Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Farey-Brüche und Ford-Kreise“
Die Theorie der Farey-Brüche liefert eine Methode, die rationalen Zahlen aufzuzählen,
und zwar geordnet nach aufsteigenden Nennern der zugehörigen gekürzten Brüche. Dabei
treten interessante Gesetzmäßigkeiten zutage, z.B. lassen sich die „Nachbarbrüche“ eines
Bruches a/b konstruieren, wenn alle einen beliebig vorgegebenen Maximalnenner nicht
überschreiten dürfen. Eine – auch ästhetisch – reizvolle geometrische Ergänzung zur
Theorie sind die Ford-Kreise.
Farey-Brüche und Ford-Kreise
1 Einleitung
Wir werden uns im Folgenden mit Farey-Brüchen und Ford-Kreisen beschäftigen.Die
Farey-Brüche sind sehr bekannten Mathematikern entgangen und es wurde schließiich
1816in cinem Artikel des englischenGeologenJohn Farcy (1766-1826)auf dieseBrüche
hingewiesen.Allerdings stcllte sich später heraus,dassC. Haros bereits deutlich früher,
nämlich 1802,zu der gleichenErkenntnis gelangt war und auch darüber geschriebenund
einiges bewiesen hatte. Man vermutet, dass Farcy diesen Artikel gelesenhat, aber es
nicht für nötig hielt, dies zu erwähnen.
Eine interessante Anwendung finden die Farey-Brüche bei den Ford-Kreisen, die nach
dem amerikanischcnMathematiker Lester Randolph Ford sen. (1886-1975)benannt wurden, und den Bewcisenvon Approximationssätzen(z-8. Hurwitz).
2 Definitionen
E s s e i e ni m F o l g e n d e rar, b , . . . , u , u € Z
B ' : { f r : a €Z , b €Z \ { 0 } }
B ' : : { ä e t s : g g T ( a , b:) 1 , b> 0 }
3 Farey-Brüche
L e m m a L S e t e n b , d .es N . W e i , t e r hgi ,enl t e3 < : < f t u n d b c - a d : 1 .
Danni,sts>b+d
Bewe'is.Aus fr < i folgt as < br, alsobr - as ) 1. Analogist cs - dr ) L. Nun sieht
man
s : s(öc- ad) : sbc- sad : sbc- rbd-t rbd - sad: b(cs- dr) -t d(br - as) > b -t d
n
D e f i n i t i o n L . F ü r n ) 0 h e i t J t F n , : { f €l E / : b < n } d l , e n - t e l v [ e n g e d e r F a r e y - B r ü c h e .
D'ieseBrüche sei,enbezügli,ch
I geordnet.
Definition 2. Zwei i.n Fn aufeinanderfolgende
Elernentea 1 p nennt rnan Nachbarn
'in Fr.
'in
0 hei.ßt der obereNachbar uon e i,n Fn und a der untere Nachbar uon 13 Fn.
Beispiel.
Fq:{...,?,
+, }
1,+,+,?,
i,+,. }, Fu: {...,
?,*,ä,
ä,?,+,t,?,1,t,
Satz 1. Es sei,n ) 0,t e p. u"ndft € ß;o9 i.st obererNachbar uon f; i,n F, genau dann,
w e n n q z l tb c - a d : I A n - b I d I n .
Beweis. Man konstruiert nun einen Bruch mit den genannten Eigenschaftenund zcigt
dann, dass dieser der obere Nachbar von f seirr muss. Wegen ggT(a, b) : t gibt es c, d
mit bc - ad : 1. Durch Hinzunahme der Bedingung n - b < d I n sind dann d und
damit auch c eindeutig bestimmt, da alle Lösungen der Gleichung gerade clie Punkte
. sg i ltn u nf € f n u n dt <,
1 c + t * f t 6 7 ;. d + t r s+ i ö) s i n d E
Annahme: f; ist nicht der obere Nachbar von fr in Fn. Dann gibt es einen Bruch i e p.
rnit f; < : < f; und nach Anwendung von Lcmma 1 erhält man s > b +d. Aber wegen
t, e p" und n -b < d gilt s < n 1b *d. Widerspruch!
[l
Definition 3. Es sei,enfr < fi Nachbarn i,n Fn. Du'nn uti.rdffi
ft genan'nt.
a* Mediante uon f; und
Lemma 2. Es sei,enf, < ft Nachbarn'in Fn. Dann gr,lt:
a
a+c
;(,-(;
o
o+a
c
a
(1)
gST(a1c,b+d):t
(2)
b+d>n.
(3)
(1) Aus t < Sfolgtad < bc.Alsoist a(b+d) < b(a+c) und (o 1-c)d< c(b+d).
Bewei,s.
(2) Sei 11': ggT(a+ c,b * d). Dann gibt es eindeutigbestimmter € Z,s € N mit
a* c : hr, b + d : lt,s,ggT(r,s) : 1 und fr < i < ä
Annahme:h> 7.Da 0 < b ( n und 0 < d < n, folgtauch0 ( s ( n und damit t, e F".
Widerspruch!
(3) Dies folgt direkt aus Satz 1.
!
Satz 2. Es sei'n ) 0. JedesELementuon F"+r\F"
tr
i,st di,eMedi,anteuon Nach,barnzn
Bewei's.Ein bcliebigesElement von f],11\rl" hat die Gcstalt
:
;ft mit ggT(w,n+ 1) 1.
wie in Satz 1 gibt cs cindeutig bestimmte zahlen a,b .;rlitwb - (nf 1)a : 1 A 0 < b <
n * 1 , w o b e ib n i c h tg l e i c hn * l s e i nk a n n .N u n s e t z tm a n d . . : n + 1 - b , c . . : w - a .
lVlit Satz 1 folgt, dass f; <
haben.
n
f; Nachbarn in fi sind, die die Nlediant" #
Bemerkung l. In dem Bewe'isuon satz 2 s'ind sowoltt <
t
ffi
Nachbarn'in Fra1.
als auch ffi
< ft
B e i s p i e l . $ e F s \ F a ,a l s o , u : 3 u n d n * 7 : 5 .
D a n n e r f ü l l e na : : 7 u r r c bl : : 2 d i e
Bedingung 3b - 5a : I A 0 < ö < 5. Mit d :: 5 - 2 - 3 und c :: 3 - 1 - 2 erhalten wrr
ntrn f; : + < ? : fr,die Nachbarn in Fa sind und die Mediante ! haben (siehe
vorherigesBeispiel).
Satz 3' Es seien n ) 0 und f; < ft Nachbarn i.n Fn. ()nter allen Brüchen e ß mit
i
s)0und3<;<ägi.btesgenaueinenm'itkleinstems(nrimlichdi,eMedzante).Dieser
ergzbtsi,chrnittels r : a I c, s : b + d.
Beweis. Man kann sich bei der Suchenach auf lE' beschränken.Nach Lemrna 2 (1)+(3)
!
gibt es gerrau eine Zahl m mit n l rn < b + d dcrart, dass <
f
f; Nachbarn in Il,.,,sind,
aber nicht in F,,r,11.Dann gibt es mindestensein
ffi € F-+1\FL. mit f < #h < 3.
N a c h L e m m a l i s t m , + 7 > b + d u n d s o m i t m : b * d - 1 , . E s f o l g t r n i t B e m e r k u n g1 ,
T
b-rd'
t
/tqcc
1* t t
n+r
Bemerkung 2. Es folgt auch noclt, dass <
t
ä Nachbarn i,n Fi für mar{b,d}
b * d sind, fo,lls si,eNachbarn i,n zrqendeznemFn si,nd.
< I <
4 Ford-Kreise
Definition 4. Es sei. € TBt.Do,nn bezeichneK (f,) dze offene Krezsschetbe
in der
f
(r,g)-Ebene,umden lvlittelpunkt(t,#>
rnzt dem Radi,usfi.
/5 t/4 lti
S a t z 4 . E s s e i , e nt , ä e ß t m i , tt I
ä . D a n n ? s rK ( f r ) n K ( ä ) : A u n c lK" ( ä ) , K ( ; )
berührensi'chgenau rlann, wenn f;,ft Nachbarn in einem passend,en
Fn si,nd.
Beweis.Sei d der Abstand der Mittelpunkte von K(3),K(fi)
una o die Summe ihrer
Radien. Es ist (die erste Gleichungerhält man mit Pythagoras)
d' : (t - il' + Gp - ;F)', o, : (;p + ;d'.
Dann gilt ö2 - o2 :
- o,1)2- t) - o und daher die erste Behauptung (da
ip (fa.
d und o bcide > 0 sind). Die zweiteBehauptungfolgt aus Satz l mit rz ::b+tI-7.
tr
Bemerkung
3. Falls K (f,) I rc (;) s;ca berühren,so errecltnets,ichd,erBerührprrr*t
soJonors
\Fiä,Fte
r
t
,
/oh*"d
f
\
)