Seminararbeit für das SE Reine Mathematik

Seminararbeit
für das SE Reine MathematikGraphentheorie
Der binäre Rang, der symplektische Graph, die
Spektralzerlegung und rationale Funktionen
Vortrag am 24.01.2012
Heike Farkas 0410052
Inhaltsverzeichnis
Der binäre Rang einer Adjazenzmatrix……………………………………………………………..1
Der symplektische Graph………………………………………………………………………………….6
Die Spektralzerlegung…………………………………………………………………………………….10
Rationale Funktionen……………………………………………………………………………………..12
Literaturverzeichnis……………………………………………………………………..…………………14
Heike Farkas
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Einleitung
Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit den Themen binärer Rang einer Adjazenzmatrix,
symplektischer Graph, Spektralzerlegung und rationale Funktionen.
Die Grundlage für diese Ausarbeitung bilden die Kapitel 8.10 – 8.13 in „Algebraic Graph Theory“ von
Chris Godsil und Gordon Royle.
1. Der binäre Rang einer Adjazenzmatrix
Neben dem Rang einer Matrix A, abgekürzt durch rkA, existiert weiterhin der Begriff des binären
Ranges von A. Unter dem binären Rang einer Matrix versteht man jenen Rang, der über GF(2)
berechnet wird. GF(2) (Galois Field) ist der kleinste Galoiskörper oder auch endliche Körper aus zwei
Elementen bestehend, auf dem die Körperaxiome definiert sind. Mit wird der binäre Rang der
Matrix A (=Adjazenzmatrix) bezeichnet. Explizit bedeutet dies, dass die einzelnen Matrixeinträge
einer gegebenen Matrix A über mod2 berechnet werden. Der Rang dieser Matrix wird binärer Rang
von A genannt.
Zur Veranschaulichung soll ein Beispiel dienen:
2 4 2
Beispiel 1.1 Sei die Matrix A = 4 2 2 gegeben. Wenn man den Rang dieser Matrix berechnet,
2 2 1
erhält man rkA = 3. Sei A‘ die dahingehen veränderte Matrix, die aus A hervorgeht, wenn deren
0 0 0
Elemente über mod(2) berechnet wurden. Es folgt A′ = 0 0 0.
0 0 1
Hier gilt rkA = 2 = rk A.
Bevor nun die Definition 1.1 folgt, wird zuerst noch an eine Definition erinnert:
).
Der Komplementärgraph X zu dem Graph X und X selbst haben dieselbe Knotenmenge, V(X) = V(X
Definition (Komplementärgraph)
Grundlegender Unterschied zwischen den beiden Graphen ist, dass zwei Knoten u, v in X genau dann
adjazent sind, falls sie in X nicht adjazent sind und umgekehrt.
Definition 1.1 (Lokales Komplement)
Seien ein Graph X und ein Knoten u ∈ VX gegeben. Das lokale Komplement des Graphen X
zu u ist eine Operation auf X, sodass der auf den Nachbarn von u induzierte Untergraph durch seinen
Komplementärgraph ersetzt wird.
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Somit hat der Graph σ! X folgende Eigenschaften:
i.
Falls v und w voneinander verschiedene Nachbarn von u sind, dann sind sie in σ! X adjazent
(bzw. nicht adjazent) genau dann, wenn sie in X nicht adjazent (bzw. adjazent) sind.
ii.
Falls v und w voneinander verschiedene Knoten von X und nicht beide Nachbarn von u sind,
dann sind sie adjazent (bzw. nicht adjazent) in σ! X genau dann, wenn sie in X adjazent
(bzw. nicht adjazent) sind.
Bemerkung 1.1
Das lokale Komplement σ! X hat unter Anderem folgende Eigenschaft:
σ ! X ist die identische Abbildung.
Das lokale Komplement σ" X würde in diesem Beispiel folgendermaßen aussehen:
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Satz 1.1 Sei X ein Graph, angenommen u und v seien Nachbarn in X. Dann gilt:
# = # # .
Wenn Y der Graph ist, der entsteht, falls man u und v aus # löscht, dann gilt:
= $ + 2
Beweis. Sei A die Adjazenzmatrix von X. Sei a der charakteristische Vektor der Menge der Nachbarn
von u, nicht v, die nicht adjazent zu v sind. Sei b der charakteristische Vektor der Menge der
Nachbarn von v, nicht u, die nicht adjazent zu u sind. Sei c der charakteristische Vektor der Menge
der gemeinsamen Nachbarn von u und v. & und &# seien die charakteristischen Vektoren von u und
v. Es ist zu bedenken, dass bei diesem Beweis über GF(2) gerechnet wird.
Der charakteristische Vektor der Nachbarn von u ist a + c + e" . Die nicht auf der Diagonale
gelegenen Einträge der Matrix Aσ! X sind ident mit denen von
A* = A + a + c + e" a + c + e" +.
Analog ist der charakteristische Vektor der Nachbarn von v in σ! X a + b + e! . Die nicht auf der
Diagonale gelegenen Einträge von Aσ" σ! X sind ident mit denen von
A = A* + a + b + e! a + b + e! +.
Der charakteristische Vektor der Nachbarn von u in σ" σ! X ist b +c + e" . Die nicht auf der Diagonale
gelegenen Einträge von Aσ! σ" σ! X sind ident mit denen von
A- = A + b + c + e" b + c + e" +.
Wenn man in diese letzte Gleichung für A und dann auch noch für A* zurück einsetzt, erhält man:
A- = A + ab+ + ba+ + ac + + ca+ + bc + + cb+ + a + b e! + e" + + e! + e" a + b+ + e! e+ ! .
Die einzige Matrix, die auf der Diagonale nicht nur Nullen als Einträge hat, ist e! e+ !. Daraus wird
geschlossen, dass
A/σ! σ" σ! X0 = A- + e! e+ ! .
Diese Gleichung zeigt, dass A- + e! e+ ! gleich bleibt, auch wenn wir a mit b und e! mit e"
vertauschen. Daraus kann man folgern, dass σ! σ" σ! X = σ" σ! σ" X gilt. Somit ist der erste Teil
des Satzes bewiesen.
Die u-Spalte von A ist a + c + e" . Die v-Spalte von A ist b + c + e! und e+ ! A e" = 1. Der Beweis des
Lemmas 8.9.3 (vgl. Godsil; Royle. S.180) zeigt, dass der Rang der Matrix
A + a + c + e" b + c + e! + + b + c + e! a + c + e" +
gleich rk A − 2 ist.
Die u- und v- Spalten und Reihen dieser Matrix sind Null. Wenn A‘ die Submatrix ist, die durch das
Löschen der u- und v-Reihen und Spalten entsteht, dann gilt rk A = rk A − 2.
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Um den Beweis zu vervollständigen, zeigen wir, dass
a + bb + c+ + b + ca + b+ = ab+ + ba+ + ac + + ca+ + bc + + cb+ , und es folgt daraus,
dass die Matrix, die durch das Löschen der u- und v- Reihen und Spalten aus A- entsteht, gleich zu A‘
ist. Diese Matrix ist die Adjazenzmatrix von Y. Somit ist auch der zweite Teil des Satzes bewiesen.
Der Graph Y, der in Satz 1.1 durch Löschen der Knoten u und v in # entsteht, heißt „Rang-2-
Reduzierung“ des Graphen X an der Kante uv.
Beispiel 1.2 Dieses Beispiel soll die Aussage von Satz 1.1 verdeutlichen.
X sei ein Graph. u und v seien Nachbarn in X. Anhand dieses Beispiels soll gezeigt werden, dass gilt:
# = # # .
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Beispiel 1.3 Ein Kreis C3 hat n verschiedenen Knoten v* , … , v3 , wobei jeder Knoten immer genau
zwei Nachbarn hat. v7 hat die Nachbarn v78* und v79* .
Es handelt sich bei C3 somit um einen Graphen, dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind. Nun
soll die „Rang – 2 – Reduzierung“ von C3 für verschiedene n genauer untersucht werden.
n ≥ 5:
Die „Rang – 2 – Reduzierung“ von C3 ist C38. Anhand dieses Beispiels soll dies gezeigt werden.
Wir wählen n = 5. C= hat folgende Form, wobei wir zwei der benachbarten Knoten u und v nennen:
Nun muss σ! σ" σ! C= bestimmt werden.
Werden hieraus die Knoten u und v gelöscht und somit auch alle Kanten, die zu diesen Knoten
führen, dann bilden die Knoten den C- .
0
AC- = 1
1
1 1
0 1
1 0
a b c
Es gilt für den binären Rang rk C- = 2, da durch Addition der ersten und zweiten Zeile über GF(2)
genau die dritte Zeile entsteht.
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n − 2,
n − 1,
n gerade D
, n ∈ ℕ.
@AB@C
Allgemein gilt zudem, was durch Induktion gezeigt werden kann, dass
rk C3 = >
Damit gilt rk C= = 4 und rk C- = 2. Wenn wir X = C= und Y = C- wählen, wird die Aussage des
Satzes 1.1, rk X = rk Y + 2, bestätigt.
2. Der symplektische Graph
Zunächst muss der Begriff des reduzierten Graphen eingeführt werden. Dazu werden vorab folgende
Betrachtungen gemacht:
Sei ein Graph X gegeben. X besitze zwei Knoten u und v mit identischer Nachbarschaft. Es gilt, dass
der Rang der Adjazenzmatrix von X invariant gegenüber Löschen einer der beiden Knoten u oder v ist.
Dies soll ein Beispiel verdeutlichen:
Beispiel 2.1
u
v
a
b
c
u
v
a
b
c
= 2
u
a b
c
u
a
b
c
′ = 2
Analog zu diesem Beispiel kann auch ein Knoten mit seiner Nachbarschaft dupliziert werden ohne
eine Rangänderung hervorzurufen. Das Hinzufügen eines isolierten Knoten (=ein Knoten ohne
jegliche Nachbarschaft) ändert den Rang natürlich auch nicht, denn dieser würde in der
Adjazenzmatrix nur eine Null-Zeile und -Spalte hinzufügen. Auch das Löschen eines isolierten
Knotens hat keine Auswirkungen auf den Rang.
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Definition 1.2 (Reduzierter Graph)
Sei ein Graph X gegeben. Der reduzierte Graph X‘ zu X sei der Graph, der keine isolierten Knoten und
Knoten identischer Nachbarschaft mehr enthält, die in X enthalten sind.
Folgerung aus Definition 1.2
Sei X ein Graph und X‘ der reduzierte Graph zu X. Dann gilt:
rkX = rkX 0 1
H, also:
Sei N eine 2r x 2r – Blockdiagonalmatrix mit r ∈ ℕ Blöcken der Form G
1 0
Definition 2.2 (Symplektischer Graph)
Der symplektische Graph Sp(2r) ist der Graph, dessen Knotenmenge V(Sp(2r)) die Menge aller von
Null verschiedenen Vektoren im GF2K ist, wobei die Nachbarschaft zweier Knoten definiert ist
durch x~y ↔ x P Ny = 1. Die Berechnungen erfolgen über dem Körper GF(2). Die Knotenmenge des
symplektischen Graphen hat somit die Mächtigkeit |VSp2r| = 2K − 1.
Um die Definition 2.2 etwas geläufiger zu machen, dient das nächste Beispiel:
Beispiel 2.2 Wir untersuchen hier für den Fall r=2 den symplektischen Graph. Die Knotenmenge des
Graphen Sp(4) besteht aus 15 Knoten:
Über die Bedingung x~y ↔ x P Ny = 1 für zwei verschiedene Knoten x und y kann dann auf
Nachbarschaft geprüft werden. Wählen wir die Knoten x = (1000) und y = (0100).
Damit sie benachbart wären, müsste x P Ny = 1 gelten.
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0
Da r=2 ergibt sich eine 4x4 – Blockdiagonalmatrix mit 2 Blöcken der Form G
1
1
H, also:
0
Setzt man nun in die Formel ein, erhält man: x P Ny = 1. Damit sind x und y benachbart in Sp(4). So
können alle Knoten auf Nachbarschaft geprüft werden und es ergibt sich folgendes Abbild des Sp(4):
Satz 2.1 Ein reduzierter Graph X hat höchstens einen binären Rang 2r genau dann, wenn er ein
Untergraph des Sp(2r) ist.
Beweis.
„:“ Jeder reduzierte Graph X mit binärem Rang 2r kann vektoriell durch eine aufgespannte Menge
von Null verschiedenen Vektoren des GF2K beschrieben werden. Da GF2K \0 dem Sp(2r)
entspricht, kann gefolgert werden, dass die Knotenmenge von X eine Teilmenge der Knotenmenge
des Sp(2r) ist, wobei zwei Knoten in X genau dann adjazent sind, falls sie in Sp(2r) adjazent sind.
Deswegen ist X ein Untergraph des Sp(2r).
„:“ Die Umkehrung ist klar.
Satz 2.2 Jeder Graph mit 2r – 1 Knoten kann aufgefasst werden als ein Untergraph des Sp(2r).
Beweis. Wir beweisen dies durch Induktion über r.
Für r=1: Der Graph hat in diesem Fall einen Knoten. Sp(2) besteht aus drei Knoten, da
|VSp2| = 2 − 1.
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Die drei Knoten sind /*V0, /V*0, /**0. Wenn man diese Knoten über die Bedingung x~y ↔ x P Ny = 1 auf
0
Nachbarschaft prüft, mit N = G
1
1
H , erhält man, dass alle drei Knoten miteinander benachbart
0
sind. Der Graph des Sp(2) sieht somit folgendermaßen aus:
Für r=1 stimmt also die Behauptung, weil ein einzelner Knoten ein induzierter Subgraph eines
Dreiecks ist.
Also betrachten wir r > 1: Sei X ein beliebiger Graph mit 2r – 1 Knoten. Wenn X leer ist, dann ist
ersichtlich, dass es ein Untergraph von Sp(2r) ist. Andernfalls hat X mindestens eine Kante uv.
Sei Y die Rang-2-Reduzierung von X an der Kante uv. Dann ist Y ein Graph von 2r – 3 Knoten. Durch
die induktive Annahme kann eine Menge Ω von Vektoren in GF(2)2r – 2 konstruiert werden, die nicht
Null sind. Wenn z ein Vektor in Ω ist, der den Knoten y ϵ VY repräsentiert, dann definieren wir
einen Vektor z′ ϵ GF(2)2r folgendermaßen:
z7
= Z1,
z7, wenn 1 ≤ i ≤ 2r − 2
wenn i = 2r − 1 und y ~ u in X, oder i = 2r und y ~ v in X D
0,
in allen anderen Fällen
Dann ist die Menge Ω′ = `a : a c Ωd ∪ `&f8* , &f d eine Menge von 2r Vektoren in GF(2)2r. Um zu
überprüfen, dass Ω′ gleich mit X ist verlangt die Überprüfung mehrerer Fälle, die hier nicht
durchgeführt werden.
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3. Die Spektralzerlegung
Bevor dieses Thema begonnen wird, werden noch einige Begriffe eingeführt bzw. wiederholt.
Sei A ∈ M3 ℝ eine symmetrische Matrix.
&i
beschreibt die Menge aller Eigenwerte von A. j ∈ &i
wäre somit ein Eigenwert. Zu jedem
θ gibt es einen Eigenraum lj. Dieser Eigenraum wird durch die Eigenvektoren zu θ, die über die
Eigenwertgleichung Av = θv bestimmt werden, und dem Nullvektor aufgespannt.
lm sei die beschreibende Matrix der orthogonalen Projektion auf lj.
Definition 3.1 (Idempotente Matrix) Eine n x n Matrix A heißt idempotent, falls A = A.
Bemerkung 3.1
•
•
Falls Eo idempotent wäre, würde Eo = Eo gelten. Dies ist für jede beliebige Projektion
erfüllt. Aus diesem Grund wird Eo auch „prinzipiell idempotent“ genannt.
Aus der Kenntnis, dass Eigenräume verschiedener Eigenwerten von A immer orthogonal
zueinander sind, gilt für zwei verschiedene Eigenwerte θ, τ ∈ evA:
Eo Eq = 0.
•
Da es eine Basis des ℝ3 gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht, erhalten wir:
I=
s
o ∈t"u
Eo
Daraus wiederum ergibt sich die Spektralzerlegung.
Definition 3.2 (Spektralzerlegung)
Sei A ∈ M3 ℝ eine symmetrische Matrix, θ ∈ evA und Eo wie zuvor. Die Matrix A lässt sich dann
auf folgende Weise zerlegen:
A = ∑o ∈t"u θEo
(*)
Diese Zerlegung wird die Spektralzerlegung von A genannt.
Am folgenden Beispiel soll die Spektralzerlegung deutlich gemacht werden:
Beispiel 3.1 Es sei die Matrix A = G
1 1
H gegeben.
1 1
Zunächst müssen die Eigenwerte von A
bestimmt werden. Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms
X u λ.
1−λ
X u λ = detA − λI = y
1
1
y = λλ − 2
1−λ
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Daraus ergeben sich die beiden Eigenwerte θ = 0 und τ = 2. Nun müssen die Eigenräume zu jenen
Eigenwerten ermittelt werden.
z: Dazu werden zunächst die Eigenvektoren bestimmt, sodass die Eigenwertgleichung Av = θv erfüllt
ist.
A − θIv = 0 ↔ G1
1
Durch Umformung erhält man:
: Analoge Berechnungen liefern:
1 v*
H G H = 0 ↔ v* = −v
1 v
−
{z: D|} ∙ G HD | } ∈ ℝ€


{: D|} ∙ G HD | } ∈ ℝ€

Man erkennt, dass die beiden Eigenräume zueinander orthogonal sind, da das Skalarprodukt aus
beiden Vektoren Null ist.
Im nächsten Schritt müssen die Matrizen Eo und Eq bestimmt werden.
x
Wir wählen dafür einen Vektor z = GyH, sodass z durch Linearkombination der Vektoren der beiden
Eigenräume darstellbar ist, also:
wobei u = G
1
−1
H und v = G H ist.
1
1
Dadurch ergibt sich in (**):
z = a ∙ u + b ∙ v,
x
1
−1
GyH = a ∙ G H + b ∙ G H
1
1
Es folgt daraus:
x = −a + b und y = a + b
Formt man diese Gleichungen um, erhält man:
a=
‚8ƒ
und b =
ƒ9‚
Dies in (**) eingesetzt ergibt:
x+y
x−y
x
2 ‡
2
GyH = „y − x… + †x +
y
2
2
(**)
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x
1/2
2
z: Es wird Eo gesucht, sodass Eo GyH = y−x
. Man erhält: Eo = ˆ
−1/2
x−y
2
−1/2
Š
1/2
x
1/2 1/2
2
: Es wird E gesucht, sodass Eq GyH = x+y
Š
. Man erhält: Eq = ˆ
1/2 1/2
x+y
2
Nun muss das Produkt aus dem Eigenwert und der zugehörigen Matrix berechnet werden. Die
Summe dieser beiden Produkte muss im Falle der Spektralzerlegung wieder die Matrix A ergeben.
1/2 1/2
1/2 −1/2
1
Š= G
Š+ 2 ˆ
θEo + τ Eq = 0 ˆ
1/2 1/2
−1/2 1/2
1
Weiterhin sieht man hier auch, dass Eo ∙ Eq = 0 und Eo + Eq = I.
1
H=A
1
Bemerkung 3.2
Die Definition 3.2 kann auf den Bereich der Polynome ausgeweitet werden:
Sei p ein Polynom, dann folgt für (*)
pA =
s pθEo
o ∈t"u
p(A) heißt Polynom in A und hat als Ergebnis eine Matrix.
4. Rationale Funktionen
Definition 4.1 (Rationale Funktion)
Eine rationale Funktion ist eine Funktion f(x), die als Quotient zweier Polynome p und q darstellbar
ist, also von der Form
‹Œ =
 Œ  + 8* Œ 8* + ⋯ + V
Œ
=
’“ Œ “ + ’“8* Œ “8* + ⋯ + ’V
ŽŒ
wobei n, z ∈ ℕ und aV , … , a”, bV , … , b3 ∈ ℝ .
Bemerkung 4.1 (Folgerungen aus der Spektralzerlegung)
Aus der Spektralzerlegung folgte vorhin, dass für ein Polynom pA = ∑o ∈t"u pθEo erfüllt ist.
Ebenso kann man folgern, dass auch rationale Funktionen, die aus Polynomen aufgebaut sind, zerlegt
werden können. Die einzige Voraussetzung, die an die rationale Funktion gestellt wird, ist, dass die
Funktion in jedem Eigenwert von A definiert sein muss.
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Aus der Spektralzerlegung kann weiterhin erhalten werden:
xI − A8* = ∑o ∈t"ux − θ8* Eo
(***)
Lemma 4.1 Sei ∈ •“ ℝ eine symmetrische Matrix und B sei jene Matrix, die durch Löschen der i-
ten Spalte und Zeile von A entsteht. Dann gilt:
wobei &› der i-te Einheitsvektor ist.
–—,˜
–™,˜
= & š › Œœ − 8* &› ,
Beweis. Durch die Formel des Inversen einer Matrix erhält man xI − A8* 77 =
außerdem, dass xI − A8* 77 = e7 + xI − A8* e7.
tPƒž8Ÿ
.
tP ƒž8u
Es gilt
Wenn man die beiden Formeln nun gleichsetzt, ist die Aussage des Lemmas bewiesen.
Satz 4.1 Sei ∈ •“ ℝ und ’ ∈ ℝ“ . Wir definieren Œ = ’ š Œœ − 8* ’ als rationale Funktion.
Dann sind alle Nullstellen und Polstellen von einfach und ′ ist auf dem gesamten
Definitionsbereich negativ. Falls j und ¡ aufeinander folgende Polstellen von sind, dann enthält
des geschlossene Intervall [j, ¡] genau eine Nullstelle von .
Beweis. Durch (***) erhält man:
b+ xI − A8* b =
s
o ∈t"u
b+ Eo b
x − θ
Daher sieht man, dass die Polstellen von ψ einfach sind. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung
differenziert, erhält man:
Also gilt:
− b+ xI − A8 b = − s
o
b+ Eo b
x − θ
ψ′x = − b+ xI − A8 b
Da b+ xI − A8 b die quadratische Länge von b+ xI − A8* b ist, folgt, dass ψ′x < 0 , wenn x
kein Pol von ψ ist. Das zeigt, dass jede Nullstelle von ψ einfach sein muss.
Angenommen θ und τ sind aufeinander folgende Polstellen von ψ. Da die Polstellen einfach sind,
folgt, dass ψ eine streng abnehmende Funktion am Intervall [θ, τ] ist. Sie ist positiv, wenn x Werte in
der Nähe von θ annimmt und negativ, wenn x Werte nahe genug an τ annimmt. Daraus folgt, dass
das Intervall [θ, τ] genau eine Nullstelle von ψ beinhaltet.
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Literatur
Godsil, Chris; Royle, Gordon: Algebraic Graph Theory. Springer Verlag, New York, 2001.
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