D.9 Der Winkel, unter dem eine Dreieckseite vom Inkreismittelpunkt

D.9
Der Winkel, unter dem eine Dreieckseite vom Inkreismittelpunkt aus gesehen wird,
ist gleich dem um 90 ◦ vermehrten halben Gegenwinkel der Seite.
D.9
Beweis: (Bild) Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt
der Winkelhalbierenden, so daß im Dreieck AIB gilt: ]IAB = 12 α
und ]IBA = 21 β. Für den betrachteten Winkel ]AIB gilt unter
Beachtung der Innenwinkelsumme in den Dreiecken AIB und ABC:
1
γ
1
]AIB = 180 ◦ − (α + β) = 180 ◦ − (180 ◦ − γ) = 90 ◦ + .
2
2
2
C
I
α /2
β/2
A
B
Die gleichen Betrachtungen lassen sich natürlich auch für die anderen Seiten anstellen, woraus
]CIA = 90 ◦ + 12 β bzw. ]BIC = 90 ◦ + 21 α folgt. ¤