Reelle Zahlen

2
Re e l l e Z a hl en
Die reellen Zahlen bilden das Fundament der gesamten Analysis. Es ist
daher sinnvoll, sich zunächst Klarheit über dieses Fundament zu verschaﬀen.
Der konstruktive – und historisch korrekte – Zugang beginnt bei den natürlichen Zahlen und führt über die Konstruktion der ganzen und der rationalen
Zahlen zu den reellen Zahlen. Jedes Mal ist ein neues Zahlensystem auf dem
vorangehenden aufzubauen, und es sind die gewünschten Eigenschaften nachzuweisen. Man erhält so ein tief gegründetes Fundament, doch ist die sorgfältige
Ausführung langwierig, um nicht zu sagen langweilig. Auch trägt es unmittelbar
wenig zum Verständnis der eigentlichen Analysis bei.
Der axiomatische – und hier beschriebene – Zugang zu den reellen Zahlen ist direkter. Er besteht darin, eine endliche Anzahl von Postulaten – die
sogenannten Axiome – über die reellen Zahlen zu formulieren, die den Ausgangspunkt für alle weiteren Schlüsse bilden. Diese Axiome werden nicht weiter
hinterfragt. Sie mögen evident sein, wenn man sie auf eine bestimmte Vorstellung von den reellen Zahlen bezieht. Doch mathematisch gesehen ist dies
unerheblich. Diese Axiome machen keine Aussage, was die reellen Zahlen sind.
Sie legen nur fest, welche Eigenschaften sie haben. Und nur diese Eigenschaften
sind für alles Folgende relevant. 1
Das hier beschriebene Axiomensystem der reellen Zahlen ist nicht das
einzig mögliche. Doch es hat sich als tragfähig und zweckmäßig erwiesen. Alles,
was wir über die reellen Zahlen wissen müssen, lässt sich aus ihm ableiten.
Ziel dieses Kapitels ist die folgende
1
Euklid hat in seinen Axiomen der Geometrie noch versucht zu umschreiben, was man sich unter
Punkt, Gerade und Fläche vorstellen soll. Hilbert stellte dem die Auﬀassung gegenüber, dass dies
unerheblich ist. In allen geometrischen Sätzen müsse man statt Punkt, Gerade und Fläche ebensogut
Tisch, Stuhl und Krug sagen können.
J. Pöschel, Etwas Analysis, DOI 10.1007/978-3-658-05799-2_2,
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
34
2 — Re e lle Z a hl en
Charakterisierung der reellen Zahlen Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen angeordneten Körper, der mit R bezeichnet wird. Im Einzelnen geht es um folgende Eigenschaften:
(i) Die reellen Zahlen bilden einen Körper.
(ii) Dieser Körper besitzt eine Ordnungsstruktur.
(iii) Und er ist – in einem noch zu deﬁnierenden Sinn – vollständig.
Die Tatsache, dass wir mit einer einzigen Bezeichnung für diesen Körper
auskommen, impliziert noch eine vierte Eigenschaft:
(iv) Es gibt im Wesentlichen nur einen Körper mit diesen Eigenschaften.
Darum wird es in den nächsten Abschnitten gehen.
2. 1
D ie Körp era x i om e
Zunächst einmal bilden die reellen Zahlen einen Körper. Das ist eine
Menge, in der zwei Operationen erklärt sind, die üblicherweise als Addition
und Multiplikation bezeichnet werden und die den folgenden Körperaxiomen
genügen.
Körperaxiome Eine Menge K mit zwei Operationen + und · , genannt Addition und Multiplikation, heißt Körper, wenn in ihm die folgenden Axiome
gelten – die Axiome der Addition:
(a-1) Die Addition ist assoziativ und kommutativ,
(a-2) Es gibt ein Element 0 ∈ K , genannt neutrales Element der Addition, so
dass x + 0 = x für alle x ∈ K ,
(a-3) Zu jedem Element x ∈ K existiert ein Element y ∈ K , genannt das
additiv Inverse zu x , so dass x + y = 0 ,
die Axiome der Multiplikation:
(m-1) Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ,
(m-2) Es gibt ein Element 1 ∈ K verschieden von 0 , genannt neutrales Element
der Multiplikation, so dass x ·1 = x für alle x ∈ K ,
(m-3) Zu jedem Element x ∈ K verschieden von 0 existiert ein Element
y ∈ K , genannt das multiplikativ Inverse zu x , so dass x ·y = 1 ,
und das Distributivgesetz:
(d) Für alle x, y, z ∈ K gilt
x ·(y + z) = (x ·y) + (x ·z) . D ie Kö r p e r a x i o me — 2.1
35
Präziser gesagt ist ein Körper ein Tripel (K, +, · ) , bestehend aus einer
Menge K mit zwei Operationen + und · mit den oben genannten Eigenschaften. Ist aber klar, welche Operationen gemeint sind, spricht man einfach vom
Körper K .
Um Klammern zu sparen, vereinbart man, dass ›Punktoperationen‹ stärker
binden als ›Strichoperationen‹. Auch lässt man meistens den Punkt weg und
schreibt xy für x ·y . Das Distributivgesetz lautet dann beispielsweise
x(y + z) = xy + xz.
1
Beispiele für Körper
a. Der kleinste Körper ist F = {0, 1} , wenn man
1+10
deﬁniert und ansonsten wie üblich addiert und multipliziert. 2
b. Die Menge Q der rationalen Zahlen mit der üblichen Addition und
Multiplikation bildet einen Körper.
c. Dasselbe gilt für die Menge C der komplexen Zahlen.
d. Die Menge
√
√
Q( 2) a + b 2 : a, b ∈ Q
bildet einen Körper mit den Operationen
√
√
√
(a + b 2) + (c + d 2) (a + c) + (b + d) 2,
√
√
√
(a + b 2) · (c + d 2) (ac + 2bd) + (ad + bc) 2.
Das multiplikativ Inverse eines Elementes ungleich Null ist beispielsweise
√
a
b
− 2
2.
(a + b 2)−1 = 2
a − 2b2
a − 2b2
√
Der Nenner verschwindet nicht, da 2 nicht rational ist a-14 .
e. Eine rationale Funktion mit rationalen Koeﬃzienten ist gegeben durch
einen Ausdruck der Gestalt
am x m + . . + a1 x + a 0
,
bn x n + . . + b1 x + b0
m, n 0,
mit a0 , . . , am , b0 , . . , bn ∈ Q und bn ≠ 0 . Die Menge M dieser Funktionen mit
der üblichen Addition und Multiplikation bildet einen Körper. Zunächst bemerken wir, dass bereits aus den Axiomen folgt, dass die
neutralen und die inversen Elemente immer eindeutig sind. Dies muss also nicht
explizit gefordert werden.
2
Die Standardbezeichnung für diesen Körper ist F2 .
36
2
2 — Re e lle Z a hl en
Lemma In einem Körper sind die neutralen und inversen Elemente eindeutig
bestimmt. Beweis
Sei 0̃ ein weiteres neutrales Element der Addition. Dann gilt
Axiom (a-2) sowohl für 0 als auch für 0̃ . Zusammen mit Axiom (a-1) ergibt sich
hieraus
0̃ = 0̃ + 0 = 0 + 0̃ = 0,
also 0̃ = 0 . Damit ist die Eindeutigkeit des neutralen Elementes gezeigt.
Ist ỹ neben y ein weiteres additiv Inverses zu x , so folgt aus x + y = 0
und x + ỹ = 0 und der Assoziativität und Kommutativität der Addition
ỹ = ỹ + 0 = ỹ + (x + y) = y + (x + ỹ) = y + 0 = y.
Also ist ỹ = y . — Entsprechend argumentiert man für die Multiplikation.
−1
Man schreibt nun −x für das additiv Inverse zu x , und x
oder 1/x für
sein multiplikativ Inverses, falls x ≠ 0 . Ferner vereinbart man die Schreibweisen
x − y x + (−y)
und
x
x/y xy −1
y
für y ≠ 0.
Mit diesen Vereinbarungen erhalten wir die Lösungen der Gleichungen a+x = b
und ax = b in vertrauter Form.
3
Satz
In einem Körper K besitzt die Gleichung
(i) a + x = b die eindeutige Lösung x = b − a ,
(ii) ax = b für a ≠ 0 die eindeutige Lösung x = b/a . Beweis
Gilt b = a + x , so folgt nach Addition des Inversen −a von a
mit (a-1) und (a-3) und den vereinbarten Schreibweisen
b − a = b + (−a) = (a + x) + (−a)
= (a + (−a)) + x = 0 + x = x.
Entsprechend für die Multiplikation.
Rechenregeln
Die folgenden Rechenregeln sind für die reellen Zahlen wohlvertraut. Sie
folgen unmittelbar aus den Körperaxiomen. Somit gelten sie in jedem anderen
Körper ebenso.
D ie Kö r p e r a x i o me — 2.1
4
Rechenregeln
37
In einem Körper K gilt:
(i) −(−x) = x ,
(ii) (x −1 )−1 = x für x ≠ 0 ,
(iii) 0·x = 0 ,
(iv) (−1)·x = −x ,
(v) x(y − z) = xy − xz ,
(vi) xy = 0 ⇒ x = 0 ∨ y = 0 . Beweis
(i) Aus (−x) + x = x + (−x) = 0 folgt, dass x das additive
Inverse zu −x ist. Aufgrund der vereinbarten Notation ist somit x = −(−x) .
(ii) Analog zu (i).
(iii) Es ist 0 = 0 + 0 , und mit dem Distributivgesetz
0·x = (0 + 0)·x = 0·x + 0·x.
Addition des additiv Inversen von 0·x ergibt 0 = 0·x .
(iv) Mit (iii) ist
0 = 0·x = (1 + (−1))·x = 1·x + (−1)·x = x + (−1)·x.
Also ist (−1)·x das additiv Inverse zu x , was die Behauptung ist.
(v) Mit (iv) erhält man
x(y − z) = x(y + (−1)·z)
= xy + (−1)·xz
= xy + (−xz) = xy − xz.
(vi) Sei xy = 0 . Ist x = 0 , so sind wir fertig. Ist x ≠ 0 , so können wir
die Gleichung mit x −1 multiplizieren, und mit (iii) folgt y = 0 . Mit (i) und (iv) folgt übrigens die wohlbekannte Rechenregel
(−1)·(−1) = −(−1) = 1,
die hiermit auch bewiesen ist. Wir werden alle diese Regeln im Folgenden
verwenden, ohne explizit auf diesen Satz zu verweisen.
Bemerkung In einem Körper ist ein Produkt also nur 0 , wenn wenigstens
ein Faktor 0 ist. Man sagt, ein Körper ist nullteilerfrei. Bemerkung Wir haben etwas mühsam Dinge bewiesen, die wir über die
reellen Zahlen ›immer schon‹ wussten. Der Satz gilt aber in jedem beliebigen
38
2 — Re e lle Z a hl en
Körper, also auch dann, wenn dessen Elemente mit reellen Zahlen keine Ähnlichkeit haben, und die Zeichen + und · etwas völlig anderes bedeuten. Darin
liegt die Stärke der axiomatischen Methode: Gelten die Körperaxiome, so gelten
auch sofort eine Fülle weiterer Sätze, unabhängig davon, was man sich unter
dem Körper vorstellt. In jedem Körper gelten die Regeln des Bruchrechnens, wie zum Beispiel
a
c
ad + bc
+ =
,
b
d
bd
Beweis
(ab
−1
falls bd ≠ 0.
Aus den Axiomen folgt mit den vereinbarten Bezeichnungen
+ cd−1 )(bd) = ab−1 bd + cd−1 bd
= ab−1 bd + cd−1 db
= ad + bc.
Somit ist ab−1 + cd−1 = (ad + bc)(bd)−1 , und das ist die Behauptung.
2.2
Die Anord n u n g s a x i om e
Reelle Zahlen kann man nicht nur addieren und multiplizieren, man kann
sie auch hinsichtlich ihrer Größe vergleichen. Sie bilden eine total geordnete
Menge.
Deﬁnition Eine total geordnete Menge ist eine Menge M mit einer Relation,
üblicherweise mit < bezeichnet, mit folgenden Eigenschaften:
(i) Für je zwei Elemente a, b ∈ M gilt eine und nur eine der drei Aussagen
a < b,
a = b,
b<a
(Trichotomie).
(ii) Für a, b, c ∈ M gilt
a < b ∧ b < c ⇒ a < c.
(Transitivität).
Genauer ist eine total geordnete Menge ein Paar (M, <) , bestehend aus
einer Menge M und einer totalen Ordnung < auf ihr. Ist klar, welche Ordnung
gemeint sind, spricht man einfach von der total geordneten Menge M .
Bemerkung Diese Deﬁnition entspricht der Charakterisierung einer totalen Ordnung mithilfe der Relation < im Trichotomiesatz 1.13 . D ie A nor d n u n g s a x i o me — 2.2
39
Beispiel Die Mengen N , Z , Q mit dem vertrauten Größenvergleich <
sind total geordnet. Eine totale Ordnung eines Körpers ist allerdings nur interessant, wenn
sich diese auch mit den Körperoperationen verträgt. Dies wird in den folgenden
Axiomen gefordert.
Anordnungsaxiome Ein Körper K heißt angeordnet, wenn er durch eine
Relation < total geordnet wird, so dass für alle a, b, c ∈ K gilt:
(o-1) a < b ⇒ a + c < b + c ,
(o-2) 0 < a ∧ 0 < b ⇒ 0 < ab . Ein angeordneter Körper ist dann ein Quadrupel (K, +, · , <) , bestehend
aus einem Körper K mit Addition + , Multiplikation · und totaler Ordnung < .
Sind alle diese Bestandteile aus dem Kontext klar, sprechen wir einfach vom
angeordneten Körper K .
a. Der Körper Q mit der üblichen Ordnung ist angeordnet.
b. Im Körper M der rationalen Funktionen mit rationalen Koeﬃzienten 1
wird eine totale Ordnung deﬁniert, wenn man Funktionen mit an bm > 0 als
positiv deﬁniert.
c. Die komplexen Zahlen werden durch
a + bi ≺ c + di : (a < c) ∨ (a = c ∧ b < d)
total geordnet. Man nennt dies die durch < induzierte lexikographische Ordnung
auf C . Diese verträgt sich allerdings nicht mit den Körperoperationen.
d. In der Tat kann C nicht angeordnet werden. Denn es ist i ≠ 0 , aber
sowohl die Annahme i > 0 wie auch die Annahme i < 0 führen zu dem
Widerspruch −1 = i 2 > 0 a-11 .
e. Der Körper F = {0, 1} 1 kann ebenfalls nicht angeordnet werden. Denn
wäre 0 < 1 , so wäre auch
1=0+1<1+1=0
wegen (o-1), ein Widerspruch. Dasselbe passiert mit der Annahme 1 < 0 . Noch etwas Notation und Terminologie. Man erklärt
a b : a b : b < a und a B : b a . Ein Element a ∈ K heißt positiv
im Fall a > 0 , nichtnegativ im Fall a 0 , nichtpositiv im Fall a 0 , und negativ
im Fall a < 0 . Dies dürfte nicht weiter überraschen.
40
2 — Re e lle Z a hl en
Rechenregeln
Es folgen einige Rechenregeln für Ungleichungen in angeordneten Körpern,
die für die reellen Zahlen ebenfalls wohlvertraut sind.
5
Rechenregeln
In einem angeordneten Körper K gilt:
(i) a > b a − b > 0 −a < −b ,
(ii) a > b ∧ c > 0 ⇒ ac > bc ,
(iii) a > b ∧ c < 0 ⇒ ac < bc ,
(iv) a ≠ 0 ⇒ a2 aa > 0 ,
(v) 1 > 0 ,
(vi) a > 0 ⇒ a−1 > 0 . Beweis
(i)
Addition von −b mit (o-1) ergibt
a > b ⇒ a − b > b − b = 0.
Addition von −a mit (o-1) ergibt dann
a − b > 0 ⇒ −b > −a.
Die umgekehrten Implikationen erhält man analog.
(ii) Mit (i) ist a − b > 0 . Mit c > 0 und (o-2) folgt
(a − b)c = ac − bc > 0
und damit ac > bc .
(iii) Mit c < 0 ist −c > 0 wegen (i) und somit −ac > −bc mit (ii).
Nochmalige Anwendung von (i) liefert die Behauptung.
(iv) Ist a ≠ 0 , so ist entweder a > 0 oder a < 0 . Wegen (ii) folgt im
ersten Fall
a2 = aa > 0a = 0.
Dasselbe erhält man im zweiten Fall mit (iii).
(v) Dies folgt aus (iv) mit a = 1 und 1·1 = 1 .
(vi) Wäre a > 0 und a−1 0 , so wäre wegen (ii) auch aa−1 = 1 0 , ein
Widerspruch. Bemerkung Man beachte, dass wir 1 > 0 nicht als Axiom fordern mussten. Dies ist vielmehr bereits eine Folge der Axiome. Wir werden auch diese und ähnliche Regeln im Folgenden verwenden, ohne
explizit auf den Satz zu verweisen.
D ie A nor d n u n g s a x i o me — 2.2
41
Betrag
Deﬁnition In einem angeordneten Körper ist der Betrag |a| eines Elementes
deﬁniert durch
⎧
⎨ a für a 0,
|a| ⎩ −a für a < 0.
Der Betrag ist also eine Funktion |·| : K → K, a |a| . Für ihn gelten die
folgenden Rechenregeln.
6
Rechenregeln für den Betrag
Körper gilt:
Für den Betrag |·| in einem angeordneten
(i) |−a| = |a| 0 ,
(ii) − |a| a |a| ,
(iii) |a| = 0 a = 0 ,
(iv) |ab| = |a| |b| ,
(v) |x − a| < b a − b < x < a + b ,
(vi) |a + b| |a| + |b|
(Dreiecksungleichung). Die Berechtigung der Bezeichnung Dreiecksungleichung wird sich erst im
Kontext der komplexen Zahlen ergeben. Dort existiert eine ähnliche Betragsfunktion, auch wenn C nicht angeordnet ist.
Beweis
(i)
Für a = 0 ist alles klar. Für a > 0 ist −a < 0 und somit
|−a| = −(−a) = a = |a| > 0.
Für a < 0 ist −a > 0 und deshalb
|−a| = −a = |a| > 0.
Für a = 0 ist wieder nichts zu tun. Für a > 0 ist
(ii)
|a| = a > 0 > −a = − |a| ,
Abb 1
|t|
Graph der
Betragsfunktion
auf R
1
1
t
42
2 — Re e lle Z a hl en
während für a < 0
|a| = −a > 0 > a = − |a| .
Also folgt in allen Fällen die Behauptung.
(iv) Dies folgt direkt aus (ii).
(iii) Dies zeigt man mit den entsprechenden Fallunterscheidungen.
(v) Mit (ii) angewandt auf |x − a| erhalten wir
−b < − |x − a| x − a |x − a| < b.
Addieren wir a und ignorieren den zweiten und vieren Term, so erhalten wir
a − b < x < a + b.
(vi) Für a + b 0 ist mit (ii)
|a + b| = a + b |a| + |b| .
Ist aber a + b < 0 , so ergibt sich ebenfalls mit (ii) und (i)
|a + b| = −(a + b) = (−a) + (−b) |−a| + |−b| |a| + |b| .
7
Korollar Für den Betrag |·| gilt die umgekehrte Dreiecksungleichung
|a| − |b| |a − b| .
Wegen der Dreiecksungleichung ist |a| = |b + (a − b)| |b| + |a − b|
und damit
|a| − |b| |a − b| .
Vertauschen wir a und b , so erhalten wir ebenso
|b| − |a| |b − a| = |a − b| .
Da einer der beiden linken Seiten gleich |a| − |b| sein muss, folgt die Behauptung. 2. 3
D as V olls t ä n d i g k e i t s a x i om
Bisher haben wir über die reellen Zahlen nichts gesagt, was nicht auch für
die rationalen Zahlen gilt – sowohl Q als auch R sind angeordnete Körper. Die
rationalen Zahlen haben aber den großen Nachteil, dass es von ihnen ›nicht
genug gibt‹. So gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ergibt 1.7 .
D a s Vol l stä nd ig k e i t s a x i o m — 2.3
43
Es besteht somit die Notwendigkeit, die ›Löcher‹ zwischen den rationalen
Zahlen ›auszufüllen‹. Dies kann auf unterschiedliche Weise geschehen, zum
Beispiel mit Hilfe von Dezimaldarstellungen, Cauchyfolgen, Intervallschachtelungen, oder dedekindschen Schnitten. Hier wollen wir jedoch nur das Ergebnis
solcher Konstruktionen – also die Vollständigkeit der reellen Zahlen – axiomatisch beschreiben. Auch hier gibt es verschiedene Wege. Wir wählen den Weg
über dedekindsche Schnitte, der nur wenig Aufwand benötigt und direkt zur
Existenz von Inﬁmum und Supremum führt.
Dedekindsche Schnitte
Für das Folgende ist es bequem, die < -Notation zu erweitern. Für Teilmengen A, B und Elemente c eines angeordneten Körpers K erklären wir
A < c : a < c für alle a ∈ A,
A < B : a < b für alle a ∈ A und b ∈ B.
Entsprechend sind A c und A B erklärt.
Deﬁnition Sei K ein angeordneter Körper. Ein Paar (A, B) nichtleerer Teilmengen von K heißt dedekindscher Schnitt, falls
A ∪ B = K,
A ∩ B = ∅,
und
A < B.
Ein Element c ∈ K heißt Schnittzahl eines solchen Schnittes (A, B) , falls
A c B.
Die Mengen A und B bilden also eine Zerlegung von K :
A ∪ B = K,
A ∩ B = ∅.
Sie bilden einen dedekindschen Schnitt, wenn außerdem beide Mengen nicht leer
sind und A < B gilt. Eine Schnittzahl c ist ein Element von K , dass zwischen
A und B ›passt‹. Aufgrund der Zerlegungseigenschaft gehört c entweder zu A
oder zu B . Welche der beiden Mengen das ist, ist unerheblich.
Ein Schnitt (A, B) muss keine Schnittzahl haben. Existiert sie aber, so ist
sie eindeutig. Denn gäbe es zwei Schnittzahlen c1 ≠ c2 , so wäre
d (c1 + c2 )/2
ebenfalls eine Schnittzahl, die strikt zwischen c1 und c2 liegt a-3 . Dann aber
wäre A < d < B , ein Widerspruch zur Zerlegungseigenschaft von A und B .
44
2 — Re e lle Z a hl en
a. Für jedes c ∈ K ist
A {a ∈ K : a c } ,
B {a ∈ K : c < a}
ein dedekindscher Schnitt mit Schnittzahl c . Dasselbe gilt, wenn < und vertauscht werden.
b. Im angeordneten Körper Q deﬁnieren die Mengen
A {r ∈ Q : r 0 ∨ r 2 < 2} ,
B {r ∈ Q : r > 0 ∧ r 2 > 2} ,
einen dedekindschen Schnitt. Dieser besitzt in Q allerdings keine Schnittzahl,
denn diese wäre eine Lösung der Gleichung x 2 = 2 – siehe Abschnitt 4. Die Forderung, dass die reellen Zahlen keine ›Löcher‹ aufweisen, übersetzt
sich nun in die Forderung, dass es dort keine dedekindschen Schnitte ohne
Schnittzahl gibt. Man sagt dazu auch, die reellen Zahlen seien vollständig.
Vollständigkeitsaxiom Ein angeordneter Körper K heißt vollständig, wenn
jeder dedekindsche Schnitt eine Schnittzahl besitzt. Damit haben wir alle Axiome versammelt, die wir für die Beschreibung der
reellen Zahlen benötigen.
Charakterisierung der reellen Zahlen Die reellen Zahlen bilden einen vollständigen angeordneten Körper, der mit R bezeichnet wird. Dieser Körper ist, wie wir noch in Abschnitt 7 skizzieren werden, bis auf
Isomorphie eindeutig. Daher ist es auch berechtigt, ihn mit einem einzigen
Symbol, R , zu bezeichnen und von dem Körper der reellen Zahlen zu sprechen.
Damit ist natürlich noch nichts über die Existenz der reellen Zahlen gesagt.
Dies erfordert eine Konstruktion, die ausgehend von den natürlichen Zahlen N
das Gebäude aus ganzen, rationalen und reellen Zahlen aufbaut. Dies werden
wir, wie gesagt, hier nicht tun. Vielmehr gehen wir von der Existenz eines solchen
Körpers R aus, und werden im nächsten Kapitel die natürlichen, ganzen und
rationalen Zahlen in ihm ›wiederentdecken‹.
Supremum und Inﬁmum
Die Vollständigkeit eines angeordneten Körpers steht in einem engen
Zusammenhang mit der Existenz des Supremums und Inﬁmums nichtleerer
beschränkter Teilmengen. In der Tat sind dies zwei Seiten ein- und derselben
Medaille. — Zunächst zwei Begriﬀe für beliebige total geordnete Mengen.
D a s Vol l stä nd ig k e i t s a x i o m — 2.3
45
Deﬁnition Sei M eine total geordnete Menge. Eine Teilmenge A ⊂ M heißt
nach oben beschränkt, wenn es ein Element t ∈ M gibt, so dass
A t.
Man nennt dann t eine obere Schranke von A . Unter allen oberen Schranken einer nach oben beschränkten Teilmenge
gibt es nicht unbedingt eine kleinste 8 . Existiert sie aber, so nennt man sie das
Supremum dieser Menge. Die genaue Deﬁnition ist folgende.
Deﬁnition Sei M total geordnet und A ⊂ M . Existiert eine obere Schranke t0
von A , so dass jedes s ∈ M mit s < t0 keine obere Schranke von M ist, so
heißt t0 die kleinste obere Schranke oder das Supremum von A . Das Supremum von A ist also eine obere Schranke von A , die von keiner
anderen oberen Schranke von A unterboten wird. Für jede obere Schranke t
von A gilt somit
A sup A t,
und für jedes t ∈ M mit t < sup A existiert ein a ∈ A mit t < a . Wenn ein
Supremum existiert, so ist es oﬀensichtlich eindeutig.
Analog werden nach unten beschränkt und untere Schranke von A deﬁniert. Existiert eine größte untere Schranke, so wird sie Inﬁmum von A genannt
und mit inf A bezeichnet. Für jede untere Schranke s von A gilt dann
s inf A A,
und für jedes t ∈ M mit t > inf A existiert ein a ∈ A mit a < t .
8
a. Jedes abgeschlossene Intervall 3 [a, b] ist nach oben und
unten beschränkt, und es ist
Beispiele
a = inf [a, b] ,
b = sup [a, b] .
In diesem Fall gehören Supremum und Inﬁmum ebenfalls zu [a, b] .
b. Für oﬀene Intervalle (a, b) endlicher Länge gilt ebenfalls
a = inf (a, b) ,
b = sup (a, b) ,
aber diese Punkte gehören nicht zu (a, b) .
3
Die folgenden Beispiele greifen auf die Intervallnotation vor, die wir in Abschnitt 6 einführen.
46
2 — Re e lle Z a hl en
c. Das Intervall (−∞, 0) ist nach oben beschränkt mit sup (−∞, 0) = 0
und nach unten unbeschränkt.
d. Im angeordneten Körper Q ist die Menge
A = {r ∈ Q : r > 0 ∧ r 2 < 2}
nach oben beschränkt. Sie besitzt aber in Q kein Supremum. Denn dieses wäre
eine Lösung der Gleichung x 2 = 2 , die es in Q nicht gibt 1.7 .
e. Die leere Menge ist in jeder total geordneten Menge nach oben und
unten beschränkt. Supremumseigenschaft
Betrachten wir nun wieder einen angeordneten Körper K , so ist die Existenz eines Supremums oder Inﬁmums für jede nichtleere beschränkte Teilmenge äquivalent zur Vollständigkeit, wie der folgende Satz zeigt.
9
Satz
In einem angeordneten Körper K sind folgende Aussagen äquivalent.
(i) Jeder dedekindsche Schnitt besitzt eine Schnittzahl.
(ii) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum.
(iii) Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge besitzt ein Inﬁmum. Beweis (i) ⇒ (ii) Wir nehmen an, dass jeder dedekindsche Schnitt
eine Schnittzahl besitzt. Zu zeigen ist, dass dann jede nach oben beschränkte,
nichtleere Teilmenge von K ein Supremum besitzt.
Sei also M eine solche Teilmenge. Dann ist die Menge aller strikten oberen
Schranken von M ,
B {b ∈ K : M < b } ,
nicht leer, und es gilt M ∩ B = ∅ . Ferner ist auch die Menge
AKB
nicht leer, da M ⊂ A . Oﬀensichtlich gilt
A ∩ B = ∅,
A ∪ B = K.
Wir behaupten nun, dass A < B . Wäre dem nicht so, so gäbe es ein a ∈ A
und ein b ∈ B mit a b . Da b eine obere Schranke von M ist, wäre auch a
eine obere Schranke von M und damit Element von B , und nicht von A , ein
Widerspruch. Also bilden A und B einen dedekindschen Schnitt.
D a s Vol l stä nd ig k e i t s a x i o m — 2.3
47
Nach Voraussetzung existiert dazu eine Schnittzahl c , also ein c ∈ K mit
A c B.
Wegen M ⊂ A ist c eine obere Schranke von M , und wegen c B ist es die
kleinste obere Schranke. Also ist
c = sup M.
Somit besitzt jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum.
(ii) ⇒ (i) Nun nehmen wir umgekehrt an, dass jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge ein Supremum besitzt. Zu zeigen ist, dass jeder dedekindsche
Schnitt eine Schnittzahl besitzt.
Sei (A, B) ein dedekindscher Schnitt. Da B nicht leer ist, ist A wegen
A < B nach oben beschränkt, und nach Annahme existiert
c = sup A.
Es gilt dann auch c B , denn andernfalls gäbe es ein b ∈ B mit b < c , und b
wäre eine kleinere obere Schranke von A als c und c damit nicht das Supremum
von A . Also gilt
A c B.
Somit besitzt jeder dedekindsche Schnitt eine Schnittzahl.
(i) (iii) Diese Aussage ist symmetrisch zur Aussage (i) (ii) und wird
genauso bewiesen. Die Existenz von Schnittzahlen ist also äquivalent zur Existenz des Supremums für jede nach oben beschränkte Menge. Das Vollständigkeitsaxiom wird
daher auch oft wie folgt formuliert.
10
Äquivalentes Vollständigkeitsaxiom Ein angeordneter Körper K heißt vollständig, wenn jede nicht leere, nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum besitzt. Wir haben die Charakterisierung durch Dedekindsche Schnitte gewählt, da
diese konzeptionell einfacher ist. Sie führt auch direkt zu einer Konstruktion
der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen a-34 .
Bemerkung In Abschnitt 5.7 werden wir noch eine weitere, wesentlich
allgemeinere Charakterisierung der Vollständigkeit mithilfe von Cauchyfolgen
kennenlernen, die nicht auf Anordnungen basiert. 48
2 — Re e lle Z a hl en
2. 4
Wurzel n
Wir zeigen jetzt, dass jede positive reelle Zahl tatsächlich eine Wurzel hat.
Die reellen Zahlen leisten also das, was die rationalen Zahlen nicht leisten.
11
Satz und Deﬁnition Zu jeder reellen Zahl a > 0 existiert genau eine reelle
Zahl w > 0 mit w 2 = a . Diese wird mit a bezeichnet und Quadratwurzel
oder kurz Wurzel von a genannt. Für diese gilt dann
w = a w 2 = a ∧ w > 0.
Beweis
Für positive reelle Zahlen u und v gilt a-15
u < v u2 < v 2 .
(1)
Zwei verschiedene positive reelle Zahlen können daher nicht Wurzel derselben
Zahl a > 0 sein. Dies zeigt die Eindeutigkeit der Wurzel. 4
Um ihre Existenz zu zeigen, bemerken wir zunächst, dass
−1
a = 1/a ,
a > 0,
denn die Quadrate beider Seiten sind gleich. Durch Betrachten des Kehrwertes
können wir den Fall 0 < a 1 somit auf den Fall a 1 zurückführen. Es ist
dann insbesondere a2 a 1 .
Sei also a 1 . Betrachte die Menge
A = x ∈ R : x 0 ∧ x2 a .
Diese Menge ist nicht leer, denn wegen 02 = 0 < 1 a gilt 0 ∈ A . Sie ist auch
beschränkt, denn aus x 2 a a2 folgt mit (1) auch x a . Somit ist A a .
Also existiert w = sup A .
Wir zeigen, dass w 2 = a . Dazu betrachten wir die reelle Zahl
v=w−
w2 − a
.
w +a
(2)
Eine kurze Rechnung ergibt
v 2 = a + c(w 2 − a)
(3)
mit
c=
a2 − a
0.
(w + a)2
4
Die Eindeutigkeit eines Objektes ist meist erheblich leichter zu zeigen als dessen Existenz. Daher erledigt man dies üblicherweise zuerst.
D ie er weiter te Z ah le n g e r a d e — 2.5
49
Wäre nun w 2 > a , so folgt v < w mit (2) sowie a v 2 mit (3). Wegen
x a v 2 und (1) wäre dann v eine bessere obere Schranke von A als dessen
Supremum w , ein Widerspruch. Wäre andererseits w 2 < a , so folgt w < v
wieder mit (2) sowie v 2 a mit (3). Somit wäre v ∈ A und w keine obere
Schranke von A , ebenfalls ein Widerspruch.
Bleibt also nur
2
w 2 = a,
womit die Existenz der Wurzel aus a gezeigt ist.
Bemerkung Derselbe Beweis zeigt übrigens auch, dass im angeordneten
Körper Q die Menge
A = x ∈ Q : x 0 ∧ x2 < 2
kein Supremum besitzt. Denn dieses wäre ja eine Lösung von x 2 = 2 , die es in
Q nicht gibt 1.7 . 2. 5
D ie erwei t e r t e Z a hlen g e r a d e
Ist eine nichtleere Teilmenge A der reellen Zahlen nach oben beschränkt,
so existiert deren Supremum als Element in R . Dafür schreibt man auch
sup A < ∞.
Ist dagegen A nach oben unbeschränkt, so schreibt man dafür auch
sup A = ∞.
Analoges gilt für inf A > −∞ und inf A = −∞ .
Auch in vielen anderen Situationen sind die Symbole ∞ und −∞ nützlich.
Um deren Verwendung zu regeln, treﬀen wir daher folgende Vereinbarung.
Deﬁnition
Unter der erweiterten Zahlengerade versteht man die Menge
R̄ R ∪ {−∞, ∞}
zusammen mit der Vereinbarung −∞ < x < ∞ für alle x ∈ R . Achtung Das Rechnen mit den Symbolen ∞ und −∞ ist nur in speziellen
Fällen möglich – siehe Abschnitt 5.6. Daher ist R̄ kein Körper und kann auch
nicht dazu gemacht werden. 50
2 — Re e lle Z a hl en
Der folgende Satz charakterisiert die Approximierbarkeit von sup A durch
Punkte in A und gilt gleichermaßen für beschränkte und unbeschränkte Mengen.
Vereinbaren wir außerdem
sup ∅ −∞,
inf ∅ ∞,
so gilt er sogar für die leere Menge.
12
Approximationssatz Sei A ⊂ R eine beliebige Teilmenge. Dann existiert zu
jeder reellen Zahl s inf A existiert ein a ∈ A mit
inf A a < t.
Beweis
Wir betrachten das Supremum, der Beweis für das Inﬁmum
verläuft analog.
Für A = ∅ ist nichts weiter zu zeigen, da es keine reelle Zahl kleiner als
sup A = −∞ gibt. Sei also A ≠ ∅ und s s , so wäre
A s < sup A.
Falls sup A < ∞ , so widerspricht dies der Eigenschaft von sup A , die kleinste
obere Schranke von A zu sein. Falls aber sup A = ∞ , so widerspricht dies der
Unbeschränktheit von A . In jedem Fall erhalten wir einen Widerspruch. Also
gibt es ein a ∈ A mit a > s . Ist also A ⊂ R eine beliebige Teilmenge, so wird jede reelle Zahl unterhalb
von sup A durch ein Element in A übertroﬀen. Man kann also sup A innerhalb
von A beliebig gut approximieren – daher der Name Approximationssatz. Später
werden wir zeigen, dass es sogar Folgen von Punkten in A gibt, die gegen das
Supremum konvergieren.
Dasselbe gilt entsprechend für das Inﬁmum.
Abb 2
Zum Approximationssatz
A
s
a
sup A
I n t e r v a lle — 2.6
51
2. 6
Intervalle
Die wichtigsten Teilmengen der reellen Zahlen sind die Intervalle.
Deﬁnition Ein Intervall ist eine Teilmenge der reellen Zahlen, die mit je zwei
Punkten 5 auch alle dazwischen liegenden Punkte enthält. Beispiele a. Die leere Menge ∅ ist ein Intervall, denn die Voraussetzung,
zwei Punkte in ihr zu ﬁnden, ist schon nicht erfüllt.
b. Ebenso ist jede 1-Punkt-Menge {a} ein Intervall.
c. Enthält ein Intervall I wenigstens zwei Punkte u < v , so enthält es
auch jede reelle Zahl a mit u a v . Ist ein Intervall I nicht leer, so deﬁnieren wir
a = inf I,
b = sup I
als dessen linken respektive rechten Endpunkt. Diese Punkte gehören zur erweiterten Zahlengerade R̄ , die Fälle
a = −∞,
b=∞
sind also möglich. Ebenso kann a = b sein. Ist a < b , so folgt aus dem
Approximationssatz 12 und der Deﬁnition des Intervalls, dass auch die Menge
{x ∈ R : a < x < b } zu I gehört. Intervalle unterscheiden sich daher nur darin,
welche Endpunkte dazu gehören und welche nicht.
Deﬁnition Ein nichtleeres Intervall I heißt links abgeschlossen, falls es seinen
linken Endpunkt enthält, andernfalls heißt es links oﬀen. Entsprechend sind
rechts abgeschlossen und rechts oﬀen erklärt. Es gibt somit vier Arten von Intervallen: das oﬀene Intervall
(a, b) {x ∈ R : a < x < b } ,
−∞ a b ∞,
mit der Vereinbarung (a, a) = ∅ ; das abgeschlossene Intervall
[a, b] {x ∈ R : a x b } ,
−∞ < a b < ∞,
mit der Vereinbarung [a, a] = {a} ; und die halboﬀenen Intervalle
5
(a, b] {x ∈ R : a < x b } ,
−∞ a b < ∞,
[a, b) {x ∈ R : a x < b } ,
−∞ < a b ∞.
Punkt meint hier also Zahl.
52
2 — Re e lle Z a hl en
Abb 3
Verschiedene Intervalle
(−∞, a)
{d}
[b, c]
a
b
c
d
(e, f )
e
f
Dabei sind die Symbole ∞ und −∞ genau dann zugelassen, wenn das betreﬀende Intervallende oﬀen ist. Daher sind alle diese Intervalle Teilmengen
von R .
a. Das leere Intervall ∅ ist sowohl oﬀen wie abgeschlossen.
6
b. Jede Ein-Punkt-Menge {a} ⊂ R ist ein abgeschlossenes Intervall.
c. R = (−∞, ∞) ist ein oﬀenes Intervall.
d. R∗ R {0} ist kein Intervall. Ein Intervall heißt nichtentartet, wenn es mehr als einen Punkt enthält. Die
Länge eines nichtleeren Intervalls I ist deﬁniert als
|I| sup I − inf I.
Vereinbarungsgemäß nimmt |I| den Wert ∞ genau dann an, wenn I unbeschränkt ist.
a. Ein Intervall I ist nichtentartet genau dann, wenn |I| > 0 .
b. Es ist |[a, a]| = 0 ,
|[a, b]| = |(a, b)| = b − a,
a < b.
c. Ferner ist |(−∞, ∞)| = ∞ − (−∞) = ∞ + ∞ = ∞
5.6 .
2. 7
Eindeut i g k e i t
Wir haben erklärt, was es bedeutet, dass die reellen Zahlen einen vollständigen, angeordneten Körper bilden. Wir wollen jetzt noch kurz skizzieren, dass
es im Wesentlichen nur einen solchen Körper gibt.
Es ist durchaus möglich, ganz unterschiedliche Modelle der reellen Zahlen
zu konstruieren – also total geordnete Mengen mit zwei Operationen, in denen
6
Im Unterschied zur Umgangssprache schließen sich ›oﬀen‹ und ›abgeschlossen‹ also nicht gegenseitig aus.
E in d e ut i g k e i t — 2 . 7
53
sämtliche geforderten Axiome gelten a-34 . Diese verschiedenen Modelle sind
jedoch alle von derselben Gestalt – man kann sie mitsamt ihren Strukturen
eins-zu-eins aufeinander abbilden. Mathematisch gesprochen sind sie isomorph.
Im Fall der reellen Zahlen bedeutet dies Folgendes.
13
Isomorphiesatz Sind (R, +, ·, <) und (R , + , · , < ) zwei vollständige angeordnete Körper, so existiert eine bijektive Abbildung Φ : R → R derart,
dass
Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y),
Φ(x ·y) = Φ(x) · Φ(y)
(4)
und
x < y Φ(x) < Φ(y)
für alle x, y ∈ R gilt. Es spielt also zum Beispiel keine Rolle, ob ich zwei Operanden zuerst in R
addiere und das Ergebnis mit Φ abbilde, oder ob ich zuerst die Operanden mit
Φ abbilde und danach in R addiere.
Beweisskizze
Für jede Abbildung Φ mit den geforderten Eigenschaften gilt notwendigerweise Φ(0) = 0 und Φ(1) = 1 , denn beispielsweise ist
wegen (4)
Φ(x) = Φ(x + 0) = Φ(x) + Φ(0)
für alle x ∈ R und damit Φ(0) = 0 . Es ist daher notwendigerweise
Φ(0) 0 ,
Φ(1) 1
zu deﬁnieren. Soll nun (4) gelten, so ist Φ damit auch für alle natürlichen,
ganzen und rationalen Zahlen festgelegt 7 . Zum Beispiel ist
Φ(2) = Φ(1 + 1) = Φ(1) + Φ(1) = 1 + 1 .
Mit Hilfe der Vollständigkeit dehnt man die Deﬁnition von Φ schließlich auf
ganz R aus. Bemerkung Die angeordneten Körper R und Q sind nicht isomorph,
denn es gibt keine Bijektion zwischen R und Q – siehe dazu Abschnitt 3.3. 7
Diese Zahlen werden im nächsten Abschnitt eingeführt.
54
2 — Re e lle Z a hl en
A u fgab en
1
Welche Aussagen sind wahr?
a. Die reellen Zahlen sind vollständig, weil es mehr reelle als rationale Zahlen gibt.
b. In einer beschränkten Menge A ⊂ R existiert immer ein Element a = inf A .
c. Ein abgeschlossenes Intervall ist beschränkt.
d. Aus ab = −ab folgt b = 0 .
e. Es gibt kein leeres Intervall.
f.
In Q besitzt keine Teilmenge ein Supremum.
g. R̄ ist ein vollständiger Körper.
h. Jede Zerlegung von R besitzt eine Schnittzahl.
2
3
Warum hat in einem Körper die Null kein multiplikativ Inverses?
Sei K ein angeordneter Körper und 2 1 + 1 . Zeigen sie:
a. 0 < 1 < 2 .
b. Ist a 0 , d > 0 und a/b < c/d folgt
a
a+c
c
<
< .
b
b+d
d
6
Ist (A, B) ein Dedekindscher Schnitt in R , so existiert genau eine reelle Zahl σ , so
dass entweder
A = (−∞, σ ] ,
B = (σ , ∞)
oder A = (−∞, σ ) und B = [σ , ∞) .
7
Ist R mit den beiden Operationen
a ⊕ b a + b,
a b ab/2
ein Körper?
8
Sei K ein Körper und c ∈ K . Untersuchen sie die Abbildung
τc : K → K,
τc (a) = a − c
auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
9
In einem Körper K mit Addition ! und Multiplikation " sei die Null und die
¯ bezeichnet. Zeigen sie,
Eins. Das additiv Inverse zu einem Element werde mit dass
¯ "
¯ = .
10
Der Restklassenring Zp
11
Existieren in einem Körper K zwei Elemente a und b mit
a2 + b2 = −1,
a-1.24
bildet einen Körper genau dann, wenn p prim ist.
Aufg a b e n — 2
55
so kann dieser Körper nicht angeordnet werden.
12
Eine Teilmenge P eines Körpers K heißt Positivbereich, wenn gilt:
(p-1) Für jedes a ∈ K gilt genau eine der drei Aussagen a ∈ P , a = 0 , −a ∈ P .
(p-2) Mit a, b ∈ P ist auch a + b ∈ P und ab ∈ P .
Man zeige: Ist P ⊂ K ein Positivbereich, so wird K durch
a 0} ein
Positivbereich.
13
Man zeige, dass es in R nur einen Positivbereich a-12 gibt.
14
Sei σ eine positive reelle Zahl derart, dass σ ∉ Q und σ 2 ∈ Q , und
Q(σ ) {a + bσ : a, b ∈ Q} .
Zeigen sie:
a. Q(σ ) mit der von den reellen Zahlen geerbten Addition und Multiplikation bildet
einen Körper, genauer einen Unterkörper von R .
b. In diesem Körper bilden
P+ {a + bσ : a + bσ > 0} ,
P– {a + bσ : a − bσ > 0}
beides Positivbereiche 12 .
c.
Q(σ ) ist nicht vollständig.
15
Für zwei positive Elemente a, b eines angeordneten Körpers gilt
16
a < b a2 < b 2 .
√
Für alle x ∈ R gilt x 2 = |x| .
17
Für jede reelle Zahl x gilt x = sup {t ∈ R : t < x } .
18
Seien A und B zwei nichtleere Teilmengen von R mit A B . Dann gilt auch
sup A inf B .
19
Für beliebige Teilmengen A, B von R sei
−A {−a : a ∈ A} ,
A + B {a + b : a ∈ A, b ∈ B } .
Sind A und B nichtleer und beschränkt, so gilt
sup (−A) = − inf A,
sup (A + B) = sup A + sup B.
Gilt Letzteres auch für die Multiplikation?
20
Seien M1 , M2 , . . nichtleere Teilmengen von R und M =
sup M = sup (sup Mn ) .
n
1
n
1
Mn . Dann gilt
56
21
2 — Re e lle Z a hl en
Es sei M ⊂ R nicht leer und inf M > 0 . Dann ist die Menge
M {1/x : x ∈ M }
nach oben beschränkt ist, und es gilt sup M = 1/ inf M .
22
Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel
23
ab Für a, b 0 gilt
a+b
.
2
Cauchyungleichung
Für reelle Zahlen a, b und ε > 0 gilt
2ab εa2 + b2 /ε.
24
Für reelle Zahlen a, b ≠ 0 gilt
a
+ b 2.
b
a
25
Beweisen sie für reelle Zahlen a, b die Identitäten
Für welche a, b gilt Gleichheit?
max {a, b } =
a + b + |a − b|
,
2
min {a, b } =
a + b − |a − b|
.
2
Was gilt für max {a, b } − min {a, b } ?
26
Für a, b, c ∈ R gilt
|a + b| + |a − b| |a| + |b|
und
|a| + |b| + |c| + |a + b + c| |a + b| + |b + c| + |c + a|
Wann gilt Gleichheit?
27
Sei I ⊂ R ein oﬀenes Intervall. Welche Gestalt hat dann R I ? Diskutieren sie alle
möglichen Fälle.
28
Sei A ⊂ R eine beliebige Teilmenge. Dann gilt für jedes s ∈ R mit inf A < s < sup A
A ∩ (s, ∞) ≠ ∅,
29
A ∩ (−∞, s) ≠ ∅.
Eine reelle, nicht rationale Zahl wird irrational genannt – was nicht mit unvernünftig
zu übersetzen ist. Zeigen sie: Sind a, b, c, d rational mit ad − bc ≠ 0 , und ist x
irrational mit cx + d ≠ 0 , so ist auch
ξ
ax + b
cx + d
irrational.
30
Zeigen sie, dass die Wurzelfunktion das Intervall [0, ∞) bijektiv auf sich selbst
abbildet und streng monoton steigt:
a < b.
0a<b ⇒
Aufg a b e n — 2
31
32
57
Seien r rational und z irrational. Zeigen sie, dass auch r + z und r z irrational sind.
Eine Folge (In )n
1 nichtleerer abgeschlossener Intervalle heißt Intervallschachtelung,
wenn In+1 ⊂ In für alle n 1 , und wenn zu jedem ε > 0 ein In mit |In | < ε existiert.
Zeigen sie:
a. Zu jeder Intervallschachtelung (In )n
1 existiert genau ein x ∈ R , so dass
In = {x } .
n
1
b. Zu jedem x ∈ R gibt es eine solche Intervallschachtelung mit rationalen
Endpunkten.
33
In R sei eine Operation ∗ erklärt durch
a∗b a+b+
ab
λ
mit einem festen λ ≠ 0 .
a. Die Operation ∗ ist kommutativ, assoziativ und besitzt ein neutrales Element.
b. Welche Elemente besitzen ein inverses Element?
34
Dedekindsche Konstruktion der reellen Zahlen
Es sei R die Familie aller Teilmengen
R von Q mit folgenden Eigenschaften:
(d-1) ∅ ⊊ R ⊊ Q ,
(d-2) R c < R ,
(d-3) R besitzt kein minimales Element. Das heißt, es ist inf R ∉ R .
Die Idee ist, dass jedes R ∈ R den ›oberen‹ Teil eines Dedekindschen Schnittes
repräsentiert. Dann gilt Folgendes.
a. Durch
R < S : S ⊊ R
wird R total geordnet.
b. Durch
R+S r +s : r ∈R∧s ∈S
wird auf R eine Addition erklärt, die sämtliche Additionsaxiome erfüllt. Dabei sind
O {r ∈ Q : r > 0} ,
−R s ∈ Q : s + R > O ,
die Null und das additiv Inverse zu R , respektive.
c. Eine Multiplikation wird zuerst für R, S > O deﬁniert durch
RS r s : r ∈ R ∧ s ∈ S .
Das neutrale Element dieser Multiplikation ist
I r ∈Q: r >1 .
(×)
58
2 — Re e lle Z a hl en
d. Die Deﬁnition der Multiplikation wird vervollständigt durch OR O , RO O und
⎧
⎪
⎪
⎪ −((−R)S), R < O < S,
⎨
RS −(R(−S)), S < O < R.
⎪
⎪
⎪
⎩
(−R)(−S), R, S < O.
Auf der rechten Seite stehen nur Produkte positiver Elemente, die in (×) erklärt
wurden. Es gelten dann alle Axiome der Multiplikation und das Distributivgesetz.
e. Mit diesen Vereinbarungen wird (R, +, ·, <) ein angeordneter Körper.
Insbesondere gelten auch die Anordnungsaxiome.
f.
Jede nach unten beschränkte Teilmenge M ⊂ R besitzt ein Inﬁmum, nämlich
inf M =
R.
R∈M
Somit besitzt R die Inﬁmumseigenschaft und ist deshalb vollständig 9 .
g. Die Abbildung
φ : Q → R,
r R= s∈Q: r <s
bettet den Körper Q in den Körper R ein, verträgt sich also mit der Anordnung und
den Operationen wie im Isomorphiesatz 13 gefordert. Sie ist injektiv, aber nicht
surjektiv.
http://www.springer.com/978-3-658-05798-5