1 Lineare Abbildungen

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1
LINEARE ABBILDUNGEN
1
1 Lineare Abbildungen
1.1 Drehung um eine beliebige Achse im R3
Beschreibung
 einer
 Drehung um die Drehachse durch den Ursprung O aufgespannt vom Einheitsvektor
a
−−→ 

~e = OP =  b  um den Drehwinkel ϕ.
c
a2 + b2 + c2 = 1
(1)
z
6
.................................................................................................................................................................
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........ 1
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2 ............
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.................
................................................................................................................................................
•P
µ
¡
¡
¡
¡
O
¡
−ϕ
•
©
a© ϕ
b
R•©©
©©
x©©
©
¼
c
-
y
•Q
Dneu = T −1 · D · T
(2)
und daraus folgt:
D = T · Dneu · T −1
(3)
Dabei ist T die Koordinatentransformation vom Koordinatensystem xyz nach xneu yneu zneu , wobei
xneu durch die Punkte O und P festgelegt wird.


1
0
0


(4)
Dneu =  0 cos (ϕ) − sin (ϕ) 
0
sin (ϕ)
cos (ϕ)
Die neue Basis muss dabei bzgl. der alten Basis (= Standardbasis Σe ) angegeben werden. Dieser
Basiswechsel ist eine Zusammensetzung zweier Drehungen, nämlich:
−−→ −−→
• zuerst eine Drehung D1 um die y− Achse um den Winkel −ϕ1 = ^(OQ, OP ) (Uhrzeigersinn!)
und
−−→ −−→
• anschliessend eine Drehung D2 um die z− Achse um den Winkel ϕ2 = ^(OR, OQ).
Also

(5)
zhaw
cos (ϕ2 ) − sin (ϕ2 )

D2 =  sin (ϕ2 ) cos (ϕ2 )
0
0

0

0 
1

cos (ϕ1 ) 0

D1 = 
0
1
sin (ϕ1 ) 0

− sin (ϕ1 )

0
,
cos (ϕ1 )
ungr/drehung_bel.tex
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2
wobei
tan (ϕ1 ) = √
(6)
c
a2 + b2
(rechtwinkliges Dreieck ∆P OQ, wobei OP =
und
(7)
tan (ϕ2 ) =
b
a
p
a2 + b2
cos (ϕ1 ) =
√
sin (ϕ1 ) = c
a2 + b2 + c2 = 1)
cos (ϕ2 ) = √
a
+ b2
a2
sin (ϕ2 ) = √
b
+ b2
a2
(rechtwinkliges Dreieck ∆QOR).
Damit erhalten wir mit (5)


cos (ϕ1 ) · cos (ϕ2 ) − sin (ϕ2 ) − sin (ϕ1 ) · cos (ϕ2 )


T = D2 · D1 =  cos (ϕ1 ) · sin (ϕ2 ) cos (ϕ2 ) − sin (ϕ1 ) · sin (ϕ2 ) 
sin (ϕ1 )
0
cos (ϕ1 )
(8)
und weiter mit (6) und (7):

a

T =
 b
c
(9)
− √aac
2 +b2
− √a2b+b2



− √abc
2 +b2 
√
a2 + b2
√ a
a2 +b2
0
T in (9) ist eine orthogonale Matrix mit Determinante 1, da T eine Zusammensetzung zweier Drehungen
ist, d.h. T −1 = T T .


a

√ b
T T = (D2 · D1 )T = D1T · D2T = 
 − a2 +b2
− √aac
2 +b2
(10)
b
√ a
a2 +b2
− √abc
2 +b2
√
c
0



a2 + b2
Mit (9), (4) und (10) erhalten wir schliesslich die Drehung
D = T · Dneu · T T
(11)
im R3 um den Drehwinkel ϕ um eine Achse durch den Ursprung O gegeben mit einem Einheitsvektor.
Eingesetzt in (11) und Durchführung der Matrizenmultiplikation liefert:

a

 b

c
− √a2b+b2
√ a
a2 +b2
0
− √aac
2 +b2

1

· 0
− √abc
2 +b2  
√
0
a2 + b2
0
cos (ϕ)
sin (ϕ)

a

b

√
−
·
− sin (ϕ)  
a2 +b2
− √aac
cos (ϕ)
2 +b2
0

b
√ a
a2 +b2
− √abc
2 +b2
√
c
0

=

a2 + b2
h 2
i
h
i
2
2 2
−1)
c
a2 + a2b+b2 + aa2 +b
cos (ϕ)
ab + ab(c
cos (ϕ) − c sin (ϕ) ac [1 − cos (ϕ)] + b sin (ϕ)
2
2
2
h
i
ha +b2
i

2 2
 ab + ab(c2 −1) cos (ϕ) + c sin (ϕ)
c
b2 + a2a+b2 + ab2 +b
cos (ϕ)
bc [1 − cos (ϕ)] − a sin (ϕ)
2

a2 +b2
£
¤
ac [1 − cos (ϕ)] − b sin (ϕ)
bc [1 − cos (ϕ)] + a sin (ϕ)
c2 + a2 + b2 cos (ϕ)

Mit Hilfe von (1) können die Koeffizienten der obigen Matrizenelemente vereinfacht werden:
• Element d11 : Koeffizient von cos (ϕ):
b2 +a2 c2
a2 +b2
=
b2 +a2 (1−(a2 +b2 ))
a2 +b2
= 1 − a2
=⇒ a2 [1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
zhaw
ungr/drehung_bel.tex




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• Element d22 : Koeffizient von cos (ϕ):
a2 +b2 c2
a2 +b2
=
3
a2 +b2 (1−(a2 +b2 ))
a2 +b2
= 1 − b2
=⇒ b2 [1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
• Element d33 : Koeffizient von cos (ϕ): a2 + b2 = 1 − c2 =⇒ c2 [1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
£
¤
• Element d12 : c2 − 1 = − a2 + b2 ⇒ ab [1 − cos (ϕ)] − c sin (ϕ), (analog für d21 )
Mit diesen Vereinfachungen wird aus (11)
(12)
 2

a [1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ) ab [1 − cos (ϕ)] − c sin (ϕ) ac [1 − cos (ϕ)] + b sin (ϕ)


D =  ab [1 − cos (ϕ)] + c sin (ϕ) b2 [1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ) bc [1 − cos (ϕ)] − a sin (ϕ) 
ac [1 − cos (ϕ)] − b sin (ϕ) bc [1 − cos (ϕ)] + a sin (ϕ) c2 [1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
Allgemein gilt:
i) D in (12) ist orthogonal mit Determinante 1, da D eine Zusammensetzung aus lauter orthogonalen
Matrizen ist.
i) Zudem hat D den Eigenwert λ1 = 1, da die Drehachse bei dieser Abbildung fest bleibt (D~e = ~e).
iii) Die andern beiden Eigenwerte sind konjugiert komplex λ2.3 = a ± bj, wobei a = cos (ϕ) und
b = sin ϕ.
(13)
Spur(D) = 1 + 2 cos (ϕ) =
3
X
λk = Summe der Eigenwerte.
k=1
(14)
det(D) = 1 =
3
Y
λk = Produkt der Eigenwerte.
k=1
1.2 Spezialfälle
Drehungen um die
 Koordinatenachsen:

1
 
x− Achse: ~e =  0  : a = 1, b = c = 0
0


0

− sin (ϕ) 
cos (ϕ)
1
0

Dx =  0 cos (ϕ)
0 sin (ϕ)
(15)


0


y− Achse: ~e =  1  : b = 1, a = c = 0
0


Dy = 
(16)
cos (ϕ)
0
sin (ϕ)


0
1
0

− sin (ϕ) 0 cos (ϕ)


0


z− Achse: ~e =  0  : c = 1, a = b = 0
1

(17)
zhaw

cos (ϕ) − sin (ϕ) 0


Dz =  sin (ϕ) cos (ϕ) 0 
0
0
1
ungr/drehung_bel.tex
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4
1.3 Beispiele
1.3.1 Erstes Beispiel
Anton Howard, Lineare Algebra, p 209


A=
(18)
1
9
8
9
− 49
− 49
4
9
7
9
8
9
1
9
4
9



a) Zeigen Sie, dass A in (18) die Abbildungsmatrix einer Drehung im R3 ist.
b) Bestimmen Sie einen Einheitsvektor, der die Drehachse aufspannt.
c) Bestimmen Sie den Drehwinkel ϕ dieser Drehung.
1.3.2 Zweites Beispiel
Anton Howard, Lineare Algebra, p 218, Nr. 24.
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix einer Drehung um den Drehwinkel ϕ, wobei die Drehachse
 
1
 
vom Vektor ~v =  1  aufgespannt wird.
1
b) wie a), jetzt speziell für ϕ =
π
2
und für ϕ =
π
3.
1.4 Lösungen
1.4.1 Erstes Beispiel
a) Die Spalten a(k) , k = 1, 2, 3 sind normiert und paarweise orthogonal. Zudem ist det(A) = 1, da a(1) ×
a(2) = a(3) , d.h. die Spalten a(k) , k = 1, 2, 3 von A bilden ein Rechtssystem.
 1 
2


b) Eigenvektor v zum Eigenwert λ = 1 von A: (A − 1 · I3 )x = 0 und somit: v = µ  1 , µ ∈ R.
1


1


Schliesslich ~e = 31  2 , d.h. a = 13 und b = c = 23 .
2
c) Mit (13) erhalten wir cos (ϕ) = 12 (Spur(A) − 1) = 0 =⇒ ϕ =
π
.
2
1.4.2 Zweites Beispiel

a) Achtung: (12) ist nur für Einheitsvektoren gültig! Daher ~e =


D=

1
3
1
3
1
3
[1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
[1 − cos (ϕ)] +
[1 − cos (ϕ)] −
b)

D π2
zhaw
1
√
3
1
√
3
1
3
1
3
sin (ϕ)
sin (ϕ)
1
√
1
=  1+ 3
3
√
1− 3
1−
[1 − cos (ϕ)] −
1
3
√
3
1
√
1+ 3
√1
3
1
√
3
1


 1 , d.h. a = b = c =
1
sin (ϕ)
[1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
[1 − cos (ϕ)] +
√ 
3
√ 
1− 3 
1
√1
3

1
3
1
3

D π3 =
1
√
3
1
√
3

sin (ϕ)

sin (ϕ) 

[1 − cos (ϕ)] + cos (ϕ)
[1 − cos (ϕ)] −
1
3
sin (ϕ)
1+
[1 − cos (ϕ)] +
1
√
3
2
1
 2
3
−1
−1
2
2
2


−1 
2
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