1 Quizshow Für eine Quizshow sucht ein Fernsehsender

1
Quizshow
Für eine Quizshow sucht ein
Fernsehsender
Abiturientinnen
und Abiturienten als Kandidaten.
Jeder Bewerber gibt in einem
online auszufüllenden Formular
die
Durchschnittsnote
seines
Abiturzeugnisses an.
1
Insgesamt bewerben sich dreimal
so viele weibliche wie männliche
Personen, wobei 80 % der weiblichen und 75 % der männlichen
Bewerber eine Durchschnittsnote
von 1,5 oder besser angeben. Bestimmen Sie den Anteil der Personen unter allen Bewerbern, die
eine schlechtere Durchschnittsnote
als 1,5 angeben.
p1 = 0, 8
p2 = 0, 75
3(1 − p1 ) + (1 − p2 )
3(1 − 0, 8) + (1 − 0, 75)
=
4
4
1 − 0, 75 + 3 · 0, 2
0, 25 + 3 · 0, 2
0, 25 + 0, 6
=
=
=
4
4
4
0, 85
=
= 0, 2125 = 0, 2125
4
a=
p1 =0 ,8; p2 =0 ,75;
a =[3∗(1 − p1)+(1−p2 ) ] \ 4 ;
2
Aus dem Bewerberfeld werden
zwanzig weibliche und zehn männliche Personen zu einem Casting
eingeladen, das in zwei Gruppen
durchgeführt wird. Fünfzehn der
Eingeladenen werden für die erste Gruppe zufällig ausgewählt. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass für
die erste Gruppe zehn weibliche
und fünf männliche Personen ausgewählt werden, wird mit p bezeichnet.
a
Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass p nicht durch den Term
p0 =
15
1
2
· ( )5 · ( )10
5
3
3
beschrieben wird.
p’= b i n ( 1 5 ; 5 ) ∗ 2 ˆ 1 0 \ 3 ˆ 1 5 ;
%;
10
15
2
1024
1024
· 15 = 3003 ·
= 3003 ·
5
3
14348907
14348907
1025024
=
4782969
p0
=
0, 214
2
b
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit von p mithilfe eines geeigneten Terms
p=b i n ( 2 0 ; 1 0 ) ∗ b i n ( 1 0 ; 5 )
: bin ( 3 0 ; 1 5 ) ; % ;
20
10
30
p=
·
:
= 184756 · 252 : 155117520
10
5
15
1001
= 46558512 : 155117520 =
3335
p
=
0, 300
Nach dem Casting stehen die zehn
Kandidaten der Quizshow fest.
3
Im Rahmen der Show müssen
Aufgaben aus verschiedenen Fachgebieten gelöst werden. Die Anzahl der von einem Kandidaten zu
lösenden Aufgaben aus dem Fachgebiet Mathematik ist gleich der
Augensumme, die von ihm bei einmaligem Werfen zweier Würfel erzielt wird. Die beiden Würfel tragen jeweils auf zwei Seitenflächen
die Augenzahl 0, auf drei Seitenflächen die Augenzahl 1 und auf einer Seitenfläche die Augenzahl 2.
a
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Kandidat genau zwei Aufgaben aus
dem Fachgebiet Mathematik lösen
muss.
q2 = 2 ·
2 1
3
1 1
1
· + ( )2 = 2 · · + ( )2
6 6
6
3 6
2
1 1
13
1 1 1
=2· · + = + =
3 6 4
9 4
36
q2 =2∗2/6∗1/6+(3/6)ˆ2;%;
b
Die Zufallsgröße X beschreibt die
Anzahl der von einem Kandidaten
zu lösenden Aufgaben aus dem
Fachgebiet
Mathematik.
Der
Tabelle kann die Wahrscheinlichkeit von X entnommen werden.
Ermitteln Sie den fehlenden Wert
der Wahrscheinlichkeitsverteilung
sowie den Erwartungswert von X.
x
P(X=x)
0
1
2
1
9
1
3
13
36
3
4
1
36
T= ] ] 0 ; 1 / 9 [ ] 1 ; 1 / 3 [ ] 2 ; 1 3 / 3 6 [
] 3 ; 1 / 6 [ ] 4 ; 1 / 3 6 [ [ ;@AET;
Tabelle
T
x
y
0
1
2
3
4
1
9
1
3
13
36
1
6
1
36
T
1
1
13
1
1
·0+ ·1+
·2+ ·3+
·4
9
3
36
6
36
1 13
1
1
1 13 1 1
5
= +
·2+ ·3+
·4= +
+ + =
3 36
6
36
3 18 2 9
3
µ=
1 25 1 4 13 1 1 16
1 49
·
+ · +
· + ·
+
·
9 9
3 9 36 9 6 9
36 9
25
4
13
8
49
17
=
+
+
+
+
=
81 27 324 27 324
18
3
v@vT ;
r
σ=
v
:
17
1√
=
34 ≈ 0, 972
18
6
Verteilung zu
T
1/2
1/4
1/20
1
c
5
10
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der
zehn Kandidaten keine Aufgabe
aus dem Fachgebiet Mathematik
lösen muss.
10 ·
1 8 9
1 134217728
· ( ) = 10 · ·
9 9
9 387420489
1342177280
=
3486784401
10∗1/9∗8/9ˆ9;%;
≈ 0, 385
d
Bestimmen Sie, wie viele Kandidaten an der Quizshow mindestens
teilnehmen müssten, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr
als 90 % wenigstens ein Kandidat
darunter ist, der keine Aufgabe aus
dem Fachgebiet Mathematik lösen
muss.
1−8/9ˆn =0 ,9;
8
1 − ( )n =
9
8
( )n =
9
n =
0, 9
0, 1
19, 549
4
Für eine Aufgabe aus dem Fachgebiet Mathematik kommen zwei
Kuverts zum Einsatz, die jeweils
fünf Spielkarten enthalten. Es ist
bekannt, dass das eine Kuvert genau zwei und das andere genau
drei rote Spielkarten enthält. Der
Showmaster wählt, jeweils zufällig,
ein Kuvert und aus diesem zwei
Karten aus.
e
Bestätigen Sie rechnerisch, dass
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
die beiden ausgewählten Karten
rot sind, 20 % beträgt.
r 1 =2/5∗1/4;
r 2 =3/5∗2/4;
r 0 =0 ,5∗[ r 1+r 2 ] ;
r1 =
r2 =
2 1
1
· =
5 4
10
3 2
3 1
3
· = · =
5 4
5 2
10
1
3
2
r0 = 0, 5 [r1 + r2 ] = 0, 5
+
= 0, 5 · = 0, 2
10 10
5
f
Der Showmaster zeigt die beiden ausgewählen Karten; sie sind
tatsächlich rot. Der Kandidat wird
nach der Wahrscheinlichkeit dafür
gefragt, dass die beiden Karten aus
dem Kuvert mit den drei roten
Karten stammen. Bestimmen Sie
diese Wahrscheinlichkeit.
r 2 \ [ r 1+r 2 ]
r2
=
r1 + r2
3
10
1
10
+
3
10
=
3
10
2
5
=
3
4