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Research Collection
Doctoral Thesis
Gruppen mit Poincaré-Dualität
Author(s):
Bieri, Robert
Publication Date:
1972
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000086047
Rights / License:
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ETH Library
Gruppen mit Poincare-Dualität
Abhandlung
zur
Erlangung
der Würde eines
Doktors der Mathemathik
der
EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE
ZÜRICH
vorgelegt
von
ROBERT BIERI
dipl. Math. ETH
geboren
31. Januar 1945
am
(von) Langnau i. E.
Angenommen auf Antrag
Prof. Dr. B.
von
Eckmann, Referent
Prof. Dr. U. Stammbach. Korrefent
Basel
Birkhäuser Verlag
1972
DEFINITION. Zu
Konjugation
=
mit g in
Gruppen mit Poincare-Dualität
393
jedem Element geG sei signw(g)
die Determinante der durch
induzierten
N/tN
Abbildung.
Ist
N/tN=l, dann sei sig%(g)
=
+1 für alle geG.
LEMMA 3.2.3. Sei N ein endlich erzeugter, abelscher Normalteiler vom Rang n in
der Gruppe G, und sei A ein QG-Modul. Dann ist N eine orientierbare PD-Gruppe der
Dimension
=
Nach
Beweis.
=
Q, und jedes Element geG operiert auf H„(N, A)^AN
über
n
wie a°g
signN(g)ag, aeAN.
Hn(N/tN,A'N).
abelschen Normalteiler
Es sei
G eine
nun
Hn(N, A)ëH„(N/tN, H0(tN, A))
Isomorphismen respektieren die G-Struktur. Für den freiN/tNo G/tN ist aber die Behauptung schon bewiesen.
und
2.3
Lemma
polyzyklische Gruppe,
ist
von G (d.h. alle Gk
jedes Element geG mit
und sei
sind Normalteiler
invariante Reihe
Wir versehen
3.2.1
Diese
G=G0i>G1e=—p»Gr=l
von
G)
eine
mit abelschen Faktoren.
einem Vorzeichen
DEFINITION.
r
sign (g)
=
FI si§n ek. t\cfc feG*)
•
fc=i
ferner sagen wir, g sei
Aus
unserem
positiv,
nächsten Satz
SATZ 3.2.4. Eine
unabhängig
wenn
r
von
der
—1 ist.
speziellen
G ist
(als PD-Gruppe
über
Q) dann und
von
G die
eindeutig bestimmte orientierbare
Unter¬
Index 2.
Beweis. Sei
der Länge
sign(g)=
alle Elemente ge G positiv sind. Ist G nichtorientierbar,
dann bilden alle positiven Elemente
gruppe
wenn
ist.
polyzyklische Gruppe
dann orientierbar,
vom
sign(g)= +1, negativ,
folgt unmittelbar, dass diese Definition
Wahl der invarianten Reihe
nur
wenn
hG=n, h(Gk-1/Gk)
=
hk.
Wir
zeigen mit vollständiger Induktion nach
der invarianten Reihe
Hn(G,Hhl(G/G1)Q)®-®Hfcr(Gr_1,Q))^Q.
Aus dieser Formel
und die Formel
folgt dann unmittelbar die Behauptung. Ist
richtig.
Für
r
r
=
1, dann ist G abelsch
> 2 ist
^„(G.tf^CG/G^Q)®-.. 0^(^,0.))^
S Hn-hr(GIGr-u Hftr(Gr_„ HÄ1(G/G1; Q)®-®Hhr(Gr_1, Q))),
^H„.JC/Gr.l!Hhl(C/G1>Q)®."®\(Gr_1,Q)0\(Gr.l!Q)))
^H^XGIG^uH^GIG^Q)®-®!!,,^,^,^^),
^
Q, nach Induktionsvoraussetzung.
394
ROBERT BIERI
KOROLLAR 3.2.5. Jede endlich erzeugte,
PD-Gruppe
über
ist eine orientierbare
Q.
nilpotente Gruppe
Beweis. Jede endlich erzeugte,
sign(g)
berechnet
nilpotente Gruppe
beliebigen
mit Hilfe einer
polyzyklisch. Sei g eG.
Zentralreihe
operiert, folgt sign(g)
zentralen Faktor trivial
G ist
=
Man
jedem
von
G. Da G auf
von
Satz 3.1.2 beweisen:
+1.
auflösbaren PD-Gruppen
vorliegenden Abschnitt werden wir die Umkehrung
3.3 Die
Im
SATZ 3.3.1. Jede
auflösbare PD-Gruppe
ist
polyzyklisch.
Dazu brauchen wir zwei Hilfsresultate.
torsionsfreie, nilpotente Gruppe. Dann ist die homolo¬
gleich der Hirschzahl hG. Ist hG n<oo, dann gilt überdies:
LEMMA 3.3.2. Sei G eine
Dimension hdG
gische
H„(G, Z)
ist
=
torsionsfrei
vom
Rang
1 und genau dann
zyklisch,
wenn
G endlich
erzeugbar
ist.
Beweis. G ist der direkte Limes der endlich erzeugten
Limes vertauscht mit dem
sei
hG
nun
tion nach
die
=
n.
n< co.
Ist
n=
Behauptung
zentrale
zentral
Homologiefunktor,
Den Rest der
1, dann ist G eine
ist wegen
Untergruppe
S
H^G, Z)
vom
Untergruppen.
folgt
Behauptung beweisen wir
also
torsionsfreie,
=
aus
abelsche
Der direkte
Satz 3.1.2 hdG=hG. Es
mit
vollständiger Induk¬
Gruppe
vom
Rang 1, und
G trivial. Es sei also rc>2. Dann enthält G eine
Rang 1 mit torsionsfreier Faktorgruppe G/S. Weil S
ist, folgt
J/„(G,Z)^H„_1(G/S,H1(S,Z))
^H„_1(GIS,Z)®S.
Mit Hilfe der
vom
Induktionsvoraussetzung schliessen wir
Rang 1 und
wenn
G endlich
genau dann
erzeugbar
zyklisch,
wenn
G/S
daraus :
Hn(G, Z)
und S endlich
ist torsionsfrei
erzeugbar sind, d.h.
ist.
Bemerkung. Man vergleiche Lemma 3.3.2 mit dem Resultat von Gruenberg [5,
chapter 8.8, Theorem 5] : Sei G eine torsionsfreie, nilpotente Gruppe mit endlicher
Hirschzahl hG. Dann gilt für die cohomologische Dimension von G cdG=hG, wenn
G endlich
erzeugbar ist, und cdG
LEMMA 3.3.3. Die
Gruppe
G ist
=
hG+1,
homologische
wenn
G nicht endlich
Dimension hdG einer
erzeugbar ist.
torsionsfreien, auflösbaren
gleich der Hirschzahl hG.
Bemerkung. Man vergleiche dazu das Resultat
von
Stammbach
[9],
wonach die
395
Gruppen mit Poincare-Dualität
über dem Körper Q der
homologische Dimension hdQG einer auflösbaren Gruppe G
rationalen Zahlen gleich der Hirschzahl hG ist. Man könnte
zum
Be¬
Ungleichung hdG^hG heranziehen.
weis der
Untergruppen
Beweis. Wenn G abelsche
weise hG
=
Hirsch-Plotkin-Radikal)
Rang
enthält, dann ist trivialer¬
oo
[1, Prop. 5.5] einen nilpotenten Normalteiler N (das
Faktorgruppe GjN. Sei
mit endlich erzeugter, fast abelscher
G/N eine frei-abelsche Untergruppe
h(G/N)=m.
Es sei
vom
hdG =00. Haben alle abelschen Untergruppen endlichen Rang, dann ent¬
hält G nach Baer-Heineken
=
dieses Resultat
nun
Ist hG= co, dann
von
muss
hG<co, und sei hN
=
hN
n.
endlichem Index in
=
hdN=oo
Dann ist
GjN,
und sei
sein, also auch hdG=
hdG=hdG^hdN
dass für einen
h(G/N)
oo.
hd(G/N) hN+
gewissen ö-Modul
+
=
h(G/N) h(G) h(G) m + n. Es bleibt zu zeigen,
Hm+n(G, ^4)^0 ist. Dazu betrachten wir die additive Gruppe der rationalen Zahlen
0, mit einer noch näher zu beschreibenden G/N-Struktur. Auf alle Fälle ist Hm+n(G,
^)^Hm(G/N, H„(N, 0)) //m(GW H„(N, Z)®Q). Nach Lemma 3.3.2 ist dabei
H„(N, Z) eine Untergruppe von Q, und die freien Erzeugenden xt von G/N operieren
+
=
=
=
A
=
Multiplikation
darauf durch
0
ö/N-Modul Q,
Operation
die
zum
trivialen
also auch
xt auf
von
hdG=m+n,
Beweis
von
gewissen rationalen Zahlen
Q. Daher ist hdG
=
m
+ n,
womit Lemma 3.3.3 bewiesen ist.
PD-Gruppe G
vom
PD-Gruppe der Dimension
Index
Die abelschen
\G: G|<2.
n.
G ent¬
Untergrup¬
G haben endlichen Rang, also gibt es nach Baer-Heineken [1, Prop. 5.5]
nilpotenten Normalteiler N<iG (das Hirsch-Plotkin-Radikal) mit endlich er¬
zeugter, fast abelscher Faktorgruppe
G/N.
endlichem Index in
eine orientierbare
hd(G/N)
=
m.
denn
G/N ist
einer
G ist
PD-Gruppe
von
GjN.
Sei
s
der Dimension
Hm (G/N, Hk (N,
eine orientierbare
G/iV eine
frei-abelsche
Untergruppe
von
endlichem Index in G, also nach Satz 2.1.1 selber
Dann ist nach Lemma 3.3.3
ZSH, (5, Z)
zu
=
nun
Hn{N, Z)®Q
von
einen
=
q[l.
Hm+„(G, Q)
Multiplikation
und wir erhalten
qt. Wir definieren
Dadurch wird
mit
Satz 3.3.1. Sei G eine auflösbare
hält eine orientierbare
pen
mit
als
Z))
s
n
=
n.
Sei hN
hdG
Hk (N,
=
hG
=
=
hdN
m
=
k und
+ k. Es
h(G/N)
=
folgt
Zf/N,
PD-Gruppe. Hk(N, Z) ist nach Lemma 3.3.2 isomorph
Untergruppe der additiven Gruppe der rationalen Zahlen, versehen mit einer
gewissen G/W-Struktur. Als Fixpunkte kommen jedenfalls nur 0 oder ganz Hk(N, Z)
Frage; daher ist Hk(N, Z)sZ. Dann ist aber N nach Lemma 3.3.2 endlich erzeug¬
bar, also polyzyklisch. Somit ist auch G polyzyklisch, womit Satz 3.3.1 bewiesen ist.
in
LITERATUR
[1 ] R. Baer und H. Heineken, Radical Groups of Finite Abelian Subgroup Rank, Illinois J. of Math.,
erscheint demnächst.