ProbeKlausur SS-2014 mit Lösungen

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"#
Folgendes Diagramm zeigt den Gewinn bzw. Verlust (in Mio. $) der
Billigfluggesellschaft „Spirit Airline“ für den Zeitraum von 2005 bis 2010.
Die Punkte im Diagramm geben die Höhe des Gewinns bzw. Verlusts (in Mio.
$) für das Unternehmen in verschieden Jahresquartalen an. In der folgenden
geordneten Datenreihe sind diese Werte (in Mio $) für den sechsjährigen
Zeitraum angegeben.
–39
+10
–27,5 –27
+14
+19
–22
+21
–17
–10,5 –10
–8
–6,5
–5
–1,5
+21
+22
+24
+26
+29
+29,5 +31,5
+22,5
+9,5
1
.
Geben Sie das Merkmal an, welches hier untersucht wird.
. Welche der folgenden Angaben geben den Merkmalstyp und das Skalenniveau
2 "
#!
( 4
0
für das Merkmal richtig an. 78
.
qualitativ ; rangskaliert (ordinalskaliert)
. quantitativ , stetig und metrisch (kardinalskaliert)
. quantitativ , diskret und metrisch
/. qualitativ , diskret und rangskaliert (ordinalskaliert)
0. Bestimmen Sie den Median xMed , das 25%-Quantil x0,25 , das 75%-Quantil x0,75
und die Spannweite R. Tragen Sie die Linie für den Median in den folgenden
Boxplot ein. Beschriften Sie den Boxplot und tragen Sie die Werte dafür auf die
Zahlengerade ein.
9
4
!3!
7
:0
. Welche der folgenden Antworten bzgl. der 40-te Perzentile x0,4 ist für diese
Daten richtig? 78
2 "
#!
( 4
0
.
Die 40-te Perzentile beträgt 9,6. Es bedeutet, dass bei rund 60% der Fälle
der Gewinn – 5 Mio. $ oder mehr betrug.
. Die 40-te Perzentile beträgt – 5. Es bedeutet, dass bei rund 60% der Fälle
der Gewinn – 5 Mio. $ oder mehr betrug.
. Die 40-te Perzentile beträgt – 5. Es bedeutet, dass bei rund 40% der Fälle
der Gewinn – 5 Mio. $ oder mehr betrug.
/. Die 40-te Perzentile beträgt 10. Es bedeutet, dass bei rund 60% der Fälle
der Gewinn – 5 Mio. $ oder mehr betrug.
. Ergänzen Sie folgende klassierte Häufigkeitstabelle zur Zusammenfassung der
Daten der obigen Datenreihe.
j
1
2
3
4
5
Kj
[ – 42 ; – 27 )
[ – 27 ; – 12 )
[ – 12 ; 3 )
[ 3 ; 18 )
[ 18 ; 33 )
mj
– 34,5
– 19,5
– 4,5
10,5
25,5
hj
fj
Fj
. Berechnen Sie mit Hilfe der obigen klassierten Häufigkeitstabelle die mittlere
Gewinnhöhe, sowie die Standardabweichung.
2
!. Welche der beiden folgenden Diagramme, liefern eine geeignete Darstellung für
die Daten der Datenreihe. 8
2 %!
#!
2 "
7)
2
"
#!
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.
"
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85
0
.
10
10
5
5
0
– 42
– 27
9 4
– 12
18
0 3
!3! 7
0
– 42
33
0
0
– 4,5
!3! 7
10,5
25,5
:0
!
– 12
9 4
/.
9 4
– 27
:0
.
– 34,5 – 19,5
"
$
– 42
– 27
9 4
0 3
18
!3! 7
– 12
0 3
!3! 7
33
:0
18
33
:0
%#
Um zu untersuchen, ob es einen Zusammenhang zwischen der Einstellung von
Absolventen der Ingenieurfächer bzw. der Businessfächer einer Universität in
den verschiedenen Industriebereichen „Chemie, Elektronik und Computer“
besteht, wurden die Stellen von 1000 Absolventen dieser Universität erfasst.
Die Ergebnisse der Stichprobe sind in der folgenden Kontingenztabelle
dargestellt.
Besteht ein empirischer Zusammenhang zwischen den Merkmalen
„Absolventenfach“ und Industriebereich“ für diese Stichprobe?
Einstellung im
Ch : Chemie
Industriebereich E: Elektronik
C: Computer
Absolventenfach der Studenten
: Ingenieurwesen B : Business
240
60
280
80
280
60
3
$
!
"#
Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß
I) für die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen.
II) für den kausalen (ursächlichen) Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen.
III) für die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen.
78
2 "
#!
( 4
0
%
!
"#
Falls zwei Ereignisse sich gegenseitig ausschließen (disjunkt sind),
I) dann müssen sie auch unabhängig voneinander sein.
II) dann können sie auch unabhängig voneinander sein.
III) dann können sie nicht unabhängig voneinander sein.
78
2 "
#!
( 4
0
&
!
"#
Ein System, das aus einer ParallelSchaltung mit zwei Komponenten besteht,
funktioniert dann, wenn mindestens eine
der beiden Komponenten funktionieren. Es
bedeutet, dass das System dann
funktioniert,
. wenn A oder B oder beide funktionieren.
. wenn gilt: A B.
0. wenn gilt: A U B.
. wenn gilt: (A B ) U ( A B) U (A B)
Welche der obigen Angaben ist/sind richtig? 78
. nur a)
. nur b)
. a) ; b) ; d)
'
!
B
A
2
"
#!
( 4
/. a) ; c) ; d)
0
)#
Bei der Wartung und Reparatur eines Flüssiggastanks kann ein Brand durch
die Ursachen: „Elektrische Störungen von Geräten“, „Statische Entladungen“
und „Menschliche Fehler“ entstehen. Lange Beobachtungen zur Risikoanalyse
ergaben Schätzungen für die Wahrscheinlichkeiten des Auftretens der 3
genannten Ursachen. Diese sind 0,4 ; 0,25 bzw. 0,35. Weiter ergaben die
Untersuchungen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Brand
durch elektrische Störungen von Geräten 0,2 beträgt.
durch statische Entladungen 0,5 beträgt.
durch menschliche Fehler 0,45 beträgt.
4
. Wie groß ist die Wahrscheinlich, dass bei der Reparatur eines Tanks ein Brand
entsteht?
. Falls bei der Reparatur eines Tanks ein Brand entsteht, wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit, dass dieser durch statische Entladung verursacht wurde?
0. Welche der 3 Ursachen, verursacht bei der Reparatur eines Tanks am meisten
einen Brand?
(
!
%#
Folgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilungen einer diskreten
Zufallsvariablen X, die nur die Werte 2 ; 3 ; 5 ; 8 und 9 annehmen kann.
X
2
3
5
P ( X ) 0,25 0,12 0,35
8
9
0,1
. Welchen Wert hat P ( X = 8 )? 78
. 0
. 0,18
. 0,82
2
"
#!
( 4
0
/. Man kann ihn nicht bestimmen.
. Welchen Wert hat P ( X > 5 )? 78
. 0,72
. 0,63
. 0,28
2
"
#!
( 4
0
/. Man kann ihn nicht bestimmen.
)
!
)#
In einem Call-Center kommen an einem Gesprächsplatz durchschnittliche 6
Anrufe pro Stunde an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
. dass in einer Stunde mehr als 10 Anrufe ankommen?
. dass in zwei Stunden mehr als 10 Anrufe ankommen?
*
!
"#
Welche der folgenden Angaben ist für das 2,5%-Quantil einer StandardNormal-Verteilung (d.h., die z-Grenze, unterhalb von ihr 2,5% der Werte
liegen.) richtig? 78
2 "
#!
( 4
0
. 0,025
,
!
. – 1,96
. 1 0,51
/ . 1 0,506
%#
Der Durchmesser von serienmäßig hergestellten Metallkugeln einer Firma sei
eine normalverteilte Zufallsvariable mit einer Standardabweichung von 0,05
[cm]. Ein Prüfer lies 1000 Kugeln aus der Serienproduktion durch ein Sieb
fallen, dessen Löcher einen Durchmesser von 3 [cm] haben, so fielen 25
Kugeln durch das Sieb. Geben Sie den Schätzwert für den wahren Mittelwert
der Metallkugeln aus der Serienproduktion an.
5
!
",#
. Sei die Lebensdauer von Sensoren für die Druckmessung eines Herstellers
eine exponetiellverteilte Zufallsvariable mit einer mittleren Lebensdauer von
5 Jahren. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Sensor des
Herstellers weniger als 3 Jahre lebt (d.h. innerhalb von 3 Jahren ausfällt), 0,45
beträgt. (genauere Wert: 0, 45118).
+2
4 " 2 ; "
5#! )
"
"
1
6
. In einem Triebwerk werden zur Druckmessung 20 identische Sensoren des
obigen Herstellers eingebaut, die unabhängig von einander arbeiten. Das
Druckmessungssystem arbeitet dann zuverlässig, wenn mindestens 12
Sensoren (d.h. 12 oder mehr) zuverlässig funktionieren (d.h. nicht ausfallen).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass das Druckmessungssystem innerhalb von drei Jahren zuverlässig
funktioniert?
dass das Druckmessungssystem innerhalb von drei Jahren ausfällt?
0. Um die Zuverlässigkeit des Druckmessungssystems zu erhöhen, sollen weitere
Sensoren des obigen Herstellers eingebaut werden. Wie viele Sensoren
müssen mindestens eingebaut werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass das Druckmessungssystem innerhalb von drei Jahren zuverlässig
funktioniert, mindestens 0,95 beträgt.
+2
4 " 2
<3
"
)
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"
!
%#
Die Entladung eines Kondensators mit der Kapazität C über einen ohmschen
Widerstand R erfolgt nach dem Exponentialgesetz:
U (t
) = U0 ⋅ e
−
1
τ
⋅ t
;
für t ≥ 0
Dabei sind τ = R ⋅ C die Zeitkonstante und U 0 die Anfangsspannung zur
Zeit t = 0 .
In einem Experiment wurden für 5 verschiedene Zeiten t die Spannung U
gemessen. Die Messdaten sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
i
Zeit:
t i [sec]
Spannung : U i [Volt]
1
2,0
67,7
2
4,0
45,4
3
6,0
30,4
4
8,0
20,4
5
10,0
13,7
. Bestimmen Sie die Schätzwerte für die Konstanten τ und U 0 .
. Schätzen Sie die Spannung U ( t ) , an der Zeit t = 5,0 [sec].
6
! + +
52 03 + +
!
+2
$
-.
3
+
+
!
!
+ +
+ +
3
!
263 +
+
4++ +
+
+
2
!
'#
In einer Serienproduktion sollen hergestellte Bauteile mit einem Farbcode
versehen werden. Dazu soll für jeden Code 4 Farbstreifen auf das Bauteil
aufgebracht werden, wobei die 4 Farbstreifen aus 6 Farben ausgewählt
werden können.
. Wieviele Codes sind möglich, wenn für jeden Code jede Farbe
nur einmal benutzt werden darf und die Reihenfolge der Farben berücksichtigt
wird?
. Wieviele Codes sind möglich, wenn für jeden Code eine Farbe
mehrmals benutzt werden darf und die Reihenfolge der Farben berücksichtigt
wird?
0. Wieviele Codes sind möglich, wenn eine Farbe zwar mehrfach verwendet
werden darf, nebeneinander liegende Streifen aber verschieden sein müssen?
%
-.
3
!
'#
Sei die Anzahl von Lackfehlern auf lackierten Blechen einer Serien-produktion
eine Zufallsvariable mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung.
X : Anzahl von Lackfehlern
Wahrscheinlichkeitsfunktion
X=xj
P ( X = x j) = f (x j)
2
0,2
3
0,4
4
0,3
5
0,1
. Zeigen Sie, dass die durchschnittliche Anzahl von Lackfehlern µ = 3,3 beträgt.
. Zeigen Sie, dass die Varianz für die Anzahl von Lackfehlern 2 = 0,81 ist.
0. Der Preis für ein fehlerfrei lackiertes Blech beträgt 40 €. Für jeden Lackfehler
werden 5 € abgezogen. Wie groß ist der durchschnittliche Preis von Blechen
aus dieser Produktion?
7
! + +
52 03 + +
!
+2
&
-.
3
+
+
!
!
+ +
+ +
3
!
263 +
+
4++ +
+
+
2
!
)#
Zwei Straßen A und B mit gleicher Kapazität führen zu einer dritten Straße. In
der Hauptverkehrzeit können sich auf den Straßen Staus bilden. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf der Straße A ein Stau entsteht, beträgt 0,1.
Und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auf der Straße B ein Stau entsteht,
beträgt 0,2. Wenn sich auf Straße A ein Stau bildet, so erhöht sich die
Wahrscheinlichkeit für einen Stau auf Straße B auf 0,8.
. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass auf Straße A ein Stau entsteht, 0,4 beträgt,
wenn sich auf B sich ein Stau gebildet hat.
. Ein Stau entsteht auf der dritten Straße, wenn sich
mindestens auf einer der beiden Straßen ein Stau
gebildet hat (, d.h. , wenn auf A oder B oder auf
beiden ein Stau entsteht). Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Stau auf der dritten
Straße?
A
B
'
-.
3
!
)#
Die Masse von serienmäßig hergestellten Bolzen einer Produktion sei eine
normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern µ = 100 [g] und = 2 [g].
Die Bolzen werden zu je 5 Stück in Kartons verpackt. Jeder leere Karton hat die
konstante Masse 8 [g] .Die einzelnen Massen können als unabhängig
voneinander betrachtet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
gefüllter Karton weniger als 520 [g] wiegt?
4
4 " 2 " <
5
" &
=
8
9
9 4
j
1
2
3
4
5
!3!
Kj
[ – 42 ; – 27 )
[ – 27 ; – 12 )
[ – 12 ; 3 )
[ 3 ; 18 )
[ 18 ; 33 )
7
:0
mj
– 34,5
– 19,5
– 4,5
10,5
25,5
hj
fj
Fj
.
10
5
0
– 42
– 27
– 12
9 4
/.
'
18
0 3
!3! 7
! "
%
#
33
:0
$
&
0
– 42
– 27
9 4
– 12
0 3
!3! 7
18
33
:0
10
(
)
11
12
(
)
13
14
15
16
*
(
/ &
(
*
*
#
1%
3
*
#
+
#
01
2
,
-.
0
- .- - 2
17
18
19
20
21
22
23