Grundlegende Konzepte

Mechanik III ETHZ, Vorlesung von Glockner 2011
Timothy Habermacher, Ismail Morgenegg auf Basis Egorov
Grundlegende Konzepte
Kreuzprodukt in 2D:
Eigenschaft:
Impuls und Drall
Impuls: Masse mal Schwerpunktgeschwindigkeit
mit m = Masse, S = Schwerpunkt des Körpers
Drall: Impulsmoment bez. eines ruhenden Punktes O + Spin des Körpers
in 2D:
falls selber Bezugspunkt
= Massenträgheitsmoment bez. S
bez. Fixpkt:
Massenträgheitsmoment
Allgemein:
Einheit:
Steiner:
a = Abstand P zu S,
n
Additivität:
Bezugspunkt
bez. Schwerpunkt(!)
für denselben
Impuls- und Drallsatz
Impulssatz:
= äussere Kraft im Punkt P
Drallsatz:
= äusseres Moment
Impuls-/Drallerhaltung:
Greifen keine äusseren Kräfte/Momente am
Starrkörper an, so ist der Impuls/Drall konstant.
Auch sind dann Schwerpunkt- und Winkelgeschwindigkeit konstant (gilt nicht für räumliche Dynamik).
Spinsatz:
Vorzeichenkonvention beachten!!! (Moment und Winkelkoordinaten Richtung beachten!)
26. Jan 12 - 1
Kraftgesetze äusserer Kräfte
Haften:
Für Rollen: Haften
Rollbed.
Gleiten: (Coulomb'sche Reibung)
Rollbedingung:
für Rollen ohne Schlupf/Gleiten
Energie
Kinetische Energie:
= Transl. + Rotationsenergie
Potentielle Energie:
Feder:
Drehfeder:
Lagepotential:
Additivität:
Konservatives System:
...ist ein System aus Starrkörpern, auf welche nur Potentialkräfte angreifen.
Potentialkräfte:
...sind Kräfte aus idealen Bindungen, Federn, Haftreibung etc.
Kräfte dissipativer Elemente (wie Dämpfer, Gleitreibung) und äussere Kräfte sind keine Potentialkräfte.
Energieerhaltung konservativer(!) Systeme:
oder
Frage nach dissipierter Energie:
(für jedes unabhängige Element)
oder Leistungsintegral
Schlagartiges koppeln von Körpern A6.3 ist immer dissipativ!
Vorgehen Bewegungsgleichung herleiten
Bewegungsgleichung hat die Form:
A) System Freischneiden, nötige Koordinaten einführen
1. Impuls und Drallsatz für jeden Körper anwenden
2. Kinematische Relationen
26. Jan 12 - 2
3. Bindungsgleichungen
4. mit 2. 3. und 4. unbekannte eliminieren; Bewegungsgleichung herleiten
B) Oder mit Energieerhaltung (funktioniert nur, wenn das System 1 Freiheitsgrad hat, und Energieerhaltung gilt!)
Lineare Schwingungen, 1 Freiheitsgrad
Harmonischer Oszillator:
Ansatz:
Grundproblem
Kraftanregung
Weganregung:
Zugehöriges System 1. Ordnung: setzte
Dämpfungswert:
Eigenkreisfrequenz:
Lehr'sche Dämpfung: (dimensionslos)
=
Eingesetzt:
Dimensionsloser Zeitwert:
mit
Normierte Erregerfunktion:
Eingesetzt: (transformiertes Grundproblem)
Vereinfachung:
mit:
und
für
für
bzw.
.
Diskussion der homogenen Lösung
DGL (freie Schwingung):
Ansatz:
Char. Polynom:
EW:
Homogene Lösung durch Superposition:
26. Jan 12 - 3
Ungedämpftes System, D=0
EW:
Lösung:
Frequenz:
Periode:
[Hz]
[s]
Unterkritisch gedämpftes System, 0 < D < 1
EW:
Lösung:
nicht periodisch aber:
Starke Dämpfung:
ab D > 0.3
Pseudokreisfrequenz:
Logarithmisches Dekrement:
Ausschwingversuch: Finden zweier Maxima und Berechnen von
.
Kritische Dämpfung, aperiodischer Grenzfall, D = 1
EW:
(doppelt)
Lösung:
26. Jan 12 - 4
Überkritische Dämpfung, D > 1
EW:
mit
Lösung:
Grenzfall,
Masse an Feder in Honig
Masse vorspannen, mit loslassen. Baut sich
extrem schnell ab, Feder zieht Masse ganz langsam
durch den Honig
Verlauf der Eigenwerte in Abhängigkeit von D
Vergleich Einschwingverhalten
Anfangsbed:
• Stossfreies loslassen aus Ausgangslage
•
•
26. Jan 12 - 5
Diskussion der partikulären Lösung
Harmonische Anregung (erzwungene Schwingung):
mit
Erregeramplitude
Erregerfrequenz
Lösung:
G
Leersche Dämpfung:
esammtamplitude: alles vor dem cos
Amplitudengang:
Phasengang:
Phasenverhältnis:
Achtung: der Ansatz gilt nicht wenn
.
Phasensprung bei
Amplituden
Resonanz,
Diskussion der allgemeinen Lösung
D > 0 asymptotisch stabil (
für
gilt
D = 0 grenzstabil (
), homogene Lösung klingt ab
), homogene Lösung klingt nicht ab
Schwebung
wenn
Resonanz
instabil, wenn
(lineares Amplitudenwachstum)
Lineare Schwingungen, f Freiheitsgrade
Struktur der linearen DGL
Linearisiertes System:
M, B, C reelle Matrizen, konstant,
Massenmatrix:
Dämpfungsmatrix:
Steifigkeitsmatrix:
Matrix der zirkulierenden Kräfte:
Erregerfunktion
Gyro-Matrix:
26. Jan 12 - 6
M-D-G-K-N-System:
Beispiel:
Zusammenfassung Homogene LSG nach Glocker
•
DGL mit Ansatz
•
Eigenwerte
EW
•
Eigenwerte und Basislösung
Für ein System mit
•
Freiheitsgrade müssen
Basislösungen gefunden werden.
Hauptvektoren und Basislösung
Wenn der gleiche EW
mal vorkommt, müssen
wobei
•
Hauptvektoren gefunden werden.
der Eigenvektor, und
der Hauptvektor zu
ist.
final: Homogene Lösung
Das M-K-System
K positiv-semidefinit :
Ansatz:
Eingesetzt:
Fall
Lösung:
Fall
Lösung:
EW:
K positiv-definit (
(
schnelle Eigenform
hoher EW)
)
Diagonalisierung, Modalmatrix:
,
,
26. Jan 12 - 7
Modale Koordinaten: Durch Wahl von
ergeben sich f entkoppelte Gleichungen
Das M-K-D-System / M-K-System mit Dämpfung nach Bequemlichkeit
Bequemlichkeitshypothese:
Da Dämpfungen in der Praxis sehr schlecht bestimmbar sind setzt man:
Aus Bequemlichkeit folgt: Die Matrix U des M-K-Systems diagonalisiert auch das M-K-D-System.
Stabilität des M-D-G-K-N Systems
asymptotisch stabil falls
grenzstabil falls
Kinematik
Wir betrachten einen Vektor, dargestellt in verschiedenen Koordinatensystemen.
Koordinatentransformation
Vektortransformation:
= Transformationsmatrix von D nach B
D: Ausgangssystem, B: Zielsystem
Transformationsmatrix:
Elementardrehungen:
um x mit
um y
um z
Zum Vorzeichen vom Sinus: Es ist diejenige Spalte i von
positiv, dessen Einheitsvektor zwischen zwei
anderen Einheitsvektoren( und ) liegt. Beachte dabei, dass der eingezeichnete Winkel nur als Winkel
zwischen 0 Grad und 90 Grad liegen darf.
Hintereinanderschaltung:
5.2 Drehgeschwindigkeiten zwischen zwei Koordinatensystemen
Vektorprodukt ↔ Matrixprodukt:
mit
und
gilt
Winkelgeschwindigkeit:
26. Jan 12 - 8
= Winkelgeschwindigkeit von D gegenüber B
Elementargeschwindigkeiten:
um x
um y
Transformation von Drehgeschwindigkeiten:
Hintereinanderschaltung:
um z
analog zu anderen Vektoren
Ableitung von Vektoren in bewegten Systemen
Immer bezüglich dem I-System, da die Gesetzte der Ableitung bez. I-System sind.
Euler'sche Differentiationsformel:
Berechnung von Geschwindigkeiten
Allgemein:
Starrkörperformel: (Mech I)
= abs. Winkelgeschwindigkeit des Starrkörpers
wenn Q auf Körper K, O in Ruhe:
Winkelbeschleunigung
Meist mit
Es muss also in bewegten Systemen
nicht immer geeulert werden!!
spezielle Basis J:
spezielle Basis K:
Berechnung von Beschleunigungen
Allgemein: Geschwindigkeit mit Euler ableiten
Starrkörperformel:
mit
= abs. Winkelbeschleunigung Starrkör.
Sonstiges
Singuläre Stellung: Sei eine lineare Abb. Wenn
nicht mehr voneinander unterscheidbar.
: keine Knotenlinie, deswegen sind 2 Winkel
26. Jan 12 - 9
Kinetik des Starrkörpers
6.1 Kinetische Energie Starrkörper
5x der selbe Bezugspunkt (P), jeder Summand kann in einem beliebigen KS ausgewertet werden.
Trägheitstensor
Wechsel des Koordinatensystems:
Wechsel des Bezugspunkts (Steiner):
Umrechnung immer über SP
Definition:
: Massenträgheitsmomente
: Defiationsmomente
Im körperfesten KS ist
konstant.
,
,
mindestens positiv-semidefinit
,
Der Trägheitstensor ist eine Symmetrische reelle Matrix. Damit sind seine EW reel und die EV sind orthogonal
zueinander, also auch orthonormierbar (auf 1 normierbar) und als Rechtssystem anordenbar. Damit exisitier ein
körperfestes KOS K, in dem der Trägheitstensor diagonal ist.
Der Trägheitstensor muss also Symmetrisch, Diagonalisierbar und mindestens PSD sein.
Reihenfolge beim Herstellen von Diag.
(immer diese Reihenfolge!)
1) Berechne:
aus
mit Steiner
2) Diagonalisiere:
wobei:
3)
ist jetzt in K ein Hauptachsensystem
Punktmasse
Quader
mit
Zylinder
26. Jan 12 - 10
Statisches Auswuchten:
= Vektor vom alten zum neuen Schwerpunkt
= Vektor vom alten SP zum SP von
, R schleifend an K um z
Schleifendes Koordinatensystem: z.B.
Impuls, Drall, Spin
Impuls:
Impulsänderung:
Drall:
Dralländerung:
Spin:
Spinänderung:
Auswertung Impuls
Auswertung Drall
Auswertung Spin
Vorgehen bei Handrechnung
1. Wähle Bezugspunkt beim Drall
S ruhend:
wähle O = P = S
Körper hat Fixpunkt P:
wähle O = P
Allgemein:
wähle P = S
2. Berechne
und
, ist
const?
3. Leite mit Euler ab
4. Werte Impuls-/Drallsatz aus
Impuls-/Drallerhaltung
Greifen keine äusseren Kräfte und Momente an, so ist der Impuls, der Drall und der Spin des Körpers konstant.
Der Massenmittelpunkt bewegt sich dann geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
Aus Spin=konstant folgt im Allg. nicht
Dann folgt
.
= konstant. Es sei denn
zeigt in Richtung der Hauptträgheitsachsen.
Stichwörter
•
„Eigenform/Moden bestimmen:“
Berechne Eigenwerte und Eigenvektoren. Wenn der Eigenvektor
(1,-1) ist schwingt das System gegeneinander.
•
„Zwischen beiden Rollen trete reines gleiten auf.“ Es besteht keine kinematische Relation zwischen den
Rollen
•
„Zweimassenschwinger:
, die Auslenkung der beiden Massen aus dem statischen GGW des
Systems.“ Es müssen also keine Gewichtskräfte mit eingeführt werden!!
•
„Das System kann als bereits eingeschwungen betrachtet werden.“ Meint, dass die Homogene Lsg.
bereits abgeklungen ist und nur die Partikuläre Lsg. betrachtet werden muss.
26. Jan 12 - 11
Die Wellengleichung
d'Alembertsche Lösung:
c: Wellenausbreitungsgeschw.
u_f:Rechtswelle
Scharen
heissen Charakteristiken
und
u_g: Linkswelle
Stehende Welle:
Ansatz:
: Amplitudenfunktion
: Zeitfunktion
Allg. Lösung der Wellengleichung mit obigem Ansatz:
Wellenzahl:
Wellenlänge:
Beispiel Saite:
RB:
a)frei-frei
b)frei-fest
c)fest-fest
Beispiel für b) frei-fest
Das verwursteln der RB ergibt:
,
Eigenfrequenz:
Wellenzahl:
führt auf j-Eigenformen:
Wellenlänge:
Anhang
Trigo
tan =
2
1
2
2 =1tan 
cos 
sin 
cos 
2
tan ⋅cot =1
sin cos =1
cot =
1
2
2 =1cot 
sin 
cos
sin 
sin =sin cos ±cos sin 
cos=cos cos∓sin sin 
sin 2=2 sin cos
2
2
2
2
cos 2=cos −sin =2cos −1=1−2sin 
Integrale
26. Jan 12 - 12
Koordinatentransformation
Sphärisch
Zylindrisch
Eigenschaften von Matrizen
A
Eigenschaft
EW
symmetrisch
reell
schiefsymmetrisch
imaginär
positiv-semidefinit
positiv-definit
[ ]
Inverse: M = a b
c d
−1
M =
[
1
d −b
det  M  −c a
]
Abbildung; Bsp: Drehung um zAchse:
Kronacker Delta:
Ellipsengleichung:
a = grosse Halbachse, b = kleine Halbachse,
Polare Form:
Taylor-Entwicklung:
Zum Beispiel für Sinus um GGW-Pkt:
Umgang mit imaginärer DGL-Lsg
Phasenverschiebung mit 2 neuen Konstanten
Relativer Fehler Berechnung: (gemessene Verschiebung - tatsächliche Verschiebung) / gemessene
Verschiebung
26. Jan 12 - 13
Schwerpunkt:
Kugel:
Gerader Kreis-Kegel:
Mech 1,2
Deformationsenergien U (beliebig kombinierbar durch Addition):
Zug Druck:
;
(
manchmal = ,
Biegung:
;
Schiefe Biegung:
Torsion:
;
lin. el. Feder:
)
oder
Ersatzsteifigkeit c eines massenlosen Biegebalkens mit Dreh-Auflager und Dreh-Festlager:
Torsionsstab: aus Verdrehnug
folgt
Polares Flächenträgheitsmoment
und
: Torsionsfederkonstante. (Kreisquerschn
)
DGL-Ansätze
Standartsubstitution für DGL mit Form
,
Linearisierung um Punkt
oder
:
oder
Eigenwertberechnung für Bewegungsgleichung mit unabhängigen Gleichungen. Wenn die Zeile (a)
unabhängig von B und C ist, kann das System als 2 unabhängige Subsysteme angesehen werden. Es vereinfacht
die Eigenwert und Eigenvektorenberechnung ungemein.
26. Jan 12 - 14