Funktionentheorie

Funktionentheorie
Sommersemester 2015
Prof. Dr. E. Kuwert
Mathematisches Institut
Universität Freiburg
Inhaltsverzeichnis
1 Die komplexen Zahlen C
1
2 Komplex differenzierbare Funktionen
1
3 Potenzreihen
1
4 Komplexe Kurvenintegrale
2
5 Anwendungen der Cauchyintegralformel
3
6 Der Residuensatz
4
7 Der Riemannsche Abbildungssatz
5
i
1
Die komplexen Zahlen C
Lemma 1.1 z1 z2 = hz1 , z2 i − i det(z1 , z2 ). Insbesondere hz1 , z2 i = Re (z1 z2 ) und |z|2 = z z̄.
Lemma 1.2 |Re z| = |z|, |Im z| ≤ |z| und |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
Definition 1.1 Eine Argumentfunktion auf G ⊂ C\{0} ist eine stetige Funktion ϕ : G → R
mit z = |z| eiϕ(z) für alle z ∈ G.
Lemma 1.3 ( ) Sei G ⊂ C\{0} offen und zusammenhängend. Sind ϕ1 , ϕ2 : G → R Argumentfunktionen auf G, so gilt ϕ2 − ϕ1 = 2πk für ein festes k ∈ Z.
2
Komplex differenzierbare Funktionen
Definition 2.1 Sei Ω ⊂ C offen. f : Ω → C heißt in z0 ∈ Ω komplex differenzierbar mit
Ableitung f 0 (z0 ) = a ∈ C, falls gilt
lim
z→z0
f (z) − f (z0 )
= a.
z − z0
Satz 2.1 Ist f : Ω → C komplex differenzierbar in z0 ∈ Ω, so ist f auch stetig in z0 .
Satz 2.2 (Differentiationsregeln) (Linearität, Produktregel, Quotientenregel)
Satz 2.3 (Cauchy-Riemann Differentialgleichungen)
Satz 2.4 (Konstanzsatz)
Satz 2.5 (Kettenregel)
3
Potenzreihen
Satz 3.1 (Konvergenzkreisscheibe)
Lemma 3.1 Seien fn ∈ C 1 (Ω, C) komplex differenzierbar. Konvergiert fn punktweise gegen f : Ω → C und fn0 lokal gleichmäßig gegen g : Ω → C, so ist f ∈ C 1 (Ω, C) komplex
differenzierbar mit f 0 = g.
Satz 3.2 (Differentiation von Potenzreihen)
Satz 3.3 (Identitätssatz für Potenzreihen)
Definition 3.1 (Differenzierbarkeit in Ausnahmepunkten)
1
4
Komplexe Kurvenintegrale
Definition 4.1 (stckweise C 1 -Weg, zusammengesetzter Weg) γ1 (b1 ) = γ2 (a2 ), so definieren wir den zusammengesetzten Weg
Definition 4.2 Sei γ : I = [a, b] → C ein Weg, und f : γ(I) → C sei stetig. Das komplexe
Kurvenintegral von f längs γ ist
Z
Z b
f (z) dz :=
f γ(t) γ 0 (t) dt.
γ
a
Lemma 4.1 ( )
Z
Z
Z
(λf + µg) dz = λ f dz + µ g dz für f, g : γ(I) → C stetig, λ, µ ∈ C.
(1)
Z
(2)
Z
f dz =
Z
γ1
γ2
Z
f dz = −
−γ
f dz für f : γ1 (I1 ) ∪ γ2 (I2 ) → C stetig.
f dz +
γ1 +γ2
(3)
γ
γ
γ
Z
f dz für f : γ(I) → C stetig.
γ
Lemma 4.2 (Invarianz bei Umparametrisierungen)
Lemma 4.3 (Konvergenz) Sei γ : I = [a, b] → C stückweise C 1 . Sind fn , f : γ(I) → G
stetig und konvergiert fn gleichmäßig gegen f , so folgt
Z
Z
f dz = lim
fn dz.
γ
n→∞ γ
Lemma 4.4 (Transformationsregel)
Satz 4.1 (Standardabschätzung)
Definition 4.3 (Stammfunktion)
Satz 4.2 (Integration durch Stammfunktion)
Satz 4.3 (Wegunabhängigkeit/Stammfunktion)
Lemma 4.5 (Goursat)
Zusatz. Der Satz gilt auch dann, wenn es in G isolierte Ausnahmepunkte gibt, in denen nur
Stetigkeit von f bekannt ist (und nicht komplexe Differenzierbarkeit).
Satz 4.4 (Integralsatz von Cauchy auf Sterngebieten)
Zusatz. Der Satz gilt auch dann, wenn es in G isolierte Ausnahmepunkte gibt, in denen nur
Stetigkeit von f bekannt ist. Dies folgt direkt aus dem Zusatz im Lemma von Goursat.
Satz 4.5 (Cauchy Integralformel)
2
Lemma 4.6 (Kreis-Umlaufzahl)
1
2πi
Z
∂Dr (a)
dζ
=
ζ −z
(
1
0
für z ∈ Dr (a)
für z ∈ C\Dr (a).
Lemma 4.7 (Differentiation unter dem Integral)
5
Anwendungen der Cauchyintegralformel
Satz 5.1 (Potenzreihendarstellung)
Folgerung 5.1 (Darstellung durch Taylorreihe)
Satz 5.2 (Identitätssatz)
Lemma 5.1 (Cauchyintegralformel für f (n) (z) )
Satz 5.3 (Abschätzungen von Cauchy)
Folgerung 5.2 (Satz von Liouville)
Folgerung 5.3 (Fundamentalsatz der Algebra)
Satz 5.4 (holomorphe Fortsetzung)
Satz 5.5 (Konvergenzsatz von Weierstraß)
Definition 5.1 (normal konvergente Reihe)
Folgerung 5.4 (Konvergenz normal konvergenter Reihen)
Lemma 5.2 (Satz von Morera)
Satz 5.6 (Holomorphiekriterien)
Satz 5.7 (Riemannscher Hebbarkeitssatz)
Definition 5.2 (Ordnung einer Nullstelle/w-Stelle)
Lemma 5.3 (Potenz-Normalform)
Satz 5.8 (Gebietstreue)
Satz 5.9 (Maximumprinzip)
3
6
Der Residuensatz
Satz 6.1 (Zerlegung in Haupt- und Nebenteil)
Lemma 6.1 Sei f : Ar,R (a) → C holomorph. Dann gilt für r < σ < ρ < R
Z
Z
f (ζ) dζ =
f (ζ) dζ.
∂Dσ(a)
∂Dρ(a)
Lemma 6.2 Sei f : Ar,R (a) → C holomorph. Dann gilt für r < σ < |z| < ρ < R
!
Z
Z
f (ζ)
f (ζ)
1
= f (z).
dζ −
2πi
∂Dρ(a) ζ − z
∂Dσ(a) ζ − z
Satz 6.2 (Laurententwicklung auf Ar,R (a))
Zusatz. Die Koeffizienten sind
1
aν =
2πi
Z
∂Dρ(z0 )
f (ζ)
dζ
(ζ − z0 )ν+1
wobei ρ ∈ (r, R) beliebig gewählt werden kann.
Definition 6.1 (isolierte Singularität)
Definition 6.2 (Polstelle (k-fache))
Definition 6.3 (hebbare/wesentliche Singularität)
Satz 6.3 (Casaroti-Weierstraß)
Definition 6.4 (Residuum resz0 (f ) )
Satz 6.4 (Berechnung des Residuums)
Definition 6.5 (Umlaufzahl)
Satz 6.5 (Lokalkonstanz der Umlaufzahl)
Satz 6.6 (Residuensatz, Umlaufzahlversion)
Definition 6.6 (Gebiet mit C 1 -Rand)
Lemma 6.3 (Tangente und Normale)
Lemma 6.4 (Randkurven eines C 1 -Gebiets)
Satz 6.7 (Umlaufzahl bezüglich C 1 -Gebiet)
Satz 6.8 (Cauchy Integralsatz auf Gebieten)
4
(ν ∈ Z),
Satz 6.9 (Residuensatz auf Gebieten )
Definition 6.7 (meromorphe Funktion)
Satz 6.10 (Argumentprinzip)
Folgerung 6.1 (Rouché)
Beispiele zum Residuensatz:
R∞
2
• −∞ e−x dx,
• Benoullizahlen und Werte ζ(2n).
7
Der Riemannsche Abbildungssatz
Definition 7.1 (biholomorph)
Definition 7.2 (einfach zusammenhängend)
Satz 7.1 (D und C nicht biholomorph)
Satz 7.2 (Riemannscher Abbildungssatz)
Satz 7.3 (f : Ĉ → Ĉ holomorph ist rational)
Satz 7.4 (Aut(Ĉ))
Satz 7.5 (Aut(C))
Folgerung 7.1 ({Kreise, Geraden} → {Kreise, Geraden})
Satz 7.6 (Aut(D))
Folgerung 7.2 (Aut(H))
Definition 7.3 (gleichgradig stetig)
Satz 7.7 (Arzelá-Ascoli)
Satz 7.8 (Kompaktheitssatz von Montel)
Satz 7.9 (Hurwitz)
Folgerung 7.3 (Injektivität und Konvergenz)
Lemma 7.1 (Zweig von log z Und
√
z)
5