T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016

T1: Theoretische Mechanik, SoSe 2016
Jan von Delft
http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/sose_16/T1_theor_mechanik
Newtonsche Sätze (Originalformulierung)
1. Jeder Körper verharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmig
geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte dazu
gezwungen wird, seinen Bewegungszustand zu ändern.
2. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft
proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach
welcher jene Kraft wirkt.
3. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich; oder: die Wirkungen zweier
Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Begriffsbildung:
1. Bahnkurve
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
Massenpunkt, Bahnkurve, Masse, Kraft, Beschleunigung,
Drehimpuls, Energie, Erhaltungsätze ...
2. Newton's Axiome
1. Axiom (N1):
(Definition von
Inertialsystem)
Es gibt Bezugsysteme (BS), in denen kräftefreie Bewegung
durch
beschrieben wird.
Diese BS heißen Inertialsysteme (IS).
N1 gilt nicht in jedem BS (z.B. nicht auf Karusell).
In IS sind physikalischen Gesetze besonders einfach.
N1 ist nicht Spezialfall von N2 mit Kraft = 0, sondern
Definition von IS.
Definition:
Impuls:
Masse Geschw.
2. Axiom (N2):
(beschreibt Dynamik)
In einem IS folgt die Bewegung unter Einfluß einer
Kraft folgendem Gesetz:
Kraft
Einheit:
N2 beinhaltet
(i) Definition der Masse (vergleiche Beschl. für gleiche Kraft);
(ii) Definition der Kraft (als Beschleunigung mal Masse);
(iii) Aussage über Bahnbewegung.
N2 gilt nur für "nicht-relativistische" Geschwindigkeiten:
3. Axiom (N3):
(Actio = Reactio)
1.ster Zusatz:
2.ter Zusatz:
(SuperpositionsPrinzip)
Kraft entlang Verbindungslinie
Gesamtkraft
Summe der Einzelkräfte
Gültigkeit von N3 ist eingeschränkt, denn N3 impliziert
"instantane" Reaktion, im Widerspruch zur speziellen
Relativitätstheorie (nichts propagiert schneller als Licht)
Ausweg: Quantenfeldtheorie: Kraft via Austausch von
Photonen f. EM-WW, Gluonen f. starke WW, Gravitonen
für Gravitation
Beispiel: Lösung von N2 für 1-dimensiones Problem
ortsabhängige Kraft
Betrachte:
wobei
Kettenregel
Integrieren:
Integrationskonstante (zeitunabhängig)
Gesamtenergie:
(erhaltene Größe,
weil zeitunabhängig)
kinetische
Potentielle
Energie
(5.5) nach
gelöst:
Vorzeichen: bestimmt Bewegungsrichtung
Trennung d. Variablen:
Anfangsbedingungen:
legen Integrationskonstante fest:
Graphische Analyse:
klassisch verbotener Bereich
Umkehrpunkte:
Bei
also bei
Zwischen Umkehrpunkten ist Bewegung periodisch:
Periode:
3. Erhaltungssätze
Zunächst mittels N2 hergeleitet, später (eleganter) mittels Lagrange-Formalismus
"zu Fuß"
"tieferer Grund": Symmetrien!
Impulserhaltung:
Falls
Definition Drehimpuls:
Definition Drehmoment:
(beide abhänging von
Wahl des Ursprungs)
N2 für Drehimpuls:
Drehimpulserhaltung:
Definition v. Arbeit:
Falls
Teilchen (Masse m) bewege sich unter Einfluss einer äusseren
Kraft von 1 nach 2 entlang Weg C12. Die von der Kraft auf m
geleistete Arbeit ist:
vom Kraftfeld auf m
übertragene Energie
Vorzeichen:
Beispiel Schwerkraft:
fallende Masse
Wenn Kraft entlang Bewegungsrichtung wirkt, leistet sie positive Arbeit.
sei eine beliebige Parametrisierung des Weges
Energieänderung aufgrund der
Geschwindigkeitsänderung
Definition:
Kinetische Energie
Einheiten:
Def: Konservatives
Kraftfeld
Für ein konservatives
Kraftfeld ist die entlang
geschlossenem Weg
verreichte Arbeit
Ein Kraftfeld wird konservativ genannt, falls
die Arbeit zwischen 1 und 2 unabhängig vom Weg ist.
Theorem: Konservatives Kraftfeld
(i) ist rotationlos;
(ii) kann als Gradient eines skaleren Feldes ausgedrückt werden.
Beweis von (i):
Stokes Theorem:
(2) gilt für beliebige
Fläche, also gilt:
Beweis von (ii):
Jedes Feld der Form
erfüllt (i):
denn:
(11b.6) ausführlich:
"rotiationslos"
Vorzeichen: Konvention
skalares Feld, heißt
"Potential", oder
"potenzielle Energie"
Nullpunkt beliebig wählbar
Auszug aus T0, Vorlesung 8:
Wähle Weg durch Punkt
parametrisiert als
Annahme:
ist wegunabhängig.
,
(für gegebenes
, ist (3), laut Annahme (1),
, nicht vom Weg!
eine Funktion nur v.
und definiere:
Ableiten nach t:
rechts:
links:
t=
setzen:
Dies gilt für beliebige Werte der
Anfangsgeschwindigkeit
;
somit:
Energieerhaltungssatz:
Integriere (11a.4)
Änderung v. U
in Richtung von
(siehe NM13)
Aber, wir wissen auch:
(- Änderung v. U)
(Änderung v.T)
Entlang einer Trajektorie (Bahn) in einem konservativem Kraftfeld bleibt die
Gesamtenergie E=T+U eines Teilchens erhalten.
Explizite
Herleitung:
Kettenregel
Energieerhaltung gilt
nicht für zeitabhängige
Potentiale:
gilt
explizite Zeitabhängigkeit,
Falls
nicht:
denn dann :
Grund: externes System ist für zeitänderung des Potentials verantwortlich,
und kann Energie zuführen oder abziehen.
Bewegungsgleichung
Erhaltungssätze
heissen "Integrale der
Bewegung", weil
sie Diff.-Gl. 1. Ordnung sind
ErhaltungsSätze:
Bespiel einer kons. Kraft: Lorentzkraft
Kraft auf geladenes Teilchem im Magnetfeld:
Energie ist
erhalten, also ist
Kraft konservativ.
ist eine Diff.-Gl. 2. Ordnung
Zusammenfassung: Newton'sche Mechanik für einen Massenpunkt
Def. eines Inertialsystems: Kräftefreie Bewegung:
Definitionen:
Impuls:
Drehimpuls:
N2 für Drehimpuls:
Erhaltungssätze:
Definitionen:
Kinetische Energie:
Von Kraftfeld geleistete Arbeit:
Konservatives Kraftfeld:
Lorentz-Kraft:
Energieerhaltungssatz für kons. Kraft:
Drehmoment:
Mathematischer Exkurs: Differentialgleichungen (DG)
Grundverständnis für DG wichtig für kl. Mechanik (u.v.a. ...)
Bsp. f. "gewöhnliche DG":
Höchste Ableitung : =
"Ordnung" d. DG
(= 2 in Gl. (1))
Beachte: Abl. nach nur einer Variablen. Ansonsten wäre es eine
"partielle DG" (mehrere Variablen) :
Gesucht:
Qualitativ:
Lsg. der DG für best. Anfangsbedingungen.
DG macht Aussage über Verhältnis einer Funktion
zu ihren Ableitungen.
Beispiel 1:
(a > 0)
je größer Funktion, je größer Abl.
" kleiner
"
, " kleiner "
Beispiel 2:
(a > 0)
(a > 0)
(2. Abl.) = Krümmung : hat immer umgekehrtes Vorzeichen rel. zum Funktionswert
Fundamentaler Satz über Lsg.:
Die allg. Lsg. einer gewöhnlichen DG n-ter Ordnung hängt von n unabh. Parametern ab.
Was bedeutet "unabhängige Parameter"?
Beispiel:
sei
dann
und
sind
nicht unabhängig
Allgemein: "unabhängige Parameter" bedeutet:
es existieren keine Funktionen
so dass
Lsg. der DG
Unabhängigkeit ist i.d.R. offensichtlich ohne Beweis.
Mit d . allg. Lsg. lassen sich durch geeignete Wahl v.
beliebige Anfangsbedingungen erfüllen.
Wichtige Konsequenz:
Lösungen möglich durch geniales Raten , denn:
"educated guess"
Für eine DG n-ter Ordnung ist eine geratene Lsg.
mit n unabhängigen Parametern "automatisch" die allg. Lösung.
Beispiel:
(DG mit n = 1 )
Lösung:
beliebige Konstante
Check:
Systematische Verfahren zur Lösung v. gewöhnlichen DG
Für manche Klassen v. gew. DG gibt es systematische Lösungswege.
Trennung der Variablen:
Bsp.:
(dasselbe wie 3.1)
"Trennung"
f nach links, x nach rechts,
und integriere:
Integrationskonstante
Trennung der Variablen:
Intuitive Erläuterung
Allgemeine Struktur:
Trennung d. Variablen besagt:
Warum funktioniert das?
Betrachte infinit. Interval Nr. i:
(1) liefert:
Steigung:
(3) gilt für jedes Intervall. Also auch für deren Summe:
(4) ist Riemannsche Summe für Integral:
Wichtiger Spezialfall: Lineare DG
(Linearkombination von Ableitungen)
"homogene" lineare DG:
Notation:
(n+1 Terme)
x-unabhängig
z.B.:
Satz (sehr wichtig): Für homogene lineare DG gilt
das Superpositionsprinzip: falls
Lösungen sind, ist
und
auch eine Lösung.
Beweis:
(trivial)
"inhomogene" lineare DG:
vorgegebene Funktion
Die allgemeine Lösung einer inhomogene lin. DG hat die Form
wobei
die allgemeine Lösung der homogenen DG.
und
eine spezielle oder 'partikuläre' Lösung
der inhomogene lin. DG ist
Beweis:
(trivial)
Anfangsbedingungen lassen sich mittels entsprechender Wahl der Integrationskonstanten
von homogener Lösung
berücksichtigen.
Zurück zur homogenen lin. DG:
Lösungsansatz:
(Eulerscher Ansatz)
Eingesetzt in (1):
"Charakteristische
Gleichung"
(2) ist Lsg. falls
"Charakteristisches Polynom"
Falls Gl. (4) n unterschiedliche Lsg.
die allg. Lsg. von (1):
(lin. Unabhängigkeit der
Bemerkung:
z.B.
besitzt, ist
Integrationskonstanten
ist trivial falls
alle unterschiedlich sind)
Falls einige
gleich sind, ("Entartung"),
ist Sonderbehandlung nötig (hier nicht diskutiert)
wenn es zwei gleiche
gibt:
Dann:
Allg.: falls
Bemerkung:
Die Wurzeln
können komplex sein.
Wir suchen aber oft nur reelle Lsg. Diese können als
Real- und Imaginärteil der allg. Lösung (8.2) konstruiert werden.
Verallgemeinerung:
System v. (mehreren) DGleichungen für (mehrere) Funktionen:
z.B.
Eine DG n-ter Ordnung lässt sich schreiben als System v. n DG-ngen 1-ter Ordnung.
Beispiel:
(Ordnung 2)
Definiere:
2 DG 1-ter
Ordnung
Zusammenfassung: Differentialgleichungen
Fundamentaler Satz: Die allg. Lsg. einer DG n-ter Ordnung hängt von n unabh. Parametern ab.
Separation der Variablen:
Lineare DG mit konstanten Koeffizienten:
Homogene Gl.:
Char. Polynom:
Exponentialansatz:
Nullstellen:
Allg. Lösung der homogenen Gl:
Allgemeine Lösung der inhomogenen Gl:
partikuläre Lösung der inhom. Gl.
Eine DG n. Ordnung lässt sich immer als n DG-ngen 1. Ordnung schreiben.
Mathematischer Exkurs: Dreidimensionale Drehgruppe
Def.:
Drehmatrix:
R sei eine reelle, orthogonale Matrix, d.h.
transponiert
Def.:
"Rotation":
Unter
sind Komponenten von
bleiben Längen erhalten!
Beweis:
Bem.: Da
, stellt R eine Drehung dar!
Beispiel in 2 Dim.:
In 3 Dimensionen:
"spezielle orthogonale Transf. in 3 Dimensionen"
Def.:
"reine Drehung",
Name für Drehgruppe.
Drehung + Raumspiegelung
Bemerkung:
Jede SO(3)-Rotation läßt sich durch Hintereinanderausführen von
Drehungen um die drei Koordinatenachsen aufbauen:
Drehung um z-Achse
(gegen Uhrzeigersinn):
zyklische Vertauschung
aller Indizes:
Drehung um x-Achse
(gegen Uhrzeigersinn):
zyklische Vertauschung
aller Indizes:
Drehung um y-Achse
(gegen Uhrzeigersinn):
SO(3) ist damit eine 3-parametrige Gruppe, mit Parametern
Zusätzliches Element für O(3):
Raumspiegelung:
Einschub: "Gruppenaxiome" : Mitglieder einer "Gruppe"
haben folgende Eigenschaften:
1) Verknüpfungsoperation: Falls
und
dann
2) Assoziativ:
3) Einheitselement: Es existiert
4) Inverse:
Rotationen
Sei
sodaß
existiert
so dass
erfüllen alle diese Axiome. Bsp.:
und
dann
Zeitabhängige SO(3) Rotationsmatrix:
Rotation um die
Achse, um den Winkel
Orthogonalität:
Definition:
B ist antisymmetrisch!
Matrixform:
Check:
Explizit:
[siehe Rechenmethoden, Blatt 9, Hausaufgabe 9]
Sei nun
und berechne
mit
Wie ändert sich Vektor
als Funktion der der Zeit?
Änderung von r steht senkrecht
zu r und zur Rotationsachse.
Erhaltungssätze
(zum Ersten)
[nach S. Kehrein]
Def.: "Abgeschlossenes System" : hat keine Wechselwirkung mit
Massenpunkten ausserhalb des Systems.
Betrachte abg. System aus N Massenpunkten, beschrieben durch Potential
Kraft auf Massenpunkt
in Richtung
Vektornotation:
Bsp.: Gravitationspot.
für N Körper:
keine Doppelzählung!
= Summe aus "Zweikörperpotentialen"
Satz:
Bemerkung:
Ein abgeschlossenes System sei durch ein Potential
beschrieben. Falls V nicht explizit von der
Zeit abhängt ("V invariant unter Zeitverschiebungen
"Homogenität der Zeit"), ist die Gesamtenergie zeitlich konstant.
",
"Homogenität der Zeit" bedeutet: Keine "absolute" Zeit
ist ausgezeichnet. z.B.: 2 Beobachter in unterschiedl.
Inertialsystemen mit verschiedenem Zeitursprung
sehen die gleichen Naturgesetze.
Gegenbeispiel : Atome in optischer Falle,
mit
(Pot. öffnet sich als Fkt. v. t)
Beweis:
Gesamtenergie:
Satz:
Ein abgeschlossenes System sei durch ein Potential
beschrieben. Falls V invariant unter
Verschiebungen um beliebigen Vektor
ist,
("Homogenität des Raums"), ist der Gesamtimpuls zeitlich konstant:
Bemerkung (i):
Gegenbeispiel:
Homogenität des Raums : kein Punkt im Raum ist ausgezeichnet.
Atome in optischer Falle:
Bemerkung (ii):
Bedingung für 2-Teilchen-WW, dass Pot. nur
von Ortsdifferenzen abhängt, z.B. Grav. Pot.:
Beweis:
Gesamtimpuls:
Explizit:
Beweis:
wenn
ansonsten
Folgerung:
Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems mit
Eigenschaft
bewegt sich gleichförmig, mit Geschw.
wobei
= Gesamtmasse.
Beweis:
Schwerpunkt
Nächster Schritt:
Konsequenz der Isotropie des Raums?
Vorher...
Mathematischer Exkurs über Drehungen
Drehe den Vektor
um einen Winkel
parallel zu einer Achse
, mit
In welchen Vektor
geht
über?
(Sog. aktive Transf.)
Zerlege
bezüglich
(Gegenuhrz.)
:
Blick von 'oben'
Siehe Blatt 1
Beispielaufgabe 1
Schreibe:
mit
Rotierter Vektor:
Rechte Hand:
Daumen
Zeigefinger
Mittelfinger
Infinitesimale
Drehung um
Dann
Logisch:
für infinitesimale Drehung ist Änderung v.
und senkrecht zur Drehachse
senkrecht zum Ausgangsvektor
Änderung pro Zeit
Winkelgeschwindigkeit:
Def.:
Def.:
Satz:
[vergleiche MED(6.10)]
Ende math. Exkurs.
Drehimpuls eines Teilchens bezüglich Ursprung:
Drehmoment, das auf das Teilchen wirkt:
Ein abgeschlossenes System sei durch ein Potential
beschrieben. Falls V invariant
unter Drehungen um den Ursprung ist,
gleiche Transf .
alle N Vektoren
für
("Isotropie des Raumes"), dann ist der Gesamtdrehimpuls
bezüglich des Ursprungs,
Anmerkung:
, zeitlich erhalten.
Verallgemeinerung für Drehung um anderen Punkt ist offensichtlich.
Beweis:
Betrachte inf. Drehung
um Einheitsvektor
:
gilt für alle
also auch für
Spatprodukt ist zyklisch
Gesamtdrehmoment
verschwindet
ist beliebig
Anmerkung (i):
Bsp.:
Def.:
Folgerung:
Gesamt-Drehmoment
v. Teilchen ν und μ:
2-Teilchenpotentiale, die nur vom Abstand abhängen
(und nicht von ihrer Orientierung relativ zueinander), sind isotrop.
Grav. Pot.:
Eine "Zentralkraft" wirkt immer in Richting der
Verbindungsgerade zweier Massenpunkte:
Für Zentralkräfte gilt Drehimpulserhaltung, denn M =
,
Bem. (ii)
Isotrope 2-Teilchenpotentiale führen zu Zentralkräften.
Beweis:
hängt nur vom Abstand ab.
Kraft:
Bem. (iii)
Es gibt auch (z.B.) isotrope 3-Körperkräfte, die keine
Zentralkräfte sind. Auch für diese gilt, wie gezeigt,
Drehimpulserhaltung!
Zentrales Thema der
modernen Theoretischen Physik:
Symmetrien
Erhaltungssätze
zur Kenntnisnahme:
Falls alle Kräfte konservativ sind, kann gezeigt werden, dass
Energie folgende allgemeine Form hat:
Kinetische Energie:
Potential für
externe Kräfte:
Potential für
interne Kräfte:
Zusammenfassung: Symmetrien und Erhaltungsätze
Für ein abgeschlossenes System mit zeitunabhängigem Potential,
ist die Gesamtenergie erhalten.
Für ein abgeschlossenes System mit translationsinvariantem Potential,
ist der Gesamtimpuls erhalten.
Für ein abgeschlossenes System mit rotationsinvariantem Potential,
ist der Gesamtdrehimpuls erhalten.
Isotrope 2-Teilchenpotentiale führen zu Zentralkräften.
Galilei-Transformation
Zur Erinnerung: Newtons Bwgl. gelten nur in Inertialsystemen (IS).
In IS sind Bewegungsgleichungen besonders einfach (es gibt keine Scheinkräfte)
Frage:
Wie viele IS gibt es?
Bessere Formulierung:
Welche Koord.-Transf. von einem kartesischen Koord.-System zu
einem anderen lassen N1 (Definition von IS) invariant?
zeitunabhängige Drehmatrix
zeitunabhängige Geschwindigkeit
Antwort:
Transf. der Form:
'Galilei-Transf.'
Check:
Anmerkung:
Galilei-Transf. bilden eine "Gruppe"
Relativitätsprinzip von Galilei: alle IS sind gleichwertig (sehen gleich aus)
Genauer: (Alle) Inertialsysteme sind für Beschreibung (aller) physikalischer Gesetze
äquivalent. (Labor im Zug = Labor im Bahnhof)
Konkret:
N1, N2, N3 sind forminvariant (oder "kovariant") unter
Transformation von IS zu IS' ("Galilei-Transformation")
Dasselbe Ereignis
habe in
Koordinaten
In IS:
Galilei-Prinzip besagt:
In IS' haben N1, N2
dieselbe Form:
(keine zusätzlichen Terme!)
(2.3) und (2.4) beschreiben dasselbe physikalische System, aber aus
verschiedenen IS betrachtet.
"Galilei-Transf." ist allgemeinste Transf., die diese "Kovarianz" gewährleistet:
Transformation
der Komponenten:
zeitunabhängige Drehmatrix
zeitunabhängige Verschiebung d. Ursprungs
Relativgeschw.
in Raum und Zeit
Check:
Also: N2 ist form-invariant, falls wir ansetzen:
(Komponenten d. Kraft im rotierten System)
Galilei-Transf. gewährleistet also Forminvarianz
Bemerkung: die Komponenten
und
haben im Allgemeinen
unterschiedliche Form, denn sie beziehen sich auf unterschiedlichen Bezugsysteme. ZB:
Dennoch beschreiben sie dieselben Vektoren.
Interpretation der Galilei-Transf.:
(i) Passive Transf.:
Ein physikalisches System wird von zwei Inertialsystemen aus betrachtet. Beide Experimentatoren
sehen die gleichen physikalischen Gesetze =>
"Forminvarianz " der Bew.gl.
(ii) Aktive Transf.:
Betrachte zwei physikalische Systeme vom gleichen
Inertialsystem aus, welche durch Galilei-Tr. ineinander
übergehen. Auch hier gilt Forminvarianz der Bew.Gl.
Einschränkung:
Galilei-Invarianz stimmt nur für nicht-relativistische
Geschwindigkeiten:
Beobachtung: Vakuumlichtgeschw. ist in allen
Bezugssystemen konstant (gleich) => Widerspruch zu
Beschleunigte Bezugssysteme:
Wird O' relativ zu O beschleunigt, mißt O' andere Kräfte als O
und merkt so die Beschleunigung. => O' ist kein IS.
Beobachtungen von O und O' sind nicht äquivalent.
Beispiel:
Wagen wird nach
beschleunigt, Scheibe rutscht nach
auf der Eisplatte!
O sagt:
Ich ruhe, Scheibe bewegt sich nicht, spürt also keine Kraft,
O' sagt:
Ich ruhe, Scheibe beschleunigt sich mit
spürt also Kraft
nach rechts
= "Scheinkraft" = "Trägheitskraft"
Eine Scheinkraft oder Trägheitskraft ist keine wirkliche Kraft. Wird nur
gebraucht, um Messung im beschleunigten Bezugssystem (BS) O' zu
interpretieren, falls Beschleunigung nicht berücksichtigt wird. In einem
IS (O) sind alle Scheinkräfte = 0.
Allgemeine Transformationsregel:
Sei O (z.B. raumfest) ein IS,
O' (z.B. rotierend), kein IS:
zeitabhängig!
momentane Winkelgeschwindigkeit [siehe ES(8.8), MED(6.10)]
Ortsvektor:
Einsteinsche
Summenregel
Geschwindigkeit:
Interpretation:
Geschw. v.
P laut O
Geschw. v. O'
relativ zu O
Geschw. v. P
laut O'
Geschw. eines starr mit O' mitrotierenden Punktes, v. O aus
(nur Richtung ändert sich)
Vektornotation:
Zeitableitung von O' aus gesehen,
betrifft nur Komponenten (nicht
Analog für Beschleunigung:
Umgestellt:
Zeitableitung von O' aus gesehen,
betrifft nur Komponenten (nicht
)
)
Bewegungsgleichung:
in O (=IS) :
in O' ( IS) :
linearbeschleunigende
Kraft
Die Scheinkräfte
(weil O'
CoriolisKraft
ZentrifugalKraft
werden in O' (aber nicht O) benötigt,
IS), um die in O' gemessenen (sehr realen!) Beschleunigungen
zu interpretieren.
Gaspard Gustave de Coriolis (* 21. Mai 1792 in Nancy; † 19. September 1843 in Paris)
war ein französischer Mathematiker und Physiker.
Beispiel: Coriolis-Kraft:
namenlos
Foucaultsches Pendel
am Nordpol, Blick von oben
Aufgaben zum Selberrechnen:
- wie sieht das Schwingungsmuster am Südpol aus?
- " "
"
"
am Äquator " ?
Jean Bernard Léon Foucault (* 18. September 1819 in Paris; † 11. Februar 1868 ebenda) war ein französischer Physiker.
Foucault wurde in Paris geboren. Seine Ausbildung erhielt er von einem Privatlehrer,
da ihm mangels Fleiß und Betragen nahegelegt wurde, die Schule zu verlassen. Er begann
ein Medizinstudium, musste aber auch dieses abbrechen, da er den Ekel beim Sezieren
nicht überwinden konnte. Ohne Universitäts-Studium widmete er sich der Physik und
erarbeitete sich alles autodidaktisch.
In den 1840er Jahren trug er zu den Comptes Rendus, einer Beschreibung eines
elektromagnetischen Regulators für die elektrische Bogenlampe bei und veröffentlichte
zusammen mit Henri Victor Regnault eine Arbeit über binokulares Sehen. 1851 führte
er das nach ihm benannte Foucaultsche Pendel der Öffentlichkeit vor. Dieses
ursprünglich von Vincenzo Viviani übernommene Experiment zeigte laientauglich
erstmals die Erdrotation.
Ein Jahr später gelang ihm mit Hilfe der Drehspiegelmethode eine sehr genaue Messung der Lichtgeschwindigkeit, die er
auf 298.000 km/s bestimmte. Er verwendete dabei einen Drehspiegel, der dem von Sir Charles Wheatstone ähnelte.
Außerdem bewies er, dass die Lichtgeschwindigkeit in Wasser niedriger als in Luft ist, womit gleichzeitig die Wellennatur
des Lichts bestätigt wurde.
In der Optik wird das von ihm entwickelte foucaultsche Schneidenverfahren zur Prüfung optischer Flächen oder ganzer
optischer Systeme verwendet.
Weiter untersuchte Foucault Wirbelströme in Metallen, wofür er die Copley Medaille erhielt, entwickelte ein
leistungsfähiges Spiegelteleskop und erfand 1852 das Gyroskop, basierend auf Johann Gottlieb Friedrich von
Bohnenbergers Maschine von 1817. Er wurde 1865 in die französische Akademie der Wissenschaften aufgenommen.
Foucault erkrankte an Aphasie und starb, fast blind und stumm, am 11. Februar 1868 in Paris.
Wirbelstürme
Hurricane Mitch
Hurricane Katrina
Drehrichtung in Nordhalbkugel:
Gegen Uhrzeigersinn !
Wirbelstürme:
Warme Luft über dem Ozean steigt auf, erzeugt ein Niedrigdruckgebiet, das Luft lateral ansaugt
Die Coriolis-Kraft lenkt die angesaugte Luft ab, sodass ein Wirbel entsteht.
Drehrichtung der Erde
Naiv:
Uhrzeigersinn?
Druckgradientenkraft berücksichtigen:
Angesaugte Luft
Äquator
Druck
groß
Am Äquator:
keine Wirbelstürme !!
Auf Kreisbahn:
Druckgradientenkraft
und Corioliskraft
gleichen sich aus!
Druck klein
Zusammenfassung: Galileo-Transformation
Relativitätsprinzip von Galilei: alle IS sind gleichwertig
N1, N2, N3 sind forminvariant
unter Galilei-Transformationen:
Zusammenfassung: Beschleunigte Bezugssysteme:
Wird O' relativ zu einem Inertialsystem O beschleunigt, mißt O' andere Kräfte als O
und merkt so die Beschleunigung. => O' ist kein Inertialsystem.
Eine Scheinkraft / Trägheitskraft wird nur gebraucht, um Messung im beschleunigten
Bezugssystem (BS) O' zu interpretieren, falls Beschleunigung nicht berücksichtigt wird. In
einem IS (O) sind alle Scheinkräfte = 0.
in O (=IS) :
in O' ( IS) :
linearbeschleunigende
Kraft
CoriolisKraft
ZentrifugalKraft
namenlos
Kleine Schwingungen
Motivationsapplett: http://chemtube3d.com/vibrationsCH4.htm
Ziel:
Generische Beschreibung der Dynamik der Umgebung
von stabilen Gleichgewichtslagen.
Beispiele:
Teilchen in
Potentialminimum:
Molekulare
Schwingungen:
symbolisiert Rückstellkräfte
auf Grund von
Coulomb-Wechselwirkung
Atome im
Kristallgitter:
Beispiel: Dreiatomiges Molekül
3 Atome (Massen
)
gekoppelt durch
2 harmonische Federn
(Federkonstante k)
Positionen:
Gleichgewichtspositionen:
Auslenkungen um
Gleichgewichtslage:
Potentielle Energie:
Auslenkungen
in Gleichgewichtslage:
Ausgedrückt durch
Auslenkungen:
Gleichgewichtslage:
Symmetrische
Schreibweise mittels
einer Matrix
:
Analog für
kinetische Energie:
Kraft auf Teilchen n:
Bewegungsgleichung
für Teilchen n:
Vektorielle Schreibweise:
(System linearer DGL)
Bewegungsgl.:
Lösungsansatz:
(siehe Vorl. 2,
Einsetzen in
sind
zu bestimmen
)
:
Bemerkung:
ist "verallgemeinertes Eigenwertproblem", denn
bringt es in die Form eines üblichen Eigenwertproblems:
Wir erwarten 3 Eigenwerte
mit dazugehörigen Eigenvektoren
.
Lsg. mit
existieren nur, falls die Matrix
nicht invertierbar ist:
= Polynom d. Ordnung 3 in
Explizit:
für
3 Lsg. von
liefern Eigenwerte:
System hat 3 "Eigenfrequenzen":
Dazugehörige Eigenvektoren = "Normalmoden" ,
Eigenwertbedingung
:
Einfache Rechnung (siehe 5.7) liefert:
Unnormierte
Eigenvektoren:
Check:
z.B. für
:
Einschub: Explizite Berechnung der Eigenvektoren durch Lösen von
für
für
für
Check:
Ende Einschub
Was ist allgemeine Lsg. v.
Wir brauchen
(
?
unabhängige Integrationskonstanten!
Massenpunkte, für jeden davon
)
1. Versuch:
Aber:
2. Versuch:
und
sind nicht linear unabhängig, weil
leicht zu verifizieren
durch Einsetzen
Da die
den vollständigen Vektorraum aufspannen, sind beliebige
Anfangsbedingungen durch
repräsentierbar.
Allgemeine Lösung:
Visualisierung der drei Eigenschwingungen:
http://chemtube3d.com/vibrationsCH4.htm (siehe CO2)
Kleine Schwingungen vieler Freiheitsgrade
Betrachte System mit f Freiheitsgraden: (z.B. N Teilchen in 3 Dim.: f = 3N)
Koordinaten:
Geschwindigkeiten:
Kinetische Energie:
"Massenmatrix"
Nebenbemerkung:
Bei fortgeschrittenen Anwendungen (Lagrange, verallgemeinerte Koordinaten),
ist
im allg. nicht-diag., aber stets symmetrisch, mit positiven Eigenwerten.
Wir betrachten hier jedoch nur den (naheliegendsten) Fall ,
.
Potentielle Energie:
Bewegungsgl.:
Def.:
Gleichgewichtslagen (Fixpunkte) sind zeitunabhängige Lösungen der Bewegungsgleichung:
Explizit:
(3) in (2):
Energie am Fixpunkt:
Umgebung eines Fixpunktes:
"Entwickle U
um
herum",
seien
klein
Taylor-Entwicklung
des Potentials
in f Koordinaten
bis zur quadratischen
Ordnung in x :
Höhere Terme vernachlässigbar
bei kleinen Auslenkungen:
'Hesse-Matrix'
(enthält
, etc.)
Ohne Verlust der Allgemeinheit wählen wir:
In Matrix-Notation:
Bewegungsgleichung:
In Matrixnotation:
(Vergleiche Gl. 4.5)
Gl. (3) sind lineare, homogene DGl. 2. Ordnung mit konst. Koeff.
Diese Vereinfachungen wurden erreicht durch Vernachlässigung der
Beispiele:
-Terme:
f = 1:
[falls
:
HO mit
]
"stabiler Fixpunkt"
k > 0:
Lösung:
Harmonische
Näherung OK falls
Amplitude klein bleibt:
Energie-Erhaltung:
System folgt Ellipse
im
- "Phasenraum":
"Elliptischer Fixpunkt"
k < 0:
Allg. Lösung:
System folgt Hyperbel im Phasenraum:
"Hyperbolischer Fixpunkt"
Harmonische Näherung nur für kurze Zeiten OK.
"instabiler Fixpunkt"
Betrachte
, mit σ = Verstellbarer Parameter
Änderung v. σ kann Charakter des Fixpunkts ändern:
Harmonische Näherung:
stabiler
Fixpunkt
kritischer (oder marginaler)
Fixpunkt
"Bifurkation"
Zurück zur
allg.-Gleichung:
Bedingung für stabiles
Gleichgewicht:
f. alle genügend kleine x
Kurznotation:
(Matrixmultiplikation ist implizit)
Transformiere zur
Eigenbasis von V:
V ist symmetrisch,
diagonal
"V ist positiv-definite Matrix"
(3) erfordert: Eigenwerte v. V sind positiv!
Ferner gilt auch allgemein:
ist positiv-definite Matrix
instabiler
Fixpunkt
Allg. Lösungsverfahren
für Gl. (17.1):
komplexer Spaltenvektor
Komplexer Lösungsansatz:
Schreibe:
(Vorzeichen: meine
Konvention)
(dann:
und fordere
)
(2) in (3):
Matrix-Notation für (4):
(Eigenwertproblem)
Nicht-triviale Lösung
erfordert:
charakteristisches Polynom:
(z.B. 5b.4)
Polynom von Grad f mit reellen Koeffizienten
Nullstellen von
sind "(Eigenfrequenzen)
" von (18.5)
[reell, da V und T symmetrisch sind]
Eigenvektoren
erfüllen die Gl.:
"Eigenmode, Eigenschwingung"
Entsprechende
Lösung
(kann gezeigt werden!)
ist positiv-definit;
Falls auch
positiv-definit ist,
sind Wurzeln v.
positiv:
(gilt für stabiles Gleichgewicht, siehe 17.8)
Ansonsten sind einige Wurzeln negativ:
= reell
Oszillation
stabiler Fixpunkt
also gilt:
schreibe
folglich:
instabiles GGW !!
Sonderfall:
:
dann liefert (19.2)
Potential ändert sich nicht in
-Richtung
(ist zu bestimmen)
Ansatz zur Lösung v. (18.3):
Eingesetzt:
gleichförmige Bewegung in
-Richtung! (statt Oszillationen)
Beispiele für f = 2:
Minimum
Sattel
Rinne
Tunnel
Sattel
Maximum
Ein-dimensionales Kristall-Modell
Massen:
Federkonstanten:
mit periodischen
Randbedingungen:
Gleichgewichtspositionen:
Auslenkungen:
Potentielle Energie:
Bewegungsgl. für n:
N gekoppelte Gl.
f.d. N Funktionen
Rückstellkraft
Streckung/Dehnung d. Feder:
falls >0:
Kraft nach links
falls >0:
Kraft nach rechts
(22.4) in Matrixnotation:
[wegen periodischer Randbedingung]
mit
[vergleiche KSchw(3.3)]
Anstatt V mittels charakteristischem Polynom zu faktorisieren, werden wir
zeigen, dass die Eigenvektoren mittels einem Fourier-Ansatz gefunden werden können:
Ansatz:
Eingesetzt in (22.4):
Für eine gültige Lösung müssen
und
somit wie folgt zusammenhängen:
"Dispersionsrelation":
(wie hängt
von
ab)
Entsprechende Lösung
trägt Index k:
Periodische Randbedingungen,
erfordern, das nur bestimmte
k-Werte erlaubt sind:
Also sind nur Vielfache v.
möglich, mit
[größere k-Werte liefern
keine neuen Lösungen, denn
somit:
Die möglichen k-Werte bilden kein Kontinuum, sondern eine diskrete Menge: "k-Quantisierung".
Folglich sind auch die entsprechenden Eigenfrequenzen
quantisiert.
Im Limes
wird k ein kontinuierlicher Parameter.
(entspricht einer unendlich langen Kette, wo Randbedingungen keine Rolle spielen)
Applet zur Visualisierung der Schwingungen: http://www.ph2.uni-koeln.de/505.html
Gefundene Lösung in der Vektornotation von Gl. (23.1):
mit
Der Vektor
ist in der Tat ein Eigenvektor der Matrix
Eigenwert
Zusammenfassung: kleine Schwingungen
Kinetische Energie:
Potentielle Energie:
Bewegungsgl.:
Komplexer Lösungsansatz:
Eigenwertproblem:
Eigenmode, Eigenschwingung:
Sonderfall:
Gedämpfter Harmonischer Oszillator (Wiederholung aus R, Selbststudium)
Bewegungsgl.:
Rückstellkraft
Reibungskraft
Reibung
Lösungsansatz:
eingesetzt in (1):
Aufgelöst nach ν:
Wir unterscheiden 3 Fälle:
1.)
Gedämpfte periodische Bewegung
2.)
Exponentiel abfallende Bewegung
3.)
Grenzfall aperiodischer Bewegung
1.
:
= reell
Lösung:
2 Integrationskonstanten
Lösung:
Charakterisierung:
Gedämpfte periodische Bewegung
oder
In Rechenmethoden
hatte ich hier eine
anderes Symbol
benutzt:
2.
:
imaginär
(
, denn
(2) in (1.2):
Lösung:
2 Integrationskonstanten
Charakterisierung:
Exponentiel abfallende Bewegung
3.
:
Allgemeine Lösung:
(beachte den Term linear in t!)
Charakterisierung:
Check:
Eingesetzt in (1.2)
mit
:
2 Integrationskonstanten
Grenzfall aperiodischer Bewegung
)
Zusammenfassung:
Wurzeln des charakteristischen Polynoms:
Erzwungene Schwingungen
Getriebener,
gedämpfter
harmonischer
Oszillator
Reibung
"Antriebsmotor"
Bewegungsgl.:
Reibung
Ziel:
Eigenfrequenz
Lösung v. (1.1) für beliebige Antriebsfunktion f(t)!
Qualitatives Verständnis der Lösung.
Periodischer Antrieb:
Betrachte:
Bewegungsgl. (1.1):
[alle Größen in dieser Gl. sind reell]
Lösungsweg: komplexe Version des Antriebs
betrachte
gesuchte Funktion:
Allg. Form der Lösung:
Allgemeine Lösung d. homogenen DG (mit f = 0)
Partikuläre (irgendeine Lösung) v. (2)
"Antriebskraft"
Partikuläre Lösung von (2.3):
Nicht-homogene DG:
Ansatz:
(7.1) eingesetzt
in (2.3) :
"Dynamische
Suszeptibilität":
"statische Susz."
Reaktion
Suszeptibilität
äußere Störung
Auslenkung
Antrieb
Eigenschaften d. Suszeptibilität:
Höhe
prop. zu
Betrag:
Breite
prop. zu
Resonanz-Frequenz:
wo Nenner = minimal:
Bei
:
maximal
kleine Antriebskraft
große Reaktion
Phasenverschiebung
gegenläufige
Antwort
gleichläufige
Antwort
Allgemeiner Antrieb:
beliebige Funktion f(t):
Betrachte:
Fourier-transformierte
Fourier-Ansatz für Antrieb:
Physiker-Konvention
Fourier-Ansatz für Lösung:
(3) in (2):
hängt nicht von t ab!
gilt für
beliebige t:
Dynamische
Suszeptibilität:
eingesetzt in (2), liefert
gesuchte Lösung
Auslenkung
Antrieb
Einschub:
δ-Delta-Funktion
Definierende Eigenschaft
v. δ-Funktion:
Eine mögliche Darstellung,
Lorentz-Funktion:
1 = Fläche
Normierung:
Dämpfungsfaktor
Integraldarstellung
Betrachte:
Ende Einschub
Antwort auf eine δ-Kraft:
Erwartete Lösung
(qualitativ, für
):
[Allgemeine Fourier-Rücktransf.]
Fourier-Transf. des
Antriebs:
Eingesetzt in (7.5)
mit Wurzeln:
Check:
mit
Lösung:
Integral lösen
(mittels Bronstein,
oder Konturintegration):
für
für
für
:
Skizze auf Seite 9
Fazit:
(7.1), mit Antrieb (9.1):
für
hat die Lösung
(für
):
für
Antwort auf δ-Kraft wird "Greensche Funktion" genannt. Sie ist sehr nützlich!
z.B., liefert formalen Ausdruck für Antwort auf beliebigen Antrieb:
Greensche Funktionen (GF) :
Ergänzende Bemerkungen
Betrachte die inhomogene Differenzialgleichung,
Differentialoperator
Satz:
Sei
und
(
vorgegebene Funktion ("Inhomogener
Term")
gesuchte Funktion
eine Lösung der homogenen Gleichung
eine Lösung der Gleichung
wird die "Greensche Funktion von
" genannt).
Dirac-δ-Funktion
Dann kann die allgemeine Lösung von (1) wie folgt geschrieben werden:
"Beweis":
beachte die
große Allgemeinheit:
beliebig!
sind
Bemerkungen:
Sinn und Zweck von GF ist also: nützlich bei der Konstruktion
allgemeiner Lösungen von linearen inhomogenen Differentialgleichungen.
Die Form der Greenschen Funktion wird über die definierende
Gleichung (11.3) durch den Differentialoperator
und
die Angabe von "Randbedingungen" bestimmt.
zwei beliebte Randbedingungen sind
"retardierte" Greensche F. :
für
"avancierte" Greensche F. :
für
(für T1 relevant)
(nur für fortgeschrittene
Anwendungen)
Alternative Bestimmung d. Greenschen Funktion für gedämpften HO:
Definierende Gl.:
Ansatz:
Partielle Integration
ist gewährleistet, wenn wir fordern:
Homogene DG für g:
Anfangsbedingungen
für g:
Lösung:
Zusammenfassung: erzwungene Schwingungen
Bewegungsgl.:
Komplexer Ansatz:
Allg. Form der Lösung:
Homogene Lösung
fällt exponentiell ab:
Partikuläre Lösung:
(fällt nicht ab!)
"Dynamische
Suszeptibilität":
für
Zusammenfassung: Greensche Funktionen
Differentialgleichung:
Homogene Lösung sei:
Allgemeine Lösung:
Greensche Funktion erfüllt:
Ansatz:
falls
wobei
Greensche Funktion für
unterdämpften HO:
dann
Lagrangeformalismus
(v8)
Lagrangegleichungen 1. Art
Newton:
Aber:
Kraft
gegeben; löse N2:
Oft treten Zwangskräfte auf, die erst durch Bewegung geweckt werden.
Gesamtkraft:
Zwangskraft
Beispiel:
Ebenes Pendel
zur Bewegungsrichtung
Newton:
ZwangsBedingung (ZB):
2. Lösungsmethoden:
(a) Lagrange-Methode 1. Art:
bestimme
explizit und löse (1.3) für
Hier:
(b) Lagrange-Methode 2. Art:
Hier:
löse
erfülle ZB identisch, durch Wahl
geeigneter Koordinaten, löse deren Bwgsgl.
Zwangsbedingungen (ZB): [Verallg. von (1.4)]
Betrachte 1 Teilchen in
1. ZB:
2. ZB:
definiert 2D-Fläche "F1"
in 3D-Raum
definiert noch eine Fläche,
"F2", in 3D-Raum
definiert
Kurve
Beispiel:
für ebenes Pendel:
Allgemein: R Zwangsbedingungen für N Teilchen in
Notation:
3N Koordinaten:
Komponenten:
R Zwangsbedingungen:
Anzahl freier Parameter
("Freiheitsgrade"):
Beispiel: 2 Massen am Stab:
Beispiel: Wippe:
Abstand fest:
Abstand, SP fest:
falls Wippebene fest:
Klassifizierung v. Zwangsbedinungen:
"skleronom"
(zeitunabhängig)
falls
"Holonome ZB":
(Geschw. kommen
nicht vor)
"Anholonome" oder
"nicht-holonome" ZB:
(im folgenden nicht
weiter diskutiert)
"reonom"
(zeitabhängig)
alles andere, z.B.
(Geschw.-abhängig)
(Ungleichheit)
Holonome Zwangskräfte (ZK):
Holonome ZB
zwingt Bewegung in eine (3N-R)-dimensionale Hyperfläche (HF) hinein, doch innerhalb HF
liefert sie keine Einschränkung auf Bewegung
Entsprechende ZK hängt von Bewegung ab; sie zwingt Bewegung, innerhalb HF zu
verlaufen.
Holonome Zwangskraft
Sei:
Ansatz für ZK
(für N=1):
Motivation:
HF ist definiert durch:
Richtung :
Betrag v. Z:
Hyperfläche
wird durch
so eingestellt, dass Bwg.
(trotz äußerer Kräfte) in HF bleibt
Beipspiel: ebenes Pendel
definiert F1
Hyperfläche F1:
Kreis in x-z-Ebene mit
Radius
Konturplot
(Radiusvektor in x-z-Ebene)
Kreis
Zwangskraft 1:
definiert F2
Hyperfläche F2:
Ende v. Beispiel
Bewegungsgleichung mit Zwangsbedingungen:
(6.3) eingesetzt in N2:
gegeben
Summe über alle ZK.
ZB:
(8.2), (8.3) sind
Gleichungen mit
Unbekannten
Durch Lösung dieser Gleichungen können alle Unbekannten bestimmt werden.
Verallgemeinerung auf beliebiges N: (3N Freiheitsgrade, n = 1, ..., 3N)
R Zwangsbedingungen:
Ansatz für Zwangkraft
(in
-Richtung):
[Verallg. v. (6.3)]
(9.2) eingesetzt in N2:
(9.1) und (9.3) bilden die "Lagrange-Gl. 1. Art":
Beispiel für N = 2 mit einer ZB
Gleichungen für
Unbekannte
ZK auf Teilchen 1, 2
Notation für Zwangskräfte:
(allgemein
)
Sei
(z.B. sei Abstand
festgelegt:)
ZK auf Teilchen 1:
ZK auf Teilchen 2:
N3 wird reproduziert!
Erhaltungssätze
Falls ZB Symmetrien verletzen, gelten entsprechende Erhaltungsätze nicht mehr.
Impulserhaltung:
dann
dann
Drehimpulserhaltung:
Energieerhaltung
(für konservative
Kräfte Kn):
Aber:
Fazit: Energie-Erhaltung, falls ZB nicht explizit zeitabhängig sind, d.h. falls:
Lösungsrezept mit Lagrange-Gl. 1. Art (LG1):
1.
Formulierung der ZB:
2.
Aufstellung der LG1:
3.
Eliminierung der
4.
Lösung der Bewegungsgl. für
5.
Bestimung der Integrationskonstanten
(so, dass ZB und Anfangsbedingungen erfüllt sind)
6.
Bestimmung der Zwangskräfte, via
7.
Diskussion !!
Schritt 3 im Allgemeinen: Eliminierung der
(entspricht expliziter Berechnung
der Zwangskräfte)
Eliminiere
zunächst
Eliminiere
aus
(12.1) und (12.3):
Dies ist ein lineares, inhomogenes Gleichungsystem für die R Größen
Kann im Prinzip gelöst werden; allgemeine Form der Lösung:
(12.5) in (12.1):
Rechte Seite ist bekannte Funktion v.
lösen durch Integration...
Beispiel: Reibungsfreies Gleiten auf schiefer Ebene
Gegeben:
Anfangsposition,
Anfangsgeschwindigkeit,
Finde Bewegungsverlauf!
Schritt 1:
(Formulierung der ZB)
Schritt 2:
(Aufstellung der LG1)
(13.3) in Komponenten:
Schritt 3:
(Elimination v.
)
[entspricht (12.3)]
(14.1) eingesetzt:
[entspricht (12.4)]
Auflösen nach
[entspricht (12.5)]
Analog für
Nun sind also
(14.4) in (14.1):
Nun sind
eliminiert
und
Schritt 4:
(Lösen der BewegungsGl. für
)
[Für dieses Beispiel
ziemlich trivial...]
und
bekannt.
Schritt 5: Bestimmung der Integrationskonst., so, dass ZB
und Anfangsbedingungen erfüllt sind.
ZB (13.1) für alle t:
-Terme heben
sich weg:
Anfangsgeschw.
Ansatz zur Lösung
v. (16.2):
Anfangsposition
Eingesetzt in (15.6)
mit
zurückgelegter Abstand
entlang
-Achse
Schritt 6:
(Bestimmung der
Zwangskräfte)
wie in (13.3)
Projektion der Schwerkraft
in die Richtung
senkrecht zur
von der Zwangsbedingung
vorgegebenen Hyperebene
Schritt 7: Diskussion
kompensiert Schwerkraftanteil
zur schiefen Eben
[siehe (17.4)]
Bemerkung:
Bewegung entlang
der
-Achse
löst die effektive
Bewegungs-Gleichung:
wobei:
Kraft
zur Ebene
s(t) ist eine "verallgemeinerte Koordinate";
mit dem Ansatz
wäre (18.2) sofort aus N2,
Zwangskräfte zu berechnen.
gefolgt, ohne dass es nötig gewesen wäre,
Moral v.d. Geschichte: suche zunächst verallg. Koordinaten!!
Zusammenfassung: Lagrange-Gl. 1. Art
3N Freiheitsgrade:
(n = 1, ..., 3N)
R Zwangsbedingungen:
(definiert
Hyperflächen)
Ansatz für Zwangkraft
(in
-Richtung):
(n = 1, ..., 3N,
=1, ... ,R)
(9.2) eingesetzt in N2:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Formulierung der ZB
Aufstellung der LG1
Eliminierung der
Lösung der Bewegungsgl. für
Bestimung der Integrationskonstanten
Bestimmung der Zwangskräfte, via
Diskussion !!
nach Elminierung
der Parameter
Zusammenfassung: Lagrange-Gl. 1. Art
(v9)
3N Freiheitsgrade:
(n = 1, ..., 3N)
R Zwangsbedingungen:
(definiert
Hyperflächen)
Ansatz für Zwangkraft
(in
-Richtung):
(n = 1, ..., 3N,
=1, ... ,R)
(9.2) eingesetzt in N2:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Formulierung der ZB
Aufstellung der LG1
Eliminierung der
Lösung der Bewegungsgl. für
Bestimung der Integrationskonstanten
Bestimmung der Zwangskräfte, via
Diskussion !!
nach Elminierung
der Parameter
Beispiel 1: Reibungsfreies Gleiten auf schiefer Ebene (Zusammenfassung)
Ignoriere y-Richtung,
da trivial; betrachte
nur x-z-Ebene
Schritt 1:
(Formulierung der ZB)
Schritt 2:
(Aufstellung der LG1)
Schritt 3:
(Elimination v.
)
(2) eingesetzt in (3):
(20.4) in (20.2):
(Nun ist
eliminiert)
effektives g
Schritt 4 und 5:
(Lösen der
Bewegungs-Gl. für
mit
Berücksichtigung der
Anfangsbedingung)
zurückgelegter Abstand
entlang
-Achse
Startpunkt
Schritt 6:
(Bestimmung der
Zwangskraft)
effektive Kraft:
Schritt 7:
(Diskussion)
s(t) ist "verallgemeinerte Koordinate",
d.h. ein Freiheitsgrad, der Zwangsbedingungen bereits berücksichtigt.
Die entsprechende Bewegungsgleichung ist einfach:
Beispiel 2: Reibungsloser Massenpunkt rotierender Stange
(zum Selbststudium; siehe Fließbach, Kapitel 8)
Schritt 1:
(Formulierung der ZB)
Schritt 2:
(Aufstellung der LG1)
in Polarkoordinaten:
laut (2): (4) = (3):
Gradient in
Polarkoordinaten
Koeff. v.
:
Koeff. v.
:
Schritt 3:
(Elimination v.
)
(23.1) in (22.5b):
Funktionale Abhängigkeit nun bekannt!
Bewegungsgl.:
Schritt 4 + 5:
(Lösen der Bewegungs-Gl.,
Best. d. Integrations-
(3a):
(ist triviale, instabile Lösung)
konstanten):
Für
(1) integriert:
:
(23.5) eingesetzt in
Bwgs-Gl (23.3a):
Lösungsansatz:
Allgemeine Lösung:
sind bestimmt durch
Anfangsbedingungen:
Lösen nach
Schritt 6:
(Bestimmung der
Zwangskräfte)
[ZK immer
zur Bewegung]
[nicht-triviale t-Abhängigkeit: Z = Z(t) ! ]
Vorausblick:
Oft sind wir nicht an der genauen Form der Zwangskraft interessiert.
In solchen Fällen ist es geschickter, neue "verallgemeinerte Koordinaten"
zu wählen, die die Zwangsbedingungen automatisch erfüllen, also, eine Transformation von
Cartesischen zu "verallgemeinerten" Koordinaten durchzuführen.
= Anzahl Freiheitsgrade
Aber: Newton 2 ist nicht "forminvariant" unter Transformation zu anderen Koordinatensystemen.
(Kein Problem an sich, aber lästig, unästetisch). Wünschenswert wäre alternative Formulierung
der Newtonschen Bewegungsgleichungen, die "forminvariant" unter solchen Transformationen ist.
Satz: N2 sind äquivalent zu "Lagrange-Gl. 2. Art" (L2):
Lagrange-Funktion:
kinetische - potenzielle Energie
Satz: L2 sind forminvariant: für verallgemeinerte Koordinaten gilt:
Im Folgenden:
- Newton 2 umschreiben in Lagrange 2, in Cartesischen Koordinaten, ohne ZB
- Beispiele für Verallgemeinerte Koordinaten und gebrauch von L2 (verallgemeinert)
- Nächstes Mal: Herleitung von Lagrange 2 (verallgemeinert), durch Transformation von N2 + ZB
Lagrange-Gleichungen 2.ter Art (in kartesischen Koord., ohne ZB)
3N Freiheitsgrade:
N2 ohne ZB, mit
konservativem Kraftfeld:
Linke Seite lässt
sich auch schreiben als:
keine Summenkonv.
check
(3) in (2):
Variablen
Funktion v.
Def.: Lagrange-Funktion:
Lagrange-Gl. 2. Art:
"(L2)"
Vorteil: gilt auch für verallgemeinerte Koordinaten und in Gegenwart von Zwangskräften!!
Transformation zu Verallgemeinerten Koordinaten
Oft lässt sich ein Problem durch geschickte Wahl neuer Koordinaten vereinfachen. Beispiele:
- Polarkoordinaten für rotationssymmetrisches Problem in 2D;
- Zylinderkoordinaten für zylindersymmetrisches Problem in 3D;
- Kugelkoordinaten für rotationssymmetrisches Problem in 3D;
- falls Zwangsbedingung (ZB) vorhanden, durch Koordinaten, welche ZB automatisch erfüllen.
Wir betrachten folglich Transformation von Cartesischen zu "verallgemeinerten Koordinaten".
Beispiel 1: Schiefe Ebene
(α = fest)
Entlang Ebene gilt:
Verallgemeinerte Koord.:
Geschwindigkeiten:
Kinetische Energie:
Potenzielle Energie:
Lagrange-Funktion:
Behauptung:
L2 gilt auch für verallg. Koordinaten (Satz 25.4)
(haben wir noch nicht gezeigt,
wollen es zunächst illustrieren)
(L2) für
:
Gewünschte Bewegungsgl.
für verallgemeinerte Koord.:
Lösung:
Beispiel 2: Ebenes Pendel
Faden
Länge
sei
vorgegeben
Hand
Verallgemeinerte Koord.:
Geschwindigkeiten:
Kinetische Energie:
Potenzielle Energie:
Lagrange-Funktion:
Behauptung:
L2 für
L2 gilt auch für verallg. Koordinaten (Satz 25.4)
(haben wir noch nicht gezeigt, wollen es zunächst illustrieren)
:
keine L2 für , da
vorgegebene Funktion ist
Gewünschte Bewegungsgl.
für verallgemeinerte Koord.:
Gl. für
;
ist vorgegeben
für kleine Auslenkungen
Für Pendel mit fester
Länge:
= bekannte
Pendelgleichung!
Betrachte Pendel mit
zeitlich oszillierender
Länge (extern
vorgegeben!):
Sei
für kleine Auslenkungen:
(1),(2) in (30.5):
Für
und
lässt sich Lösung
mittels Störungstheorie finden:
(Entwicklung in ε)
Ansatz:
(4) in (3):
Terme
Terme
harmonischer Oszillator mit
Frequenz
:
:
Zum selber rechnen: Bestimme
!
Hinweis: Lösung von (5) für
in (6) einsetzen.
ist getriebener harmonischer Oszillator!
Beispiel 3: Reibungsloser Massenpunkt rotierender Stange
Cartesische
Koord.:
Vorgegeben:
Verallgemeinerte Koord.:
Geschwindigkeiten:
[analog zu (29.2)]
[analog zu (29.3)]
Lagrange-Funktion:
In kartesischen Koord.:
In Polarkoord.:
Vergleiche mit (30.2) - dort hatten wir
, hier
.
L2 gilt auch für verallg. Koordinaten (Satz 25.4)
(haben wir noch nicht gezeigt, wollen es zunächst illustrieren)
Behauptung:
L2 für
:
keine L2 für , da
vorgegebene Funktion ist
Gewünschte Bewegungsgl.
für verallgemeinerte Koord.:
vergleiche (23.3)
Lösung:
folgen aus Anfangsbedingungen, siehe S. 23,24.
Beispiel 4: 2-dimensionaler Harmonischer Oszillator (ohne ZB)
Potenzial:
Cartesische
Koord.:
EquipotentialEbene
Verallgemeinerte Koord.:
Geschwindigkeiten:
[analog zu (29.2)]
[analog zu (29.3)]
Lagrange-Funktion:
In kartesischen Koord.:
In Polarkoord.:
Behauptung:
L2 gilt nicht nur für:
[haben wir schon gezeigt: (26.6)]
sondern auch für:
L2 für
[das wollen wir jetzt für 2DOszillator checken!]
:
Gewünschte Bewegungsgl.
für
:
Drehimpuls
Drehimpulserhaltung!!
L2 für
:
Gewünschte Bewegungsgl.
für
:
werden wir gleich checken,
mittels alternativer
Herleitung!
Check (35.6) mittels N2:
N2, kartesisch:
Transformiere
nach Polarkoord.:
"selber Nachrechnen!"
(einerseits)
Hieraus folgt:
(andererseits)
und NICHT
Es gilt also:
bestätigt (35.6)
Fazit: Bewegungsgleichung N2 ist nicht forminvariant unter Transformation zu Polarkoord.!!
Zusammenfassung: Vorschau auf Lagrange-Gleichungen 2. Art
3N Freiheitsgrade ohne Zwangsbedingungen:
Kinetische Energie:
Potentielle Energie:
Lagrange-Funktion:
Lagrange-Gl. 2. Art:
3N Freiheitsgrade mit R Zwangsbed. liefern
Behauptung: L2 sind forminvariant:
für verallgemeinerte Koordinaten gilt:
(haben wir noch nicht gezeigt, sondern bisher nur illustriert)
(äquivalent zu N2)
"verallgemeinerte Koordinaten"
Allgemeine Eigenschaften v. verallgemeinerten Koordinaten
Nachtrag zu
Koordinatenvektor:
(Kartesisch)
Komponentendarstellung:
(z.B.
)
Kartesische Einheitsvekt.:
sei allgemeiner Vektor in
Kartesischen Koord.:
Verallgemeinerte Koordinaten:
sei
Ziel: wir suchen verallg.
Einheitsvektoren,
mit
[Projektion v.
in
-Richtung]
Dann kann
in verallg.
Koord. dargestellt werden als:
Konstruktion d.
:
(nutzt die lineare Unabhängigkeit d.
)
Verallg. Koord. müssen per Definition so gewählt sein, dass sie linear unabhängig sind.
D.h., die sog. virtuellen Verrückungen:
(In R-Vorlesung wurde diese Größe
"Kurvengeschwindigkeit" genannt)
"wie ändert sich
mit
?"
Forderung an (4)
müssen orthogonal
zueinander stehen:
(Änderung v.
falls
mit
) muss orthogonal sein zu
(Änderung v.
mit
)
Def.: lokales Vielbein
an Einheitsvektoren für
verallg. Koordinaten:
"in welche Richtung ändert sich
Normierungsfaktor
garantiert
:
mit
?"
Komponente v.
in
Richtung
Die Konstruktion (9) hat die gewünschte Orthogonalitätseigenschaft (5):
Check:
Beispiel:
finde Geschwindigkeit
und Beschleunigung
in verallg. Koordinaten!
In Kartesischen Koordinaten:
Ort:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
[Beachte:
Kartesische Einheitsvektoren sind orts- und zeitunabhängig:
]
Berechne nun in
verallg. Koord.,
durch explizites
Ableiten von (6) und (7):
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
mit
mit
setze ein: (11b)
setze ein: (11c)
Alternativ:
via T:
es ist in der Regel einfacher, die Beschl. via T zu berechnen:
Projiziert
Es gilt:
(siehe L46. 5)
Impulsänderung pro Zeit
in
-Richtung:
Beispiel:
Zylinderkoordinaten
Koordinatenvektor:
Kartesische Komponenten:
Zylinderkoordinaten:
Virtuelle
Verrückungen (7)
und
Normierungsfaktoren (9b)
Einheitsvektoren (9a):
in die Richtung
Geschwindigkeitskomponenten
(Kartesisch), (11b) und
Geschw. in Zylinderkoord.:
(12b) und (18)
Geometrische Interpretation der Geschwindigkeitskomponenten:
In Zeit dt ändern sich:
Dadurch ändert sich
in
-Richtung,
, d.h. um
d.h.
in
-Richtung,
d.h.
in
-Richtung,
d.h.
Kinetische Energie:
mittels (10b) und (18):
Schnellere Alternative:
direkt in Zylinder-Koord.
mittels (19), (20):
Konsistent!
Beschleunigung, berechnet via T:
Folglich:
Alternativ, Beschleunigung, berechnet über Kartesische Komponenten:
Beschleunigungskomp.
(Kartesisch),
(11c) und (18)
Zylinderkoord.:
(13), (16) und (19):
Krummlinige Koordinaten
Für 1 Teilchen:
z.B.
Zylinder:
Kugel:
Dann:
"metrischer Tensor"
Kurvengeschwindigkeit in
-Richtung:
metrischer Tensor:
für krummlinig-orthogonale Koordinaten
Grund für den Namen
"metrischer Tensor":
Länge des Wegelements:
Zusammenfassung: kinetische Energie mit krummlinigen Koordinaten
Beispiel:
Massenpunkt auf Kreiskegel
Zwangsbedingung:
Wahl v.
:
(Kugelkoordinaten)
(Alternativen
oder
wären auch OK)
Bestimmung v. L:
Kugel
Kinetische Energie:
= 0, denn
= fest
Potenzielle Energie:
unabhängig v.
!
Erhaltener verallg.
Impuls:
ist zyklisch!
= Drehimpuls
LG2:
[konsistent mit (51.6)]
Energieerhaltung:
Gesamtenergie
(siehe L62)
Lösung der Bwgsgl.
(51.6) löst (52.5):
Aufgelöst
nach
(53.1) in (52.7)
Effektives Potential:
"Zentrifugalbarriere"
Zentrifugalbarriere bestraft kleine r :
wenn
mit
dann
und
zwei Lösungen, im Folgenden durch
unterschieden.
Trennung der Variablen
und Integrieren:
im Prinzip bekannte Funktion v. t
(Integral analytisch oder numerisch lösen)
(3) Invertieren:
auch bekannt
mit
bekannt
(54.4) einsetzen
im Prinzip bekannte Funktion v. t
(Integral analytisch oder numerisch lösen)
Integrationskonstanten: festgelegt durch Anfangsbedingungen:
oder alternativ:
Jeder Erhaltungssatz legt eine Integrationskonstante fest!
Bahn:
?
Bereits bekannt (zumindest im Prinzip):
Eliminiere t :
Integriere:
= bekannt
im Prinzip bekannte Funktion v. r
(Integral analytisch oder numerisch lösen)
bekannt
bekannt
Gebundene Bwg.: ist Bahn geschlossen oder nicht? hängt von
ab!
'Geschlossen' bedeutet:
Ob das der Fall ist, hängt von
etc. ab.
geschlossen:
ungeschlossen:
sei
Winkeländerung
zwischen
minimaler, maximaler Radius
Bedingung für
geschlossene Bwg.:
Falls Bahn geschlossen ist:
Periode:
Bahn schließt nach n Schleifen:
ob das erfüllt ist,
hängt von E und l ab!
Zusammenfassung: Massepunkt auf Kreiskegel
L ist zyklisch in
Drehimpulserhaltung
Energieerhaltung:
"Zentrifugalbarriere"
Vorschau & Zusammenfassung: Lagrange-Funktion, Erhaltungsätze und Symmetrien
1. Satz:
L sei invariant unter Raumtranslation,
Dann ist der Gesamtimpuls erhalten:
2. Satz:
L sei invariant unter Raumrotationen,
Dann ist der Gesamtdrehimpuls erhalten:
3. Satz:
L sei invariant unter Zeitverschiebungen,
Dann ist die Hamiltonfunktion
erhalten:
Gesamtenergie
1. Satz: Raumtranslationsinvarianz
Raumtranslationen:
(Raumverschiebungen)
gleiche Verschiebung
Annahme: L sei
invariant unter (1):
Taylor-Enwt.
(3) gilt
Gesamtimpuls ist erhalten
Schwerpunktskoordinate
ist hier die zyklische
Koordinate:
2. Satz: Rotationsinvarianz
(Änderung
zu
Rotationen:
Annahme: L sei
invariant unter (1):
Taylor-Entw.
Produktregel rückwärts
(3) gilt
Gesamtdrehimpuls ist erhalten!
Rotation)
3. Satz: Zeittranslationsinvarianz
Zeittranslationen:
(Zeitverschiebungen)
(denn
)
Annahme: L sei
invariant unter (1):
Taylor-Entw.
Betrachte nun
totale Zeitableitung:
(5) - (6) = 0:
"Hamilton-Funktion" ist erhalten!
Def.d. Hamilton-Funktion:
Für
(bisher üblicher Fall)
Energie
Interpretation:
Hamilton-Funktion = Energie!
Energie-Erhaltungssatz:
Gilt entlang der 3N-Trajektorie, die durch LG2 festgelegt wird.
Zentralpotential
Zweikörperproblem
Symmetrie
Erhaltungsgröße
Vereinfachung
1.
Translation
Schwerpunktsimpuls
Einteilchenproblem
2.
Zeittransl.
Energie
Dgl. 1. Ordnung
3.
Rotation
Drehimpuls
Radialgl.
Transformation zu Schwerpunkts- und Relativkoordinaten
Schwerpunktskoordinate
Relativkoordinate
Transformation:
Rücktransformation:
Kinetische Energie:
"reduzierte Masse"
Schwerpunktskoordinate:
Relativkoordinate:
(1),(2) in (1.1):
"reduzierte
Masse"
Sehr nützliche Vereinfachung:
Dynamik von
R
zyklisch
und
r
entkoppelt
Schwerpunktsimpuls
ist erhalten.
Relativkoordinate:
beschreibt ein effektives Einteilchenproblem für
Wähle
Zylinderkoordinaten
als verallg. Koord.:
(LG2):
Drehimpulserhaltung!
Reduktion zur Radialproblem
Triviale Lösung v. (3.6):
Bewegung nur in
Ebene
Offensichtliche
Lösung v. (3.5):
erhaltener Drehimpuls
(1),(2) entspricht der Wahl:
-Achse
Drehimpulsvektor
Drehimpulsvektor:
Radial-Gleichung:
(3.4)
"Zentrifugalkraft" (favorisiert große ρ)
Energieerhaltung:
E = erhalten
Erhaltene Energie:
"Effektives Potential
für Radialbewegung"
Gl. (1) ist eine DGL 1. Ordnung für
Effektive Radialkraft:
aus
Wir kennen nun
im Prinzip:
aus
aus
Zahl der Integrationskonstanten:
Allgemein erwartet:
Lösung von 3 DGL 2. Ordnung
für je
und
erfordert 12 Integrations.-Konst.:
Wir haben hier:
Lösung v. Radial-Gl.:
Separation d. Variablen:
Integriere:
= Funktion von ρ
bekannt,
bekannt!
diese Relation invertieren
bekannt!
eingesetzt in
Integrieren
bekannt!
Bahnkurve:
(ohne Zeitabhängigkeit anzugeben)
Analog zu (L49.1):
Separation d. Variablen:
Integration:
Funktion v. ρ
bekannt
Diese Relation invertieren
bekannt
Qualitative Diskussion der Bewegung (WICHTIG!)
Typischer Fall 1:
z.B. für
Harmonischer Osz. mit
Gleichgewichtsabstand
(z.B. Vibr. eines
2-atomigen Moleküls)
für
Umkehrpunkte bei
nur "gebundene"
Bewegung
möglich
Typischer Fall 2:
z.B. für
Gravitations- oder
Coulomb-Potential
für
2 Arten von Bewegung
sind möglich:
hier = 0 gemalt
ungebundene Bewegung
"Streuung durch
Zentrifugalbarriere"
gebundene Bewegung
Typischer Fall 3:
z.B. für
für:
3 Arten v. Bewegung
sind möglich:
Streuung:
(immer) Umkehrpunkt
gebundene Bewegung:
Fall ins Zentrum (läuft durchs Zentrum hindurch)
Gebundene Bwg.: ist Bahn geschlossen oder nicht?
sei
Winkeländerung
zwischen
Bedingung für
geschlossene Bwg.:
hängt von
geschlossen:
ab!
ungeschlossen:
Bahn schließt nach n Schleifen:
hängt von U ab!
Nachrechnen:
Bahn ist Ellipse
Bahn schließt
nach 2 Schleifen
Kepler-Problem
Gravitationsoder Coulomb-Pot.:
Grav.-Pot.
Coulomb-Pot.
Dimension der Konstantnen:
Effektives Pot.:
Für diese Form ist Bahnkurve lösbar!
Johannes Kepler
(1571 - 1630)
Bronstein
durch Wahl v.
Definition:
Parameter:
Exzentrizität:
Bahnkurve:
(durch clevere Ausnutzung
von Energie- und
Drehimpuls-Erhaltung!)
(14.6) beschreibt Kegelschnitte:
Hyperbel
möglich
möglich
Parabel
Ellipse
(vergleiche 12.3)
Kreis
unabhängig von
Bahngleichung:
Wir zeigen nun, dass (1) für
eine Ellipse beschreibt:
"Perihel"
"Brennpunkt"
große
kleine
Halbachse
quadratische Ergänzung
(16.11) = Ellipse:
"Perihel"
Check Skizze:
"Brennpunkt"
[a = große Halbachse]
[folgt auch aus
(14.6) mit
[b = kleine Halbachse]
[folgt auch aus
(14.6) mit
]
Keplerschen Gesetze:
1. Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen, mit Sonne in einem Brennpunkt.
Herleitung:
im SP-System
Planet
Sonne
beschreiben gegenläufige Ellipsen
Schwerpunkt liegt in einem Brennpunkt.
sogar für Jupiter.
Planet umkreist Sonne auf elliptischer Bahn, mit Sonne im Brennpunkt
2. Die vom Fahrstrahl pro Zeit überstrichene Fläche ist konstant
Herleitung:
Fläche des Dreiecks
3. Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse
Herleitung:
Fläche der Ellipse:
eine Umdrehung
Umlaufzeit:
Nebenrechnung:
Proportionalitätskonstante:
etwa gleich für
alle Planeten.
Zusammenfassung: Zentralpotential
Gesamtsystem:
Schwerpunktsystem:
Relativsystem:
Zylinderkoordinaten:
Reduktion zur Radialproblem:
= erhaltener
Drehimpuls
Radial-Gleichung:
Erhaltene Energie:
Zusammenfassung: Kepler-Problem
Grav.-Pot.
Coulomb-Pot.
Bahn beschreibt
Kegelschnitte:
Ellipsenbahn für
Keplerschen Gesetze:
1. Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen,
mit Sonne in einem Brennpunkt.
2. Die vom Fahrstrahl pro Zeit überstrichene
Fläche ist konstant
3. Quadrat der Umlaufzeit ist proportional
zur dritten Potenz der großen Halbachse
"Perihel
"
"Brennpunkt
Planet
Sonne
VARIATIONSRECHNUNG
Ziel:
Herleitung v. (LG2) aus einem Variationsprinzip (VP),
das sog. "Hamiltonsche VP". (siehe S. VR14)
Mathematisches Rüstzeug: "Variationsrechnung"
Variation ohne Nebenbedingungen
Allgemeine
Problemstellung:
sei eine gegebene Funktion von
sei eine Funktion von x , mit
Ein "Funktional"
[angedeutet durch
eckige Klammern]
bildet eine Funktion
auf Zahl ab.
Welche Funktion
macht das Funktional
extremal, unter Randbedingungen
Konkretes Beispiel (Teil 1):
Frage:
Welche Funktion
minimiert die Bogenlänge zwischen
und
"Geratene" Antwort:
Variationsrechnung ist ein systematisches Verfahren, solche Fragen zu beantworten!
Bestimmung des
"Abstands-Funktionals":
Wir werden bald (Seite VR6) zeigen: Minimierung von (4) liefert (2) !! Ende v. Beispiel (Teil 1)
Strategie zur Findung der Extremalfunkt.:
"Variationsprinzip"
Gesuchte Fkt. sei
Vergleichsfkt. sei
infinitesimal
beliebig
mit Randbedingung:
weil
fest vorgegeben ist
Extremalbedingung:
sei extremal bei ε = 0
extremal
Mathematisch formuliert:
nicht extremal
Konsequenzen v. (3.5)
Taylor-Entwicklung in ε um ε = 0:
(siehe Seite VR5)
("normale" Taylor-Entwicklung in 2 Variablen)
part. Int.
Partielle Integration vom
-Term:
(4.4) muss für beliebige
gelten:
Umschreiben mittels Def. von (4.2) für
liefert die "Euler-Lagrange-Gl. (ELG) der Variationsrechnung":
Dies ist eine Differentialgleichung für die gesuchte Funktion
zu lösen mit Randbedingungen
Beispiel: (Teil 2)
minimale Bogenlänge?
Bogenlängenfunktional:
ELG: (5.3):
"Integration":
Gesuchte Funktion:
x-unabhängig
Gerade
Zusammenfassung der Herleitung in Kurznotation:
Randterm
beliebig
Beispiel: Schnellster Fallweg?
"Problem der Brachistochrone", (Bernoulli)
["brachistos" = kürzeste, "chronos" = Zeit]
Für welche Form der "Rutschbahn"
ist Rutschzeit minimal?
Für Animation des rollenden Teilchens, siehe:
http://home.ural.ru/~iagsoft/BrachJ2.html
Historie: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Brachistochrone.html
Excerpt from an article by: J J O'Connor and E F Robertson
The brachistochrone problem was posed by Johann Bernoulli in Acta Eruditorum in June 1696:
"I, Johann Bernoulli, address the most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest, challenging
problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I hope to gain the
gratitude of the whole scientific community by placing before the finest mathematicians of our time a problem which will test their methods and the
strength of their intellect. If someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise."
The problem he posed was the following:"Given two points A and B in a vertical plane, what is the curve traced out by a point acted on only by gravity, which starts at A and reaches B in the
shortest time."
Now Johann Bernoulli and Leibniz deliberately tempted Newton with this problem. It is not surprising, given the dispute over the calculus, that Johann
Bernoulli had included these words in his challenge:"...there are fewer who are likely to solve our excellent problems, aye, fewer even among the very mathematicians who boast that [they]... have wonderfully
extended its bounds by means of the golden theorems which (they thought) were known to no one, but which in fact had long previously been published by
others."
According to Newton's biographer Conduitt, he solved the problem in an evening after returning home from the Royal Mint. Newton:"... in the midst of the hurry of the great recoinage, did not come home till four (in the afternoon) from the Tower very much tired, but did not
sleep till he had solved it, which was by four in the morning."
Für welche Form der "Rutschbahn"
ist Rutschzeit minimal?
Bestimmung des "Rutschdauer-"Funktionals:
Bogenlänge
momentane Geschwindigkeit
wobei:
Energie-Erhaltung liefert Geschwindigkeit v(x) als Funktion von x:
(3),(2) in (1):
ELG (5.3):
konkret für (9.4):
Diese Differentialgleichung für
bestimmt die Form der gesuchten Kurve y(x).
Ihre Lösung sei vollständigheitshalber (ohne Herleitung) erwähnt:
Integration liefert:
Zykloid: Kurve von Punkt
auf abrollendem Rad
Parametrische Lösung:
(= Zykloid)
Für eine Herleitung, siehe: http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html
Für Animation einer Zykloide, siehe: http://www.f.waseda.jp/takezawa/mathenglish/geometry/cyclo/gifcyclo.htm
Verallgemeinerung:
Funktional v.
mehreren Fkt.
Gesucht:
Randbedingung:
N Funktionen
Vergleichsfunktionen:
für die
extremal ist.
(unabhängige Variationsparameter)
Extremalbedingung:
[wie (3.5)]
sei minimal bei
(denn
sind alle unabhängig)
N mal dasselbe
wie vorhin:
Weitere
Verallgemeinerung:
N Funktionen
(zur Kenntnisnahme)
jeweils abhängig von R Variablen,
Funktional:
Randbedingungen:
Alle
Gesucht:
N Funktionen
Vergleichsfunktion:
mit Ableitungen:
seien auf Rand von B fest vorgegeben
so, dass
extremal ist
unabhängige
Variationsfunktionen,
jeweils abhängig v.
R Parametern
Extremalbedingung:
[wie (3.5)]
Verallgem. von
sind alle
unabhängig:
partielle Integration
beliebig:
Randterme
N EL-Gleichungen:
Weitere mögliche
Verallgemeinerungen:
(i) Höhere Ableitungen, z.B.
(ii) keine Randbedingungen vorgeben...
(iii) Variation mit Nebenbedingungen...
Hamiltonsches Prinzip der kleinsten (extremalen) Wirkung
Def.: "Wirkung"
Das Funktional
wird die
"Wirkung" der Bahnkurve
"action":
Einheiten:
Hamiltonsches Prinzip (HP):
genannt.
Geschw.
Koordinaten
Energie * Zeit
Die dynamische Evolution
und
Wirkung extremal wird,
unter Variation der Bahnkurve
mit Randbedingung
des Systems zwischen
erfolgt so, dass die
Beweis:
Identifiziere:
ELG (11.4):
ELG für Hamiltonsches Prinzip liefern LG2 !!
f Diff.-Gl. 2. Ordnung
2f Integrationskonst.
entweder:
und
oder:
bei
bei
und
Quantenmechanik a la Feynman
Freies Teilchen:
Klassisch:
Weg ist bestimmt durch:
Quantenmechanisch:
Wahrscheinlichkeit, in Zeit
eine Summe über alle(!) Wege:
von
nach
zu gelangen, ist gegeben durch
= Plancksche
Konstante
alle Wege
zwischen
Für die meisten Wege mitteln sich die Phasen weg.
Außer für diejenigen Wege, für die gilt:
Die relevanten Wege bündeln sich also um den klassischen Weg!
So liefert die Quantenmechanik die Grundlage für das Hamiltonsche Prinzip !!
Zusammenfassung: Variationsrechnung
Allgemeine
Problemstellung
Welche Funktion
macht das Funktional
extremal, unter Randbedingungen
Antwort:
"Euler-Lagrange-Gl. (ELG)
der Variationsrechnung":
Def.: "Wirkung"
Hamiltonsches Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung): Bewegung verläuft so, dass
Variation mit Nebenbedingungen
Lagrange-Multiplikatoren
Fragestellung:
Welcher Punkt
minimiert
unter der
Nebenbedingung (NB)
absolutes
Minimum
Ohne NB wäre
Antwort:
Aber:
2 Gl. für
2 Unbekannte
NB verknüpft x,y
Fragestellung: Minimiere f(x,y) mit NB g(x,y) = 0
unabhängige Variation v.
x,y nicht erlaubt
Beispiel: Finde Minimum v.
Lösungsweg 1:
mit NB:
Eliminiere y aus g(x,y) = 0
d.h., finde y als Fk. v x :
(1) in f:
[Berücksichtigt NB!]
Minimiere
Finde
:
:
(3) gelöst liefert
(4) eingesetzt in (1) liefert
Kettenregel
Lösungsweg 2:
Ignoriere zunächst die NB und deren Verknüpfung von x,y
und minimiere die erweiterte Funktion,
Nebenbedingung
"Lagrange-Multiplikator"
nach
3 unabhängige Variationsparameter:
generiert dann die NB per Konstruktion (aber erst "hinterher").
Variation nach
Beispiel:
"Lagrange-Multiplikator"
Extremalbedingungen:
Eliminiere
:
NB wird automatisch generiert !
(5) in (2)
= Funktion v.
(4) und (6) nach x,y lösen!
=(18.4,5)'
Satz: Lösungsweg 2 ist äquivalent zu Lösungsweg 1:
Beweis:
Schreibe NB g(x,y) = 0
in folgende Form:
Wende nun Lösungsweg 2 an auf Minimierung v.
, mit NB
(3) enthält:
(4) in (3):
(2) in (6) einsetzen:
= Ergebnis v. Lösungsweg 1.
Verallgemeinerung 1:
Funktion mehrerer Variablen
Fragestellung:
sei extremal, mit
NB an alle
für jedes
Lösungsweg:
nach
Extremiere
"Lagrange-Multiplikator (LM)"
Extremalbedingungen:
N+R Gleichungen, N+R Variablen
Kernidee v. LM:
Gebe NB zunächst auf während Minimierung, aber
wähle Funktion
so, dass
die NB generiert.
Verallgemeinerung 2:
Funktional mit "isoperimetrischen" NB
"isoperimetrisch" = "gleicher Umfang": Griechen: Welche Kurve mit gegebenem Umfang minimiert eingeschlossene Fläche?
sei extremal,
Fragestellung:
legt einen Parameter fest
mit NB
Lösungsweg: finde
Extrema von:
Variation bezüglich
: ELG
Variation bezüglich
:
reproduziert NB (2)
(4) und (5) sind gemeinsam zu lösen!!
Verallgemeinerung 3:
Funktional: Extrema mit Holonomen NB
Geschw. kommt nicht vor
Fragestellung:
sei extremal,
muss für jedes x gelten,
legt also eine Funktion fest
z.B.
mit holonomer NB:
NB an alle
für jedes
Zurückführung auf isoperimetrische B:
Schreibe (2) als
Check:
(4) gelte
und im Limes
Teile
schärfere NB als (71b.2)
auf in M Intervalle der Länge
Verallgemeinertes Funktional:
[reproduziert (24.3),
also auch (24.2)]
Extremalbedingungen:
Im Limes
diskreter Index
kontinuierlicher Index
Euler-Lagrange für
:
Fazit: Lagrange-Multiplikator wird eine Funktion v. x
Variation nach
reproduziert NB:
Variation
nach
gilt für alle
Formal:
Variation
nach
Formal: "Funktionalableitung": Ableitung eines Funktionals nach einer Funktion !
Hamiltonprinzip für System mit holonomen NB liefert LG1
Betrachte
mit Zwangsbedingungen:
also: Koordinaten
sind nicht unabhängig, also keine guten verallg. Koordinaten
Wirkung:
HP besagt:
Dynamische Evolution so, dass
Variationsproblem mit holonomen NB!
Erweiterte Lagrange-Funktion:
EL(25.6):
beschreibt Zwangskräfte !
Fazit:
wobei
Beispiel: Rollender Reifen mit
Kinetische Energie:
Trägheitsmoment
Potenzielle Energie:
Zwangsbedingung:
Erweiterte Lagrange-Fkt.:
nicht-gleitendes Rollen,
holonome ZB
konstant
t-abhängig:
Interpretation: Reibungskraft
(5)-(7) sind zu lösen. Eliminiere zunächst
zwischen (28.6) und (28.7):
Eingesetzt in (28.6):
(2) in (28.5) liefert:
rollt langsamer, als er ohne
Reibung rutschen würde!
Lösung v. (4):
(4) in (2):
(4) in (1):
Lösung v. (7):
Stärke d. Reibungskraft
Bemerkungen zum Hamilton-Prinzip (HP)
HP in Worten: "Die Wirkung ist auf der tatsächlich durchlaufenen Bahn stationär
gegen kleine Änderungen der Bahn, die mit den Randbedingungen verträglich sind."
a) HP wird auch als "Prinzip der kleinsten Wirkung" bezeichnet. Tatsächlich ist Wirkung
jedoch nur stationär (d.h. nicht unbedingt minimal)
b) HP ist analog zum Fermatschen Prinzip:
Licht sucht den extremalen Weg zwischen Quelle und Beobachtungsort.
c) HP liefert elegant, kompakte Formulierung der dynamischen Evolution in einer
einzigen Gleichung. (Lagrange-Funktion ist of sehr einfach zu bestimmen.)
[Allgemein: Alle fundamentalen Theorien scheinen sich über Extremalprinzipien
formulieren zu lassen!]
d) HP hilft jedoch nicht für praktischen Lösungen: Euler-Lagrange-Gl. muss sowieso
gelöst werden. Aber dennoch sehr elegant für allgemeine, formale Aussagen. Z.B.:
Zusammenfassung: Variation mit Nebenbedingungen
Variation mit NB für die Variablen
Fragestellung:
Lösungsweg:
sei extremal, mit NB
nach
Extremiere
"Lagrange-Multiplikator (LM)"
Extremalbedingungen:
Variation mit "isoperimetrischen" NB für die Funktionen
Fragestellung:
Lösungsweg:
legt einen Parameter fest
sei extremal, mit NB
Extremiere
Variation bezüglich
: ELG
mit
Variation bezüglich
:
Zusammenfassung: Variation mit Nebenbedingungen
Variation mit holonomen NB für die Funktionen
muss für jedes x gelten, legt also eine Funktion fest
Fragestellung:
Lösungsweg:
sei extremal, mit NB
Extremiere
Variation bzgl
mit
Variation bezüglich
Hamiltonprinzip für System mit holonomen NB:
Wirkung:
Dynamische Evolution so, dass
Erweiterte Lagrange-Funktion:
Variation bezüglich
Variation bezüglich
wobei
Eichtransformationen
i) Satz: HP impliziert Kovarianz der Lagrange-Gl. 2. Art unter Koord.-Transf.
Beweis: Wirkung S ist unabhängig von Parametrisierung für gegebene physikalische Bahnkurve;
folglich haben Euler-Lagrange-Gl. die gleiche Form für jede Parametrisierung!
Parametrisierung 1:
)
(z.B.:
HP:
Parametrisierung 2:
[Definition von
(z.B.:
]
)
HP:
Kovarianz der Bewegungsgleichung: (2) und (5) haben dieselbe Form!
(ii) Satz: Bewegungsgleichungen sind invariant unter "Eichtransformationen" (ET):
Beweis:
totale Ableitung einer beliebigen Funktion von
Betrachte:
[unabhängig v.
!]
Unter Variation mit festen Randbedingungen,
gilt, laut (2):
Bewegungsgleichungen sind invariant unter Eichtransformat.
ist nicht eindeutig festgelegt:
ist "genauso gut"!
Zwischenbemerkung: Nachtrag zu Vorlesung 10 (Herleitung d. Lagrange-Gleichungen)
Verallgemeinerung für geschwindigkeitsabhängige Potenziale
, mit
Betrachte Kraft d. Form:
Def: Verallg. Kraft:
(6)
Beispiel:
Frage:
gilt auch für Kraft d. Form (1)!
Geladenes Teilchen in äußerem elektromagnetischem Feld
Welches L beschreibt Lorentz-Kraft?
Antwort:
(Beweis folgt auf S. 36)
wobei das "Skalarpotenzial"
und "Vektorpotenzial"
Beschreibung des elektrischen Felds
und Magnetfelds
Hilfsgrößen zur kompakten
sind: (siehe E2, T3)
Zwischenbemerkung:
Die "elektromagnetischen Potenziale"
sind keine messbaren Größen, aber sehr nützlich
für die kompakte Darstellung vieler Ergebnisse. Z.B. Vereinfachen sich 2 der Maxwell-Gl.:
wird identisch erfüllt
(Vektoridentität)
Lorenz-Kraft:
Zwischenrechnung:
Gradient von Skalarfeld
Zeitableitung von Vektorfeld
definiere:
"minimale Kopplung"
dann gilt:
F hat Form von (33.1)!
also gelten LG2, (33.6)
Lagrange-Funktion für geladenes Teilchen im Elektromagnetischen Feld:
Check Bewegungsgleichung:
Fazit: (34.1) Lorentz-Kraft läßt sich mittels Potential (35.7) und Lagrange-Funktion (36.1) beschreiben!
Eichinvarianz der
-und
-Felder
sei eine beliebige skalare Funktion. Unter der "Eichtransformation"
Satz:
sind
-Felder invariant (= unverändert).
und
Beweis:
Fazit:
und
sind nicht eindeutig definiert:
"Eichfreiheit"!
Die Freiheit,
nach Bedarf zu wählen, kann zur Vereinfachung
von konkreten Rechnungen genutzt werden.
Eichtransformation für L:
Fazit: unter Eichtransformation (37.1, 2) ändert sich L nur um totale Zeitableitung.
Folglich sind, laut (32.1), Lagrange-Gleichungen invariant (unverändert) unter (37.1, 2).
In der Tat:
LG2
sind invariant (siehe 37.3,4).
ist invariant, denn
Bemerkung: Forderung der Lokalität, Homogenität und Isotropie der Raumzeit,
sowie der Eichinvarianz, genügt, um die Form von L eindeutig zu bestimmen!
(d.h. um Form der Lorentz-Kraft zu bestimmen!)
1. Forderung:
Kopplung des Teilchens an
(Ableitungen
2. Forderung:
von
soll lokal sein in Raum und Zeit
oder
sollen nicht vorkommen):
Homogenität und Isotropie der Raumzeit
(keine explizite Abhängigkeit in
Winkeln...)
aber nicht:
Bewegungsgl. des Teilchens soll eichinvariant sein:
3. Forderung:
Zusatzterm erlaubt wegen (32.1)
Bestimmung von L mittels Forderungen 1-3
Allgemeinst-denkbare
Form von Λ wäre:
kommen alle links in (85a.3) vor!
Aber: nur
sonst erzeugt
funktioniert:
die links in (39.3) nicht vorkommen!
Sei nun
infinitesimal, und entwickle (39.3) in Potenzen von
Ordnung
Ordnung
:
:
Koeffizientenvergleich:
usw.,
Terme wie
:
Hieraus folgt:
Aber, für freies
Teilchen gilt:
Die Form von L ist nun komplett bestimmt!
Mit Identifikation
Ladung des Teilchens
ist das Endergebnis:
Bemerkung: Konstruktion von "neuen" Lagrange-Funktionen anhand von
Symmetrieforderungen ist sehr fruchtbare Vorgehensweise in der theor. Physik
Zusammenfassung: Eichtransformation, Lorentz-Kraft
Hamilton-Prinzip impliziert Kovarianz der Lagrange-Gl. 2. Art unter Koord.-Transf.
Bewegungsgleichungen sind invariant unter "Eichtransformationen":
Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld erfährt Lorentz-Kraft:
Skalares Potential, Vektorpotential:
Entsprechende Lagrange-Funktion ist:
Unter Eichtransformation sind E,B invariant:
und L ändert sich nur um totale Zeitableitung:
Noether-Theorem (wichtig für QM, QFT)
Jede einparametrige Schar von Transformationen, unter denen die Wirkung invariant ist,
führt zu einer Erhaltungsgröße!
Zur Erinnerung:
(
Falls
ist zyklisch), gilt:
(i) generalisierter Impuls erhalten:
(ii) L "invariant" unter Verschiebung von
:
(Funktionale Form ändert sich nicht)
Betrachte Transf.:
Transformierte
Lagrange-Fkt.:
alte Koord., ausgedrückt durch neue Koord.
Fazit:
Zentrale Idee heute:
Frage:
[da L nicht von
hat dieselbe funktionale Form wie L
(dieselbe Abhängigkeit von seinen Koordinaten)
Erhaltungsgröße
zyklisch
NOETHER
abhängt, (1)]
"L ist invariant"
Invarianz von L
Gibt es einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Transf.,
die Lagrange-Fn. invariant lassen, und Erhaltungsgrößen?
Satz: Noether-Theorem
Gegeben sei eine ein-eindeutige Koordinatentransformation,
in einem kontinuierlich veränderlichen, differenzierbarem Parameter
Für
sei diese Transformation die Identität. Wenn die Lagrange-Fn. unter
dieser Transf. invariant ist, gibt es eine Erhaltungsgröße (Integral der Bewegung):
Beispiel:
Rotation um
z-Achse für:
hängt nur vom Abstand zur z-Achse ab
fest
i) Zugang über kartesische Koord.:
Betrachte Rotation um z-Achse:
Def. transformierte
Lagrange-Funktion:
selber nachrechnen
Fazit:
invariant unter Rot. um z-Achse!
Erhaltungsgröße:
Drehimpuls um z-Achse
ii) Zugang über
Zylinder-Koord.:
zyklisch
Generalisierter Impuls:
oder: Invarianz unter
Check:
Beweis des Noetherschen Satzes:
[verallg. von (1.4)]
Def. transformierte
Lagrange-Funktion:
Einerseits: Betrachte:
gilt für alle ε,
also auch für ε=0
ε=0 erleichtert die
Analyse
Andererseits: Invarianz
der Lagrange-Fn. bedeutet:
[
hat dieselbe
funktionale Form wie L]
[denn L hängt nicht von ε ab]
Erhaltungsgröße
Erweitertes Noether-Theorem:
Wenn sich die Lagrange-Fn. unter der Koord.Transf. (2.2) um eine Eichtr. verändert,
lautet die Erhaltungsgröße:
Beweis: analog zum vorigen Beweis:
[denn L hängt nicht von ε ab]
gilt für alle ε,
also auch für ε=0
Beispiel: Freier Fall im Schwerfeld:
Betrachte Galileo-Transf.:
Def. transformierte
Lagrange-Funktion:
Erhaltungsgröße:
Ist (7) wirklich konstant? Check mittels Lösung d. Bewegungsgl.:
In diesem Fall ist die erhaltene Größe
eine der Anfangsbedingungen!
Bemerkungen:
1) Lagrange-Mechanik: kont. Symmetrie liefert Erhaltungsgröße;
aber Umkehrung erst in der Hamiltonschen Mechanik gültig
2)
I ist im Prinzip Funkt. von ε aber ε-Abhängigkeit bringt keine neue Information.
Deswegen immer nur Betrachtung von
Deshalb reicht tatsächlich schon Invarianz unter infinitesimal Transf. wobei
Terme vernachlässigt werden.
Im Beispiel von (3.2):
selber nachrechnen
Wie erwartet, ist L zur Ordnung
invariant unter (1)'
deswegen ist Noether-Theorem anwendbar, mit Erhaltungsgröße:
3) Das Noether-Theorem gilt nicht für Transf, die nicht von einem kontinuierlichen
Parameter abhängen. Beispiel Koordinatenspiegelung:
Bisher war Zeitabhängigkeit ausgeklammert.
Satz:
Lagrange-Fn. sei unter Zeittransl. invariant:
eine Erhaltungsgröße.
Dann ist
(Bemerkung: für skleronome (zeitunabhängige) Zwangsbedingungen wird I später zur Hamiltonfn.)
Beweis:
umstellen:
Für zeitunabhängige Potenziale aber rheonome(zeitabhängige) Zwangsbed., liefert
obiger Satz eine Erhaltungsgröße, die aber nicht als Energie zu interpretieren ist:
Beispiel: Perle auf rotierndem Stab (Vorlesung 10, Seite L22):
Check:
Ist I wirklich konstant? Nutze Lösung d. Bewegungsgl.:
Energie kann hier keine Erhaltungsgröße sein, da Zwangskraft Arbeit verrichtet!
Virialsatz: "Nachtrag" zur Newtonschen Mechanik (keine Zwangskräfte)
Gelegentlich/häufig ist die Lösung von Systemen mit vielen Freiheitsgraden schwierig bis
unmöglich. Nützliche Information kann dann der Virialsatz liefern.
Def.: Zeitlicher Mittelwert
einer Größe:
z.B. T oder U
Satz (Virialsatz):
Falls alle
und
im Verlauf der Zeit endlich bleiben, gilt:
z.B. für Planeten
auf Ellipsen, oder
Gasteilchen im Behälter
Beweis:
part. Integration
endlich
wenn
τ
Lemma: Für Potentialkräfte dessen Potential eine homogene Funktion n-ten Grades ist,
z.B.:
besagt der Virialsatz:
(d.h. in jedem Term kommt dieselbe Potenz von r vor)
Beweis:
Für homogene Funktionen gilt:
einerseits:
andererseits:
Einsetzen:
Speziell für Virialsatz:
WOW!
Beispiele:
(i) Harmonischer Oszillator:
Energieerhaltung gilt immer:
(ii) Kepler-Problem:
Ein Satellit, der durch Reibung Energie verliert (E wird negativer),
gewinnt an kinetischer Energie (fliegt schneller)!
Bemerkung:
Zusammenfassung: Noether-Theorem
Noethersches Theorem
Wenn die Lagrange-Funktion unter der ein-eindeutigen Koordinatentranformation
invariant ist, ist
eine Erhaltungsgröße
(Integral der Bewegung).
Erweitertes Noether-Theorem:
Wenn sich die Lagrange-Fn. unter der Koord.Transformation um eine Eichtransformation ändert,
lautet die Erhaltungsgröße:
Virialsatz:
Falls
Für homogenes Potential,
im Verlauf der Zeit endlich bleiben, gilt:
gilt
Starrer Körper (SK)
(Fliessbach, Kap. 19)
Def.: SK = System v. Massenpunkten
deren Abstände
konstant sind.
Def.: Kreisel
KS
körperfest
ist ein starrer Körper, bei dessen Bewegung ein Punkt
festgehalten wird (nur Winkelfreiheitsgrade)
IS raumfest
Für Beschreibung eines SK unterscheiden wir:
Raumfestes Inertialsystem (IS):
Körperfestes Koordiatensystem (KS):
Position des Ursprungs O von KS relativ zum Ursprung von IS
SK hat 6 Freiheitsgrade:
Koordinaten für O, Ursprung v. KS relativ zu Ursprung eines IS
Winkel für Orientierung von
3 körperfesten Achsen v. KS
relativ zu 3 raumfesten Achsen eines IS
Ursprung O v. KS rel. zum Ursprung v. IS habe
Ortsvektor:
Koordinaten eines Punktes
im starren Körper:
in IS:
in KS:
Geschwindigkeiten:
KS rotiere mit Winkelgeschw.
Der Körper ist starr:
konstant, denn
Körper ist starr!
relativ zu IS:
Körperfestes
Koordinatensystem
IS raumfestes Inertialsystem
Für KS mit Ursprung bei O:
Alternativ: Falls Ursprung von KS bei O' gewählt wird, mit
dann gilt:
Analog zu (3):
gilt für alle ν
(1) gilt für alle
Geschw.
ist abhängig von Wahl des KS.
Winkelgeschw. ist unabhängig von Wahl des KS!!
(charakterisiert Drehbewegung an sich)
Fazit:
Ursprung O für körperfestes System kann nach Belieben/Zweckmäßigkeit gewählt werden.
Im Folgenden:
wie beschreibt man
explizit?
- Winkelgeschwindigkeiten lassen sich wie Vektoren addieren
- Euler-Winkel
Addition v. Winkelgeschw.:
Effekt einer Drehung in Zeit
Betrachte 2 aufeinanderfolgende Drehungen:
und
Infinitesimale Drehungen sind offenbar
vertauschbar (endliche nicht!)
Fazit: Gleichzeitiges Drehen mit
Eulersche Winkel (EW):
(a)
-Drehung
um
:
: Winkel zwischen
und
(b)
-Drehung
um
:
: Winkel zwischen
und
und
liefert Gesamtwinkelgeschw.
Wie beschreibt man Drehung von
auf
??
(c)
-Drehung
um
:
: Winkel zwischen
und
Also:
Netto Endergebnis:
Winkeländerungen
pro dt definieren
Winkelgeschwindigkeiten:
(WG)
GesamtWG:
wobei (siehe 7.1):
Zerlegung nach Komponenten:
in IS
in KS
Nun kennen wir WG
als Funktion von
und
Trägheitstensor eines SK
(Fliessbach, Kap. 20)
[
für starren Körper]
Kinetische Energie:
Term (c):
falls entweder
(
ruht), oder
(Ursprung v. SK am SP)
Fortan gelte (9.5b):
Kinetische Energie des SP ,
die Koordinaten bezüglich
Im körperfesten KS seien
Insbesondere:
Vektoridentität:
Beweis von (4):
Für
der Rotationsbewegung
:
für WG:
:
Kinetische Energie
der Rotation:
"Trägheits-Tensor"
(v. Rang 2)
enthält Information über
Drehbewegung
Massenverteilung
Matrix-Notation:
Dyade-Notation:
Trägheitstensor für
kontinuierliche
Massenverteilung:
Massendichte
Beispiel: Trägheitstensor einer Kugel v. Radius a:
Nicht-diagonal
Elemente:
falls
(siehe 5.16)
z.B.:
symmetrisches Interval
ZylinderKoordinaten
Diagonalelemente:
Benutze Zylinder-Koordinaten, mit z-Achse in i-Richtung
wegen Rotationssymmetrie:
in Zylinderkoord.
Ausführlicher:
Kartesische Koordinaten:
Kugelkoordinaten:
Zusammenfassung: Starrer Körper I
Addition v. Winkelgeschwindigkeiten:
Euler-Winkel:
Körperfestes
Koordinatensystem
IS raumfestes Inertialsystem
(a)
um
(b)
um
:
(c)
um
:
:
Kinetische Energie eines starren Körpers:
kinetische Energie
des Schwerpunkts
kinetische Energie
der Rotationsbewegung
Kinetische Energie der Rotation:
Trägheitstensor:
für diskrete Massenpunkte:
für kontinuierliche Massenverteilung:
Massendichte
Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung
Satz:
Es gilt wieder:
(vergleiche 10.2)
Beweis:
Geschw. eines Volumenelements bei
bezüglich Ursprung v. IS.
Analog zu (3.1), (3.3):
(3) in (2):
Wähle Ursprung v. KS'
im Schwerpunkt
Bemerkung:
Die
in (12.8) sind die Projektionen der
Winkelgeschwindigkeiten auf die Koordinatenachsen des körperfesten Bezugsystems.
Def.:
Unter Drehungen,
Drehmatrix, orthogonal
transformiert sich
(i) ein "Tensor 0. Stufe" wie
(=Skalar)
(invariant)
Beispiel:
[Einsteinsche Konv.]
(ii) ein "Tensor 1. Stufe" wie
(=Vektor)
(also "wie Ortsvektor")
(iii) ein "Tensor 2. Stufe" wie
Eselsbrücke:
Tensor 2. Stufe verhält sich wie ein "äußeres Produkt"
zweier Vektoren, also "Spaltenvektor x Reihenvektor"
Volumen ist ein Skalar:
Masse ist ein Skalar:
Satz:
Trägheitstensor verhält sich unter Drehungen wie ein Tensor 2. Stufe
Beweis:
laut Def.:
sind ortsunabhängig, können aus
Integral ausgeklammert werden
siehe (13.8)
also wie Tensor 2. Stufe
Also hängt Form von Θ von Wahl des Koordinatensystems ab, und ändert sich unter Drehungen!
Vereinfachungen bei Berechnung von Θ sind möglich:
1. Vereinfachung:
Wähle Ursprung von KS im Schwerpunkt
2. Vereinfachung: Satz: Es gibt ein Koordinatensystem KS, in dem der Trägheitstensor
Diagonalform hat:
Bemerkung: Man bezeichnet die Transformation zu diesem KS als "Hauptachsentransf.",
das entsprechende KS als "Hauptträgheitsachsensystem", und die
Diagonalelemente als "Hauptträgheitsmomente".
Θ ist reelle, symmetrische 3x3 Matrix:
Beweis:
Aus der linearen
Algebra bekannt:
Es existiert eine orthogonale Transf., die Θ diagonalisiert.
Die orthogonale Transf.
wird dann gerade als Drehung interpretiert.
Bemerkung:
Die allgemeine Form
vereinfacht sich in
Hauptachsenbasis zu:
Erinnerung (lineare Algebra): Das Auffinden der Hauptträgheitsmomente ist
gerade die Bestimmung der Eigenwerte der Matrix Θ :
Suche Vektoren
mit
Matrix
Skalar
Dies ist äquivalent zum Finden der Nullstellen von
Einheitsmatrix
Jede Lösung
ist eines der Hauptträgheitsmomente
Beachte, dass man die
normiert und orthogonal wählen kann
(diese Wahl ist nur eindeutig, falls
Bezeichnungen:
"unsymmetrischer Kreisel", falls:
"symmetrischer Kreisel", falls:
"Kugelkreisel", falls:
).
Satz: Ist ein starrer Körper rotationssymmetrisch, liegt der Schwerpunkt
auf der Symmetrieachse und der Körper ist ein symmetrischer Kreisel.
Beispiel:
Zylinder
Beweis:
Wähle z-Achse entlang Symmetrieachse.
Drehachse
Rotationssymmetrie bedeutet:
Folglich gilt
Kurznotation für 3 getrennte Gleichungen.
Also liegt Schwerpunkt auf z-Achse.
Trägheitstensor:
Umbenennung der
Integrationsvariablen:
Analog:
folgt aus
oder
Folglich:
Bemerkung:
Die Hauptträgheitsachsen fallen mit den Symmetrieachsen des
starren Körpers zusammen.
Satz von Steiner
Sei Θ der Trägheitstensor, berechnet bezüglich des Schwerpunkts in KS.
Sei KS' ein zu KS achsenparalleles Koordinatensystem, das um einen
verschoben ist. Dann gilt für Trägheitstensoren bezüglich KS':
Vektor
Gesamtmasse
Beweis:
Terme linear in r liefern
da Ursprung von KS im
Schwerpunkt liegt.
Beispiel: Hantel mit 2 Massen
Trägheitsmomente
für
bezüglich
ihrer Mittelpunkte bei
Gesamt-TM bezüglich
gemeinsamem SP':
Für
Für
Symmetrie um Hantelachse
Wiederholung: rollender Reifen auf schiefer Ebene:
Auf Seite VR28 wurde angegeben:
Kinetische Energie:
Potenzielle Energie:
Für die Aufstellung von T wurde der Punkt O als Ursprung des körperfesten
Koordinatensystems gewählt. Die Angabe
bezieht sich auf Rotation
um die Rotationssymmetrieachse O. Da dieser Punkt O sich selbst bewegt,
ist zusätzlich ein Term
erforderlich.
Alternativ kann auch A als Ursprung eines Inertialsystems IS' gewählt werden,
dessen Ursprung zum Zeitpunkt t am Berührungspunkt liegt.
Die momentane Geschw. von A ist null (kein Rutschen), deshalb ist
Aber, für
muss Trägheitsmoment dann nicht bezüglich O,
sondern bezüglich A berechnet werden!
Alternative Behandlung des rollenden Zylinders auf schiefer Ebene
Lagrange-Funktion:
Zylinderlänge
Kinetische Energie:
Trägheitstensor bezüglich A.
a) Gesamtmasse:
Dichte in
Zylinderkoordinaten:
Formale Notation:
für
ansonsten.
und
b) Winkelgeschwindigkeit:
(egal ob bezüglich O oder A, siehe SK4)
Nur
wird benötigt:
denn
c) Trägheitsmoment bezüglich Symmetrieachse des Zylinders, O
d) Trägheitsmoment bezüglich Drehung um Punkt A :
Satz von Steiner:
mit
(Einheitsvektor in radialer Richtung)
Kinetische Energie
bei Drehung um A:
Lagrange-Funktion:
Lagrange-Gl. 2. Art:
konsistent mit (VR29.4)
Zusammenfassung: Trägheitstensor (TT)
Unter Drehungen,
transformiert sich
(i) ein "Tensor 0. Stufe" (Skalar) wie
(invariant)
(ii) ein "Tensor 1. Stufe" (Vektor) wie
(Beispiel: Ortsvektor)
(iii) ein "Tensor 2. Stufe" wie
(Beispiel: Trägheitstensor)
Trägheitstensor einer kontinuierlichen Massenverteilung:
Vereinfachung bei Berechnung des Trägheitstensors: Wähle Ursprung von KS im Schwerpunkt
Der Trägheitstensor kann diagonalisiert werden, mittels einer "Hauptachsentransformation" in das
"Hauptachsensystem" . Seine Eigenwerte sind die "Hauptträgheitsmomente",
"unsymmetrischer Kreisel":
"symmetrischer Kreisel":
"Kugelkreisel":
Ein rotationssymmetrischer SK ist ein symmetrischer Kreisel, mit SP auf der Symmetrieachse.
Satz von Steiner für achsenparallele Bezugsysteme, mit Ursprung-zu-Ursprung-Vektor
Starrer Körper: Drehimpuls und Drehmoment
Weitere Schreibweise für Rotationsenergie:
wobei
"Dyade"
"Dyadisches Produkt"
Def.: "Dyadisches Produkt", liefert bei Skalarmultiplikation mit einem Vektor
:
und
Check (1)
Drehimpuls
(hängt vom Bezugspunkt ab)
Satz: Der Drehimpuls des starren Körpers bezüglich eines beliebigen Punkts kann zerlegt
werden in den Drehimpuls des Schwerpunkts bzgl. dieses Punktes und den Relativdrehimpuls:
[Vergleiche S. NM18]
Beweis:
Ursprung von KS liege am Schwerpunkt:
Es gilt:
In KS liegt der Schwerpunkt am Ursprung,
Gesamtdrehimpuls:
und bewegt sich nicht relativ zu KS:
Wir wählen nun ein ("momentan mitlaufendes") Inertialsystem IS' ("SP-System"), so,
dass zu einem gegebenen Zeitpunkt
der Schwerpunkt des SK,
momentan am Ursprung von IS' ruht:
Konkret: zum Zeitpunkt
Position
habe der Schwerpunkt laut IS
und Geschwindigkeit
Dann wählen wir die Bahn des Ursprungs von IS', aus Sicht von IS,
wie folgt:
Dann gilt für alle Massenpunkte, aus Sicht von IS':
und für den Schwerpunkt, aus Sicht von IS':
Insbesondere gilt
zum Zeitpunkt
Satz: Im SP-System IS' gilt:
Trägheitstensor in IS'
Beweis: zum momentanen Zeitpunkt,
gilt, aus Sicht von IS':
mit
Einheitsvektoren im
SP-System IS'
Analog für kontinuierliche Massenverteilung.
zum Zeitpunkt
Bemerkung: eine analoge Herleitung gilt für den Drehimpuls relativ zu einem anderen
Inertialsystem, IS'', (um
verschoben relativ zum SP), in dem ein anderer körperfester
Punkt (statt des SP) momentan ruht:
Trägheitstensor bezüglich IS''
Steinerscher Satz
analog zu (28b.2-4)
(wie erwartet!)
Drehimpuls von SP relativ zu IS''
Drehmoment (Erinnerung):
Gesamtdrehmoment
Ziel: diese Gl. im körperfesten System KS ausdrücken:
Einheitsvektoren in einem
körperfesten Bezugssystem
(5) in (2)
Komponenten bezogen auf das körperfeste Koordinatensystem
Komponenten bezogen auf das körperfeste System, explizit:
Im (körperfesten) Hauptachsensystem gilt:
diagonal!
da I zeitunabhängig ist! Vorteil
vom körperfesten System!!
Ferner gilt:
(mit Komponenten
und
bezogen auf das körperfeste Hauptachsensystem)
Damit haben wir folgenden Satz bewiesen:
Satz: im Schwerpunkts- und Hauptachsensystem wird Bewegung des starren Körpers durch die
"Eulerschen Gleichungen" beschrieben:
Komponenten von
und
sind bezogen auf das körperfeste Hauptachsensystem.
Vor allem für das Drehmoment kann das unhandlich sein. Wir betrachten deshalb
zunächst den freien Kreisel, d.h.
Für einen unsymmetrischen freien Kreisel gilt:
(1) Konstante Winkelgeschwindigkeit ist nur bei Drehung um eine der Hauptträgheitsachsen möglich
(2) Dabei ist nur die Drehung um das größte oder kleinste Hauptträgheitsmoment stabil.
Beweis von (1):
Annahme: sei
Aber: Für unsymmetrischen
Kreisel gilt für alle Differenzen:
zwei der Komponenten
müssen
dritte Komonente:
Beweis von (2):
sei
("Stabilitätsanalyse")
sein
Drehung findet um diese Hauptachse statt!
fest vorgegeben, und betrachte eine kleine Störung in 2,3-Richtung:
gegeben
kleine Störung
Wir betrachten in den Eulerschen Gleichungen (32.1) die Terme linear in
(1):
mit
Analog:
Fallunterscheidung:
(a) I1 ist größtes oder kleinstes Moment:
der Ansatz
harm-Osz, mit
konst.
(b) I1 ist das mittlere Moment:
exp-Verhalten:
ausser wenn
der Ansatz
konst.
Beispiel für unsymmetrischen Kreisel:
Saturn-Mond Hyperion, mit Halbachsen von etwa 190 km, 145 km, 114 km, ist sehr unsymmetrisch.
Folglich erzeugen die Euler-Gleichungen sehr komplizierte (chaotische) Dynamik:
Konkret: eine (hypothetische) Messung der momentanen räumlichen Orientierung auf 10 Stellen
genau durch Voyager I im November 1980 wäre nicht ausreichend gewesen, um die
Groborientierung der Achse beim Vorbeiflug von Voyager II im August 1981 vorherzusagen...
Zusammenfassung: Starrer Körper - Drehimpuls und Drehmoment
Der Drehimpuls des starren Körpers bezüglich eines beliebigen Punkts kann zerlegt
werden in den Drehimpuls des Schwerpunkts bzgl. dieses Punktes und den Relativdrehimpuls:
In einem "momentan mitlaufenden" Inertialsystem IS' ("SP-System"), in dem zu einem
gegebenen Zeitpunkt
der Schwerpunkt des SK momentan am Ursprung von IS' ruht, gilt:
Trägheitstensor in IS'
Drehmoment:
Komponenten bezogen auf
körperfestes Koordinatensystem
Im Schwerpunkts- und Hauptachsensystem wird Bewegung des starren Körpers
durch die "Eulerschen Gleichungen" beschrieben:
(Komponenten bezogen auf
körperfestes Koordinatensystem)
Für einen unsymmetrischen freien Kreisel gilt:
(1) Eine konstante Winkelgeschwindigkeit ist nur bei Drehung um eine der Hauptträgheitsachsen
möglich.
(2) Dabei ist nur die Drehung um das größte oder kleinste Hauptträgheitsmoment stabil.
Kräftefreier symmetrischer Kreisel
Grundannahmen:
Symmetrieachse = "Figurenachse"
Winkelgeschwindigkeit
im körperfesten System:
Euler-Gleichungen:
[per Konvention wählen wir Richtung von
mit
so, dass
für
harm. Osz.
Lösung:
Fazit:
Momentane Drehachse
"präzediert" im KS um Figurenachse
bewegt sich im KS auf dem "Polkegel",
mit Öffnungswinkel:
Betrag der
Winkelgeschw.
ist konstant:
"Polkegel"
Aber wie sieht diese Bewegung im Inertialsystem IS aus? (raumfest)
Hierzu benötigen wir die Euler-Winkel!
(zur Erinnerung)
(a)
-Drehung
um
:
rote Linie
liegt in x-zEbene
: Winkel zwischen
und
(b)
-Drehung
um
:
: Winkel zwischen
und
(c)
gedrehte
rote Linie
liegt in ek-e3Ebene
-Drehung
um
:
: Winkel zwischen
und
rote Linie
liegt in ek-e3-Ebene
gedrehte rote Linie
liegt in e1-e3-Ebene
Netto Endergebnis:
Winkeländerungen
pro dt definieren
Winkelgeschwindigkeiten:
(WG)
gedrehte
rote Linie
liegt in ek-zEbene
Aber wie sieht diese Bewegung im Inertialsystem IS aus? (raumfest)
Zusammengefasst:
Skizze von Seite K7
Ausgangsstellung:
Endstellung:
rote Linie
liegt in e1-e3Ebene
rote Linie
liegt in x-zEbene
Interpretation der Euler-Winkel für Kreisel:
(a)
Drehung der Figurenachse
(b) Winkel zwischen Figurenachse
-Achse:
um
und
-Achse:
Drehung um
(c) Drehung des Körpers (also von KS) um Figurenachse
Vorschau: Visualisierung im raumfesten IS
Drehimpulsachse
konst.
t-abhängig
Präzessionskegel
Drehachse
Spurkegel
Figurenachse
Polkegel rollt mit der
Außenfläche auf dem
raumfesten Spurkegel ab.
Euler-Winkel für freien, symmetrischen Kreisel:
1.
Winkel zwischen Figurenachse
2.
Drehung der Figurenachse
3.
Drehung des Körpers (also von KS) um Figurenachse
und
um
-Achse:
-Achse:
Wähle Drehimpulsvektor in z-Richtung:
Einerseits:
Im körperfesten Schwerpunktsystem gilt:
(weil
)
Benutze Hauptachensystem
für körperfeste Basisvektoren:
Andrerseits:
Komponenten von
in KS:
Basisvektoren des körperfesten Systems KS
Bezug zwischen körperfesten und raumfesten Einheitsvektoren ist durch Euler-Winkel gegeben:
Gesamtdrehimpuls:
(Drehwinkel v. SK
um Figurenachse):
(Winkel zwischen
Figurenachse
und z-Achse):
: (Drehwinkel von
Figurenachse
um z-Achse):
Komponenten von
Präzession mit
in der
in KS:
:
-Ebene
Visualisierung im raumfesten IS:
Präzessionskegel
Spurkegel
Fazit:
Für freien, symmetrischen Kreisel
sind folgende Größen konstant
(aber nur jeweils zwei davon sind unabhängig):
1. Winkel zwischen Figurenachse
2. W-Geschw. der Figurenachse
und
um
Drehachse
Figurenachse
Polkegel rollt mit der
Außenfläche auf dem
raumfesten Spurkegel ab.
-Achse:
-Achse:
3. W-Geschw. des Körpers (also von KS) um Figurenachse
Ferner:
Gesamtdrehimpuls:
Visualisierung im raumfesten IS:
Drehachse
Präzessionskegel
Figurenachse
Spurkegel
Polkegel rollt mit der
Innenfläche auf dem
raumfesten Spurkegel ab.
Schwerer symmetrischer Kreisel
wegen Schwerkraft)
(
Wähle Unterstützungspunkt auf Figurenachse.
Da Drehmoment in Euler-Gleichung auf KS bezogen wurden muss,
ist es einfacher, direkt bei Lagrange-Gl. 2. zu beginnen.
(statt von Euler-Gl.)
Schwerpunkt
Potentielle Energie:
Kinetische Energie:
im Hauptachsensystem:
sei Trägheitstensor
bezüglich Unterstützungspunkt
(nicht SP)
in KS, ausgedrückt durch
Euler-Winkel:
(41.4) in (41.3):
Erhaltungsgrößen
Zyklische Variablen:
Energie-Erhaltung
(weil
Eliminiere
):
und
mittels (3), dann liefert E = const. eine effektive
1-dimensionale Bewegungsgl. für
Periodische Oszillationen von
"Reguläre" Präzession: falls
im effektiven Potential!
! "Nutation"
Zusammenfassung: Symmetrischer Kreisel
Freier Kreisel:
Drehachse
Präzessionskegel
Spurkegel
Drehachse Figurenach
Kinetische Energie:
Erhaltungsgrößen:
Figurenachse
Polkegel rollt mit
der Innenfläche auf
dem raumfesten
Spurkegel ab.
Polkegel rollt mit der
Außenfläche auf dem
raumfesten Spurkegel ab.
Schwerer Kreisel:
Präzessionskegel
Spurkegel
Potentielle Energie:
Hamiltonsche Mechanik (Kanonische Mechanik)
Hamilton-Funktion und Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
Motivation: Die Hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik
- erweiterert Klasse der zulässigen Koordinaten-Transf. (wichtig für Diskussion v. Symmetrien)
- ist ideal für formale Diskussion der mathematischen Struktur der klassischen Mechanik
- verdeutlicht den Bezug der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik.
Zentrale Ergebnisse (Vorschau):
wobei
Def: "HamiltonFunktion":
und
Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen:
("HG")
Def: "Poisson-Klammer":
Bewegungsgl. ausgedrückt
durch Poisson-Klammern:
"Kommutator"
Einfachstes Beispiel: freies Teilchen in konservativem Kraftfeld
Lagrange-Funktion:
Kanonischer Impuls:
Hamilton-Funktion:
Energie
Hamilton-Gl.:
Poisson-Klammer für
Inschrift auf Grabstein von Max Born
Vorschau
Zeitentwicklung von
via Poisson-Klammern:
Allgemeine Formulierung
Verallg. Koordinaten seien:
Kanonischen Impulse:
mit
sondern
Ziel: ein Formalismus, dessen Variablen nicht
sind!
Def: Hamilton-Funktion (engl: Hamiltonian):
Ein System, das durch eine Langrange-Funktion mit
beschrieben wird, heisst "kanonisch". Ein kanonisches System hat eine sog. Hamiltonfunktion:
Vektoren, wie in (1)
Die unahbängigen Variablen der Hamilton-Funktion sind:
- die generalisierten Koordinaten
- die generalisierten Impulse ("kanonisch konjugierten Impulse")
- "p und q sind unabhängige Variablen" bedeutet:
Bemerkung: (3.4) ist eine Legendre-Transformation von L zu H, wodurch
durch
als unabhängige Variable ersetzt wird. Wozu die Einschränkung (3.3)?
Um H = (4) zu konstruieren muss sich
ausdrücken lassen.
Anders gesagt,
eindeutig als
muss sich nach den
auflösen lassen.
Nach dem Satz über invertierbare Funktionen ist dies genau dann möglich, wenn die Matrix
invertierbar ist, d.h.
invertierbar ist, das System also kanonisch ist. Plausibilitätsarg. für diesen Satz:
Betrachte die Funktionen
Taylor-Entw. nach 2.tem
Argument:
Betrachte Limes
(5) ist nur nach
lösbar, falls
invertierbar ist, d.h. falls (3) gilt.
Wenn kinetische Energie quadratisch ist in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten
und das Potenzial geschwindigkeitsunabhängig, ist das System immer kanonisch:
Sei
, mit
symmetrisch, positiv definit
(alle Eigenwerte sind > 0)
, mit
Beispiel: Kugelkoordinaten:
= invertierbar!
Eselsbrücke um sich zu merken:
H hängt nicht von
ab:
per Def. von
Beispiel: freihes Teilchen:
Satz: für ein kanonisches System sind die Lagrange-Gleichungen (2. Art) äquivalent zu den
"Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (HG)" ("kanonischen Bewegungsgleichungen"):
Bemerkung: aus f Differentialgleichungen 2. Ordnung (L2) werden äquivalent
2f Diff.Gl. 1. Ordnung (HG). Folglich hat Hamilton-Formalismus mehr unabhängige Variablen
(2f statt f), und erlaubt somit eine größere Klasse von Transformationen.
("kanonische Transf.")
Beweis, Teil 1:
Betrachte:
Betrachte ferner:
mittels (HG)
Beweis, Teil 2: Gegeben H(q,p,t), drücke Impulse als
def. Lagrange-Fnkt. in der nun
aus, und
und
als unabhängige Variablen
aufgefasst werden:
Betrachte:
reproduziert Def. v. kanonischem Impuls
Betrachte:
reproduziert (L2)
Satz: Für System mit skleronomen (zeitunabhängigen) Zwangsbedingungen und
geschwindigkeitsunabhängigem Potential ist die Hamilton-Funktion gerade die Gesamtenergie
des Systems, ausgedrückt durch die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse.
(Bemerkung: in diesem Fall hat H eine klare physikalische Bedeutung! Vorteil gegenüber Lagrange...)
Beweis: Für skleronome Zwangsbedingung ist kinetische Energie eine quadratische Form:
Kanonische Impulse:
Hamilton-Funktion:
Bemerkung: Sind die Potentiale zeitunabhängig, ist die Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße:
laut Annahme
Satz: Falls die Hamilton-Funktion nicht von einer bestimmten generalisierten Koordinate
abhängt (zyklische Koordinate), ist der dazughörige kanonisch konjugierte Impuls eine
Erhaltungsgröße.
(Annahme:
ist zyklisch)
Beweis:
Aus
folgt
Mathematische Ergänzung: "Legendre-Transformation"
Betrachte Funktion:
(x steht für
oben)
mit
monoton, wegen
also umkehrbar
Definiere die Funktion:
Deren Umkehrfunktion sei
(diese existiert wegen
)
Dann ist die Legendre-Transformierte von f(x)
die Funktion
Umkehrfunktion
Beispiel:
mit
Bemerkung: Die Legendre-Transf. hat viele nützliche mathematische Eigenschaften. Z.B. liefert sie
zweifach ausgeführt, zur Identität. Im Beispiel oben, liefert Legrende-Transf. von (6a):
, mit
Bei Legendre-Trf. geht also keine Information verloren, nur Wechsel der unabhängigen Variablen.
Verallgemeinerung der Legendre-Transformation auf Funktionen mehrerer Variablen:
Betrachte:
(
steht für
Definiere:
mit
oben)
und Umkehrfunktionen seien
Legendre-Transf.:
Bemerkung:
Damit ist die Hamilton-Funktion die Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion
bezüglich der generalisierten Geschwindigkeiten. (Die generalisierten Koordinatien werden
nicht transformiert!)
Zusammenfassung: Hamiltonsche Mechanik I
Ein System, das durch eine Langrange-Funktion mit
beschrieben wird, heisst "kanonisch", mit Hamiltonfunktion:
Die unahbängigen Variablen der Hamilton-Funktion sind:
- die generalisierten Koordinaten
- die generalisierten Impulse ("kanonisch konjugierten Impulse")
Vektoren, wie in (1)
Die Hamilton-Funktion die Legendre-Transformation der Lagrange-Funktion bezüglich der
generalisierten Geschwindigkeiten.
Hamiltonschen Bewegungsgleichungen: ("HG")
Für System mit skleronomen (zeitunabhängigen) Zwangsbedingungen und
geschwindigkeitsunabhängigem Potential ist die Hamilton-Funktion gerade die Gesamtenergie
des Systems, ausgedrückt durch die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse.
Sind die Potentiale zeitunabhängig, ist die Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße.
Poisson-Klammern
Betrachte zwei physikalische Grössen, die von den Koordinaten, Impulsen und der Zeit abhängen:
Def: "Poisson-Klammer
von F und G":
Einfachste Beispiele: im Hamilton-Formalismus sind p , q , t unabhängige Variablen, also:
Satz: Poisson-Klammer hat folgende Eigenschaften (folgen direkt aus der Definition):
(i) Antisymmetrie:
(ii) Distribution:
(iii) "Jacobi-Identität":
(zyklische Vertauschung)
(iv) "Faktorisierungszerlegung":
Beweis:
(i), (ii): trivial. (iii), (iv): Übungsaufgaben!
Anmerkung: Eigenschaften (i)-(iv) gelten auch für Kommutatoren von Matrizen!
Satz: Die Zeitabhängigkeit einer beliebigen dynamischen Größe
ist gegeben durch:
Beweis:
Bemerkungen:
1. Gl. (14.5) enthält u.a. die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen als Spezialfall:
2. Eine nicht explizit zeitabhängige Größe ist genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn
die Poisson-Klammer mit H verschwindet:
falls
gilt
3. Mittels der Rechenregeln (14.1-4) lässt sich jede Rechnung auf die
Grundregeln (13.5-7) reduzieren.
4. Ausblick: Die Quantenmechanik (QM) ist eine andere Realisierung einer Theorie mit
- (13.5-7) als Grundregeln,
- (14.1-4) als Rechenregeln,
- (14.5) als Bewegungsgleichung.
Heisenberg lieferte eine Matrix-Formulierung der QM:
- Physikalische Größen: dargestellt durch (unendlich-dimensionale) Matrizen:
- Produkt zweier Größen: Matrixprodukt, nicht kommutativ:
- Kommutator von Matrizen erfüllt Rechenregeln (14.1-4)!
"Kommutator von
und
"
- Poisson-Klammer der kl. Mech. wird in der QM ersetzt durch:
- Grundregel (13.5-7):
Plancksche
K
t
- Bewegungsgl. (14.5):
Dies ist Heisenbergs Bewegungsgl. für Operatoren, äquivalent zur Schrödingergl. der
Wellenformulierung der QM.
Die große Bedeutung des Hamilton-Formalismus liegt in dieser KM-QM Korrespondenz!!
Satz: Die Poisson-Klammer zweier (nicht explizit zeitabhängiger) Erhaltungsgrößen ist
selbst eine (nicht explizit zeitabhängige) Erhaltungsgröße.
Beweis:
Sei (i)
und
und (ii)
erhalten,
d.h.
Dann gilt für
(i)
trivial
Jacobi, (14.3)
(ii)
laut (2)
(i,ii):
Bemerkung: die Erhaltungsgrößen bilden also eine abgeschlossene "Algebra". hier: Poisson-Klammer
(Siehe mathematische Def. einer Algebra: Menge von Elementen mit einer Kompositionsregel,
laut der die Komposition zweier Elemente der Algebra wieder ein Element der Algebra ist.)
Die Poisson-Klammer-Algebra hat in der Regel nur eine endliche Anzahl von Elementen, da
die Poisson-Klammer zweier Größen eine Linearkombination von schon bekannten
Erhaltungsgrößen produzieren kann, oder einfach eine Zahl.
Beispiel: Drehimpuls-Algebra
Betrachte f Punktmassen, miteinander wechselwirkend via einem zentralsymmetrischen
Potenzial:
mit
Gesamtdrehimpuls:
Wir wissen bereits : Gesamtdrehimpulsvektor ist eine Erhaltungsgröße (siehe Seite NM17).
Laut (15.3) muss folglich gelten:
(siehe H19 und Übung!)
Die Poisson-Klammer von zwei Komponenten von L (beide Erhaltungsgrößen) liefert:
(siehe Übung!)
Levi-Civita
Fazit: Die 3 Komponenten des Drehimpulses bilden eine geschlossen Algebra mit 3 Elementen.
In diesem Beispiel liefert die Poisson-Klammer also keine neuen Erhaltungsgrößen
(in anderen Beispielen könnte das aber durchaus passieren!)
Beispiel:
Zwischenrechnung
i: Teilchenindex
a: x,y,z
Zwischenrechnung
(5) in (4)
Analog für
mit
Analog für
Analog kann gezeigt werden:
(Übung!)
Hinweis für Übung:
Phasenraum und Liouvillescher Satz
Phasenraum = 2f-dimensionaler Raum der gen. Koordinaten und kanonisch konjugierten Impulse.
Kenntnis der Dynamik bedeutet: Kenntnis der Trajektorien im Phasenraum (PR),
Beispiel: Harmonischer Oszillator
Bewegung verläuft periodisch, mit
unabhängig v. Anfangsbedingungen.
Bewegung im Phasenraum ist analog zur Strömung einer Flüssigkeit, Trajektorien
schneiden sich nicht. Welche Eigenschaften hat diese Flüssigkeit?
Satz: Liouvillescher Satz:
für ein kanonisches System
ist der Fluß im Phasenraum volumenerhaltend (divergenzfrei).
Beweis: Gegeben sei Volumen im Phasenraum zur Zeit t:
Dessen Zeitentwicklung wird beschrieben durch Zeitentwicklung der PR-Koordinaten.
Betrachte infinitesimales Zeitinterval:
ist Funktion von x
Neues Volumen:
"Jacobi-Determinante"
Variablentransformation
zurück zu alten PR-Koordinaten:
Mathematischer Satz über Koordinatentransformationen bei Integralen:
Für Transformation der Form
transformiert das Volumenelement wie folgt,
Mit Jacobi-Determinate:
(2f x 2f)-dim. Matrix
Hier: (23.1) ist durch (22.3) gegeben, also:
nutze nun (HG):
(4) eingesetzt in (22.5)
Hieraus folgt:
Ende der Aussage des math. Satzes
Ergänzende Bemerkungen zum Liouville-Theorem:
a) In der Regel wird ein Gebiet im Phasenraum im Laufe der Zeit stark deformiert.
Beispiel: Ebenes mathematisches Pendel
Lagrange:
Kanonischer
Impuls:
Hamilton:
wie harm. Osz.
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen:
b) Geladenes Teilchen in äußerem Magnetfeld ist ein kanonisches System (Übung!).
Anwendung: Fokussierung eines
Teilchenstrahls im Beschleuniger
- Um bessere Ortsfokussierung des
Teilchenstrahls zu erreichen, ist,
laut Liouvilleschem Satz,
eine breitere Impulsverteilung nötig!
Fokussierung
Allgemein gilt:
Die Dynamik im 2f-dimensionalen Phasenraum ist eingeschränkt durch folgende Eigenschaften:
-
Trajektorien kreuzen sich nicht
-
Erhaltungsgrößen (I) schränken Dynamik auf bestimmte Manigfaltigkeiten ein, mit
-
Liouvillescher Satz gilt.
Zusammenfassung - Poisson-Klammern
Poisson-Klammer:
Dynamik bestimmt durch:
(i) Antisymmetrie:
(ii) Distribution:
(iii) "Jacobi-Identität":
(zyklische Vertauschung)
(iv) "Faktorisierungszerlegung":
Eine nicht explizit zeitabhängige Größe ist genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn die PoissonKlammer mit H verschwindet:
falls
gilt
Die Poisson-Klammer zweier (nicht explizit zeitabhängiger) Erhaltungsgrößen ist
selbst eine (nicht explizit zeitabhängige) Erhaltungsgröße.
Beispiel: Drehimpuls im Zentralpotential:
Zusammenfassung - Liouvillescher Satz
Phasenraum = 2f-dimensionaler Raum der gen. Koordinaten und kanonisch konjugierten Impulse.
Kenntnis der Dynamik bedeutet: Kenntnis der Trajektorien im Phasenraum (PR),
Die Dynamik im 2f-dimensionalen Phasenraum ist eingeschränkt durch folgende Eigenschaften:
- Trajektorien kreuzen sich nicht
- Erhaltungsgrößen (I) schränken Dynamik auf bestimmte Manigfaltigkeiten ein, mit
- Es gilt der Liouvillescher Satz
Liouvillescher Satz:
für ein kanonisches System
ist der Fluß im Phasenraum
volumenerhaltend:
In der Regel wird ein Gebiet im Phasenraum
im Laufe der Zeit stark deformiert:
Bsp: ebenes Pendel
Kanonische Transformationen
Erinnerung: Hamiltonsches Extremalprinzip: Die Wirkung ist bei vorgegebenen
Randbedingungen stationär für die physikalischen Trajektorien:
für
Dieses Extremalprinzip gilt auch bei Variationen im Phasenraum,
der ja größer ist als der Koordinatenraum!
Satz ("modifiziertes Hamiltonsches Prinzip"):
ist bei vorgegebenen Randbedingungen stationär für physikalischen Trajektorien im Phasenraum:
mit
Beweis:
Euler-Lagrange-Gl.
angewandt auf (2):
Bemerkung: Da G(q,p,q,p,t) de facto NICHT von
nicht für Herleitung des Satzes erforderlich.
abhängt, ist Bedingung (27.3b)
part. Int.
(27.3b) wäre nötig für part. Integr. bei:
ist aber ohnehin = 0 in (27.2)
Also ist Bedingung (27.3a) ausreichend, und es gilt das modifizierte Hamiltonsche
Prinzip unter genau denselben Voraussetzungen wie das ursprüngliche Hamiltonsche
Prinzip für L(q,q,t). Dennoch schränken wir vortan Betrachtung ein auf Bedingung,
dass (27.3a) und (27.3b) gelten. (Grund: siehe unten)
Betrachte nun Transformationen von alten zu neuen Variablen,
Ziel: neue Bewegungsgleichungen sollen einfacher als alte sein!
Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form
der kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h., wenn ein
existiert, für das gilt:
Bemerkung: (28.2) erlaubt Mischung v. Koordinaten und Impulsen, d.h. Klasse v. Transf.
ist größer als i.d. Lagrangeschen Formulierung, wo nur Transf. im Koordinatenraum
vorgesehen sind:
Allgemeine Konstruktion einer kanonischen Transformation:
Da Hamilton-Gleichungen äquivalent zum modifizierten Ham. Variationsprinzip sind, muss gelten:
p,q kanonisch:
mit
P,Q kanonisch:
mit
(3) und (4) sind gleichzeitig erfüllt, falls die Transformation von alten zu neuen Variablen
die Eigenschaft hat, dass folgende Gleichung gilt:
beliebige Funktion mit stetigen 2.ten Ableitungen
denn der Zusatzterm liefert:
in (4a)
F wird die "Erzeugende" (Funktion) der kanonischen Transformation genannt.
Bemerkung: Da nur zwei der vier Variablensätze q, p, Q, P unabhängig sind, gibt es vier
verschiedene Klassen
von "Erzeugenden" F.
(Je nach Problemstellung
Legendreist eine nützlicher
Transformationen
als die anderen.)
von (1). Siehe
nächste Vorlesung
Betrachte zunächst F1.
Die Form von F1 legt die Form der Transformation fest, wie folgt:
(5) ist identisch erfüllt, falls:
(7), (8) auflösen nach:
Beispiel: Harmonischer Oszillator
Hamilton-Funktion:
Ansatz für F1: Wähle
(30.7):
(30.8):
(3), (4) auflösen, nach
q=q(Q,P,t), p=p(Q,P,t):
(5) in (3):
(5),(6) in (1):
ist zyklisch!
Kanonische Gl.:
Eingesetzt in q, p:
korrekte, bekannte
Lösung!
Bemerkungen:
Eine kanonische Transformation, die auf eine zyklischen Variable führt, erfordert Mischung von Ort
und Impulsvariablen. Lohn der Mühe: neue Hamilton-Funktion ist extrem einfach! [(siehe 31.8)]
Grundidee hinter der Strategie von Gl. (30.5-10):
Wenn F1 von q,Q,t abhängt, brauchen wir Gleichungen, für p und P [siehe (2) und (3)].
Diese bekommen wir, durch Vergleich der Koeffizienten von
und
in (3).
Analog für F2(q,P,t), F3(p,Q,t), F4(p,P,t).
Analog für andere Tr.-Klassen:
(29.5), mit Einsteinscher
Summenkonvention:
Erzeugende F
definiert
(1a)
,gilt für alle Klassen von F
Gleichungen
benötigt für
Koeff.Vergl.
Die Definitionen F2, F3 und F4 können als Legendre-Transformationen von F1 aufgefasst werden, und umgekehrt.
Beispiel in Klasse F2:
Betrachte Erzeugende folgender besonders einfachen, weil faktorisierten, Form:
Offensichtlich (3) umfasst alle bekannte Koordinatentransformationen der Lagrangeschen Mechani
(sogenannte Punkttransformationen)
Folgende speziellen Wahl von f liefert die Identitätstransformation:
identische Transformation
Beispiel: Transformation zu Schwerpunkt- und Relativkoordinaten
Hamiltonfunktion für 2 Massenpunkte:
Kurznotation
Dazu wählen wir als Erzeugende:
Neue Koordinaten
sind gegeben durch:
Schwerpunktskoordinate
Neue Impulse
berechnen sich
mittels:
(3), (4), aufgelöst
nach
Schwerpunktsimpuls
Relativkoordinate
Relativimpuls
Hamiltonfunktion, ausdrückt durch neue Koordinaten:
Da die Transformation von alten zu neuen Variablen per Konstruktion "kanonisch" ist, haben
die Bewegungsgleichungen für die neuen Variablen die übliche Form [siehe (28.3)]:
Schwerpunktskoordinaten:
Relativkoordinaten:
Satz: Eine gegebene Transformation
ist genau dann kanonisch, wenn folgende Poisson-Klammer-Relationen erfüllt sind,
wobei die Poisson-Klammern
bezüglich q,p zu berechnen sind:
Beweis: Übungsaufgabe!
Bemerkung: dieser Satz hat wichtige
Anwendungen in der Quantenmechanik, wegen
Zusammenfassung: kanonische Transformationen
Definition: Variablentransformation d. Form (2) heisst "kanonisch", wenn sie d. Form der
kanonischen Bewegungsgleichungen erhält, d.h., wenn ein
existiert, für das gilt:
Allgemeines Konstruktionsprinzip einer kanonischen Transformation: wähle "erzeugende F"
und konstruiere neue Hamilton-Funktion gemäß:
Bemerkung: Da nur zwei der vier Variablensätze q, p, Q, P unabhängig sind, gibt es vier
verschiedene Klassen
von "Erzeugenden" F.
(Je nach Problemstellung
ist eine nützlicher
als die anderen.)
definiert
Erzeugende F
(1a)
,gilt für alle Klassen von F
Gleichungen
benötigt für
Die Definitionen F2, F3 und F4 können als Legendre-Transformationen von F1 aufgefasst werden, und umgekehrt.
Koeff.Vergl.
Hamilton-Jacobi-Theorie
Bewegungsgleichungen werden einfacher, wenn alle (!) neuen Koordinaten zyklisch sind. Dies
ist insbesondere dann der Fall, wenn eine zeitabhängige kanonische Transformation existiert,
so dass die neue Hamilton-Funktion verschwindet(!):
Forderung !
Falls
folgt
Invertieren von (3)
liefert gesuchte Lösung
der Bewegungsgl.:
spielen die Rolle von Intergrationskonstanten, lassen sich durch Angabe von
Anfangsbedingungen bestimmen:
Wie findet man die in (1) geforderte Transformation F ?
Betrachte eine Erzeugende vom Typ F2:
"Prinzipal-Funktion, Wirkungs-Funktion"
mit
und fordere, dass die neue Hamilton-Funktion gleich Null sei:
Die "Hamilton-Jacobi-Gleichung" (HJG), eine partielle Diff.-Gl., ist die Bestimmungsgleichung für
betrachtet als Funktion der f+1 Variablen
für vorgebene Werte von
Die Lösung
, die als Integrationskonstanten aufgefasst werden können.
der HJG gewährleistet, dass die Voraussetzungen für Gleichungen (37.2-5) gelten,
und so eine Lösung der HG von der Form (37.4) gefunden werden kann.
Bemerkung: Da in der Hamilton-Jacobi-Theorie [Gl. (38.2,5)] nur Ableitungen der
Erzeugenden vorkommen, ist sie nur bis auf eine additive Konstante bestimmt.
Per Konvention wird diese so gewählt, dass
Wenn H(q,p,t) nicht explizit von Zeit abhängt, empfiehlt sich folgende Wahl für die Erzeugende:
(Wähle
"verkürzte Wirkung", mit
Dann vereinfacht sich
die HJG (38.5) zu:
"verkürzte HamiltonJacobi-Gl."
laut Annahme
komplett
zeitunabhängig !
Bemerkung: Der Ansatz (2) funktioniert nur, weil H NICHT explizit zeitabhängig ist.
Wäre H = H(t) bräuchten wir in (4) eine Zeitabhängigkeit für
Funkt. v. t
Beispiel: Harmonischer Oszillator
Hamilton-Funktion:
Erzeugende:
Verkürzte Hamilton-Jacobi-Gleichung (39.5) für
Diff.Gl. für
Integriert:
Explizite Lösung des
Integrals nicht nötig, denn
(33.3b) oder (38.2)
Bronstein
absorbiert in ß
Auflösen nach q(t)
und p(t) liefert
bekannte Lösung:
Anfangsbedingungen bei
t = 0 legen
fest:
Physikalische Interpretation der Erzeugenden:
Satz: Die Lösung
der physikalischen Trajektorie.
der Hamilton-Jacobi-Gl. ist gerade die Wirkung entlang
zeitunabhängig!
Beweis: Betrachte
Hamilton-Jacobi-Gl:
(2) = Legendre-Transf.
der Hamilton-Funktion:
mit
(1) integriert:
Folgerung: Das Wirkungsintegral läßt sich als Erzeugende für gerade diejenige kanonische
Transf. interpretieren, die die Hamilton-Funktion "trivial" macht.
Bemerkung: Um (4) zu verifizieren, muss Lösung der Bewegengsgleichung bereits bekannt sein.
Beispiel: stimmt (42.4) für den Harmonischen Oszillator?
Einerseits:
Transformation der
Integrationsvariablen:
Andrerseits:
Lagrange-Funktion:
= Integrand v. (4), d.h.
konsistent mit (42.4)
Separation der Variablen in Hamilton-Jacobi-Gleichung
Wir wissen bereits: falls H nicht von t abhängt, separiert die Erzeugende in zwei Beiträge,
linear in t bzw. unabhängig von t:
Charakteristische Hamilton-Funktion
denn dann reproduziert
die HJG die t-Unabhängigkeit
von H:
Analog gilt:
falls H ausserdem zyklisch in einer Koordinate ist, z.B. in
kann auch W(q,P) in zwei Beiträge separiert werden, linear in
bzw. unabhängig von
:
keine Summation !
Grund: dann reproduziert (3)
die Tatsache, dass der zu
konjugierte Impuls erhalten ist:
HJG (2) vereinfacht sich zu:
(Für allgemeine Diskussion, unter welchen Umständen HJ-Gl. separierbar ist, siehe Goldstein, Kap. 10.4.)
Beispiel: Zentralkraft-Problem:
V = V(r)
Wähle Polarkoordinaten in der Bahnebene:
(z = 0 = konst.)
Zwischenrechnung: Finde Hamilton-Funktion H = H(q,p):
Kinetische Energie:
[Blatt 6, Beispielaufgabe (1e)' ]
Kanonische Impulse:
Hamilton-Funktion:
zyklisch
Notationskonvention:
Charakteristische HamiltonFunktion laut (44.3):
Kurznotation
Hier:
bedeutet: ersetze
Hamilton-Jacobi-Gl.
laut (44.5):
Hier:
(5) aufgelöst nach
durch
Volle Erzeugende, (46.3):
Transformationsgl.:
mit
(3) gibt Radius
als Funktion der Zeit, konsistent mit ZP7.3 !!
(mit
)
mit
(4) gibt Winkel
als Funktion des Radius
, liefert also Bahnkurve, konsistent mit ZP8.2 !!
)
(mit
HJ-Formalismus ist sehr mächtig - zentrale Ergebnisse folgen mit sehr wenig Aufwand!
Für analoge Behandlung der Zentralkraft in Kugelkoordinaten: siehe Goldstein.
Bezug der Hamilton-Jakobi-Theorie zur Quantenmechanik
Hamilton-Jakobi-Gleichung:
Beispiel - Teilchen in 1D:
quantenmechanische Wellenfunktion
Schrödinger-Gleichung:
Beispiel - Teilchen in 1D:
Schreibe Wellenfunktion als:
(5) in (4) eingesetzt:
Im Limes
reduziert sich die Schrödinger-Gleichung (6) zur Hamilton-Jakobi-Gleichung (2),
[allgemeiner: (3) zu (1)], die Phase der Wellenfunktion spielt die Rolle der Wirkungsfunktion !
[Dieser Zusammenhang war Schrödinger bekannt, und spielte eine zentrale Rolle beim "Finden" seiner Gleichung!]
Zusammenfassung: Hamilton-Jacobi-Theorie
Ziel: finde kanonische Transf. auf
dann sind
automatisch erhalten!
Bewegungsgleichungen
für neue Variablen:
Allgemein:
Spezialfall:
Anwendbar für:
Formale Forderung:
Erzeugende:
Hamiltonsche Wirkungsfunktion
Lösungen für
neue Variablen:
Charakteristische Hamilton-Funktion
(verkürzte Wirkung)
Erzeugende wird bestimmt durch die partielle Hamilton-Jacobi-Gleichung (HJG):
bedeutet: ersetze
durch
Die vollständige Lösung der HJG enthält n Integrationskonstanten,
die gleich den erhaltenen Impulsen gesetzt werden können:
Vollständigen Lösungen der HJG
sind also Funktionen der neuen Impulse:
Eine Hälfte der Transformationsgleichungen ist automatisch erfülllt
(da genutzt in Konstruktion der HJG):
Die andere Hälfte der
Transformationsgleichungen,
lässt sich auflösen nach den alten Koordinaten,
und liefert somit die gewünschte Lösung der Bewegungsgl.:
Anfangsbedingungen für Koordinaten
und Impulse, eingesetzt in (10) und (11),
legen die Konstanten fest:
Falls H nicht von der Zeit abhängt, gilt:
Winkel-Wirkungs-Variablen (WWV)
Für Systeme, deren Bewegung periodisch erfolgt, liefern WWV einen Weg, die Frequenzen
direkt zu bestimmen (ohne erst die Bewegungsgleichungen berechnen zu müssen!).
WWV mit einem Freiheitsgrad
H sei konservativ:
(1) aufgelöst nach
Impuls:
Wir unterscheiden nun zwei Arten von periodischer Bewegung:
Def: "Libration": Im Phasenraum ist Bahn geschlossen, q und p
sind beide periodische Funktionen der Zeit mit derselben Frequenz.
(Beispiel: Harm. Oszillator)
Def: "Rotation": Impuls p ist periodische Funktion von der Koordinate q,
die einen Winkel darstellt und deren Wert unbeschränkt zunehmen kann.
(Beispiel: rotierender starrer Körper)
Folgende Diskussion gilt für beide Arten.
Def: "Wirkungsvariable"
Integral erfolgt über eine vollständig Periode der Libration oder Rotation.
Da J nur von
abhängt, werde nun in HJ-Theorie J (anstatt
) als neuer Impuls gewählt:
(1) invertiert:
Charakteristische
Hamilton-Funktion:
(-variable)
Def: "Winkelkoordinate":
(konjugiert zu J)
Bewegungsgl. für w:
Lösung v. (5):
(hängt nur von J ab!)
Bisherige Stragegie wäre nun: (4) nach q auflösen, q = q(w,J), (6) einsetzen,
Der besondere Sinn von WWV liegt jedoch darin, dass Frequenz der Bahn bestimmt werden
kann, ohne q = q(t) explizit zu kennen:
Periode
Veränderung von w
während einer Periode:
Änderungen w für gegebene Änderung von q
Alternativ gilt
aber auch:
Integral über eine Periode
da J entlang ganzer Bahn
konstant ist, ziehe
Ableitung vor Integral:
(1) = (4) liefert
allgemeinen Ausdruck
für Frequenz:
Beispiel: Harmonischer Oszillator (siehe auch S. H40-41)
Substitution:
[Integralgrenzen
entsprechen
einer Periode von q]
Hamilton als Funktion
von J:
Frequenz des HO:
Lösungen für q(t), p(t),
ausgedrückt durch
(1), (2) können aufgefasst werden als Rücktransformation von neuen WW-Variablen, J,w, zu
alten Variablen, q,p.
Vorschau: Quantenmechanik
Gebundene Systeme werden durch diskrete Energien gekennzeichnet. Erster (beinahe)
erfolgreicher Ansatz, die diskreten Energien für das Wasserstof-Atom vorherzusagen,
gelang Bohr 1913 mit dem Postulat (nur semiklassisch beinahe korrekt), dass Wirkungsvariablen
nur diskrete Energien annehmen können:
Plancksche Konstante h
Angewandt auf den
Harmonischen Oszillator,
sind erlaubte Energien:
Korrektes qm Ergebnis ist
Zusammenfassung: Winkel-Wirkungsvariablen
H sei konservativ:
Def: "Wirkungsvariable"
integriere über vollständige Periode
Erzeugende
Funktion:
(-variable)
Def: "Winkelkoordinate":
(konjugiert zu J)
Bewegungsgl. für w:
Periode
Somit:
:
Spezielle Relativitätstheorie (Einstein, 1905)
A. Einstein, 1905, Annalen der Physik: "Zur Elektrodynamik bewegter Körper"
http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf
Buch: N. David Mermin: "It's About Time: Understanding Einstein's Relativity",
Princeton University Press, 2005
Lichtgeschwindigkeit (LG)
1) Erste Messversuche - Galilei
2) Erste erfolgreiche Schätzung - Römer (1676)
Erde
Sonne
Jupiter
Mond
Jupiter-Mondfinsternis früher/später als erwaret, wenn Erde näher/weiter weg war:
Spiegel
3) Erste gute Messung:
(Fizeau, 1880)
Rad 2
(leicht verdreht)
Rad 1
4) Heute: c
299.792.458 m/s per Definition!
Das ist eigentlich
Definition des Meters:
5) Intuition:
Abstand, den Licht in
zurücklegt
Fuß/Nanosekunde
Offensichtliche Frage: "relativ zu was" bewegt sich Licht mit 300.000 km/s ??
Mögliche Antwort 1 (MA1): "Relativ zu einem 'Licht-Medium' ('Lichtäther')
absolut ruhend?
Wäre analog zu Schallwellen durch Luft oder Wasser, wo Schallgeschwindigkeit relativ zu Medium
unabhängig ist von Geschwindigkeit der Quelle.
Lichtquelle
Aber: MA1 widerspricht Experiment
(Michelson-Morley, 1887)
Sonne
Erde
Erwartet:
hypothetischer
Ätherwind
(mit Strom Schwimmen ist schneller
als gegen Strom Schwimmen)
Erde
bewegt sich
nach rechts
durch d. Äther
hypothetischer Ätherwind weht nach
links relativ zur Erde
Gemessen:
Mögliche Antwort 2 (MA2): "Relativ zur Quelle"
Wäre analog zu Kugel aus Flugzeug gefeuert:
Geschw. Bob rel. zu Alice:
Geschw. Kugel rel. zu Bob:
Geschw. Kugel rel. zu Alice:
Aber: MA2 widerspicht Experiment:
Erwartet
laut Galileo:
Gemessen:
Erde
rotierendes Doppelsternsystem
Ferner: MA2 widerspricht Maxwell's Elektrodynamik, die vorhersagt:
Geschwindigkeit aller elektromagnetischer (EM) Strahlung ist genau c,
unabhängig von Geschw. der Quelle!
Enter Einstein: er bemerkt: EM-Phänomene sehen in verschiedenen
Inertialsystemen gleich aus!
z.B.
Leiterschlaufe
Leiterschlaufe
Magnet
Magnet
Elektromotorische Kraft in Leiterschlaufe ist dieselbe, unabhängig davon ob Leiterschlaufe
ruht und Magnet bewegt wird oder umgekehrt.
Einstein postuliert:
1) Relativitätsprinzip: In allen zueinander gleichförmig bewegten Bezugssystemen
(Inertialsystemen) laufen physikalische Vorgänge bei gleichen Bedingungen gleich ab.
(somit ist "Einführung eines Lichtäthers oder absolut ruhenden Raumes" überflüssig)
2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (LG): In allen Inertialsystemen ist die
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum (unabhängig v. Bewegungszustand der Quellen) gleich groß.
(2 folgt aus 1, da Maxwell-Theorie besagt: c ist unabhängig von Quelle)
Fazit: Relativ zu was bewegt sich Licht mit c? Antwort: Egal! Relativ zu allen beliebigen IS!
Aber: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist im Widerspruch zur Galilei-Invarianz der
Newton'schen Mechanik. Also ist diese durch eine "relativistische Mechanik" zu ersetzen...
Explizit:
Für t= t' = 0 sei
also:
Koordinaten des Ursprungs
von Bob aus Sicht von Alice.
Relativgeschwindigkeit von B rel. zu A
Lichtblitz starte bei t = t' 0 in
, und erreicht etwas später Punkt P.
Alice sagt:
Bob sagt:
Liefert Widerspruch zur Galilei-Transformation:
(4) in (3) liefert nicht (2)!!
(5.3) erscheint zunächst verblüffend, wenn wir annehmen, dass Apparate für Messung
von Geschw. [oder, weil v=x/t, von Abständen (Messlatten) und Zeiten (Uhren)], für Alice und
Bob
Problem der Gleichzeitigkeit
Zeitmessung ist Aussage über gleichzeitige Ereignisse:
"Zug kommt um 7 Uhr" heisst:
"Uhrzeiger zeigt auf 7" und "Zug kommt" sind gleichzeitige Ereignisse.
Wie ist "gleichzeitig" definiert, wenn zwei Ereignisse räumlich getrennt sind??
Einstein's Definition (nutzt Konstanz der LG):
Ereignisse
und
sind gleichzeitig,
wenn zwei Lichtstrahlen,
ausgesandt,
und
von
zur Zeit
von
gleichzeitig im geometrischen Mittelpunkt ankommen.
geometrischer
Mittelpunkt
Wir werden zeigen:
Zwei Ereignisse, die für B' gleichzeitig erscheinen, erscheinen für A ungleichzeitig!
(mit anderen Worten: Uhren von A und B' lassen sich nicht perfekt synchronisieren...)
(Berühmtes) Beispiel: "Photonenpaar im Zug"
(Mermin Notes, Part 5)
Fall 1: Wagen von Bob steht im Bahnhof von Alice.
Alle A-Uhren sind miteinander synchronisiert,
Alle B'-Uhren sind miteinander synchronisiert.
Von Wagenmitte werden gleichzeitig,
zur Zeit
zwei Photonen
abgeschossen
A und B' sehen dasselbe:
Photonen kommen gleichzeitig
hinten und vorne an, zur Zeit
(laut A),
(laut B'),
und zünden zwei Knallerbsen.
Die machen Flecken auf die Schiene,
und schicken Photonen zurück,
welche die Wagenmitte gleichzeitig
erreichen, zur Zeit
Raum-Zeit (Minkowski) -Diagramme für Fall 1: Wagen B steht im Bahnhof A
Photon-Bahnkurven
aus Sicht von B
Photon-Bahnkurven
aus Sicht von A
Rot: Photonbahnen (Steigung:
) (auch "Lichtkegel" genannt)
gegenläufige Photobahnen machen einen Winkel von
Blau: "Weltlinien" für eine Abfolge von Ereignissen
(z.B. Bahnkurve von Hinterwand des Wagens)
Lila: Gleichzeitige Ereignisse (synchronisierte Uhren haben denselben Zeigerstand)
Fall 2: Wagen fährt durch Bahnhof mit
Geschwindigkeit
.
sei Zeitpunkt, wenn
Dann werden die zwei Photonen
gleichzeitig abgeschossen.
A sagt: L-Photon trifft hinten zur Zeit
R-Photon trifft vorne zur Zeit
B' sagt: weil LG = c in jedem IS,
ist für mich Fall 1 = Fall 2
Photonen kommen gleichzeitig
hinten und vorne an:
Fazit: ["gleichzeitig" für B]
["gleichzeitig" für A]
Ferner: die Ankünfte der zwei
Knallerbsenphotonen bei Wagenmitte
passieren gleichzeitig
(laut B')
zur Zeit
Weil diese Ereignisse am selben Ort
stattfinden, sieht auch A sie
(laut A)
gleichzeitig zur Zeit
Raum-Zeit-Diagram aus Sicht von A: Wie groß ist die Zeitdifferenz
Referenzpunkt für Wagenmitte:
bei
ist
Wagengeschwindigkeit:
Bahnkurve Wagenmitte:
c (Zeit)
Steigung:
Abstand
Bahnkurven Photonen:
Rechtes Photon:
Linkes Photon:
Abstand zwischen Knallern:
Zeit zwischen Knallern:
wenn
Steigung der Linie E1-E2:
Raum-Zeit-Diagram aus Sicht von B': Wie groß ist die Zeitdifferenz
Referenzpunkt für Wagenmitte laut A:
bei
ist
Referenzpunkt für Wagenmitte laut A:
bei
ist
Wie liegen x'- und t'-Achsen im A-Diagramm?
Linie mit x'=konst (laut B'):
beschreibt Ereignise, die an demselben
Ort im Wagen stattfinden.
(entspricht der ct'-Achse)
Beispiel: Bahnkurve der Wagenmitte,
Alle Geraden mit x' = konst. sind
zur ct'-Achse
sonst würden sich Geraden mit
irgendwann kreuzen, im Widerspruch zu
Linie mit ct'=konst (laut B'):
beschreibt Ereignisse, die laut B' gleichzeitig stattfinden (ermittelt mittels gleichzeitig am
geometrischen Mittelpunkt eintreffender Photonsignale, laut S. 7)
Beispiel: Photonen kommen laut B' gleichzeitig vorne und hinten an!
Alle Geraden mit t' = konst. sind
zu
x'-Achse: wo t' = 0
Regel 1: "hinteres Ereignis ist früher" (sagt ruhende A über bewegt-gleichzeitige B'-Ereignisse)
In IS B' seien zwei Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig. Laut IS A bewege sich B'mit Geschw.
entlang der Verbindungslinie von E1 (hinten) nach E2 (vorne); laut A sei der Abstand dazwischen
Laut A findet das hintere Ereignis (E1) früher statt als das vordere (E2), um
Vergleiche den Stand von A-synchronisierte Uhren
an den Flecken
und von B'-synchronisierten Uhren U1', U2' an der Hinter-und Vorderwagenwand:
Wie erklärt sich B', dass A eine Differenz
(laut B') gleichzeitig sind?
misst für Ereignisse, die
B' wird folgern: Uhr U1 (vorne) "geht nach" (geht langsamer)
relativ zu U2 (hinten)!!
Regel 2: "vordere Uhr geht nach" (sagt ruhender B' über bewegt-synchronisierte A-Uhren)
In IS A ruhen 2 synchronisierte Uhren im Abstand
voneinander. Laut IS B' bewegen
sie sich mit Geschw.
entlang ihrer Verbindungslinie, mit U1 vorne, U2 hinten.
Laut B'geht die vorne platzierte Uhr (U1) nach relativ zur hinteren (U2), um
Allgemein ist A-Asynchronität, laut B, gegeben durch:
(A-Asynchronität)
Zahlenbeispiele:
Sekunden auflösen.
Laserforscher können Pulse mit Dauer
femtosek
attosek
Winkel in Raum-Zeit-Diagrammen
Wir wissen bereits:
Winkel zwischen Photonbahn und
- x-Achse:
- ct-Achse:
- gegenläufiger Photobahn:
- x'-Achse:
- ct'-Achse:
Photonenbahnen halbieren immer Winkel zwischen x'- und ct'-Achse
Folgen von Asynchronität: Beispiel Asynchrone Züge (Mermin Buch)
- Ein weisser Zug von Alice (A) und ein grauer Zug von Bob (B) fahren mit gleicher Geschwindigkeit in gegenübergesetzte Richtungen durch Einstein (E)'s Bahnhof (siehe Skizze, Seite 17).
- Am Mittelpunkt jedes Wagens befindet sich eine Uhr, und ein Schaffner mit Kamera.
- Um Folgen von Asynchronität zu illustrieren, hat Einstein vorab die A-Uhren untereinander
asynchron prepariert, um 2 Ticks pro Wagen, ebenso für die B-Uhren.
- Dem A-Personal erzählt Einstein jedoch fälschlicherweise, ihre jeweiligen Uhren
seien untereinander synchron; dasselbe erzählt er dem B-Personal.
- Wenn sich ein A- und B-Wagen Fenster an Fenster gegenüber befinden, machen beide
Schaffner ein Selfie-Foto, dass Wagennummern und Uhrzeigerstand beider Uhren
zeigt. Jeder Schaffner in jedem Wagen kennt nur die von ihm gemachten Fotos.
- Am Bahnsteig ist eine Serie von Sicherheitskameras montiert; jede macht ebenfalls eine Folge
von Fotos von allen Wagenpaaren, diese werden dann zu einer Filmsequenz montiert.
- Einstein am Bahnsteig analysiert Filmsequenz.
Geschw. beider Züge laut E:
[Die im Folgenden beschriebenen Beobachtung würden auch erfolgen, wenn beide Züge
sehr schnell (nahe Lichtgeschwindigkeit), durch den Bahnhof fahren]
Folgen von Asynchronität: Beispiel Asynchrone Züge (Mermin Buch)
Filmsequenz v. Bahnhofskameras
BahnsteigUhren zeigen:
(Asynchronität):
Zeitdilatation:
Längenkontraktion:
Asynchronität d. A-Wagen:
Lichtgeschwindigkeit:
Überlichtgeschwindigkeit:
v > c liefert Uneinigkeit
über Reihenfolge v. Fotos!
Beobachtung 1:
Einstein vergleicht zu gegebenem Zeitpunkt verschiedene Wagen desselben Zuges,
und bemerkt eine Asynchronität:
(Asynchronität)
Beobachtung 2:
A-Personal studiert mittels Selfie-Photos die "Bahnkurve" x(t) von
B-Wagen Nr. 0, und misst so dessen Geschwindigkeit, laut A:
Uhrenvergleich:
Schrumpffaktor
A-Personal glaubt, A-Uhren seien synchronisiert, und folgert:
- entweder B-Uhren sind nicht-synchronisiert,
- oder (falls sie es doch sind, wie B-Personal beteuert) B-Uhren laufen
"Zeitdilatation": bewegte Uhren laufen langsamer!
Übrigens: B-Personal folgert dasselbe für A-Uhren! (Situation ist völlig symmetrisch )
E weiss: Grund für Verwirrung: A- und B-Uhren sind beide asynchron!!
B-Personal studiert Selfie-Fotos an verschienen Orten zur festen B-Zeit :020
Beobachtung 3:
B-Personal vergleicht Zeiten:
folgert: A-Uhren sind asynchron!
(A-Asynchronität)
(2) ist ungleich (18.1) [von E gemessen], denn (wie E weiss): B-Uhren sind auch asynchron!
Beobachtung 4:
(Länge v. (
B-Personal vergleicht Längen:
) A-Wagen) = (Länge v. (
(Lange eines A-Wagens)
) B-Wagen)
(gleicher Schrumpffaktor wie in 18.3)
(Länge eines B -Wagens)
B-Personal folgert: A-Längen sind im Vergleich zu B-Längen
"Längenkontraktion": bewegte Maßstäbe schrumpfen!
Übrigens: A-Personal folgert
für B-Uhren! (Situation ist völlig
E weiss: Grund für Verwirrung: A- und B-Uhren sind beide
Asynchronität liefert effektive "Lichtgeschwindigkeit" (mittels allgemeiner Regel R1):
hier:
Zwei Fotos eines Objekts, dass sich mit c bewegt, aus Sicht von
A und von B (!) [obwohl A und B sich relativ zueinander bewegen!!]
Zwei Fotos eines Objekts, dass sich (für A und B) mit > c bewegt:
Aber: A und B sind sich uneins über die Reihenfolge, in der die Fotos entstanden sind!
Das illustriert eine allgemeine Tatsache: würde sich ein Objekt schneller als Licht bewegen,
würden sich immer zwei IS finden, die sich uneins wären über die Reihenfolge von
Ereignissen in der Geschichte (Bahnkurve) des Objekts.
Unhaltbare Inkonsistenz!
)
Zusammenfassung: Spezielle Relativität I
1) Relativitätsprinzip: (Alle) IS sind für
Beschreibung (aller) physikalischen Gesetze äquivalent
2) Konstanz der Lichtgeschwindigkeit (LG):
Die LG im Vakuum hat in allen IS den gleichen Wert c
Ereignisse
und
sind
gleichzeitig, wenn zwei Lichtstrahlen, zur Zeit
und
von
von
ausgesandt,
gleichzeitig im geometrischen Mittelpunkt ankommen.
geometrischer Mittelpunkt
Regel 1: "hinteres Ereignis ist früher" (sagt ruhende A über bewegt-gleichzeitige B'-Ereignisse)
In IS B' seien zwei Ereignisse E1 und E2 gleichzeitig. Laut IS A bewege sich B'mit Geschw.
entlang der Verbindungslinie von E1 (hinten) nach E2 (vorne); laut A sei der Abstand dazwischen
Laut A findet das hintere Ereignis (E1) früher statt als das vordere (E2), um
Regel 2: "vordere Uhr geht nach" (sagt ruhender B' über bewegt-synchronisierte A-Uhren)
In IS A ruhen 2 synchronisierte Uhren im Abstand
voneinander. Laut IS B' bewegen
sie sich mit Geschw.
entlang ihrer Verbindungslinie, mit U1 vorne, U2 hinten.
Laut B'geht die vorne platzierte Uhr (U1) nach relativ zur hinteren (U2), um
Zeitdilatation: bewegte Uhren laufen langsamer!
Längenkontraktion: bewegte Maßstäbe schrumpfen!
Lorentz-Transformation
Aus Sicht von Alice fliegt Bob nach rechts.
Für t = t' = 0
sei
Lichtblitz starte bei t = t' = 0 in
Aus Sicht von Bob fliegt Alice nach links.
also x(0) = x'(0) =
und erreiche etwas später Punkt P.
A sagt:
B' sagt:
Gesucht: Beziehung zwischen Koordinaten von P laut A und B', die konsistent ist mit (2),(3)
Die Beziehung zwischen (x,y,z,t) und (x',y',z',t') muss linear sein, denn ansonsten würden
gerade gleichförmig durchlaufene (und damit kräftefreie) Teilchenbahnen in A nicht auf
solche in B' abgebildet werden.
Laut Skizze muss gelten:
Konsequenz für lineare Transformation:
denn in A findet sich immer eine zur y-Achse (oder z-Achse)
parallele Achse, die mit der momenten y'-Achse (oder z'-Achse) in B'
in Deckung gebracht werden kann.
(3) in (4) eingesetzt zeigt, dass t' linear von t und x (!) abhängt. Ansatz:
Aufgabe des Postulats der absoluten Zeit!
Bei x=0 gilt einerseits:
(7) = (8):
andrerseits:
(22.3), (22.9) eingesetzt in (21.3):
Umgestellt:
Aber, es gilt auch (21.2):
Koeffizientenvergleich (4), (5):
[konsistent mit (7)]
In (7,8) wählen wir die positive Wurzel, denn für v = 0 sollte (22.3) die Identität liefern:
Zusammengefasst: Transformation für "Lorentz-Boost" lautet
MatrixNotation:
mit
Im "nicht-relativistischen Limes":
reduziert die Lorentz-Transformation
zur Galilei-Transformation:
Inverse LorentzTransformation zu
ist:
mit
Check:
denn
Ferner gilt:
Rapidität
Die Identität
erinnert an
und legt folgende Parametrisierung nahe:
mit der Identifikation:
Definition: "Rapidität"
Bei Geschwindigkeiten
v sehr nahe bei c ist
eine praktischere Größe als
Kann gezeigt werden: Rapiditäten sind unter relativistscher Geschwindigkeitsaddition additiv:
Falls
(SR28,29)
dann gilt
Lorentz-Gruppe:
"Invariantes Interval":
Bei Herleitung der Transformationsgleichungen für Lorentz-Boost haben wir gefordert:
Allgemeiner gilt:
Lorentz-Gruppe =
alle linearen vier-dimensionalen Transformationen, welche
invariant lassen
alle Lorentz-Boosts für beliebig orientierte Geschwindigkeiten
alle räumlichen Drehungen
Räumliche Drehungen bilden eine Untergruppe
der Lorentz-Gruppe, die
invariant lassen. Sie haben die Form:
Es gilt:
mit
Drehung x Drehung = Drehung.
Boost x Boost = Boost x Drehung.
Boost x Boost = Boost
nur falls Relativgeschwindigkeiten beider Boosts gleichgerichtet sind
Produkt von gleichgerichteten Boosts:
relativ zu A
relativ zu B'
B' bewegt sich relativ zu A mit Geschwindigkeit.
C'' bewegt sich relativ zu B' mit Geschwindigkeit
C'' bewegt sich relativ zu A mit Geschwindigkeit
alle gleichgerichtet.
Es muss gelten:
mit
etc.
"Relativistische
GeschwindigkeitsAddition"
Für
gilt
Die größtmögliche
Geschwindigkeit ist die
Lichtgeschwindigkeit
Allgemeine Lorentz-Transformation wird durch 6 Parameter parametrisiert:
3 für Boost, 3 für Rotation (z.B. Euler-Winkel).
Jede Lorentz-Transformation lässt sich schreiben als:
R1 rotiert das Koordinatensystem von A so, dass der Geschwindigkeitsvektor
mit dem sich B' bezüglich A bewegt, in die neue positive x-Richtung zeigt.
Falls
ergibt sich ein reiner Lorentz-Boost, mit der Form:
dyadisches Produkt
Für
reduziert (2) zu (24.1).
Minkowski-Raum
Index, nicht Exponent!
Vierer-Vektor:
beschreibt ein "Ereignis" im Raum-Zeit-Kontinuum ( = "Minkowski-Raum")
"Weltlinie" = Trajektorie eines Punktteilchens im Minkowski-Raum
ungleichförmig
bewegtes Teilchen
Raum-Zeit-Diagram
oder Minkowski-Diagram:
ruhendes
Teilchen
Photon-Bahn hat
Steigung = 1
Wir beschränken uns auf die Koordinaten ct und x. Wie liegen
die Linien mit ct'=0 und x'=0 im Minkowski-Diagram?
Steigung =
x'-Achse:
ct'-Achse:
Winkel von x'-Achse relativ zur x-Achse:
Winkel von ct'-Achse relativ zur ct-Achse:
Wo liegen Einheitsvektoren von B' aus Sicht von A?
Steigung =
Invariantes Interval:
Laut (27.3) gilt:
Folglich sind sich A und B' einig:
beschreibt Ausbreitung des Lichtpulses
Das Interval in A zwischen zwei Punkten,
nämlich
ist "raumartig" bzw. "zeitartig", falls ein IS B' besteht, für das es folgende Form annimmt:
raumartig:
Lichtkegel
Zukunft
zeitartig
Lichtkegel
zeitartig:
raumartig
raumartig
raumartig
raumartig
zeitartig
Vergangenheit
Längenkontraktion
Vergleiche räumliche Abstände zwischen zwei Ereignissen, aus Sicht von A und B':
A-Länge: räumlicher Abstand
zwischen zwei gleichzeitigen
Ereignissen.
B'-Länge: räumlicher Abstand
zwischen zwei gleichzeitigen
Ereignissen.
Maßstab habe Ruhelänge ("Eigenlänge")
Maßstab ruhe in B':
Länge laut A:
Maßstab ruhe in A:
Länge laut B':
"Längenkontraktion": bewegte Maßstäbe schrumpfen !
Grund: "gleichzeitig" in A
"gleichzeitig" in B'
Längenkontraktion aus Sicht von A:
IS A und IS B', mit relativer Geschw.
enthalten identische Maßstäbe, je mit Ruhelänge L.
Wie lang ist B'-Maßstab, laut A?
A macht Fotos von Endpunkten des B-Stabs,
entlang des A-Stabs, zur selben A-Zeit,
z.B. bei
A-Stab: linkes Ende bei P:
rechtes Ende bei Q:
B'-Stab: linkes Ende bei P:
rechtes Ende bei R:
Laut A, bei t = 0:
Bewegte Maßstäbe
schrumpfen:
obwohl bei P: linkes B'-Ende liegt bei linkem A-Ende
gilt bei R: rechtes B'-Ende liegt vor rechtem A-Ende
laut A ist B'-Stab
kürzer als A-Stab
Das ist nicht paradox, denn zwei Ereignesse (P und R) die laut A
gleichzeitig sind, sind laut B' nicht gleichzeitig: R1 (hinteres früher):
laut A: Bewegte B'-Uhren sind asynchron: R2 (vordere Uhr geht nach):
Längenkontraktion aus Sicht von B':
IS A und IS B', mit relativer Geschw.
enthalten identische Maßstäbe, je mit Ruhelänge L.
Wie lang ist A-Maßstab, laut B'?
B' macht Fotos von Endpunkten des A-Stabs,
entlang des B'-Stabs, zur selben B'-Zeit,
z.B. bei
B'-Stab: linkes Ende bei P:
rechtes Ende bei S:
A-Stab: linkes Ende bei P:
rechtes Ende bei T:
Laut B', bei t = 0:
Bewegte Maßstäbe
schrumpfen:
obwohl bei P: linkes A-Ende liegt bei linkem B-Ende
gilt bei T: rechtes A-Ende liegt vor rechtem B'Ende
laut B' ist A-Stab
kürzer als B'-Stab
Das ist nicht paradox, denn zwei Ereignesse (P und T) die laut B'
gleichzeitig sind, sind laut A nicht gleichzeitig: R1 (hinteres früher):
laut B': Bewegte A-Uhren sind asynchron: R2 (vordere Uhr geht nach):
Zeitdilatationkontraktion
Vergleiche zeitliche Abstände zwischen zwei Ereignissen, aus Sicht von A und B':
A-Zeit: zeitlicher Abstand
zwischen zwei gleichortigen
Ereignissen.
B'-Zeit: zeitlicher Abstand
zwischen zwei gleichortigen
Ereignissen.
Uhr habe Ruhezeit ("Eigenzeit")
Uhr ruhe in B':
Zeitdauer laut A:
Uhr ruhe in A:
Zeitdauer laut B':
"Zeitdilatation": bewegte Uhren gehen langsamer !
Grund: "gleichortig" in A
"gleichortig" in B'
Zeitdilatation aus Sicht von B':
Betrachte ein Reihe von identischen Sanduhren in B',
und eine Sanduhr in A, je mit Ruheauslaufzeit ("Eigenzeit")
.
Was ist A-Auslaufzeit, laut B'?
B' macht Fotos von B-Uhren, sowie A-Uhr an festem A-Ort, z.B.
A-Uhr voll bei P:
A-Uhr leer bei Q:
B'-Uhr voll bei P:
B'-Uhr leer bei R:
laut B', bei x = 0:
bewegte Uhren
gehen langsamer
obwohl bei P gilt: B'-Uhr und A-Uhr, beide voll, starten gleichzeitig
gilt ferner: B'-Uhr ist bereits bei R leer, aber A-Uhr wird erst danach, bei Q, leer
A-Uhren gehen langsamer als B'-Uhren!
Zeitdilatation aus Sicht von A:
Betrachte ein Reihe von identischen Sanduhren in A,
und eine Sanduhr in B', je mit Ruheauslaufzeit ("Eigenzeit")
Was ist B'-Auslaufzeit, laut A?
A macht Fotos von A-Uhren, sowie einer B'-Uhr an festem B'-Ort, z.B.
B'-Uhr voll bei P:
B'-Uhr leer bei S:
A-Uhr voll bei P:
A-Uhr leer bei T:
laut A, bei x' = 0:
bewegte Uhren
gehen langsamer
obwohl bei P gilt: A-Uhr und B'-Uhr, beide voll, starten gleichzeitig
gilt ferner: A-Uhr ist bereits bei T leer, aber B'-Uhr wird erst danach, bei S, leer
B'-Uhren gehen langsamer als A-Uhren!
Zusammenfassung: Längenkontraktion, Zeitdilatation
Längenkontraktion:
Bewegte Maßstäbe schrumpfen:
Zeitdilatation:
Bewegte Uhren
gehen langsamer
Minkowski-Wegelement und Eigenzeit
immer
Invariantes Wegelement
entlang einer Bahnkurve
einesTeilchens im IS A:
"Instantan mitlaufendes" Inertialsystem B' sei so gewählt,
dass es zum Zeitpunkt t dieselbe Geschwindigkeit habe,
sodass Teilchen instantan (d.h. zum Zeitpunkt t) in B' ruht.
Dann gilt
denn
stimmt mit dem Zeitintervall dt' der "mitgeführten" Uhr überein, und definiert die
"Eigenzeit" des Teilchens. Sie ist aus Sicht jedes beliebigen ISs gleich (weil
invariant ist)
Folglich ist die Eigenzeit invariant.
Eigenzeit für ein beliebig bewegtes Punktteilchen
P und Q seien Ereignisse auf einer Weltlinie, die
im Inertialsystem A durch die Bahnkurve
mit Geschwindigkeit
beschrieben wird.
Eigenzeit zwischen P und Q:
B' sei ein IS das derjenigen Weltlinie folgt, die P und Q in gleichförmiger Bewegung verbindet.
Aus Sicht von A folgt B' Bahn mit
. Die Eigenzeitdifferenz von B ist also
Jede andere Weltlinie von P nach Q hat eine kleinere Eigenzeitdifferenz!
[Für Weltlinie entlang Photonbahnen (mit
) ist Eigenzeitdifferenz sogar = 0).]
(2) impliziert "Zwillingsparadox": Raumfahrer kehrt jünger(!) zur Erde zurück als ein daheim
gebliebener Zwilling. Wie kann das sein? Grund: Seine Bahn ist gekrümmt, d.h. er wird unterwegs
beschleunigt, und laut allgemeiner Relativitätstheorie gehen beschleunigte Uhren langsamer.
Viererformalismus (Barthelmann et al., "Theoretische Physik, Kapitel 9, 10)
Wir wählen für alle IS den Koordinatenursprung gleich.
Das Ereignis P, beschrieben durch den "physikalischen
Vierervektor"
, hat in unterschiedlichen IS
unterschiedliche Koordinaten, weil die Basisvektoren
unterschiedlich sind.
In S:
Koordinaten
Konvention: immer
ein Index oben,
anderer Index unten!
Basisvektoren
In S':
Reihenindex
Lorentz-Transformation für Koordinaten:
Spaltenindex
(1) = (2):
(Indizes umbenennen)
Lorentz-Transformation für Basisvektoren:
Poincare-Transformation
Poincare-Gruppe = ( Lorentz-Gruppe ) U (Translationsgruppe)
Verschiebung von Zeitnullpunkt
und/oder räumlichem Ursprung
Poincare-Transformation:
Für Koordinatendifferenzen und Koordinatendifferenziale gilt weiterhin:
Definition eines allgemeinen Vierervektors:
ist ein Vierervektor mit "kontravarianten Komponenten"
wenn letztere bei der Lorentz-Transformation (43.3) wie folgt transformieren:
(also "wie
"kontravariant" = "entgegengesetzt zu den Basisvektoren" (damit
Beispiele: Geschwindigkeit
, Impuls
, Beschleunigung
")
invariant bleibt)
, Kraft
Man spricht oft von "Lorentz-kovarianten Vierervektoren". Das Attribut "Lorentz-kovariant"
bedeutet dabei lediglich, dass sich alle Vierergrößen entsprechend ihrer Indexstruktur
transformieren, denn die
sind eigentlich kontravariante Komponenten
Minkowski-Metrik
Invariantes Wegelement definiert eine metrische Fundamentalform des Minkowski-Raumes:
"MinkowskiMetrik":
Die Inverse der
Minkowski-Metrik
ist definiert durch:
für
für
Inverse:
[Achtung: für krummlinige Koordinaten sind die Matrixelemente von
und
Eigenschaften der Lorentz-Transformation
(Indizes umbenennen)
Invarianz des
Wegelements:
Definierende Eigenschaft
von Lorentz-Transformationen:
(2) = (1)
Bestimmung der inversen
Lorentz-Transformation:
Inverse Transformation:
verschieden!]
Kovariante Komponenten, duale Basisvektoren
Def: "kovariante Komponenten":
"Index runterziehen"
Inverse Relation:
"Index hochziehen"
Definition: "duale Basisvektoren":
"Index hochziehen"
Inverse Relation:
"Index runterziehen"
Äquivalente Darstellungen
von physikalischem
Vierervektor:
mittels kontravarianten
mittels kovarianten
Komponenten
Invariantes
Intervall:
Komponenten
(Indexziehen)
Transformationseigenschaften von kovarianten Komponenten
Somit folgt aus (1):
gleiche Form!
Vergleiche (43.5):
Also transformiert
Transformation von
dualem Basisvektor:
wie ein Basisvektor
(deswegen die Bezeichnung "kovariant")
Forderung
Iindexziehen für
inverse Transformation:
(Indexziehen)
(46.4):
Lorentz-invariantes Skalarprodukt
Definition: Skalarprodukt für die Basisvektoren:
Daraus ergibt sich ein Lorentz-invariantes Skalarprodukt für beliebige Vierervektoren:
(Indexziehen)
ist also ein
"Lorentz-Skalar"
invariant, denn:
Vierertensoren höherer Ordnung
Jeder Index hat wohldefinierte Transformationseigenschaften: z.B. für Tensoren 2. Stufe
Beispiel: Minkowski-Metrik ist ein "invarianter Tensor" zweiter Stufe:
Einsteins 1. Postulat, "alle physikalischen Phänomene laufen in allen IS gleich ab, impliziert:
Eine relativistischen Theorie muss sich vollständig mittels Lorentz-Tensoren formulieren lassen!
Vierergeschwindigkeit und -beschleunigung
parametrisiert durch die Koordinatenzeit
Weltlinie eines Teilchens
sei beschrieben durch
Geschwindigkeit:
Vierergeschwindigkeit ?
wäre kein Lorentz-kovarianter Vierervektor, weil t nicht-trivial transformiert
Lorentz-kovariante
Vierergeschwindigkeit wird
mittels Eigenzeit definiert:
Lorentz-Skalar:
in der Tat invariant!
Viererbeschleunigung:
Orthogonalität von VierierGeschwindigkeit und Beschleunigung:
Relativistische Mechanik
Ruhemasse, Viererimpuls
"Ruhemasse" eines Punktteilchens = seine Masse in einem IS, in dem es ruht.
Ruhemasse ist per Definition eine invariante Größe, d.h. ein Lorentz-Skalar.
Lorentz-kovarianter Viererimpuls:
= Ruhemasse x Vierergeschwindigkeit
"Relativistischer Dreierimpuls":
"Relativistische Masse":
Lorentz-Skalar:
Nullkomponente des
Viererimpulses:
[positives Vorzeichen,
zwecks Konsistenz mit (2)]
Viererkraft
Lorentz-invariante
Viererkraft:
Es gilt
Dreierkraft:
mit relativistischem
Dreierimpuls
Relativistische Impulserhaltung: in Abwesendheit v. externen Kräften gilt
Für Punktteilchen mit
zeitunabhängiger Masse:
(4) ist die relativistische Version von Newton's 2. Gesetz. Es führt zu folgendem Ausdruck
für die räumlichen Komponenten der Kraft (kann gezeigt werden...):
Relativistische Trägheitskraft zeigt somit nicht notwendigerweise in Richtung von
Relativistische Energie
(50.7):
Daraus lässt sich Bedeutung von
ablesen:
geleistet wird.
von der Kraft
Wurde ein anfänglich freies Teilchen eine Zeit
lang durch äußere Kräfte beschleunigt, dann
hat sich
um die geleistete Arbeit verändert, und wird deshalb als "Energie" interpretier
= Arbeit, die bei infinitesimaler Verschiebung
mit "relativistischer Energie":
(Einstein's berühmte Formel)
"Äquivalenz von Masse und Energie"
Für ruhendes Teilchen gilt:
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung
Wir wissen bereits:
Relativistische
Energie-ImpulsBeziehung:
Taylor-Entwicklung:
RuheEnergie
Photonen:
Stattdessen:
dann muss
kinetische
Energie
sein, ansonsten wäre
relativistische
Korrektur
Zusammenfassung: Minkowski-Metrik, Vierervektoren, Lorentz-Transformation
Eigenzeit (im Ruhesystem gemessene Zeit):
"MinkowskiMetrik":
Indexziehen:
Physikalischer
Vierervektor:
dargestellt mittels:
kontravarianten Komponenten
kovarianten Komponenten
Definierende Eigenschaft
von Lorentz-Transformationen:
Transformation von Komponenten:
Transformation von Basisvektoren:
Invariantes Skalarprodukt:
Zusammenfassung: Relativistische Mechanik
Vierergeschwindigkeit:
(Dreiergeschwindigkeit)
Viererbeschleunigung:
Viererimpuls:
Relativistischer Dreierimpuls:
relativistische Masse
Viererkraft:
(Dreierkraft)
Relativistischer Energie:
Für Photonen: