1. Aufgabe a) E-Bilanz immer für ein System Kontrollvolumen eines

Wärme- und Stoffübertragung für CBI, LSE, CE, MB, ET
1. Übung, Aufgabe 1 - 5
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1. Aufgabe
a) E-Bilanz immer für ein System
Kontrollvolumen eines offenen Systems:
Enthalpie: Aussage über T
z.B. Dampf: beinhaltet auch
- Schmelzenergie
- Verdampfungsenergie
H ein + E kin,ein + E pot,ein
H aus + E kin,aus + E pot,aus
dH
dt
kinetische Energie:
Strömung: beschleunigen
verzögern
technische Arbeit:
Verschiebearbeit und
Volumenarbeit
Q 12
W t12
Wärme: aufheizen (ein)
abkühlen (aus)
Vereinbarung: zugeführte Ströme sind positiv, abgeführte negativ!
In einem Satz:
„Die zeitliche Änderung der Enthalpie in einem offenen System ist gleich der
Differenz zwischen den ein- und austretenden Strömen an Enthalpie und kinetischer
und potentieller Energie plus dem technischen Arbeitstrom, der von den am
Kontrollvolumen
angreifenden
Kräften
geleistet
wird,
sowie
dem
an
das
Kontrollvolumen übertragenen Wärmestrom.“
In Formeln:
(
) (
) (
)
dH
= H ein − H aus + E kin,ein − E kin,aus + E pot,ein − E pot,aus + Q 12 + W t12
dt
Nach dem Gesetz von der Erhaltung der Energie ist es unmöglich, dass Energie
verschwindet oder erzeugt wird. Energie kann nur aus einer Energieform in eine
andere umgewandelt werden (z.B. mechanische Arbeit Æ Wärme, Bohren von Stahl).
Was ist die Enthalpie H?
Die Enthalpie ist eine kalorische Zustandsgröße, die dann wichtig ist, wenn ein
offenes System mit der Umgebung z.B. über Arbeitsprozesse wechselwirkt. Die
Enthalpie ist definiert als H = U + pV , wobei U die innere Energie bezeichnet und pV
die „Verschiebearbeit“ darstellt, die durch das Ein- bzw. Ausströmen eines Stoffes in
das betrachtete System verrichtet wird. Bei geschlossenen Systemen findet kein
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Stofftransport über die Systemgrenze statt. Es gibt also keine Verschiebearbeit, so
dass in diesem Fall H = U gilt.
Was ist die innere Energie U?
Mit der inneren Energie bezeichnet man den Energieinhalt eines Stoffes (eines thermodynamischen Systems), der durch Energiezufuhr vergrößert und durch Energieabfuhr vermindert wird.
Vorstellung:
innere Energie := kinetische Energie der ungeordneten Bewegung von Molekülen
und Atomen (makroskopische Temperatur), und potentielle Energie der Moleküle und
Atome zueinander (makroskopische Schmelz- bzw. Verdampfungsenthalpie).
Von der Bewegungsenergie der Atome und Moleküle im System hängt die
Temperatur eines Systems ab.
innere Energie:
U [J]
spez. innere Energie:
u = U·m-1 [J·kg-1]
kalorische Zustandsgröße!
du = c v (T ,v )dT
kennzeichnet den Energieinhalt eines Systems eindeutig
Was ist die technische Arbeit Wt12?
Die technische Arbeit besteht aus der Verschiebearbeit und der Volumenänderungsarbeit (= Expansion bzw. Kompression).
b) 1. Formelmäßige Energie-Bilanz für ruhende inkompressible Körper
Bedingungen:
ruhend:
cein = caus und zein = zaus
„Körper“:
geschlossenes System, also keine Massenströme
über Systemgrenze
dH dU
=
dt
dt
geschlossenes System
⇒
Verschiebearbeit pV = 0 ⇒ H = U ⇒
keine Massenströme
⇒
U ein = U aus = E kin,ein = E kin,aus = E pot,ein = E pot,aus = 0
technische
Arbeit
(setzt
sich
zusammen
aus
Verschiebearbeit
(= 0)
Volumenänderungsarbeit (= 0, da inkompressibel))
⇒
⇒
dU = Q12 ⇒
dt
W t12 = 0
(Gegenbeispiel: Turbine, Pumpe)
Wärme zu- bzw. abführbar
U nur veränderbar über T des Kontrollvolumens
und
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b) 2. E-Bilanz für stationären Zustand und ruhende inkompressible Körper
wie b) 1. + stationären Zustand
d
=0
dt
stationär → zeitliche Änderungen sind 0:
damit gilt:
⇒
dU
=0
dt
Q 12 = 0 ⇔ − ∫ q dA = 0
A
⇒ Summe der Wärmeströme durch die Oberfläche des Kontrollvolumens = 0
b) 3. E-Bilanz für System „ebene Wand“ (ohne Umgebung!) mit Tein > Taus
Tein= konst.
Qein
Qaus
Taus= konst.
ebene Wand
Bedingungen wie bei b) 1.
ruhende Körper:
dU = Q12 = Q ein + Q aus
dt
mit
Q ein > 0
und
Q aus < 0
Die Temperaturen Tein und Taus werden konstant gehalten, deswegen folgt:
¾ kein Temperaturausgleich für t → ∞
¾ Q ein = −Q aus
⇒ stationärer Zustand
⇒
dU
=0
dt
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2. Aufgabe
Das
Fouriersche
Gesetz
der
Wärmeleitung
(WL)
ist
eine
thermische
Transportgleichung.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Einschub:
Grundlage und Teil der Gesetzmäßigkeiten beim Transport von Wärme,
Stoff und Impuls in Abhängigkeit von Stoffeigenschaften und äußeren
Einflüssen bilden die …
1)
… Bilanz-Gleichungen (Impuls, Masse, Energie):
Erfahrungssätze, unabhängig von Stoffeigenschaften
2)
… Transport-Gleichungen (Impuls, Masse, Energie):
beschreiben molekularen Transport von Impuls, Masse und Energie, sind
Stoffgleichungen, also abhängig von der Art des betrachteten Stoffes
3)
… Zustands-Gleichungen für die an der Übertragung beteiligten Stoffe:
ebenfalls Stoffgleichungen (z.B. du = cv(T, v)dT)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Satz:
Die Wärmestromdichte ist dem lokalen Temperaturgradienten proportional.
Die Proportionalitätskonstante heißt Wärmeleitfähigkeit λ und ist ein
Transportkoeffizient mit λ = f(T, p) und [λ] = W⋅m-1⋅K-1.
Fouriersches Gesetz, eindimensionale Wärmeleitung:
q dx = −λ dT
Variablentrennung:
x2
T2
x1
T1
dT
q = −λ
dx
( Q = Aq , [q ] = W ⋅ m −2 )
Integration für q, λ ≠ f (T , x ) : q ∫ dx = −λ ∫ dT
⇒ q = −
λ
x 2 − x1
(T2 − T1 )
am Beispiel zu erkennen:
x2 > x1
⇒ x2 – x1 > 0
T2 > T1
⇒ T2 – T1 > 0
⇒ insgesamt > 0
λ>0
aber: Wärmestrom verläuft in negative x-Richtung!
⇒ Das Minuszeichen besagt, dass der Wärmestrom in Richtung fallender
Temperatur positiv ist.
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3. Aufgabe
a)
Stefan-Boltzmann-Gesetz:
Für schwarze Körper (ideale Strahler):
q S = σ ST 4
mit der Strahlungskonstanten σ S = 5,6703 ⋅ 10 −8
Für graue Körper:
W
m ⋅K4
2
q S = εσ ST 4
mit ε = Emissionskoeffizient (0 ≤ ε ≤ 1; schwarze Körper: ε = 1)
b)
Der Energietransport (Wärmeübertragung) bei der Wärmeleitung erfolgt aufgrund
molekularer Wechselwirkung (Bsp.: WL durch eine Hauswand).
Der Energietransport bei der Wärmestrahlung erfolgt durch elektromagnetische
Wellen (keine Materie notwendig ⇒ auch im Vakuum); Bsp.: Sonnenstrahlung.
Beim Strahlungswärmeübergang ist der Wärmestrom nicht nur von der Temperatur-
(
)
differenz ΔT, sondern auch vom Temperaturniveau abhängig ( q S ~ T14 − T24 ).
4. Aufgabe
Ficksches Gesetz:
A = −DAB dρ A
m
dx
A = Massenstromdichte ⎡ kg ⎤
m
⎢m2 ⋅ s ⎥
⎣
⎦
⎡m2 ⎤
DAB = binärer Diffusionskoeffizien t ⎢
⎥ des Stoffes A in den Stoff B
⎣ s ⎦
⎡ kg ⎤
ρ A = Partialdichte von Stoff A ⎢ 3 ⎥
⎣m ⎦
„Die Massenstromdichte der Komponente A ist dem lokalen Konzentrations- bzw.
Dichtegradienten der Komponente A proportional.“
Das Minuszeichen besagt, dass der Massenstrom in Richtung fallender Konzentration positiv ist (siehe Beispiel, Integration analog zu Aufgabe 2):
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⇒ x2 – x1 > 0
x2 > x1
ρA2 < ρA1 ⇒ ρA2 – ρA1 < 0
⇒ insgesamt < 0
DAB > 0
aber: Massenstrom verläuft in positive x-Richtung!
⇒ Minuszeichen notwendig!
Das Ficksche Gesetz ist dem Fourierschen Gesetz der WL vollständig analog (wird
auch im „Praktikum Technische Thermodynamik“ im Hauptstudium in einem Experiment gezeigt, in dem verschiedene Transportkoeffizienten mit Laserlicht gemessen
werden).
dT
q = −λ
dx
A = −DAB dρ A
m
dx
A (Strom)
q =ˆ m
λ =ˆ DAB (Transportkoeffizien t)
ΔT =ˆ Δρ A (treibende s Potential)
5. Aufgabe
freie Konvektion:
Bei der freien oder natürlichen Konvektion wird die Strömung durch das
Temperaturfeld über Dichteunterschiede erzeugt.
Bsp.: - Außenluft am Heizkörper
- Kamineffekt
- Wasser im Heizkörper bei der Schwerkraftheizung
erzwungene Konvektion:
Bei der erzwungenen Konvektion wird die Strömung von außen durch einen
Druckgradienten, z.B. durch eine Pumpe oder ein Gebläse, erzeugt bzw. erzwungen.
Bsp.: - Wasser im Heizkörper bei Pumpenheizung