6 Schräger Wurf

6 Schräger Wurf
Beim schrägen Wurf wird ein Körper in einem Schwerefeld schräg mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0 abgeworfen. Die Anfangsgeschwindigkeit bildet also
einen gewissen Winkel α mit der Horizontalen. Die resultierende Bewegung soll
analysiert werden. Es liegt nahe, den schrägen Wurf ähnlich wie den waagerechten
Wurf zu analysieren. Dabei wird die Luftreibung vernachlässigt.
6.1 Analyse
Der Bewegungsablauf des schrägen Wurfs kann als Zusammensetzung zwischen 2
unabhängigen Translationen aufgefasst werden, eine in horizontale Richtung und
eine in vertikale Richtung. Die Wurfbahn wird deshalb in ein x-y-Koordinatensystem
gelegt (x-Richtung: horizontal in Abwurfrichtung, y-Richtung: senkrecht nach oben):

In x-Richtung: es handelt sich um eine geradlinig gleichförmige Bewegung.
Die Geschwindigkeit in x-Richtung beträgt dabei vx = v0x = v0 · cos α

In y-Richtung: es handelt sich um den senkrechten Wurf mit der
Abwurfgeschwindigkeit v0y = v0 · sin α. In y-Richtung verändert sich die
Geschwindigkeit des Körpers ständig. Sie beträgt: vy = v0y – g·t = v0 · sin α - g·t.
Die Geschwindigkeit-Zeit-Formeln lauten:
vx = v0 · cos α
vy = v0 · sin α - g·t
Die entsprechenden Weg-Zeit-Formeln sind:
x  v0  cos   t
(1)
1
y    g  t 2  v0  sin   t
2
(2)
Die Gleichung der Wurfbahn wird hergeleitet, indem (1) nach t umgestellt wird und t
aus (1) in (2) eingesetzt wird:
x  v0  cos   t  t 
x
v0  cos 
und
2




1
1
x
x
  v0  sin   

y    g  t 2  v0  sin   t    g  
2
2
v

cos

v

cos

 0

 0

y
g
 x 2  tan   x
2
2
2  v0  cos 
Da v0, α und g konstant sind, ist die Wurfbahn eine Parabel. (siehe Figur 3.5.2)
6.2 Bestimmung von Wurfweite und Steighöhe
Unter Wurfweite xm versteht man die den maximalen in x-Richtung (parallel zum
Boden) zurückgelegten Weg. Die Steighöhe ym ist die grösste über Grund erreichte
Höhe des Körpers.
Die Wurfweite xm wird erreicht für y = 0. Durch Einsetzen in die Gleichung der
Wurfbahn erhält man:
y0
g
 x 2  tan  x  0
2
2
2  v0  cos 


g
 tan 
 x  0

x
2
2


2

v

cos

0




g
 tan  
0

x
2
2


2

v

cos

0


tan 
oder
g
x
2  v0  cos 2 
2
sin  2  v0  cos 2  2  v0  sin   cos 
x


cos 
g
g
2
2
x  0 (Abwurfpunkt  zu verwerfen)
Mit der Formel
2  sin   cos   sin 2
Ergibt sich für die Wurfweite xm:
v  sin 2
xm  0
g
2
Die Wurfweite ist proportional zum Quadrat der Abwurfgeschwindigkeit v0. Bei
Verdopplung der Abwurfgeschwindigkeit vervierfacht sich die Wurfweite.
Bei gegebener Abwurfgeschwindigkeit v0 hängt die Wurfweite vom Abwurfwinkel α
ab. Sie ist maximal, wenn
sin 2  1  2  90    45
Die maximale Wurfweite wird also erreicht für einen Abwurfwinkel von 45°. Die
Abwurfwinkel
1  45  
 2  45  
(z. B. α1 = 30° und α2 = 60°)
ergeben die gleiche Wurfweite, denn sin2α = sin(90° + 2β) = sin(90° - 2β)
Die Steighöhe ym wird erreicht nach Ablauf der Steigzeit tym. Sie wird erreicht, wenn
vy = 0 (siehe senkrechter Wurf). Dann:
v y  0  v0  sin   g  t ym  0
t ym 
v0  sin 
g
Durch Einsetzen in die Weg-Zeit-Formel für die y-Richtung ergibt sich:
1
2
y m    g  t ym  v0  sin   t ym
2
2
 v  sin  
 v  sin  
1
  v0  sin    0

ym    g   0
2
g
g




1 v0  sin 2  v0  sin 2 
ym   

2
g
g
2
2
v0  sin 2 
ym 
2 g
2
Die Steighöhe ym ist maximal bei α = 90°. Es handelt sich dann um den senkrechten
Wurf. Der Körper erreicht die Steighöhe ym bei
x ym 
xm
2
Beweis: Die maximale Wurfweite wird zum Zeitpunkt txm erreicht. Dabei gilt, durch
Einsetzen in die entsprechende Weg-Zeit-Formel (1):
xm  v0  cos   t xm  t xm 
xm
v0  cos 
2  v0  sin   cos 
2  v0  sin 
g


v0  cos 
g
2
t xm
Da t ym 
v0  sin 
(also die Hälfte von txm), muss xym auf halber Strecke zwischen 0
g
und xm liegen. Denn die Bewegung in x-Richtung erfolgt ja bei konstanter Geschw.
6.3 Aufgaben
6.3.1 Wurf eines Steins 1
Ein Stein wird unter einem Winkel von 45° mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s
abgeworfen. Wurfhöhe und Wurfweite sollen bestimmt werden. Berechnen Sie dazu
der Reihe nach:
a) die Geschwindigkeit v0x nach vorn und die Geschwindigkeit voy senkrecht nach
oben,
b) die Steighöhe ym,
c) die Steigzeit tym und die Fallzeit tF, Schlussfolgerung,
d) die Wurfweite xm.
6.3.2 Wurf eines Steins 2
Ein Stein wird mit einer Abwurfgeschwindigkeit von 20 m/s unter einem Winkel von
75°, 45° und 30° schräg nach oben geworfen.
a) Wie gross ist die Wurfweite?
b) Welche Steighöhe erreicht er?
6.3.3 Gewehrkugeln
Die Kugeln eines Gewehrs verlassen die Mündung mit einer Geschwindigkeit von
450 m/s. Soll eine Kugel ein Ziel treffen, dass sich in 100 m Entfernung auf der Höhe
der Mündung befindet, so muss der Schütze auf einen Punkt zielen, der höher liegt
als das Ziel. Wie viel höher als das Ziel ist dieser Punkt?
6.3.4 Projektil
Ein Projektil wird von einem 200 m
hohen Steilufer aus abgeschossen.
Die Anfangsgeschwindigkeit
beträgt 60 m/s, und die
Abschussrichtung ist 60° zur
Horizontalen. Wo wird das Projektil
landen, wenn der Luftwiderstand
nicht berücksichtigt wird?
6.3.5 Reale Wurfbahnen
Die hier gesehene Theorie funktioniert nur, wenn der Luftwiderstand vernachlässigt
wird. Beschreiben Sie die tatsächlichen Wurfbahnen folgender schräg
abgeschossener Körper:
a) Tischtennisball
c) Diskus beim Diskuswurf
b) Kugel beim Kugelstossen
d) Wasserstrahl (aus einem Schlauch)
6.3.6 Affe und Pfeil
Ein Wildhüter möchte mit einem Betäubungsgewehr einen Affen schiessen, der am
Ast eines Baumes hängt. Er zielt genau auf den Affen, ohne zu beachten, dass der
abgeschossene Pfeil eine Parabel durchläuft und deshalb unter dem Affen
vorbeifliegen wird. Der Affe sieht jedoch, wie der Pfeil den Gewehrlauf verlässt und
lässt sich fallen, in Erwartung, so dem Pfeil zu entgehen. Zeigen Sie, dass der Affe
unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils getroffen wird, solange
folgende Voraussetzungen erfüllt sind:
Die Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils ist so gross, dass er die Entfernung bis zum
Baum zurücklegt, bevor er auf die Erde fällt; der Affe lässt sich in dem Augenblick
fallen, während der Pfeil abgeschossen wird.
[Dieses Skript wurde durch Patrick Rendulic erstellt]