkeit v(p) den Ausdruck
Kp = qiv(p) Bp .)
Im zweiten Schritt berechnen wir die Zeitableitung der 3-Form E ^ D:
@ (E ^ D) = " @ (E ^ ?E ) = " (E_ ^ ?E + E ^ ?E_ ) = 2E ^ D_ :
0 @t
0
@t
Ganz analog zeigt man die Relation @^t (B ^ H ) = 2B_ ^ H . Es folgt
86
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
1@
_ _
2 @t (E ^ D + B ^ H ) = E ^ D + B ^ H =
E ^ (dH j ) + ( dE ) ^ H = d(E ^ H ) E ^ j ;
wobei fur das zweite Gleichheitszeichen die dynamischen Maxwell-Gleichungen D_ = dH j und B_ = dE benutzt wurden. Dieses Resultat nimmt mit
den Denitionen u = (E ^ D + B ^ H )=2 und s = E ^ H die folgende Gestalt
an:
u_ + ds = E ^ j :
Die rechte Seite ist, wie wir schon wissen, nach Integration uber V gleich der
Rate der Energie, die vom elektromagnetischen Feld an die geladene Materie
abgegeben wird. Die linke Seite hat { fur verschwindende rechte Seite und
mit den Identikationen u ! , s ! j { die dierentielle Form einer Kontinuitatsgleichung. Die Interpretation des Resultats liegt somit auf der Hand:
die 3-Form
u = 21 (E ^ D + B ^ H )
ist die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes, und die 2-Form
s=E^H
ist seine Energiestromdichte. E ^ H heit traditionell \Poynting-Vektor". Wir
nennen diese Groe besser die Poynting-2-Form. Beachte, da { im Unterschied zur N -Teilchen-Mechanik, wo die potentielle Energie des Systems dem
Raum nicht lokal zugeordnet ist { Energie und Energiestrom des elektromagnetischen Feldes lokalisierbar sind: mit Kenntnis von u und s konnen wir
quantizieren, wo sich die Energie des elektromagnetischen Feldes bendet
und wohin im Raum sie stromt.11
Aufgabe 1.8.2. Fur die in Abschn. 1.7 (Lichtgeschwindigkeit) angegebene Losung der Feldgleichungen gilt: E ^D = B ^H = u = 0 1 f (z ct)2 dx^dy ^dz
und E ^ H = c0 1 f (z ct)2 dx ^ dy. Interpretiere dieses Ergebnis.
1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen
Motivation. An der Grenzache zwischen zwei Medien konnen sich in singularer Konzentration Ladungen ansammeln oder Strome ieen. Prominente Beispiele hierfur sind Metall-Vakuum- oder Supraleiter-Vakuum-Grenzachen. Die Ladungen und Strome in der Grenzache werden in makroskopischer Naherung als ausdehnungslos in der zur Grenzache senkrechten Richtung angesehen. Es resultieren dann gewisse Anschlubedingungen, die festlegen, wie sich die Tangentialkomponenten des elektromagnetischen Feldes uber
11 Die hier angestellte Betrachtung legt u und s nicht eindeutig fest... in die angegebene Form geht eine zusatzliche Hypothese ein...
1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen
87
die Grenzache hinweg fortsetzen. Die Herleitung dieser Anschlubedingungen ist eine einfache Anwendung der homogenen und inhomogenen MaxwellGleichungen in integraler Form. Als Nebenprodukt erhalten wir Mevorschriften fur D und H , welche die schon angegebenen Mevorschriften fur E und
B komplettieren.
Anschlubedingungen fur die Feldstarken. Gegeben seien zwei Medien 1 und
2, die von einer
R ache gegeneinander abgegrenzt werden. Das InduktiR Grenz
onsgesetz @S E = S B_ erlaubt die Herleitung einer Anschlubedingung fur
die elektrische Feldstarke E in der folgenden Weise. Wie in Abb. 1.8a gezeigt
ist, schneiden wir die Grenzache mit einem zweidimensionalen Flachenstuck
S . Der Rand @S ist ein geschlossener Weg, der die Grenzache im Punkt a
durchsticht, im Medium 1 parallel zur Grenzache (d.h. in konstantem Abstand von ihr) langs 1 verlauft, die Grenzache im Punkt b erneut durchsticht und schlielich im Medium 2 parallel zu 1 langs 2 zum Ausgangspunkt
zuruckkehrt. Die Kurvenstucke senkrecht zur Grenzache haben die Lange `.
Wir schicken ` gegen Null. Unter dieser Kontraktion konvergieren die Kurven 1 und 2 gegen bzw. (Abb. 1.8b).
R Gleichzeitig verschwindet die
Flache von S und somit auch das Integral S B_ , denn die Zeitableitung der
magnetischen Feldstarke B ist regular. Es folgt
Z
(E (2) E (1) ) = 0 ;
wobei E (i) (i = 1; 2) den Grenzwert bezeichnet, dem E bei Annaherung
an die Grenzache vom Medium i her zustrebt. Aus der Beliebigkeit von
schlieen wir nun, da sich die Tangentialkomponenten von E uber die
Grenzache hinweg stetig fortsetzen.
(a)
a
γ1
b
Querschnitt durch
die Grenzflache
:
Medium 1
γ2
:
l
Flache S
a
1
Medium 2
b
γ
2
(b)
Abbildung 1.8. Skizze zur Herleitung der Anschlubedingung fur die elektrische
Feldstarke an der Grenzache zweier Medien
88
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
:
ZurR Herleitung einer Anschlubedingung fur B gehen wir von der Gleichung @V B = 0 aus und wahlen das Gebiet V als einen deformierten Quader, welcher einen Teil der die Medien 1 und 2 gegeneinander abgrenzenden
Trennache enthalt (Abb. 1.9). Der Rand von V besteht aus zwei groen Seitenachen S1 und S2 , die parallel zur Grenzache in den Medien 1 bzw. 2
liegen, und vier kleinen Seitenachen senkrecht zur Grenzache. Die Orientierung des deformierten Quaders bestimmt eine Orientierung auf S1 und
auf S2 . Wir lassen die RLange der Kanten senkrecht zur Grenzache wieder
gegen Null gehen. Zu @V B tragen dann nur die Flachenstucke S1 ! S
und S2 ! S bei. Bezeichnen wir den Grenzwert von B bei Annaherung von
Grenzflache
S2
S1
(hinten)
(vorn)
:
V
Linie in der Grenzflache
Abbildung 1.9. Skizze zur Herleitung der Anschlubedingung fur die magnetische
Feldstarke
Medium i an die Grenzache mit B (i) (i = 1; 2), so erhalten wir
Z
S
(B (2) B (1) ) = 0 :
Da S ein beliebiger Teil der Grenzache ist, folgt die Stetigkeit der zur Grenzache tangentialen Komponente von B .
In traditionellen Lehrbuchern ndet man an dieser Stelle immer die Aussage, es sei die Normalkomponente von B , die sich stetig verhielte. Dazu ist
folgendes anzumerken. Die traditionelle Formulierung des Gesetzes von der
Quellenfreiheit der magnetischen Fludichte B besagt in Worten, da die
uber eine geschlossene (aber ansonsten beliebige) Flache integrierte Normalkomponenente des Vektorfeldes B = I 1 ? B verschwindet. Die sich hieraus
ergebende Anschlubedingung fur B ist \metrisch verseucht", setzt sie doch
1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen
89
uber den Begri des Normalenvektors einer Flache eine metrische Struktur
voraus, die, wie unsere Herleitung zeigt, fur diesen Zweck uberhaupt nicht
gebraucht wird! Wir vertreten den Standpunkt, da physikalische Groen
wie die magnetische Fludichte B , deren Bestimmung es ist, uber Flachen
integriert zu werden, als Dierentialformen zweiten Grades aufzufassen sind.
R
Nach Abschn. 0.14 ist fur ein orientiertes Flachenstuck S das Integral S B
durch die zu S tangentiale Komponente von B vollstandig bestimmt. Um mit
der traditionellen Formulierung der Anschlubedingung ubereinzustimmen,
muten wir von unseren Konventionen abweichen und in Koordinatendarstellung B = Bxy dx ^ dy + Byz dy ^ dz + Bzx dz ^ dx z.B. die zur xy-Ebene tangentiale Komponente Bxy in \Normalkomponente" umbenennen. Eine solche
Umbenennung ware inkonsequent.
ErAnschlubedingungen fur die Erregungen. Das Verhalten
R
R der elektrischen
regung D an Grenzachen wird durch das Gesetz @V D = V bestimmt.
Wir betrachten nochmals Abb. 1.9 und fuhren denselben Grenzproze durch
wie fur die magnetische Feldstarke B . Falls eines der beiden Medien elektrisch
leitet, ist jetzt die Moglichkeit zu berucksichtigen, da sich an der Grenzache
elektrische Ladungstrager in sehr hoher Dichte ansammeln. Typischerweise
konzentrieren sich solche Oberachenladungen in einer dunnen Schicht von
etwa 10 10 Metern Dicke. Fur alle praktischen Zwecke der makroskopischen
Physik ist es zulassig, eine so kleine Lange wie 10R 10m durch Null zu ersetzen. Mit dieser Idealisierung bleibt das Integral V fur ` !R 0 endlich.
R Wir
denieren die Flachenladungsdichte , eine 2-Form, durch V ! S fur
`R ! 0. Mit denselben
Schreibkonventionen wie vorher folgt die Gleichung
(2) D(1) ) = R oder, in dierentieller Form
S
S (D
(D(2) D(1) )tang = ;
d.h. die Tangentialkomponente von D verhalt sich uber die Grenzache hinweg unstetig, und die Diskontinuitat ist gerade gleich der Flachenladungsdichte .
Um eine Anschlubedingung fur die magnetische
Erregung
H herzuleiR
R
ten, gehen wir vom Ampere-Maxwell-Gesetz @S H = S (j + D_ ) aus und
stellen eine ahnliche U berlegung an wie fur die elektrische Feldstarke E . Der
Unterschied zu vorher besteht darin, da wir zwar die Regularitat von D_ {
wie zuvor von B_ { voraussetzen, aber singulares Verhalten der Stromdichte j
in der Grenzache zulassen. Ein typisches Beispiel sind Vakuum-SupraleiterGrenzachen mit groen Oberachenstromen in einer Schichtdicke von etwa ` 10 7 Metern, die fur die Zwecke der makroskopischen Physik vernachlassigt werden kann. Wir charakterisieren die singulare Stromdichte an
der Grenzache durch die Linienstromdichte k, eine 1-Form, die folgendermaen deniert ist. Betrachte einen in der Grenzache liegenden Weg und
ein Flachenstuck S , das die Grenzache langs schneidet (Abb. 1.10). Die
Orientierung von S wird so gewahlt, da der Durchlaufsinn von @S im Medium 2 mit dem von ubereinstimmt. Mit diesen Konventionen verlangen
90
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
..
Medium 1 (oben)
Grenzflache
γ
S
positiver
Strom
Medium 2 (unten)
Abbildung 1.10. Das Wegintegral der Linienstromdichte k langs ist gleich dem
kreuzenden Strom. Die positive Stromrichtung wird durch den gestrichelten Pfeil
angedeutet.
R
R
wir S j ! k fur ` ! 0, d.h. das Integral der Linienstromdichte langs ist
gleich dem kreuzenden Strom. Aus der Denition von j uber die RechteHand-Regel (Abschn. 1.2) ergibt sich die in Abb. 1.10 durch den gestrichelten Pfeil angedeutete positive Stromrichtung. Ausfuhren des Grenzprozesses
`R ! 0 im Ampere-Maxwell-Gesetz
resultiert dann in der Anschlubedingung
(2) H (1) ) = R k . Ihre dierentielle Formulierung
(
H
(H (2) H (1))tang = k
besagt, da der tangentiale Teil von H beim Durchgang durch die Grenzache
um die Linienstromdichte k springt.
Aufgabe 1.9.1. Es seien p ein Punkt in der stromfuhrenden Grenzache und
v ein Vektor, der am Punkt p tangential zur Grenzache liegt. Weiter sei u
irgendein Vektor, der am Punkt p ins Medium 2 hineinzeigt. Begrunde warum
kp (v) unabhangig von der genauen Wahl von u durch den Ausdruck
kp (v) =
Z +"
"
jp+su (u; v)ds
gegeben ist.
Mevorschrift fur D. Metallische Leiter werden durch die freie Beweglichkeit
eines Teils ihrer Ladungstrager, der sogenannten Leitungselektronen, charakterisiert. Ein Leiter im Gleichgewicht ist in seinem Inneren notwendig elektrisch feldfrei, denn eine von Null verschiedene elektrische Feldstarke wurde
ja die frei beweglichen Ladungstrager beschleunigen und einen Strom bewirken. Die Feldfreiheit wird durch Oberachenladungen erzielt, die sich auf der
Leiteroberache justament so ansammeln, da sie das Leiterinnere gegen ein
aueres elektrisches Feld abschirmen. Wegen D = "0 ? E 12 verschwindet mit
12
Von der metrischen Struktur wird hier kein wesentlicher Gebrauch gemacht. Wir
benuzen lediglich E = 0 , D = 0.
1.9 Anschlubedingungen an Grenzachen
91
der elektrischen Feldstarke auch die elektrische Erregung D im Inneren eines Leiters im Gleichgewicht. Dieser Sachverhalt ermoglicht im Prinzip die
Messung von D durch folgende Prozedur.
Unsere Aufgabe bestehe darin,
R fur ein vorgegebenes (orientiertes) Flachenstuck S den elektrischen Flu S D zu messen. Fur diesen Zweck beschaen
wir uns eine Mesonde, die aus zwei S nachgeformten, dunnen Metallplatten
besteht. Vor Mebeginn werden die beiden Platten in den elektrisch neutralen
Zustand versetzt und aufeinandergelegt. Die Platten im vereinigten Zustand
bringen wir mit dem Flachenstuck S zur Deckung, um sie dann wieder zu separieren (vgl. Abb. 1.11). Die Platten sind jetzt elektrisch geladen. (Wahrend
(a)
S
(b)
+Q
(c)
+
+
−
+
D=0
−
−
+
−
+Q
-Q
-Q
Abbildung 1.11. Zur Messung von D: Zwei Metallplatten werden mit der orientierten Flache S zur Deckung gebracht (a) und dann separiert (b). In (c) ist
die Abschirmung des elektrischen Flusses (D = 0) durch die induzierte Flachenladungsdichte in einer Seitenansicht skizziert. Eine gute Abbildung (c) wurde das
Abknicken der elektrischen Flulinien andeuten. Die elektrischen
Flulinien laufen ja immer senkrecht auf metallische Oberfl
achen zu.
Auerdem ben
otigt die Fl
ache
eine 
auere Orientierung.
S
des Kontakts rearrangierten sich die Leitungselektronen, um das Innere der
vereinigten Metallplatten gegen die elektrische Feldstarke am Ort der Messung abzuschirmen.) Die Ladungen der beiden Platten sind dem Betrag nach
gleich und im Vorzeichen verschieden. Durch das Flachenstuck S wird beiden
Platten eine Orientierung mitgegeben. Wir messen die Ladung derjenigen
Platte, die von auen gesehen die mathematisch positive Orientierung (Gegenuhrzeigersinn) tragt. Aus der Anschlubedingung, die D uber eine geladene Platte hinweg fortsetzt, und aus dem Verschwinden von D zwischen den
innitesimal
Platten folgt, da das Resultat der Messung gleich
R D ist. Soll separierten
die
elektrische
Erregung im Inneren eines Festkorpers gemessen
S
werden, so mussen wir ein Loch bohren und die Mesonde an die betreende
Stelle bringen. Falls Zeitabhangigkeit vorliegt, mussen wir schneller messen
als das Feld D sich andert.
Aufgabe 1.9.2. Die Mevorschrift fur D basiert auf dem Gauschen Gesetz
(dD = ). Nun wird aber D durch dD = nicht eindeutig festgelegt, denn mit
D ist ja auch D +d Losung der Gleichung! Man konnte daher einwenden, da
eine bloe Ladungsmessung zur Bestimmung von D nicht ausreichen kann.
Warum funktioniert die Mevorschrift trotzdem?
92
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Mevorschrift fur H. Supraleiter13 haben die hochinteressante Eigenschaft,
Magnetfelder unterhalb einer kritischen Starke vollstandig aus ihrem Inneren zu verdrangen. Man sagt, Supraleiter seien perfekte Diamagneten. Die
Magnetfeldverdrangung wird dadurch erreicht, da an der Oberache eines
Supraleiters Strome zirkulieren, deren Magnetfeld das externe Magnetfeld
im Inneren des Supraleiters exakt kompensiert. Dieser Eekt gestattet im
Prinzip die Messung von H durch eine Prozedur, die der oben beschriebenen
Mevorschrift fur D analog ist. Sie basiert auf der Anschlubedingung fur
die Tangentialkomponente von H und funktioniert folgendermaen.
Wir stellen Runs die Aufgabe, fur einen beliebigen Weg die magnetische Spannung H zu messen. Dazu verwenden wir einen schlauchformigen
Testkorper aus supraleitendem Material (Abb. 1.12). Der Schlauch sei in Form
Suprastrom
γ
Abbildung 1.12. Skizze zur Mevorschrift fur H
und Lange dem Weg exakt nachgebildet, habe aber einen endlichen Querschnittradius ( 10 7 m) (Erinnerung daran, wie es zu dieser mikroskopischen
L
ange kommt). Wir bringen den supraleitenden Schlauch an den Meort. Der
Supraleiter setzt dann in Reaktion auf ein aueres Magnetfeld Strome in
Bewegung, die an seiner Oberache ieen und die magnetische Fludichte
B , und damit auch die magnetische Erregung H , aus seinem Inneren vollig
verdrangen. Auf der Oberache des Schlauches sei eine Meapparatur angebracht (Gedankenexperiment), die es uns gestattet, den um den Schlauch
zirkulierenden Oberachenstrom zu messen. Wir messen den Oberachenstrom durch den Weg
R . Das Resultat der Messung ist dann gleich der zu
messenden Groe H .
R
Aufgabe 1.9.3. Begrunde warum fur das korrekte Vorzeichen von H die
positive Stromrichtung so wie in Abb. 1.12 durch Pfeile angedeutet zu wahlen
ist.
13
Supraleitung ist ein quantenmechanisches Vielteilchenphanomen, fur dessen Erklarung wir auf die Lehrbucher der theoretischen Festkorperphysik verweisen
mussen.
1.10 Elektrodynamik in Materie
93
1.10 Elektrodynamik in Materie
Motivation. Die Gleichungen der elektromagnetischen Theorie zusammen
mit dem Kraftgesetz fur bewegte Ladungen geben im Prinzip eine vollstandige Beschreibung elektromagnetischer Phanomene im Rahmen der klassischen
Physik. Ihre Gultigkeit setzt jedoch voraus, da in die inhomogenen MaxwellGleichungen wirklich alle Ladungen und Strome eingehen { die in Materie auf
atomaren oder mikroskopischen Skalen existierenden eingeschlossen. Dieser
Umstand nimmt der oben formulierten exakten Theorie ihre Vorhersagekraft,
denn die atomaren Ladungsverteilungen und -bewegungen und ihre Reaktion auf elektromagnetische Felder sind im allgemeinen zu kompliziert, als da
wir hoen konnten, sie im Detail zu erfassen. Zudem erfordert ihre korrekte
Beschreibung den Formalismus der Quantenstatistik, der den Rahmen dieser
Vorlesung bei weitem sprengt. Um das schwierige Problem der Berechnung
atomarer Prozesse von unserem eigentlichen Ziel, namlich der Vorhersage
makroskopischer elektromagnetischer Phanomene, abzutrennen, fuhren wir
Naherungen ein und formulieren eine Maxwellsche Theorie in Materie, welche
die mikroskopischen Details auf einfache Weise berucksichtigt. Unser Vorgehen wird dabei so sein, da wir im ersten Schritt ein exaktes Umschreiben der
elektromagnetischen Theorie vornehmen. Im zweiten Schritt fuhren wir dann
ein Raum- und Zeitmittel durch, das die in Materie rapiden Schwankungen
der elektromagnetischen Felder auf mikroskopischen Skalen eliminiert, und
ersetzen die Materialgleichungen durch phanomenologische Beziehungen.
Wir beginnen, indem wir eine Aufspaltung der Ladungen und Strome in
zwei Anteile vornehmen:
= ext + mat ; und j = j ext + j mat:
Den jeweils ersten Summanden nennen wir den externen Anteil, den zweiten
den Materieanteil. Generell haben wir uns vorzustellen, da sich die externen
Ladungen und Strome auerhalb der Materie benden oder jedenfalls durch
aueren Zugri manipuliert werden konnen. Im Unterschied hierzu ist der
Materieanteil der sich jenseits unserer Kontrolle bendliche Anteil, welcher
sich in Reaktion auf die Kraftwirkung elektromagnetischer Felder in Materie
einstellt. Die Aufspaltung in zwei Anteile ist nicht immer eindeutig, sondern
mu der jeweiligen Problemstellung angepat werden. Eine sinnvolle Aufspaltung erfullt die Kontinuitatsgleichung
_ext + dj ext = 0 :
Es folgt dann mit _ + dj = 0 auch die Kontinuitatsgleichung fur Materieladungen und -strome. Wir vereinbaren auerdem, uberschussige Ladungen
immer als extern zu zahlen, d.h. mat verschwinde nach Integration uber den
gesamten von Materie erfullten Raumbereich.
Elektrische Polarisierung. In einem polarisierbaren Medium bewirkt die Anwesenheit elektrischer Felder eine Umorganisation der mikroskopischen Ladungen. Zwei Mechanismen sind zu nennen. Zum einen konnen durch die
94
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke Ladungen, die sich sonst neutralisieren, gegeneinander verschoben werden, zum anderen richten sich permanent
getrennte Ladungen, z.B. Molekule mit einem statischen Dipolmoment, langs
des elektrischen Feldes aus (Abb. 1.13). Die Umorganisation von Ladungen
+
+
+
+
+
- +
-
- +
- +
-
- +
+
- +
Abbildung 1.13. Polare Molekule (z.B. in einem Losungsmittel) richten sich im
elektrischen Feld aus.
wird durch die elektrische Polarisierung P , eine 2-Form,
R quantitativ erfat.
Fur eine beliebige orientierte Flache S denieren wir S P als die gesamte Materieladung, die infolge der Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke durch S
\hindurchgeschoben" wurde. Dabei zahlen wir die Materieladung relativ zu
einem lokal neutralen Referenzzustand in der fernen Vergangenheit. Ist V ein
dreidimensionales Gebiet mit Rand @V , so folgt:
Z
V
mat = Qmat(V ) =
Z
@V
P=
Z
V
dP :
Das Minuszeichen erklart sich aus der Tatsache, da das Hinausie en positiver Ladung durch @V eine entsprechende negative Ladung in V zurucklat.
Die Beliebigkeit von V resultiert in
mat = dP:
U berdeckt V den gesamten materieerfullten Raum, so ergibt
R sich wegen
P = 0 auerhalb der Materie die Gleichung Qmat(V ) = @V P = 0, d.h.
die gesamte Materieladung verschwindet in U bereinstimmung mit der oben
getroenen Vereinbarung.
Magnetisierung. Das magnetische Analogon zu einem elektrisch polarisierbaren Medium ist ein Material, das sich unter dem Einu einer magnetischen
Feldstarke B magnetisch ordnet. In der Atomphysik lernt man, da der orbitale Drehimpuls und der Spin von Elektronen in ungesattigten Atomhullen
Ursache eines atomaren magnetischen Dipolmoments ist. In einem simplen
klassischen Bild konnten wir uns vorstellen, da die Elektronen der Atomhulle
sich auf elliptischen Bahnen bewegen, was einem atomaren Kreisstrom, und
somit einem magnetischen Dipolmoment (siehe Kap. 2), entspricht. Diese
1.10 Elektrodynamik in Materie
95
atomaren Kreisstrome werden durch die Kraftwirkung der magnetischen
Feldstarke polarisiert, d.h. sie richten sich im Feld partiell aus und addieren
sich zu einem lokalen Gesamtstrom, dem sogenannten Magnetisierungsstrom.
Zur quantitativen Beschreibung dieses Sachverhalts fuhren wir die Magnetisierung M , eineR 1-Form, ein. Sie ist durch die Forderung deniert, da das
Linienintegral M fur eine beliebige Kurve dem um zirkulierenden Magnetisierungsstrom gleich sei (Abb. 1.14).
γ
Abbildung 1.14. Das Linienintegral R M
Magnetisierungsstrom.
ist gleich dem um zirkulierenden
Zur Herleitung einer zu mat = dP analogen Formel fur j mat betrachten wir eine orientierte Flache S und berechnen den gesamten Materiestrom
I mat(S ) durch S . Dabei ist zu berucksichtigen, da zu I mat(S ) neben dem Magnetisierungsstrom auch der von der zeitlichen A nderung von P herruhrende
Polarisierungsstrom beitragt. Es gilt daher
Z
@ Z P + Z M = Z (P_ + dM ) ;
j mat = I mat(S ) = @t
S
@S
S
S
woraus die folgende Gleichung resultiert:
j mat = P_ + dM :
Man uberzeugt sich leicht, da dieser Ausdruck zusammen mit jenem fur mat
die Kontinuitatsgleichung fur die Materieladungen erfullt. Wie P verschwindet auch M auerhalb der Materie.
Mathematische Argumentation. Vom didaktischen Gesichtspunkt leidet unsere Darstellung unter dem Mangel, da sie ein gewisses Verstandnis der
Atomphysik sowie einiger Begrie wie des elektrischen und magnetischen Dipolmoments, die im folgenden erst noch zu entwickeln sind, voraussetzt. Wir
wollen deshalb als zusatzliche Information anbieten, da die Gleichungen fur
die Ladungs- und Stromdichte in Materie auch mathematisch gut motiviert
sind (das Argument ist vollig analog zur Einfuhrung der elektromagnetischen
Erregungen D und H in Abschn. 1.4), und zwar wie folgt. Als topdimensionale und deshalb geschlossene Form mit verschwindendem Raumintegral besitzt
96
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
mat ein Potential: mat = dP . Nach obiger Diskussion wird P als die Polarisierung identiziert. Wie mat ist auch die 2-Form j mat P_ geschlossen:
d(j mat P_ ) = _mat + _mat = 0. Folglich ist sie nach Poincare auf jedem
sternformigen Materiegebiet exakt, und wir konnen j mat P_ = dM setzen.
Das Potential M lat sich wie oben erlautert als die Magnetisierungs-1-Form
auassen.
Maxwellsche Theorie in Materie. Es sei betont, da die Polarisierung P im
allgemeinen nichtlokal von E abhangt. Anders ausgedruckt wird Pa (:::; t)
nicht nur durch E am Ort a zur Zeit t bestimmt, sondern auch durch die
Werte von E zu fruheren Zeiten t0 < t und anderswo im Raum. Die Ursachen dieser Nichtlokalitat sind die Tragheit und endliche Ausdehnung der
Materieladungen.14 Um die nichtlokale oder funktionale Abhangigkeit der Polarisierung von der elektrischen Feldstarke evident zu machen, schreiben wir
auch P [E ] fur P . A hnlich wie P [E ] in nichtlokaler Weise von E abhangt,
so ist auch M ein im allgemeinen nichtlokales Funktional der magnetischen
Feldstarke B , und wir schreiben zur besonderen Betonung dieser Abhangigkeit M [B ] fur M .
Wir konnen jetzt die Materieladungen und -strome zugunsten der Polarisierung P und der Magnetisierung M aus den Gleichungen der elektromagnetischen Theorie eliminieren. Dazu denieren wir die 2-Form D = D + P
und die 1-Form H = H M . Die Groen D und H sind Hilfsfelder ohne direkte physikalische Bedeutung. Sie genugen den modizierten inhomogenen
Maxwell-Gleichungen dD = mat = ext und
dH = j + D_ dM = j + D_ j mat = j ext + D_ ;
in die nur noch der externe Anteil der Ladungen und Strome eingeht. Auerdem treten an die Stelle der Materialgleichungen im Vakuum die Beziehungen
D = "0 ? E + P [E ] ; und H = 0 1 ? B M [B ] :
Diese Gleichungen drucken die Hilfsfelder D und H durch die elektromagnetischen Feldstarken E und B aus. Infolge der Eigenschaften der Funktionale
P [E ] und M [B ] sind sie im allgemeinen zeitlich und raumlich nichtlokal, anisotrop (in Kristallen), inhomogen (in ungeordneten Medien) und nichtlinear
(in Ferroelektrika und Ferromagneten). Zusammenfassend haben wir das folgende Gleichungssystem der Maxwellschen Theorie in Materie:
inhomogene
Materialhomogene
Maxwell-Gln
Gleichungen
Maxwell-Gln
ext
dD = D = "0 ? E + P [ E ]
dE = B_
dH = j ext + D_
H = 0 1 ? B M [B ] dB = 0
14
Die raumliche Nichtlokalitat ist typisch von atomarer Dimension, wahrend die
Nichtlokalitat in der Zeit durch atomare Schwingungsdauern bestimmt wird.
1.10 Elektrodynamik in Materie
97
Phanomenologie. Die obige Reformulierung der Maxwellschen Theorie ist exakt und deshalb genauso schwierig zu behandeln wie die Theorie in ihrer ursprunglichen Form. An die Stelle der Berechnung von mat und j mat tritt jetzt
das aquivalente Problem der Berechnung von P [E ] und M [B ]. Die Nutzlichkeit der Umformulierung besteht darin, da sie sich gut fur die Einfuhrung
von Naherungen eignet. Zu diesem Zweck fuhrt man zunachst eine Mittelungsprozedur durch, um die rapiden zeitlichen und raumlichen Schwankungen auf atomaren Skalen zu eliminieren. (Wie eine solche Mittelung im Prinzip durchgefuhrt werden kann, ohne die Struktur der Maxwell-Gleichungen zu
verletzen, ist Thema von Kap. 3.) Die Mittelung vereinfacht die komplizierten
funktionalen Abhangigkeiten P [E ] und M [B ] und lat uns die Materialgleichungen durch einfache \makroskopische" Beziehungen ersetzen.
Homogenes Dielektrikum. Im Fall eines homogenen Dielektrikums gilt per
Denition des dielektrischen Tensors "kij = "kji
Dij (x; t) = "0
Z1 Z X
0
k
"kij (x
!
x0; t s)Ek (x0 ; s)d3 x0 ds :
Fur ein isotropes Medium im statischen Limes reduziert sich "kij zu einer
einzigen skalaren Groe ", und wir erhalten die simple Materialgleichung
D = "0 " ? E :
Homogenes Magnetikum. Im magnetischen Fall ist es Konvention, die Feldstarke durch die Erregung auszudrucken. Die Materialgleichungen in linearer
Naherung lauten dann
Bij (x; t) = 0
kij =
Z1 Z X
0
kij (x
!
x0 ; t s)Hk (x0 ; s)d3 x0 ds :
k
k
ji heit der Tensor der magnetischen Permeabilitat. Im isotropen
und statischen Limes resultiert wieder ein sehr einfaches Gesetz:
B = 0 ? H :
Fur > 1 wird B , die totale magnetische Feldstarke in Materie, relativ zum
aueren Feld B ext = 0 ? H verstarkt. Das magnetische Medium heit in
diesem Fall ein Paramagnet. Im umgekehrten Fall (0 < < 1) liegt ein Diamagnet vor. Supraleiter, die ein aueres Magnetfeld vollstandig verdrangen,
sind perfekte Diamagneten ( = 0).
Ohmsches Gesetz. Die Gleichungen der Elektrodynamik in Materie eignen
sich besonders gut zur Beschreibung von Dielektrika und magnetischen Materialien. Anders ist die Situation in metallischen Leitern. Die vollstandige
Abschirmung auerer Felder im Gleichgewicht entspricht einer divergenten dielektrischen Konstanten (" = 1). In Metallen bewirkt die Anwesenheit eines
elektrischen Feldes (im quasi-stationaren oder dynamischen Fall) mehr als nur
eine elektrische Polarisierung. Die Kraftwirkung der elektrischen Feldstarke
98
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
beschleunigt die Leitungselektronen, und dissipative Prozesse, wie z.B. Kollisionen mit dem Atomgitter, bewirken dann eine Relaxation (uber Zeitskalen
der Groenordnung 10 14s) zu einem stromfuhrenden Zustand, der durch das
Ohmsche Gesetz
j =?E
bestimmt ist. Die Materialkonstante heit die elektrische Leitfahigkeit. Sie
hat die physikalische Dimension [] = Strom=(Spannung Lange). Zum Beispiel hat Kupfer bei T = 300K (Zimmertemperatur) die elektrische Leitfahigkeit = 5:7 107(Ohm Meter) 1 . Dabei ist 1 Ohm = 1 Volt/Ampere die
Einheit des elektrischen Widerstandes im SI-Masystem.
1.11 Flulinien
Dieser Abschnitt spielt eine zentrale Rolle in der Didaktik dieser
Vorlesung. Hier wird der physikalische Inhalt der Gleichungen der
Elektrodynamik mit Hilfe des Flulinienbildes veranschaulicht. Flulinien
sind besser als Feldlinien... Eine kritische Diskussion der Vorz
uge
und Defizite der traditionellen Feldlinien findet man in den Feynman
Lectures on Physics. Feynman kritisiert insbesondere die fehlende
relativistische Kovarianz des Feldlinienkonzepts. In Kap.?? werden
wir sehen, wie sich die Flulinien von
und
zu den Weltfl
achen
der Faraday- und Maxwell-2-Formen relativistisch erweitern.
Zun
achst wird wiederholt, was man unter einer Stromform versteht.
An die Operationen inneres Produkt, 
aueres Produkt, Cartan-Ableitung
und Sternoperator auf Stromformen wird erinnert, und es wird dann
zu den Ketten spezialisiert.
Die 2-Formen der magnetischen Feldst
arke , der elektrischen Erregung
und der elektrischen Stromdichte
werden im 3 durch 1-Ketten
approximiert und veranschaulicht. Die Linien der 1-Kette von
heien
elektrische Stromlinien, die Linien der 1-Ketten von
und
heien
magnetische bzw. elektrische Flulinien. Die 1-Formen der elektrischen
Feldst
arke
und der magnetischen Erregung
werden durch 2-Ketten
approximiert und veranschaulicht. Der 3-Form der elektrischen Ladungsdichte
entspricht eine 0-Kette, d.h. ein System von Punktladungen. (Magnetische
Flulinien sind 
ubrigens kein rein theoretisches Konstrukt sondern
haben eine physikalische Realit
at in Typ-II-Supraleitern in der gemischten
Phase. Eine entsprechende Realisierung elektrischer Flulinien ist
nicht bekannt. [Allerdings kennt man den gluonischen String der Quantenchromodynamik.])
Zuerst interpretieren wir das Gesetz von der Quellenfreiheit der
magnetischen Fludichte (d = 0). Als Stromform betrachtet l
at
sich
durch eine 1-Kette approximieren. Das Gesetz d = 0 wird
dann zu
= 0. Der Rand der 1-Kette von verschwindet also,
B
D
j
D
B
E
B
E
H
B
B
@B
B
B
E
j
1.11 Flulinien
99
B
und wir k
onnen sagen, da
aus randlosen Linien zusammengesetzt
ist: magnetische Flulinien haben keinen Anfang und kein Ende.
Abbildung: einige erlaubte Konfigurationen magnetischer Flulinien
Ganz analog interpretieren wir das Gausche Gesetz d = . Die
(als Stromform aufgefate und durch eine 1-Kette approximierte) elektrische
Erregung
setzt sich aus elektrischen Flulinien zusammen, die
elektrische Ladungsdichte
aus Punktladungen. Das Gausche Gesetz
wird zu
= . Dies bedeutet, da elektrische Flulinien entweder
geschlossen sind ( = 0
= 0) oder aber auf positiven Ladungen
beginnen und auf negativen enden. [Die Zuordnung positiv
Anfang,
und negativ
Ende (und nicht umgekehrt) ber
ucksichtigt das Minuszeichen
im reformulierten Gauschen Gesetz.]
Abbildung: einige mit dem Gauschen Gesetz vertr
agliche Konfigurationen
elektrischer Flulinien. Beachte, da diese Abbildung wie auch die
letzte keiner realen physikalischen Situation entspricht. (Die Studenten
wollen an dieser Stelle immer wissen, wie das Feld denn nun ``wirklich
aussieht''.) Die Abbildung illustriert lediglich den physikalischen
Inhalt des Gauschen Gesetzes und sonst nichts. (Um herauszufinden,
wie das Feld wirklich aussieht, m
ussen alle Gleichungen der Elektrodynamik
gleichzeitig betrachtet und gel
ost werden.)
ganz einfach durch (v
ollig
Im Flulinienbild wird das Integral S
metrikfreies) Abz
ahlen der
kreuzenden Flulinien berechnet. (Wenn
alle Flulinien denselben Flu tragen, multiplizieren wir einfach
mit dem Elementarflu, ansonsten ist nat
urlich jede Flulinie mit
dem ihr eigenen Flu zu gewichten.) Eine analoge Aussage gilt f
ur
das Integral S .
D D
@D $ @D
$
$
R B
S
R D
Abbildung 1.15.
_ =d .
Deutung des Induktionsgesetzes
Betrachte zun
achst den statischen Limes _ = 0. Unter der Approximation
von
durch eine 2-Kette wird die Gleichung d = 0 zu
= 0,
d.h. die kleinen Fl
achenst
ucke der 2-Kette von
m
ussen sich zu

randlosen oder geschlossenen Fl
achen, sogenannten Aquipotential
achen,
B
E
E
B
E
E
@E
100
1. Prinzipien des Elektromagnetismus
E
zusammenf
ugen. (Der Rand von
im dynamischen Fall entspricht dem,
was man gew
ohnlich das dem Vektorfeld von
zugeordnete Wirbelfeld
nennt.) Genauer gesprochen symbolisiert jede solche Fl
ache einen
wird berechnet, indem man die
Spannungsabfall. Die Spannung Spannungsabf
alle an den vom Weg
durchstoenen Fl
achen von
aufsammelt.
RE
E
E
+
+
+
+
-
Abbildung 1.16.
Jetzt kommen wir zur dynamischen Interpretation des Induktionsgesetzes.
Dies ist etwas heikel, weil die Bildung der Zeitableitung _ einen
weiteren Grenz
ubergang erfordert, was die Anschauung erschwert. (Zu
einer wirklich befriedigenden Interpretation werden wir erst im Rahmen
der relativistischen Formulierung gelangen.) Eine wandernde magnetische
Flulinie zieht wie ein Komet einen ``Schweif'' elektrischer Feldst
arke
hinter sich her... Eine pfiffige Idee ist, einen ``Zaun'' von magnetischen
Flulinien (am besten in der Zaunebene selbst) wandern zu lassen.
Das Induktionsgesetz behauptet dann, da die Zaunfl
ache ein Fl
achenst
uck
der 2-Kette von
ausmacht (Beweis mittels Lie-Ableitung...)
Analoges Vorgehen f
ur das Amp
ere-Gesetz (Sprechweise noch nicht
eingef
uhrt): aus d = wird
= . Folglich liegen die Rander
der Fl
achenst
ucke der magnetischen Erregung
(in der Magnetostatik)
genau auf den Stromlinien der elektrischen Stromdichte ...
Versuch einer Interpretation des dynamischen Amp
ere-Maxwell-Gesetzes...
Weitere Themen:...
Deutung der Lorentz-Kraftform qv
im Flulinienbild...
Anschauliche Deutung der Poynting-2-Form
als 1-Kette (den
Stromlinien der Energie), die sich als Durchschnitt der 2-Ketten
von
und
ergibt...
B
E
H j
@H j
i B
E
H
H
E ^H
j
2. ElektroMagnetostatik
Thema dieses Kapitels ist die Maxwellsche Theorie im statischen Limes, d.h.
in Grenzfallen, wo die Zeitableitungen der elektromagnetischen Felder und
ihrer Quellen verschwinden oder vernachlassigbar klein sind. Die Analyse des
statischen Grenzfalls ist ein nutzlicher Schritt hin zum Verstandnis der vollen
dynamischen Theorie. Historisch war es so, da die Elektrodynamik aus bereits bekannten, im statischen Limes gultigen Gesetzen (Coulomb-Gesetz und
Ampere-Gesetz) durch die von Faraday und Maxwell entdeckten bzw. postulierten Erweiterungen erhalten wurde. Fur den Studenten hat die Untersuchung der Statik den didaktischen Vorteil strukturell einfacherer Gleichungen,
an denen sich der noch ungewohnte mathematische Formalismus illustrieren
und einuben lat. Auerdem kann die Losung der statischen Gleichungen
auch fur das Verstandnis dynamischer Vorgange hilfreich sein. Bekanntlich
haben die Naturgesetze nach dem Einsteinschen Relativitatsprinzip in allen Inertialsystemen dieselbe Form. Diese Kovarianzeigenschaft ermoglicht
es zum Beispiel, das elektromagnetische Feld einer gleichformig geradlinig
bewegten Ladungsverteilung aus dem Feld der ruhenden Ladungsverteilung
in einfacher Weise durch Transformation der Raum-Zeit-Koordinaten zu gewinnen.
Der statische Grenzfall ist formal dadurch erklart, da alle Zeitableitungen
durch Null ersetzt werden: _ = 0, D_ = 0, B_ = 0 usw. Die Gleichungen der
elektromagnetischen Theorie zerfallen dann in zwei Teilsysteme:
dD = ;
D = "0 ? E; dE = 0 ;
(Elektrostatik)
dH = j;
B = 0 ? H; dB = 0 :
(Magnetostatik)
In das erste System geht nur das elektrische Feld ein, in das zweite nur das
magnetische. Dementsprechend nennen wir die beiden Teilsysteme die Elektrostatik bzw. Magnetostatik. Der statische Grenzfall dH = j des AmpereMaxwell-Gesetzes heit das Amperesche Gesetz. Die Gleichung dE = 0 besagt, da die elektrische Feldstarke in der Elektrostatik wirbelfrei ist.
Zwischen den Gleichungssystemen der Elektro- und Magnetostatik besteht oensichtlich eine starke formale A hnlichkeit. Wir werden sehen, da
infolge dieser A hnlichkeit die Losungsmethoden im wesentlichen identisch
sind, weshalb wir die zwei Systeme weitgehend parallel behandeln konnen.
102
2. ElektroMagnetostatik
Diese Einheitlichkeit ist es, was durch die unkonventionelle Wahl der Kapiteluberschrift angekundigt werden soll.
Ein Caveat zur Magnetostatik ist angebracht. Aus dem Ampereschen Gesetz folgt durch Dierenzieren dj = d(dH ) = 0. Fur die mathematische Konsistenz des magnetostatischen Gleichungssystems ist also die Quellenfreiheit
der elektrischen Ladungsdichte notwendige Voraussetzung. Was hier besonders betont werden soll, ist, da dj = 0 global (und nicht etwa nur lokal) erfullt
sein mu. Ist dj = 0 auf Teilen des Raumes verletzt, kann die Anwendung
des Ampere-Gesetzes zu Widerspruchen fuhren. Ein Standardbeispiel ist das
folgende. Betrachte eine punktformige Ladungsquelle, von der ein spharisch
symmetrischer und zeitlich konstanter Stromu ausgeht. Experimentell lat
sich eine solche Quelle als radioaktive Probe (z.B. 1 Gramm des Elements
X { hier ist noch ein radioaktives Element mit einer geeigneten
Halbwertszeit auszusuchen) realisieren. F
ur Zeiten, die viel kurzer als die
Halbwertszeit der Quelle sind, kann der Stromu im Kurzzeitmittel als stationar angesehen werden, was eine \statische" Situation suggeriert. Aufgrund
des Ladungserhaltungssatzes gilt auerdem dj = 0 auerhalb der Probe, wo
_ = 0 ist. Weil H = 0 in der Magnetostatik j = dH = 0 impliziert, konnte
man jetzt den Fehlschlu ziehen, da die beschriebene Anordnung (fur die j
ja von Null verschieden ist) ein Magnetfeld produzieren mu. Ein von Null
verschiedenes Magnetfeld stunde aber im Widerspruch zur spharischen Symmetrie des Problems (in welche Richtung sollte der magnetische Flu denn
zeigen?!) und liegt in Wirklichkeit auch gar nicht vor. Warum ist das AmpereGesetz hier nicht anwendbar? Die Antwort lautet, da der radial nach auen
gerichtete Strom auf der radioaktiven Probe eine Gesamtladung zurucklat,
die mit der Zeit anwachst. Dadurch wird nach dem Gauschen Gesetz ein
zeitlich veranderlicher elektrischer Flu (D_ 6= 0) erzeugt, der im AmpereMaxwell-Gesetz nicht vernachlassigt werden darf. (Vor dem Hintergrund
der anschaulichen Deutung des Amp
ere-Maxwell-Gesetzes durch Flulinien
ist dieser ganze Sachverhalt sofort klar.)
Aufgabe 2.0.1. Zeige j + D_ = 0 fur die beschriebene Anordnung.
2.1 Elementare Anwendungen
An zwei elementaren Beispielen soll der praktische Umgang mit dem vielleicht
noch ungewohnten aueren Kalkul demonstriert werden.
2.1.1 Elektrostatik: Kugelkondensator
Aufgabe 2.1.1. Im E3 mit dem kartesischen Koordinatensystem fo; ex; ey ; ez g
denieren wir spharische Polarkoordinaten (oder Kugelkoordinaten) r; ; '
wie ublich durch x = r sin cos ', y = r sin sin ' und z = r cos . Zeige:
(1) Die Volumenform = dx ^ dy ^ dz wird in Kugelkoordinaten durch
2.1 Elementare Anwendungen
103
= r2 sin dr^d^d' ausgedruckt. (2) Die drei 1-Formen (dr; rd; r sin d')
bilden auer auf der z -Achse eine rechtshandige (lokale) Orthonormalbasis.
(3) ?dr = r2 , wobei = sin d ^ d' die auf den Koordinatenursprung o
bezogene Raumwinkelform ist. (4) Jede bzgl. o drehinvariante 1-Form bzw.
2-Form ist von der Gestalt f (r)dr bzw. g(r) .
Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung. Fur eine vorgegebene, bzgl.
des Ursprungs drehinvariante Ladungsdichte = (r)dx ^ dy ^ dz soll das
zugehorige elektrische Feld berechnet werden. Naheliegend aufgrund der Symmetrie des Problems ist der \radiale" Ansatz E = f (r)dr. Als erstes uberprufen wir, da dieser Ansatz der Forderung der Wirbelfreiheit (dE = 0)
genugt. Dierenzieren gibt dE = f 0 (r)dr ^ dr was wegen dr ^ dr = dr ^ dr =
0 tatsachlich verschwindet. Um nun eine Bestimmungsgleichung fur die unbekannte Funktion f (r) zu erhalten, setzen wir den Ansatz unter Verwendung
der Materialgleichung in das Gausche Gesetz ein:
="0 = dD="0 = d ? E = d(f (r) ? dr) = d(r2 f (r) )
@ r2 f (r)dr ^ = 1 @ r2 f (r)dx ^ dy ^ dz ;
= @r
r2 @r
wobei fur das funfte Gleichheitszeichen die Geschlossenheit der Raumwinkelform (d = 0 fur r > 0) benutzt wurde. Vergleich der rechten Seite mit der
Koordinatendarstellung von liefert eine gewohnliche Dierentialgleichung
1. Ordnung fur f (r):
1 @ 2
r2 @r r f (r) = (r)="0 :
Hieraus folgt durch einfache Quadratur das Ergebnis
ZR
f (R) = " 1R2 (r)r2 dr :
0
0
Beispiel 2.1.1 (Kugelkondensator). Der Kugelkondensator ist eine konzentrische Anordnung zweier metallischer Kugelschalen mit entgegengesetztem Ladungszustand (Abb. 2.1). Sei Q die Ladung auf der inneren Kugelschale mit
Radius R1 und Q die Ladung auf der
R aueren mit Radius R2. Ausfuhren des
Radialintegrals gibt in diesem Fall 01 (r)r2 drR = const fur R1 < R < R2 ,
und Null sonst. Mit dx ^ dy ^ dz = dr ^ r2 und = 4 folgt const = Q=4
und
dr=r2 fur R < r < R ;
Q
1
2
E = 4"
0
sonst :
0
Die elektrische Spannung U des Kondensators ist deniert als das Wegintegral
der elektrischen Feldstarke zwischen zwei Punkten a und b auf der inneren
bzw. aueren Kugelschale. Der Wert dieses Integral hangt nur von den beiden
Radien ab:
Z b dr Q Z R dr Q 1 1 Zb
Q
:
= 4"
=
U = E = 4"
0 a r2
0 R r2 4"0 R1 R2
a
2
1
104
2. ElektroMagnetostatik
R2
R1
Abbildung 2.1. Kugelkondensator im Querschnitt
Unter der Kapazitat C eines Kondensators versteht man das Verhaltnis von
Ladung Q zu Spannung U . Fur den Kugelkondensator resultiert
C = Q=U = 4"0 R1 R2 =(R2 R1 ) :
Aufgabe 2.1.2. (1) Berechne die im Zwischenraum enthaltene Feldenergie
Wfeld . (2) Wie gro ist die Energie w(Q)Q, die man aufbringen mu, um
die innitesimale Ladungsmenge Q von der inneren zur aueren Schale zu
transportieren? Welche Energie Wkonf ist daher notig, um die Konguration aufzubauen? Vergleiche das Ergebnis mit Wfeld . (3) Wie andert sich die
Kapazitat des Kugelkondensators, wenn der Zwischenraum von einem (nichtleitenden) Dielektrikum mit der dielektrischen Konstanten " > 1 ausgefullt
wird?
2.1.2 Magnetostatik: Messung von 0
Aufgabe 2.1.3. Zylinderkoordinaten r; '; z entstehen aus den kartesischen
Koordinaten x; y; z dadurch, da man in der xy-Ebene zur Polardarstellung
ubergeht: x = r cos ', y = r sin '. Zeige: (1) Die drei 1-Formen (dr; d'; dz )
bilden fur r 6= 0 eine rechtshandige Orthogonalbasis mit (dr; dr) = 1 =
(dz; dz ) und (d'; d') = 1=r2 . (2) Der Sternoperator wirkt wie folgt: ?(dz ^
dr) = rd', ?(dr ^ d') = r 1 dz und ?(d' ^ dz ) = r 1 dr.
Magnetfeld eines unendlich langen, geraden, stromfuhrenden Drahtes. Gegeben sei in Zylinderkoordinaten r; '; z die Stromdichte
I=R2 fur r < R ;
j = dr ^ rd' 0
sonst :
Sie beschreibt den homogenen Stromu eines unendlich langen, geraden und
um die z -Achse zentrierten Drahtes mit kreisformiger Querschnittsache R2
2.1 Elementare Anwendungen
105
und Gesamtstrom I . 1 Wie sieht das Magnetfeld eines solchen Stromusses
aus? Dazu machen wir den allgemeinsten zylindersymmetrischen Ansatz:
B = f (r)dr ^ d' + g(r)d' ^ dz + h(r)dz ^ dr :
(Sicherlich ist das Resultat fur B jedem Physik-Studenten aus dem Einfuhrungskurs langst bekannt, aber wir stellen uns hier \dumm" und wollen sehen,
ob wir mit dem allgemeinen Ansatz zurechtkommen.) Die Quellenfreiheit der
magnetischen Feldstarke (dB = 0) erfordert g0 (r) = 0 und somit g(r) = g0 =
const. Nun ist aber die 2-Form g0 d' ^ dz wegen der Unbestimmtheit der
Winkel-1-Form d' auf der z -Achse r = 0 singular. (Regular ware rd' ^ dz
mit einem zusatzlichem Faktor r.) Da es hier keinen Grund fur das Auftreten
von Singularitaten in B gibt, folgt g0 = 0. Im nachsten Schritt ubersetzen
wir die Feldstarke B mit der Materialgleichung in die Erregung H :
0 H = ?B = r 1 f (r)dz + rh(r)d' :
Einsetzen dieses Ausdrucks in das Amperesche Gesetz liefert
@ f (r)=rdr ^ dz + @ rh(r)dr ^ d' :
0 j = d(0 H ) = @r
@r
Durch Vergleich mit der vorgegebenen Stromdichte j folgen die Dierentialgleichungen @=@r (f (r)=r) = 0 und
1 @ rh(r) = 0 I=R2 fur r < R ;
0
sonst :
r @r
Die regularen Losungen dieser Gleichungen sind f (r) = f0 r bzw.
r=R2 fur r < R ;
I
0
h(r) = 2 h =r sonst :
0
Die Stetigkeit von H erfordert h0 = 1. Unbestimmt bleibt dagegen die Integrationskonstante f0 . Wie sollen wir das interpretieren? Hierzu ist zu bemerken, da B = f0 dr ^ rd' = f0 dx ^ dy eine Losung des homogenen Gleichungssystems d ?B = 0 = dB ist. Nun kann man zu einer Losung B von d ?B = 0 j
und dB = 0 immer eine beliebige Losung des homogenen Systems hinzufugen
und erhalt wieder eine Losung. Welche Losung die physikalisch richtige ist,
wird erst durch die Angabe zusatzlicher Forderungen, oder Randbedingungen, festgelegt. (Diese Unterbestimmtheit bei fehlenden Randbedingungen ist
eine generelle Eigenschaft linearer Dierentialgleichungen.) Wir suchen hier
das Magnetfeld des stromfuhrenden Drahts und weiter nichts.2 Die fur unsere Zwecke richtige Losung wird also durch die Forderung B = 0 fur I = 0
bestimmt. Es folgt f0 = 0 und insgesamt
1
Vor dem Hintergrund der zu Anfang des Kapitels ausgesprochenen Warnung
ist dieses Beispiel als schwach pathologisch einzustufen. Ein unendlich langer,
gerader, stromfuhrender Draht akkumuliert Ladungen im Unendlichen. Dieses
Problem lat sich dadurch umgehen, da man z = +1 mit z = 1 identiziert.
2 Als Ursache des raumlich konstanten Magnetfeldes B = f0 dx ^ dy konnten wir
uns eine kosmische Spule vorstellen, die den gesamten Raum umschliet.
106
2. ElektroMagnetostatik
2 fur r < R ;
B = 20I dz ^ dr r=R
1=r sonst :
Wie man an H = const d' (fur r > R) erkennt, fallt die magnetische Spannung langs der Koordinatenlinien des Winkels ' ab oder, anders ausgedruckt,
der magnetische Flu zirkuliert um den Draht (Abb. 2.2).
B
I
Abbildung
2.2.
Magnetische Flulinien eines stromfuhrenden
Drahtes Orientierung ist anzupassen
Festlegung von 0 . Wir kommentieren jetzt die Festlegung der empirischen
Konstanten 0 im SI-Masystem. Dazu bringen wir in das eben berechnete
Magnetfeld einen geraden Testdraht der Lange L. Der Testdraht sei praktisch
ausdehnungslos und trage den Strom I 0 . Seine beiden Endpunkte seien mit
p und p0 bezeichnet. Nach Aufg. ?? ist die Linearform der auf den Testdraht
wirkenden Lorentz-Kraft K durch
K = I0
Z1
Bp+s(p0 p) (; p0 p)ds :
gegeben. Fur eine parallele Anordnung der Drahte (p0 p = Lez ) erhalten
wir
0 II 0 L (dr) :
K = I 0 Bp (; Lez ) = 2r
(p) p
0
Die Lorentz-Kraft zeigt fur II 0 > 0 radial nach innen, d.h. die beiden
Drahte ziehen sich an, wenn die Strome in die gleiche Richtung ieen.
Pro Lange L des Testdrahtes hat die Kraft im Abstand d = r(p) den
Betrag 0 II 0 =2d. Im SI-Masystem trit man die willkurliche Festlegung
0 = 4 10 7Newton=(Ampere)2 . Hiermit folgt:
Denition 2.1. 1 Ampere ist der Strom, den zwei unendlich lange, gerade,
parallele Drahte tragen, wenn sie im Abstand von 1 Meter die Kraft 2 10 7
Newton pro Meter (ihrer Lange) aufeinander ausuben.
2.2 Poisson-Gleichung
107
Umgekehrt liee sich die Naturkonstante 0 nach einer unabhangigen Festlegung der Stromeinheit durch die Messung der Kraft zwischen stromfuhrenden
geraden Leitern nach obiger Formel bestimmen.
Aufgabe 2.1.4. Gegeben sei die statische und quellenfreie Stromdichte j =
f (x)dx ^ dy (mit irgendeiner Funktion f : R ! R). Um die RAkkumulation
von Ladungen im Unendlichen zu vermeiden, verlangen wir R f (x)dx = 0
und f (1) = 0. Wie sieht das Magnetfeld dieser Stromdichte aus?
2.2 Poisson-Gleichung
Das Gleichungssystem der Elektrostatik wie auch der Magnetostatik lat sich
als Poisson-Problem auassen. Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist
dieses Problem eindeutig und in geschlossener Form losbar.
2.2.1 Elektrostatik
Elektrostatisches Potential. Als unmittelbare Konsequenz der Wirbelfreiheit
der elektrischen Feldstarke (dE = 0) ist in der Elektrostatik das Linienintegral von E langs eines beliebigen geschlossenen Weges = @S gleich Null:
Z
E=
Z
@S
E=
Z
S
dE = 0 :
Wir sagen auch, da die elektrostatische Ringspannung langs jeder Schleife
= @S verschwindet. Betrachte nun zwei Wege 1 und 2 , die den Anfangsund Endpunkt a bzw. b gemein haben. Die Dierenz der Wege ist dann eine
Schleife, 1 2 = @S , und
0=
Z
@S
E=
Z
1 2
E ()
Z
1
E=
Z
2
E:
Eine zum Verschwinden
der Ringspannung aquivalente Aussage ist also, da
R
die Spannung E nur vom Rand @ = b a abhangt, nicht aberR vom
Weg selbst. Es existiert daher eine Funktion mit der Eigenschaft E =
(a) (b) fur jede Kurve : [0; 1] ! E3 mit (0) = a und (1) = b.
Diese Funktion ist nur bis auf eine additive Konstante bestimmt und heit
ein elektrostatisches Potential. Der dierentielle Zusammenhang zwischen E
und lautet E = d.
Potential einer Punktladung. In Abschn. 2.1.1 hatten wir das elektrische Feld
eines um den Koordinatenursprung o zentrierten Kugelkondensators mit Ladung q und Radien R1 und R2 berechnet. Fur die Feldstarke im Zwischenraum R1 < r < R2 ergab sich E = (q=4"0)dr=r2 . Wir schicken jetzt
R2 ! 1 und R1 ! 0. Was wir dann erhalten, ist das Feld einer Punktladung q am Ort o (mit einer neutralisierenden Ladung q im Unendlichen).
108
2. ElektroMagnetostatik
Bendet sich die Ladung am Ort p, so ist die auf den Ursprung bezogene
Abstandsfunktion r durch den Abstand von p, rp (p0 ) = d(p; p0 ) = jp p0 j, zu
ersetzen:
q drp = q d 1 :
E = 4"
r2
4"
r
0 p
0
p
Durch Integration des Dierentials entsteht die Potentialdierenz zwischen
zwei Punkten,
1
q
1
(a) (b) = 4" r (a) r (b) :
0 p
p
Hieraus erhalten wir mit der Konvention (1) = 0 die Formel
= 4"q r :
0 p
Das elektrostatische Potential einer am Ort p ruhenden Punktladung ist
also invers proportional zum Abstand von p. Die Groen und E = d
sind wohldeniert auf E3 n fpg.
Poisson-Gleichung. Durch Einsetzen von D = "0 ?E = "0 ? d in das Gausche Gesetz (dD = ) erhalten wir die Gleichung = "0 d ? d. Anwenden
des Sternoperators auf beiden Seiten ergibt
?d ? d = ? ="0 :
Mit dem Operator : k+1 (E3 ) ! k (E3 ), 7! ( 1)k ? 1 d ? lat sich die
linke Seite auch in der kurzeren Form d schreiben. Die Verkettung d ist
eine Halfte des Laplace-Operators 4 = d + d . Die andere Halfte durfen
wir wegen = 0 ( verschwindet auf den Funktionen) erganzen. Es folgt
4 = ? ="0 :
Die Gleichung 4f = g fur eine unbekannte und eine bekannte Funktion f
bzw. g heit Poisson-Gleichung. Wir sehen, da das elektrostatische Potential
einer Poisson-Gleichung genugt. Im ladungsfreien Raum ( = 0) erfullt die
Laplace-Gleichung 4 = 0.
Losung der Poisson-Gleichung. Mit der uns schon bekannten Formel fur das
Potential einer Punktladung konnen wir die Losung der Poisson-Gleichung
sofort angeben. Fur eine Anordnung von N Ladungen qi an den Orten pi
entsteht durch lineare Superposition
N
qi :
1 X
(p) = 4"
0 i=1 jp pi j
Im Limes einer kontinuierlichen Ladungsdichte wird die Summe zu einem
Integral,
Z 1
(p) = 4"
;
0 U rp
2.2 Poisson-Gleichung
109
wobei wir voraussetzen, da alle Ladungen in einem beschrankten Raumgebiet U E3 enthalten sind. Fur eine vorgegebene Ladungsdichte ist
das elektrostatische Problem hierdurch auf die Auswertung von Integralen
zuruckgefuhrt und kann als im Prinzip gelost betrachtet werden. Damit ist
das Thema der Elektrostatik aber mitnichten erschopft, denn die Ladungsdichte ist in vielen Fallen a priori unbekannt und mu erst berechnet werden.
Beispiel 2.2.1. Die Voraussetzung der Beschranktheit von U garantiert die
Existenz des Integrals. Sie lat sich abschwachen, aber nicht vollig eliminieren, wie das folgende Gegenbeispiel zeigt. Betrachte einen unendlich langen,
geraden, metallischen Draht mit Ladung q pro Lange `. Der Draht liege auf
der z -Achse. Ohne Muhe lat sich verizieren, da die Funktion
q ln R=px2 + y2 = 2`"
0
mit einer beliebigen Konstanten R > 0 ein Potential fur dieses Problem
ist. Andererseits fuhrt die Anwendung der Losungsformel fur die PoissonGleichung hier auf ein divergentes Integral:
q Z p
dz
(p) =? 4`"
=1:
2
0 R x (p) + y 2 (p) + z 2
(Der gewunschte Ausdruck fur lat sich wiedergewinnen, indem man das
z -Integral bei z = R=2 mit R2 x2 (p) + y2 (p) abschneidet.)
2.2.2 Magnetostatik
Vektorpotential. Auf einem sternformigen Gebiet U E3 ist die Bedingung
dB = 0 durch B = dA global losbar. Die 1-Form A heit ein Vektorpotential
von B . Sie ist nicht eindeutig bestimmt, denn mit A lost auch A + d (mit
einer beliebigen Funktion ) die Gleichung B = dA. Die Transformation
A 7! A + d heit Eichtransformation.
Mitteilung. So wie wir das Vektorpotential eingefuhrt haben, bekommt man
den Eindruck, es handle sich um ktive Hilfsgroe ohne direkte Beobachtbarkeit oder Realitat. Obwohl sich einer solchen Auassung im Rahmen der
klassischen Elektrodynamik nicht ernsthaft widersprechen lat, wird man in
der Quantenmechanik geladener Teilchen (z.B. durch den Aharonov-BohmEekt) eines anderen belehrt. Eine Andeutung von dieser tieferen Bedeutung
gibt die Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik (Kap. ??), die auf dem
Vektorpotential (oder genauer: seiner relativistischen Erweiterung, dem Eichpotential) als dem fundamentalen Feld beruht.
Coulomb-Eichung. Wir setzen 0 H = ?B = ?dA in das Amperesche Gesetz
dH = j ein und wenden auf beiden Seiten den Sternoperator an. Dann folgt:
?d ? dA = 0 ? j :
110
2. ElektroMagnetostatik
Die linke Seite ist gleich dA. Wahlen wir A nun so, da A verschwindet,
dann haben wir
dA = (d + d)A = 4A ;
und es folgt eine Gleichung vom Poisson-Typ fur A:
4A = 0 ? j (falls A = 0) :
Die Nutzlichkeit des Vektorpotentials besteht also darin, da es uns die Reduktion des magnetostatischen Problems auf ein Poisson-artiges Problem
ermoglicht. Die Bedingung A = 0 heit Coulomb-Eichung. In kartesischen
Koordinaten (A = Ax dx + Ay dy + Az dz ) lautet sie
@Ax + @Ay + @Az = 0 :
@x @y @z
Die Coulomb-Eichung lat sich immer erfullen. In der Tat konnen wir fur
A = f 6= 0 das Dierential einer Losung der Poisson-Gleichung 4 = f
zu A addieren, und es gilt dann
(A + d ) = A + 4 = f f = 0 ;
d.h. das eichtransformierte Vektorpotential A0 = A+d genugt der CoulombEichung.
P
Losung der Poisson-Gleichung. Wir schreiben ?j = k (?j )k dxk . Mit der
(nur in kartesischen Koordinaten gultigen!) Relation
4
X
i
folgt dann
! X
i
Ai dx =
i
@2
(4Ai) dxi
@ 2 + @ 2 A = (?j )
4Ak = @x2 + @y
(k = x; y; z ) :
k
0
k
2 @z 2
Dies sind drei entkoppelte Poisson-Gleichungen fur die kartesischen Komponenten von A. Ihre Losung ist uns aus der Elektrostatik bereits bekannt:
Z
Ak (p) = 40 (?jr )k dx ^ dy ^ dz (k = x; y; z ) :
U
p
U ist hier ein beschranktes Gebiet, auerhalb dessen die Stromdichte verschwindet.
Vektorpotential einer Stromschleife. Die Rechnung im folgenden Beispiel
ist noch unn
otig umst
andlich. Besser w
are es, bereits hier die Relation
die f
ur eine Schleife
mit Strom
g
ultige Relation
I
Z
Z
I
d
x
d
x
k
Ak (p) = 40 j ^ r k = 40
p
U
rp
zu beweisen und zu ben
utzen. (Diese Art von Relation wird im vorliegenden
Manuskript bei der Berechnung des magnetischen Dipolmoments einer
stromf
uhrenden Schleife ausf
uhrlich hergeleitet.)
2.2 Poisson-Gleichung
111
Beispiel 2.2.2. In der xy-Ebene liege eine kreisformige Leiterschleife mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung (Abb. 2.3). Es iee der
Strom I . Zu berechnen sei das Vektorpotential A in der Coulomb-Eichung
A = 0. Aufgrund der Invarianz des Problems unter Drehungen um die z p
z
y
R
x
I
Abbildung 2.3. Skizze zu Bsp. 2.2.2
Achse bietet sich die Einfuhrung von Zylinderkoordinaten r; '; z an. Leider gilt die Poisson-Gleichung nur fur die kartesischen Komponenten von A,
weshalb wir kartesisch beginnen mussen. Der Strom iet langs des Kreises
C := fpjx2 (p) + y2 (p) = R2 ; z (p) = 0g. Da die Stromdichte linienformig ist,
konnen wir das Volumenintegral fur Ax ; Ay ; Az zu einem Linienintegral langs
C reduzieren. Die zu integrierende 1-Form bekommen wir dadurch, da wir
die Zylinderkoordinaten z und r \ausintegrieren", d.h. das innere Produkt
von rp 1 (?j )k dx ^ dy ^ dz mit den Vektorfeldern @z und @r bilden (wobei der
Strom I aufgesammelt wird) und das Resultat auf C einschranken. Fur die
y-Komponente erhalten wir
(?j )y dx ^ dy ^ dz @r ;!@z I cos ' rd' ;
C
rp
und somit (rC = R, 'C =: ):
Z 2
cos d
Ay (p) = 40 IR
h
i1 =2 :
0
(x(p) R cos )2 + (y(p) R sin )2 + z 2 (p)
Fur die x-Komponente gilt eine analoge Gleichung, die durch die Substitution
cos d ! sin d entsteht. Die z -Komponente Az verschwindet wegen
(?j )z = jxy = 0. An dieser Stelle ist der Wechsel zu Zylinderkoordinaten (A =
Ar dr + A' d') gefahrlos moglich. Die Radialkomponente Ar = Ax cos ' +
Ay sin ' ergibt sich letztendlich zu Null, was seinen Grund in ?j d' hat.
Fur die Winkelkomponente A' = Ax r sin ' + Ay r cos ' folgt nach einer
Variablensubstitution ( + ' ! )
Z 2
cos d
0
A' = 4 IRr
2
2
(
r
+
z
2
Rr cos + R2 )1=2 :
0
112
2. ElektroMagnetostatik
Dies ist ein sogenanntes elliptisches Integral ; es lat sich nicht durch elementare Funktionen ausdrucken, ndet sich aber in mathematischen Formelsammlungen tabelliert. Um hier noch weiterzukommen, spezialisieren wir
zur Fernzone r2 + z 2 R2. In diesem Grenzfall durfen wir die Quadratwurzel
im Nenner des Integranden Taylor-entwickeln,
cos + ::: ;
(r2 + z 2 2Rr cos + R2 ) 1=2 = (r2 + z 2 ) 1=2 1 + Rr
r2 + z 2
und Ausfuhren des Integrals resultiert in
A = 40 IR2 (r2 + z 2) 3=2 r2 d' + : : : :
Einmal Dierenzieren gibt die magnetische Feldstarke
B = dA = 40 IR2 (r2 + z 2) 5=2 (2z 2 r2 )dr 3rz dz ^ rd' + : : : :
B
I
Abbildung 2.4. Magnetische Flulinien einer stromfuhrenden Leiterschleife
In dieses Fernfeld bringen wir jetzt eine zweite kreisformige Leiterschleife mit
Radius R0 und Strom I 0 . Wir interessieren uns fur die Kraft, die die beiden
Schleifen aufeinander ausuben, wenn die zweite Schleife wie die erste zur
xy-Ebene parallel liegt und um die z -Achse zentriert ist. Nach Aufg. ?? ist
die z -Komponente der Lorentz-Kraft auf das innitesimale Stuck der zweiten
Schleife am Ort p (r(p) = R0 ) mit Tangentenvektor @' (p) bleich
Kz (p) = I 0 Bp (ez ; @'(p)) :
Durch Auntegrieren der Beitrage erhalten wir fur die Gesamtkraft
0 2 0 02 dz
Kz dz = 3
2 IR I R z 4 + ::: :
Die anderen Kraftkomponenten mussen in diesem Spezialfall aus Symmetriegrunden verschwinden. Wir sehen, da die Kraft zwischen den Schleifen fur
den Fall gleicher Stromrichtung (II 0 > 0) attraktiv ist und dem Betrag nach
wie die vierte Potenz des inversen Abstands abfallt.
Aufgabe 2.2.1. Wie hangt die Kraft vom Abstand ab, wenn die beiden Schleifen in der gleichen Ebene liegen?
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)
113
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)
Fur vorgegebene Ladungen und Strome ist das Problem der ElektroMagnetostatik durch die Losung der Poisson-Gleichung auf Integrationen zuruckgefuhrt. Die exakte Berechnung der Integrale kann mitunter aufwendig sein.
In der Praxis ist man jedoch oft nur am Verhalten der Losung fern von den
Quellen interessiert. Wie wir schon gesehen haben, ergeben sich in diesem
Grenzfall Vereinfachungen. Die Systematisierung der in Bsp. 2.2.2 verwendeten Naherung fuhrt auf eine Entwicklung nach Multipolen.
Notation. Um die Notation abzukurzen, bedienen wir uns hier der im RicciKalkul ublichen Einsteinschen Summenkonvention, nach der uber jeden doppelt auftretenden, einmal hoch- und einmal tiefgestellten Index automatisch zu summieren ist. Im folgenden schreiben wir also xi xi anstelle von
x2 + y2 + z 2.3
2.3.1 Elektrostatik
Wir betrachten eine Anordnung von Ladungen, die in einem endlichen Raumbereich U E3 enthalten sind. Ohne Verlust an Allgemeinheit wahlen wir
diesen Bereich als eine Kugel mit Radius R und Mittelpunkt am Koordinatenursprung, U = BR . Wir fragen jetzt, wie das elektrostatische Potential
einer solchen Ladungsverteilung \in der Ferne aussieht". Dazu ist unser Ausgangspunkt die Formel
1 Z :
(p) = 4"
0 BR rp
Die auf den Punkt p bezogene Abstandsfunktion rp hat in kartesischen Koordinaten den Ausdruck
q
rp () = d(; p) = xi () xi (p) xi () xi (p)
p
= r2 () 2xi ()xi (p) + r2 (p) ;
p
wobei r = xi xi der Abstand vom Koordinatenursprung ist. Per Voraussetzung gilt R r(p), und mit der Taylor-Entwicklung (1 + x) 1=2 =
1 x2 + 3x8 + O(x3 ) haben wir
2
1 =2
2
i
rp () 1 = r(p) 1 1 + r () r22x(pi ())x (p)
i
j
i
= r(1p) + rx3 ((pp)) xi () + 12 x (rp5)(xp)(p) 3xi ()xj () ij r2 () + : : : :
3
Auf den tieferen Sinn der Tief- und Hochstellung von Indizes, namlich der Unterscheidung zwischen \kontravarianten" und \kovarianten" Tensoren, wie es in
der alten Diktion heit, wird hier nicht eingegangen.
114
2. ElektroMagnetostatik
Wir setzen diese Entwicklung in die Formel fur (p) ein und fuhren die Integration aus. Dann resultiert
1
i 1 (2) xi xj
x
1
(1)
(0)
= 4" q r + qi r3 + 2 qij r5 + : : : ;
0
wobei die folgenden Groen eingefuhrt wurden:
Monopolmoment: q(0) =
Z
Quadrupolmoment: qij(2) =
;
Z
Dipolmoment: qi(1) =
Z
xi ;
3xi xj ij r2 :
Das Integral erstreckt sich in jedem Fall uber den endlichen, ladungserfullten Raumbereich U = BR . Beim Monopolmoment handelt es sich um nichts
anderes als die Gesamtladung der Anordnung, und das zugehorige Potential
fallt wie r 1 ab. Fur das Dipolmoment geht der Abfall wie r 2 , fur das Quadrupolmoment wie r 3 . Die angegebenen Terme sind die ersten drei in einer
unendlichen Reihe, der sogenannten Multipol-Entwicklung. Das Potential des
Multipolmoments l-ter Ordnung, q(l) , fallt ab wie r l 1 .
Aufgabe 2.3.1. Berechnung der Multipolmomente einiger einfacher Ladungsverteilungen...
Aufgabe 2.3.2. Kraft zwischen elektrischen Dipolen...
2.3.2 Magnetostatik
Auch hier gehen wir von der Losung der Poisson-Gleichung aus,
Z (?j )k
0
dx ^ dy ^ dz :
Ak (p) = 4
U rp
Fur den Zweck einer Multipol-Entwicklung ist es gunstig, den Integranden
etwas umzuschreiben. Wir setzen = dx ^ dy ^ dz und machen folgende
kleine Rechnung:
(?j )k = (@k ? j ) ^ = (@k ) ^ ?j = j ^ ?(@k ) = j ^ dxk :
Diese Rechnung geh
ort nach oben (Poisson-Gleichung: Magnetostatik),
und man sollte gleich mit der folgenden Gleichung beginnen: Hier-
mit wird die Formel fur das Vektorpotential zu
Z j ^ dxk
:
Ak (p) = 40
BR rp
Jetzt spezialisieren wir wieder zur Fernzone, indem wir die Taylor-Entwicklung fur rp 1 einsetzen:
Z 1 xl(p)
0
Ak (p) = 4
+
xl () + : : : j ^ dxk :
BR r(p) r3 (p)
2.3 Multipolentwicklung (kartesisch)
115
Wegen
der Stromerhaltung (dj = 0) gilt
R j ^ dxder= magnetostatischen
R dj ^ x = 0, so Bedingung
da der Monopolterm hier verschwindet. Der
k
k
nachste Term in der Entwicklung ist
k l
A = 40 mkl x rd3x + : : : :
Hierbei bezeichnet m einen antisymmetrischen Tensor zweiter Stufe,
Z
mkl := j ^ xk dxl = mlk ;
der das magnetische Dipolmoment genannt wird. (Die Antisymmetrie folgt
durch partielle Integration.) Wir sehen, da das Vektorpotential eines magnetischen Dipols wie das Quadrat des inversen Abstandes abfallt (vgl. das
Potential eines elektrischen Dipols, Abschn. 2.3.1).
Aufgabe 2.3.3. Gehe analog zum elektrischen Fall vor und treibe die Entwicklung bis zum magnetischen Quadrupolmoment.
Aufgabe 2.3.4. Wie vergleichen sich die Felder des elektrischen und
magnetischen Dipols? Sind sie identisch?
Beispiel 2.3.1. Gegeben sei eine Leiterschleife beliebiger Form mit Strom I
(Abb. 2.5 illustriert den Fall, da in der xy-Ebene liegt). Was lat sich uber
das magnetische Dipolmoment einer solchen Schleife sagen? (Die folgende
Rechnung wird durch die im Abschnitt 
uber die Poisson-Gleichung getroffene
Vorbereitung redundant. Wir ben
utzen sofort:)
Z
BR
j ^ xdy = I
Z
xdy :
R
Betrachte dazu speziell die xy-Komponente mxy = j ^ xdy. Wir behaupten, da fur den vorliegenden Fall einer linienformigen Stromdichte gilt
mxy =
Z
BR
j ^ xdy = I
Z
xdy :
Beim Beweis machen wir uns die Tatsache zunutze, da die Integration von
Dierentialformen metrikfrei erklart ist. Wir fuhren krummlinige Koordinaten , und mit Dierentialen d , d und d ein und bezeichnen die
Dualbasis der Vektorfelder wie ublich mit @ , @ und @ . Die Koordinaten
wahlen wir so, da eine Koordinatenlinie von ist:
= fp 2 E3 j (p) = 0 ; (p) = 0 g :
Fur einen Punkt a 2 setze u = @ (p), v = @ (p), w = @ (p) und betrachte
das Parallelepiped mit Basispunkt p = a (u + w)=2 und Kantenvektoren u, v, w (vgl.
R Abb. 2.5). Der Beitrag von diesem Parallelepiped zum
Volumenintegral j ^ xdy ist
116
2. ElektroMagnetostatik
εu
a
εv
y
p
x
γ
Abbildung 2.5. Ein Teil der in der xy-Ebene liegenden Leiterschleife wird von
dem Parallelepiped mit Basispunkt p und Kantenvektoren u, v, w uberdeckt.
Z Z 0
0
(j ^ xdy)p+su+tw (u; v; w)dt ds + O(2 )
= (xdy)a (v)
Z Z 0
0
jp+su+tw (w; u)dt ds + O(2 )
= (xdy)a (v) I + O(2 ) :
R
Da die rechte Seite der entsprechende Beitrag zum Linienintegral I xdy
ist, folgt die Behauptung. Dieses Resultat lat sich auf einfache Weise geometrisch deuten. Sei xy die orthogonal Projektion von auf die xy-Ebene.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, da diese Projektion auf bijektiv
ist und durch = 1 (xy ) umgekehrt werden kann. Die 1-Form xdy bleibt
unter dem Zuruckholen mittels 1 ungeandert, so da mit xy = @S (S
liegt nat
urlich in der xy -Ebene) und dem Satz von Stokes folgt
mxy =I =
Z
1 (xy )
xdy =
Z
xy
xdy =
Z
S
dx ^ dy = Flache(S ) :
Die xy-Komponente des magnetischen Dipolmoments der Schleife ist also
gleich dem Strom I mal der von der Projektion von auf die xy-Ebene (im
orientierten Sinn) eingeschlossenen Flache. Eine analoge Aussage gilt fur die
yz - und zx-Komponenten. Zum Schlu betrachten wir noch den Spezialfall
einer kreisformigen Leiterschleife mit Radius R in der xy-Ebene. Mit mxy =
IR2 und myz = mzx = 0 erhalten wir
i j
2
x dy y dx :
A = 40 mij x rd3x = 0 IR
2
4 (x + y2 + z 2)3=2
Nach U bergang zu Zylinderkoordinaten stimmt dieser Ausdruck mit dem
fuhrenden Term des Resultats von Bsp. 2.2.2 uberein.
2.4 Randwertaufgaben
117
2.4 Randwertaufgaben
2.4.1 Die Greenschen Identitaten
In der theoretischen Physik im allgemeinen, insbesondere aber fur die ElektroMagnetostatik, sind zwei nach Green benannte Identitaten von groem
Nutzen. Sie beruhen auf der folgenden Konstruktion. Gegeben sei ein beschranktes Gebiet U . Fur jedes Paar von 1-Formen und denieren wir
das reellwertige Produkt
(j )U :=
Z
U
^ ? :
Dieses Produkt ist in beiden Argumenten linear und wegen ^ ? = ^ ?
symmetrisch. Auerdem
P denit, wie man an der KoordinatenP ist es positiv
darstellung ( = i i dxi , = i i dxi )
(j )U =
Z X
3
(
U i=1
i i )dx ^ dy ^ dz
sofort sieht. Es hat also die Eigenschaften eines Skalarproduktes. Nun setzen
wir speziell = df und = dg, wobei f und g zwei Funktionen auf U sind,
und wenden die Produktregel fur d an:
df ^ ?dg = d(f ^ ?dg) f d ? dg :
Der zweite Term auf der rechten Seite lat sich auch in der Form f ? 4g
schreiben. Durch Integration uber U und Anwenden des Stokesschen Satzes
im ersten Term auf
Z der rechtenZ Seite entsteht
f ? 4g
(1. Greensche Identitat):
f ? dg
(df j dg)U =
U
@U
Nun tauschen wir in der 1. Greenschen Identitat f und g aus, subtrahieren
die Gleichungen und verwenden die Symmetrie ( df j dg)U = ( dgj df )U . Dann
resultiert:
Z
Z
(f ? dg g ? df ) = (f ? 4g g ? 4f ) (2. Greensche Identitat):
@U
U
Wir sehen, da in die Formulierung der Greenschen Identitaten die metrische
Struktur des Euklidischen Raumes in wesentlicher Weise eingeht.
2.4.2 Elektrostatik: Poisson- und Dirichlet-Problem
Fur vorgegebene Ladungsdichte wird das elektrostatische
Problem durch
R
die Losung der Poisson-Gleichung (p) = (4"0 ) 1 =rp auf die Berechnung
von Integralen zuruckgefuhrt. In Anwesenheit metallischer Leiter ist die Ladungsdichte jedoch keine Groe, die wir als gegeben ansehen konnen. Sie
stellt sich im Gleichgewicht genau so ein, da das elektrische Feld im Innern
118
2. ElektroMagnetostatik
U
U
U1
U2
Abbildung 2.6. Eine typische Konstellation fur das Randwertproblem
des Leiters verschwindet. Die Problemstellung besteht in einem solchen Fall
u.a. darin, die auf der Oberache des Leiters induzierte Flachenladungsdichte
zu berechnen. Betrachte zum Beispiel Abb. 2.6. Gezeigt ist dort ein Gebiet
U , das von der Oberache @U eines metallischen Leiters berandet wird. In
U benden sich Bereiche U1 und U2 (z.B. elektrisch geladene Isolatoren) mit
vorgegebener Ladungsdichte = (1) + (2) . Der Leiter sei \geerdet", d.h. er
habe eine leitende Verbindung nach Unendlich, so da @U = (1) = 0. Das
Problem besteht nun darin, so zu bestimmen, da die Poisson-Gleichung
4 = ?="0 erfullt ist und gleichzeitig auf dem Rand von U verschwindet.
Denition. Die Aufgabe: \Lose fur vorgegebene Ladungsdichte die PoissonGleichung 4 = ?="0 auf U n @U zur Randbedingung @U = 0" heit
Poisson-Problem.
Von Interesse ist auch der Fall, da die Ladungsdichte auf dem Inneren von
U verschwindet und der Rand @U (der auch aus mehreren Teilen bestehen
kann) auf einem festen Potential gehalten wird.
Denition. Die Aufgabe: \Lose 4 = 0 auf U n @U zu vorgegebenem Randpotential @U " heit Dirichlet-Problem.
Die allgemeinste Randwertaufgabe besteht in der Losung der Poisson-Gleichung unter Vorgabe der Ladungsdichte auf dem Inneren von U und des
Potentials auf dem Rand von U . Wegen der Linearitat der Poisson-Gleichung
zerfallt die allgemeine Aufgabe in ein Poisson-Problem und ein DirichletProblem. Unter schwachen Voraussetzungen an U lat sich zeigen, da
Poisson- und Dirichlet-Problem eindeutig losbar sind. Die Losungstheorie beruht auf dem Konzept der Greenschen Funktion.
Beachte die Komplementarit
at von Poisson- und Dirichlet-Problem:
im ersten wird die Ladungsdichte im Inneren von
vorgegeben und
U
2.4 Randwertaufgaben
119
das Potential auf dem Rand gleich Null gesetzt, im zweiten dagegen
wird die Ladungsdichte im Inneren gleich Null gesetzt und das Potential
auf dem Rand vorgegeben.
Denition. Sei U ein beschranktes Gebiet.
Besser w
are es, schon hier
und nicht erst sp
ater mit der Dirac- -Distribution zu arbeiten. Die
Greensche Funktion zu U ist eine Abbildung: U U ! R, (a; b) 7! G(a; b)
mit den Eigenschaften
(1) G(a; b) (4ja bj) 1 ist regular fur a = b ;
(2) (4G)( ; b) = 0 auf U n (@U [ fbg) ;
(3) G(; b)@U = 0 :
In Worten: G(a; b) ist (abgesehen von einem Faktor "0 ) das elektrostatische
Potential im Punkt a, das eine im Punkt b ruhende Einheitsladung verursacht,
wenn der Rand @U geerdet ist.
Mitteilung. Die Beschranktheit von U wird verlangt, um mathematische Pathologien auszuschlieen. Gewohnlich existiert G (und ist eindeutig) auch fur
unbeschranktes U . In diesem Fall wird man verlangen, da G im Unendlichen
verschwindet. Zum Beispiel ist die Greensche Funktion zu U = E3 gleich
G(a; b) = 4ja1 bj :
Eindeutigkeit der Greenschen Funktion. Die Bedingungen (1{3) legen G(a; b)
eindeutig fest. Zum Beweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, es gabe zwei
Greensche Funktionen G1 und G2 und betrachten fur einen fest gewahlten
Punkt p 2 U n @U die Dierenz g := G1 (; p) G2 (; p). Diese Funktion
ist aufgrund von
(1) im Punkt p regular. Nach (2) und (3) gilt 4g = 0 auf
U n @U und g@U = 0. Hiermit liefert die erste Greensche Identitat
(dgjdg)U =
Z
U
dg ^ ?dg =
Z
@U
g ? dg
Z
U
g ? 4g = 0 0 = 0 ;
und die positive Denitheit des Skalarprodukts (dgjdg)U 0 erzwingt g 0.
Losung des Poisson-Problems. Per Denition der Greenschen Funktion ist
das Potential (a) einer am Ort b ruhenden Ladung q gleich G(a; b)q="0 .
Durch U bergang zum Integral erhalten wir trivialerweise
(p) =
Z
U
G(p; )="0 :
Losung des Dirichlet-Problems.
Die folgende Rechnung ist durch Verwenden
der Dirac- -Distribution abzuk
urzen. Unser Vorgehen ist hier ganz 
ahn-
lich wie in Bsp. 2.6.1. Es sei B (p) wieder der Ball mit Mittelpunkt p 2 U n @U
und Radius . Wir wenden die zweite Greensche Identitat mit f = und
g = G(; p) auf das Gebiet U n B (p) an. Da dort 4G(; p) = 0 = 4 gilt,
folgt:
120
Z
2. ElektroMagnetostatik
@B (p)
(G(; p) ? d ? dG(; p)) =
Z
@U
(G(; p) ? d ? dG(; p)) :
Der erste
Term auf der rechten Seite verschwindet infolge der Randbedingung
G(; p)@U = 0. Auf der linken Seite erhalten wir (vgl. Bsp. 2.6.1)
lim
Z
!0 B (p)
(G(; p) ? d ? dG(; p)) = (p) :
Folglich wird das Dirichlet-Problem durch
(p) =
Z
@U
? dG(; p)
gelost. Dieses Resultat druckt im Inneren von U durch seine Werte auf dem
Rand @U aus.
Symmetrie der Greenschen Funktion. Fur zwei Punkte a; b 2 U n @U betrachten wir das Gebiet U n (@U [ B(a) [ B (b)) und setzen in der zweiten
Greenschen Identitat f = G(; a) und g = G(; b). Eine analoge Rechnung
wie oben fuhrt dann auf die Symmetrierelation
G(a; b) = G(b; a) :
Auch hier hilft die Dirac- -Distribution.
Poisson-Kern.
Die in der Losung des Dirichlet-Problems auftretende 2-Form
? dG(; p)@U (p fest, anderes Argument variabel) heit Poisson-Kern. Sie
hat die folgende physikalische Interpretation. Wir bringen eine Ladung q an
den Ort p und erden den Rand @U . Dann ist das elektrostatische Potential
durch = G(; p)q="0 gegeben, und es gilt
D = "0 ? E = "0 ? d = q ? dG(; p) :
Die Verdrangung des elektrischen Feldes aus dem Metall wird durch Oberachenladungen auf mit Flachendichte-2-Form auf @U bewirkt. Die Anschlubedingung fur die Tangentialkomponente von D auf @U lautet
= D = q ? dG(; p) :
@U
@U
Wir konnen also ?dG(; p) @U als die durch eine Einheitsladung am Ort p auf
der metallischen Oberache @U induzierte Flachenladungsdichte auassen.
(wobei @U durch die nach auen zeigende Normale orientiert wird.
Bildladungsmethode. Hier ware kurz das Prinzip der Bildladungsmethode
zu erl
autern. F
ur den Halbraum kommt man mit einer einzigen Bildladung
aus, f
ur den Raum zwischen zwei parallelen Ebenen ben
otigt man schon
unendlich viele. Ein ber
uhmtes nichttriviales Beispiel, wo mit einer
Bildladung auskommt, ist die Kugel (Kelvin).
2.4 Randwertaufgaben
121
Beispiel 2.4.1. Oben haben wir gezeigt, da die Losung des Poisson- und
Dirichlet-Problems durch die Greensche Funktion ausgedruckt werden kann.
Unser Ziel ist daher die Berechnung der letzteren. Obwohl dies im allgemeinen die Hilfe eines Computers erfordert, gelingt in einigen Fallen mit hoher
Symmetrie auch die analytische Berechnung. Ein solcher Spezialfall ist die
Kugel U = BR . Ohne Verlust an Allgemeinheit legen wir den Kugelmittelpunkt in den Koordinatenursprung o. Zu berechnen ist fur einen festen Punkt
a 2 BR n @BR die Greensche Funktion G(; a), was sich mit dem folgenden
Trick (Lord Kelvin) bewerkstelligen lat. Sei d(o; a) 6= 0 der Abstand des
Punktes a von o. Wir wahlen den Punkt A auf der Geraden durch o und a
so, da gilt (siehe Abb. 2.7):
d(o; A)
R
d(o; a) = R :
p
A
o
BR
a
BR
Abbildung 2.7. Skizze zu Bsp. 2.4.1
Zwischen den Koordinaten der Punkte a und A besteht dann die Beziehung xi (A) = (R=d(o; a))2 xi (a). Nun betrachten wir irgendeinen Punkt p
auf @BR . Die beiden Dreiecke poa und poA sind einander ahnlich. (In der
Tat ist ihnen ein Winkel gemein, und die Seiten haben per Wahl von A
gleiche relative Langen.) Deshalb gilt die elementargeometrische Relation
R=d(p; a) = d(o; A)=d(p; A) oder aquivalent
1
1
d(o; A)
1
R
d(p; a) = d(p; A) R = d(p; A) d(o; a) :
Der wichtige Schlu, den wir hieraus ziehen, ist, da die Funktion
1 1
1
R
g = 4 r r d(o; a)
a
A
auf dem Rand der Kugel @BR verschwindet. Nun lat sich aber "0 g als das
Potential zweier Punktladungen auassen: einer Einheitsladung am Ort a
und einer \Spiegelladung" R=d(o; a) am Ort A 2= BR . Als solches genugt g
der Laplace-Gleichung auf BR nfag. Auerdem ist die Funktion g (4ra ) 1
am Punkt a regular. Damit erfullt g genau die an die Greensche Funktion
gestellten Forderungen. Da die Greensche Funktion eindeutig ist, folgt g =
G(; a).
122
2. ElektroMagnetostatik
Aufgabe 2.4.1. Veriziere fur das Beispiel der Kugel U = BR die
Symmetrie
G(a; b) = G(b; a), und berechne den Poisson-Kern d ? G(; p)@U .
2.4.3 Magnetostatik: Abschirmung durch Suprastrome
Das magnetostatische Analogon zur Abschirmung des elektrischen Feldes
durch ein Metall ist die Verdrangung des magnetischen Feldes aus einem
Supraleiter.4 To be continued
2.5 Energiebetrachtungen
2.5.1 Kapazitatskoezienten
Energie eines Systems von Punktladungen. Ein punktformiger Korper, der
sich am Ort p1 bendet und die Ladung q1 tragt, erzeugt wie wir wissen die
elektrische Feldstarke E (1) = (q1 =4"0)drp =rp2 . Um in diesem Feld einen
zweiten punktformigen Korper mit Ladung q2 aus dem Unendlichen an die
Stelle p2 zu bringen, ist die Arbeit
Z
1 q1 q2 =: W
q2 E (1) = 4"
12
0 jp1 p2 j
erforderlich. (Fur q1 q2 < 0 ist die Arbeit negativ, d.h. es wird Energie frei.)
Transportieren wir nun im elektrischen Feld der schon vorhandenen Ladungen eine dritte Punktladung q3 an den Ort p3 , so ist die Arbeit W13 + W23
zu verrichten. Wir setzen diese Prozedur fort, bis wir N Punktladungen qi
an die Positionen pi (i = 1; :::; N ) gebracht haben. Die zum Aufbau der Gesamtkonguration notige Energie ist dann eine Summe uber N (N 1)=2
Paare,
X
1 X qi qj :
W = Wij = 4"
0 i<j jpi pj j
i<j
1
1
A quivalent konnen wir schreiben
N
X
1 X qj ;
W = 21 (i) (pi )qi ; (i) = 4"
0 j 6=i jpj j
i=1
wobei in der Potentialfunktion (i) der i-te Summand weggelassen wird, um
den divergenten Beitrag der \Selbstenergie" Wii qi2 =jpi pi j = 1 auszuschlieen.
4
Genau gesprochen benotigt man einen Supraleiter in der sogenannten MeinerOchsenfeld-Phase.
2.5 Energiebetrachtungen
123
Energie eines Ladungskontinuums. In Abschn. 1.8 haben wir uber die Herleitung des Energiesatzes motiviert, da die Energiedichte des elektrischen
Feldes durch (1=2)E ^ D gegeben ist. Demnach berechnet sich die in einer
kontinuierlichen Ladungsverteilung mit elektrischer Feldstarke E und Erregung D gespeicherte Energie zu
Z
W~ = 21 E ^ D :
Wie hangt dieser Ausdruck mit jenem fur das System von Punktladungen
zusammen? Dazu machen wir mit E = d eine partielle Integration [wobei
(1) = 0 benutzt wird] und verwenden das Gausche Gesetz dD = :
Z
Z
Z
1
1
1
~
W = 2 d ^ D = 2 dD = 2 :
Oenbar ist W~ die kontinuierliche Version des diskreten Ausdrucks W . Bei
genauerem Hinsehen tut sich jedoch eine Diskrepanz auf. Die Energie
Z
Z
"
"
0
0
~
W = 2 E ^ ?E = 2 Ex2 + Ey2 + Ez2 dx ^ dy ^ dz 0
ist immer positiv, wahrend W auch negativ (z.B. fur ein System von zwei
Punkten mit Ladungen unterschiedlichen Vorzeichens) sein kann. Der Unterschied ruhrt daher, da W~ Selbstenergiebeitrage enthalt, die in dem Ausdruck fur W weggelassen wurden. Die Problematik wird besonders deutlich,
wenn wir die Feldenergie einer elektrisch geladenen Kugel mit Radius R betrachten. Aus dimensionellen Grunden (oder durch kurze Rechnung) folgt,
da diese Energie im Limes einer Punktladung (R ! 0) wie R 1 divergiert.
Diese Divergenz ist nichttrivialer Natur 5 und deutet an, da die Elektrodynamik bei kurzen Skalen modiziert und durch eine fundamentalere Theorie
vervollstandigt werden mu.
Kapazitatskoezienten. Wir betrachten jetzt wie in Abb. 2.8 illustriert eine
Anordnung von N elektrischen Leitern U1 ; U2; : : : ; UN . Das elektrostatische
U2
U1
p
5
U3
Abbildung 2.8. Eine kapazitives System metal-
lischer Bereiche
In der Quantenelektrodynamik werden solche Divergenzen phanomenologisch beseitigt, indem man die Theorie \regularisiert" und \renormiert".
124
2. ElektroMagnetostatik
Potential ist auf jedemRLeiter konstant, Ui = i , und wir wahlen (1) =
0. Mit der Ladung Qi = Ui auf Ui erhalten wir dann fur die Gesamtenergie
des Systems
Z
N
X
W~ = 21 = 12 i Qi :
i=1
Die Ladungen sitzen alle auf den Oberachen @Ui . Unser Ziel ist es hier,
die Energie als quadratische Form in den konstanten Potentialen i auszudrucken. Es seien also die i vorgegeben. Wir haben es dann auf U =
E3 n [Ni=1 Ui mit einem Dirichlet-Problem zu tun, dessen Losung fur das
Potential im Punkt p sich folgendermaen aufschreiben lat:
(p) =
N
X
j =1
j Kj (p) ;
wobei Kj durch Integrieren des Poisson-Kerns uber die Oberache @Uj
berechnet wird,
Kj (p) :=
Z
@Uj
?dG(; p) :
P
(Beachte @U =
j @Uj .) Diesem Potential entspricht die elektrische Erregung
X
j "0 ? dKj :
D = "0 ? E = "0 ? d =
j
Es sei nun (i) die Flachenladungsdichte auf der i-ten Leiteroberache @Ui
(die durch den nach U gerichteten Normalenvektor orientiert wird). Dann
gilt uber @Ui hinweg die Anschlubedingung
D@Ui = (i) ;
und durch Integration uber @Ui erhalten wir die Ladung
Qi =
Z
@Ui
(i) =
X Z
j
j
@Ui
R
( "0 ? dKj ) =
X
j
Cij j :
Die reellen Zahlen Cij = "0 @Ui ?dKj heien Kapazitatskoezienten. Sie
sind allein durch die Geometrie der Anordnung bestimmt und vom Ladungszustand und/oder den Potentialen der Leiter unabhangig. Ihre Berechnung
setzt die Kenntnis der Greenschen Funktion des Randwertproblems voraus
und ist daher im allgemeinen schwierig. Aus der Symmetrie der Greenschen
Funktion folgt
Cij = "0
Z
@Ui
?dKj = "0
Z
@Uj
?dKi = Cji :
Insgesamt erhalten wir fur die elektrostatische Energie der Anordnung
2.5 Energiebetrachtungen
125
X
W~ = 21 Cij i j :
Beispiel.
ij
Welches?
2.5.2 Induktionskoezienten
Energie eines Systems stromfuhrender Schleifen. Betrachte eine Anordnung
von N Leiterschleifen i beliebiger Form, Groe und Ausdehnung (ABBILDUNG). Ausgehend von einem Anfangszustand ohne Stromu werde der
Strom in i auf den stationaren Wert Ii (i = 1; :::; N ) hochgefahren. Dabei
ist von der Stromquelle wegen des Induktionsgesetzes eine Gesamtarbeit W
zu verrichten, die nach dem Energiesatz (Abschn. 1.8) im aufgebauten Magnetfeld gespeichert wird:
Z
W = 12 B ^ H :
R
In der Elektrostatik haben wir gesehen, da die elektrische Feldenergie 12 E ^
D fur eine kontinuierliche
Ladungsdichte mit Potential [(1) = 0] sich in
R
die Form 12 bringen lat. Ein analoges Umschreiben nehmen wir jetzt in
der Magnetostatik vor, wobei das Vektorpotential A das Potential ersetzt,
und die Rolle von durch j ubernommen wird. Sei also A ein Vektorpotential
von B . Dann folgt durch partielle Integration
Z
Z
Z
W = 12 dA ^ H = 21 A ^ dH = 12 A ^ j :
(Hier wurde naturlich angenommen, da das Magnetfeld im Unendlichen
schnell genug abfallt, so da die Integrale existieren undR auch kein Randterm
bei der partiellen Integration entsteht.) Der Ausdruck A ^ j ist nicht manifest eichinvariant, da A unter einer Eichtransformation inR A + d ubergeht.
R dj
Jedoch verschwindet der entstehende Zusatzterm dank d ^ j =
und der magnetostatischen Zwangsbedingung dj = 0.
Aufgabe 2.5.1. Die in einem System stromfuhrender Schleifen gespeicherte magnetische Energie ist quadratisch im Magnetfeld. Verdoppeln wir die
Strome (und damit das Magnetfeld), so vervierfacht sich die Energie. Folglich nimmt die magnetische Energie zu, wenn wir zwei Leiterschleifen mit
festen und gleichgerichteten Stromen I und I 0 aufeinander zubewegen. Man
konnte deshalb meinen, da sich die Leiterschleifen fur II 0 > 0 abstoen. In
Abschn. 2.1.2 (Festlegung von 0 ) und Bsp. 2.2.2 hatten wir aber gezeigt, da
die Kraft zwischen Schleifen mit gleichgerichteten Stromen attraktiv ist! Wo
liegt der Denkfehler?
126
2. ElektroMagnetostatik
Induktionskoezienten. Wir nehmen jetzt an, da die Stromdichte j (i) der
i-ten Leiterschleife mit dem Strom Ii skaliert: ?j (i) = Ii !(i) . Die dimensionslose 1-Form !(i) beschreibt das \Stromdichteprol"
P der i-ten Schleife.
Dann wahlen wir wieder die Coulomb-Eichung fur A = k Ak dxk und haben
nach Abschn. 2.3.2
N Z (i)
X
Ak (p) = 40 Ii !kr dV ;
p
i=1 i
wobei dV die kartesische Volumenform dx ^ dy ^ dz bezeichnet. Diesen Ausdruck setzenZ wir in die Formel
W = 21 (Ax jyz + Ay jzx + Az jxy ) dV
ein, worauf Doppelintegrale entstehen,
P !(i)(x; y; z) !(j) (x0 ; y0; z0)
Z Z
0
0
k
Lij = 4 dV dV p k k0 2
;
(x x ) + (y y0 )2 + (z z 0 )2
j
i
deren mit den Stromen gewichtete Summe die Energie W ergibt:
N
X
Lij Ii Ij :
W = 12
i;j =1
Die Groen Lij heien Induktionskoezienten. Fur i 6= j sprechen wir von
\Gegeninduktionskoezienten", fur i = j von \Selbstinduktionskoezienten".
Energie eines Systems von Stromlinien. Wenn die Leiterschleifen linienformig
(d.h. sehr geringer transversaler Ausdehnung) sind, konnen wir die Volumenintegrale fur W und A zu Linienintegralen reduzieren. Mit der gleichen
Rechnung wie in Bsp. 2.3.1 nden wir
N Z X
X
W = 12 Ii
Ak dxk ;
i k
i=1
Z
X
Ak (p) = 40 Ij drxk :
j p
j
P
Einsetzen des zweiten Integrals in das erste ergibt W = 21 Lij Ii Ij mit
Z
3 Z
X
Lij = 40
dx0k dxk (x x0 )2 + (y y0 )2 + (z z 0 )2 1=2 :
j
k=1 i
Zur weiteren Vereinfachung dieses Ergebnisses parametrisieren wir die Schleifen durch s 2 [0; 1] 7! i (s) und t 2 [0; 1] 7! j (t) und holen die 1-Formen
dxk nach [0; 1] zuruck. Dann entsteht
2.5 Energiebetrachtungen
1 Z1
Z
0
Lij = 4
0 0
127
0(s); 0 (t)
i
j
ji (s) j (t)j dtds ;
wobei i0 (s) den Tangentialvektor (d=ds)i (s) bezeichnet und ; das Ska-
larprodukt des Euklidischen Vektorraumes von E3 ist. (Achtung! Die Selbstinduktionskoezienten Lii sind in dieser Naherung divergent. Fur sie ist die
endliche transversale Ausdehnung der Leiterschleifen zu berucksichtigen.)
z
γ2
a
y
2
x
R
γ1
Abbildung 2.9.
Beispiel 2.5.1. Gegeben seien zwei kreisformige Leiterschleifen (Abb. 2.9) mit
Parametrisierung
1 (s) = o + exR cos(s) + ey R sin(s) ez a=2 ;
2 (t) = o + exR cos(t) + ey R sin(t) + ez a=2 :
Der Abstand zwischen zwei Punkten auf den Schleifen und das Skalarprodukt
der zugehorigen Tangentenvektoren berechnen sich zu
q
j1 (s) 2 (t)j = 2R2 1 cos(s t) + a2 ;
0 (s); 0 (t) = R2 cos(s t) :
1
2
Damit erhalten wir fur den Gegeninduktionskoezienten
Z
0
2
L12 = 4 R
2Z2
0 0
2
0 R Z
= p
2 20
cos(s t)
dtds
2R2 1 cos(s t) + a2
q
p1
cos tdt
:
cos t + a2 =2R2
Dieser Ausdruck ist wieder mal ein elliptisches Integral, das nicht elementar
berechnet werden kann. Im Grenzfall a R gilt in fuhrender Naherung
128
2. ElektroMagnetostatik
4
L12 ' 2 0 Ra3 :
Wer dies nicht auf einen Blick sieht, macht wenigstens einen Dimensionstest.
Mit [0 ] = Energie=(Strom2 Lange) ergibt sich [L12 ] = Energie=Strom2 ,
wie es per Denition der Induktionskoezienten sein mu.
2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen
Hier wird das Rechnen mit Distributionen und Stromformen weiterf
uhrend
als bisher illustriert und einge
ubt.
Elektrische Dipolschicht. = Ladungsdichte einer Dipolschicht (einer
Stromform
3 ( 3 ))
Abbildung zeigt
im Querschnitt; Ladung
1 , Abstand der Schichten
. (F
ur sp
ater:
= )
Formale Definition:
2 E
Z
=
@ [f ] := Q ?df ;
Q
wobei
=Dipolmoment/Flacheneinheit im Limes
wird (beachte: [ ] = Ladung / L
ange).
Potential (L
osung der Poisson-Gleichung):
Q
!0
festgehalten
Q Z ?d 1 :
(p) = r1 =4"0 = 4"
rp
p
0 Ein anderer, komplizierterer L
osungsweg w
are (um das Rechnen mit
Stromformen zu 
uben!): w
ahle eine spezielle L
osung der Gleichung
d = , zum Beispiel: (0) =
. (physikalische Bedeutung:
(infinitesimale) elektrische Flulinien, die eine Seite der Dipolschicht
mit der anderen verbinden).
Abbildung
Verifikation (hier wird das Rechnen ge
ubt):
D
D
dD(0) [f ] =
D(0)[df ] =
Q?
Z
Q ? [df ] = Q[?df ] = Q ?df = [f ] :
D = D(0) + d;
Allgemeine L
osung:
Aus d = 0 folgt 0 = d
= d + d d oder d d = + , wenn
= = d der Rand der Flache ist.
In der ``Coulomb-Eichung'' d
= 0 erhalten wir dann
=
usw. usw.
Interessante Schlufolgerung: d , und damit letztlich auch das elektrische
Feld, h
angt nur vom
der Fl
ache
= ab. Ist anschaulich
klar (Dipolschicht!) und h
atte sich auch rechnerisch sofort sehen
lassen:
E
@
?D Q ? ? 4
?
Rand
Q
@
Q?
2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen
129
Q Z ?d 1 = ::: = Q Z :
(p) = 4"
rp
4"0 p
0 Das Integral 
uber den Raumwinkel h
angt offensichtlich nur vom Rand
der Fl
ache
ab.
Magnetisches Skalarpotential einer Stromschleife.
Kurz an Rechnung mit
Vektorpotential
erinnern. Es geht aber auch anders (siehe Elektrostatik
oben)...
= Stromdichte einer Leiterschleife (eine Stromform
2 ( 3 ))
per Definition: [ ] =
Abbildung (zeigt eine Fl
ache , deren Rand gleich
ist).
A
j
jA
j2 E
R
I A
(0) = .
Amp
eresches Gesetz d = hat die spezielle L
osung
(0)
(0)
(Verifikation: d
=
=
= = .)
allgemeine L
osung:
= (0) + d .
Aus d = 0 folgt 0 = d
= d (0) + d d = d +
oder
=
d .
Beachte die starke Analogie zur Elektrostatik: d
entspricht der
Ladungsdichte einer elektrischen Dipolschicht (siehe oben)...
Die L
osung dieser Poisson-Gleichung k
onnen wir sofort angeben:
H
B
4
I ? ?
H j
H
@H
I@ I j
H H
?H ?H
? I ? ?4
I
?
1
1
Z
4 (p)=I = d ? r = ? d r = ::: = p :
p
p
springt uber die Flache hinweg; die Kombination H (0) +d
ist
stetig.
Korollar 1: perfekte Analogie zwischen dem elektrischen Feld einer
Dipolschicht und dem Magnetfeld einer stromf
uhrenden Schleife.
Korollar 2: Schleife schrumpfen lassen
das Feld von elektrischem
und magnetischem Dipol sind (abgesehen von den Vorfaktoren) identisch.
(
Uberpr
ufung f
ur
= Kreisscheibe)
!
Zusammenfassung: m
ogliche Strategien.
1. Die homogene Gleichung d = 0 oder d = 0 durch die Einf
uhrung
eines Potentials
= d oder = d losen. Mit Materialgleichung
oder
ausdr
ucken und damit in die inhomogene Gleichung d =
oder d = gehen. Es resultiert Poisson-Gleichung f
ur
bzw.
(im ersten Fall ist die Coulomb-Eichung zu w
ahlen).
2. Spezielle L
osung der inhomogenen Gleichung ansetzen. Durch Hinzuf
ugen
einer exakten Stromform die allgemeine L
osung der inhomogenen Gleichung
ausdr
ucken. Damit (und mit Materialgleichung) in die homogene Gleichung
gehen...
Haben wir zuviel versprochen, als wir sagten, wir k
onnten Elektrostatik
und Magnetostatik in einheitlicher Weise behandeln. Nein. Der Kalk
ul
mit Differentialformen oder Stromformen macht's m
oglich!
H
j
D
D B
A
B
E
E
A
H
130
2. ElektroMagnetostatik
Magnetisches Skalarpotential einer Leiterschleife.
Es folgt jetzt noch die
alte, umst
andliche Rechnung. Vielleicht l
at noch die eine oder andere
Redewendung wiederverwenden. Wir greifen das Problem der stromf
uhren-
den Leiterschleife ein letztes Mal auf und behandeln es jetzt mit einer amusanten Methode, die auf Ampere zuruckgeht. Wie zuvor folge die Leiterschleife
dem Weg und trage den Strom I . Nach dem Ampere-Gesetz gilt dH = 0
auf dem stromfreien Gebiet V := E3 n . Nun wurde man gerne das Poincaresche Lemma anwenden und ein Potential fur H einfuhren. Das ist aber
nicht ohne weiteres moglich, da V nichtkontraktible Schleifen zulat (z.B.
die Schleife in Abb. 2.10). In der Tat ergaRbe H =Rd wegen
R @ = 0 eine
verschwindende magnetische Ringspannung H = d = @ = 0, was
ein Fehlschlu
ist.
R Das richtige, aus dem Ampereschen Gesetz in integraler
R
Form ( @ H = j ) resultierende Ergebnis ist
Z
H = I 6= 0 :
I
S
α
γ
Abbildung 2.10.
Wie durch die nichtkontraktible
Schleife demonstriert wird, ist das Gebiet E3 n nicht
einfach zusammenhangend. Wir sehen hier die Trennache S = S+ von \vorn".
Die Problematik der Nichtexaktheit von H lat sich durch einen Trick umgehen: wir schneiden V ganz einfach langs irgendeiner Flache S , die von berandet wird (@S = ), auf! Um das Argument moglichst klar herauszuarbeiten, erweitern wir S zu einer sehr dunnen Schicht US (S US ) und setzen
V 0 := E3 n US . Das modizierte Gebiet V 0 hat den Rand @V 0 = S S+ ,
wobei S im Limes innitesimaler Schichtdicke gegen S konvergiert und S+
gegen S . Wir nennen S+ die vordere und S die hintere Seite der Trennschicht. Das Gebiet V 0 ist per Konstruktion einfach zusammenhangend, und
nach Poincare folgt jetzt, da die auf V 0 geschlossene 1-Form H dort auch
exakt ist: H = d . Die Funktion heit ein skalares magnetisches Potential von H . Auf dem stromfreien Gebiet V 0 genugt der Laplace-Gleichung
4 = 0, denn
?4 = d ? d = d ? H = 0 1 dB = 0 :
Da nicht global existiert, macht sich in einer Diskontinuitat an der Trennache S Zbemerkbar:Z
d = + ;
I= H=
n(US \)
2.6 ElektroMagnetostatik mit Stromformen
131
wobei und + den Grenzwert von bei Annaherung an S von hinten
(S ) bzw. vorn (S+ ) bezeichnen. Das skalare magnetische Potential springt
also uber S hinweg um einen Betrag, der durch den Strom I gegeben ist.
Diese Tatsache in Verbindung mit der Laplace-Gleichung 4 = 0 auf V 0
erlaubt es, (p) auf geometrische Weise auszudrucken. Es sei dazu B (p) der
Ball mit Mittelpunkt p und Radius . Wir schneiden B (p) aus V 0 heraus und
wenden auf das verbleibende Gebiet U := V 0 n B (p) die zweite Greensche
Identitat mit f := und g := 1=rp an:
Z 1
1
? d ? d r = 0 :
p
@U rp
Die rechte Seite verschwindet wegen 4f = 0 und 4g = 0 auf U . Die 2Form ? d(1=rp) ist mit der auf den Punkt p bezogenen Raumwinkelform p
identisch:
? d r1 = ? drr2p = p :
p
p
(Achtung! Das Subskript p in p ist hier kein Auswertungspunkt wie in unserer Notation fur Dierentialformen sonst ublich, sondern lediglich ein externer
Parameter, der verschiedene Dierentialformen unterscheidet. Eine prazisere,
aber umstandlichere Notation ware (p) .) Der Rand von U besteht aus drei
Stucken, @U = S S+ @B(p), so da folgt:
Z
@B (p)
rp
1 ? d
Z
+ =
p
S
S+
rp 1 ? d + p :
Da die Oberache des -Balles wie 2 skaliert, rp 1 @B (p) aber nur wie 1
divergiert, tragt zum Integral uber @B (p) im Limes ! 0 nur der zweite
TermZ bei:
Z
p = 4 (p) :
rp 1 ? d + p !!0 (p)
@B (p)
@B (p)
Wegen der Stetigkeit von d = H fallt der erste Term auch im Integral uber
den zweiseitigen Rand S S+ der Trennschicht weg, und die Diskontinuitat
des zweiten Terms ( + = I ) gibt
Z
S
S+
Z
rp 1 ? d + p = (
S
+)p = I
Z
S
p :
Insgesamt folgt das hubsche Ergebnis
Z
I
(p) = 4 p :
S
Das skalare magnetische Potential im Punkt p ist also gleich I=4 mal dem
Raumwinkel,
R unter dem die Leiterschleife von p aus gesehen wird. Da das
Integral S p von der Wahl der Trennache S nicht abhangt, ist anschaulich klar. Formal folgt die Unabhangigkeit aus der Geschlossenheit von p
132
2. ElektroMagnetostatik
(dp = 0 auf E3 n fpg). In der Tat lat sich fur zwei Flachen S1 und S2
mit gleichem Rand @S1 = @S2 = die Dierenz S1 S2 als der Rand eines
dreidimensionalen Gebiets W auassen, und es gilt
Z
Z
Z
Z
Z
dp = 0 ;
W
@W
S1 S2
R
R
d.h. das Integral S1 p = S2 p hangt wirklich nur von der berandenden
S1
p
S2
p =
p =
p =
Schleife @S = ab und nicht von S selbst. Wir konnen diese Unabhangigkeit formelmaig explizit machen, indem wir lokal p = dp setzen [z.B. mit
p = (1 cos p )d'p , wobei p und 'p der Polar- bzw. Azimuthwinkel bzgl.
p sind] und mit dem Stokesschen Satz das Flachenintegral uber S in ein
Linienintegral langs umwandeln:
Z
(p) = 4I p :
Aufgabe 2.6.1. Berechne fur die in Abb. 2.11 gezeigte Anordnung das skalare
magnetische Potential und die magnetische Erregung H auf der z -Achse,
und veriziere die U bereinstimmung des Resultats mit dem von Bsp. 2.2.2.
z
p
θp
y
R
γ
I
x
Abbildung 2.11. Skizze zu Aufg. 2.6.1
3. Netzwerke
Warnung: das folgende Kapitel ist noch in einem didaktisch sehr schlechten
Zustand und findet bei den Studenten keine groe Resonanz. (Vielleicht
sollte man das Kapitel deshalb ganz weglassen. Andererseits ist es
aber f
ur numerische Zwecke schon sehr wichtig zu verstehen, wie man
die Maxwellsche Theorie richtig diskretisiert.)
In diesem Kapitel werden wir die Maxwellsche Theorie diskretisieren. Die
Motivation hierfur ist zweifach:
1. Diskretisierung ist eine Vorbereitung fur die Anwendung numerischer Methoden in Situationen, wo analytische Losungsmethoden versagen.
2. Die diskrete Formulierung wird unser Verstandnis der Theorie vertiefen
und unsere Anschauung verbessern. Insbesondere werden wir das \Flulinienbild" prazisieren.
Abschnitt 1.1 dient u.a. dazu, einige allgemeine Strukturen einzufuhren,
mit denen wir dann auf Netzwerken arbeiten werden.
3.1 k-Komplexe
Wir betrachten eine Gesamtheit, die aus einer Menge von
Punkten 0 = fp1 p2 p3 : : :g;
orientierten Linien 1 = f1 2 3 : : :g;
orientierten Flachen 2 = fS1 S2 S3 : : :g;
und orientierten Gebieten 3 = fV1 V2 V3 : : :g;
besteht plus einer Vorschift @ (\Randoperator"), die jeder/m
0 Linie 1
0 Punkte 1
@ Flache A die sie=es berandenden @ Linien A zuweist:
Gebiet
Flachen
Beispiel 3.1.1. Tetraeder
0 = fp1 p2 p3 p4 g
1 = f12 ; 13 ; 14 ; 23 ; 24 ; 34 g @ij = pj pi
2 = fS123 ; S124 ; S134 ; S234 g
@Sijk = jk ik + ij
3 = Tetraeder = V1234
@V1234 = S234 S134 + S124 S123
134
3. Netzwerke
.
P4
γ
γ
S134
γ 13
P1
γ
.
24
S 234
P3
γ
S123
.
vorn
34
14
23
γ 12
S 124
.
P2
Abbildung 3.1. Tetraeder
Beispiel 3.1.2. Quader
7
.
.
8
.
4
oben
5
.
.
6
hinten
rechts
links
vorn
3
.
unten
1
.
.
Abbildung 3.2. Quader
2
0 = fp1 p2 : : : p8 g
@ij = pj pi
1 = f12 : : : 78 g
@Srechts = 24 + 48 68 26
2 = fSoben; Sunten : : :g @Q = Srechts Slinks + Soben Sunten
3 = fQg; Q = Quader
+Shinten Svorn
Die Elemente von k spannen einen linearen Raum auf, den wir mit Ck
bezeichnen. (In den Beispielen: p2 p1 2 C0 ; 12 + 2P
24 34 13 2 C1 .) Die
Elemente von Ck heien k{Ketten. Die Elemente von k heien Basis{k{
Ketten oder, kurzer, k{Zellen. Die Gesamtheit der Raume Ck (k = 0; 1; 2; 3)
@
@
@ C !
zusammen mit dem Randoperator C3 !
2 C1 ! C0 heit 3{Komplex.
(Verallgemeinerung zu k{Komplexen ist klar.)
Wir betrachten jetzt den zu Ck dualen Raum Ck = C k (k = 0; 1; 2; 3).
Zur Erinnerung: \dual" heit, da C k der lineare Raum ist, der aus den
linearen Funktionen ! : Ck ! R besteht.
3.1 k-Komplexe
135
Die Elemente von C k heien k{Coketten. Durch Anwendung einer k{
Cokette ! auf eine k{Kette c ensteht eine reelle Zahl, die wir mit !(c) bezeichnen.
liegt nahe, diese Anwendung mit \Integrieren" gleichzusetzen: !(c) R !Es
.
Mit
dieser Identication sind k{Coketten das diskrete Analogon zu k{
c
Formen.
Wir notieren die Dualbasis mit hochgestellten Indizes, d.h. pi (pj ) =
i
j ; i (j ) = ji usw. Dann ist also f = pi jene Funktion (= Null{Form), die
uberall verschwindet auer im Punkt p = pi , wo sie den Wert f (p) = 1 hat.
Genauso konnen wir ! = i als die 1{Form auassen, deren Integral langs
jeder 1{Zelle (d.h.
R jeder elementaren Linie) verschwindet auer langs c = i ,
wo gilt !(c) = c ! = 1:
Der zum Randoperator @ : Ck ! Ck 1 duale Operator d : C k 1 ! C k
heit Corandoperator. Fur 2 C k 1 und c 2 Ck gilt per Denition von d
als dem zu @ dualen Operator:
(d )(c) = (@c) :
(3.1)
R
R
Mit den Identikationen ! ; (@c) = @c ! und (d )(c) = c d!
schreibt sich (3.1) wie folgt:
Z
Z
!;
d.h. der Corandoperator ist das diskrete Analogon zur aueren Ableitung {
was seine Bezeichnung mit d erklart {, und (3.1) ist die diskrete Version des
Stokesschen Satzes.
Wie im Kontinuum ist d auch auf einem k{Komplex genau so deniert,
da der Stokessche Satz gilt.
Beispiel 3.1.1 : Tetraeder
X in
X
(1) dP i = ni
c
d! =
@c
(2) d ij =
n<i
X
n<i<j
i<n
S nij
X
i<n<j
S inj +
X
i<j<n
S ijn
(Es wird jeweils nur uber n summiert:)
(3) dS 234 = V 1234 ; dS 134 = V 1234 usw:
Beweis z.B. von (1):
X mn
(dpi )(c) = pi (@c) = pi (@
c mn )
= pi
=
X
cmn (pn
m<n
pm) =
Xm<nni X in X
n<i
i<n
X
m<i
cmi
ckl kl
|k<l {z }
=c
X
i<n
cin
136
3. Netzwerke
Beispiel 3.1.2 : Quader
dp1 = 12 13 15
dp4 = 24 + 34 48 usw:
d 37 = +S hinten + S links
d 68 = +S oben S rechts usw:
Die allgemeine Rechenregel fur d lautet wie folgt: (Sie ergibt sich direkt aus
der Denition und lat sich leicht merken, da der Corandoperator die diskrete
Version der aueren Ableitung ist):
Sei ci eine k{Zelle. Zur Berechnung von dci sehen wir nach, welche (k +1){
Zellen ci in ihrem Rand enthalten. dci ist dann die \orientierte" Summe
der zugehorigen (k + 1){Cozellen, wobei das Vorzeichen positiv (negativ) zu
wahlen ist, wenn ci im Rand der betreendem (k + 1){Zelle mit der richtigen
(falschen) Orientierung vorkommt.
3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke
Unser eigentliches Ziel in diesem Kapitel ist { wie gesagt { eine diskrete
Formulierung der Elektrodynamik, die ihrer dierentiellen Struktur gut angepat ist. Bevor wir uns diesem Ziel zuwenden, wollen wir den Begri des
k{Komplexes und der auf ihm denierten Operationen @ and d an zwei Beispielen weiter erlautern und einuben.
3.2.1 Kapazitives Netzwerk
Wir betrachten einen 2{Komplex (am Ende wird auch ein 1{Komplex ausreichen), auf dessen 1{Zellen Kondensatoren plaziert sind!
.
E
Cγ
δ
γ
Cδ
.
A
.
α
B
Cα
.
D
β
Cβ
Abbildung
3.3.
Die C ; : : : ; C sind die Kapazitaten der Kondensatoren.
Beispiel 3.2.1. Wir transferieren (mit Hilfe einer Batterie) Ladungen zwischen den Knoten (= Punkten oder 0{Zellen) des Netzwerkes (oder Komplexes). Im Gleichgewicht werden sich die Ladungen in einer bestimmten Weise
3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke
137
uber die Kondensatoren verteilen. Ziel ist die Berechnung dieses Gleichgewichtszustandes.
Zuordnung der physikalischen Groen zum Netzwerk:
i. Die Verteilung der Ladungen an den Knoten ist eine 0-Kette:
= A A + B B + ii. Die Verteilung der Ladungen uber die Kondensatoren ist eine
1{Kette: Q = Q + Q + iii. Die Spannungen an dem Kondensatoren bilden eine 1{Cokette:
V = V + V + (A ist dual zu A, dual zu usw.)
Die Ringspannung langs jedes geschlossenen Weges mu verschwinden =)
dV = 0.
Die Kapazitaten verknupfen Kondensatorladungen und {Spanunngen:
Q = C V usw. In basisfreier Notation denieren die Kapazitaten eine
Abbildung C : C 1 ! C1 ; V ! C V = Q.
Der Denition der Kondensatorladungen liegt eine Vorzeichenkonvention zugrunde, die der Orientierung der Linien entsprechend gewahlt ist. Zur
Illustration greifen wir dem Knoten B im obigen Beispiel heraus:
δ
-Q
δ
+Q δ
α
+Q
α
-Q
α
.
β
B
Abbildung 3.4. Es mu gelten:
+Q
=
β
β
-Q
Q + Q + Q .
Der allgemeine Zusammenhang zwischen Kondensator{ und Knotenladungen lautet mit Hilfe des Randoperators @ : @Q = :
Zusammenfassung: die Gleichungen des kapazitiven Netzwerkes sind:
@Q = ; Q = C V ; dV = 0
Beachte die starke (und auch nicht zufallige) Analogie zu dem Grundgleichungen der Elektrostatik:
dD = ; D = "0 ? E; dE = 0 :
(@ D~ = ~)
138
3. Netzwerke
Die Gleichung dV = 0 wird durch V = d gelost und kann durch letztere
ersetzt werden. (Nach dieser Ersetzung ist ein 1{Komplex fur die Formulierung der Netzwerk{Gleichungen ausreichend.)
Das Potential = A A + B B + ist eine 0{Cokette.
Die Stimmigkeit der Zuordnung der physikalischen Groen zum Netzwerk
sieht man z.B. am Ausdruck fur (zweimal) die Energie:
() = A A + B B + (Potential angewendet auf Knotenladungen)
= ( @Q) = ( d)(Q) = V (Q)
(Spannungen angewendet auf Kondensatorladungen)
= V Q + V Q + = C (V )2 + C (V )2 + Fur ein zusammenhangendes Netzwerk wird das Potential bis auf eine
additiven Konstante durch die Poisson{Gleichung bestimmt:
= @Q = @ C V = @ C d )
4 = mit dem Netzwerk{Laplaceoperator
4 = @ C d (4 : C 0 ! C0 )
Ein einfaches Poisson{Randwertproblem:
.
E
Cγ
Cδ
γ
A
δ
.
α
.
β
B
Cα
Abbildung 3.5.
C
.
D
β
Die \Randknoten" A und E seien geerdet. (d.h. A = E = 0.) Die
Ladungen auf den \inneren Knoten" B und D sind vorgegeben: innen =
BB + DD . Zu berechnen sind die Potentiale auf den inneren Knoten und
die Ladungen auf den Randknoten.
Sei dazu G(; p) das Potential, das durch eine an einem inneren Knoten
p plazierte Einheitsladung erzeugt wird, wenn die Randknoten geerdet sind.
G ist die Greensche Funktion des Netzwerks mit Randknoten. G genugt den
Gleichungen:
3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke
139
(1) 4G(; p)innen = p (p = innerer Knoten)
(2)
G(; p)Rand = 0
Die Losung der gestellten Aufgabe lat sich durch die Greensche Funktion
ausdrucken:
X
(i) =
G(; p)p ;
(ii)
p innen X
4G(; p)Rand p
Rand =
p innen
(Begrundung
: Per Denition von G erfullt das in (i) angegebene
die=Randbe
dingung Rand = 0 und genugt der Poisson{Gleichung
4
innen innen .
Gleichung (ii) folgt aus: 4 = ) Rand = 4Rand und (i).)
Zur Berechnung von G benotigen wir den Laplaceoperator 4 = @ C d
des Netzwerkes, den wir folgendermaen bestimmen:
:= B B + D D )
d = ( )B + ( )D )
'd = (C C C )B + (C C )D )
@'d = ((B A)C (D B )C (E B )C ) B
+ ((D B )C (E D)C ) D )
( 4)innen = B ((C + C + C )B C D )
+D ( C B + (C + C )D )
Folglich genugt die Greensche Funktion G der Gleichung
( 4G)(; p)innen = B ((C + C + C )G(B; p) C G(D; p))
+D( C G(B; p) + (C + C )G(D; p)) = p
U bergang zu Matrixdarstellung:
B = 10 ; D = 01 )
G(B; B) G(B; D) 1 0 C +C +C
C
C
C + C G(D; B ) G(D; D) = 0 1 :
Es folgt:
G(B; B ) = (C + C =Z ; G(B; D) = C =Z
G(D; B ) = C =Z
; G(D; D) = (C + C + C )=Z
mit Z = (C + C + C )(C + C ) C2 .
Gleichung (i) )
B = G(B; B )B + G(B; D)D ;
D = G(D; B )B + G(D; D)D :
Sei speziell C = C = C = C = C (um einfache Ausdrucke zu bekommen).
Dann folgt
140
3. Netzwerke
B = (2B + D )=5C
D = (B + 3D )=5C
Aufgabe: Berechne A und E aus Gleichung (ii)
3.2.2 Resistive Netzwerke
Wir betrachten wiederum einen 2{Komplex. Die Zahl der 1{Zellen auf dem
2{Komplex sei mit N bezeichnet. Auf N 1 dieser 1{Zellen seien Widerstande
plaziert und auf der verbliebenden eine Stromquelle (eine Batterie mit Spannung Vbatt ). Alles sei durch die Knoten leitend verbunden.
.
D
γ
Rε
Rγ
ε
.
A
Rφ
α
φ
Abbildung 3.6.
.
C
δ
Rβ
Rδ
β
.
B
Im stationaren Zustand iet in jedem Leiterstuck (= 1{Zelle) ein bestimmter Strom. Diese Strome gilt es aus der Batteriespannung und den als
bekannt vorausgesetzten Widerstanden zu berechnen.
Zuordnung der physikalischen Groen zum Netzwerk: Die an den Widerstanden (und an der Batterie) abfallenden Spannungen bilden eine 1{
Cokette V = V + V + (V = Vbatt im Beispiel), die Potentiale an
den Knoten eine 0{Cokette = A A + B B + Die Strome bestimmen eine 1{Kette I = I + I + (I = Ibatt im
Beispiel).
Resistive Netzwerke wurden erstmals von Kirchho ( 1845) systematisch
untersucht.
i. 1.Kirchosches Gesetz: @I = 0.
Dieses Gesetz druckt die Stromerhaltung an den Knoten aus:
alles was an Strom in einen Knoten hineiniet, mu im stationaren Zustand auch wieder herausieen. (Andernfalls wurde
sich ja im Knoten Ladung ansammeln und wir hatten keinen
stationaren Zustand.) @I = 0 ist die diskrete Version der Gleichung dj = 0. (Gema den U berlegungen von Abschnitt ?? ent-
3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke
141
spricht die Stromdichte{2{Form j einer 1{Kette, I .) Im Beispiel
ist (@I )C = I I" + I' = 0 .
ii. 2.Kirchhosches Gesetz: dV = 0.
iii. Ohmsches Gesetz: V i = Ri Ii (i 6= Batterie).
Diese Gleichung gilt fur alle mit Widerstanden besetzten 1{
Zellen. Der Strom Ibatt durch die 1{Zelle mit Batterie wird durch
Vbatt und den (zu berechnenden) Gesamtwiderstand des Netzwerks bestimmt.
Basisfreie Schreibweise des Omschen Gesetzes: V = RI .
Zusammenfassung: die Gesetze eines resistiven Netzwerkes sind
@I = 0 ; V = RI ; dV = 0
Zwei Losungsmethoden bieten sich an:
1. Methode (\Knotenpotentialmethode"):
i. Lose dV = 0 durch den Ansatz: V = d.
ii. Drucke I durch aus: I = R 1d.
iii. Bestimme aus den Gleichungen @I = @R 1d = 0.
2. Methode (\Schleifenstrommethode"):
i. Lose @I = 0 durch den Ansatz: I = @Z .
(mit Z einer 2{Kette)
ii. Drucke V durch Z aus: V = R@Z .
iii. Bestimme Z aus den Gleichungen dV = dR@Z = 0.
Man kann zeigen, da beide Methoden immer funktionieren, d.h. zum Ziel
fuhren. (Beweis im Buch von Bamberg und Sternberg.) Hier begnugen wir
uns mit der Illustration beider Methoden am obigen Beispiel.
.
.
D
γ
ε
blau
A
.
φ
.
β
C
rot
α
Abbildung 3.7.
~
=
gruen
A
.
.
C
D
I batt
δ
.
B
.
B
142
3. Netzwerke
1. Knotenpotentialmethode:
O.B.d.A. setzen wir A = 0; B = Vbatt . Dann folgt
V = d = d(B Vbatt + C C + D D )
= ( )Vbatt + ( " + ' )C + ( + + " )D :
Es folgt: I = R 1d = Ibatt (R 1 + R 1 )Vbatt +(R 1 R" 1" +
R' 1 ')C + (R 1 + R 1 + R" 1")D ; und
@I = Ibatt (A B) (R 1 (D B) + R 1 (C B))Vbatt
+(R 1 (C B) R" 1 (D C) + R' 1 (C A))C
+(R 1 (D B) + R 1(D A) + R" 1(D C))D =
= A(Ibatt R' 1C R 1D )
+B( Ibatt + (R 1 + R 1 )Vbatt R 1C R 1 D )
+C( R 1Vbatt + (R 1 + R" 1 + R' 1 )C R" 1 D )
+D( R 1 Vbatt R" 1C + (R 1 + R 1 + R" 1)D
Wegen @I = 0 mussen die Koezienten von A, B, C, D im letzten Ausdruck verschwinden. Dies liefert vier Gleichungen. Davon sind nur drei linear unabhangig. (Ist namlich Stromerhaltung an (N 1) Knoten erfullt,
so ist sie am verbliebenden Knoten automatisch erfullt.) Wir haben deshalb drei Gleichungen fur drei Unbekannte (C ; D und Ibatt ).
Aufgabe 3.2.1. Lose diese Gleichungen und berechne den Gesamtwiderstand Vbatt =Ibatt.
2. Schleifenstrommethode:
Wie im Diagramm bezeichnen wir die 2{Zellen des Netzwerks mit \rot",
\grun" und \blau". Ansatz fur die 2{Kette Z :
Z = rot I rot + grun I grun + blau I blau :
Der Rand: I := @Z = ( + ')I rot +( " )I grun +(" + ')I blau .
Ohm: V = RI = R@Z = Vbatt + R I grun R I blau + R (I rot
I grun) + " R" (I blau I grun) + ' R'(I blau I rot );
Es folgt
dV = rot Vbatt + grun R I grun + blau R I blau
+(rot grun )R (I rot I grun)
+(blau grun )R" (I blau I grun )
+(blau rot )R' (I blau I rot ) :
dV = 0 ) die Koezienten von rot ; grun ; blau mussen verschwinden, und wir erhalten wieder drei Gleichungen fur drei Unbekannte
(I rot ; I grun ; I blau ):
rot : Vbatt + R (I rot I grun ) R' (I blau I rot ) = 0
grun : R I grun R (I rot I grun ) R" (I blau I grun ) = 0
blau : R I blau + R" (I blau I grun ) + R' (I blau I rot ) = 0 :
3.2 Kapazitive und resistive Netzwerke
143
In Matrixschreibweise:
0R + R
1 0 I rot 1 0 V 1
R
R'
'
@ R R + R + R"
A @ I grun A = @ batt
R"
0 A
blau
I
R'
R"
R + R" + R'
0
Aufgabe 3.2.2. Lose diese Gleichungen und uberprufe die U bereinstimmung
mit dem Ergebnis der Knotenpotentialmethode fur den Gesamtwiderstand
(I rot =Vbatt ) 1
144
3. Netzwerke
3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie
3.3.1 Homogene Maxwell{Gleichungen
Wir uberdecken den dreidimmensionalen Raum (oder, je nach Aufgabenstellung, nur einen Teil davon) mit einem 3{Komplex K .
@ C @! C @! C
0
1
2
K : C33 !
C d C2 d C1 d C0
Wie der Komplex K im Detail aussieht, ist fur das folgende ohne Bedeutung.
Zum Beispiel konnten wir den Raum mit Tetraedern ausfullen. Der Rand
eines jedem Tetraeders ist die 2{Kette, die aus den vier den Tetraeder begrenzenden Dreiecken zusammengesetzt ist. Die Orientierung der Dreiecke ist
positiv (Gegenuhrzeigersinn), wenn wir von auen auf den Tetraeder blicken.
(Genauer: wir sehen die Dreiecke mit der mathematisch positiven Orientierung, wenn wir von auen draufblicken.) Der Rand eines jeden Dreiecks ist die
1{Kette, die sich aus den das Dreieck begrenzenden Linien zusammensetzt.
Die Orientierung der Linien folgt dem Umlaufsinn des Dreiecks. Der Rand
einer jeden elementaren Linie ist die Dierenz aus Endpunkt und Anfangspunkt. Es ist nicht notwendig, da die Dreiecke eben und die Linien gerade
sind, sie durfen auch krumm sein. Die Tetraeder durfen verschieden gro
sein und verschiedene Gestalt haben, solang sie nur den Raum vollstandig
ausfullen.
Um ein zweites Beispiel (mit mehr Regelmaigkeit) zu nennen: der Komplex K konnte aus Wurfeln gleicher Form und Groe aufgebaut sein (\kubischer Komplex"). Jeder Wurfel hatte 6 quadratische Seitenachen, die seinen
Rand bilden. Der Rand jedes elementaren Quadrats bestunde aus 4 Kanten.
Jede Kante ware durch 2 Punkte berandet.
Wir nehmen die elektrische Feldstarke
R E und integrieren sie uber jede
der 1{Zellen ; ; : : : von K . Mit V := E (= elektrische Spannung langs
) entsteht die 1{Cokette V = V + V + . Ebenso nehmen wir die
sie uber jede der 2{Zellen rot, blau,
magnetische Feldstarke B und integrieren
R
grun, usw. von K . Mit blau := blau B (= magnetischer Flu durch die 2{
Zelle blau) entsteht die 2{Cokette (m) = rot rot R+blau blau + . Sei nun
c eine beliebige 3{Kette auf K . Aus dem Gesetz @c B = 0 (Quellenfreiheit
der magnetischen Fludichte) folgt dann
(m) (@c) = rot (@c)rot + blau (@c)blau + = 0 :
(Anwendung der 2{Cokette (m) auf die 2{Kette @c ergibt Null.)
Per Denition des Corandoperators d ist (m) (@c) = (d(m) )(c), und
wegen der Beliebigkeit von c folgt:
d(m) = 0 :
(Der Corand des magnetischen Flusses verschwindet.)
3.3 Diskretisierung der Maxwellschen Theorie
145
Sei c nun eine beliebige 2{KetteR auf KR. Aus dem Faradayschen Induktionsgesetz in integraler Form ( @t@ c B = @c E ) folgt:
@ (m) (c) = V (@c) = (dV )(c) ;
@t
oder: _ (m) = dV . (Der Corand der elektrischen Spannung ist gleich minus
der zeitlichen A nderung des magnetischen Flusses.)
Zusammenfassung: die homogenen Maxwell{Gleichungen in integraler
Form lauten auf einem 3{Komplex K :
d(m) = 0 ; dV = _ (m)
3.3.2 Inhomogene Maxwell{Gleichungen
Das Vorgehen ist ganz ahnlich wie fur die homogenen Gleichungen. Wir
fuhren einen zweiten 3{Komplex K~ ein. (K~ 6= K:)
1. Wir integrieren die Ladungsdichte{3{Form uber die 3{Zellen von K~
und erhalten auf diese Weise eine 3{Cokette, Q (\Ladung").
2. Wir integrieren die Stromdichte{2{Form j uber die 2{Zellen von K~ . Dies
ergibt eine 2{Cokette, I (\Strom").
3. Integration der elektrischen Erregung D uber die 2{Zellen von K~ liefert
eine 2{Cokette, (l) (\elektrischer Flu").
4. Integration der magnetischen Erregung H uber die 1{Zellen von K~ liefert
eine 1{Cokette, J (\magnetische Spannung").
R
R
R
Gesetz @c D = c und das Ampere{Maxwell{Gesetz @c H =
RDas(j Gausche
_
c + D) werden dann zu
d(l) = Q ; dJ = I + _ (l)
(Der Corand des elektrischen Flusses ist gleich der Ladung. Der Corand der
magnetischen Spannung ist gleich der Summe aus Strom und zeitlicher A nderung des elektrischen Flusses.)
Unsere Formulierung der Maxwell{Gleichungen auf zwei 3{Komplexen K
und K~ ist vollig aquivalent zu den Maxwell{Gleichungen in integraler Form.
Da die Metrik des Raumes hier nicht eingeht, kann die Topologie von K und
K~ beliebig gewahlt werden (Tetraeder oder Wurfel oder : : :), ohne da sich
die Form der Gleichungen andert.
3.3.3 Materialgleichungen
Wir wahlen jetzt K und K~ so, da jede 0{Zelle von K (bzw. K~ ) in genau
einer 3{Zelle von K~ (bzw. K ) liegt, und jede 1{Zelle von K (bzw. K~ ) genau
eine 2{Zelle von K~ (bzw. K ) durchsticht. Dann ist jede k{Zelle von K einer
146
3. Netzwerke
p
.
.
.
3-Zelle von K,
enthaelt die
~
0-Zelle p von K
.
2-Zelle von K
.
0
Abbildung 3.8.
.
.
~
1-Zelle von K
(3 k){Zelle von K~ eineindeutig zugeordnet, und K und K~ sind in diesem
Sinne zueinander dual.
Die Situation ist am ubersichtlichen fur den Fall zweier Komplexe K und
K~ , die aus identischen Wurfeln aufgebaut sind. Dann legen wir die 0{Zellen
(Knoten) von K gegen ins Zentrum der 3{Zellen (Wurfel) von K~ .
.
.
. .
. . .
. . .
. . .
Abbildung 3.9.
= Punkt von K
~
= Punkt von K
a
Wir formulieren die Netzwerk{Materialgleichungen zunachst fur diesen
kubischen Fall. Sei eine 1{Zelle auf K , S die korrespondierende 2{Zelle auf
K~ :
.
.
.
S
.
α
Abbildung 3.10.
3.4 Flulinien
147
Der elektrische Flu durch S ist S(l) , die elektrische Spannung langs =
V . Sei a die Gitterkonstante des kubischen Gitters. Dann hat die Lange a
und S die Flache a2 . Da S und aufeinander senkrecht stehen, bedeutet die
Materialgleichung D = "0 ? E die Gleichheit der Limites
(Sl) = " lim V :
lim
0 a!0 a
a!0 a2
Fur a klein gilt dann naherungsweise:
S(l) ' " V oder (l) ' " a V :
0 a
0
S
a2
Das Product "0a hat die physikalische Dimension Ladung/Spannung = Kapazitat.
Fur beliebige nichtkubische Komplexe K; K~ konnen wir analog vorgehen,
wenn wir verlangen, da die korrespondierenden 1{Zellen von K und 2{Zellen
von K~ wieder aufeinander senkrecht stehen. Dann erhalten wir
ache (S )
(Sl) ' Fl
Lange () "0 V :
In basisfreier Schreibweise: (l) = C (l) V mit C (l) : C 1 ! C~ 2 .
(1{Cokette auf K ! 2{Coketten auf K~ .) '(l) hat, wie gesagt, die physikalische Dimension von Kapazitat.
Dasselbe Vorgehen fur den magnetischen Fall liefert (m) = C (m)J mit
C (m) : C~ 1 ! C 2 . C (m) hat die physikalische Dimension magnetischer
Flu/magnetische Spannung = magnetischer Flu/Strom = Induktivitat.
(Fur kubische Komplexe K; K~ : (Sm) = 0 a J .)
3.4 Flulinien
Durch die eineindeutige Zuordnung von k{Zellen auf K und (3 k){Zellen
~ auf K~ haben wir ein inneres Produkt C k C~ 3 k ! R durch
!; = X ! :
~
2k
R
(Es entspricht der Integration E ! ^ im Kontimuum.)
Dieses innere Produkt ist linear in beiden Argumenten, so da sich ein
Element von C~ 3 k auch als Element des Dualraumes Ck von C k auassen
lat. Dadurch haben wir einen naturlichen Isomorphismus I : C~ 3 k ! Ck ,
der jeder (3 k){Cokette auf K~ eine k{Kette auf K eindeutig zuordnet.
In Formeln ist I () 2 Ck fur 2 C~ 3 k deniert durch die Forderung
!; = !(I ())
fur alle ! 2 C k .
3
148
3. Netzwerke
Vertauschen der Rollen von K und K~ deniert I : C 3 k ! RC~k . R
(Der Isomorphismus I entspricht dem durch die Gleichung c ! = E ! ^
c vermittelten Isomorphismus e $ c zwischen \verschmierter" k{Kette e
und (3 k){Form c , von dem in Abschnitt ?? die Rede war.)
Durch I wird dem elektrischen Flu (l) auf K~ (bzw. dem magnetischen
Flu (m) auf K ) eine 1{Kette '(l) := I ((l) ) auf K (bzw. '(m) := I ((m) )
auf K~ ) zugeordnet. Der Wert von '(l) auf einer 1{Zelle von K (d.h.
('(l) )) ist gleich dem elektrischen Flu durch die zu korrespondierende 2{Zelle ~ auf K~ :
Beispiel 3.4.1. (l) = : : : + x S + : : : 2 C~ 2 ; '(l) = : : : + x + : : : 2 C1
3
.
.
S
α
.
.
Abbildung 3.11.
Eine analoge Aussage gilt fur den magnetischen Flu.
Partielle Integration im Kontinuum
Z
E3
! ^ d = (
)deg(!)
Z
E3
d! ^ impliziert \partielle Integration" auf dem Netzwerk:
h!; di = ( )deg(!) hd!; i :
(Hier ! 2 C k und d 2 C~ 3 k .)
Es folgt:
f ; d(l) Q = f; Q df; (l) 0 = |{z}
| {z }
2C 0
2C~ 3
= f (I (Q)) (df )(I ((l) )) = f (|I ({zQ}) +@ I| ({z(l)}))
f (q + @'(l) ) : f beliebig
)
=:q
(
q + @' l) = 0 :
='(l)
=
Ebenso zeigt man d(m) = 0 , @'(m) = 0.
Zusammenfassung:
Die Gleichungen d(l) = Q (auf K~ ) und d(m) = 0 (auf K ) lassen sich
durch U bertragung auf den jeweils dualen Komplex auch folgendermaen
schreiben:
@'(l) = q ; @'(m) = 0 :
3.4 Flulinien
149
Hierbei ist q = I (Q) die der Ladung Q 2 C~ 3 zugeordnete Ladungs{0{Kette
q 2 C0 .
In Worten: die dem magnetischen Flu (m) zugeordnete 1{Kette '(m)
hat verschwindenden Rand. Der Rand der dem elektrischen Flu zugeordneten 1{Kette '(l) ist gleich minus der Ladungs{0{Kette q.
Interpretation:
@'(m) = 0 bedeutet (vgl. auch 1. Kirchhosches Gesetz @I = 0 fur ein
resistives Netzwerk), da in jeden Knoten von K~ ebensoviel magnetischer
Flu hinein{ wie herausiet.
.
-1
(m)
.
-1
+1
.
0
0
0
.
0
.
+1
-1
0
0
.
.
+1
.
~
K
Abbildung 3.12.
Beispiel 3.4.2. ) '(m) ist aus geschlossenen Wegen (= \1{Zyklen") aufgebaut. Diese lassen sich als magnetische Flulinien interpretieren.
(Bemerkung: wir erinnern daran, da die Gleichung dB = 0 durch B = dA
(A = Eichpotential) gelost wird. Analog lat sich @'(m) = 0 losen durch
die Einfuhrung einer 2{Kette a 2 C~2 : '(m) = @a. Wie A ist auch a nicht
eindeutig: wir konnen zu a immer den Rand @c einer beliebigen 3{Kette
@@c = '(m) ).)
c 2 C~3 hinzufugen, ohne '(m) zu andern. (@ (a + @c) = @a + |{z}
=0
Die Gleichung @'(l) = q bedeutet, da an jedem Knoten von K die
Dierenz von herausstromendem und hineinstromendem elektrischen Flu
gleich der Ladung an dem Knoten sein mu.
Beispiel 3.4.3. Auch den elektrischen Flu konnen wir uns durch Flulinien
aufgebaut denken. Wegen @'(l) = q sind elektrische Flulinien entweder
geschlossen, oder sie beginnen auf positiven und enden auf negativen Ladungen.
(Betrachte: die Zerlegung nach Flulinien ist im allgemeinen nicht eindeutig. Zum Beispiel lat sich auassen als
150
3. Netzwerke
.
.
(l)
+1
.
q
und
.
.
.
-1
.
+1
+1
.
-1
K
-1
+2
0
Abbildung 3.13.
.
-1
2/3
0
.
1/3
.
-2/3
+1
Abbildung 3.14.
.
.
-1/3
(i)
0
0
.
-2/3
+
1/3
.
0
1/3
2/3
0
.
-1
0
0
.
Abbildung 3.15.
.
2/3
0
+
+1
0
-2/3
.
.
(ii)
, oder als
0
.
+1
2/3
0
.
-2/3
-2/3
.
0
3.5 Dynamik (diskret)
151
3.5 Dynamik (diskret)
Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die Zwangsbedingungen der diskretisierten Maxwellschen Theorie mit Hilfe des Isomorphismus I umformuliert
(@'(l) = q; @'(m) = 0) und veranschaulicht. Nun wollen wir Ensprechendes
auch mit den dynamischen Gleichungen tun. Wir beginnen mit dem Faradayschen Induktionsgesetz _ (m) = dV . Anwendung von I auf beiden Seiten
ergibt '_ (m) = I (dV ).
Behauptung: I (dV ) = @ I (V ).
Beweis (graphisch; fur kubische Komplexe): Sei
dV =
= 2-Ko-Kette auf K , und
~
~| ( d V ) =
~
= 1-Kette auf K
Abbildung 3.16.
Damit ist
dV =
= 2-Ko-Kette auf K , und
~
~| ( d V ) =
~
= 1-Kette auf K
Abbildung 3.17.
Anderseits ist
Beweis (algebraisch; allgemein): Sei ! 2 C~ 1 beliebig.
152
3. Netzwerke
~
~| ( V ) =
und
= 2-Zelle auf
~
K
~
= 1-Kette auf K
~
~| ( V ) =
Abbildung 3.18.
!(I (dV )) = !; dV p=:I: + d!; V = (d!)(I (V )) Stokes
= !(@ I (V ))
Mit I (dV ) = @ I (V ) wird das Induktionsgesetz zu
'_ (m) = @ I (V ) :
In analoger Weise formen wir das Ampere{Maxwell{Gesetz dJ = I + _ (l) in:
'_ (l) = @ I (J ) I (I ) :
Vom Standpunkt der Relativitatstheorie ist es unnaturlich, Zeit und Raum
verschieden zu behandeln. Deshalb nehmen wir nach der Diskretisierung des
Raumes nun auch eine Diskretisierung der Zeit vor und schreiben:
;
1 '(m) (m) =
@
I
(
V
)
'
t
t
+
=
2
t
=
2
:
1 '(l) =
@
I
(
J
)
I
(
I
)
'
t+=2
t
+
t
ist der Zeitschritt. Elektrische Groen ('(l) ; V; q) werden fur \ganze" Zeiten
: : : t; t + ; t + 2; : : : erklart, magnetische Groen ('(m) ; J; I ) fur \halbe"
Zeiten : : : t =2; t + =2; t +3=2; : : :. (Diese relative Verschiebung entspricht
der raumlichen \Verzahnung" der Komplexe K and K~ .)
Das Faradaysche Induktionsgesetz in diskreter Form bedeutet folgendes:
Fallt zur Zeit t langs einer 1{Zelle von K die elektrische Spannung U
ab, so wird im Zeitschritt von t =2 bis t + =2 dem Komplex K~ eine im
linkshandigen Sinn (lenzsche Regel) zirkulierende magnetische Flulinie der
Starke U hinzugefugt:
= + U (Bild 3:19) + ,
V
t
'(m) t+=2 '(m) t =2 = : : : + U (Bild 3:20) + (
.
γ
Abbildung 3.19.
.
3.5 Dynamik (diskret)
153
)*
γ
Abbildung 3.20.
Fur das Ampere{Maxwell{Gesetz in diskreter Form gilt mit den offensichtlichen Ersetzungen (V $ J; K $ K~ , magnetisch $ elektrisch,
rechtshandig $ linkshandig) eine identische Aussage, wobei allerdings noch
der Beitrag des Stromes (I (I )) zu berucksichtigen ist.
Zusammenfassung.
Zur diskreten Formulierung der Maxwellschen Theorie bedienen wir uns
zweier zueinander dualer 3{Komplexe K und K~ und einer diskreten Zeit mit
Zeitschritt . Wir beschreiben
(1) den elektrischen Flu '(l) als 1{Kette auf K ,
(2) die elektrische Spannung V als 1{Cokette auf K ,
(3) die Ladung q als 0{Kette auf K ;
(alle zu ganzen Zeiten : : : t; t + ; t + 2; : : :)
(1') den magnetischen Flu '(m) als 1{Kette auf K~ ,
(2') die magnetische Spannung als 1{Cokette auf K~ ,
(3') den Strom I als 2{Cokette auf K~ .
(alle zu halben Zeiten : : : t =2; t + =2; t + 3=2; : : :)
Die diskretisierten Maxwell{Gleichungen lauten
@'(l) = q ; @'(m) = 0 ;
'(m) t+=2 '(m) t =2 = @ I (V )t ;
'(l) t+ '(l) t = @ I (J ) I (I )t+=2 :
Die diskretisierten Materialgleichungen lauten
'(l) = C V ; '(m) = LJ :
Hierbei hat C := I C (l) : C 1 ! C1 (L := I '(m) : C~ 1 ! C~1 ) die
physikalische Dimension Kapazitat (Induktivitat).
154
3. Netzwerke
Korollar: Elektrostatik ist auf einem einzigen 2{Komplex K formulierbar. Die Gleichungen der Elektrostatik @'(l) = q; '(l) = 'V; dV = 0
sind formal identisch mit den Gleichungen eines kapazitiven Netzwerks @Q =
; Q = C V; dV = 0. Magnetostatik ist auf einem 3{Komplex K~ formulierbar. Die Grundgleichungen sind in diesem Fall @'(m) = 0; '(m) = LJ und
dJ = I .
Wir wollen jetzt am einfachsten Beispiel die Propagation elektromagnetischer Wellen illustrieren. Dazu betrachten wir kubische Komplexe mit Gitterkonstante a. Sei : C 1 ! C1 (C1 ! C 1 ; C~ 1 ! C~1 ; C~1 ! C~ 1 ) der
Operator, der 1{Zellen in ihre Dualelemente umwandert und umgekehrt. Es
gilt dann
C = a"0 und L = a0 :
Wir treen folgende Wahl des Zeitschritts : := a=c = a("0 0 )1=2 , und wir
setzen der Einfachheit halber q = 0; I = 0 (materiefreier Raum). Durch Verwenden der Materialgleichungen in den dynamischen Gleichungen erhalten
wir:
1=2
(
m
)
(
m
)
@ I ('(l) )t ;
' t+=2 ' t =2 = " 0
"0 1=2
'(l) t+ '(l) t = + 0
@ I ('(m) )t+=2 :
0
Es seien nun folgende Anfangsbedingungen gegeben:
(i) Zur Zeit t = 0 ist die Ebene z = 0 homogen mit elektrischen Flulinien
(der Starke 1 Coulomb) ausgefullt, die in x{Richtung verlaufen:
y
Abbildung 3.21.
x
.
(ii) Zur Zeit t = =2 ist die Ebene z = a=2 mit megnetischen Flulinien
(der Starke (0 "0 )1=2 1Coulomb) homogen erfullt, die in y{Richtung
verlaufen:
Diese Anfangsbedingungen erfullen oensichtlich die Zwangsbedingungen
@'(l) = @'(m) = 0.
Was passiert nun mit zunehmender Zeit?
Antwort: Im Zeitintervall von 0 bis (bzw. =2 bis 3=2) bewegen sich
alle elektrischen (bzw. magnetischen) Flulinien um eine Einheit der Gitterkonstante a in z {Richtung fort.
Beweis:
3.5 Dynamik (diskret)
.
Abbildung 3.22.
~
~| ( *
)
=
+
z=a/2
~
~| ( *
Abbildung 3.23.
)
z=a
z=0
z=a
=
+
z=3a/2
z=a/2
155
156
3. Netzwerke
4. Elektromagnetische Wellen
Es wurde schon in Abschn. 1.7 angedeutet, da die Gleichungen fur das elektromagnetische Feld Losungen zulassen, die den Charakter von sich mit Lichtgeschwindigkeit fortpanzenden Wellen haben. Die Existenz elektromagnetischer Wellen ist eine der herausragenden Vorhersagen der von Maxwell formulierten Theorie. Sie bildet die Grundlage fur einen groen Teil der modernen
Technologie, vor allem der Telekommunikation. Eine ganz wesentliche Eigenschaft der Maxwellschen Theorie ist ihre Linearitat. Diese gestattet es { in
Verbindung mit speziellen Eigenschaften, die von der Dreidimensionalitat des
Raumes herruhren { fur vorgegebene Ladungen und Strome die Losung der
Gleichungen fur das elektromagnetische Feld in sehr expliziter Form anzugeben.
4.1 Wellengleichungen fur B , D, H und E
Entkoppeln der Grundgleichungen. Das in Abschn. 1.7 zusammengestellte
Gleichungssystem der Maxwellschen Theorie koppelt die Felder E , B , D
und H miteinander. Zum Zweck der systematischen Losung ist es gunstig,
die Gleichungen zu entkoppeln und je eine Gleichung fur jede kartesische
Komponente des elektromagnetischen Feldes aufzustellen. Wir exemplizieren die Entkopplungsprozedur am Beispiel der magnetischen Feldstarke B .
Ausgehend von B_ = dE erhalten wir durch Dierenzieren nach der Zeit
_ 0, D_ = dH j und
und sukzessives Verwenden der Gleichungen E_ = ?D="
H = ?B=0 das Zwischenergebnis
B = ("0 0 ) 1 d ? d ? B + "0 1 d ? j:
Jetzt multiplizieren wir beide Seiten dieser Gleichung mit dem inversen Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c 2 = "0 0 . Mit dem in Abschn. 0.20 eingefuhrten Dierentialoperator gilt ? d ? B = B , und wir erhalten somit
1 @ 2 B = dB + d ? j :
0
c2 @t2
Wegen der Quellenfreiheit von B durfen wir auf der rechten Seite dB hinzufugen, ohne die Gleichung zu andern. Da d + d der Laplace-Operator 4
ist, folgt
158
4. Elektromagnetische Wellen
2
B = 0 d ? j mit := c12 @t@ 2 4 :
(4.1)
Der Dierentialoperator wird Wellenoperator oder d'Alembert-Operator
genannt. In Kap. 5 werden wir lernen, da er (das Vorzeichen ausgenommen) mit dem Laplace-Operator auf dem vierdimensionalen MinkowskiRaum identisch ist. Die Gleichung B = 0 d ? j heit die inhomogene Wellengleichung fur B . Sie enthalt neben raumlichen Ableitungen der elektrischen Stromdichte j die magnetische Feldstarke B als einzige Feldgroe. In
Abschn. 4.3.3 werden wir zeigen, da sie B { bei Kenntnis der Anfangsbedingungen { vollstandig bestimmt. Die rechte Seite der inhomogenen Wellengleichung nennen wir den Quellterm, und B = 0 heit die zugeordnete
homogene Wellengleichung.
Aufgabe 4.1.1. Zeige, da die Felder H , D und E den inhomogenen Wellengleichungen
H = j ;
D = c 2 @j=@t ;
E = "0 1 d ? 0 ? @j=@t
genugen. (Tip: Gehe fur D analog zu B vor, und verwende fur H und E die
Relation ? = ?.)
Gleichungen fur die Komponenten. In Koordinatendarstellung durch eine
kartesische Basis konnen wir nach Abschn. 0.20 das Resultat der Operation
von 4 auf eine Dierentialform beliebigen Grades dadurch berechnen, da
wir 4 auf jede kartesische Komponente der Dierentialform anwenden. Diese Eigenschaft ubertragt sich trivial auf den Wellenoperator . Zum Beispiel
gilt:
1
0
X
X
@ Bij dxi ^ dxj A = (Bij ) dxi ^ dxj :
i<j
i<j
In Koordinatendarstellung ?j =: jx dx + jy dy + jz dz folgen daher aus B =
0 d ? j die Gleichung
@jy @j Bxy = 0 @x @yx
und zwei weitere Gleichungen, die durch zyklisches Vertauschen der Indexmenge fx; y; z g entstehen.
Aufgabe 4.1.2. Wie lauten die inhomogenen Wellengleichungen fur H , D und
E in Koordinatendarstellung durch die kartesische Basis dx; dy; dz ?
4.2 Ebene Wellen
159
4.2 Ebene Wellen
Wir haben gesehen, da jede Komponente f des elektromagnetischen Feldes
einer inhomogenen Wellengleichung f = g (mit g einer Funktion : Raum Zeit ! R) genugt. Fur das magnetische Feld besteht der Quellterm g aus
raumlichen Ableitungen der Stromdichte, fur das elektrische Feld setzt er
sich aus raumlichen Ableitungen der Ladungsdichte und Zeitableitungen der
Stromdichte zusammen. Bevor wir in Abschn. 4.3.3 die allgemeine Losung der
inhomogenen Wellengleichung konstruieren, wollen wir hier unser Verstandnis
praparieren, indem wir die Losung fur den Fall berechnen, da Invarianz unter
Translationen in y- und z -Richtung vorliegt. Das Problem vereinfacht sich in
diesem Fall zur Losung der inhomogenen Wellengleichung in einer Dimension
(x 2 R):
1 @2 @2 c2 @t2 @x2 f (x; t) = g(x; t) :
Die ihr zugeordnete homogene Gleichung wird { wie man sofort sieht {
durch f (x; t) = F (x ct) mit F : R ! R einer beliebigen zweimal stetig dierenzierbaren Funktion gelost. Es folgen einige Anwendungen der
eindimensionalen Wellengleichung...
4.2.1 Ein Beispiel fur Pulserzeugung
Wir betrachten zwei ebene, unendlich ausgedehnte Platten, auf denen in
gleichmaiger Verteilung Ladungen befestigt sind (Abb. 4.1). Die Platten sollen parallel zueinander angeordnet sein und eine dem Betrag nach gleiche und
im Vorzeichen verschiedene Flachenladungsdichte tragen, so da das System
insgesamt elektrisch neutral ist. Um den Zeitpunkt Null herum versetzen wir
die beiden Platten in den gleichen Bewegungszustand. Fur Zeiten lange nach
Null iet dann in Bewegungsrichtung der Platten ein stationarer elektrischer
Strom. Nun erzeugt das Hochfahren des Stroms einen elektromagnetischen
Puls, der senkrecht zu den Platten abgestrahlt wird. Diesen Puls wollen wir
im folgenden quantitativ beschreiben, was wegen der Invarianz des Problems
unter Translationen in der Plattenebene leicht fallt.
Die Anordnung sei so gewahlt, da die positiv geladene Platte in der zur
yz -Ebene parallelen Ebene x = d (d > 0) liegt, die negativ geladene in
der Ebene x = +d. Der Geschwindigkeitsvektor zeige in y-Richtung. Unter Vernachlassigung der Plattendicke beschreiben wir dann den Stromu
in den Plattenebenen durch eine homogene Linienstromdichte k = 2F dz ,
wobei die Form der Funktion F : R ! R durch den zeitlichen Verlauf des
Anschaltvorgangs gegeben ist, dessen Zeitskala T sei (Abb. 4.2).
Die singulare Stromdichte resultiert in Anschlubedingungen fur die magnetische Erregung an den Plattenebenen x = d. Die x- und y-Komponenten von
H verhalten sich stetig, wahrend Hz springt, sobald der Stromu einsetzt.
160
4. Elektromagnetische Wellen
ex
Abbildung 4.1. Zwei Platten mit entgegen-
v = v(t) ey
gesetzter Flachenladungsdichte werden in Bewegung versetzt.
+ F(t)
Abbildung
t=0
T
Zeit t
4.2.
Graph der Anschaltfunktion F
Wenn wir den Grenzwert von Hz bei Annaherung vom Halbraum x > d
(bzw. x < d) an eine Platte mit Hz+ (bzw. Hz ) bezeichnen, dann gilt
Hz+ x=d Hz x=d = 2F :
Die Zeitentwicklung von Hz konnen wir wegen der Eindimensionalitat des
Problems ohne Muhe erraten. Sie lautet:
8 x(a)+d x(a) d >
>
< +F t + x(ac)+d F t + x(ac) d x(a) < d ;
d < x(a) < +d ;
Hz (a; t) = > F t
c F t + c >
x
(
a
)
d
x
(
a
)+
d
: F t c +F t c
+d < x(a) :
Dieser Ausdruck erfullt die homogene Wellengleichung Hz = 0 fur x 6= d,
und er genugt den angegebenen Anschlubedingungen. Die Skizze der Losung
in Abb. 4.3 zeigt zwei Pulse oder Wellenberge, die nach x = 1 weglaufen.
Fur d cT wird das Prol der Wellenberge durch die erste Ableitung der
Funktion F bestimmt. Zwischen den Platten bildet sich ein konstantes Magnetfeld aus, so wie wir es aufgrund des (fur t 0) stationaren Stromes in
z -Richtung erwarten. Die Komponenten Hx und Hy verschwinden fur alle
Zeiten.
Aufgabe 4.2.1. Wie sieht fur dieses Beispiel der zeitliche Verlauf der elektrischen Feldstarke aus?
4.2 Ebene Wellen
161
t > 0 fest
Hz
Hz
x
x=-d
x=+d
Abbildung 4.3. Graph von Hz fur Bsp. 4.2.1
4.2.2 Skin-Eekt
In Metallen (z.B. Cu, Ag, Pb) gilt fur Zeitskalen langer als 10 14 Sekunden
naherungsweise das Ohmsche Gesetz j = ? E . (Dies ist die lokale Version
der Beziehung I = U=R.) Die elektrische Leitfahigkeit genannte Materialkonstante hat die physikalische Dimension
2
[] = Lange[j ] [E ] = EnergieLadung
Zeit Lange :
Wir betrachten im folgenden eine ebene monochromatische
elektromagnetische Welle mit elektrischer Feldstarke E = Re eikx i!t E0 dy, die auf eine
metallische Oberache trit:
z
Ey dy
y
x
x < 0 : Vakuum
x > 0 : Metall
Abbildung 4.4. Eine elektromagnetische Welle trit auf eine Metalloberache
Die Welle dringt bis zu einer endlichen Tiefe (= Skin-Tiefe) in das Metall
ein. Diese Eindringtiefe wird folgendermaen berechnet.
Im Fall = 0 lautet die Wellengleichung fur E wie folgt:
162
4. Elektromagnetische Wellen
(Ohm)
_
E = 0 ? @j
@t = 0 E :
Sie wird fur x < 0 (im Vakuum ist = 0) durch die einfallende ebene
i!t E0 dy gelost. Im Metall (x > 0) fuhrt der Ansatz
Welle E = Re ei!x=c
i
k
(
!
)
x
i
!t
E = Re e
E0 dy auf die algebraische Gleichung
!2 + k2 (!) = i ! :
0
c2
Der Term !2 =c2 auf der linken Seite ist im gesamten Frequenzbereich, in
dem das Ohmsche Gesetz Gultigkeit hat, vernachlassigbar. (Zum Beispiel ist
o c2 1019Hz fur Cu bei Zimmertemperatur.)
p
Es folgt: k = Rek + i Imk; Rek = Imk = 0 !=2. Aus physikalischen
Grunden (exponentiell abklingende anstatt exponentiell anwachsende Welle!)
haben wir die Wurzel mit dem positiven Vorzeichen gewahlt. Somit haben
wir im metallischen Raumbereich
E = Re be Imkx eiRekx i!t E0 dy
mit
2 C einer
Konstanten. Die Eindringtiefe ist oenbar = (Imk) 1 =
p b!=
1
2 . Fur Cu bei Zimmertemperatur ( = 5:7 107(Ohm Meter) 1)
0
ndet man fur ! = 1010Hz (Mikrowellenfrequenz) = 1:5 10 6Meter.
Wodurch wird die Konstante b festgelegt? Wir mussen berucksichtigen,
da fur x < 0 (Vakuum) neben der einlaufenden ebenen Welle auch eine
auslaufende (oder reektierte) ebene Welle
E = Re ae i!x=c i!t E0 dy
anzusetzen ist. Aus der Stetigkeit von E und seiner Ortsableitung fur x = 0
lassen sich dann a und b berechnen.
Aufgabe 4.2.2. Fuhre diese Rechnung durch! Wie gro ist die im Metall dissipierte Leistung?
4.2.3 Brechung an ebenen Grenzachen
Hier sollte man noch etwas zur Propagation ebener Wellen in Materie
sagen und insbesondere den Brechungswinkel und die Reflexionsamplitude
an einer Grenzfl
ache berechnen.
4.2.4 Losung der inhomogenen Wellengleichung
Aufgabe 4.2.3. Zu betrachten sei die homogene Wellengleichung
1 @2 @2 2 2
2 f (x; t) = 0
c @t
@x
4.2 Ebene Wellen
163
mit den Anfangsdaten f (x; 0) = u(x) und f_(x; 0) = v(x). Verizieren Sie,
da sie fur t > 0 folgende Losung hat:
Z x+ct
1
1
0
0
f (x; t) = 2 u(x + ct) + u(x ct) + c
v(x )dx :
x ct
Fur vorgegebene Anfangsbedingungen zur Zeit t = 0 stellt Aufg. 4.2.3 die
allgemeine Losung der homogenen Wellengleichung in 1 Dimension bereit.
Wir wenden uns jetzt dem komplementaren Problem zu, das in der Losung
der entsprechenden inhomogenen Anfangswertaufgabe besteht, namlich
1 @2 @2 c2 @t2 @x2 f (x; t) = g(x; t)
fur t > 0, mit den Anfangsdaten f (x; 0) = f_(x; 0) = 0. Diese Aufgabe wird
folgendermaen gelost. Es sei hs (x; t) fur s 2 R und t s die Losung der homogenen Wellengleichung
zu den Anfangsbedingungen hs (x; t)t=s = 0 und
1
c h_ s (x; t)t=s = g(x; s). Dann behaupten wir, da die Losung der Anfangswertaufgabe durch
f (x; t) = c
Zt
0
hs (x; t)ds
gegeben ist. Zum Beweis dieser Behauptung weisen wir zunachst nach, da
der angegebene Ausdruck fur f den geforderten Anfangsbedingungen genugt.
f (x; 0) = 0 ist klar, und f_(x; 0) = 0 folgt aus
f_(x; t) = c
Zt
0
h_ s (x; t)ds ;
wobei die Anfangsbedingung ht (x; t) = 0 benutzt wurde. Nochmaliges Dierenzieren nach der Zeit ergibt
Zt
c 2 f(x; t) = c 1 h_ s (x; t)s=t + c 1 h s (x; t)ds :
0
Der erste Term auf der rechten Seite ist nach Vorgabe gleich g(x; t). Auerdem
ist hs (x; t) Losung der homogenen Wellengleichung, d.h. es gilt c 1 h s (x; t) =
c @ 2 hs (x; t)=@x2 , worauf die zu beweisende Behauptung sofort folgt.
Aufgabe 4.2.4. Die Werte der Funktion f und ihrer Zeitableitung f_ zur Zeit
t = 0 seien vorgegeben. Es soll dann mit Hilfe des Resultats von Aufg. 4.2.3
und der Losung der inhomogenen Anfangswertaufgabe gezeigt werden, da
die inhomogene Wellengleichung f = g in 1 Dimension fur t 0 durch
folgende Formel gelost wird:
!
Z t Z x+c(t s)
c
0
0
g(x ; s)dx ds
f (x; t) = 2
0
x c(t s)
Z x+ct
1
1
0
0
_
+ 2 f (x + ct; 0) + f (x ct; 0) + c
f (x ; 0)dx :
x ct
164
4. Elektromagnetische Wellen
Bislang war die Aufgabenstellung so, da wir fur vorgebene Anfangsbedingungen zur Zeit t0 = 0 die Wellengleichung f = g fur Zeiten t t0 zu losen
hatten. Wir lassen jetzt t0 gegen minus Unendlich streben und nehmen an,
da die Werte von f und f_ in der fernen Vergangenheit verschwinden. Aus
dem Resultat von Aufg. 4.2.4 folgt dann nach einer einfachen Substitution
Z 1 Z x+cs
c
0
0
g(x ; t s)dx ds :
f (x; t) = 2
x cs
0
Hieran erkennen wir deutlich, da f (x; t) nur von Quellen im Raumzeitgebiet Cx;t := f(x0 ; t0 )jx x0 j c(t t0 )g beeinut wird (Abb. 4.5). Dieser
Sachverhalt ist unter dem Namen Kausalitatsprinzip bekannt. Das Raumzeitgebiet Cx;t heit der ruckwarts gerichtete Lichtkegel .
Aufgabe 4.2.5. Konstruiere mit Hilfe dieses Resultats die Losung von Bsp. 4.2.1.
Zeit ct
(x,t )
Cx,t
( xo ,to)
Raum x
Abbildung 4.5. Ruckwarts gerichteter Lichtkegel
4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen
4.3.1 Losung der homogenen Gleichung
In diesem Abschnitt bearbeiten wir die folgende Aufgabe:
Lose f = 0 zu den Anfangswerten
f (p; 0) = u(p) und f_(p; 0) = v(p) :
Beachte, da die homogene Wellengleichung f = 0 eine Dierentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit ist, weshalb zur Anfangszeit sowohl f wie
auch f_ vorzugeben ist. Zur Losung der Aufgabe benotigen wir zwei Hilfsatze
und eine Denition.
Hilfsatz 4.1. Sei BR die Kugel mit Radius R und Mittelpunkt im Koordinatenursprung o. Auerdem sei SR = @BR die BR berandende Sphare und die Raumwinkel-2-Form bzgl. o. Dann gilt
4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen
165
d Z f = 1 Z ?4f
dR SR
R2 BR
fur jede (zweimal stetig dierenzierbare) Funktion f .
Beweis. Die Greensche Funktion G(; p) des Gebietes U = BR fur p = o ist
bekanntlich G(; o) = (r 1 R 1)=4. Jetzt kommt ein Trick: wir betrachten
f als Losung einer elektrostatischen Randwertaufgabe auf U = BR ! Mit den
Vorgaben ? 4f jU (\innere Ladungsdichte" fur das Poisson-Problem auf U )
und f j@U (\Randpotential" fur das Dirichlet-Problem auf U ), gilt dann die
Formel
Z
Z
f ? dG(; o) :
G(; o) ? 4f
f (o) =
SR
BR
Da der Poisson-Kern d ? G(; o) gleich =4 ist, vereinfacht sich die Formel
zu
Z 1 1 Z
? 4f :
f = 4f (o) +
BR r R
SR
Durch Dierenzieren nach R folgt dann die Behauptung des Hilfsatzes.
Korollar (Mittelwertsatz fur harmonische Funktionen). Eine Funktion f heit
harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung 4f = 0 erfullt. Aus der letzten
Gleichung resultiert dann die Aussage, da der Funktionswert einer harmonischen Funktion f im Punkt o gleich ihrem Mittelwert uber irgendeine um
o zentrierte Sphare SR (o) ist:
Z
f :
f (o) = 41
SR (o)
Denition 4.1. Es sei p die Raumwinkel-Form bezuglich des Punktes p und
SR (p) die Sphare mit Mittelpunkt p und Radius R. Fur eine Zeit t und
irgendeine Funktion w : Raum ! R denieren wir die reelle Zahl M(p; t)w
durch
Z
M(p; t)w := 4t
wp :
Sct (p)
Andere Darstellung von M. Der Operator M(p; t) mittelt w uber die Sphare
mit Mittelpunkt p und Radius ct und multipliziert anschlieend mit t. Fur
manche Zwecke (siehe unten) ist folgende Alternativdarstellung nutzlich. Wie
in Abb. 4.6 illustriert, bilden wir die Einheitssphare S um o auf die Sphare
Sct (p) ab durch
p;ct (a) = p + ct(a o) :
Hiermit konnen wir den Integranden wp nach S zuruckholen:
p;ct wp = w p;ct p;ct p :
166
4. Elektromagnetische Wellen
p = folgt dann
Mit p;ct
Z
Z
wp = 4t w p;ct :
M(p; t)w = 4t
S
p;ct (S )
:
ψp,ct (a)
Einheitssphare S
a
ψp,ct
p
ct
o
B ct (p)
S ct (p)
Abbildung 4.6. Die Abbildung
p;ct schiebt den Koordinatenursprung o an den
Punkt p und streckt dann um den Faktor ct.
Hilfsatz 4.2. Jede durch f (p; t) = M(p; t)w erklarte Funktion f ist eine
Losung von f = 0.
Beweis. Unter Zuhilfenahme von Hilfsatz 4.1 dierenzieren wir f einmal nach
der Zeit:
@f (p; t) = 1 Z w + 1 Z ?4w :
p 4ct
@t
4
Sct (p)
Bct (p)
Fur die Wellengleichung benotigen wir die zweite Zeitableitung von f , weshalb wir nochmal dierenzieren mussen. Dabei entstehen auf der rechten Seite
drei Terme, die von der Zeitabhangigkeit von Sct (p) bzw. (ct) 1 bzw. Bct (p)
herruhren. Die ersten beiden heben sich als Konsequenz von Hilfsatz 4.1 gegenseitig auf, und es verbleibt
1 @ 2 f (p; t) = 1 @ Z
c2 @t2
4c3 t @t Bct (p) ?4w
Z
4w rp2 drp ^ p
= 4c1 2 t @ (@ct)
Bct (p)
Z
= 4t
(4w)p :
Sct (p)
Hier wurden im zweiten Schritt Kugelkoordinaten bzgl. des Punktes p eingefuhrt, und das letzte Gleichheitszeichen berechnet die Ableitung nach R =
ct. [Der letzte Schritt sollte intuitiv klar sein. Wer aber partout auf einer formalen Begrundung besteht, der konnte z.B. wie folgt vorgehen. Sei X = rp @rp
4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen
167
das von p radial nach auen zeigende Vektorfeld mit Flu s (a) = p + es(a p)
und Lie-Ableitung LX . Dann gilt Bexp(s)R (p) = s BR (p) und
Z
d Z f dr ^ = R 1 d f drp ^ p =
p p
dR
ds s=0
BR (p)
= R1
Z
BR (p)
LX (f drp ^ p ) = R1
(4w)r2 =4c2 t
ZB
s R (p)
exp( )
BR (p)
d (rp f ^ p ) =
Z
SR(p)
fp :
Mit f =
und R = ct folgt dann das behauptete Gleichheitsp
zeichen.] Insgesamt haben wir also
1 @ 2 f (p; t) = M(p; t) 4w :
c2 @t2
Nun sieht man aus der obigen alternativen Darstellung von M und (4w) p;ct (a) = (4w)(p + ct(a o)) ohne Muhe, da M mit 4 vertauscht. Damit
erfullt f (p; t) = M(p; t)w die homogene Wellengleichung, und der Hilfsatz ist
bewiesen.
Satz 4.1. Die Losung der homogenen Wellengleichung f = 0 zu den Anfangsdaten f (p; 0) = u(p) und f_(p; 0) = v(p) ist
@ M(p; t)u :
f (p; t) = M(p; t)v + @t
Beweis. Oben haben wir gezeigt, da M(p; t)w die homogene Wellengleichung f = 0 lost. Da und @=@t vertauschen, ist mit M(p; t)w auch
@
@t M(p; t)w eine Losung von f = 0. Es bleibt daher lediglich nachzuweisen,
da die Anfangsbedingungen erfullt sind. Zu f (p; 0) tragt wegen des Faktors
t vor dem Integral in der Denition von M nur @t@ M(p; t)u bei:
1 @ t Z u = u(p) :
f (p; 0) = tlim
p
!0 4 @t
Sct (p)
Fur die Ableitung f_(p; 0) nden wir analog
@ Z u :
f_(p; 0) = v(p) + 21 tlim
p
!0 @t
Sct (p)
Der Satz ist bewiesen, sobald wir das Verschwinden des zweiten Terms auf
der rechten Seite gezeigt haben. Da dieser verschwindet, sieht man folgendermaen. Fur kurze Zeiten t haben wir die Taylor-Entwicklung
u p;ct (a) = u p + ct(a o)
= u(p) + ct(du)p (a o) + O(t2 )
3
X
@u (p)xi (a) + O(t2 ) :
= u(p) + ct @x
i
i=1
168
4. Elektromagnetische Wellen
Damit folgt
3
= c X
@u (p) Z xi = 0 ;
@ Z u
@Z
u
=
lim
lim
p;ct
i
t!0 @t Sct (p) p t!0 @t S
S
i=1 @x
wobei
R xi =der0. letzte Ausdruck verschwindet, weil aus Symmetriegrunden gilt
S
Huygens'sches Prinzip. Huygens...
4.3.2 Abruptes Abschalten eines Kreisstroms
Der stationare Strom I einer Leiterschleife werde zur Zeit t = 0 abrupt abgeschaltet. Es kommt dann aufgrund der zeitlichen A nderung des Stromes
zur Abstrahlung eines elektromagnetischen Signals, dessen elektrischen Anteil wir hier berechnen wollen.
Wegen der Abruptheit des Ausschaltvorganges konnen wir das Problem
als Anfangswertaufgabe formulieren. Das geht folgendermaen. Die elektrische Feldstarke genugt der inhomogenen Wellengleichung E = 0 ? @j=@t
(die Ladungsdichte soll hier verschwinden). Diese Gleichung integrieren wir
uber ein innitesimales Zeitintervall:
1 E_ + O() = Z +(E )dt = ? Z + @j dt = ? j 0
0 t= :
c2 t=
@t
Dabei wurde verwendet, da E_ vor dem Abschalten (t < 0) und j nach dem
Abschalten (t > 0) verschwindet. Es gelten also die Anfangsbedingungen
E t=0 = 0 und E_ t=0+ = "0 1 ? j t=0 :
P
In der ublichen kartesischen Basis setzen wir jetzt ?j jt=0 =: 3k=1 jk dxk .
Nach Satz 4.1 haben wir dann fur die elektrische Feldstarke den Ausdruck
Ek (p; t) = M(p; t)jk ="0 .
Nun liege die Leiterschleife speziell in der xy-Ebene und sei kreisformig
mit Mittelpunkt o und Radius R. Um Ek (p; t) = M(p; t)jk ="0 zu berechnen,
legt man eine Sphare Sct (p) um den Punkt
R p mit Radius ct (Abb. 4.7) und
wertet das Integral Ek (p; t) = (t=4"0) Sct (p) jk p aus.
Aufgabe 4.3.1. Zeige das folgende:
1. E verschwindet auf der z -Achse fur alle Zeiten.
2. In der Zylinderbasis @r , @' und @z verschwinden die Komponenten Er
und Ez uberall zu allen Zeiten.
3. In der xy-Ebene gilt
2 + r2 c2 t2 d'
R
I
p
E = 2" c p 2
0
R (ct r)2 (ct + r)2 R2
fur jct rj < R, und Null sonst. (Skizze des Ergebnisses als Funktion
von t)
4.3 Wellengleichung in drei Raumdimensionen
y
169
p
ct
R
o
x
I
Abbildung 4.7.
4.3.3 Losung der inhomogenen Gleichung
Mit all den getroenen Vorbereitungen ist es jetzt leicht, die allgemeine
Losung der inhomogenen Wellengleichung zu konstruieren. Dazu betrachten
wir zunachst die Anfangswertaufgabe f = g (fur t > 0) mit f (p; 0) = 0
und f_(p; 0) = 0. In volliger Analogie zu dem in Abschn. 4.2 behandelten
eindimensionalen Fall zeigt man
f (p; t) = c
Zt
0
hs (p; t)ds ;
wobei hs fur t > s durch die homogene Wellengleichung hs = 0 bestimmt
wird und den Anfangsbedingungen hs (p; t)jt=s = 0 und 1c h_ s (p; t)jt=s = g(p; s)
genugt. Mit Satz 4.1 konnen wir hs sofort angeben:
hs (p; t) = c M(p; t s) g(; s) :
Einsetzen in den Ausdruck fur f ergibt:
f (p; t) = c2
= c2
Zt
Zt
0
0
M(p; t s) g(; s)ds
2
M(p; s) g(; t s)ds = 4c
Nun benutzen wir cs = rp Scs (p) und
Z t Z
0
Scs (p)
g(; t s)p s ds :
rp drp ^ p = rp 1 dx ^ dy ^ dz =: rp 1 dV :
Es folgt dann die Formel
Z g ; t rp ()=c
1
dV :
f (p; t) = 4
rp ()
Bct (p)
Durch Hinzufugen der Losung der homogenen Gleichung bekommen wir fur
die Losung der Gleichung f = g zu den allgemeinen Anfangsbedinungen
f (p; 0) = u(p), f_(p; 0) = v(p) das Ergebnis
170
4. Elektromagnetische Wellen
@ M(p; t)u + 1
f (p; t) = M(p; t)v + @t
4
Z g ; t rp ()=c
dV :
Bct (p)
rp ()
Wahlen wir die Anfangsbedingungen f (p; t0 ) = 0 = f_(p; t0 ) zur Zeit t0 !
1, so resultiert
Z
f (p; t) = 41 g(; t r rp =c) dV :
p
E
Interpretation. Diese Formel merken wir uns wie folgt. Wir haben uns vorzustellen, da zur Zeit t0 am Ort p0 ein spharischer Puls (\Seifenblase") mit
Amplitude g(p0 ; t0 ) erzeugt wird. (Ist g(p0 ; t0 ) = 0, so wird nichts erzeugt.)
Dieser Puls breitet sich (ohne seine Form zu verandern) mit Lichtgeschwindigkeit isotrop aus, wobei seine Amplitude wie der inverse Abstand abnimmt.
Er trit zur Zeit t = t0 + jp p0j=c am Ort p ein und tragt zum Funktionswert
f (p; t) bei. Zur Berechnung von f (p; t) ist uber alle \Quellereignisse" (p0 ; t0 )
zu summieren [gewichtet mit g(p0 ; t0 )], die auf dem Mantel (oder Rand)
n
o
@Cp;t := (p0 ; t0 ) jp p0 j = c(t t0 )
3
des ruckwarts gerichteten Lichtkegels Cp;t liegen,
n
o
Cp;t := (p0 ; t0 ) jp p0 j c(t t0 ) :
Zeit
(p,t)
Cp,t
Cp,t
Raum
Abbildung 4.8. Mantel des ruckwarts gerichteten Lichtkegels
4.4 Elektrische Dipolstrahlung
Als konkrete Anwendung der Ergebnisse von Abschn. 4.3.3 berechnen wir
das Strahlungsfeld einer raumlich lokalisierten und harmonisch oszillierenden
Quelle in elektrischer Dipolnaherung. Die Strahlungsquelle bende sich innerhalb einer um den Koordinatenursprung zentrierten Kugel BR mit Radius R.
Sie sei elektrisch neutral, habe aber ein endliches elektrisches Dipolmoment.
4.4 Elektrische Dipolstrahlung
171
Unser erstes Ziel wird es sein, die magnetische Erregung H zu berechnen.
Sie genugt der inhomogenen Wellengleichung H = j = ? d ? j , deren
Losung durch
Z
Hk (p; t) = 41 (? d ? j )k (; t rp =c) rp 1 dV
BR
ausgedruckt wird. Wir beginnen mit der folgenden Nebenrechnung:
(? d ? j )k dV = @k (? d ? j ) dV = (@k dV ) ^ ? d ? j
= (d ? j ) ^ ?(@k dV ) = d ? j ^ dxk = d (?j ^ dxk ) :
Die Zeitabhangigkeit von Strom- und Ladungsverteilung sei jetzt harmonisch:
j = ~j sin !t und = ~ cos !t, mit zeitunabhangigem ~j , ~. Hiermit wird die
Gleichung fur Hi zu
Z sin(!t krp)
d(?~j ^ dxi ) ;
Hi (p; t) = 41
rp
BR
wobei k = !=c gesetzt wurde. Wir werden sehen, da = k 1 die Wellenlange
der emittierten Strahlung ist.
Die weitere Rechnung fuhren wir unter den Bedingungen R r(p)
durch. Die Ungleichung R bedeutet den Grenzfall groer Wellenlangen,
und r(p) deniert den Bereich der Fernzone. Fur einen Punkt a 2 BR
durfen wir wegen R r(p) die Taylor-Entwicklung des Abstandes rp (a) =
jp aj nach der ersten Ordnung abbrechen:
j
rp (a) = r(p) xr((pp)) xj (a) + O R2 =r(p) :
[Ab hier bedienen wir uns wieder der Einsteinschen Summenkonvention.] Damit gehen wir nun in den Ausdruck sin(!t krp )=rp :
sin(!t krp ) = sin(!t kr(p)) + cos(!t kr(p)) xj (p) kx + : : : :
rp
r(p)
r(p)
r(p) j
Die Entwicklung der Sinusfunktion im Zahler wurde nach dem ersten Korrekturglied abgebrochen. Diese Naherung eliminiert Beitrage zum Strahlungsfeld, die von hoherer Ordnung in der kleinen Groe kR 1 sind (Langwellenlimes). Die Ersetzung von rp durch den konstanten Wert r(p) im Nenner
ist zulassig in der Fernzone. Mit einer partiellen Integration folgt jetzt
j Z
Hi (p; t) = cos(krr((pp)) !t) 4kxr((pp))
dxi ^ dxj ^ ?~j :
BR
Nach einer weiteren Nebenrechnung,
dxi ^ dxj ^ ?~j = ~j ^ ?(dxi ^ dxj ) = ijk ~j ^ dxk
[ijk = jik usw. ist der total antisymmetrische Tensor in drei Dimensionen
], lat sich das verbleibende Integral durch das elektrische Dipolmoment der Quelle ausdrucken:
172
Z
4. Elektromagnetische Wellen
BR
dxk ^ ~j =
Z
BR
xk d~j =
!
Z
BR
xk ~ = ! k :
Hier wurde fur das zweite Gleichheitszeichen benutzt, da nach der Kontinuitatsgleichung (_ + dj = 0) gilt d~j = !~. Es folgt
!t) dxi xj k :
H (; t) = k! cos(kr
ijk
4r
r
i
j
k
3
Der Ausdruck ijk x dx ^ dx =2r ist die kartesische Koordinatendarstellung
der Raumwinkel-2-Form , so da gilt
xj dxi ^ dxk j
x
k
i
= i r 2 :
ijk dx r = i ijk
2r
Wir fuhren die Kugelachen-2-Form dS := r2 ein und haben damit das
Resultat
!t) i dS :
H = k! cos(kr
4r
Hier steckt noch irgendwo ein Vorzeichenfehler.
Ausgehend von der inhomogenen Wellengleichung fur die elektrische
Feldstarke,
E = "1 d ? 0 ? @j
@t ;
0
zeigt man mit dem Zwischenergebnis
Z cos(!t krp )
1 d ? ~ ? ~j dV
"
Ei (p; t) = 41
0
0
i
rp
BR
durch eine ahnliche Rechnung wie fur H das Resultat
!t) (h; @ idr h; i) :
E = 0 !2 cos(kr
r
4r
Der Term h; @r i dr kommt vom Ladungsanteil der Quelle, der Term h; i
vom Stromanteil. (Achtung! Fur den Ladungsanteil ist der Kosinus bis zur
zweiten Ordnung in k2 zu entwickeln!)
Wir legen jetzt das Dipolmoment speziell in z -Richtung ( = j jez )
und fuhren Kugelkoordinaten r; ; ' ein. Aus @z = cos @r r 1 sin @ folgt
i dS = j jr sin2 d' und
h; i h; @r idr = j j dz j j cos dr
= j j d(r cos ) (dr) cos = j jr sin d :
Fur diese Wahl der Richtung des Dipolmoments haben wir also
2
E = 40! j j sinr cos(kr !t) r d ;
sin H = k!
4 j j r cos(kr !t) r sin d' :
4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung
173
Diskussion.
1. Wir ordnen der 1-Form E durch den kanonischen Isomorphismus I das
Vektorfeld I (E ) = (E; ) zu. Fur H verfahren wir genauso. Die nach auen gerichtete Kugelnormale @r , die die Ausbreitungsrichtung der Strahlung beschreibt, und die Vektorfelder I (E ) @ und I (H ) @' bilden
dann ein rechtshandiges Orthonormalsystem.
ez
er
p
o
I (H) ~ eφ
I (E) ~ eθ
Abbildung 4.9. Zur Ausbreitung der abge-
strahlten Welle
2. E und H verschwinden auf der Polarachse des Dipols (Faktor sin !) und
sind in der A quatorialebene maximal. Diese Variation mit dem Sinus des
Polarwinkels ist charakteristisch fur das Strahlungsfeld eines elektrischen
Dipols. (Hohere Multipolmomente wurden durch die Langwellennaherung eliminiert. Sie haben ubrigens eine andere Winkelverteilung.)
3. Die zeitgemittelte Poynting-2-Form ist mit hcos2 (: : :)i = 1=2 gleich
3
2 2
hE ^ H i = 32k !
2 "0 j j sin :
Integration liefert die gesamte abgestrahlte Leistung 0 j j2 !4 =12c. Beachten Sie die starke Frequenzabhangigkeit!
Aufgabe 4.4.1. Magnetische Dipol- und elektrische Quadrupolstrahlung
4.5 Strahlung einer beschleunigten Punktladung
Hier k
onnte man zun
achst mit Hilfe des Flulinienbildes die Bremsstrahlung
einer Punktladung diskutieren (siehe Thirring). Anschlieen w
urde
sich dann die exakte analytische Theorie. Denkbar w
are auch, diesen
Abschnitt vor dem 
uber die elektrische Dipolstrahlung einzuschieben
und auf diese Weise die dort etwas l
angliche Rechnung abzuk
urzen.
174
4. Elektromagnetische Wellen
4.6 Beugungsphanomene
Ein ehrgeiziges Ziel w
are, Sommerfelds L
osung f
ur die Beugung am
Keil zu pr
asentieren. Dazu ben
otigt man aber wohl mehr Funktionentheorie
und komplexe Analysis als hier zur Verf
ugung steht.
4.7 Symmetrien und Erhaltungssatze
In Vorbereitung des n
achsten Abschnitts w
are hier noch -- nach dem
Skript vom Sommersemester 1993 -- die Herleitung des Impuls- und
Drehimpulssatzes zu geben. Dieses Thema wird im relativistischen
Kapitel wieder aufgegriffen und dort pr
agnanter behandelt.
4.8 Das Feynmansche Paradoxon
Feynman im Original. \Betrachte die in Abb. 4.10 gezeigte Apparatur. Eine
Achse tragt in zu ihr senkrechter und konzentrischer Anordnung eine dunne,
kreisformige Plastikscheibe. Die Achse ist hervorragend gelagert, soda die
Scheibe ohne Reibungsverluste rotieren kann. Auf der Scheibe bendet sich
ein Draht in Form einer konzentrisch zur Drehachse angeordneten Spule. Diese Spule tragt einen stationaren Strom I , der einer kleinen, ebenfalls auf der
Scheibe montierten Batterie entnommen wird. In der Nahe des Scheibenrandes benden sich in gleichmaiger Anordnung viele kleine Metallkugeln, die
durch das Plastik der Scheibe voneinander und von der Spule elektrisch isoliert sind. Jede Metallkugel tragt die gleiche elektrische Ladung q. Alles ist
stationar, und die Scheibe ruht. Nun wollen wir annehmen, da durch Zufall { oder Planung { der Strom in der Spule zum Erliegen gebracht wird,
und zwar ohne irgendeine auere Einwirkung. Solange der Strom iet, existiert ein magnetischer Flu, der auf der Spule so ungefahr senkrecht steht.
Dieser magnetische Flu mu verschwinden, wenn der Strom gestoppt wird.
Es wird deshalb ein elektrisches Feld induziert, das um Kreise mit Mittelpunkt auf der Drehachse zirkuliert. Die geladenen Kugeln spuren dann ein
zum Scheibenrand tangentiales elektrisches Feld. Die elektrische Kraft hat
fur alle Kugeln denselben Drehsinn, was in einem an der Scheibe angreifenden totalen Drehmoment resultiert. Wir wurden aufgrund dieser Argumente
erwarten, da die Scheibe mit dem Verschwinden des Stromes in der Spule
zu rotieren beginnt...
Wir konnten jedoch auch anders argumentieren. Da der Drehimpuls der
Scheibe mit all ihrem Zubehor zu Anfang verschwindet, konnten wir unter
Verwendung des Prinzips der Drehimpulserhaltung sagen, da der Drehimpuls der gesamten Anordnung fur alle Zeiten Null bleiben mu. Die Scheibe
sollte also nach dem Abschalten des Stromes in Ruhe verweilen. Welches der
4.8 Das Feynmansche Paradoxon
175
beiden Argumente ist korrekt? Wird die Scheibe in Rotation versetzt oder
nicht?..." (Ende des Zitats.)
geladene
Metallkugeln
I
Plastikscheibe
Abbildung 4.10. Die Feynmansche Anordnung (die Spule ist vereinfacht als Kreis-
strom dargestellt)
Feynman fugt hinzu, da die korrekte Antwort nicht von irgendwelchen
unwesentlichen Begleitumstanden wie zum Beispiel der asymmetrischen Position der Batterie abhange. Die Abgeschlossenheit des Systems, d.h. das
Abschalten des Stromes ohne eine den Drehimpuls andernde auere Einwirkung, konne man zum Beispiel durch folgende ideale Situation erreichen. Die
Spule sei aus einem supraleitenden Draht gewickelt, in dem ein Strom iee.
Nachdem man die Anordnung sorgfaltig in den Ruhezustand versetzt hat,
lasse man die Temperatur langsam ansteigen. Sobald die U bergangstemperatur zwischen supraleitendem und normalleitendem Zustand erreicht ist, wird
der Strom in der Spule durch den Widerstand des Drahtes zum Erliegen gebracht. Wie zuvor sinkt der magnetische Flu ab, und es wird ein elektrisches
Feld induziert. Abschlieend warnt Feynman den Leser, da die Auosung
des Ratsels weder leicht noch ein Trick sei, sondern zur Entdeckung eines
wichtigen Prinzips des Elektromagnetismus fuhre.
Wir nehmen vorweg, da die erste Antwort die richtige ist: die Scheibe bendet sich nach dem Abklingen des Stromes tatsachlich in Rotationsbewegung. Unsere Aufgabe wird es demnach sein, die Drehimpulsbilanz in
Ordnung zu bringen. Zunachst einmal fragt man sich, ob der mechanische
Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen wesentlich sein konnte.
Dazu ist zu bemerken, da der Drehsinn der durch die Wirkung des induzierten elektrischen Feldes in Rotation versetzten Scheibe vom Vorzeichen
der Ladungen q auf den Metallkugeln abhangt. Deshalb wird das Dezit in
der mechanischen Drehimpulsbilanz durch Hinzunahme des Drehimpulses der
Elektronen entweder groer oder kleiner gemacht, je nachdem ob q positiv
oder negativ ist. Zudem konnen wir durch Vergroern der gesamten Ladung
auf den Metallkugeln das angreifende Drehmoment - und damit auch den
Drehimpuls der rotierenden Scheibe { variieren, wahrend der Drehimpuls der
Elektronen fest bleibt. Wir entnehmen diesen U berlegungen, da der me-
176
4. Elektromagnetische Wellen
chanische Drehimpuls der in der Spule umlaufenden Elektronen einer der
im Feynmanschen Sinn unwesentlichen Begleitumstande des Ratsels ist und
vernachlassigt werden kann.1
Auosung des Ratsels. Um das Dezit in der mechanischen Drehimpulsbilanz
zu kompensieren, werden wir den Drehimpuls im elektromagnetischen Feld
heranziehen mussen. Leider ist eine quantitative Analyse des von Feynman
beschriebenen Vorgangs schwierig. Wir nehmen deshalb eine Vereinfachung
vor, indem wir das System unter Translationen in Richtung der Drehachse
invariant machen. (Wir stellen uns zum Beispiel vor, es seien sehr viele identische Scheiben von der beschriebenen Form ubereinander gestapelt.) Insbesondere ersetzen wir die ringformige Anordnung von Metallkugeln durch
einen gleichmaig mit Flachenladung bedeckten Zylindermantel. Diese Abstraktion wird nicht nur das Rechnen erleichtern, sondern auch den Blick auf
das Wesentliche des Problems lenken.
Wir fuhren gewohnliche Zylinderkoordinaten r; '; z ein und legen die Symmetrieachse der Anordnung auf die z -Achse. Mit u 2 3 (E3 ) bezeichnen wir
die Dichte der z -Komponente des Drehimpulses im elektromagnetischen Feld.
Aus dem vorangehenden Abschnitt kennen wir die Formel u = B ^ @' D,
wobei @' das durch die Gleichungen (dr)(@' ) = 0, (d')(@' ) = 1 und
(dz )(@' ) = 0 bestimmte Vektorfeld ist. (@' erzeugt Drehungen um die z Achse.) Im ersten Schritt untersuchen wir die statischen Situationen vor dem
Zusammenbruch des Stromes zur Zeit t = 0 und lange danach. Vorher existiert ein magnetisches Feld innerhalb der Spule und ein elektrisches Feld
auerhalb des geladenen Zylindermantels. Da die Raumbereiche,
wo die Fel
der von Null verschieden sind, nicht uberlappen, gilt ut<0 = 0, d.h. fur t < 0
steckt im elektromagnetischen Feld kein Drehimpuls. Die Situation fur t 0
ist ahnlich. Zwar erzeugen die Ladungen des rotierenden Zylindermantels
jetzt ein statisches Magnetfeld, das bis an ihn heranreicht, aber es entsteht
trotzdem kein U berlapp, denn das elektrische Feld ist ja erst auerhalb des
Mantels von Null verschieden. Diese U berlegungen fuhren zwingend zu dem
Schlu, da sich der fehlende Drehimpuls in dem elektromagnetischen Puls
verbirgt, der durch den zusammenbrechenden Strom erzeugt und radial nach
auen abgestrahlt wird. Wir gelangen hiermit zu der intuitiven Vorstellung,
da der Puls auf dem Weg nach auen von den geladenen Metallkugeln in
seiner Richtung ein wenig abgelenkt wird (Abb. 4.11). Dadurch wird auf ihn
ein Drehimpuls ubertragen, der sich mit dem mechanischen Drehimpuls des
rotierenden Zylinders zu Null addiert. Die Richtigkeit dieser Vorstellung gilt
es nun rechnerisch nachzuweisen.
Quantitative Rechnung. Fur die Berechnung des Feld-Drehimpulses durch
Integration von B ^ @' D uber den gesamten Raum benotigen wir die
1
Es sind ideale Anordnungen denkbar, wo der mechanische Drehimpuls zu Anfang exakt gleich Null ist. Zum Beispiel konnten wir uns die Spule durch einen
Elektron-Positron-Speicherring ersetzt denken, in dem die Elektronen und Positronen mit gleicher Dichte und umgekehrter Richtung umlaufen.
4.8 Das Feynmansche Paradoxon
177
I
Abbildung 4.11. Drehimpuls der Scheibe und des Feldes
1-Form @' D. Nun wissen wir aus Gleichung (??) von Abschn. 4.1, da die
dynamisch induzierte elektrische Erregung Dind die Zeitableitung der Stromdichte j zur Quelle hat. Da im vorliegenden Fall nur die zr-Komponente von j
ungleich Null ist, folgt @' Dind = 0. Der Feld-Drehimpuls wird demnach aus
dem (dynamischen) Magnetfeld in Kombination mit der durch den geladenen
Zylindermantel verursachten statischen elektrischen Erregung gebildet. Ist R
der Radius des Zylindermantels, Q seine gesamte Ladung und L seine Lange
in z -Richtung, so haben wir mit der Stufenfunktion h(s) = 1 (bzw. h(s) = 0)
fur s > 0 (bzw. s < 0) fur den statischen Anteil von D den Ausdruck
Dstat = 2Q
L h(r R)d' ^ dz:
Wir bilden @' Dstat , setzen in B ^ @' D ein und integrieren uber den
Raum. Das Integral uber z lat sich trivial ausfuhren und gibt einen Faktor L, der sich gegen den Faktor L im Nenner wegkurzt. Es verbleibt das
Flachenintegral uber eine zur z -Achse senkrechte Ebene. Wir denieren
E2 = fa 2 E3 jz (a) = 0g und DR = fa 2 E2 jr(a) < Rg. Das Ergebnis
fur die z -Komponente des Drehimpulses im elektromagnetischen Feld lautet
dann Z
Z
Z
Q
Q
B:
B ^ @' D = 2 h(r R)B = 2
E2
E3
E2 DR
Dieses Resultat ist fur alle Zeiten gultig. Wie oben schon bemerkt wurde, verschwindet der Feld-Drehimpuls fur t < 0, weil B jE DR in diesem Fall gleich
Null ist. Zum schnelleren Vergleich mit dem noch zu berechnenden mechanischen Drehimpuls formen wir unser Resultat fur Zeiten t = T > 0 um. Da
E2 keinen Rand hat, erhalten wir ausR dem Induktionsgesetz
R zusammen mit
R
dem Stokesschen Satz die Beziehung E B_ = E dE = @E E = 0, d.h.
der magnetische Flu durch die gesamte Ebene E2 ist zeitlich konstant. Es
folgt insbesondere
2
2
Z
E2
Z Z B t=0 :
B t=T = B t=0 =
E2
DR
2
2
178
4. Elektromagnetische Wellen
Die durch das zweite Gleichheitszeichen vorgenommene Einschrankung der
Integrationsache ist zulassig, weil DR den Querschnitt der Spule enthalt.
Insgesamt ergibt sich fur die z -Komponente des Feld-Drehimpulses nach dem
Abklingen des Stromes das Resultat
Z Z Z
Q
:
B
B
B ^ @' D t=T = 2
DR t=0
DR t=T
E
Wir werden nun zeigen, da sich dieser Ausdruck mit dem Drehimpuls des
rotierenden Zylinders exakt zu Null addiert. Das am Zylindermantel mit Radius R angreifende Drehmoment D ist gleich dem Produkt
aus Gesamtladung
Q und '-Komponente der elektrischen Feldstarke E @DR . (Die Lorentz-Kraft
wirkt in Radialrichtung und tragt zum Drehmoment bezuglich der
R z-Achse
nicht bei.) Da wir fur die auf @DR konstante Funktion E' auch @DR E=2
schreiben konnen, haben wir
Z
@ Z B;
D = 2Q
E = 2Q @t
@DR
DR
wobei fur das zweite Gleichheitszeichen nochmals das Induktionsgesetz benutzt wurde. Den mechanischen Drehimpuls erhalten wir durch Integration
des Drehmoments uber die Zeit. Es resultiert
Z Z ZT
Q
;
B
B
D(t)dt = 2
DR t=0
DR t=T
0
wie angekundigt. Die Drehimpulsbilanz stimmt.
Aufgabe 4.8.1. Unsere Rechnung illustriert die Gultigkeit des Drehimpulssatzes, lat aber die Frage oen, wie gro die Winkelgeschwindigkeit ! ist,
mit der die Anordnung nach dem Abklingen des Stromes rotiert. Nimm das
Tragheitsmoment des Zylinders als bekannt an und berechne ! fur Zeiten
t 0.
3
4.9 Geometrische Optik
Wie w
ar's mit noch etwas Geometrischer Optik?
5. Relativistisch kovariante Theorie
Die spezielle Relativitatstheorie wird in ihren Grundzugen als bekannt vorausgesetzt und in Abschn. 5.1 und 5.2 kurz zusammengefat.
5.1 Der Minkowski-Raum M4
Denition 5.1. Der Minkowski-Raum M4 ist ein orientierter, aner, vierdimensionaler Raum mit Lorentzschem Skalarprodukt h; i auf seinem Dierenzvektorraum R4 .
Bemerkungen.
1. Die Elemente von M4 sind \Weltpunkte" oder \Ereignisse". Ein Beobachter ordnet jedem Ereignis drei Raumkoordinaten und eine Zeitkoordinate zu. Ereignisse haben aber eine invariante, d.h. von den speziellen
Raum-Zeit-Koordinaten losgeloste Bedeutung.
2. Die ane Struktur von M4 macht Geraden s 7! a + sv (a 2 M4 ; v 2 R4
fest, s 2 R variabel) zu einem wohldenierten und invarianten Begri. Eine solche Gerade in M4 (mit hv; vi 0) wird als gleichformig geradlinige
Bewegung interpretiert.
3. Ein Lorentzsches Skalarprodukt im Rn+1 ist eine quadratische Form:
Rn+1 Rn+1 ! R ;
u; v
7! hu; vi
P
mit Normalform hu; vi = u0 v0 + ni=1 ui vi .
4. Der Minkowski-Raum M4 ist ein gutes Modell der physikalischen RaumZeit, wenn die Krummungseekte der Gravitation vernachlassigt werden
konnen.
Denition 5.2. Unter einem Inertialsystem versteht man ein anes Koordinatensystem fo; e0; e1 ; e2 ; e3 g von M4 mit folgenden Eigenschaften:
1. he ; e i = 0 fur 6= .
2. he0 ; e0 i = 1 und he1 ; e1 i = he2 ; e2 i = he3 ; e3 i = +1.
3. Mit der Dualbasis f g=0;:::;3 zu fe g =0;:::;3 ist die Orientierung von
M4 durch = 0 ^ 1 ^ 2 ^ 3 gegeben.
180
5. Relativistisch kovariante Theorie
Bemerkungen.
1. e0 deniert die Zeitachse s 7! o + se0 (s 2 R) des Inertialsystems, und
die Vektoren e1 ; e2; e3 spannen den Raum auf.
2. Die Zerlegung nach Raum und Zeit ist nicht invariant: ein anderes Inertialsystem macht eine andere Zerlegung. Zwei Ereignisse a und b werden im
Inertialsystem fo; e0; : : : ; e3 g genau dann als gleichzeitig wahrgenommen,
wenn gilt 0 (a b) = 0. In einem anderen Inertialsystem fo0 ; e00 ; : : : ; e03 g
gilt im allgemeinen 0 0 (a b) 6= 0, d.h. a und b nden nicht gleichzeitig
statt.
3. Die korrekte Orientierung des Basissystems e0 ; e1; e2 ; e3 lat zwei disjunkte Moglichkeiten zu:
a) e0 zeigt (im kausalen Sinn) in Richtung der zunehmenden Zeit und
e1; e2 ; e3 bilden ein rechtshandiges System.
b) e0 zeigt in Richtung abnehmender Zeit (\die Zeit lauft ruckwarts")
und e1; e2 ; e3 ist ein linkshandiges System.
5.2 Die Poincare-Gruppe
Denition 5.3. Die Poincare-Gruppe ist die Automorphismengruppe von M4 ,
d.h. sie ist die Gruppe aller anen Abbildungen f : M4 ! M4 , die (i)
das Skalarprodukt invariant lassen: h(Df )(u); (Df )(v)i = hu; vi und (ii) die
Orientierung erhalten: f = .
Bemerkungen.
1. Jede ane Abbildung f : M4 7! M4 ist von der Form a 7! f (a) =
o + (a o) + w mit o 2 M4 einem Weltpunkt, : R4 ! R4 einer
linearen Abbildung und w 2 R4 einem Vektor. Die Bedingungen (i) und
(ii) schreiben sich dann wie folgt:
(i) hu; vi = hu; vi (ii) det = 1 :
2. Eine Poincare-Transformation, d.h. ein Element der Poincare-Gruppe,
bildet Inertialsysteme auf Inertialsysteme ab.
Denition 5.4. Die Lorentz-Gruppe ist die Untergruppe von Elementen der
Poincare-Gruppe, die einen ausgewahlten Weltpunkt (z.B. o) xieren.
Bemerkung. Der lineare Teil : R4 ! R4 einer Poincare-Transformation
bestimmt eine Lorentz-Transformation, d.h. ein Element der Lorentz-Gruppe,
durch a 7! o + (a o).
5.3 A uerer Kalkul auf M4
181
Koordinatendarstellung. Eine Poincare-Transformation a 7! f (a) = o+(a
o) + w wird bezuglich eines Inertialsystems fo; e0 ; e1; e2 ; e3 g wie folgt dargestellt. Wir setzen a o = x e , f (a) o = y e , e = e und w = w e
und haben dann
y = x + w :
Die Koezienten genugen der aus der Bedingung he ; e i = he ; e i
mit g := he ; e i folgenden Gleichung g = g . Aus det = 1 folgt
det( ) = 1.
5.3 A uerer Kalkul auf M4
Wir bezeichnen den Raum aller Dierentialformen (besser ware es, hier
k-ten Grades auf M4 mit k (M4 ).
Die metrikfreien Operationen aueres Produkt, inneres Produkt, auere Ableitung, Pullback und Integration sind genauso deniert wie zuvor. Wir notieren die auere Ableitung mit d : k (M4 ) ! k+1 (M4 ). Um Verwirrung
unter den Studenten zu vermeiden, schreiben wir ab jetzt "d\ fur die raumliche auere Ableitung (bzgl. einer fest gewahlten Raum-Zeit-Zerlegung). Es
gilt dann d = d+dt ^ @=@t. Die Koordinaten-1-Formen dx0 ; : : : ; dx3 bezuglich
eines Inertialsystems fo; e0 ; : : : ; e3 g sind wie ublich durch dx a (v) = (v)
(unabhangig von a) erklart. Insbesondere ist dx0 c dt.
Was sich gegenuber vorher andert, sind alle Groen wie z.B. der LaplaceOperator, die uber den Sternoperator von der Metrik abhangen. Der Sternoperator ist jetzt eine Abbildung ? : k (M4 ) ! 4 k (M4 ). Er wird durch
die Relation ^ = (?; ) erklart (siehe Abschn. 0.7).
gleich mit den Stromformen zu arbeiten)
5.4 Kovariante Formulierung der Theorie
Faraday-Form. F = E ^ dt + B F 2 2 (M4 ) .
physikalische Dimension: [F ] = Wirkung=Ladung. Es gilt
dF = d E ^ dt +d B + dt ^ B_
= d| E{z+ B_} ^ dt + |{z}
dB = 0 :
)
=0
=0
dF = 0
(homogene Maxwell-Gleichungen) :
Vierer-Strom. J = j ^ dt J 2 3 (M4 ) .
physikalische Dimension: [J ] = Ladung.
dJ = d j ^ dt + dt ^ _ = dt ^ |_ +{zd j} = 0 :
)
dJ = 0
=0
Kontinuitatsgleichung $ Ladungserhaltung :
182
5. Relativistisch kovariante Theorie
Maxwell-Form. G = D H ^ dt G 2 2 (M4 ) .
physikalische Dimension: [G] = [Ladung].
d D d| H{z D_} ^ dt = J :
dG = d D d H ^ dt + dt ^ D_ = |{z}
=
=j
)
dG = J
(inhomogene Maxwell-Gleichungen) :
Bemerkung. J = dG ) dJ = d(dG) = 0.
Materialgleichungen (im Vakuum).
?F = ?(E ^ dt + B ) = ?(Exdx ^ dt + : : : + Bxy dx ^ dy + : : :)
= 1c Ex dy ^ dz + : : : + c Bxy dz ^ dt + : : :
= "1c Dyz dy ^ dz + : : : + 0 c Hz dz ^ dt + : : :
r 0
r0 0
(
D
H
^
d
t
)
=
=
"
" G:
0
)
0
r 0
"0 G = ?F
p
(Materialgleichungen) :
physikalische Dimension [ 0 ="0] = Wirkung=Ladung.
Koordinatendarstellung
Faraday-Form.
F = B + E ^ dt = 2!1 F dx ^ dx
(Fi0 = c Ei ; Fij = Bij )
Maxwell-Form.
G = D H ^ dt = 2!1 G dx ^ dx
(Gi0 = c Hi ; Gij = Dij )
Vierer-Strom.
J = j ^ dt = 3!1 J dx ^ dx ^ dx
5.5 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie
183
5.5 Invarianzeigenschaften der Maxwellschen Theorie
Die Maxwell-Gleichungen dF = 0 und dG = J haben in allen Koordinatensystemen dieselbe Form:
dF = 0 :
@ F + @ F + @ F = 0
dG = J :
@ G + @ G + @ G = J :
Diese Forminvarianz schliet krummlinige Koordinaten
beschleunigte Bep =" G (=! ?F
enthalten den
zugssyteme) ein. Die Materialgleichungen
0 0
Sternoperator, der auf die Metrik und die Orientierung des M4 Bezug nimmt.
Poincare-Transformation vertauschen per Denition der Poincare-Gruppe
mit dem Sternoperator ?. Folglich sind die Materialgleichungen
r
r
F01 = " 0 G23 usw.
?F = " 0 G :
0
0
forminvariant unter Poincare-Transformationen. (Tatsachlich ist die Invarianzgruppe sogar groer, denn ? : 2 (M4 ) ! 2 (M4 ) vertauscht auch mit
Dilatationen x 7! sx (s 2 R+ ), was auf die sogenannte konforme Gruppe
fuhrt.)
Hier w
aren die Symmetrien der Maxwellschen Theorie noch etwas
ausf
uhrlicher zu diskutieren (Raumspiegelung und Zeitumkehr). Insbesondere
w
are endlich mal auf den Unterschied zwischen geraden und ungeraden
Differentialformen einzugehen.
5.6 Anschauliche Deutung mittels Stromformen
Wir konnen die Dierentialformen F , G und J als Stromformen auassen
(siehe Abschn. ??) und dann durch Ketten veranschaulichen.
Der Viererstrom ist eine Stromform dritten Grades, was im vierdimensionalen Raum einer 1-Kette entspricht. Die Kontinuitatsgleichung dJ = 0
ubersetzt sich in @J = 0, was bedeutet, da P
die 1-Kette von J sich aus randlosen Linien i im M4 zusammensetzt (J = qi i ). Diese Linien sind nichts
anderes als die Weltlinien geladener Teilchen. Der reelle Gewichtsfaktor qi
der Linie i der 1-Kette J ist die Ladung des i-ten Teilchens.
Die Faraday-Form ist eine Stromform zweiten Grades und wird im vierdimensionalen Raum durch eine 2-Kette (Weltachen) veranschaulicht. Die
homogenen Maxwell-Gleichungen dF = 0 entsprechen in der Interpretation
von F als 2-Kette der Relation @F = 0. Mit anderen Worten besteht F wie
in Abb. 5.2 illustriert aus geschlossenen Weltachen. Bilden wir den Durchschnitt einer geschlossenen Weltache mit den 3-Ebenen konstanter Zeit t,
so entstehen geschlossene Linien im E3 (in einem E3 ). Aus F = B + E ^ dt
sieht man, da diese geschlossenen Linien als die Flulinien der magnetischen
Fludichte B anzusehen sind.
184
5. Relativistisch kovariante Theorie
M4
-q
+q
Abbildung 5.1. Die 1-Kette J
ist aus geschlossenen Weltlinien aufgebaut. Ladungsumkehr fallt hier mit Zeitumkehr zusammen: ein Vorzeichenwechsel q ! q
ist aquivalent zur A nderung der Orientierung der Weltlinie.
Zeit
magnetische Flusslinie
Abbildung 5.2. Zwischen Zeitpunkten von Entstehung und Vernichtung uberstreicht eine magnetische Flulinie eine geschlossene Weltache, die zur 2-Kette
der Faraday-Form F beitragt.
Die Maxwell-Form ist ebenfalls eine Stromform zweiten Grades und wird
im vierdimensionalen Raum wieder durch eine 2-Kette (Weltachen) veranschaulicht. Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen dG = J entsprechen in
der Interpretation von G als 2-Kette und von J als 1-Kette der Relation
@G = J . Mit anderen Worten besteht G aus Weltachen, die entweder geschlossen sind oder durch die Weltlinien geladener Teilchen berandet werden.
Der Durchschnitt einer solchen Weltache mit t = const ist eine elektrische
Flulinie. Diese ist entweder geschlossen oder beginnt auf einer positiven Ladung usw. usw. Hier wird noch eine Abbildung benotigt.
5.7 Altes relativistisch aufgewarmt
Um den Rechenvorteil der kovarianten Formulierung zu illustrieren, greifen
wir einige Themen nochmals auf, die wir bereits in Kap. 4 behandelt haben.
Vorbereitung 1. Aufg. 0.7.4: ?? = ( 1)k(n k) (; ).
Minkowski-Raum M4 : n = 4 und (; ) = 1.
) ?? = ( 1)k(4 k) = ( 1)k 1 fur k = 0; 1; 2; 3; 4 :
= ( 1)l 1 ? 1 d ? : l (M4 ) ! l 1 (M4 ) (1 l 4) ;
Man sieht, da gilt:
5.7 Altes relativistisch aufgewarmt
= ( 1)l
1
1
|(??{z) l } ? d? = ? d ?
= ( 1)
185
in allen Fallen (1 l 4) :
2
Vorbereitung 2. Laplace-Operator 4 auf M4 = d'Alembert-Operator .
Behauptung fur Funktionen nachprufen:
4f = (d + d) f = d f
= (@t f dt + @x f dx + @y f dy + @z f dz )
1
= ? d c @t f dx ^ dy ^ dz + @x f dy ^ dz ^ (c dt) + : : :
1
2
2
2
2
= ? c2 @t f @x f @y f @z f c dt ^ dx ^ dy ^ dz
= f ? (d| x0 ^ dx1 {z
^ dx2 ^ dx3})
?==1
=
f :
Wellengleichung fur F und G.
dG = J ) dG = J
G = ? d| {z
? G} = 0
9
=
; 4G = J
q" q"
dF =0
?4 = 4? ) J = 4G = 4
) 4=
q
1
" ?| {zJ}
0
0
0
0
= d?J
?F =
0
0
? 4F
) 4F =
q
0
"0 d ? J
Viererpotential A. dF = 0 auf M4 . M4 sternformig, Poincar
e-Lemma
) Es existiert ein Potential A: F = dA A 2 1 (M4 ) .
Bemerkung. A = dt + A (A = Vektorpotential).
Koordinatendarstellung.
A = A dx
(A0 = =c ; Ai = Ai (i = 1; 2; 3) :)
Lorentz-Eichung fur A. : A = 0.
A = ? d ? A = ? d ? (A dx )
= ? d A0 dx1 ^ dx2 ^ dx3 + A1 dx2 ^ dx3 ^ dx0 + : : :
=
@0 A 0 +
3
X
i=1
!
@i Ai ? dx0 ^ dx1 ^ dx2 ^ dx3
3
X
@ Ai :
= c12 @
+
@t i=1 @xi
|
{z
=1
}
186
5. Relativistisch kovariante Theorie
Wellengleichung fur A.
dA = F
) ? dA = ?F =
) d ? dA =
r 0
"0 J
r 0
und
Lorentz-Eichung A = 0 )
"0 G
dA =
r 0
4A =
q
"0 ? J
0
"0
?J
5.8 Transformationsverhalten der Felder und Strome
Zwei verschiedene Sichtweisen sind moglich:
1. Der Minkowski-Raum M4 wird einer Poincare-Abbildung : M4 ! M4
unterworfen (\aktive Transformation"), und die Felder und Strome werden mittels zuruckgeholt.
2. Die Felder und Strome werden als fest angesehen (vom Bezugsystem unabhangig deniert) und es wird lediglich ein Koordinatenwechsel von einem Inertialsystem zu einem anderen durchgefuhrt (\passive Transformation").
Wir machen uns hier die zweite Sichtweise zu eigen.
5.8.1 Transformation des Viererstroms
Fur den Viererstrom J = j ^ dt setzen wir (nicht notig, spart aber
einige Indizes und Schreibarbeit) ?J = J dx .
Inertialsystem 1 mit anem Koordinatensystem fo; e0 ; e1; e2 ; e3 g und Koor-
dinatenfunktionen x0 ; x1 ; x2 ; x3 :
?J = J(1) dx :
Inertialsystem 2 mit anem Koordinatensystem fo; e00 ; e01; e02 ; e03 g und Koordinatenfunktionen y0 ; y1; y2 ; y3 :
?J = J(2) dy :
P
Lorentz-Transformation:
x = y .
P
dx = dy einsetzen )
J(1) dy = ?J = J(2) dy
)
1
J(2) = J(1) :
Boost in 1-Richtung 1 :
Abkurzende Schreibweise: sh sinh & ch cosh .
5.8 Transformationsverhalten der Felder und Strome
10 1
0 x0 1 0 ch sh
B
x1 C B sh ch
B
@ x2 CA = B@ 0 0
187
y0
0 0
B
0 0 C
C B y1 CC
1 0 A @ y2 A
y3
0 0 0 1
x3
[Genauer: x1 = sh y0 + ch y1 ) Inertialsystem 2 bewegt sich relativ
zu Inertialsystem 1 mit der Geschwindigkeit v = c tanh in Richtung der
positiven 1-Achse.]
Explizit:
J0(2) = ch J0(1) + sh J1(1) ;
J1(2) = sh J0(1) + ch J1(1) :
Noch expliziter:
?J = ?( j ^ dt)
= 123 ? dx1 ^ dx2 ^ dx3 1c j12 ? dx1 ^ dx2 ^ dx0 : : :
= 123 dx0 1c j12 dx3 1c j23 dx1 1c j31 dx2 : )
1
(1)
(2)
ch (1)
123 =
123 c sh j23
(2) = c sh (1) + ch j (1)
j23
123
23
1
1
ch = p1 tanh = p1 v =c ;
tanh = p v=c
:
sh = p1+tanh
1+v =c
2
2
2
2
2
2
5.8.2 Transformation der Felder
X
F = E ^ dt + B =: 21 F dx ^ dx ; )
Fij = Bij und Ei = cFi0 = cF0i (i; j = 1; 2; 3) :
Inertialsysteme 1 und 2 wie zuvor:
(1) dx ^ dx = 1 F (2) dy ^ dy F = 21 F
2 P
x = y )
(2) = F (1) :
F
Wieder ein Boost in 1-Richtung; Koezienten wie oben.
Summe ausrechnen ):
188
5. Relativistisch kovariante Theorie
(1) c sh ;
E2(2) = E2(1) ch B12
(2) = B (1) ch E (1) 1 sh ;
B12
2 c
12
(2)
(1)
(1) c sh ;
E3 = E3 ch + B31
(2) = B (1) ch + E (1) 1 sh ;
B31
3 c
31
(2)
(1)
E1 = E1 ; ;
(2) = B (1) :
B23
23
Aufgabe 5.8.1.
Hier k
onnte man noch eine scheinbar paradoxe Situation
ansprechen: ein bewegtes geladenes Teilchen sp
urt im Magnetfeld eines
stromf
uhrenden (aber elektrisch neutralen) Leiters eine Lorentz-Kraft.
Im Ruhesystem des Teilchens fehlt die Lorentz-Kraft. Daf
ur wirkt
aber jetzt eine elektrostatische Kraft, denn der Leiter erscheint
nun geladen.
5.8.3 Aharonov-Casher-Eekt
Eine bewegte stromf
uhrende Spule erscheint geladen... ein bewegter
magnetischer Dipol unterliegt einer Spin-Bahn-Wechselwirkung...
5.9 Erhaltungssatze
Erfullt eine 3-Form T 2 3 (M4 ) die Gleichung dT = 0, so folgt ein Erhaltungssatz. Sei namlich T = u s ^ dt (Raum-Zeit-Zerlegung). Dann gilt
0 = dT = dt ^ u_ d s ^ dt = dt ^ (u_ + d s) ;
Z
Z
Z
@
s = 0 da @E3 = 0 :
ds =
u_ + d s = 0 ) @t u =
@E
E
E
Beachte: Die Raum-Zeit-Zerlegung
T = u s ^ dt zeichnet einen E3 aus.
R
Der Erhaltungssatz E u = const gilt fur jede Wahl von E3 (verschiedene
Bezugssysteme). Ziel: konstruiere geschlossene 3-Formen.
Betrachte nun fur ein (zunachst) beliebiges Vektorfeld ( : M4 ! R4 )
die 3-Form:
T := 12 F ^ i G 21 i F ^ G ;
dT = 21 F ^ di G 12 di F ^ G + 21 i F ^ dG
= 12 F ^ L G 21 L F ^ G + 12 i F ^ J 21 F ^ i J ;
3
3
3
3
|
{z
=(i F )^J
}
Mit G =
q"
F ^ L G
0
0
5.9 Erhaltungssatze
? F und ^ ? = ^ ? folgt
L F ^ G =
r "0
r "0
189
0 F ^ L ? F F ^ ?L F :
) dT = F ^ ? L L ? F + i F ^ J :
0
Wahle jetzt als das erzeugende Vektorfeld einer Poincare-Transformation (d.h. der Flu von sei eine Einparameter-Gruppe von Poincare-Transformationen.). Dann folgt ?L = L ? und
dT = i F ^ J :
In Abwesenheit von Materie (J = 0) ergeben sich die Erhaltungssatze:
1. = @t ) u_ + d s = 0 mit
u = 21 (E ^ D + B ^ H ) ; s = E ^ H (! Energie) :
2. = @x ) u_ + d s = 0 mit
u = B ^ @x D ;
n
o
s = 12 D @x E @x D ^ E + B @x H @x B ^ H
(! x-Komponente des Impulses (bis auf Minuszeichen)).
3. = x@y y@x ) ...
(! Drehimpuls bzgl. der z -Achse).
190
5. Relativistisch kovariante Theorie
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
Eine Erinnerung an die klassische Mechanik:
dynamische Variablen q = fqi gi=1;:::;f (verallgemeinerte Koordinaten)
mit Geschwindigkeiten q_ = fq_i gi=1;:::;f .
Lagrange-Funktion: (q; q_) 7!RL(q; q_);
Wirkungsfunktional: S [q] = tt L(q; q_)dt.
Hamiltonsches Prinzip der extremalen Wirkung. Losungen der Bewegungsgleichungen sind Extrema des Funktionals S unter den Randbedingungen
q(t0 ) = q0 , q(t1 ) = q1 .
) Euler-Lagrange-Gleichungen:
d @L = @L
dt @ q_i
@qi (i = 1 : : : ; f ) :

Ubertragung
auf Feldtheorien. In einer Feldtheorie vom hier diskutierten Typ
sind die dynamischen Variablen Felder; genauer: Dierentialformen vom Grad
k.
Eine Poincare-invariante Feldtheorie wird uber dem Minkowski-Raum M4
mit Sternoperator ? formuliert. (M4 ubernimmt die Rolle der Zeitachse in der
klassischen Mechanik.)
Wir betrachten eine Feldtheorie mit nur einem einzigen Feld, das wir hier
mit ! (! 2 k (M4 )) bezeichnen. (Die Verallgemeinerung auf mehrere Felder
erfolgt in der naturlichen Weise.)
Die Lagrange-Dichte ist eine Vorschrift, die ! und seiner aueren Ableitung d! (d! $ q_ in der Mechanik) eine 4-Form L(!; d!) zuordnet. L sei ein
lokales Funktional, d.h. Variieren von ! an einem Punkt a 2 M4 liefere eine
Variation von L(!; d!) nur am selben Punkt.
Beispiel 6.0.1. Freies, massives, skalares Feld: ! 2 0 (M4 ) mit
1
0
L(!; d!) = + 12 d! ^ ?d! 21 M 2 !2 !
X
@!=@xi 2 M 2 !2 = c12 (@!=@t)2
i
0
1
2
3
und = dx ^ dx ^ dx ^ dx .
192
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
Wirkungsfunktional. Fur ein beschranktes Gebiet N M4 ist das Wirkungsfunktional SN [!] durch
SN [!] =
Z
N
L(!; d!)
deniert.
! heit Extremum von SN , wenn gilt
d S [!s ] = 0
ds N s=0
s mit ! s = !
fur jede dierenzierbare
Einparameterfamilie
von
Feldern
!
s=0
und (!s !)@N = 0.
Wirkungsprinzip. Die Losungen der Feldgleichungen
einer Feldtheorie mit
R
Lagrange-Dichte L sind Extrema von SN = N L.
Ableitung der Feldgleichungen. (aus dem
Wirkungsprinzip):
Setze !s = ! + s mit 2 k (M4 ), @N = 0, sonst beliebig. )
d S [!s ] = Z d L(! + s; d! + sd) :
s=0
ds N s=0 N ds
Da dsd L(! + s; d! + sd)s=0 homogen vom Grad Eins in und d ist,
existieren Abbildungen
(!; d!) 7! (!; d!) 2 4 k (M4 ) und
(!; d!) 7! (!; d!) 2 4 k 1 (M4 ) ; so da
d L(! + s; d! + sd) = ^ (!; d!) + d ^ (!; d!) :
s=0
ds
Wir schreiben @ L=@! := (!; d!), @ L=@ (d!) := (!; d!).
Damit ist
d S [!s ] = Z ^ @ L + d ^ @ L
ds N s=0 N
@ (d!)
Z @@!L
@L :
= ^ @! ( 1)k d @ (d
!)
N
Wegen @N = 0 entsteht beim partiellen Integrieren kein Randterm. Da beliebig ist, folgt aus dem Wirkungsprinzip 0 = dsd SN [!s ]s=0 :
@ L = ( 1)k d @ L (Feldgleichungen)
@!
@ (d!)
Diese Gleichungen verallgemeinern die Euler-Lagrange-Gleichungen der klassischen Mechanik.
6.1 Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
193
L('; d') = 21 d' ^ ? d' 12 M 2 '2 @ L = ? d' :
) @@'L = M 2'2 ; @ (d
')
Beispiel 6.0.2.
Feldgleichung (Klein-Gordon): M 2'2 = d ? d' oder ' = 4' = M 2 '.
Losungsansatz in 1 Dimension: ' = '0 cos(pkx !t)
Es folgt !2=c2 + k2 = M 2 oder !=c = k2 + M 2 (Dispersionsrelation)
Sie beschreibt frei propagierende Wellen. Durch den Proze der Quantisierung (siehe Vorlesung uber Quantenmechanik) wird dem Wellenvektor k der
Impuls p = ~k und der Frequenz ! die Energie E = ~! zugewiesen.p(~ ist das
Plancksche Wirkungsquantum.) Die Dispersionrelation !(k)=c = M 2 + k2
geht dann in die relativistische Energie-Impuls-Beziehung
p
E = p2 c2 + m2 c4 ;
uber, wobei Masse m = ~M=c. ) Sprechweise: "freies massives Skalarfeld\.
6.1 Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
Eichpotential A ordentlich p
eingef
uhrt?
Lagrange-Dichte:L(A; dA) = 21 "0 =0 dA ^ ? dA A ^ J mit A dem Eichpotential.
Beachte: Nicht die Faraday-Form F (oder Maxwell-Form G), sondern das
Eichpotential A ist das "Feld\ in der Lagrange-Formulierung.
Feldgleichungen:
@ L = r "0 ? dA ;
@L = J ;
@A
@ (dA)
0
r "0
@
L
@
L
) 0 = @A + d @ (dA) = J
0 d ? dA :
p
Mit ? dA = ?F = 0 ="0 G sind dies die inhomogenen Maxwellgleichungen
J = dG.
Raum-Zeit-Zerlegung: (A = dt + A, J = j ^ dt)
1
1
1
L = 2 F ^ G A ^ J = 2 E ^ D 2 H ^ B + j ^ A ^ dt
(\kinetische Energie" E ^ D, \potentielle Energie" B ^ H )
Bemerkungen.
p
1. Die Gleichungen d ? dA = 0 ="0 J legen A nicht fest, da immer die
Moglichkeit einer Eichtransformation A 7! A + d besteht.
194
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
2. Der Vierer-Strom J ist hier extern vorgegeben und hat keine eigene Dynamik. Eine vollstandige Theorie (siehe z.B. unten) erfordert zusatzliche
Terme in L fur die stromtragenden Materiefelder.
3. Unter Eichtransformationen geht dA in sich uber, aber der Kopplungsterm A ^ J andert sich: A ^ J 7! (A + d ) ^ J , d.h. A ^ J ist
eichinvariant\. Dieser Umstand hangt mit der Unvollstandigkeit
"nicht
der
Beschreibung zusammen. Eichtransformationen wirken auch auf die
Materiefelder (siehe unten), und deshalb ist erst die Lagrange-Dichte fur
das vollstandige System (Materie +R Eichfeld)
eichinvariant.
1 p"0 =0 dA ^ ? dA A ^ J 4. Das Wirkungsfunktional SN [A] = N
2
erfullt
Z
Z
SN [A + d ] SN [A] =
d ^ J =
J :
N
@N
(wegen
dJ = 0.) SN [A] ist daher eichinvariant unter der Randbedingung
@N = 0. Dies ist der Grund, warum dieq aus dem Wirkungsprinzip
J eichinvariant sind.
resultierenden Feldgleichungen d ? dA =
"
5. Bei der Quantisierung (! Quantentheorie) der Maxwellschen Theorie
(und anderer Feldtheorien) geht man ublicherweise von der LagrangeFormulierung aus.
6. Wir konnen zu L eine exakte Form, zum Beispiel
F ^ F = d(A ^ dA) ;
(\Pontrjagin-Dichte") addieren, ohne die Feldgleichungen zu andern. (Ein
solcher Term ist fur die Quantentheorie von Bedeutung.)
0
0
6.2 Erhaltene Strome
Eine 3-Form T (T 2 3 (M4 )) heit ein erhaltener Strom, wenn T geschlossen
ist (dT = 0), und es folgt bekanntlich ein Erhaltungssatz.
Konstruktion erhaltener Strome in einer Poincare-invarianten Feldtheorie.
Feld !, Lagrange-Dichte L(!; d!).
Sei das erzeugende Vektorfeld einer Einparameter-Gruppe (erklart?) von
Poincare-Transformationen. Dann gilt:
@L
L L L ?==?L L ! ^ @@!L + L d! ^ @ (d
!)
@L
@
L
Feldgln:
= L ! ^ ( 1)k d @ (d!) + dL ! ^ @ (d
!)
=
@L :
d L ! ^ @ (d
!)
Mit L L = di + i d L = di L folgt:
6.3 Ginzburg-Landau-Theorie
195
@L i L = 0 ;
d L ! ^ @ (d
!) d.h. wir haben einen erhaltenen Strom gefunden:
@L + i L
T = L ! ^ @ (d
erfullt dT = 0.
!) Anwendung auf die "reine\ Elektrodynamik:
r "0
1
L(A; dA) = 2 dA ^ ? dA : Hier ist:
0
@ L + i L ; @ L = +G )
T = L A ^ @ (d
A) @ (dA)
T =
(di + i d) A ^ G + 12 i (F ^ G)
=
i F ^ G + 21 (i F ) ^ G + 21 F ^ i G d i A ^ G
dG=0 1
= 2 F ^ i G 12 i F ^ G d i A ^ G :
|
{z
=:T^
}
d i A ^ G ist auch der
Wegen der Exaktheit von
Anteil
"symmetrische\
1
1
^
^
^
T von T geschlossen, d.h. es gilt dT = 0 fur T = 2 F ^ i G 2 i F ^ G,
wie wir oben schon auf direktem Wege gezeigt haben. (Vgl. auch Kap.??.)
Allerdings h
angt jede Umkehrung A = A[F ] der Beziehung F = dA
nichtlokal von F ab. Die ``Lokalisierungshypothese'' favorisiert
daher schon aus rein theoretischer Sicht T^ .
Bemerkung. Wegen d d = 0 sind erhaltene Stome durch dT = 0 nur bis auf
Addition einer exakten 3-Form bestimmt. Welches T das "richtige\ ist (d.h.
die korrekten Ausdrucke fur Energiestrom, Impulsstrom, Drehimpulsstrom
usw. liefert), lat sich nicht aus allgemeinen Prinzipien deduzieren, sondern
mu aus der Erfahrung entschieden werden.
6.3 Ginzburg-Landau-Theorie
(Anwendung des Variationsprinzips auf eine Gleichgewichtstheorie. S ! H.)
In einem supraleitenden Festkorper binden sich Elektronen zu sogenannten
Als Cooper-Paare konnen sie sich verlustfrei durch den
"Cooper-Paaren\.
Festk
orper bewegen, was zu widerstandslosem Stromu fuhrt.
Die magneto-statischen Eigenschaften von Supraleitern werden durch die
Ginzburg-Landau-Gleichungen auf phanomenologische Weise beschrieben.
In der Ginzburg-Landau-Theorie geht man von einem Funktional fur die
statische Energie des Supraleiters aus. Es hat die Form:
196
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
H=
Zh
E3
i
1
2
2 dA ^ ? dA + 2m ~d +iqA ^ ?(~d iqA )+ U j j dV :
1
0
Hierbei ist A das magnetische Vektorpotential und ein komplexwertiges
(neu! bisher war alles reell) Skalarfeld, dessen Betragsquadrat j (p)j2
als die Wahrscheinlichkeit, ein Cooper-Paar am Ort p zu nden, interpretiert
wird; q = 2e ist die elektrische Ladung eines Cooper-Paares, ~ eine Konstante von der physikalischen Dimension einer Wirkung (Plancksche Konstante), U (x) = x + 12 x2 eine Funktion, d die raumliche auere Ableitung
und ? = ?3 der Sternoperator im E3 . Vergleiche mit Hamiltonfunktion
H = (p eA)2 =2m fur Teilchen im Magnetfeld und setze p ! ~d=i.
Die positiven Groen m, und sind die Parameter der Theorie. (m hat die
Dimension einer Masse.) Beachte auch [ ] = (Lange) 3=2 .
Eichinvarianz diskutieren:
A 7! A + d ; 7! eiq=~ ; 7! e iq=~ :
Per Postulat ist der Zustand des Supraleiters im Gleichgewicht ein Minimum von H. Hieraus folgen die Ginzburg-Landau-Gleichungen. Sie sind
d ] und
die Euler-Lagrange-Gleichungen des Funktionals H[A; dA; ; d; ;
lauten wie folgt:
H = d @H .
1. @@A
@ (dA)
Ausfuhren der Variationsableitungen ergibt das Amperesche Gesetz:
dH = js , mit H = 0 1 ? dA und js = 2~mq i ? ( d d ) qm j j2 ? A.
js ist als die Stromdichte-2-Form des Suprastroms zu interpretieren.
2. @ H = d @ H .
@
@ (d )
~
0 2
Hier ergibt das Ausrechnen:
2m 4A= U j j mit 4A := ? d i~q A ^ ? d i~q A .
@ H ) ~2 4 = U 0 j j2 .
3. @@H = d @ (d
)
2m A
2
2
Wegen U 0 (= ) = 0 haben die Ginzburg-Landau-Gleichungen die triviale
Losung
p
A 0 und = = = const :
p
(Allgemeiner wegen Eichinvarianz: A = d und = eie=~ = .)
Diese Losung beschreibt das Innere des Supraleiters.
Nun wollen wir sehen, was an einer Vakuum-Supraleiter-Grenzache passiert. Im Vakuum ist B = dA 6= 0 und = 0 (keine Cooper-Paare im Vakuum). Tief im Inneren des Supraleiters ist j j2 = = und B = 0. Qualitativ
erwarten wir daher das folgende Verhalten:
6.3 Ginzburg-Landau-Theorie
Supraleiter
197
Vakuum
|ψ|2
B
Abbildung 6.1.
London-Limes. Wir machen die Annahme, da j j2 auf dem Weg in den Supraleiter hinein sehr schnell zu einem Sattigungswert = ansteigt, wahrend
B nur langsam abfallt. (Dies ist der Londonsche Grenzfall. In welchem Parameterbereich er sich einstellt, werden wir spater diskutieren.)
Zur Berechnung des Abfallverhaltens von
B durfen wir dann j j2 als
p
raumlich konstant ansehen. Wir setzen = = = const (Unter welchen
konstant eichen? Einfach zusammenhangender
den Ausdruck furpjs ein und erhalten js = qm ?A. Wegen
djs = d(dH ) = 0 erfordert = = oensichtlich die Coulomb-Eichung
d ? A = 0.
Das Amperesche Gesetz lautet js = dH = 0 1 d ? dA. Gleichsetzen der
Ausdrucke fur js und auf beiden Seiten den Sternoperator anwenden gibt mit
d ? A = 0 die Gleichung
2
4A = 2 A ; 2 = 0 qm :
Der Parameter hat die Dimension einer Lange.
Sei nun z die zur Grenzache senkrechte Koordinate und z > 0 bezeichne
das Innere des Supraleiters. Weiter sei Ajz=0 := A(0) = AVakuum; Ajz=1 = 0.
Die Losung der Gleichung 4A = 2 A zu diesen Randbedingungen ist unter
der Annahme von Translationsinvarianz in der xy-Ebene A = e z= A(0) .
Das Vektorpotential (und mit ihm das Magnetfeld) fallt im Supraleiter exponentiell ab. ist die Eindringtiefe. Die Magnetfeldverdrangung wird durch
eine Supra-Stromdichte js = (0 2 ) 1 e z= ? A(0) erreicht.
Wir werden jetzt die U bergangszone etwas genauer ansehen. Aus den
Parametern der
p Theorie lat sich neben eine zweite, unabhangige Lange
bilden: = ~= 2m .
Wir suchen nach einer Losung der Ginzburg-Landau-Gleichungen in der
Form
p
= = f (z ) reell, A ~q a(z ) dx :
Bedingungen l
at sich die Phase von
Supraleiter) in
2
Die Funktionen f und a sind dimensionslos. Einsetzen des Ansatzes liefert:
198
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
2 a00 = f 2 a
(1) dH = js
)
(i)
1
2
00
0
2
(2) 4A = U j j ) f 2 a2 f = 1 + f 2 f (ii)
Die Randbedingungen sind (h0 = aueres Magnetfeld)
f (0) = 0 ; a0 (0) = h0
f (1) = 1 ; a(1) = 0 :
Diese Gleichungen sind recht nichtlinear und im allgemeinen nur mit Hilfe
eines Computers losbar. Einfach zu behandeln sind die beiden Grenzfalle
und .
1. In diesem Fall durfen wir den Term 2 f 00 in (ii) vernachlassigen.
Die resultierende Gleichung 21 a2 f = ( 1+ f 2)f hat nur zwei Losungen:
f = 0 und a beliebig (Vakuum);
f = 1 und a = 0 (Supraleiter).
Das System springt an der Grenzache zwischen den beiden Losungen.
(Genauer andert sich f von 0 auf 1 uber die kleine Lange .) Dies ist der
schon diskutierte London-Limes.
2. Hier ist das Magnetfeld die sich rasch andernde Groe, und f
wachst langsam von 0 auf 1 an. U ber dem Bereich, wo sich f andert,
durfen wir a praktisch als Null ansehen. Es resultiert dann die Gleichung
2 f 00 = 1 1 f 2 f :
Ihre Losung zu den angegebenen Randbedingungen ist
f (z ) = tanh pz ;
2
wie man leicht nachrechnet. Die Groe heit Koharenzlange. Sie bestimmt die Distanz, uber der j j2 sich andert.
Vakuum Supraleiter
Vakuum Supraleiter
f
f
B
B
z
ξ >> λ
z
ξ << λ
Abbildung 6.2. In dem Bereich z > 0 gilt f tanh z=(p2) fur den Grenzfall
bzw. B e
z=
fur Ein ehrgeiziges Ziel w
are, hier auch noch die Vortex-L
osung (Abrikosov)
zu diskutieren!
6.4 Abelsches Higgs-Modell
199
6.4 Abelsches Higgs-Modell
Warum nicht Elektronen? (sind Fermionen mit Spin 1/2).
Das Abelsche Higgs-Modell ist eine relativistische kovariante Verallgemeinerung der Ginzburg-Landau-Theorie. Es hat keine direkte physikalische
Anwendung, illustriert aber den Higgs-Mechanismus, mit dem in der elektroschwachen Theorie (= vereinheitlichte Theorie der elektromagnetischen
und der schwachen Wechselwirkung) die Vektorbosonen W + ; W und Z 0
massiv werden.
Wir haben zwei Typen von Feldern:
A = A dx (Viererpotential oder "Eichfeld\)
: M4 7! C komplexes skalares Feld (Higgs-Feld)
Die Lagrange-Dichte ist
r
d = 1 "0 dA ^ ? dA
L A; dA; ; d; ;
2 0 e + d +i ~ A ^ ? d i ~e A U j j2 mit U (x) = x + x2 =2.
(d und ? sind hier im Gegensatz zum vorigen Abschnitt wieder vierdimensionales d und ?.)
e heit Kopplungskonstante (oder Ladung des Higgs-Teilchens). ~ ist eine
Konstante der Dimension Wirkung.
1 =2
[ ] = Wirkung
Lange :
Die durch L denierte Feldtheorie ist vollstandig im Sinne der Bemerkungen (2) und (3) von Abschn. 6.1.
1. Eichinvarianz. Eichtransformationen sind durch
A 7! A + ~e d ; 7! ei ; 7! e i :
erklart. Diese Transformationen lassen L invariant, wie man mit Hilfe
von
d i ~e A 7! ei d i ~e A d + i ~e A 7! e i d + i ~e A
sofort sieht. War im Abschnitt uber die Ginzburg-Landau Theorie
zu zeigen.
2. Feldgleichungen. @L
@
L
a) Eichfeld: d @ (dA) = @A
p
) ~2 "0 =0 d ? dA = ie ? (~d ieA ) ie ? ~d + ieA ;
200
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
q
"
Mit den Denitionen F := dA, G =
? F und
J = i ~e ? (d ieA ) d ieA entstehen die inhomogenen Maxwellschen
@ L dG = J .
@ L Gleichungen
b) Higgs-Feld: d
@ (d ) = @ (d ) und c.c.
( = Re + i Im und = Re i Im sind linear unabhangige
Groen und als solche unabhangig zu variieren.)
Die Feldgleichung fur lautet:
d ? d i ~e A = i ~e A ^ ? d i ~e A U 0 j j2 :
Mit dem (modizierten)
e Laplace-Operator
4 := ? d i A ^ ? d i e A A
~
0
0
~
wird sie zu: 4A = U 0 j j2 .
Komplexes Konjugieren
gibt die andere Gleichung
4 A = U 0 j j2 :
Um etwas uber den Zustand niedrigster Energie (= Vakuum) dieser Feldtheorie zu lernen, gehen wir per Legendre-Transformation von der LagrangeDichte zur Hamilton-Funktion uber.
Raum-Zeit-Zerlegung des Eichfeldes: A = dt + A :
Bekanntlich ist
q
1
1
1 "
2 dA ^ ? dA = 2 F ^ G = 2 (E ^ D B ^ H ) ^ dt :
0
0
Wir wahlen die temporale Eichung = 0. (Diese Eichbedingung ist nicht
relativistisch kovariant. Eine Verletzung der Kovarianz ist aber unvermeidlich, wenn man von der Energie { einer nicht invarianten, d.h. beobachterabhangigen Groe { reden will.)
Wir haben dann:
E = A_ ; D = "0 ?3 A_ ;
B = d A ; H = 0 1 ?3 d A :
(?3 = Sternoperator im E3 .)
Die Lagrange-Dichte wird zu
L = L~ ^ dt ;
L~ = "20 A_ ^ ?3 A_ 21 d A ^ ?3 d A + j_ j2 dV
e 0 d + i A ^ ? d i e A U j j2 dV :
~
3
Die kanonischen (Feld-)Impulse sind
~
6.4 Abelsches Higgs-Modell
201
~
A = @ L_ = "0 ?3 A_ = D
@A
@ L~ = _ dV ; = @ L~ = _ dV :
= @
@
durch Legendre-Transformation (in der ublichen Weise, namlich H = pq_ L)
folgt die Hamilton-Funktion
Z 1
1 dA ^ ? dA + ^ ? H=
^
?
+
3
3 A
3
A
20
E 2"0
+ d + i~e A ^ ?3 d i~e A + U j j2 dV :
3
Abb. 6.3 zeigt die Form des Potentials U j j2 . Es besitzt ein (entartetes)
U
Im Ψ
Re Ψ
Abbildung 6.3. Das Potential des Abelschen Higgs-Modells
globales Minimum fur j j2 = = .
Die Hamilton-Funktion wird wie immer als die Energie des Systems interpretiert. (Beachte, da
1
1
1
1
2"0 A ^ ?3 A + 20 d A ^ ?3 d A = 2 E ^ D + 2 B ^ H
der uns wohlbekannte Ausdruck fur die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes ist.)
p
Betrachte Avac = d ; vac = = eie=~ mit einer zeitunabhangigen, aber sonst beliebigen Funktion Notation fur Eichtransformation
einheitlich machen, und setze A = = 0. Diese Wahl macht
den positiv deniten Ausdruck
202
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
1
1
^ ?3 2"0 A ^ ?3 A + 20 d A ^ ?3 d A +
e + d + i ~ A ^ ?3 d i ~e A
zu Null, und er minimiert U . (Auerdem werden die kanonischen Gleichungen gelost.) Deshalb handelt es sich bei diesen Feldern um einen Zustand
niedrigster Energie (= Vakuum).
Die Unbestimmtheit von ist eine Konsequenz der Eichinvarianz (Freiheit), die nach Wahl der temporalen Eichung noch verbleibt. Wir konnen z.B.
= 0 wahlen.
Der von Null verschiedene Vakuumwert des Higgs-Feldes gibt dem Eichfeld A eine "eektive Masse\, d.h. er macht die durch das elektromagnetische Feld vermittelte Wechselwirkung kurzreichweitig. Fur den Fall eines
statischen aueren Magnetfeldes ist dies aus der (mit A = = 0
perfekten) Analogie zur Ginzburg-Landau-Theorie der Supraleitung sofort
klar: Das Higgs-Feld verdrangt das Magnetfeld durch Anwerfen von HiggsStromen. Elektrische Felder werden durch Higgs-Polarisationsladungen verdrangt. (Hier nicht gezeigt.)
[Was wir hier skizziert haben, ist der Prototyp des sogenannten HiggsMechanismus, der in der Weinberg-Salam-Glashow-Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung benutzt wird, um den Eichfeldern W + ; W und Z 0
(aber nicht dem Photon) die experimentell beobachtete kurze Reichweite von
< 10 17m zu geben. Nach dem Higgs-Teilchen (= Quantum des Higgs-Feldes)
wird experimentell eifrig gesucht, es ist aber noch nicht gefunden worden.]
H
orerfrage: was hat Abschirmung, Verdr
angung mit Massivwerden
zu tun?
Wichtig: in vier Raum-Zeit-Dimensionen sind Eichtheorien ausgezeichnet.
In Quantenfeldtheorien treten notorische Divergenzen auf (ein Beispiel
hatten wir gesehen: unendliche Feldenergie einer Punktladung). Um
die Vorhersagekraft zu behalten, d
urfen nur endlich viele Type von
Divergenzen auftreten.
6.5 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung
Allgemeiner (lokaler) Zusammenhang zwischen elektrischer Feldst
arke
und elektrischer Stromdichte
in einem zweidimensionalen Medium:
E
j E x = xx xy
x
jy
yx yy Ey
j = E. ist der Tensor
j
oder
der elektrischen Leitf
ahigkeit. Aus
Rotationsinvarianz folgt (Onsager)
xx = yy und xy = yx :
6.5 Quanten-Halleekt und Chern-Simons-Wirkung
203
In Anwesenheit eines Magnetfelds ist xy im allgemeinen von Null
verschieden. (Klassischen Halleffekt erl
autern...) (Experimentelle
Geometrie f
ur den Quanten-Halleffekt beschreiben und durch eine Abbildung
illustrieren...)
Beobachtung: f
ur
(1) Tesla und
(1) Kelvin existieren
2 =: H mit quantisierten
Magnetfeldbereiche, wo xx = 0 und xy =
Werten von
= . (Am sichtbarsten sind die Jain-Serien = (2
1).) (Hohe Prazision der Quantisierung Widerstandsstandard). Hallplateau:
BO
p=q
T O
e =h
!
jx = H Ey ; jy = H Ex :
p= p
Abbildung
Da die Vektorfelder von
und
aufeinander senkrecht stehen, t
auscht
vor, da die Metrik eine Rolle spielt.
Bessere Formulierung mit Differentialformen: Definiere Linienstromdichte
= wie gewohnt in metrikfreier Weise durch = Strom durch
. Dann ist
E
j
j
Rj
k
j = jx dy jy dx :
Abbildung zur Illustration (oder Erinnerung). Dann
j = H E
(metrikfreie Relation; h
angt nur noch von der Orientierung ab: unter
Raumspiegelung 
andert H sein Vorzeichen. Als Differentialformen
sind
gerade und
ungerade.) Interpretation: die Stromlinien folgen
den 
Aquipotentiallinien. (Die 1-Formen
und
werden in zwei Dimensionen
durch 1-Ketten veranschaulicht.)
_ = d = d H = _ H.
Induktionsgesetz
Durch Integration folgt
= H + const; empirisch (oder durch
eine quantenmechanische Betrachtung) findet man const = 0.
Faraday-Form:
= +
d
Dreierstrom (eine 2-Form):
= + d
Ladungserhaltung: 0 = d = d
( _ + d ) Insgesamt:
E
j
)B
F
j
E
B
j=
E
=
B E^ t
J j^ t
J t^ j
J = H F
F
ur konstante Hall-Leitf
ahigkeit H ist diese Relation kompatibel
mit dem Induktionsgesetz 0 = d = d
( _ + d ).
Interpretation: [ ,
werden durch 0-Ketten veranschaulicht ( durch
Punktladungen,
durch die Kreuzungspunkte der magnetischen Flulinien
mit der Ebene des Elektronengases).]
``Jede Punktladung (jedes Elektron) tr
agt eine magnetische Flulinie
mit Flu
H mit sich herum.''
B
F
B
t^ B
E
e=
L
Welche Lagrangedichte
zieht ein solches Gesetz nach sich? Setze
ein Potential f
ur die 2-Form ). Behauptung:
J = db (b =
J
204
6. Wirkungsprinzip fur klassische Feldtheorien
L = (2H ) 1 b ^ db A ^ J
Verifikation:
Es
@L = b A ;
@ L = db ;
@b 2H
@ (db) 2H
@L = d @L )
@b
@ (db)
db = d b A = db + F :
2H
2H
2H
folgt in der Tat J=H = F .
b^ b
d heit Chern-Simons-Term. Er ist nur bis auf Randterme ``eichinvariant''.
Dies ist ein Hinweis darauf, da die Theorie durch eine eindimensionale
Feldtheorie f
ur Randstr
ome erg
anzt werden mu. Ist Thema aktueller
Forschung.
A. Kleine Formelsammlung fur das Rechnen
mit Dierentialformen
Die folgende Liste enthalt die wichtigsten Regeln fur den Umgang mit Dierentialformen; sie erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit.
Es sei En ein euklidischer Raum der Dimension n, f und ai (i = 1; 2; 3)
Funktionen, eine k-Form, eine l-Form, eine (k{1)-Form (falls k > 0), v
ein Vektorfeld, eine Abbildung zwischen oenen Teilmengen zweier aner
Raume (die Bildmenge von liege in En ) und C ein geeignetes Integrationsgebiet.
A ueres Produkt
f ^ = ^ f := f ^ = ( 1)kl ^ Inneres Produkt
!
iv f = 0 ; iv
n
X
i=1
ai dxi =
iv ( ^ ) = (iv ) ^ Auere Ableitung
(A.1)
(A.2)
n
X
ai vi
i=1
+ ( 1)k ^ (iv )
(A.3)
(A.4)
n @f
X
i
(A.5)
i dx
@x
i=1
d ( ^ ) = (d) ^ + ( 1)k ^ (d )
(A.6)
d d = 0 ; Poincare : d = 0 =) (lokal :) = d (A.7)
df =
Pullback
f = f ( ^ ) = ( ) ^ ( )
d = d (A.8)
(A.9)
(A.10)
= (A.11)
Integration
Z
Z
(C )
Stokes :
Z
C
d =
C
Z
@C
(A.12)
206
A. Kleine Formelsammlung fur das Rechnen mit Dierentialformen
Sternoperator (im E3)
?? = id
? dx = dy ^ dz
? dx ^ dy ^ dz = 1
^ ? = ^ ?
(und zyklisch)
(falls k = l)
(A.13)
(A.14)
(A.15)
(A.16)
Index
(inneres Produkt), siehe Kap. 0.5
Ableitung
{ partielle, 18
Alternierende Multilinearformen, 7
Ampere, 64, 106
Basis
{ duale, 6
Basisdarstellung
{ alternierender Multilinearformen, 10
Boost, 186
Cooper-Paare, 195
Coulomb, 64
Coulomb-Eichung, 110
d (Operator), 181
4 (Laplace-Operator), siehe Kap. 0.20,
185
d'Alembert-Operator , 158
Determinante, 14
Dielektrische Konstante d. Vakuums,
81, 84
Dierential
{ einer Abbildung, 24
{ einer Funktion, 18
Dierentialform
{ k-ten Grades (k-Form), 22
{ ersten Grades (1-Form), 19
{ exakte, 28
{ geschlossene, 28
{ Koordinatendarstellung, 23
{ top-dimensionale, 22
Dilatation, 183
Dipolmoment
{ elektrisches, 114
{ magnetisches, 115
Dirichlet-Problem, 118
Divergenz, 27
Dualraum, 4
"0 , siehe Dielektrische Konstante d.
Vakuums
Eektive Masse, 202
Eichfeld, 199
Eichpotential, 193
Eichtransformation, 109
Eindringtiefe, 161, 197
Elektroschwache Theorie, 199
Energiedichte, 86
Energiestromdichte, 86
Ereignis, 179
Erregung
{ elektrische, 67
{ { Mesvorschrift, 90
{ magnetische, 69
{ { Mesvorschrift, 92
Faraday-Form, 181, 182
Faradaysches Induktionsgesetz, 75
Feld
{ elektrisches, 82
{ elektromagnetisches, 82
{ magnetisches, 82
Feldgleichungen, 192, 193, 199
Feldstarke
{ elektrische, 71
{ magnetische, 72
Fernzone (Dipolstrahlung), 171
Flachenladungsdichte, 120, 124
Flachenladungsdichte, 89
Fluslinien, 68
Flus
{ elektrischer, 68
{ magnetischer, 73
Flusdichte
{ elektrische, 68
{ magnetische, 73
Gradient, 21
Greensche Funktion, 119
GUT, 84
207
208
Index
~, siehe Plancksche Konstante
Hamiltonsches Prinzip, 191
Hauptsatz der Cartanschen Dierentialrechnung, 51
Induktionsgesetz, siehe Faradaysches
Induktionsgesetz
Inertialsystem, 179
k-Form, 22
k-Kette, 46
k-Zelle, 44
Kapazitat, 104
Kausalitatsprinzip, 164
Koharenzlange, 198
Konforme Gruppe, 183
Kontinuitatsgleichung, 52, siehe Kap.
1.2, 181
Koordinatenform, 19
Koordinatenfunktion, 18
Koordinatensystem
{ anes, 2
{ kartesisches, 3
Kopplungskonstante, 199
Kraft
{ Coulomb-, 72
Kugelkondensator, 103
LX (Lie-Ableitung), siehe Kap. 0.18
Ladung, 64
Ladungsdichte
{ elektrische, 65
{ magnetische, 75
Ladungserhaltung, siehe Kap. 1.2, 181
Ladungsneutralitat (Universum), 70
Lagrange-Dichte, 191, 193
Leistung (d. Feldes an Materie), 85
Leitfahigkeit, 161
Lenzsche Regel, 74
Lichtgeschwindigkeit, 84
Lichtkegel, 164
Linearform, 3
Linienstromdichte, 89
London-Limes, 197, 198
Lorentz-Eichung, 185
Lorentz-Gruppe, 180
Lorentz-Kraft, 72, 85, 106, 178
M (Operator), 165
0 , siehe Magnetische Permeabilitat d.
Magnetisierung, 94
Materialgesetze, 80
Materialgleichungen, 182
Maxwell-Form, 182
Maxwell-Gleichungen
{ homogene, siehe Kap.1.4, 181
{ Inhomogene, 67
Monopolmoment (elektrisches), 114
Oberachenladung, 89
Ohmsches Gesetz, 97, 161
Orientierung, 7
Parametrisierung, 34
Permeabilitat, siehe Magnetische P.
Plancksche Konstante, 196
Poisson-Kern, 120
Poisson-Problem, 118
Polarisierung (elektrische), 93
Polarkoordinaten (spharische), 102
Potential
{ einer Punktladung, 107
{ elektrostatisches, 107
{ skalares magnetisches, 130
Poynting-Form, 86
Quadrupolmoment (elektrisches), 114
Quellterm (Wellengleichung), 158
Rand
{ einer k-Kette, 46
{ einer k-Zelle, 46
Raum
{ aner, 1
Raumwinkel-Form, 23
Rechte-Hand-Regel, 8
Ringspannung
{ elektrische, 72
Rotation, 26
Skalarprodukt
{ Lorentzsches, 179
Skin-Tiefe, siehe Eindringtiefe
Spannung
{ elektrische, 72
{ magnetische, 70
{ statische, 103
Sternformig, 28
Stromdichte
{ elektrische, 66
Supraleiter, 92, 195
Vakuums
Magnetische Monopole, 83
Magnetische Permeabilitat d. Vakuums, Tangentenvektor, 34
Temporale Eichung, 200
81
Index
Transformation
{ aktive, 186
{ passive, 186
Vektorbosonen, 199
Vektorpotential, 109
Vierer-Strom, 181, 182, 194
Viererpotential, 185, 199
Weinberg-Salam-Glashow-Theorie, 202
Welle (elektromagnetische), 84
Wellenoperator, 158
Weltpunkt, siehe Ereignis
Winkel-1-Form, 37
Wirkungsfunktional, 192
Wirkungsprinzip, 192
Zylinderkoordinaten, 104
209