Der Begriff der (reellen) Zahlenfolge ist für die Analysis grundlegend

3 Folgen
Der Begriff der (reellen) Zahlenfolge ist für die Analysis
grundlegend, weil hier exemplarisch der Begriff des
Grenzwerts thematisiert wird.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3 Folgen
Der Begriff der (reellen) Zahlenfolge ist für die Analysis
grundlegend, weil hier exemplarisch der Begriff des
Grenzwerts thematisiert wird.
Die Themen:
◮
Beschränkte und konvergente Folgen
◮
Monotone Folgen
◮
Häufungspunkte und Teilfolgen von Folgen
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.1
Definition und Beispiele
Eine Abbildung a :
N → R heißt (reelle) Zahlenfolge.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.1
Definition und Beispiele
Eine Abbildung a :
N → R heißt (reelle) Zahlenfolge.
Statt a(n) schreibe an . Die ganze Folge ist (an )n∈N oder
einfach (an ).
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.1
Definition und Beispiele
Eine Abbildung a :
N → R heißt (reelle) Zahlenfolge.
Statt a(n) schreibe an . Die ganze Folge ist (an )n∈N oder
einfach (an ).
Beachte: Zahlenfolgen sind immer unendliche Folgen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.1
Definition und Beispiele
Eine Abbildung a :
N → R heißt (reelle) Zahlenfolge.
Statt a(n) schreibe an . Die ganze Folge ist (an )n∈N oder
einfach (an ).
Beachte: Zahlenfolgen sind immer unendliche Folgen.
Eher als die konkreten Werte der an interessiert uns das
Verhalten der Folge für große n.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele
(i) an = n oder (an ) = (1, 2, 3, . . .) ist die Folge der
natürlichen Zahlen, deren Folgenglieder beliebig groß werden.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele
(i) an = n oder (an ) = (1, 2, 3, . . .) ist die Folge der
natürlichen Zahlen, deren Folgenglieder beliebig groß werden.
(ii) an = 1/n oder (an ) = (1, 12 , 31 , . . .) ist eine Folge, deren
Glieder der Null beliebig nahe kommen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele
(i) an = n oder (an ) = (1, 2, 3, . . .) ist die Folge der
natürlichen Zahlen, deren Folgenglieder beliebig groß werden.
(ii) an = 1/n oder (an ) = (1, 12 , 31 , . . .) ist eine Folge, deren
Glieder der Null beliebig nahe kommen.
(iii) Die Folge
an = (−1)n +
1
3 2 5 4
oder (an ) = (0, , − , , − , . . .)
n
2 3 4 5
wechselt nach dem ersten Folgenglied das Vorzeichen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele
(i) an = n oder (an ) = (1, 2, 3, . . .) ist die Folge der
natürlichen Zahlen, deren Folgenglieder beliebig groß werden.
(ii) an = 1/n oder (an ) = (1, 12 , 31 , . . .) ist eine Folge, deren
Glieder der Null beliebig nahe kommen.
(iii) Die Folge
an = (−1)n +
1
3 2 5 4
oder (an ) = (0, , − , , − , . . .)
n
2 3 4 5
wechselt nach dem ersten Folgenglied das Vorzeichen.
Man sagt auch: Die Folge alterniert. Für große n wechselt sie
zwischen Werten, die nahe bei ±1 liegen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.2
Beschränkteit und Konvergenz von Zahlenfolgen
Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit
|an | ≤ M für alle n ∈ .
N
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.2
Beschränkteit und Konvergenz von Zahlenfolgen
Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit
|an | ≤ M für alle n ∈ .
N
Alternativ: Es gibt ein M, so dass alle Folgenglieder im
Intervall [−M, M] liegen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.2
Beschränkteit und Konvergenz von Zahlenfolgen
Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit
|an | ≤ M für alle n ∈ .
N
Alternativ: Es gibt ein M, so dass alle Folgenglieder im
Intervall [−M, M] liegen.
Der Wertebereich Ma der Folge (an ) ist
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.2
Beschränkteit und Konvergenz von Zahlenfolgen
Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit
|an | ≤ M für alle n ∈ .
N
Alternativ: Es gibt ein M, so dass alle Folgenglieder im
Intervall [−M, M] liegen.
Der Wertebereich Ma der Folge (an ) ist
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
Als Menge ist Ma etwas anderes als die Folge.
Aber es gilt
Ma beschränkt
⇔
(an ) beschränkt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.2
Beschränkteit und Konvergenz von Zahlenfolgen
Die Folge heißt beschränkt, wenn es eine Zahl M gibt mit
|an | ≤ M für alle n ∈ .
N
Alternativ: Es gibt ein M, so dass alle Folgenglieder im
Intervall [−M, M] liegen.
Der Wertebereich Ma der Folge (an ) ist
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
Als Menge ist Ma etwas anderes als die Folge.
Aber es gilt
Ma beschränkt
⇔
(an ) beschränkt.
Ist Ma endlich, so ist die Folge beschränkt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
a+ε
a
a-ε
n
N
Ab einem Index N liegen alle Folgenglieder im Schlauch
{x : |x − a| < ε}.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
a heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
a heißt dann Grenzwert oder Limes der Folge.
Wir schreiben dann
lim an = a
n→∞
oder an → a für n → ∞.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele zur Konvergenz
(i) Die konstante Folge an = 1 konvergiert gegen a = 1
wegen
|an − a| = |1 − 1| = 0 < ε ∀n ∈ .
N
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele zur Konvergenz
(i) Die konstante Folge an = 1 konvergiert gegen a = 1
wegen
|an − a| = |1 − 1| = 0 < ε ∀n ∈ .
N
(ii) Die Folge an =
1
n
konvergiert gegen a = 0.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele zur Konvergenz
(i) Die konstante Folge an = 1 konvergiert gegen a = 1
wegen
|an − a| = |1 − 1| = 0 < ε ∀n ∈ .
N
(ii) Die Folge an =
1
n
konvergiert gegen a = 0.
N
Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ mit N1 < ε. Für n ≥ N gilt
daher
1
1
< ε.
|an − a| = ≤
n
N
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele zur Konvergenz
(iii) Die alternierende Folge an = (−1)n konvergiert nicht.
Wir wählen ε = 12 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiele zur Konvergenz
(iii) Die alternierende Folge an = (−1)n konvergiert nicht.
Wir wählen ε = 12 .
a+1/2
a
a-1/2
n
R
Gleichgültig, welches a ∈ wir wählen, es liegen immer
unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Schlauchs.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Man formuliere dies mit eigenen Worten.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Man formuliere dies mit eigenen Worten.
Der Abstand zwischen an und a wird für große Indizes n
beliebig klein.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Man formuliere dies mit eigenen Worten.
Der Abstand zwischen an und a wird für große Indizes n
beliebig klein.
Oder formal:
∀ε > 0 ∃N ∈
N ∀n ≥ N
|an − a| < ε.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Eine Eigenschaft trifft für fast alle Folgenglieder zu, wenn sie
für alle bis auf endlich viele Folgenglieder zutrifft.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Eine Folge (an ) konvergiert gegen ein a ∈
jedem ε > 0 ein N ∈ gibt mit
N
R, wenn es zu
|an − a| < ε für alle n ≥ N.
Eine Eigenschaft trifft für fast alle Folgenglieder zu, wenn sie
für alle bis auf endlich viele Folgenglieder zutrifft.
Welche der folgenden Aussagen sind zu „(an ) konvergiert
gegen a“ äquivalent?
Für jedes ε > 0 gilt |an − a| < ε für fast alle Folgenglieder.
Für jedes m ∈
N gilt |an − a| < m1 für fast alle Folgenglieder.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge
auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist
ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen
infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge
auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist
ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen
infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt.
Wir können das letzte Beispiel aus der vorigen Folie noch
verschärfen. Sei (xm ) eine positive Nullfolge, also xm > 0 und
xm → 0. Ein Beispiel dafür ist xm = m1 wie in der letzten
Folie. Dann:
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge
auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist
ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen
infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt.
Wir können das letzte Beispiel aus der vorigen Folie noch
verschärfen. Sei (xm ) eine positive Nullfolge, also xm > 0 und
xm → 0. Ein Beispiel dafür ist xm = m1 wie in der letzten
Folie. Dann:
Eine Folge (an ) konvergiert genau dann gegen a, wenn für
jedes m ∈ gilt |an − a| < xm für fast alle Folgenglieder.
N
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Konvergente Folgen
Im Hinblick auf Konvergenz ist es gleichgültig, was eine Folge
auf endlichen Abschnitten macht. Konvergenz einer Folge ist
ein wichtiges Beispiel dafür, wie die Mathematik einen
infinitesimalen Begriff in den Griff bekommt.
Wir können das letzte Beispiel aus der vorigen Folie noch
verschärfen. Sei (xm ) eine positive Nullfolge, also xm > 0 und
xm → 0. Ein Beispiel dafür ist xm = m1 wie in der letzten
Folie. Dann:
Eine Folge (an ) konvergiert genau dann gegen a, wenn für
jedes m ∈ gilt |an − a| < xm für fast alle Folgenglieder.
N
Wir müssen durch unsere Definition nur garantieren, dass die
Abstände der Folgenglieder zum Grenzwert beliebig klein
werden.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Also:
Konvergenz => fast alle Folgenglieder,
Häufungspunkt => unendlich viele Folgenglieder.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Also:
Konvergenz => fast alle Folgenglieder,
Häufungspunkt => unendlich viele Folgenglieder.
Beispiel Sei an = (−1)n + n1 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Also:
Konvergenz => fast alle Folgenglieder,
Häufungspunkt => unendlich viele Folgenglieder.
Beispiel Sei an = (−1)n + n1 .
Wegen a2n = 1 +
1
2n
gilt |a2n − 1| ≤
1
2n .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Also:
Konvergenz => fast alle Folgenglieder,
Häufungspunkt => unendlich viele Folgenglieder.
Beispiel Sei an = (−1)n + n1 .
Wegen a2n = 1 +
1
2n
gilt |a2n − 1| ≤
1
2n .
Zu jedem ε > 0 gibt es daher unendlich viele Folgenglieder,
die in Bε (1) liegen. Damit ist 1 Häufungspunkt der Folge.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Also:
Konvergenz => fast alle Folgenglieder,
Häufungspunkt => unendlich viele Folgenglieder.
Beispiel Sei an = (−1)n + n1 .
Wegen a2n = 1 +
1
2n
gilt |a2n − 1| ≤
1
2n .
Zu jedem ε > 0 gibt es daher unendlich viele Folgenglieder,
die in Bε (1) liegen. Damit ist 1 Häufungspunkt der Folge.
Genauso erhält man mit a2n−1 = −1 +
Häufungspunkt der Folge ist.
1
2n−1 ,
dass auch −1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.3
Häufungspunkte von Folgen
R
Ein Punkt a ∈ heißt Häufungspunkt der Folge, wenn für
alle ε > 0 in jedem Bε (a) = (a − ε, a + ε) unendlich viele
Folgenglieder liegen.
Also:
Konvergenz => fast alle Folgenglieder,
Häufungspunkt => unendlich viele Folgenglieder.
Beispiel Sei an = (−1)n + n1 .
Wegen a2n = 1 +
1
2n
gilt |a2n − 1| ≤
1
2n .
Zu jedem ε > 0 gibt es daher unendlich viele Folgenglieder,
die in Bε (1) liegen. Damit ist 1 Häufungspunkt der Folge.
Genauso erhält man mit a2n−1 = −1 +
Häufungspunkt der Folge ist.
1
2n−1 ,
dass auch −1
Einen Grenzwert besitzt die Folge nicht, weil weder in B1 (1)
noch in B1 (−1) alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.
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Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Grenzwert und Häufungspunkt
Satz (a) Existiert der Grenzwert einer Folge, so ist er
eindeutig bestimmt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
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Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Grenzwert und Häufungspunkt
Satz (a) Existiert der Grenzwert einer Folge, so ist er
eindeutig bestimmt.
(b) Eine konvergente Folge ist beschränkt und besitzt genau
einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Grenzwert und Häufungspunkt
Satz (a) Existiert der Grenzwert einer Folge, so ist er
eindeutig bestimmt.
(b) Eine konvergente Folge ist beschränkt und besitzt genau
einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge.
Beweis (a) Angenommen, für eine Folge (an ) gilt
limn→∞ = a und limn→∞ an = b mit a 6= b.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
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Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Grenzwert und Häufungspunkt
Satz (a) Existiert der Grenzwert einer Folge, so ist er
eindeutig bestimmt.
(b) Eine konvergente Folge ist beschränkt und besitzt genau
einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge.
Beweis (a) Angenommen, für eine Folge (an ) gilt
limn→∞ = a und limn→∞ an = b mit a 6= b.
Für 0 < ε = |a − b|/2 sind Bε (a) und Bε (b) disjunkt und
können demnach nicht beide alle bis auf endlich viele
Folgenglieder enthalten.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Grenzwert und Häufungspunkt
Satz (a) Existiert der Grenzwert einer Folge, so ist er
eindeutig bestimmt.
(b) Eine konvergente Folge ist beschränkt und besitzt genau
einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge.
Beweis (a) Angenommen, für eine Folge (an ) gilt
limn→∞ = a und limn→∞ an = b mit a 6= b.
Für 0 < ε = |a − b|/2 sind Bε (a) und Bε (b) disjunkt und
können demnach nicht beide alle bis auf endlich viele
Folgenglieder enthalten.
(b) Ist limn→∞ an = a, so wählen wir in der Definition der
Konvergenz ε = 1.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Grenzwert und Häufungspunkt
Satz (a) Existiert der Grenzwert einer Folge, so ist er
eindeutig bestimmt.
(b) Eine konvergente Folge ist beschränkt und besitzt genau
einen Häufungspunkt, nämlich den Grenzwert der Folge.
Beweis (a) Angenommen, für eine Folge (an ) gilt
limn→∞ = a und limn→∞ an = b mit a 6= b.
Für 0 < ε = |a − b|/2 sind Bε (a) und Bε (b) disjunkt und
können demnach nicht beide alle bis auf endlich viele
Folgenglieder enthalten.
(b) Ist limn→∞ an = a, so wählen wir in der Definition der
Konvergenz ε = 1. Damit genügen alle bis auf endlich viele
Folgenglieder der Abschätzung |an | < |a| + 1. Die übrigen
Folgenglieder bilden eine endliche Menge. Endliche Mengen
sind immer beschränkt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Unabhängigkeit von endlichen Abschnitten
Die Begriffe Grenzwert, Häufungspunkt und Beschränktheit
hängen nicht von endlichen Abschnitten der Folge ab.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Unabhängigkeit von endlichen Abschnitten
Die Begriffe Grenzwert, Häufungspunkt und Beschränktheit
hängen nicht von endlichen Abschnitten der Folge ab.
Lassen wir endlich viele Folgenglieder weg oder fügen endlich
viele Folgenglieder hinzu, so ändert das nichts an ihrem
Grenzwert, an ihren Häufungspunkten oder an ihrer
Beschränktheit.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.4
Verträglichkeit mit den arithmetischen Operationen
Satz Seien (an ), (bn ) Folgen mit limn→∞ an = a und
limn→∞ bn = b.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.4
Verträglichkeit mit den arithmetischen Operationen
Satz Seien (an ), (bn ) Folgen mit limn→∞ an = a und
limn→∞ bn = b.
Dann sind auch die Folgen (an + bn ), (an · bn ) und, falls
bn , b 6= 0, auch (an /bn ) konvergent und es gilt
an + bn → a + b,
an bn → ab,
an
a
→
bn
b
für n → ∞.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
an + bn → a + b:
Sei ε > 0 vorgegeben. Nach Definition der Konvergenz gibt es
N mit |an − a| < ε für alle n ≥ N1,
N2 ∈ N mit |bn − b| < ε für alle n ≥ N2 .
N1 ∈
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
an + bn → a + b:
Sei ε > 0 vorgegeben. Nach Definition der Konvergenz gibt es
N mit |an − a| < ε für alle n ≥ N1,
N2 ∈ N mit |bn − b| < ε für alle n ≥ N2 .
N1 ∈
Für n ≥ max{N1 , N2 } sind dann beide Ungleichungen erfüllt.
Für diese n folgt aus der Dreiecksungleichung
|an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < 2ε.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
an + bn → a + b:
Sei ε > 0 vorgegeben. Nach Definition der Konvergenz gibt es
N mit |an − a| < ε für alle n ≥ N1,
N2 ∈ N mit |bn − b| < ε für alle n ≥ N2 .
N1 ∈
Für n ≥ max{N1 , N2 } sind dann beide Ungleichungen erfüllt.
Für diese n folgt aus der Dreiecksungleichung
|an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < 2ε.
Damit liegen in jeder Umgebung B2ε (a + b) alle bis auf
endlich viele Folgenglieder, also limn→∞ (an + bn ) = a + b.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
an · bn → a · b:
Da eine konvergente Folge beschränkt ist, gilt |bn | ≤ M. Aus
der Dreiecksungleichung folgt für n ≥ max{N1 , N2 }
|an bn − ab|
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Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
an · bn → a · b:
Da eine konvergente Folge beschränkt ist, gilt |bn | ≤ M. Aus
der Dreiecksungleichung folgt für n ≥ max{N1 , N2 }
|an bn − ab| = |an bn − abn + abn − ab|
≤ |an bn − abn | + |abn − ab|
≤ M|an − a| + |a| |bn − b| < (M + |a|)ε,
was limn→∞ an bn = ab impliziert.
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
1
1
→
bn
b
nachzuweisen. Die Aussage folgt dann aus der Konvergenz
des Produkts.
Für die Konvergenz des Quotienten genügt es
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Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
1
1
→
bn
b
nachzuweisen. Die Aussage folgt dann aus der Konvergenz
des Produkts.
Für die Konvergenz des Quotienten genügt es
Zu ε = |b|/2 gibt es ein N3 mit
|bn | = |b − b + bn | ≥ |b| − |b − bn | > |b| − |b|/2 = |b|/2
für alle n ≥ N3 .
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Zahlen und
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Einführung
BernoulliUngleichung
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Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis
1
1
→
bn
b
nachzuweisen. Die Aussage folgt dann aus der Konvergenz
des Produkts.
Für die Konvergenz des Quotienten genügt es
Zu ε = |b|/2 gibt es ein N3 mit
|bn | = |b − b + bn | ≥ |b| − |b − bn | > |b| − |b|/2 = |b|/2
für alle n ≥ N3 .
Für n ≥ max{N1 , N2 , N3 } gilt
1
1 b − bn 2
−
=
≤ 2 |bn − b|,
bn b
bn b
|b|
also lim
n→∞
1
1
= .
bn
b
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Für
2 + n2 + n12
2n3 + 2n2 + n
an =
=
n3 + 1
1 + n13
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Für
2 + n2 + n12
2n3 + 2n2 + n
an =
=
n3 + 1
1 + n13
wenden wir den letzten Satz auf die Einzelteile in Zähler und
Nenner an:
1
→0
nk
⇒
Zähler → 2, Nenner → 1.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Für
2 + n2 + n12
2n3 + 2n2 + n
an =
=
n3 + 1
1 + n13
wenden wir den letzten Satz auf die Einzelteile in Zähler und
Nenner an:
1
→0
nk
⇒
Insgesamt daher an → 2.
Zähler → 2, Nenner → 1.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Für
2 + n2 + n12
2n3 + 2n2 + n
an =
=
n3 + 1
1 + n13
wenden wir den letzten Satz auf die Einzelteile in Zähler und
Nenner an:
1
→0
nk
⇒
Insgesamt daher an → 2.
Zähler → 2, Nenner → 1.
Bei einer rationalen Funktion in n entscheiden nur die
führenden Potenzen in Zähler und Nenner über das
Konvergenzverhalten.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.5
Grenzwerte wichtiger Folgen
Für die geometrische Folge an = q n für q ∈
q n → 0 falls |q| < 1,
R gilt
|q|n ist unbeschränkt für |q| > 1.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.5
Grenzwerte wichtiger Folgen
Für die geometrische Folge an = q n für q ∈
q n → 0 falls |q| < 1,
R gilt
|q|n ist unbeschränkt für |q| > 1.
Ist nämlich |q| = 1 + x mit x > 0, so folgt aus der
Bernoulli-Ungleichung
|q|n ≥ 1 + nx.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.5
Grenzwerte wichtiger Folgen
Für die geometrische Folge an = q n für q ∈
q n → 0 falls |q| < 1,
R gilt
|q|n ist unbeschränkt für |q| > 1.
Ist nämlich |q| = 1 + x mit x > 0, so folgt aus der
Bernoulli-Ungleichung
|q|n ≥ 1 + nx.
Ist dagegen |q| < 1, so |q|−1 = 1 + x und wie zuvor
|q|−n ≥ 1 + nx
⇒
|q|n ≤
1
→ 0.
1 + nx
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Die Geometrische Folge erschlägt (fast) alles
Man kann das letzte Beispiel noch verschärfen. Es gilt für
beliebiges m ∈
N
lim nm q n = 0 falls |q| < 1.
n→∞
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Die Geometrische Folge erschlägt (fast) alles
Man kann das letzte Beispiel noch verschärfen. Es gilt für
beliebiges m ∈
N
lim nm q n = 0 falls |q| < 1.
n→∞
Anschaulich bedeutet dies, dass q n „schneller“ gegen Null
konvergiert als nm gegen unendlich geht.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Die Geometrische Folge erschlägt (fast) alles
Man kann das letzte Beispiel noch verschärfen. Es gilt für
beliebiges m ∈
N
lim nm q n = 0 falls |q| < 1.
n→∞
Anschaulich bedeutet dies, dass q n „schneller“ gegen Null
konvergiert als nm gegen unendlich geht.
Der Beweis ist mit unseren bisherigen Mitteln nur sehr
aufwendig zu erbringen und wird noch zurückgestellt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
a
Es gilt
lim
n→∞
für jede reelle Zahle a > 0.
√
n
a=1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
a
Es gilt
lim
n→∞
√
n
a=1
für jede reelle Zahle a > 0.
Für den Beweis sei zunächst a ≥ 1. Dann ist
√
bn = n a − 1 ≥ 0 und aus der Bernoulli-Ungleichung folgt
a = (1 + bn )n ≥ 1 + nbn .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
a
Es gilt
lim
n→∞
√
n
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
a=1
für jede reelle Zahle a > 0.
Für den Beweis sei zunächst a ≥ 1. Dann ist
√
bn = n a − 1 ≥ 0 und aus der Bernoulli-Ungleichung folgt
a = (1 + bn )n ≥ 1 + nbn .
Damit
bn ≤
a−1
→0
n
⇒
lim
n→∞
√
n
a = 1.
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
a
Es gilt
lim
n→∞
√
n
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
a=1
für jede reelle Zahle a > 0.
Für den Beweis sei zunächst a ≥ 1. Dann ist
√
bn = n a − 1 ≥ 0 und aus der Bernoulli-Ungleichung folgt
a = (1 + bn )n ≥ 1 + nbn .
Damit
√
a−1
→0 ⇒
lim n a = 1.
n→∞
n
√
n −1
Für 0 < a < 1 gilt limn→∞ a = 1 und wegen b1n →
bn ≤
lim
n→∞
√
n
a=
1
= 1.
1
1
b
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
n
Es gilt limn→∞
√
n
n = 1.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
n
Es gilt limn→∞
√
n
n = 1.
Analog zum vorigen Fall setzen wir bn =
der binomischen Formel folgt für n ≥ 2
n = (1 + bn )n ≥ 1 +
also bn2 ≤
2
→ 0 und bn → 0.
n
√
n
n
2
n − 1 ≥ 0. Mit
bn2 ,
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
√
n
n
Es gilt limn→∞
√
n
n = 1.
Analog zum vorigen Fall setzen wir bn =
der binomischen Formel folgt für n ≥ 2
n = (1 + bn )n ≥ 1 +
√
n
n
2
n − 1 ≥ 0. Mit
bn2 ,
2
→ 0 und bn → 0.
n
Aufgrund von an bn → ab gilt für m ∈
√
√
√
n
lim nm = lim n n . . . lim n n = 1.
also bn2 ≤
N
n→∞
n→∞
n→∞
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.6
Konvergenz monotoner Folgen
Wir bezeichnen ein Folge (an ) als monoton wachsend
(fallend), wenn
an ≤ an+1 bzw. an ≥ an+1
für alle n.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.6
Konvergenz monotoner Folgen
Wir bezeichnen ein Folge (an ) als monoton wachsend
(fallend), wenn
an ≤ an+1 bzw. an ≥ an+1
für alle n.
Eine Folge heißt streng monoton wachsend oder fallend,
wenn für alle n die strikte Ungleichung erfüllt ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.6
Konvergenz monotoner Folgen
Wir bezeichnen ein Folge (an ) als monoton wachsend
(fallend), wenn
an ≤ an+1 bzw. an ≥ an+1
für alle n.
Eine Folge heißt streng monoton wachsend oder fallend,
wenn für alle n die strikte Ungleichung erfüllt ist.
Konvergiert eine monoton wachsende Folge (an ) gegen a, so
schreiben wir an ր a, konvergiert sie monoton fallend, so
an ց a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Satz über monotone Konvergenz
Satz Eine beschränkte, monoton wachsende oder fallende
Folge ist konvergent.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Satz über monotone Konvergenz
Satz Eine beschränkte, monoton wachsende oder fallende
Folge ist konvergent.
Beweis Sei (an ) monoton wachsend und beschränkt. Dann
ist die zugehörige Menge
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
nach oben beschränkt und besitzt ein Supremum a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Satz über monotone Konvergenz
Satz Eine beschränkte, monoton wachsende oder fallende
Folge ist konvergent.
Beweis Sei (an ) monoton wachsend und beschränkt. Dann
ist die zugehörige Menge
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
nach oben beschränkt und besitzt ein Supremum a.
Es gilt an ≤ a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Satz über monotone Konvergenz
Satz Eine beschränkte, monoton wachsende oder fallende
Folge ist konvergent.
Beweis Sei (an ) monoton wachsend und beschränkt. Dann
ist die zugehörige Menge
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
nach oben beschränkt und besitzt ein Supremum a.
Es gilt an ≤ a.
N
Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ mit aN + ε ≥ a, denn
andernfalls wäre a − ε ebenfalls eine obere Schranke.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Satz über monotone Konvergenz
Satz Eine beschränkte, monoton wachsende oder fallende
Folge ist konvergent.
Beweis Sei (an ) monoton wachsend und beschränkt. Dann
ist die zugehörige Menge
Ma = {a1 , a2 , a3 , . . .}
nach oben beschränkt und besitzt ein Supremum a.
Es gilt an ≤ a.
N
Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ mit aN + ε ≥ a, denn
andernfalls wäre a − ε ebenfalls eine obere Schranke.
Da die Folge monoton wachsend ist, gilt 0 ≤ a − an ≤ ε für
alle n ≥ N und somit limn→∞ an = a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Dieser Satz wird häufig verwendet, um die Konvergenz
rekursiv definierter Folgen nachzuweisen. Betrachte
√
an+1 = 6 + an , a0 = 0.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Dieser Satz wird häufig verwendet, um die Konvergenz
rekursiv definierter Folgen nachzuweisen. Betrachte
√
an+1 = 6 + an , a0 = 0.
Durch Induktion über n zeigen wir, dass die Folge streng
monoton wachsend ist. Der Induktionsanfang a1 > a0 ist
richtig. Ist an > an−1 , so
p
√
an+1 = 6 + an > 6 + an−1 = an .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Dieser Satz wird häufig verwendet, um die Konvergenz
rekursiv definierter Folgen nachzuweisen. Betrachte
√
an+1 = 6 + an , a0 = 0.
Durch Induktion über n zeigen wir, dass die Folge streng
monoton wachsend ist. Der Induktionsanfang a1 > a0 ist
richtig. Ist an > an−1 , so
p
√
an+1 = 6 + an > 6 + an−1 = an .
Ebenfalls durch Induktion wird bewiesen, dass die Folge
durch 3 nach oben beschränkt ist. Für a0 ist das richtig. Gilt
an < 3, so
√
√
an+1 = 6 + an < 6 + 3 = 3.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Dieser Satz wird häufig verwendet, um die Konvergenz
rekursiv definierter Folgen nachzuweisen. Betrachte
√
an+1 = 6 + an , a0 = 0.
Durch Induktion über n zeigen wir, dass die Folge streng
monoton wachsend ist. Der Induktionsanfang a1 > a0 ist
richtig. Ist an > an−1 , so
p
√
an+1 = 6 + an > 6 + an−1 = an .
Ebenfalls durch Induktion wird bewiesen, dass die Folge
durch 3 nach oben beschränkt ist. Für a0 ist das richtig. Gilt
an < 3, so
√
√
an+1 = 6 + an < 6 + 3 = 3.
Daher an ց a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.7
Teilfolgen
Sei (an )n∈N eine Folge. Für eine streng monoton wachsende
Folge (nk )k∈N natürlicher Zahlen heißt (ank )k∈N Teilfolge
von (an )n∈N .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.7
Teilfolgen
Sei (an )n∈N eine Folge. Für eine streng monoton wachsende
Folge (nk )k∈N natürlicher Zahlen heißt (ank )k∈N Teilfolge
von (an )n∈N .
Eine Teilfolge besteht ebenfalls aus unendlich vielen
Elementen und ist daher selber eine Folge.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Sei an = (−1)n + n1 .
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Sei an = (−1)n + n1 .
Mit nk = 2k ist ank = 1 +
konvergiert.
1
2k
eine Teilfolge, die gegen 1
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beispiel
Sei an = (−1)n + n1 .
Mit nk = 2k ist ank = 1 +
konvergiert.
1
2k
eine Teilfolge, die gegen 1
Durch Auswahl einer Teilfolge können wir in diesem Beispiel
einen Häufungspunkt zum Grenzwert der Teilfolge machen.
Dass dies immer möglich ist, zeigt der folgende Satz.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Häufungspunkt => Teilfolge konvergent
Satz Sei (an )n∈N eine Folge mit einem Häufungspunkt a.
Dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit
limk→∞ ank = a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Häufungspunkt => Teilfolge konvergent
Satz Sei (an )n∈N eine Folge mit einem Häufungspunkt a.
Dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit
limk→∞ ank = a.
Beweis Wir bestimmen die Folgenglieder ank induktiv.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Häufungspunkt => Teilfolge konvergent
Satz Sei (an )n∈N eine Folge mit einem Häufungspunkt a.
Dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit
limk→∞ ank = a.
Beweis Wir bestimmen die Folgenglieder ank induktiv.
Seien an1 , . . . ank mit (ni )i=1,...,k streng monoton wachsend
bereits konstruiert.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Häufungspunkt => Teilfolge konvergent
Satz Sei (an )n∈N eine Folge mit einem Häufungspunkt a.
Dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit
limk→∞ ank = a.
Beweis Wir bestimmen die Folgenglieder ank induktiv.
Seien an1 , . . . ank mit (ni )i=1,...,k streng monoton wachsend
bereits konstruiert.
Zu ε = 1/(k + 1) liegen in B1/(k+1) (a) unendlich viele
Folgenglieder.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Häufungspunkt => Teilfolge konvergent
Satz Sei (an )n∈N eine Folge mit einem Häufungspunkt a.
Dann existiert eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N mit
limk→∞ ank = a.
Beweis Wir bestimmen die Folgenglieder ank induktiv.
Seien an1 , . . . ank mit (ni )i=1,...,k streng monoton wachsend
bereits konstruiert.
Zu ε = 1/(k + 1) liegen in B1/(k+1) (a) unendlich viele
Folgenglieder.
Aus diesen wählen wir ein beliebiges ank+1 mit nk+1 > nk
aus. Dann gilt |ank+1 − a| < 1/(k + 1), woraus
limk→∞ ank = a folgt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.8
Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.8
Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.
Insbesondere enthält jede beschränkte Folge eine konvergente
Teilfolge. Ferner besitzt eine beschränkte Folge einen größten
und einen kleinsten Häufungspunkt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.8
Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.
Insbesondere enthält jede beschränkte Folge eine konvergente
Teilfolge. Ferner besitzt eine beschränkte Folge einen größten
und einen kleinsten Häufungspunkt.
Beweis Sei an ∈ (c, d ) für alle n. Sei
M = {x ∈
R : an > x für höchstens endlich viele n}.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.8
Der Satz von Bolzano-Weierstraß
Satz Jede beschränkte Folge besitzt einen Häufungspunkt.
Insbesondere enthält jede beschränkte Folge eine konvergente
Teilfolge. Ferner besitzt eine beschränkte Folge einen größten
und einen kleinsten Häufungspunkt.
Beweis Sei an ∈ (c, d ) für alle n. Sei
M = {x ∈
◮
◮
R : an > x für höchstens endlich viele n}.
M ist nichtleer, weil d ∈ M,
M ist nach unten beschränkt durch c.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß
Wir zeigen nun, dass a = inf M ein Häufungspunkt und zwar
der größte Häufungspunkt ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß
Wir zeigen nun, dass a = inf M ein Häufungspunkt und zwar
der größte Häufungspunkt ist.
Nach Definition des Infimums ist für beliebiges ε > 0
a + ε ∈ M und a − ε 6∈ M. Es gibt daher höchstens endlich
viele Folgenglieder mit an > a + ε und es gibt unendlich viele
Folgenglieder mit an > a − ε.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstraß
Wir zeigen nun, dass a = inf M ein Häufungspunkt und zwar
der größte Häufungspunkt ist.
Nach Definition des Infimums ist für beliebiges ε > 0
a + ε ∈ M und a − ε 6∈ M. Es gibt daher höchstens endlich
viele Folgenglieder mit an > a + ε und es gibt unendlich viele
Folgenglieder mit an > a − ε.
Daher ist a Häufungspunkt. Angenommen, es gibt einen
weiteren Häufungspunkt b > a. Dann wählt man einen Punkt
ξ zwischen a und b. Da oberhalb von ξ nur endlich viele
Folgenglieder liegen, kann b kein Häufungspunkt sein.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.9
Das Cauchy-Kriterium
Eine Folge (an ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0
ein N ∈ gibt mit
N
|am − an | < ε für alle m, n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.9
Das Cauchy-Kriterium
Eine Folge (an ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0
ein N ∈ gibt mit
N
|am − an | < ε für alle m, n ≥ N.
Satz Ein Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine
Cauchy-Folge ist.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.9
Das Cauchy-Kriterium
Eine Folge (an ) heißt Cauchy-Folge, wenn es zu jedem ε > 0
ein N ∈ gibt mit
N
|am − an | < ε für alle m, n ≥ N.
Satz Ein Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine
Cauchy-Folge ist.
Der Begriff der Cauchy-Folge ist oft nützlich, weil in der
Definiton der Cauchy-Folge der Grenzwert nicht vorkommt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis des Satzes
Sei an → a. Zu ε > 0 sei N ∈
n ≥ N.
N mit |an − a| < ε für alle
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Beweis des Satzes
Sei an → a. Zu ε > 0 sei N ∈
n ≥ N.
N mit |an − a| < ε für alle
Für m, n ≥ N folgt dann aus der Dreieckungleichung
|am − an | = |am − a + a − an | ≤ |am − a| + |an − a| < 2ε.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Umgekehrte Richtung
Sei (an ) eine Cauchy-Folge. Wähle in der Definition der
Cauchy-Folge ε = 1 und erhalte für alle n ≥ N
|an | ≤ |an − aN | + |aN | < 1 + |aN |.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Umgekehrte Richtung
Sei (an ) eine Cauchy-Folge. Wähle in der Definition der
Cauchy-Folge ε = 1 und erhalte für alle n ≥ N
|an | ≤ |an − aN | + |aN | < 1 + |aN |.
Die Cauchy-Folge ist damit beschränkt,
|an | ≤ max{|a1 |, . . . , |aN−1 |, 1 + |aN |}.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Umgekehrte Richtung
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat die Folge daher
eine konvergente Teilfolge ank → a für k → ∞.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Umgekehrte Richtung
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat die Folge daher
eine konvergente Teilfolge ank → a für k → ∞.
Zeige an → a. Sei ε > 0 vorgegeben.
Es gibt N ∈
N mit |am − an | < ε für alle m, n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Umgekehrte Richtung
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat die Folge daher
eine konvergente Teilfolge ank → a für k → ∞.
Zeige an → a. Sei ε > 0 vorgegeben.
Es gibt N ∈
N mit |am − an | < ε für alle m, n ≥ N.
Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein nk ≥ N mit
|a − ank | < ε.
Die Natürliche
Zahlen und
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Umgekehrte Richtung
Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß hat die Folge daher
eine konvergente Teilfolge ank → a für k → ∞.
Zeige an → a. Sei ε > 0 vorgegeben.
Es gibt N ∈
N mit |am − an | < ε für alle m, n ≥ N.
Wegen der Konvergenz der Teilfolge gibt es ein nk ≥ N mit
|a − ank | < ε.
Aus der Dreicksungleichung folgt dann für alle n ≥ N
|an − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| < 2ε
und damit die Konvergenz der gesamten Folge gegen a.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
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Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
3.10
Limes superior, Limes inferior und bestimmte Divergenz
Wir bezeichnen den größten Häufungspunkt a∗ einer
beschränkten Folge (an ) als Limes superior und den kleinsten
Häufungspunkt a∗ als Limes inferior der Folge und schreiben
a∗ = lim sup an ,
n→∞
a∗ = lim inf an .
n→∞
Die Natürliche
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Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
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Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Bestimmte Divergenz
Eine Folge (an ) divergiert bestimmt gegen unendlich,
Schreibweise limn→∞ an = ∞, wenn:
Zu jedem M ∈
R gibt es ein N ∈ N mit an ≥ M für alle n ≥ N.
Die Natürliche
Zahlen und
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Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Bestimmte Divergenz
Eine Folge (an ) divergiert bestimmt gegen unendlich,
Schreibweise limn→∞ an = ∞, wenn:
Zu jedem M ∈
R gibt es ein N ∈ N mit an ≥ M für alle n ≥ N.
Die bestimmte Divergenz gegen −∞ ist analog definiert.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Bestimmte Divergenz
Eine Folge (an ) divergiert bestimmt gegen unendlich,
Schreibweise limn→∞ an = ∞, wenn:
Zu jedem M ∈
R gibt es ein N ∈ N mit an ≥ M für alle n ≥ N.
Die bestimmte Divergenz gegen −∞ ist analog definiert.
Beispielsweise gilt limn→∞ n = ∞, aber bn = (−1)n n
divergiert nicht bestimmt.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
Strukturen
Gruppen
Modelle
Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Uneigentliche Häufungspunkte
(an ) besitzt den uneigentlichen Häufungspunkt ∞, wenn eine
Teilfolge von (an ) bestimmt gegen ∞ divergiert.
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
Mathematische
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Ein
Axiomensystem
für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
Summenformel
Angeordneter
Körper
Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-
Uneigentliche Häufungspunkte
(an ) besitzt den uneigentlichen Häufungspunkt ∞, wenn eine
Teilfolge von (an ) bestimmt gegen ∞ divergiert.
Dies ist äquivalent zur Bedingung: Zu jedem M ∈
ein n ∈ N mit an ≥ M.
Schreibe dann auch lim sup an = ∞.
R gibt es
Die Natürliche
Zahlen und
vollständige
Induktion
Einführung
BernoulliUngleichung
Die
Fibonacci-Zahlen
Mächtigkeit der
Potenzmenge
Permutationen
und Fakultät
Binomialkoeffiziente
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für die natürlichen
Zahlen
Rationale und
reelle Zahlen
Körper
Potenzen und
binomische Formel
Die geometrische
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Ganze und
rationale Zahlen
Beschränkte
Mengen, Infimum
und Supremum
Das Vollständig-