Musterarbeit VERA 8

Musterarbeit VERA 8
Zur Vorbereitung auf die Vergleichsarbeit in der 8. Klasse
am 11. März 2009
Herausgegeben vom Freiburger Verlag.
Diese Arbeit darf kopiert und weitergeben werden.
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
VERA 8 Musterarbeit
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
diese Musterarbeit soll dir bei der Vorbereitung auf die Vergleichsarbeit am 11. März helfen. Alle Aufgaben dieser
Arbeit entsprechen in Schwierigkeit und Umfang den Aufgaben der Original-Vergleichsarbeit. So kannst du dich
bestmöglich vorbereiten.
Je nachdem, wie sicher du dich fühlst, gibt es zwei Möglichkeiten, wie du dich auf die Vergleichsarbeit vorbereiten
kannst:
• Wenn du vorher noch üben willst, arbeitest du zuerst das Buch durch und dann die Musterarbeit.
• Wenn du dich schon sicher fühlst, nimmst du dir zuerst die Musterarbeit vor und benutzt das Buch, um Lücken
aufzuarbeiten.
Für die Bearbeitung der Musterarbeit solltest du 80 Minuten einplanen, so lang ist nämlich auch die Originalarbeit.
Die Aufgaben
Die Aufgaben sind mit Absicht «durcheinander». Also nicht wie in einem Schulbuch erst leicht und dann immer
schwieriger werdend. Du findest abwechselnd lange und kurze Aufgaben, leichte und schwere. Bearbeite am besten
zuerst die Aufgaben, die dir leicht fallen. Erst danach machst du dich an die schweren.
Bei manchen Aufgaben sind schon einige Antworten vorgeben und du musst die richtige Antwort ankreuzen.
Um so eine Aufgabe zu bearbeiten, gehst du nicht anders vor als bei einer «normalen» Aufgabe. Berechne dein
Ergebnis, wie du es sonst auch machen würdest und vergleiche es dann mit den vorgegebenen Antworten.
Der Tippteil
In der Mitte der Arbeit, zwischen den Aufgaben und den Lösungen, befindet sich der Tippteil. Dort findest du Tipps,
die dir weiterhelfen, wenn du gar keine Ahnung hast, wie die Lösung aussehen soll. Wenn du die Musterarbeit
benutzt, um einen kompletten Probelauf zu machen, solltest du natürlich nicht in die Tipps schauen. (In der «echten»
Vergleichsarbeit im März gibt es übrigens keine Tipps.)
Mehr Aufgaben
Mehr Aufgaben zu den fünf Leitideen und Lernkarten mit allen wichtigen Dingen findest du in unserem Buch
«Erfolg in VERA 8», das du unter www.freiburger-verlag.de bestellen kannst.
Viel Erfolg in der Vergleichsarbeit wünschen dir
Helmut Gruber und Robert Neumann
Freiburger-Verlag.de
2
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 1: Thermalbad
Ein Thermalbad hat folgende Eintrittspreise:
1. Frau Stemmler geht um 16:00 in das Thermalbad und bleibt bis 19:45. Wie viel Eintritt muss sie bezahlen ?
2. Wie lang kann sie das Thermalbad besuchen, wenn sie nicht mehr als 20 e ausgeben will ?
Aufgabe 2: Busfahrt
Ein Verein möchte einen Ausflug machen. Das Reiseziel ist 120 km entfernt. Sie holen Angebote von zwei Busunternehmen ein.
1. Mit welchem Bus fährt der Verein am günstigsten?
2. Wie viel km müsste man fahren, damit die Busse gleich teuer sind ?
Freiburger-Verlag.de
3
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 3: Prospekte
Anna, Berta und Carola verteilen in ihrer Stadt Prospekte.
Anna verteilt 500, Berta 250 und Carola 350 Stück. Sie erhalten zusammen 40 e.
Sie wollen das Geld gerecht aufteilen. Wie viel erhält jede?
Aufgabe 4: Zahlenverknüpfungen
1. Für zwei Zahlen x und y soll gelten: x = 1 + y. Kreuze die richtigen Aussagen an:
Wenn x positiv ist, ist auch y positiv
Wenn x größer als 2 ist, ist auch y größer als 2
Wenn x negativ ist, ist auch y negativ
y ist größer als x
x ist größer als y
2. Für zwei Zahlen x und y soll gelten: x · 2y = 1. Kreuze die richtigen Aussagen an:
x ist der Kehrwert von y
Wenn x positiv ist, dann ist y negativ
Wenn x größer als 1 ist, dann ist y kleiner als 1
Wenn x negativ ist, dann ist auch y negativ
Wenn x eine ganze Zahl ist, dann ist y ein Bruch
3. Für zwei Zahlen x und y (y 6= 0) soll gelten:
x
y
= −1. Kreuze an, welche der Aussagen nicht zutrifft:
x und y haben verschiedene Vorzeichen
Wenn x positiv ist, dann ist y positiv
x und y müssen negativ sein
Wenn x größer als 1 ist, dann ist y kleiner als 1
x ist größer als y
Freiburger-Verlag.de
4
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 5: Würfel
Ein Würfel wird einmal geworfen.
Kreuze an, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, eine Zahl zu werfen, die kleiner als 3 ist.
1
6
1
4
1
3
1
2
Aufgabe 6: Glücksrad
Auf einem Jahrmarkt gibt es folgendes Glücksrad:
1. Ist es bei einmaligem Drehen wahrscheinlicher, eine gerade oder eine ungerade Zahl zu drehen?
2. Nun wird zweimal gedreht.
Anja behauptet: Es ist wahrscheinlicher, zweimal die 5 zu drehen als die Summe 6 zu erhalten. Stimmt das?
Aufgabe 7: Rechteckszahlen
In der Abbildung siehst du eine Veranschaulichung der sogenannten «Rechteckszahlen» 2, 6 und 12
1. Wie lauten die nächsten 5 Rechteckszahlen?
2. Wie groß kann eine Rechteckszahl sein, wenn eine Seite den Wert 10 hat?
70
80
Freiburger-Verlag.de
90
100
110
120
5
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 8: Oktaeder
Die Flächen eines achtflächigen Würfels (Oktaeder) sollen rot oder blau gefärbt werden.
Wie viele Flächen müssen rot sein, damit die Wahrscheinlichkeit für blau bei einmaligem Werfen
eine Fläche
zwei Flächen
drei Flächen
vier Flächen
fünf Flächen
sechs Flächen
3
4
beträgt?
Aufgabe 9: Nebenkosten
Frau Weber macht die Nebenkostenabrechnung für zwei ihrer Häuser. Diese setzen sich aus Stromkosten, Wasserkosten und Grundsteuer zusammen.
1. In Haus A beträgt die Höhe der Nebenkosten 1500 e. Trage die fehlenden Werte in die Nebenkostenabrechnung ein:
65 % Stromkosten
......... e
30 % Wasserkosten
......... e
.......
Grundsteuer
......... e
2. Bei Haus B sind ihre Unterlagen lückenhaft. Sie weiß aber, dass die prozentuale Aufteilung genau so wie bei
Haus A ist und die Stromkosten 520 e betragen.
Berechne die einzelnen Nebenkosten für Haus B.
Freiburger-Verlag.de
6
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 10: Wahlergebnisse
Das Diagramm zeigt die Wahlergebnisse einer Wahl in Deutschland.
1. Welches der drei Kreisdiagramm stellt den Wahlausgang richtig dar?
2. Welche Partei hat vor der Wahl regiert? Begründe deine Antwort.
3. Wie hat sich der Stimmenanteil der Grünen verändert? Kreuze an:
Gegenüber der letzten Wahl sind ca. 50 % neue Wähler
dazugekommen.
richtig
falsch
Der Stimmenanteil hat sich verdoppelt.
richtig
falsch
Vor der Wahl hatten die Grünen 4% mehr Stimmen.
richtig
falsch
Vor der Wahl hatten die Grünen mehr Stimmen als die FDP.
richtig
falsch
Aufgabe 11: Haken
Eine Lieferung von 7000 Haken wird auf Fehler überprüft. Es werden zufällig 50 Haken ausgewählt und überprüft.
3 Haken sind fehlerhaft.
Wie viele fehlerhafte Haken sind bei der gesamten Lieferung zu erwarten? Kreuze an:
24
Freiburger-Verlag.de
42
240
420
2400
4200
7
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 12: Energieverbrauch
Der Verbrauch an elektrischer Energie eines Haushalts wird durch folgendes Kreisdiagramm dargestellt:
Kreuze die richtige Aussage an:
Etwa ein Viertel der Energie wird für Warmwasser benötigt
Die Hälfte der Energie wird für Haushaltsgeräte benötigt
Für Heizung, Warmwasser und Licht benötigt man etwa die Hälfte der Energie
Für Licht benötigt man mehr Energie als für Warmwasser
Aufgabe 13: Übernachtungen
Auf einer Nordseeinsel gab es folgende Übernachtungszahlen:
Monat
Gäste
Übernachtungen
Monat
Gäste
Übernachtungen
Januar
100
1500
Juli
14 200
202 600
Februar
200
2600
August
12 300
160 500
März
3700
28 600
September
4100
76 500
April
3600
52 200
Oktober
500
36 800
Mai
5900
63 600
November
100
2800
Juni
9100
112 300
Dezember
500
4200
In welchem der angegebenen Monate blieb ein Gast durchschnittlich am längsten?
April
Juli
September
November
Aufgabe 14: Durchschnittsgröße
Paul, Emil, Sandra und Anna haben folgende Größen:
Paul: 1,56 m, Emil: 1,67 m, Sandra: 1,54 m, Anna: 1,63 m.
Wenn Lukas dazukommt, haben alle zusammen eine Durchschnittsgröße von 1,58 m.
Wie groß ist Lukas?
Freiburger-Verlag.de
8
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 15: Zahlenstrahl
Die Zahl −2 liegt auf dem Zahlenstrahl genau in der Mitte zwischen 10 und der Zahl b. Kreuze an, für welche Zahl
b steht:
b = −10
b = −16
b = −12
b = −18
b = −14
b = −20
Aufgabe 16: Termberechnung
Gegeben ist der Term 4 − 2a2.
1. Berechne den Wert des Terms für a = 12 .
2. Für welches a nimmt der Term den Wert −4 an?
Aufgabe 17: Teilbarkeit
Zeige, dass das Produkt einer durch 2 teilbaren und einer durch 3 teilbaren ganzen Zahl, immer durch 6 teilbar ist.
Freiburger-Verlag.de
9
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 18: Quersumme
1. Anne-Sophie berechnet die Quersumme einer zweistelligen Zahl und erhält 19. Sebastian sagt: «Das kann
nicht sein, du musst dich verrechnet haben.» Hat er Recht oder nicht? Begründe Deine Antwort.
2. Die Quersumme der vierstelligen Zahl 1a3b soll mindestens 5 und höchstens 9 betragen. Welche Werte dürfen
a und b annehmen?
Die Werte von a und b müssen zwischen 5 und 9 liegen.
richtig falsch
Die Summe aus a und b darf höchstens 5 sein.
richtig falsch
Wenn der Wert von a zwischen 2 und 5 liegt, muss b kleiner als 4 sein.
richtig falsch
a und b können nicht den gleichen Wert annehmen.
richtig falsch
Aufgabe 19: Chips
Auf einer Packung Kartoffelchips stehen folgende Inhaltsangaben:
Nährwert pro 100 g
Eiweiß
6, 0 g
Kohlenhydrate
41 g
Fett
47, 5 g
Ballaststoffe
5, 5 g
1. Wie viel Gramm Eiweiß nimmt man zu sich, wenn man 250 g Chips isst?
15 g
20 g
25 g
30 g
2. Wie viel Gramm Chips muss man essen, um 10 g Ballaststoffe zu sich zu nehmen?
ca. 18 g
Freiburger-Verlag.de
ca. 180 g
ca. 36 g
ca.360 g
10
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 20: Triathlon
Bei einem Triathlon müssen die Teilnehmer erst schwimmen, dann radfahren und zum Schluss laufen. Jonas trainiert
und schafft folgende Zeiten:
Streckenlänge
benötigte Zeit
Schwimmen
3 km
1 Stunde
Radfahren
60 km
2, 5 Stunden
Laufen
10 km
1, 5 Stunden
Welche durchschnittliche Geschwindigkeit hat Jonas?
Aufgabe 21: Runden
Zwei Längen werden gemessen und beide auf 1,2 m gerundet. Um wie viele Zentimeter können sich die beiden
Meßwerte maximal unterscheiden?
0 cm
1 cm
4 cm
5 cm
9 cm
10 cm
Aufgabe 22: Fahrräder
Ein Fahrradhändler möchte neu entwickelte Falträder, die ihn 400 e kosten, mit ins Programm nehmen. Sein Lieferant macht ihm folgendes Angebot: «Wenn du mindestens 10 Fahrräder abnimmst, bekommst du 5 % Rabatt, wenn
du mindestens 50 nimmst, bekommst du 10 % Rabatt und wenn du mindestens 100 Räder kaufst, bekommst du 15 %
Rabatt.»
Wenn er 40 Räder kauft, bekommt er 400 e Rabatt.
richtig falsch
Wenn er zwischen 110 und 130 Räder kauft, beträgt der
Rabatt pro Fahrrad 60 e.
richtig falsch
Freiburger-Verlag.de
11
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 23: Dreieck
Die Zeichnung zeigt ein Dreieck mit einem Umfang von 10 cm (Zeichnung nicht maßstäblich). In diesem Dreieck
ist die Seite c die längste Seite. Entscheide, welche Aussagen richtig sind und kreuze diese an:
a = 5 cm
γ <α
a = 10 cm
γ >α
a > 5 cm
γ =α
a < 5 cm
γ =β
Aufgabe 24: Schiefer Mast
Peter möchte die Höhe eines schiefstehenden Mastes bestimmen. Er peilt ihn erst von einer Seite an, in die der Mast
geneigt ist, anschließend peilt er von der gegenüberliegenden Seite. Die Standpunkte haben einen Abstand von 40 m
von dem Punkt, an dem der Mast im Boden verankert ist. Er misst folgende Winkel gegenüber der Horizontalen:
erst 30◦ und dann 45◦ . Bestimme mit Hilfe einer Zeichnung, wie lang der Mast ist.
Aufgabe 25: Butter
Ein Päckchen Butter hat folgende Abmessungen: 8 cm × 3, 5 cm × 10 cm.
Wieviele Päcken Butter passen in einen Karton mit den Abmessungen 48 cm × 21 cm × 20 cm ?
Freiburger-Verlag.de
12
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 26: Winkel
Bestimme den Winkel α . Dokumentiere dabei deinen Weg, so dass er nachvollziehbar ist.
Aufgabe 27: Flächen
Welche Figuren haben die gleiche Größe?
Aufgabe 28: Achsenspiegelung
Handelt es sich bei den beiden Figuren um eine Achsenspiegelung ? Begründe Deine Entscheidung
Freiburger-Verlag.de
13
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 29: Geometrische Eigenschaften
Welche der folgenden Eigenschaften gehören zur abgebildeten Figur?
Je zwei Seiten sind parallel.
Alle Diagonalen sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
Der Flächeninhalt ist A = a2 .
je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Aufgabe 30: Dreieckskonstruktionen
Entscheide, ob sich ein Dreieck mit den angegebenen Daten eindeutig konstruieren läßt:
1. c = 8, 2 cm, α = 100◦ , β = 100◦
2. a = 4, 5 cm, c = 5, 4 cm, β = 54◦
3. c = 5 cm, α = 90◦ , a = 4 cm
Freiburger-Verlag.de
14
Tipps
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Tipps
Aufgabe 1: Thermalbad
Berechne, wie lange Frau Stemmler im Thermalbad bleibt und beachte, dass die 1. Stunde mehr kostet als die
übrigen Stunden.
Überlege, wie viel Geld sie nach der 1. Stunde noch hat und wie lange sie für das Restgeld noch bleiben kann.
Aufgabe 2: Busfahrt
1. Berechne die Gesamtstrecke der Busfahrt; beachte Hin- und Rückfahrt. Bestimme anschließend den Fahrpreis.
2. Bezeichne die Gesamtkosten mit y und die gefahrenen Kilometer mit x und überlege dir, wie sich der Fahrpreis
für die Busunternehmen jeweils zusammensetzt. Setze die beiden Gleichung gleich, um zu berechen, bei wie
vielen km die Busse gleich teuer sind.
Aufgabe 3: Prospekte
Berechne die Gesamtzahl der Prospekte. Bestimme den Anteil, den jeder verteilt hat und multiplizere diesen Anteil
mit 40 Euro.
Aufgabe 4: Zahlenverknüpfungen
Stelle die Gleichungen auf verschiedene Weisen um und überlege, ob es zu den Aussagen auch Gegenbeispiele gibt.
Aufgabe 5: Würfel
Überlege, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl ist und welche Ergebnisse möglich sind, dass die geworfene
Zahl kleiner als 3 ist. Addiere die Einzelwahrscheinlichkeiten.
Aufgabe 6: Glücksrad
Überlege, welche Mittelpunktswinkel zu den einzelnen Zahlen gehören und ob die geraden Zahlen zusammen einen
gößeren Mittelpunktswinkel bilden als die ungeraden Zahlen.
Aufgabe 7: Rechteckszahlen
1. Überlege, wie die nächsten Rechteckszahlen «gezeichnet» werden müssen und wie man sie auch ohne Zeichnung berechnen kann.
2. Beachte, dass es für die Seite 10 zwei mögliche Rechteckszahlen gibt.
Aufgabe 8: Oktaeder
Überlege, wie groß die Wahrscheinlichkeit für eine Fläche ist und wie viele Flächen blau sein müssen; erweitere
dazu den Bruch 34 auf Achtel.
Aufgabe 9: Nebenkosten
1. Berechne die einzelnen Nebenkosten, indem du den Prozentwert mit der Gesamtsumme multiplizierst.
2. Bereche mit Hilfe des Dreisatzes die gesamten Nebenkosten und daraus wieder die einzelnen Nebenkosten.
Aufgabe 10: Wahlergebnisse
1. Überlege, welche Kreisdiagramme falsch sein müssen.
2. Bestimme den Stimmenanteil vor der Wahl, indem du die Gewinne / Verluste berücksichtigst.
Freiburger-Verlag.de
15
Tipps
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 11: Haken
Berechne die Fehlerquote, indem du die Anzahl der fehlerhaften Haken durch die der überprüften Haken teilst.
Multipliziere die Fehlerquote mit der Gesamtzahl der Haken.
Aufgabe 12: Energieverbrauch
Vergleiche die Kreissegmente miteinander.
Aufgabe 13: Übernachtungen
Teile für die gefragten Monate die Anzahl der Übernachtungen durch die Anzahl der Gäste.
Aufgabe 14: Durchschnittsgröße
Berechne mit Hilfe der Durchschnittsgröße die Gesamtgröße der 5 Personen und subtrahiere die 4 bekannten Größen.
Aufgabe 15: Zahlenstrahl
Berechne die Differenz zwischen −2 und 10 und ziehe das Ergebnis von −2 ab.
Aufgabe 16: Termberechnung
1. Setze a =
1
2
in den Term ein; beachte, dass ein Bruch quadriert wird.
2. Stelle eine Gleichung auf und löse sie; beachte, dass es zwei Lösungen geben kann.
Aufgabe 17: Teilbarkeit
Überlege, wie sich eine durch 2 bzw. 3 teilbare Zahl allgemein darstellen läßt. Multipliziere die beiden Zahlen und
überlege, ob das Ergebnis ein Vielfaches von 6 ist.
Aufgabe 18: Quersumme
1. Überlege, wie groß jede Ziffer höchstens sein kann und bilde damit die maximale Quersumme der zweistelligen Zahl.
2. Bilde die Quersumme q der gegebenen Zahl und überlege, welche Bedingungen a + b erfüllen müssen.
Aufgabe 19: Chips
Verwende jeweils den Dreisatz.
Aufgabe 20: Triathlon
Berechne die Gesamtstrecke und teile sie durch die Gesamtzeit.
Aufgabe 21: Runden
Überlege, wie groß die Länge mindestens sein muss und wie groß sie höchstens sein kann, wenn auf eine Stelle nach
dem Komma gerundet wurde. Beachte, dass aufgerundet wird, wenn die zweite Stelle nach dem Komma größer oder
gleich 5 ist.
Aufgabe 22: Fahrräder
Berechne die Gesamtsumme für 40 Räder und den entsprechenden Rabatt in Euro.
Überlege, welchen Rabatt er zwischen 110 und 130 Rädern bekommt (in Prozent) und berechne den Rabatt pro Rad
in Euro.
Freiburger-Verlag.de
16
Tipps
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 23: Dreieck
Beachte, welches die längste Seite ist und welcher Winkel der längsten Seite gegenüber liegt.
Aufgabe 24: Schiefer Mast
Verwende zur Zeichnung pro 10 m eine Länge von 1 cm. Miss die Länge der schiefen Strecke und überlege, welchen
Längen dies entspricht.
Aufgabe 25: Butter
Berechne das Volumen des Butterpäckchens und des Kartons jeweils mit der Formel für einen Quader: V = a · b · c.
Überlege, wie oft das Volumen des Butterpäckchens in das Volumen des Kartons passt.
Aufgabe 26: Winkel
Trage in die Zeichnung Stufenwinkel und Nebenwinkel ein und verwende, dass die Winkelsumme im Dreieck 180 ◦
beträgt.
Aufgabe 27: Flächen
Strukturiere die Flächen jeweils um und vergleiche dann.
Aufgabe 28: Achsenspiegelung
Verbinde sich entsprechende Eckpunkte und prüfe, ob die gegebene Achse durch die Mittelpunkte dieser Linien
geht; beachte den Umlaufsinn der beiden Dreiecke.
Aufgabe 29: Geometrische Eigenschaften
Überlege, um welche Figur es sich handelt und prüfe die Eigenschaften.
Aufgabe 30: Dreieckskonstruktionen
Versuche jeweils, das Dreieck zu skizzieren; beachte die Winkelsumme und ob sich das Dreieck eindeutig «schließen» läßt.
Freiburger-Verlag.de
17
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Lösungen
Aufgabe 1: Thermalbad
1. Wenn Frau Stemmler von 16:00 Uhr bis 19:45 Uhr im Thermalbad bleibt, so war sie dort 3 Stunden 45
Minuten.
Sie zahlt für die 1. Stunde 10 e und für die 3 angefangenen Stunden 3 · 4 e = 12 e, also insgesamt 22 e.
2. Wenn sie nicht mehr als 20 e ausgeben will, kann sie insgesamt 3 Stunden bleiben, da sie für die 1. Stunde
10 e und für die weiteren 2 Stunden 2 · 4 e = 8 e ausgeben kann.
Aufgabe 2: Busfahrt
1. Wenn das Reiseziel 120 km entfernt ist, legt der Verein insgesamt eine Strecke von 240 km zurück.
Bei der Firma «Billig-Busse» entstehen Kosten in Höhe von 240 · 1, 5 e = 360 e.
Bei der Firma «Die freundlichen Fahrer» entstehen Kosten in Höhe von 100 e + 240 · 0, 90 e = 316 e.
Damit sind «Die freundlichen Fahrer» am günstigsten.
2. Wenn Du mit y die Gesamtkosten (in e) und mit x die gefahrene Strecke in km bezeichnest, dann gilt für die
«Billig-Busse»: y = 1, 5 · x und für «Die freundlichen Fahrer»: y = 0, 9 · x + 100.
Den gleichen Gesamtpreis erhälst du durch Gleichsetzen:
1, 5x = 0, 9x + 100
0, 6x = 100
x ≈ 167
Man müsste also etwa 167 km fahren, damit die Busse gleich teuer sind.
Aufgabe 3: Prospekte
Anna, Berta und Carola verteilen zusammen 500 + 250 + 350 = 1100 Prospekte und erhalten dafür 40 e.
• Anna verteilt
500
1100
=
5
11
der Prospekte und erhält dafür
5
11
· 40 e ≈ 18, 18 e.
• Berta verteilt
250
1100
=
5
22
der Prospekte und erhält dafür
5
22
· 40 e ≈ 9, 09 e.
• Carola erhält den Rest in Höhe von 40 e − 18, 18 e − 9, 09 e = 12, 73 e.
Aufgabe 4: Zahlenverknüpfungen
Bei allen Aufgaben ist es hilfreich, wenn du die Gleichung auf verschiedene Weisen umstellst, dann bekommst Du
einen besseren «Eindruck», welche Beziehungen gelten und welche nicht.
1. Wenn für zwei Zahlen x und y gilt: x = 1 + y, dann gilt auch y = x − 1. Für die einzelnen Aussagen gilt:
• Ist x positiv, muss y nicht positiv sein, z. B. x = 0, 5 ⇒ y = 0, 5 − 1 = −0, 5.
• Ist x größer als 2, muss y nicht größer als 2 sein, z.B. x = 2, 1 ⇒ y = 2, 1 − 1 = 1, 1.
• Ist x negativ, muss auch y negativ sein, da y um 1 kleiner ist als x.
• y ist um 1 kleiner als x, also ist x größer als y.
Damit sind folgende Aussagen richtig:
Wenn x positiv ist, ist auch y positiv
Wenn x größer als 2 ist, ist auch y größer als 2
Wenn x negativ ist, ist auch y negativ
y ist größer als x
x ist größer als y
Freiburger-Verlag.de
18
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
2. Wenn für zwei Zahlen x und y gilt: x · 2y = 1 , dann gilt auch x =
gilt also:
• Wegen x =
1
2y
1
2y
und y =
1
2x .
Für die einzelnen Aussagen
ist x nicht der Kehrwert von y.
1
2x positiv.
1
kleiner als 1.
größer als 1, dann ist y = 2x
1
negativ.
negativ, dann ist auch y = 2x
1
eine ganze Zahl, dann ist y = 2x
ein Bruch.
• Ist x positiv, dann ist auch y =
• Ist x
• Ist x
• Ist x
Damit sind folgende Aussagen richtig:
x ist der Kehrwert von y
Wenn x positiv ist, dann ist y negativ
Wenn x größer als 1 ist, dann ist y kleiner als 1
Wenn x negativ ist, dann ist auch y negativ
Wenn x eine ganze Zahl ist, dann ist y ein Bruch
3. Wenn für zwei Zahlen x und y (y 6= 0) gilt:
Aussagen gilt damit:
x
y
= −1 , dann gilt auch x = −y und y = −x. Für die einzelnen
• Ist x positiv, so ist y negativ und umgekehrt, also haben x und y verschiedene Vorzeichen.
• Ist x größer als 1, dann ist y = −x kleiner als 1.
• Ist y positiv, so ist x negativ, also ist x nicht größer als y.
Damit sind folgende Aussagen nicht richtig:
x und y haben verschiedene Vorzeichen
Wenn x positiv ist, dann ist y positiv
x und y müssen negativ sein
Wenn x größer als 1 ist, dann ist y kleiner als 1
x ist größer als y
Aufgabe 5: Würfel
Wenn beim Werfen mit einem Würfel die geworfene Zahl kleiner als 3 sein soll, so muss die 1 oder die 2 geworfen
werden. Da die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl bei einem idealen Würfel 61 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
geworfene Zahl kleiner als 3 ist, 61 + 61 = 13 .
1
6
1
4
1
3
1
2
Aufgabe 6: Glücksrad
1. Zu den Zahlen 1-5 gehören folgende Mittelpunktswinkel: 30 ◦ , 60◦ , 60◦ , 90◦ , 120◦.
Zu den geraden Zahlen gehören die Winkel 60◦ und 90◦ . Dies sind zusammen 150◦, also weniger als die
Hälfte von 360◦. Also ist es wahrscheinlicher, eine ungerade Zahl zu drehen.
2. Mit oben angebenen Mittelpunktswinkeln gibt es für die Zahlen 1-5 folgende Wahrscheinlichkeiten:
1
30◦
=
360◦ 12
60◦
1
P(2) =
=
360◦ 6
P(1) =
Freiburger-Verlag.de
19
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
1
60◦
=
360◦ 6
1
90◦
=
P(4) =
360◦ 4
120◦ 1
P(5) =
=
360◦ 3
P(3) =
Die Wahrscheinlichkeit, zweimal die 5 zu drehen, erhält man mit der Multiplikationsregel:
P(5, 5) =
1 1 1
· =
3 3 9
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 6 ist, erhält man mit Hilfe der Additions- und der Multiplikationsregel:
P(Summe ist 6) = P(1, 5) + P(2, 4) + P(3, 3) + P(4, 2) + P(5, 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
· + · + · + · + ·
12 3 6 4 6 6 4 6 3 12
1
=
6
=
Damit ist es wahrscheinlicher, die Summe 6 zu drehen, als zweimal die 5; somit ist Anjas Aussage falsch.
Aufgabe 7: Rechteckzahlen
1. Die nächsten 5 Rechteckszahlen sind:
20 = 5 · 4 , 30 = 6 · 5, 42 = 7 · 6, 56 = 8 · 7 und 72 = 9 · 8:
2. Eine Rechteckszahl, deren eine Seite den Wert 10 hat, kann 10 · 9 = 90 oder 11 · 10 = 110 sein. Also sind
folgende Antworten richtig:
70
80
Freiburger-Verlag.de
90
100
110
120
20
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 8: Oktaeder
Wenn die Wahrscheinlichkeit für blau
3
4
eine Fläche
zwei Flächen
vier Flächen
fünf Flächen
=
6
8
beträgt, müssen 6 Flächen blau sein; also ist folgende Antwort richtig:
drei Flächen
sechs Flächen
Aufgabe 9: Nebenkosten
1. Um den fehlenden Wert für die Grundsteuer auszurechnen, rechnest du 100 % − 65 % − 30 % = 5 %. Die
Kosten berechnest du, indem du den Prozentwert mit 1500 multiplizierst:
65% von 1500 sind 0, 65 · 1500 = 975.
30% von 1500 sind 0, 30 · 1500 = 450.
5% von 1500 sind 0, 05 · 1500 = 75.
Damit gilt für Haus A:
65 % Stromkosten
975 e
30 % Wasserkosten 450 e
5%
Grundsteuer
75
e
2. Für Haus B gilt, dass 65 % der Nebenkosten 520 e entsprechen. Mit Hilfe des Dreisatzes erhältst du die
gesamten Nebenkosten:
65 % =
b 520 e
1% =
b 8e
100 % =
b 800 e
Die Nebenkosten betragen insgesamt also 800 e.
30 % von 800 sind 0, 30 · 800 = 240.
5 % von 800 sind 0, 05 · 800 = 40.
Damit gilt für Haus B:
65 % Stromkosten
520 e
30 % Wasserkosten 240 e
5%
Grundsteuer
40
e
Aufgabe 10: Wahlergebnisse
1. Um zu entscheiden, welches Diagramm richtig ist, geht es am schnellsten, wenn du falsche Diagramme ausschließt.
Im Diagramm B haben die Grünen mehr als doppelt so viele Stimmen wie die FDP. Dies stimmt nicht mit den
Ergebnissen in den Säulendiagrammen überein.
Im Diagramm C hat die FDP mehr Stimmen als die Grünen. Auch dies stimmt nicht mit den Ergebnissen in
den Säulendiagrammen überein.
Damit gibt Diagramm A die Wahlergebnisse richtig wieder.
2. Vor der Wahl hat die CDU regiert, da sie bei der Wahl 41 % der Stimmen erhalten hat und 11 % verloren hat,
so dass sie vor der Wahl 52 % der Stimmen und damit die absolute Mehrheit hatte.
3. Für die einzelnen Fragen zum Wahlergebnis der Grünen Partei gilt folgendes:
• Da die Grünen nun 8 % der Stimmen erreicht haben und 4% hinzugekommen sind, hatten sie vor der
Wahl auch 4 %, also sind 100 % Wähler hinzugekommen bzw. der Stimmenanteil hat sich verdoppelt.
Freiburger-Verlag.de
21
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
• Vor der Wahl hatten die Grünen 4 % weniger Stimmen, da ja 4 % hinzugekommen sind.
• Die Grünen hatten vor der Wahl 4 % Stimmen, die FDP hat nun 5 % und hat 2 % verloren, hatte vor der
Wahl also 7 % der Stimmen.
Damit sind folgende Antworten richtig:
Gegenüber der letzten Wahl sind ca. 50 % neue Wähler
dazugekommen
Der Stimmenanteil hat sich verdoppelt
richtig
falsch
richtig falsch
Vor der Wahl hatten die Grünen 4% mehr Stimmen
richtig
falsch
Vor der Wahl hatten die Grünen mehr Stimmen als die
FDP
richtig
falsch
Aufgabe 11: Haken
3
Wenn von 50 Haken 3 fehlerhaft sind, so beträgt die Fehlerquote 50
= 0, 06.
Bei 7000 Haken sind also 7000 · 0, 06 = 420 fehlerhafte Haken zu erwarten.
Aufgabe 12: Energieverbrauch
Wenn man die einzelnen Anteile des Kreisdiagramms miteinander vergleicht, kommt man zu folgender richtiger
Aussage:
Etwa ein Viertel der Energie wird für Warmwasser benötigt
Die Hälfte der Energie wird für Haushaltsgeräte benötigt
Für Heizung, Warmwasser und Licht benötigt man etwa die Hälfte der Energie
Für Licht benötigt man mehr Energie als für Warmwasser
Aufgabe 13: Übernachtungen
Wenn du für die in Frage kommenden Monate die Anzahl der Übernachtungen durch die Anzahl der Gäste teilst,
erhältst du die durchschnittlichen Übernachtungen pro Gast:
52200
= 14, 5
3600
202600
Juli :
≈ 14, 3
14200
76500
≈ 18, 7
September :
4100
2800
November :
= 28
100
April :
Also ist folgende Antwort richtig:
April
Juli
September
November
Aufgabe 14: Durchschnittsgröße
Wenn die genannten 5 Personen eine Durchschnittsgröße von 1, 58 m haben, so haben sie zusammen eine Größe von
5 · 1, 58 m = 7, 9 m.
Ziehst du von dieser Gesamtgröße die Größen von Paul, Emil, Sandra und Anna ab, so erhältst du die Größe von
Lukas:
7, 9 − 1, 56 − 1, 67 − 1, 54 − 1, 63 = 1, 5
Also hat Lukas eine Größe von 1, 50 m.
Freiburger-Verlag.de
22
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 15: Zahlenstrahl
Von der Zahl −2 bis zur Zahl 10 ist die Differenz 12, also ist auch von −2 bis zu b die Differenz 12; damit gilt:
b = −2 − 12 = −14:
b = −10
b = −16
b = −12
b = −14
b = −18
b = −20
Aufgabe 16: Termberechnung
1. Setzt du a =
1
2
in den Term 4 − 2a2 ein, erhälst du: 4 − 2 ·
1 2
2
= 4 − 2 · 14 = 3, 5.
2. Um zu bestimmen, für welches a der Term 4 − 2a2 den Wert −4 annimmt, löst du folgende Gleichung:
4 − 2a2
= −4
8 = 2a2
4 = a2
⇒ a1
| +4, +2a2
|: 2
√
|±
= −2, a2 = 2
Für a1 = −2 und a2 = 2 nimmt der Term 4 − 2a2 den Wert −4 an.
Aufgabe 17: Teilbarkeit
Um zu zeigen, dass das Produkt einer durch 2 teilbaren ganzen Zahl a und einer durch 3 teilbaren ganzen Zahl b
immer durch 6 teilbar ist, kannst du dir zuerst überlegen, welche Form die beiden Zahlen haben:
a = 2 · m und b = 3 · n (wobei m und n ganze Zahlen sind)
Damit hat das Produkt der beiden Zahlen die Form:
a·b = 2·m·3·n= 6·m·n
Da das Ergebnis ein Vielfaches von 6 ist, ist das Produkt der beiden Zahlen immer durch 6 teilbar.
Aufgabe 18: Quersumme
1. Die Quersumme einer zweistelligen Zahl kann höchstens 18 betragen, da jede Ziffer höchstens den Wert 9
haben kann. Also hat Sebastian Recht mit seiner Aussage, dass sich Anne-Sophie verrechnet haben muss.
2. Die Quersumme q der Zahl 1a3b ist
q = 1+a+3+b= 4+a+b
Da die Quersumme q mindestens 5 und höchstens 9 sein soll, muss gelten: a + b > 1 (weil 4 + 1 = 5) und
a + b 6 5 (weil 4 + 5 = 9). Dies kannst du auch so schreiben:
1 6 a+b 6 5
Damit gelten nur zwei der folgenden Aussagen:
Die Werte von a und b müssen zwischen 5 und 9 liegen.
richtig
falsch
Die Summe aus a und b darf höchstens 5 sein.
richtig falsch
Wenn der Wert von a zwischen 2 und 5 liegt, muss b kleiner als 4 sein.
richtig falsch
a und b können nicht den gleichen Wert annehmen.
Freiburger-Verlag.de
richtig
falsch
23
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 19: Chips
1. Um zu bestimmen, wie viel Gramm Eiweiß man zu sich nimmt, wenn man 250g Chips isst, verwendest du
den Dreisatz:
100 g Chips =
b 6 g Eiweiß
1 g Chips =
b 0, 06 g Eiweiß
250 g Chips =
b 15 g Eiweiß
Damit ist die richtige Antwort:
15 g
20 g
25 g
30 g
2. Auch um zu bestimmen, wie viel Gramm Chips man essen muss, um 10g Ballaststoffe zu sich zu nehmen,
verwendet man den Dreisatz:
5, 5 g Ballaststoffe =
b 100 g Chips
1 g Ballaststoffe =
b 18, 18 g Chips
10 g Ballaststoffe =
b 181, 8 g Chips
Die richtige Antwort ist also:
ca. 18 g
ca. 180 g
ca. 36 g
ca.360 g
Aufgabe 20: Triathlon
Die durchschnittliche Geschwindigkeit von Jonas erhälst du, indem du die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit
teilst:
73 km
3 km + 60 km + 10 km
=
= 14, 6 km/h
(1 + 2, 5 + 1, 5) Stunden 5 Stunden
Jonas bewegt sich mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 14, 6 km/h.
Aufgabe 21: Runden
Wenn eine Länge auf 1, 2 m gerundet wurde, so beträgt sie mindestens 1, 15 m und höchstens 1, 24 m. Damit können
sich die beiden Messwerte um maximal 1, 24 m − 1, 15 m = 0, 09 m, also 9 cm, unterscheiden.
Aufgabe 22: Fahrräder
Wenn der Fahrradhändler 40 Räder kauft, erhält er auf eine Gesamtsumme von 40 · 400 e = 16 000 e einen Rabatt
von 5 %, also 16 000 e · 0, 05 = 800 e.
Wenn der Fahrradhändler zwischen 110 und 130 Räder kauft, erhält er pro Rad einen Rabatt von 15 %, also 400 e ·
0, 15 = 60 e.
Wenn er 40 Räder kauft, bekommt er 400 e Rabatt.
Wenn er zwischen 110 und 130 Räder kauft, beträgt der
Rabatt pro Fahrrad 60 e.
Freiburger-Verlag.de
richtig
falsch
richtig falsch
24
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 23: Dreieck
Da c die längste Seite ist und der Umfang des Dreiecks 10 cm beträgt, muss die Länge der Seite a zwangsläufig
kleiner als 5 cm sein, da sonst a die längste Seite wäre.
Da der längsten Seite c der größte Winkel γ gegenüberliegt, muss gelten: γ > α .
Die richtigen Antworten sind also:
a = 5 cm
a = 10 cm
γ <α
γ >α
a > 5 cm
γ =α
a < 5 cm
γ =β
Aufgabe 24: Schiefer Mast
Zum Zeichnen kann man pro 10 m eine Länge von 1 cm wählen. So erhältst Du folgende Zeichnung:
Aus der Zeichnung kannst Du die Längen ca. 3, 2 cm ablesen. Also hat der schiefe Mast eine Länge von etwa 32 m.
Aufgabe 25: Butter
Da ein Päckchen Butter die Abmessungen 8 cm × 3, 5 cm× 10 cm hat, gilt für sein Volumen:
Das Volumen des Kartons beträgt
VButter = 8 · 3, 5 · 10 cm3 = 280 cm3
VKarton = 48 · 21 · 20 cm3 = 20 160 cm3
Um zu berechnen, wie viele Butterpäckchen in den Karton passen, musst Du das Kartonvolumen durch das Volumen
160
= 72 passen 72 Päckchen Butter in den Karton.
eines Butterpäckchens teilen: Wegen 20280
Aufgabe 26: Winkel
Trägst du in die Zeichnung Nebenwinkel und Stufenwinkel ein und verwendest, dass die Winkelsumme im Dreieck
180◦ beträgt, erhälst du: α + 70◦ + 65◦ = 180◦ ⇒ α = 45◦ .
Freiburger-Verlag.de
25
Lösungen
Erfolg in VERA 8 – Musterarbeit
Aufgabe 27: Flächen
Um den Flächeninhalt der Figuren zu vergleichen, kannst du sie folgendermassen «umstrukturieren»:
Damit haben die Figuren C und D den gleichen Flächeninhalt.
Aufgabe 28: Achsenspiegelung
Wenn du entsprechende Eckpunkt miteinander verbindest, kannst du erkennen, dass die gegebene Achse s nicht
durch die Mittelpunkte der Verbindungslinien geht. Außerdem haben Figur und Spiegelfigur den gleichen Umlaufsinn, also handelt es sich nicht um eine Achsenspiegelung.
Aufgabe 29: Geometrische Eigenschaften
Bei der abgebildeten Figur handelt es sich um eine Raute. Diese besitzt folgende Eigenschaften:
Je zwei Seiten sind parallel.
Alle Diagonalen sind gleich lang.
Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
Der Flächeninhalt ist A = a2 .
Je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß.
Aufgabe 30: Dreieckskonstruktionen
1. Ein Dreieck mit c = 8, 2 cm; α = 100◦ ; β = 100◦ läßt sich nicht zeichnen, da die Winkelsumme größer als
180◦ wäre.
2. Ein Dreieck mit a = 4, 5 ; c = 5, 4 cm; β = 54◦ läßt sich eindeutig konstruieren, da zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind.
3. Ein Dreieck mit c = 5 ; α = 90◦ ; a = 4 cm läßt sich nicht zeichnen, da dann die kleinere Seite a dem größten
Winkel α gegenüberliegen würde.
Freiburger-Verlag.de
26