6 Optik

6
Optik
• Das Gebiet der Optik beschäftigt sich im engeren Sinn mit allen physikalischen Problemen, die mit elektromagnetischen Wellen im Bereich
vom ultravioletten bis zum infraroten Licht in Zusammenhang stehen.
Man spricht jedoch auch bei der Abbildung mit Röntgenstrahlen oder
Elektronenstrahlen von Röntgen- oder Elektronenstrahl-Optik.
• Lange Zeit war man der Ansicht, das Licht eine Teilchenstrahlung sei,
dass also gewisse Lichtteilchen sich im Raum bewegen. Die Phänomene
der Beugung ind Interferenz kippten dieses Bild, so dass man Licht
Welleneigenschaften zusprach, wobei die Natur dieser Wellen ebenfalls
zunächst ungewiss war.
• Da Schallwellen an das Vorhandensein von Materie für ihre Ausbreitung geknüpft sind, nahm man an, dass es auch für Licht so etwas
geben müsse, den Licht-Äther. Die Unabhängigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit vom betrachteten Inertialsystem widerlegte diese Annahme. Es war schliesslich Einsteins spezielle Relativitätstheorie, die
dem Bild des Lichtes als elektromagnetischer Welle zum Durchbruch
verhalf. Einstein war es jedoch auch, der im gleichen Jahr wieder den
Teilchencharakter des Lichtes ins Spiel brachte, indem den äusseren
Photoeffekt untersuchte.
• Heute glauben wir zu wissen, dass das Licht sowohl Teilchen- als auch
Welleneigenschaften hat. Wir werden uns im Rahmen dieses Kapitels
zunächst der Strahlenoptik zuwenden, die die Grundlage für die Abbildung in optischen Geräten wie Mikroskop, Kamera darstellt.
• Im zweiten Teil wird es um die Wellenoptik gehen, die erklärt, warum
man mit einem Lichtmikroskop nicht beliebig kleine Details untersuchen kann, und der Funktion von Geräten wie zum Beispiel Spektrometern zugrunde liegt.
154
6.1
6.1.1
Strahlenoptik oder geometrische Optik
Ausbreitung des Lichtes
• Betrachten wir ein ebene Welle in einem homogenen Medium, so hat die
Welle dort genau einen Vektor der Phasengeschwindigkeit, sie breitet
sich geradlinig aus. Stellen wir eine kleine Öffnung (eine Apertur) der
Welle in den Weg, so kann nur ein Teil der Welle die Öffnung passieren,
der Rest wird abgeschattet. Den die Öffnung passierenden Teil nennen
wir Lichtstrahl; er hat die Richtung der Normalen auf die Wellenfronten
der elektromagnetischen Welle. Im folgenden werden wir uns damit
befassen, was passiert, wenn ein solcher Lichtstrahl auf eine Grenzfläche
trifft.
• Bei mechanichen Wellen hatten wir gesehen, dass auch im Schattenbereich eine Wellenausbreitung stattfindet, was auf die Beugung zurückzuführen ist. Da wir uns im Moment mit geometrischer Optik befassen,
wollen wir diesen Effekt zunächst vernachlässigen und davon ausgehen,
dass es einen scharf begrenzten Schatten und damit auch einen scharf
begrenzten Lichtstrahl gibt.
6.1.2
Abbildung
• Unter einer Abbildung versteht man allgemein die Zuordnung von Punkten eines Objektes zu Punkten eines Bildes
155
• Bei einer idealen Abbildung ist jedem Punkt im Objekt genau ein Punkt
im Bild zugeordnet und umgekehrt
• In der Strahlenoptik entsteht das Bild an der Stelle, an der sich die
Strahlen eines Objektpunktes treffen
6.1.3
Reflexion
• Trifft ein Lichtstrahl auf eine geeignete Grenzfläche, so wird er von
dieser reflektiert.
• Wir hatten schon bei der Betrachtung von mechanischen Wellen herausgefunden, dass der einfallende und der reflektierte Strahl in einer
Ebene liegen und dass Einfalls- und Ausfallswinkel gleich sind:
αein = αaus
• Wie können wir nun die Abbildung mit einem Spiegel behandeln? Stellen wir einen Gegenstand vor den Spiegel, so sehen wir ein Bild des
Gegenstandes hinter dem Spiegel.
• Wir können das Bild jedoch nicht auf einer Leinwand betrachten, sondern brauchen ein weiteres optisches System, nämlich das Auge, um
ein reeles Bild zu erzeugen.
• Das Spiegelbild ist also ein virtuelles Bild, es wird von Strahlen erzeugt,
die nicht existieren, sondern aus der Rückverfolgung des Lichtweges
resultieren.
156
6.1.4
Brechung
• Auch die Brechung hatten wir bereits bei den mechanischen Wellen
betrachtet. Einfallender und ausfallender Strahl liegen in einer Ebene,
und für die Richtungen gilt das Snellius’sche Brechungsgesetz:
sin α
n1
=
sin β
n2
• Als Ursache der Brechung hatten wir die unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten in den verschiedenen Medien gefunden. Für die
Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum gilt
c2V ac =
• und in Materie:
c2M at =
1
µ0 ε 0
1
µµ0 εε0
√
• Die Brechzahl n ist definiert als n = cM at /cV ac = µε und demzufolge stets n ≥ 1, da Licht sich niemals schneller als mit der VakuumLichtgeschwindigkeit ausbreiten kann. Für die meisten transparenten
157
√
Materialien gilt µ ≈ 1, so dass man i.d.R. für die Brechzahl n = ε
annehmen kann. Beim Übergang ins optisch dichtere Medium wird das
Licht zum Lot hin, umgekehrt vom Lot weg gebrochen.
α
n1
n2
β
• Wir hatten die Dielektrizitätszahl ε auf die Polarisation des Mediums
zurückgeführt. Beim Einfall einer elektromagnetischen Welle wird das
Feld mit sehr hoher Frequenz umgepolt. Man kann sich leicht vorstellen,
dass die Dipole im Medium eine gewisse Zeit brauchen, um sich entsprechend auszurichten. Es ist also anzunehmen, dass ε von der Frequenz
des Lichtes abhängt, und zwar sollte ε(f ) mit zunehmender Frequenz
steigen, das heisst, nblau > nrot , man spricht dann von normaler Dispersion. In der Nähe von Resonanzen (Absorption) kann jedoch auch
das umgekehrte Verhalten beobachtet werden.
• Betrachten wir den Übergang vom optisch dichten ins optisch dünne
Medium (n1 > n2 ) und vergrössern den Einfallswinkel α immer mehr,
so wird sich der Ausfallswinkel β immer mehr 90° nähern und diesen
Wert schliesslich für sin αg = n1 /n2 erreichen.
• Auch für diesen Fall hatten wir bereits bei der Betrachtung mechanischer Wellen gefunden, dass die Welle dann an der Grenzfläche total
158
reflektiert wird, der Winkel αg wird Grenzwinkel der Totalreflexion genannt.
• Ein abrupter Abfall des elektrischen und magnetischen Feldes ist jedoch
mit den Maxwell-Gleichungen unvereinbar. Vielmehr gibt es auch im
optisch dünnen Medium ein elektrisches Wechselfeld, dessen Intensität
jedoch exponetiell abfällt und schon in einer Tiefe von einigen 100 nm
nicht mehr nachweisbar ist. Dieses Feld wird evaneszentes Feld genannt.
n2
α
n1
α
• Passiert das Licht zwei parallele Grenzflächen (ohne Totalreflexion), so
hat es nach der zweiten Grenzfläche wieder die gleiche Ausbreitungsrichtung. Der Lichtstrahl ist jedoch für α $= 90 parallel verschoben,
man spricht auch von einem Strahlversatz.
α
β
β
α
• Als Prisma bezeichnet man einen transparenten Körper, der von ebenen
Flächen begrenzt ist. Tritt eine Lichtstrahl durch ein solches Prisma,
so wird er, falls die Flächen nicht parallel sind, seine Richtung ändern.
159
Die Richtungsänderung ist aufgrund der Dispersion für verschiedene
Frequenzen unterschiedlich, man spricht von spektraler Aufspaltung
des Lichtes.
6.1.5
Abbildung mit Linsen
• Linsen besitzen solcherart gekrümmte Grenzflächen, dass aus bestimmten Richtungen kommende oder in bestimmte Richtung laufende Strahlen sich alle in einem Punkt kreuzen.
• Die einfachste Form einer Linse ist die sphärische Linse, deren Oberflächen Kugelausschnitte darstellen. Eine solche Linse lässt sich relativ
160
einfach durch Schleifen herstellen. Wir wollen im folgenden annehmen,
dass nLinse > nM edium gilt.
• Die Berandunng des Kugelausschnittes definiert die Mittelebene der
Linse, durch die mittig die optische Achse verläuft.
• Zeigt die Krümmung der Linsenoberfläche nach Aussen, so nennt man
diese konvex, andernfalls konkav. Ist die Linse in der Mitte (bei der
optischen Achse) dicker als am Rand, so haben wir eine Sammellinse
vorligen.
• Eine Sammellinse hat stets mindestens eine konvexe Oberfläche, eine
Linse mit zwei konvexen Oberflächen ist stets eine Sammellinse.
• Ist die Linse in der Mitte dünner, so haben wir es mit einer Zerstreuungslinse zu tun.
• Ein Strahl, der parallel zur optischen Achse verläuft, wird in einer Sammellinse zur optischen Achse, von einer Zerstreuungslinse von der optischen Achse weg gebrochen. Betrachten wir nur eine Grenzfläche der
Linse, so gilt nach dem Brechungsgesetz (für kleine Winkel können wir
sin α ≈ α setzen)
α
=n
β
161
α
h
β
α−β
α
R
f
• wobei n die Brechzahl der Linse ist. Weiterhin gilt, wenn wir den Abstand zwischen Linsenebene und Schnittpunkt des Parallelstrahls mit
der optischen Achse mit f bezeichnen:
h = f sin(α − β) = R sin α ≈ f (α − β) ≈ Rα
• wobei R der Radius der Grenzfläche ist. Wie wir sehen, ist f unabhängig
davon, welchen Abstand der Parallelstrahl von der optischen Achse hat!
Offensichtlich schneiden sich alle Parallelstrahlen in einem Punkt, den
wir als Brennpunkt F bezeichnen und der von der Linsenebene den
Abstand f , der als Brennweite bezeichnet wird, hat.
• Für f erhalten wir:
f=
α
n
R=
R
α−β
n−1
• Der Kehrwert der Brennweite wird als Brechkraft mit der Einheit m−1 =Dioptrie
bezeichnet
162
• Entsprechende Betrachtungen kann man für die zweite Grenzfläche der
Linse anstellen, jedoch gilt allgemein, dass Parallelstrahlen so gebrochen werden, dass sie durch den Brennpunkt verlaufen.
• Dies gilt auch für Zertsreuungslinsen, nur dass diese eine negative Brennweite haben, so dass ein Parallelstrahl so gebrochen wird, als würde er
aus dem Brennpunkt auf der Seite der Linse kommen, von der der
Parallelstrahl auf die Linse trifft.
• Man bezeichnet die Seite der Linse, von der das Licht auf diese trifft,
als Gegenstandsseite, und die andere Seite als Bildseite.
• Da der Lichtweg umkehrbar ist, sehen wir sofort, was aus einem Strahl,
der vom Brennpunkt kommt, wird: ein solcher Strahl wird zum Parallelstrahl. Betrachten wir schliesslich einen Strahl, der genau durch den
Mittelpunkt der Linse verläuft, so kann man die Linse dort als planparallele Platte nähern. Ein solcher Strahl wird also die Richtung nicht
ändern. Damit haben wir die drei Grundelemente zur Konstruktion der
Abbildung mit Linsen:
• Ein Parallelstrahl wird zum Brennpunktstrahl
• Ein Brennpunktstrahl wird zum Parallelstrahl
• Ein Mittelpunktstrahl wird nicht abgelenkt
• Wird jetzt ein Gegenstand in einem beliebigen Abstand g von der Linsenebene aufgestellt, so entsteht das Bild in der Bildweite b, die mit
der Brennweite f über die Linsengleichung
1 1
1
= +
f
g b
• zusammenhängen. Die Vergrösserung ist
B
b
b−f
f
= =
=
G
g
f
f −g
163
• Für g = f wird die Vergrösserung unendlich, und das Bild entsteht im
Unendlichen!
G
f
F
g
F
B
b
• Eine dünne Sammellinse wird oft vereinfacht als Strich mit zwei Pfeilen
nach aussen dargestellt, eine Zerstreuungslinse als Strich mit Pfeilen
nach innen.
6.1.6
Abbildungsfehler
• Wir hatten bei der Herleitung der Linsengleichung, auf der ja auch die
Abbildung beruht, die Annahme gemacht, dass sin α ≈ α gilt. Das ist
natürlich nur für achsnahe Strahlen richtig. Mit zunehmendem Abstand
von der optischen Achse treffen die Strahlen näher bei der Linse auf
die optische Achse, f wird also immer kleiner. Diesen Abbildungsfehler
nennt man sphärische Aberration
164
• Ausserdem hatten wir nur Parallelstrahlen und Mittelpunktstrahlen betrachtet. Bei der Abbildung an der Linse treten jedoch auch Strahlen
auf, die nicht achsparallel sind. Betrachten wir ein paralleles Strahlenbündel, das unter einem Winkel auf die Linse trifft, so haben die
Strahlen, die unter einem grossen Winkel auf die Linsenoberfläche treffen, an einer anderen Stelle fokussiert als die Strahlen, die unter einem
flachen Winkel die Linse treffen: Es kommt zur sogenannten Koma
• Ein weiterer Abbildungsfehler, der bei Licht entsteht, das schräg durch
eine Linse fällt, ist der Astigmatismus. Hier haben Strahlen, die in
verschiedenen Ebenen (Saggital- und Meridionalebene) verlaufen, verschiedene Brennweiten, so dass eine scharfe Abbildung nicht möglich
ist.
165