Funktionentheorie I, WS 03/04
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1 Test- und Wiederholungsfragen1 zur Vorlesung Funktionentheorie I, WS 03/04 Die Fragen sollen Ihnen die Wiederholung des Stoes erleichtern und zur Prufungsvorbereitung dienen. Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen x1 Komplexe Zahlen 1. Geben Sie einige (mindestens drei) Motive dafur an, da man den Korper R nochmal erweitert zum Korper C der komplexen Zahlen. Erlautern Sie den ublichen Existenzbeweis fur C (Zahlenpaare). 2. Durch welche Eigenschaften ist der Korper C der komplexen Zahlen (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt? 3. Wie addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert man komplexe Zahlen, wenn diese gegeben sind durch (a) Real- und Imaginarteil (cartesische Koordinaten) (b) Betrag und Argument (Polarkoordinaten). Was versteht man uberhaupt unter einem Argument einer komplexen Zahl (6= 0). Wie ist der Hauptwert des Arguments deniert? 4. Geben Sie eine geometrische Interpretation der ( C -linearen) Abbildung l : C ! C z 7 ! lz (l = a + ib 2 C fest) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von l bezuglich der Standardbasis (1; i) von C = R 1 + R i . Geben Sie eine geometrische Konstruktion von lz an. 5. Was versteht man unter der Spiegelung am Einheitskreis ? Wie bildet man zu einer komplexen Zahl z = x + iy die konjugiert komplexe Zahl z (geometrische Interpretation in der Gauschen Zahlenebene). Geben Sie eine geometrische Konstruktion fur z1 ( z 6= 0) an. 6. Der Korper C enthalt den Korper R (genauer: das zu R isomorphe Exemplar R f0g ) als Unterkorper, C ist also ein R -Vektorraum mit Basis (1; i)). Geben Sie eine von (1; i) verschiedene Basis von C (uber R ) an. Wiederholen Sie die Begrie Korper, Unterkorper. Nennen Sie einige von R und C verschiedene Korper. 1 (Die Fragen sind auf die Vorlesung Funktionentheorie I (R.Busam, WS 03/04) und auf das Buch FREITAG/BUSAM: Funktionentheorie, Springer-Lehrbuch 3.Auage 2000 abgestimmt) Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen 2 7. Begrunden Sie, warum die Abbildung : C ! C z = x + iy 7 ! z := x iy ein involutorischer Automorphismus ist (involutorisch heit 2 = idC ), und warum es auer und der Identitat idC keine weiteren Automor- phismen von C gibt, die die reellen Zahlen elementweise fest lassen. U brigens: Welche Automorphismen besitzt der Korper R der reellen Zahlen? 8. Sei a b 22 C := b a ; a; b 2 R R : Begrunden Sie, warum C mit der ublichen Addition und Multiplikation von 2 2-Matrizen ein Korper ist, der zum Korper C der komplexen Zahlen isomorph ist. (Das ist ein weiterer Existenzbeweis fur C !) Kennen Sie noch einen anderen Existenzbeweis (Tip: Restklassenring, C ' R[X ](X 2 + 1)))? 9. Begrunden Sie aus den Axiomen der Anordnung, da sich der Korper C nicht anordnen lat (Tip: i2 = 1). p 10. Begrunden Sie die Formeln (dabei sei fur z = x +iy 2 C , jz j := x2 + y2 ) j z w j = jz j j w j j jz + w j jz j + jw j jz wj jjz j jwjj Zeigen Sie, da durch hz; wi := Re(z w) das Standardskalarprodukt im C = R2 deniert wird, und da fur alle z; w 2 C gilt: hz; wi2 + hiz; wi2 = jz j2 jwj2 und folgern Sie hieraus die Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung im R2 = C : (CSU) : jhz; wij jz j jwj 11. Was versteht man unter einer n -ten Einheitswurzel? Begrunden Sie, warum es stets eine n -te Einheitswurzel (man sagt: primitive ) gibt, so da sich alle weiteren n -ten Einheitswurzeln als Potenzen dieser festen Einheitswurzel darstellen lassen. Geben Sie eine explizite Darstellung fur die achten Einheitswurzeln. Wieviele primitive achte Einheitswurzeln gibt es? 12. Warum heit die Gleichung z n = 1 (n 2 N) Kreisteilungsgleichung ? 13. Was ist eine Fermatsche Primzahl? Geben Sie Beispiele! Welche Fermatsche Primzahlen kennen Sie? Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen 3 14. Wann ist das regelmaige n -Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar? (Satz von C.F. Gau) 15. Versuchen Sie die Konstruktion des regelmaigen 5-Ecks mit Zirkel und Lineal. Tip: Radius im Verhaltnis des sog. Goldenen Schnitts teilen. 16. Sei a := r(cos ' + i sin '), r > 0, ' 2 R und n 2 N . Bestimmen Sie alle z 2 C mit z n = a . Tip: Ansatz z = %(cos + i sin ), vgl. Frage 11 x2 Konvergente Folgen und Reihen Durch die Identizierung C = R2 ( z = x + iy = (x; y)) lassen sich alle topologischen Begrie von R2 auf C ubertragen. Dabei betrachtet man in R2 die naturliche Topologie, die etwa durch die euklidische Metrik d(z; w) := p (x u)2 + (y w)2 = jz wj , z = x + iy , w = u + iv deniert wird. 1. Weisen Sie direkt nach, da (C; d) mit d(z; w) := jz wj , (z; w 2 C) ein metrischer Raum ist. 2. Begrunden Sie, warum fur eine Folge (zn ) von komplexen Zahlen gilt: (zn ) konvergiert genau dann, wenn (Re(zn )) und (Im(zn )) konvergieren, und warum im Falle der Konvergenz gilt nlim !1 zn = nlim !1 Re(zn ) + i nlim !1 Im(zn ) 3. Was ist ein vollstandiger metrischer Raum? Warum ist (C; d) vollstandig? 4. Begrunden Sie die Formel ( z 2 C , n 2 N0 ) (1 z )(1 + z + + z n) = 1 z n+1: 1 P 5. Zeigen Sie: Die geometrische Reihe z ist genau dann konvergent, =0 wenn jz j < 1 gilt, und dann ist 1 X z = 1 1 z : =0 6. Formulieren Sie das Quotientenkriterium und das Wurzelkriterium. 7. Begrunden Sie, warum die Reihen 1 z X =0 ! ; 1 X 2 ( 1) (2z )! ; =0 1 X 2 +1 ( 1) (2z + 1)! =0 fur alle z 2 C absolut konvergieren. 8. Wie werden exp, cos, sin, sinh, cosh im Komplexen deniert? Welche Nullstellen haben cos und sin im Komplexen? Warum sind cos und sin im Komplexen nicht beschrankt? Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen 4 9. Beweisen Sie die Eulerschen Formeln exp(iz ) = cos z + i sin z (z 2 C). Ist cos z der Realteil von exp(iz ) (z 2 C)? 10. Drucken Sie cos und sin mit Hilfe von exp aus. 11. Zeigen Sie: exp(z ) = 1 , z = 2ik , k 2 Z , also Kern(exp) = 2iZ . Begrunden Sie, warum exp : (C; +) ! (C ; ) ein Homomorphismus der additiven Gruppe (C; +) auf die multiplikative Gruppe (C; ) ist. 12. Zeigen Sie: 1 R ! S t 7 ! exp(it) ist ein Homomorphismus der additiven Gruppe (R; +) auf die multiplikative Gruppe S 1 := f z 2 C; jz j = 1 g . 13. Was versteht man unter einem Logarithmus einer komplexen Zahl z 6= 0? Warum gibt es zu z 2 C unendlich viele Logarithmen? 14. Zeigen Sie, da exp den Horizontalstreifen S := f w 2 C; 1 < Re w; < Im w g bijektiv auf die punktierte Ebene C abbildet. Jeder Punkt z 2 C hat also in S genau ein Urbild. Die Gleichung exp(w) = z hat also bei gegebenem z 2 C genau eine Losung w 2 S . Bezeichnung: w = Log z (Hauptwert des Logarithmus ) 15. Zeigen Sie: Fur z 2 C gilt Log z = log jz j + i Arg(z ); 16. 17. 18. 19. dabei ist Arg(z ) der Hauptwert des Arguments von z ( < Arg(z ) ). Fur einen beliebigen Logarithmus von z gilt log z = Log z + 2ik , k 2 Z . Geben Sie alle (komplexen) Logarithmen von 2 und i an. Begrunden Sie die Gleichungen sin(C) = C und cos(C) = C , d.h. sin und cos nehmen jeden Wert c 2 C (sogar abzahlbar unendlich oft) an (im Gegensatz zu exp: exp(C) = C = C f0g ). Sei a 2 C , b 2 C . Was versteht man unter einer b -ten Potenz von a ? Bestimmen Sie fi ig , insbesondere den Hauptwert. Welche Potenzgesetze gelten auch im Komplexen? Geben Sie ein Paar (a; b) 2 C C an, fur das Log(ab) 6= Log a + Log b gilt. Zeigen Sie ferner an einem Beispiel, da die Potenzregel (zw) = z w , z; w 2 C , 2 C i.a. nicht gilt. Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen x3 5 Stetigkeit, Kompaktheit 1. Wiederholen Sie den A quivalenzbeweis fur die Folgen-Stetigkeit und die " - -Stetigkeit. 2. Wie lat sich die Stetigkeit an einer festen Stelle a noch anders charakterisieren? (Tip: Urbilder von Umgebungen) Wie lat sich die (globale) Stetigkeit mittels oener Mengen charakterisieren? 3. Sei ; 6= D C und sei C(D) := f f : D ! C; f stetig g . Zeigen Sie: (i) f; g 2 C(D) =) f g 2 C(D); f g 2 C(D) (ii) f 2 C(D) (iii) f (z ) 6= 0 fur alle z 2 D =) f1 2 C(D) 4. Zeigen Sie: f : D ! C stetig () Re(f ) : D ! R stetig und Im(f ) : D ! R stetig 5. Was ist eine oene Menge in einem metrischen Raum (X; d)? 6. Begrunden Sie, warum die " -Umgebung U" (a) := f x 2 X ; d(x; a) < " g in einem metrischen Raum eine oene Menge ist. 7. Weisen Sie die Grundeigenschaften oener Mengen in einem metrischen Raum (X; d) nach: Fur T := f O X ; O oen g gilt: (T0) ;; X 2 T (T1) O 2 T; 2 =) [O 2 T (T0) O1 ; O2 2 T =) O1 \ O2 2 T 8. Was ist eine abgeschlossene Menge in einem metrischen Raum. 9. Formulieren Sie in Analogie zu Frage 7 die Grundeigenschaften abgeschlossener Mengen. 10. Zeige Sie, da fur einen metrischen Raum (X; d) folgende Eigenschaften einer Teilmenge A X aquivalent sind: (i) A ist abgeschlossen, d.h. X A ist oen. (ii) Ist (pn ) eine Folge mit pn 2 A und nlim !1 pn = p 2 X =) p 2 A (iii) A enthalt alle seine Haufungspunkte. Dabei heit x 2 X Haufungspunkt von A , wenn in jeder " -Umgebung U" (x) ein von x verschiedener Punkt von A liegt, d.h. (U" (x) fxg) \ A 6= ; fur jedes " > 0. 11. Was besagt der Satz von Heine-Borel, was der Satz von Bolzano Weierstra im Rp ? 12. Begrunden und prazisieren Sie folgende Aussage: Stetige Bilder kompakter Mengen sind kompakt. Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen 6 13. Begrunden Sie, warum Arg : C ! R in keinem Punkt der negativen rellen Achse stetig ist. 14. Warum ist Arg im Komplement der negativen reellen Achse stetig? 15. Gibt es einen Zusammenhang von Arg mit der Funktion arctan bzw. arccos? Wenn ja, geben Sie solche Zusammenhange an. x4 Komplexe Ableitungen 1. Sei D C . Was bedeutet die Aussage: Eine Funktion f : D ! C hat bei Annaherung an den Punkt a 2 C den Grenzwert l 2 C ? Unter welchen Voraussetzungen ist l eindeutig bestimmt? 2. Geben Sie aquivalente Formulierungen fur die Aussage: Eine Funktion f : D ! C ist in a 2 D komplex dierenzierbar. Wie lautet die Denition von Caratheodory fur die komplexe Dierenzierbarkeit? 3. Warum sind (komplex) dierenzierbare Funktionen stetig? 4. Beweisen Sie die Permanenzeigenschaften fur die Dierenzierbarkeit (vgl. 4:3 Satz). 5. Beweisen Sie die Kettenregel moglichst einfach (vgl. 4.4 Satz). 6. Beweisen Sie die Variante der Kettenregel (Aufgabe 5 in I.4). 7. Geben Sie Beispiele fur komplex dierenzierbare Funktionen. 8. Begrunden Sie, warum f : C ! C , z 7! i Im z an keiner Stelle a 2 C komplex dierenzierbar ist. 9. Wann heit eine Funktion f : D ! C ( D C ) analytisch (holomorph)? Ist f : C ! C mit f (z ) := zz analytisch? 10. Sei ; 6= D C oen und O(D) = f f : D ! C; f analytisch g . Begrunden Sie, warum O(D) eine Algebra von Funktionen ist. Welche Stabilitatseigenschaften hat O(D) gegenuber C(D) nicht mehr? 1 P 11. Sei a z ( a 2 C fur 2 N0 ) eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 0 0 < R 1 und D := UR (0). Begrunden Sie, warum P: D ! CP 1 z 7 ! P (z ) := a z 0 in D analytisch ist, und warum man die Ableitung durch gliedweise Differentiation erhalt: () 1 X 0 P (z ) = a z 1 1 12. Begrunden Sie mit () die Ableitungsformeln exp0 = exp, cos0 = sin, sin0 = cos, cosh0 = sinh, sinh0 = cosh. Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen 7 13. Geben Sie eine Liste von analytischen Funktionen, die Ihnen bekannt sind. Geben Sie den jeweiligen Denitionsbereich, den Wertebereich, die Nullstellen(menge), Perioden, Additionstheoreme (bzw. Funktionalgleichungen). Geben Sie alternative Denitionen, falls moglich. x5 Cauchy-Riemannsche Dierentialgleichungen 1. Sei D Rp oen, f : D ! Rp eine Funktion. Wiederholen Sie die Begrie partielle Dierenzierbarkeit, totale Dierenzierbarkeit, Jacobi-Matrix (Funktionalmatrix), Jacobi-Determinante (Funktionaldeterminante). 2. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der komplexen Dierenzierbarkeit einer Funktion f : D ! C an der Stelle a 2 D ( D C = R2 oen) und der totalen Dierenzierbarkeit von f = (u; v) : D ! R2 ? (vgl. 5.1 Bemerkung) 3. Wie lauten die Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen? (5.3 Satz) 4. Wie lassen sie sich mit dem Dierentialoperator @ (Wirtinger-Operator) formulieren? ( @f (a) = 0 , @1 f (a) = i@2 f (a)) Was halten Sie von der \Physiker-Sprechweise": Die analytischen Funktionen sind genau die jenigen Funktionen von z , die nicht von z abhangen. 5. Geben Sie zwei verschiedene Beweise dafur, da eine in a 2 D komplex dierenzierbare Funktion f : D ! C in a die C-R-Dierentialgleichungen erfullt. 6. Wie lassen sich lokal-konstante Funktionen in einer oenen Menge D C charakterisieren? 7. Begrunden Sie, warum unter den folgenden Bedingungen fur eine analytische Funktion f : D ! C ( D C oen) gilt f ist lokal konstant (also konstant, falls D ein Gebiet), falls (a) f 0(z ) = 0 fur alle z 2 D oder (b) Re f = const oder (c) Im f = const oder (e) jf j = const ist. Was ist ein Gebiet? Nennen Sie mindestens funf Beispiele fur Gebiete. 8. Begrunden Sie, warum fur eine analytische Funktion f : C ! C mit f 0 = f und f (0) = 1 notwendig gilt f = exp. 9. Leiten Sie die Funktionalgleichung von exp mittels der Dierentialgleichung ab. 10. Was sagt der Satz uber implizite Funktionen (Umkehrsatz) aus? 11. Wenden Sie den Satz uber implizite Funktionen an, um zu zeigen, da Log : C := C f t 2 R; t 0 g ! C z 7 ! Log z := log jz j + i Arg z Kap. I Dierentialrechnung im Komplexen 8 analytisch ist, und da fur z 2 C gilt () Log0 (z ) = z1 : 12. Schreiben Sie die C-R-Dierentialgleichungen auf Polarkoordinaten um, und geben Sie einen weiteren Beweis fur 11 (). 13. Was ist eine harmonische Funktion (oder Potentialfunktion) in einer oenen Menge D R2 = C ? Wie lautet der Laplace-Operator in cartesischen Koordinaten? 14. Begrunden Sie, warum u = Re f und v = Im f ( f : D ! C analytisch) stets harmonische Funktionen sind. 15. Gibt es zu jeder harmonischen Funktion u : D ! R ( D R2 = C oen) stets eine konjugiert harmonische Funktion, d.h. eine harmonische Funktion v : D ! R , so da f := u + iv : D ! C analytisch ist? Gegenbeispiel? Unter welchen hinreichenden Bedingungen an D ist dies stets der Fall? 16. Geben Sie mindestens zwei Konstruktionsverfahren fur die konjugiert harmonische Funktion an. Welche analytische Funktion hat x + y zum Realteil? 17. Ist v konjugiert harmonisch zu u , ist dann auch u konjugiert harmonisch zu v ? 18. Wie lautet der Laplace-Operator in Polarkoordinaten? Welche p harmonischen Funktionen u : R2 f(0; 0g hangen nur vom Abstand r = x2 + y2 vom Nullpunkt ab? x6 Elementares uber konforme Abbildungen 1. Wann heit eine Abbildung f : D ! D0 ( D; D0 C oen) im Kleinen konform ? Wann heit f im Groen konform? Welcher Zusammenhang besteht zwischen den konformen Abbildungen und analytischen Funktionen? 2. Begrunden Sie, warum konforme Abbildungen winkel- und orientierungstreu sind. Inwieweit gilt hiervon die Umkehrung? 3. Sei f : D ! C , z 7! z 2 . Weisen Sie nach, da sich die Niveaulinien von u = Re f bzw. v = Im f i.a. orthogonal schneiden. Welche Ausnahme gibt es? 4. Man zeige: Sind D; D0 C oen, ' : D ! D0 (im Groen) konform, dann gibt es eine Bijektion zwischen den harmonischen Funktionen auf D bzw. D0 . 5. Was versteht man unter dem Dirichletschen Randwertproblem fur die Einheitskreisscheibe E ? Kap. II Integralrechnung im Komplexen 9 Kap. II Integralrechnung im Komplexen x7 Komplexe Kurvenintegrale 1. Was versteht man unter einer Kurve in einer (oenen) Menge D C ? Wann heit eine Kurve geschlossen, glatt, stuckweise glatt ? Was versteht man unter der Spur oder dem Bild einer Kurve ? Geben Sie Beispiele fur Kurven! 2. Erlautern Sie den Unterschied zwischen einer Kurve und einer glatten Kurve und den Unterschied zwischen und Bild . 3. Wie ist die Zusammensetzung 1 2 von zwei Kurven 1 und 2 deniert? Wie ist die zu einer Kurve inverse (reziproke) Kurve deniert? 4. Beweisen Sie die in der Vorlesung angegebenen 5 Rechenregeln fur das Integral einer Regelfunktion f : [a; b] ! C . R 5. Geben Sie eine Denition fur f . Prazisieren Sie die Voraussetzungen ( f stetig, glatt). Wie lautet die Denition fur stuckweise glatte Kurven? Begrunden Sie, warum die Denition des Kurvenintegrals fur stuckweise glatte Kurven von der Zerlegung des Parameterintervalls unabhangig ist. 6. Beweisen Sie die in Bemerkung 1:5 zusammengestellten Eigenschaften des Kurvenintegrals. R 7. Berechnen Sie die Kurvenintegrale f fur f (z ) = jz j vom Punkt i zum Punkt +i, wenn (a) die Verbindungsstrecke von i nach +i ist, (b) der rechte Halbkreisbogen der Einheitskreislinie S 1 ist. Warum ergibt sich jeweils ein unterschiedliches Ergebnis? 8. Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f : D ! C ( D C oen), dann gilt fur jede (stuckweise glatte) Kurve : [a; b] ! D Z f = F ((b)) F ((a)): Begrundung! Zeigen Sie, da nicht jede stetige Funktion f : D ! C ( D C oen) eine Stammfunktion besitzt. 9. Ist D C ein Gebiet und F0 eine Stammfunktion der stetigen Funktion f : D ! C , was lat sich dann uber die Menge aller Stammfunktionen von f aussagen? Kap. II Integralrechnung im Komplexen x8 10 Cauchyscher Integralsatz 1. Begrunden Sie die A quivalenz der in der Vorlesung verwendeten Denitionen fur zusammenhangend ! 2. Wann wird man eine stetige Funktion f : D ! C kurvenunabhangig integrierbar nennen? Welcher Zusammenhang besteht mit der Integration langs geschlossener Kurven? Welcher Zusammenhang besteht zwischen der kurvenunabhangigen Integrierbarkeit und der Existenz einer Stammfunktion einer stetigen Funktion f : D ! C ? (vgl. Satz 2:4) 3. Wann heit eine oene Menge D C sternformig in Bezug auf z0 2 D ? Was versteht man unter einem Sterngebiet D C ? Geben Sie Beispiele fur Sterngebiete an. 4. Sei D C ein Sterngebiet bezuglich z0 2 D . Zeigen Sie, da fur eine stetige Funktion f : D ! C folgende Eigenschaften aquivalent sind: (a) f besitzt eine Stammfunktion (b) Fur jeden Dreiecksweg = hz0 ; z1; z2 i in D , fur den die von Rz0 ; z1 ; z2 aufgespannte Dreiecksache ganz in D enthalten ist, gilt f = 0. 5. Formulieren Sie das Fundamentallemma der Funktionentheorie (Cauchyscher Integralsatz fur Dreieckswege (vgl. 2.5)) und skizzieren Sie den Beweis. 6. Begrunden Sie, warum jede in einem Sterngebiet D C analytische Funktion eine Stammfunktion besitzt. 7. Wie lautet der Cauchysche Integralsatz fur Sterngebiete ? 2 Varianten! Wie lautet die verscharfte Version des Cauchyschen Integralsatzes fur Sterngebiete? 8. Was ist ein Elementargebiet ? Nennen Sie zwei Methoden zur Konstruktion von Elementargebieten, und geben Sie Beispiele fur Elementargebiet an, die keine Sterngebiete sind. 9. Warum besitzt eine nullstellenfreie analytische Funktion in einem Elestets einen analytischen Logarithmus und eine analytische pmentargebiet n -Wurzelfunktion f ur jedes n 2 N ( n 2)? 10. Wie ist der Hauptzweig der Quadratwurzel deniert? Was ist seine Ableitung? 11. Die geschlitzte Ebene C wird durch den Hauptzweig der n -ten Wurzel ( n 2) auf ein Gebiet D abgebildet. Geben Sie D explizit an. x9 Die Cauchysche Integralformel 1. Die Cauchysche Integralformel (fur Kreisscheiben) besagt Z f (z ) = 21i f ( )z d: Kap. III Potenzreihen, Laurent-Reihen 11 Erlautern Sie die genauen Voraussetzungen fur die Gultigkeit der Formel. 2. Beweisen Sie mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel den folgenden Identitatssatz : Ist D C ein Gebiet, U r (z0 ) D , die durch (t) = z0 + r exp(2it), t 2 [0; 1] deniert Kurve in D und sind f1 ; f2 : D ! C analytische Funktionen mit f1 j Bild = f2 j Bild , dann gilt f1 j U r (z0 ) = f2 j U r (z0 ): 3. Beweisen Sie Hilfssatz 3.1 der Vorlesung. Wie lautet die Cauchysche Integralformel im einfachsten Fall? (3.2 Satz) 4. Wie lauten die Cauchyschen Integralformeln fur die hoheren Ableitungen? Warum ist eine in einem Gebiet D C analytische Funktion beliebig oft (stetig) dierenzierbar, und warum sind alle f (n) wieder analytisch? 5. Was besagt der Satz von Morera ? Geben Sie Beispiele an, wo er zum Nachweis der Analyzitat verwendet wird? 6. Was besagt der Riemannsche Hebbarkeitssatz ? 7. Wie lauten die Cauchyschen Abschatzungsformeln ? Was versteht man unter einer ganzen Funktion? Welche Typen von ganzen Funktionen sind Ihnen bekannt? 8. Was besagt der Satz von Liouville ? (vgl. 3.7) Beweisen Sie mit seiner Hilfe den sog. Fundamentalsatz der Algebra. (vgl. 3.8) 9. Wie lassen sich die ganz-rationalen Funktionen (=Polynome) durch ihr Wachstumsverhalten charakterisieren? 10. Seien 1 ; : : : ; n die Nullstellen eines Polynoms P . Was kann man uber die Nullstellen von P 0 aussagen? (Gau-Lucas) Kap. III Gleichmaige Approximation, Potenzreihen, Laurent-Reihen, Residuensatz x10 Gleichm aige Approximation 1. Beweisen Sie 1:1 Bemerkung und Satz 1:2 uber die Vertauschbarkeit von Integration und Grenzwertbildung bei lokal gleichmaiger Konvergenz. 2. Beweisen Sie 1:3 Theorem. (Weierstrascher Konvergenzsatz) 3. Wann heit eine Funktionenreihe normal konvergent ? Nennen Sie Beispiele. 4. Wie lautet der Weierstrasche Konvergenzsatz fur Funktionenreihen? Kap. III Potenzreihen, Laurent-Reihen x11 12 Potenzreihen 1. Geben Sie verschiedene Charakterisierungen fur den Konvergenzradius r einer Potenzreihe an. Begrunden Sie, warum Potenzreihen im Inneren ihrer Konvergenzkreisscheibe normal konvergieren und man daher die Ableitung durch gliedweise Dierentiation der Reihe erhalt! 2. Skizzieren Sie den Beweis von Theorem 2.2 (Potenzreihen-Entwicklungssatz). Geben Sie eine Beispiel, wo der Konvergenzradius der Taylorreihe um a echt groer ist als der Abstand von a zum Rand D . 3. Begrunden Sie, warum fur eine oene Menge D C die in D lokal in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen mit den in D analytischen Funktionen ubereinstimmen. 4. Geben Sie vier zum Begri analytisch aquivalente Begrie an. 5. Wie lautet der Identitatssatz fur Potenzreihen? 6. Begrunden Sie die ublichen Rechenregeln (1) bis (7) fur Potenzreihen. 7. Wie sind die Bernoullischen Zahlen deniert? 8. Wie wurden Sie den Konvergenzradius der Taylorreihe von z 7! exp(zz) 1 bzw. z 7! (zsini)z2 zum Entwicklungspunkt Null bestimmen? 9. Nennen Sie verschiedene Methoden zur Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe (mindestens 4). x12 Einige Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen 1. Was besagt der Identitatssatz fur analytische Funktionen? Geben Sie Beispiele an. Was ist eine diskrete Teilmenge M D ( D oen in C )? Ist S = f n1 g n 2 N diskret in C bzw. C ? 2. Erlautern Sie, inwiefern zwischen den Funktionswerten einer analytischen Funktion eine "ziemliche Solidaritat\ besteht. Welcher Unterschied besteht zu den C1 -Funktionen in R ? 3. Was besagt das Permanenzprinzip fur analytische Identitaten ? Erlautern Sie es am Beispiel exp(z + w) = exp(z ) exp(w). 4. Was besagt das Prinzip der analytischen Fortsetzung ? Erlautern Sie, warum die Funktion exp : C ! C z 7 ! 1 z P =0 ! die einzige analytische Fortsetzung der reellen exp-Funktion ins Komplexe ist. 5. Begrunden Sie, warum genau die in einem Intervall M R reell-analytischen Funktionen eine analytische Fortsetzung haben. Kap. III Potenzreihen, Laurent-Reihen 13 6. Begrunden Sie, warum der Ring O(D) der in einem Gebiet D C analytischen Funktion nullteilerfrei ist (Integritatsring). 7. Was besagt der Satz von der Gebietstreue ? Warum werden durch nichtkonstante analytische Funktionen oene Abbildungen vermittelt? Geben Sie eine Beweisskizze. 8. Wie lautet das Maximumsprinzip ? (2 Varianten) 9. Beweisen SIe den Fundamentalsatz der Algebra, indem Sie das Minimumsprinzip auf p anwenden, p nicht-konstant, ganz-rational. 10. Was besagt der Satz uber die lokale Normalform einer analytischen Funktion? 11. Beweisen Sie den Fundamentalsatz der Algebra mittels des Satzes von der Gebietstreue. 12. Was besagt das Schwarzsche Lemma? (II. 3:7) 13. Wie lassen sich mit Hilfe des Schwarzschen Lemmas alle konformen Selbstabbildungen (Automorphismen) von E bestimmen? Unser Buch in der 1. Auage beim Beweis von 3:10 Theorem einen Druckfehler. Es mu richtig heien (in der 2. Auage ist dies korrigiert): Zum Beweis sei a := ' 1 (0). Die Abbildung ' 'a ist eine konforme Selbstabbildung des Einheitskreises, welche den Nullpunkt festlat, also eine Drehung. 2. x13 Singularitaten analytischer Funktionen 1. Was versteht man unter einer (isolierten) Singularitat einer analytischen Funktion? 2. Besitzt der Hauptwert des Logarithmus in den Punkten der negativen reellen Achse isolierte Singularitaten? 3. Was ist eine hebbare Singularitat? Was ist ein Pol? Was ist eine Polstelle? Geben Sie Beispiele. 4. Wann heit eine Singularitat auerwesentlich bzw. wesentlich? Geben Sie Beispiele! 5. Wie lautet der Riemannsche Hebbarkeitssatz bzw. der Riemannsche Fortsetzbarkeitssatz ? Konnen Sie ihn beweisen? 6. Denieren Sie ord(f ; a). Was bedeutet ord(f ; a) = 0, ord(f ; a) > 0, ord(f ; a) < 0? Welcher Zusammenhang besteht mit der Polordnung? 7. Wie lassen sich (isolierte) Singularitaten durch das Abbildungsverhalten der betr. Funktion in einer Umgebung der Singularitat klassizieren? (vgl. Theorem 4.10) Kap. III Potenzreihen, Laurent-Reihen 14 8. Sagt der Satz von Casorati-Weierstra aus, da eine analytische Funktion f in einer geeigneten punktierten Umgebung der Singularitat a jeden Wert annimmt? Was ist also die Aussage des Satzes von Casorati-Weierstra ? 9. Was sagt der groe Satz von Picard aus? Demonstrieren Sie ihn an den Beispielen f : C ! C , z 7! exp( z1 ) und g : C ! C , z 7! exp( 1z ) + exp( 1z ). Im ersten Fall gilt sogar f (C ) = C , im zweiten Fall g(C ) = C. x14 Laurentzerlegung. Anhang zu x4,x5. Der Begri der meromorphen Funktion 1. Denieren Sie den Begri eines Ringgebietes, geben Sie auch die Entartungsfalle an. Ist C = C f0g ein Ringgebiet? 2. Wie lassen sich analytische Funktionen in Ringgebieten konstruieren? 3. Wie lautet der Cauchysche Integralsatz fur Ringgebiete ? Geben Sie eine Beweisskizze. 4. Wie lautet die Cauchysche Integralformel fur Ringgebiete ? 5. Was besagt der Satz uber die Laurentzerlegung (Laurenttrennung) einer analytischen Funktion in einem Ringgebiet? (5.1 Theorem) 6. Was beinhaltet der Laurentreihenentwicklungssatz? Worauf bezieht sich die Eindeutigkeitsaussage? Worin besteht der Unterschied zum Potenzreihenentwicklungssatz? (5:2) 7. Geben Sie einen Beweis fur den Riemannschen Hebbarkeitssatz mit Hilfe der Laurentreihe. 8. Wie lassen sich die (isolierten) Singularitaten einer analytischen Funktion f klassizieren, wenn man die Laurentreihe von f in U" (a) kennt? (5:3) 9. Was versteht man unter einer meromorphen Funktion in einem Gebiet D C ? Warum bildet die Menge M(D) der in D meromorphen Funktion einen (Funktionen-)Korper? 10. Geben Sie Beispiele fur in C meromorphe Funktionen. 11. Wie lassen sich die ganzen Funktionen durch ihr Verhalten in 1 unterscheiden? (ganz-rational, ganz-transzendent) 12. Wie ist die Topologie von C := C [ f1g erklart, d.h. wann heit eine Teilmenge D C oen? Was ist eine Umgebung von 1 ? Warum ist C ein kompakter topologischer Raum? (vgl. auch Frage 15). 13. Was ist eine meromorphe Funktion f in D , D C , D oen in C ? Wann heit eine Funktion analytisch in D ( D C , D oen in C )? Wann ist f analytisch in 1 ? Kap. III Potenzreihen, Laurent-Reihen 15 14. Begrunden Sie, warum die meromorphen Funktionen in C genau die rationalen Funktionen sind, und warum die analytischen Funktionen in C genau aus allen konstanten Funktionen bestehen. 15. Zeigen Sie (mittels stereographischer Projektion), da C = C [ f1g homoomorph zur Riemann-Sphare S 2 := f (z; t) 2 C R ' R3 ; jz j2 + t2 = 1 g ist. 16. Wie ergibt sich aus Frage 14 der Satz uber die Partialbruchzerlegung einer rationalen Funktion? 17. Was ist eine Mobiustransformation? Warum sind Mobiustransformationen Kreisverwandschaften? 18. Begrunden Sie: Aut(C) = f z 7! az + b; a 2 C ; b 2 C g az + b ; a b 2 GL (C) g Aut(C) = M = f z 7! cz 2 +d c d x15 Anwendungen des Residuensatzes 1. Was versteht man unter dem Residuum einer analytischen Funktion f : U"(a) ! C ? Welche verschiedenen Darstellung von Res(f ; a) kennen Sie? Wie lassen sich spezielle Residuen berechnen, z.B. bei Polen erster Ordnung? Achtung: In der 1. Auage unseres Buches fehlt auf Seite 163 fehlt ein Faktor 21i bei der Denition des Residuums. 2. Was sagt der Residuensatz aus? Skizzieren Sie seinen Beweis! 3. Inwiefern verallgemeinert der Residuensatz den Cauchyschen Integralsatz? 4. Wie ist die Umlaufzahl einer geschlossenen (stuckweis glatten) Kurve deniert? Warum ist sie immer eine ganze Zahl? 5. Begrunden Sie fur mit : [0; 1] ! C t 7 ! exp(2int) n 2 Z; n 6= 0 die Formel n fur alle a 2 C mit jaj < 1 (; a) = 0 fur alle a 2 C mit jaj > 1 6. Wie sind Inneres Int und Ext einer geschlossenen Kurve deniert? 7. Was sagt das Argumentprinzip aus? Begrunden Sie die Formel 1 Z f = N (0) N (1): 2i f Prazisieren Sie die Voraussetzungen! (Nullstellen - Polstellen zahlendes Integral) Kap. III Potenzreihen, Laurent-Reihen 16 8. Was ist die Aussage des Satzes von Roche ? 9. Wie folgt aus dem Satz von Rouche oder dem Argumentprinzip der Satz von der Gebietstreue ? 10. Was ist die Aussage des Satzes von Hurwitz ? 11. Erlautern Sie die Residuenmethode zur Berechnung reeller Integrale am Beispiel Z1 1 x2 dx: 1 + x2 12. Geben Sie weitere Beispiele von Integraltypen an, die sich mit der Residuenmethode berechnen lassen. 13. Was ist falsch an folgender Argumentation: Z1 0 1 sin x dx = 1 Z sin x dx = 1 Z Z sin z dz; x 2 x 2 R z 1 R!1 wobei R der unten skizzierte Weg ist. Da z 7! sinz z an der Stelle 0 eine hebbare Singularitat hat, und ansonsten analytisch ist, ist Z sin z dz = 0 R z nach dem Cauchyschen Integralsatz, daher ist Z1 0 sin x dx = 0: x Im R R Re 14. Zeigen Sie mit Hilfe des Residuensatzes oder des Cauchyschen Integralsatzes Z1 sin x dx = : x 2 0 15. Geben Sie (als Anwendung des Residuensatzes) mindestens 3 Beweise fur den Fundamentalsatz der Algebra. Kap IV. Konstruktion analytischer Funktionen 17 16. Wie lautet die Partialbruchentwicklung von z 7! cot(z )? Wie lat sie sich mittels des Residuensatzes ableiten? 17. Stellen Sie (2k) mittels Bernoullischer Zahlen dar. (7.14 Satz) 18. Wie lassen sich Reihen mittels des Residuensatzes summieren? Kap IV. Konstruktion analytischer Funktionen x16 Die -Funktion 1. Wie lautet die Eulersche Denition fur das -Integral? Begrunden Sie die Konvergenz (Existenz)! Wie ist die Eulersche Beta-Funktion deniert? 2. Warum stellt das -Integral (z ) = Z1 tz 1 e t dt 0 3. 4. 5. 6. 7. 8. in der Halbebene f z 2 C; Re z > 0 g eine analytische Funktion, deren Ableitung man durch Dierentiation unter dem Integral berechnen darf? Beweisen Sie die Funktionalgleichung der -Funktion (z + 1) = z (z ). Folgern Sie (n + 1) = n!, n 2 N0 . Wie kann man mittels der Funktionalgleichung den Denitionsbereich der -Funktion erweitern? Was ist das maximale Gebiet D C , in das die -Funktion analytisch fortgesetzt werden kann? Typ von SinWie liegen die Singularitaten der -Funktion? Um welchen n gularitat handelt es sich? Zeigen Sie: Res( ; n) = ( n1)! , n 2 N0 Welche Eigenschaften charakterisieren die -Funktion? (Im Komplexen: Satz von Wielandt, im Reellen: Satz von Bohr-Mollerup !) Wie lautet die Gausche Produktdarstellung von ? Zeigen Sie: 1 ist eine ganze Funktion, und es gilt 1 z 1 = ez z Y z=n ; 1 + e (z ) n n=1 n P 1 dabei ist = nlim !1 =1 log n die Euler-Mascheronische Konstante. 9. Begrunden Sie den Erganzungssatz (z ) (1 z ) = sin(z ) ; z 2 C Z: 10. Wie lautet die Legendresche Relation (Verdopplungsformel)? Beweis? Kap IV. Konstruktion analytischer Funktionen 18 11. Welche Produktentwicklung ergibt sich aus dem Erganzungssatz (vgl. Frage 9) fur sin(z )? 1 Q 12. Wann heit ein Produkt (1+ an) ( an 2 C ) absolut konvergent? Geben n=1 Sie eine Motivation fur die Denition. Was versteht man unter dem Wert eines unendlichen Produkts? 1 Q Warum deniert man nicht einfach: (1 + a ) heit konvergent, wenn =1 n Q lim (1 + a ) existiert? Zeigen Sie: n!1 =1 1 Y 1 (1 + z 2 ) = 1 z ; jz j < 1 =0 13. Wie lautet die Stirlingsche Formel fur n! ? Wie lautet die Verallgemeinerung fur (z )? Was vermuten Sie fur jylim j (z )j , z = x + iy , 0 < a x b ? j!1 14. Welcher Zusammenhang besteht zwischen B (z; w) und den Werten (z ), (w) und (z + w) (Re z > 0, Re w > 0)? x17 Konstruktion von analytischen Funktionen mit vorgegebenem Nullstellen- bzw. Polstellenverhalten (Weierstrasche Produktsatz und Partialbruchsatz von Mittag-Leer) 1. Wie lautet die Problemstellung beim Weierstraschen Produktsatz? 2. Wie lauter der Weierstrasche Ansatz? 3. Was sagt der (einfache) Existenzbeweis fur die Losung einer gegebenen Nullstellenverteilung aus? Wie sieht die allgemeinste Losung aus? 4. Wie sind die Weierstraschen Elementarfaktoren Ek deniert? Warum gilt jEk (z )m 1j 4m jz jk+1 fur jz j 12 und 2m jz jk+1 1? 5. Wie kann man sie zum Existenzbeweis fur Weierstraprodukte benutzen? 6. Warum konvergiert 1 Y n=1 Ekn sz n mn normal? (Bezeichnungen wie auf Seite 211/212.) 7. Nennen Sie Beispiele zum Weierstraschen Produktsatz. Kap IV. Konstruktion analytischer Funktionen 19 8. Zeigen Sie: M(C) = Q(O(C)), d.h. der Korper der meromorphen Funktionen in C ist der Quotientenkorper des Integritatsrings der analytischen Funktionen in C , d.h. der ganzen Funktionen. 9. Von welcher Problemstellung geht man beim Satz von Mittag-Leffler aus? 10. Was sagt der Satz von Mittag-Leer aus? Wie erhalt man eine Losung der vorgegebenen Hauptteilverteilung? Wie sieht die allgemeinste Losung aus? 11. Geben Sie Beispiele zum Satz von Mittag-Leer. Betrachten Sie insbesondere nochmals cot(z ) und sin(z) . 12. Wie ist die Weierstrasche } -Funktion zu einem Gitter L C deniert? P 13. Warum ist ! 2 L j!1j3 absolut konvergent? ! 6= 0 14. Was erhalt man, wenn man den Mittag-Leerschen Satz auf eine gegebene meromorphe Funktion f0 : C ! C anwendet? x18 Der Riemannsche Abbildungssatz 1. Wann heien zwei Gebiet D; D C konform aquivalent ? 2. Warum ist jedes zu einem Elementargebiet D konform aquivalente Gebiet D ebenfalls ein Elementargebiet? 3. Was sind einige Hauptprobleme in der Theorie der konformen Abbildungen? 4. Warum sind die Elementargebiete E = f z 2 C; jz j < 1 g und C nicht konform aquivalent? 5. Was sagt der kleine Riemannsche Abbildungssatz? 6. Konnen Sie C konform auf E abbilden? Geben Sie eine konforme Abbildung von E auf H an. 7. Was sagt der Poincare-sche Eindeutigkeitssatz aus? 8. Kann es eine konforme Abbildung ' : f z 2 C; jz j > 1 g auf C = C f0g geben? 9. Wann heit ein Gebiet n -fach zusammenhangend? - Anhang: Varianten uber CI und den Residuensatz 20 Anhang: Varianten uber den Cauchyschen Integralsatz und den Residuensatz x19 Die Homotopieversion des Cauchyschen Integralsatzes R 1. Wie wird der Begri des Kurvenintegrals f ( stuckweise glatt, f ana lytisch) auf Kurven verallgemeinert, von denen man nur die Stetigkeit fordert? 2. Skizzieren Sie den Beweis von A 2 Satz. 3. Wann heien zwei Kurven (mit festen Enden) homotop in D ? R R 4. Begrunden Sie f = f , falls und homotop in D sind, und f 2 R O(D) ist. Folgern Sie f = 0, falls nullhomotop in D ist, und f 5. 6. 7. 8. 9. 2 O(D) ist. Wann heit ein Gebiet D C homotop einfach zusammenhangend? Welcher Zusammenhang besteht mit der Fundamentalgruppe? Wie ist diese deniert? Begrunden Sie, warum der Begri "homotop einfach zusammenhangend\ invariant gegenuber topologischen Abbildungen ist. Begrunden Sie: Fur ein Gebiet D C sind aquivalent: (a) D ist Elementargebiet. (b) D ist homotop einfach zusammenhangend. Begrunden Sie, warum je zwei homotop einfach zusammenhangende Gebiete der Ebene topologisch aquivalent, d.h. homoomorph sind. Begrunden Sie, warum jede geschlossene Kurve : [0; 1] ! C mit (0) = (1) zu einer k -fach durchlaufenen Kreislinie homotop ist, und folgern Sie hieraus, da die Umlaufszahl ( a 2= Bild ) Z (; a) = 21i z 1 a dz einer geschlossenen Kurve stets eine ganze Zahl ist. x20 Die Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes 1. Wann heit ein geschlossener Weg nullhomolog in D ? 2. Warum ist ein nullhomotoper Weg auch nullhomolog? Gilt hiervon i.a. die Umkehrung? Anhang: Varianten uber CI und den Residuensatz 3. 4. 5. 6. x21 21 Wie lautet die Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes ? Was ist ein homolog einfach zusammenhangendes Gebiet ? Warum sind Elementargebiet homolog einfach zusammenhangend? Begrunden Sie: Zwei geschlossene Kurven und in C mit (0) = (0) = 1 = (1) = (1) sind genau dann homotop in C , wenn (; 0) = ( ; 0) gilt, d.h. wenn sie homolog in C sind. Charakterisierung von Elementargebieten 1. Zeigen Sie, da fur ein Gebiet ; 6= D C folgende Eigenschaften aquivalent sind: (a) D ist Elementargebiet. (b) D ist homotop einfach zusammenhangend. (c) D ist homolog einfach zusammenhangend. (d) D ist homoomorph zur Einheitskreisscheibe E . 2. In der Vorlesung wurde die Liste aus Frage 1 ziemlich verlangert! Nennen Sie einige weitere Eigenschaften fur ein Gebiet D C , die zu den vier Eigenschaften aus Frage 1 aquivalent sind. 3. Begrunden Sie, warum in einem Elementargebiet jede harmonische Funktion der Realteil einer analytischen Funktion ist. Begrunden Sie die Umkehrung: Ein Gebiet D , das diese Eigenschaft hat, ist notwendig ein Elementargebiet (einfach zusammenhangend)
