1. Grundlagen:

Formelsammlung Technische Mechanik
Xiaojing Zhang
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二〇一〇年十月三十一日星期日
1. Grundlagen:
• Freiheitsgrad = mindestens benötigte Anzahl Lagekoordinaten:
𝑓 =𝑛−𝑏
• Starrer Körper hat Freiheitsgrad 6 in 3D resp. 3 in 2D:
FG aller Körper - # unabh. Bindungsgl.
• t → r⃗(t): 𝑟⃗ = Ortsvektor, |𝑣⃗| = Schnelligkeit
1. 𝑟⃗ = 𝑥𝑒⃗𝑥 + 𝑦𝑒⃗𝑦 + 𝑧𝑒⃗𝑧 ,
𝑣⃗ = 𝑥̇ 𝑒⃗𝑥 + 𝑦̇ 𝑒⃗𝑦 + 𝑧̇ 𝑒⃗𝑧 ,
|𝑣⃗| = �𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2
2. 𝑟⃗ = 𝜌𝑒⃗𝜌 + 𝑧𝑒⃗𝑧 , 𝑣⃗ = 𝜌̇ 𝑒⃗𝜌 + 𝜌𝑒⃗𝜌̇ + 𝑧̇ 𝑒⃗𝑧 = 𝜌̇ 𝑒⃗𝜌 + 𝜌𝜑̇ 𝑒⃗𝜑 + 𝑧̇ 𝑒⃗𝑧 , |𝑣⃗| = �𝜌̇ 2 + 𝜌2 𝜑̇ 2 + 𝑧̇ 2
𝑒⃗𝜌 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒⃗𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒⃗𝑦
𝑒⃗𝜑 = − sin 𝜑 𝑒⃗𝑥 + cos 𝜑 𝑒⃗𝑦
3. 𝑟⃗ = 𝑟𝑒⃗𝑟 , 𝑣⃗ = 𝑟̇ 𝑒⃗𝑟 + 𝑟𝜑̇ 𝑒⃗𝜑
𝑒⃗𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒⃗𝜌 − 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒⃗𝜑
𝑒⃗𝑦 = sin 𝜑 𝑒⃗𝜌 + cos 𝜑 𝑒⃗𝜑
(φ̇ für Winkelgeschwindigkeit)
1.2/1.3 Starre Körper / Ebene Bewegungen(nicht deformierbar):
�⃗′𝑸 = 𝒗
�⃗′𝑷
• Satz der projizierten Geschwindigkeit:
𝒗
• Ebene momentane Bewegung ist
1. Translation: 𝑣⃗𝑄 = 𝑣⃗𝑃
2. Rotation um Momentanzentrum M: 𝑣⃗𝑃 ⊥ 𝑟⃗𝑃𝑀 , 𝑣⃗𝑄 ⊥ 𝑟⃗𝑄𝑀 , 𝜔
�⃗ ⊥ 𝐸𝑏𝑒𝑛𝑒
• 𝑣𝑃 = 𝜔 ∙ 𝑟𝑃 , 𝑣𝑄 = 𝜔 ∙ 𝑟𝑄
ω=Rotationsschnelligkeit
• Momentanzentrum ist ein ruhender Punkt
• Bahn des Momentanzentrums: Feste und bewegliche Polbahn bei bewegendem Körper
• Bei System von mehreren starren Körpern muss man das Momentanzentrum und die
Rotationsgeschwindigkeit für jeden einzelnen Körper bestimmen.
• Translation entspricht einer Rotation mit unendlich weit entferntem Momentanzentrum
1.4 Räumliche Bewegungen:
•
•
•
•
Kreiselung (=momentane Rotation): 𝑣⃗𝑃 = 𝜔
�⃗ × 𝑟⃗𝑃
(𝜔
�⃗ unabhängig vom Bezugssystem)
���⃗ × 𝐫⃗𝐁𝐏 ( ω
Umrechnungsformel
𝐯�⃗𝐏 = 𝐯�⃗𝐁 + 𝛚
��⃗ ist Rotationsgeschwindigkeit)
Kinemate: {𝑣⃗𝐵 , 𝜔
�⃗}, beschreibt die Charakteristik einer Bewegung
���⃗ , 𝑰𝟐 = 𝝎
���⃗ ∙ 𝒗
�⃗𝑩
Invarianten: 𝑰⃗𝟏 = 𝝎
(𝑣⃗𝐵 ist entweder senkrecht oder parallel zu 𝜔
�⃗)
1. Translation: 𝜔
�⃗ = 0
2. Rotation:
𝜔
�⃗ ≠ 0 ⋀ 𝐼2 = 0 (𝜔
�⃗ ⊥ 𝑣⃗𝐵 ) um eine (imaginäre) Achse
3. Schraubung: 𝐼2 ≠ 0
(𝜔
�⃗ ∥ 𝑣⃗𝐵 )
1.5 Kraft und Moment (Moment senkrecht zum Kraft- und Ortsvektor):
��⃗𝑂 = ∑ 𝑟⃗ × 𝐹⃗ [Nm]=[m2 s-2kg] (Moment immer bezüglich eines Punktes )
• 𝑀
��⃗ � = |𝑟⃗| ∙ �𝐹⃗ � ∙ sin 𝜑 = dF
• �𝑀
(d ist Hebelarm und senkrecht zur Wirkungslinie von 𝐹⃗ )
𝑂
��⃗ bezüglich einer Achse: Kraft Normalebene zur Achse projizieren, den Betrag der Projektion
• 𝑀
mit ihrem Abstand von der Achse multiplizieren und das richtige Vorzeichen setzen (Korken)
1.6 Leistung:
• ℘ = 𝐹⃗ ∙ 𝑣⃗ [W]=[Js-1]=[N s-1m], falls ℘ = 0 ⇿ leistungslos
��⃗𝑂 ∙ 𝜔
• Bei reiner Rotation: ℘ = 𝑀
�⃗
• Gesamtleistung mehrerer Kräften ∑𝑖 ℘𝑖 : entweder direkt ℘ = 𝐹⃗ ∙ 𝑣⃗ einsetzen oder Rotation
und Translation separat berechnen
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2. Statik:
���⃗𝚤 }
��⃗𝚤 �, {𝐺
2.1 Äquivalenz und Reduktion von Kräftegruppen �𝐹
𝑁
• Resultierende von {𝐹⃗𝑖 } = �𝐹⃗1, 𝐹⃗2 , … , 𝐹⃗𝑁 �: 𝑅�⃗ = ∑𝑖=1 𝐹⃗𝑖 unabhängig vom Bezugspunkt
��⃗𝑂 = ∑𝑁
⃗
• Resultierendes Moment bezüglich O: 𝑀
𝑖=1 𝑟⃗𝑖 × 𝐹𝑖 abhängig vom Bezugspunkt
𝑁
• Gesamtleistung:
℘ = ∑𝑖=1 𝐹⃗𝑖 ∙ 𝑣⃗𝑖
��⃗𝐵 ∙ 𝜔
Starrkörperbewegungen: ℘ = 𝑅�⃗ ∙ 𝑣⃗𝐵 + 𝑀
• Stat. Äquivalent: ℘��𝐹⃗𝑖 �� = ℘(�𝐺⃗𝑖 �) ∀ Starrkörperbewegungen
Innerhalb statischer Äquivalenz dürfen Kräfte längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden
��⃗𝑃 ��𝐹⃗𝑖 �� = 𝑀
��⃗𝑃 ��𝐺⃗𝑖 ��
• 2 Kräftegruppen sind statisch äquivalent, wenn 𝑅�⃗ ��𝐹⃗𝑖 �� = 𝑅�⃗ ��𝐺⃗𝑖 �� ⋀ 𝑀
• 2 Kräfte sind genau dann statisch äquivalent, wenn sie vektoriell gleich und sind ihre
Wirkungslinie übereinstimmen
• Am starren Körper ist die Kraft ein linienflüchtiger Vektor.
��⃗�𝐹
��⃗𝚤 � = 𝑀
��⃗𝚤 � = 0
• Nullsystem:
𝑅�⃗ �𝐹
⃗
��⃗
• Zentrale Kräftegruppe: 𝑅�⃗ = ∑𝑁
𝑖=1 𝐹𝑖 und 𝑀𝑂 = 0 (Wirkungslinien gehen durch denselben Pt.)
�⃗
��⃗
⃗
• Kräftepaar: 𝑅 = 0 und 𝑀 = 𝑟⃗ × 𝐹 (nur hier ist das Moment unabhängig vom Bezugspunkt)
��⃗� = 𝑑�𝐹⃗ �
�𝑀
��⃗𝑂 } beschreibt die Charakteristik einer Kraft
• Dyname: {𝑅�⃗ , 𝑀
���⃗𝑷 = 𝑴
���⃗𝑶 + 𝒓
��⃗
�⃗𝑷𝑶 × 𝑹
• Transformationsregel: 𝑴
��⃗, 𝑰𝟐 = 𝑹
��⃗ ∙ 𝑴
���⃗𝑶
• Invarianten: 𝑰⃗𝟏 = 𝑹
1. Nullsystem:
2. Kräftepaar(Moment):
3. Einzelkraft:
4. Schraube:
2.2 Kräfte- und Massenmittelpunkt:
𝑅�⃗ = 0
𝑅�⃗ = 0
𝑅�⃗ ≠ 0
𝑅�⃗ ≠ 0
⋀
⋀
⋀
⋀
��⃗𝑂 = 0
𝑀
��⃗𝑂 ≠ 0
𝑀
��⃗𝑃 = 0 (𝑅�⃗ ⊥ 𝑀
��⃗𝑃 )
𝐼2 = 𝑅�⃗ ∙ 𝑀
��⃗𝑃 ≠ 0 (𝑅�⃗ ∥ 𝑀
��⃗𝑃 )
𝐼2 = 𝑅�⃗ ∙ 𝑀
• Resultierende im Fall von paralleler Kräftegruppe: 𝑅�⃗ = ∑ 𝐹⃗𝑖 = 𝑅 ∙ 𝑒⃗ , wobei 𝑅 = ∑ 𝐹⃗𝑖
��⃗𝑂 = (∑𝑁
• 𝑀
𝑖=1 𝐹 ∙ 𝑟⃗𝑖 ) × 𝑒⃗𝑖  Moment lässt sich auf eine Einzelkraft reduzieren
1. R=0
��⃗ = 𝑁
�⃗ × 𝑒⃗ 𝑚𝑖𝑡 𝑁
�⃗ = ∑𝑁

Dipolmoment der Kräftegruppe: 𝑀
𝑖=1 𝐹𝑖 𝑟⃗𝑖
𝑁

Dipolmoment der Punkladegruppe: 𝑃�⃗ = ∑𝑖=1 𝑞𝑖 𝑟⃗𝑖
�⃗ = 𝐸𝑃�⃗ (E ist hom. Elektr. Feld)

𝑁
��⃗ = 𝑁
�⃗ × 𝑒⃗ = 𝐸𝑃�⃗ × 𝑒⃗ = 𝑃�⃗ × 𝐸�⃗

𝑀
2. R≠0 ↔ statisch äquivalent zur Einzelkraft
1

r⃗c = ∑N
⃗i mit R = ∑ 𝐹⃗𝑖
(C ist der Kräftemittelpunkt)
i=1 Fi ∙ r


R
Schwer-/Massenmittelpunkt: ��⃗
𝑟𝑐 =
𝑟⃗ ∙ 𝑑𝑚
Beim homogenen Körper: ��⃗
𝑟𝑐 = ∭𝐾 𝑟⃗ ∙ 𝑑𝑉 3D
𝑉
𝑟��⃗𝑐 =

1
1
∭𝐵
𝑚
𝑟��⃗𝑐 =
1
∬ 𝑟⃗ ∙ 𝑑𝐴
𝐴 𝐾𝐴
1
∫ 𝑟⃗ ∙ 𝑑𝑠
𝐿 𝐾𝐿
2D
(B: mat. Bereich, m: Gesamtmasse)
1C
Gesamtgewicht eines ganzen Körpers: 𝐺𝑟��⃗𝑐 = ∑ 𝐺𝑖 �𝑟⃗𝚤
 oft helfen Symmetrien!
dann komponentenweise
integrieren
(𝐺𝑖 Gewicht des i-ten Körpers)
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2.3 Prinzip der virtuellen Leistung (PdvL): {𝑣
�,
�}
0 𝜔
• Ein virtueller Bewegungszustand ist ein gedachter Zustand, der nicht real sein muss. Er kann
Bindungen verletzen.
� =℘
� (𝑖) + ℘
� (𝑎) = 0 ∀{𝑣�}
• Ein System befindet sich dann in Ruhelage, wenn ℘
gilt.
(𝒊)
(𝒂)
(𝑖)
(𝑎)
� =℘
� +℘
� = 𝟎, ∀{𝒗
�}
• ℘
℘ für innere Kräfte und ℘ für äussere Kräfte
2.4 Hauptsatz der Statik (HS):
• In einer Ruhelage eines Systems müssen alle (äusseren) Kräfte im Gleichgewicht sein:
�+𝑀
�, 𝜔
�⃗ und ������⃗
�⃗ oder ℘
��⃗𝑂 ∙ 𝜔
�𝑹
�⃗ = �𝑶
� = 𝑅�⃗ ∙ 𝑣
𝑴𝑶 = �𝑶
����⃗
� = 0, ∀{𝑣
����⃗
𝑂
𝑂 �}
�
℘ = 0 (PdvL)
�⃗ und 𝑀
�⃗
������⃗
•
Ruhelage
𝑅�⃗ = 𝑂
𝑂 = 𝑂 (ein beliebiges System)
�⃗ und 𝑀
�⃗
������⃗
(6 Gleichungen im Raum,
𝑅�⃗ = 𝑂
𝑂 = 𝑂 (einem starren Körper)
3 Gleichungen in der Ebene pro starren Körper)
2.5 Bindungen: Lagerkräfte/-momente, Reaktionen
• Bindungen schränken Bewegungsfreiheit eines Körpers ein
• In jeder Bindung muss vorerst eine vollständige Dyname eingeführt werden → falls gewisse
zulässige Bewegungen reibungsfrei sind → Kraft- bzw. Momentkomponente weglassen
• Systeme mit mehr Bindungen als Gleichungen können evtl. getrennt werden, wenn diese
reibungsfrei miteinander verbunden sind, Reaktionsprinzip ist zu beachten
• Statisch unbestimmt, falls mehr Bindungen als Gleichungen vorhanden sind
#Bindungen - #Gleichungen = Grad der Unbestimmtheit
Alternativ: Grad = #entfernte Bindungen, damit das System zur Ruhe gezwungen wird
• Kinematisch unbestimmt, falls auf Grund Lagerung zulässige Bewegungen möglich sind.
• Statisch bestimmt: Lagerkräfte und –momente lassen sich eindeutig aus den
Gleichgewichtsbedingungen berechnen
• Normalkräfte stehen senkrecht zur Berührungsebene
Auflager
(einseitig)
Auflager
(beidseitig)
Auflager
(beidseitig)
Gelenk
Gelenk
(2 Stäbe)
Einspannung
Faden / Seil
Pendelstütze
(keine Kräfte am Stab)
Längs- und kurzes
Querlager
Langes Querlager
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2.6 Analytische Statik:
• Falls bei einem System nur wenige Kräfte gesucht sind → PdvL mit geschicktem 𝑣�, 𝜔
�
• Falls man viele/alle Bindungskräfte sucht, lohnt sich die Trennung des Systems und die
Anwendung des Hauptsatzes der Statik auf alle Teile.
• Moment in der Ebene verschwindet nur dann, wenn alle Kräfte durch denselben Punkt gehen
(nützlich, um Position einer unbekannten Normalkraft abzuschätzen)
Lösungsschritte für PdvL:
1.
2.
3.
4.
5.
Stab entfernen und Stabkraft auf beiden Enden als Zugkraft einführen
Einen geschickten virtuellen Bewegungszustand und die nötigen Kinemate bestimmen
Leistungen der angreifenden Kräfte aufsummieren und gleich null setzen (PdvL)
Nach Stabkraft auflösen: Zugstab (+), Druckstab (-)
Diskussion (Zug-/Druckstab, Normalkraft in richtige Richtung, Fadenkräfte gespannt,
|Distanz von Normalkraft bis zum Mittelpunkt| <= Länge/2 )
Lösungsschritte für Hauptsatz der Statik:
1.
2.
3.
4.
5.
System freischneiden (Kräfte statt Lager) → neue Skizze
Äussere Lasten und Bindungskräfte einführen
Koordinatensystem wählen
Gleichungen und Unbekannte abzählen → statisch bestimmt?
Komponentenweise Formulierung der Gleichgewichtsgedingungen (Moment bezüglich des
Punktes, wo möglichst viele Unbekannte verschwinden, z.B. an Lagerpunkten)
6. Falls nötig: System trennen (Schnittkräfte oder Momente einführen)
7. Gleichungen auflösen
8. Diskussion (Zug-/Druckstab, Normalkraft in richtige Richtung, Fadenkräfte gespannt,…)
�⃗
��⃗
�⃗ ⃗
����⃗
����⃗
����⃗
�𝐹
𝑅 � ≤ 𝜇0 �𝑁� sonst gleiten, �𝑀� ≤ 𝜇2 �𝑁� , 𝐹𝑆𝑒𝑖𝑙 ≥ 0 , 𝐹𝑁 ≥ 0 , |Angriffspunkt| 𝐹𝑁 am Körper,
Kontaktkräfte > 0?
2.7 Reibung (ideal rau: 𝜇0 = ∞ und 𝜇2 = 0):
• Def: Bindungskräfte/-momente in Richtung der zulässigen Bewegungen:
𝑣⃗ → Kraft , 𝜔
�⃗ → Moment (kann meist weggelassen werden)
�⃗�, 𝜇0 heisst Haftreibungskoeffizient
• Haftreibung:
𝑣⃗𝐵 = 0
�𝐹⃗ � ≤ 𝜇0 �𝑁
Liefert ein Kriterium dafür, dass Ruhe wirklich möglich ist → Pkt. 8 vom Arbeitsweg
• Gleitreibung:
𝐹=
�⃗�,
�𝐹⃗ � = 𝜇1 �𝑁
�⃗� 𝑣�⃗𝑏
−𝜇1 �𝑁
|𝑣
����⃗|
𝑏
𝜇1 heisst Gleitreibungskoeffizien, für 𝑣⃗𝐵 ≠ 0
Dieses Gesetz liefert eine zusätzliche Gleichung!
�⃗� für 𝜔
�����⃗𝑓 � ≤ 𝜇2 �𝑁
�⃗=0, Kriterium für Ruhe → Pkt. 8
�𝑀
�
�����⃗
⃗
�⃗ ≠ 0, liefert eine zusätzliche Gleichung
�𝑀𝑓 � = 𝜇2 �𝑁� für 𝜔
�����⃗𝑓 � ist umgekehrt gerichtet zu 𝜔
�⃗, 𝜇2 [𝑚] heisst Rollreibungslänge
�𝑀
• Rollreibungsgesetz:
�����⃗𝑓 � ≤ 𝜇0 𝑟1 √𝐴2 + 𝐵2 , A, B sind Zapfenkräfte
• Lagerreibung: Fall der Ruhe: �𝑀
�����⃗𝑓 � = ±𝜇0 𝑟1 √𝐴2 + 𝐵2 , r1 ist Lagerradius
Bewegung: �𝑀
• Allgemein: 𝜇0 ≥ 𝜇1
• Reibungsfrei: keine Reaktion in Richtung der zulässigen Bewegung
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3.1 Beschleunigung
• t → r⃗(t), 𝜑(𝑡), 𝜌(𝑡), 𝑧(𝑡)
1. 𝑟⃗ = 𝑥𝑒⃗𝑥 + 𝑦𝑒⃗𝑦 + 𝑧𝑒⃗𝑧 ,
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3. Dynamik
𝑣⃗ = 𝑥̇ 𝑒⃗𝑥 + 𝑦̇ 𝑒⃗𝑦 + 𝑧̇ 𝑒⃗𝑧 ,
𝑎⃗ = 𝑥̈ 𝑒⃗𝑥 + 𝑦̈ 𝑒⃗𝑦 + 𝑧̈ 𝑒⃗𝑧
2. 𝑟⃗ = 𝜌𝑒⃗𝜌 + 𝑧𝑒⃗𝑧 , 𝑣⃗ = 𝜌̇ 𝑒⃗𝜌 + 𝜌𝜑̇ 𝑒⃗𝜑 + 𝑧̇ 𝑒⃗𝑧 , 𝑎⃗ = (𝜌̈ − 𝜌𝜑̇ 2 )𝑒⃗𝜌 + (𝜌𝜑̈ + 2𝜌̇ 𝜑̇)𝑒⃗𝜑 + 𝑧̈ 𝑒⃗𝑧
𝑒⃗𝜌 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒⃗𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒⃗𝑦
𝑒⃗𝜑 = − sin 𝜑 𝑒⃗𝑥 + cos 𝜑 𝑒⃗𝑦
𝑒⃗𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜑 𝑒⃗𝜌 − 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑒⃗𝜑
𝑒⃗𝑦 = sin 𝜑 𝑒⃗𝜌 + cos 𝜑 𝑒⃗𝜑
3. 𝑟⃗ = 𝑟𝑒⃗𝑟 , 𝑣⃗ = 𝑟̇ 𝑒⃗𝑟 + 𝑟𝜑̇ 𝑒⃗𝜑 , 𝑎⃗ = (𝑟̈ − 𝑟𝜑̇ 2 )𝑒⃗𝑟 + (𝑟𝜑̈ + 2𝑟̇ 𝜑̇)𝑒⃗𝜑
radial
tangential
Kreisbewegung (r=konst):
𝑣⃗ = 𝑟𝜑̇ 𝑒⃗𝜑
𝑎⃗ = −𝑟𝜑̇ 2 𝑒⃗𝑟 + 𝑟𝜑̈ 𝑒⃗𝜑
𝑣2
𝑟
= 𝑟𝜑̇ 2 (als Betrag)
3.2 Trägheitskräfte (für beschleunigte Bewegungen):
•
•
•
•
Trägheitskraftdichte: ⃗f (t) = −ρa�⃗ , mit ρ=spezifische Dichte
�⃗ (t) = −ρa�⃗ ∙ dV = −a�⃗ ∙ dm
Trägheitskraft: dF
�⃗ (t) , v
PdvL: ℘ = ℘(i) + ℘(a) + ℘(t) = 0, ∀{v� }
mit ℘(t) = ∫ v
��⃗ dF
�⃗̇ ≠ a�⃗
Trägheitskräfte sind fiktive Kräfte und verletzen das Reaktionsprinzip!
3.3 Newtonsches Bewegungsgesetz:
• Massenpunkt:
1. Eventuelle Rotation und Deformation interessieren uns nicht
2. Eventuelle Rotation und Deformation haben keinen Einfluss auf die Resultierende
𝑑
�⃗ = 𝒎𝒂
�⃗ (𝑎⃗ in Richtung von 𝑅�⃗)
• �𝑹
Newtons Betrachtung: (𝑚𝑣) = 𝑝⃗̇ = 𝑅�⃗
𝑑𝑡
• In diesem Kontext gibt es keine Trägheitskräfte mehr!
Federaufgaben:
• Allgemeine Lage immer im 1. Quadrant
• Wenn die Feder in der Ebene eingespannt ist, ist die
x-Komponente proportional zu x und die y-Komponente
proportional zu y.
• Allgemein: �𝐹⃗ � = 𝑐𝛿𝑙 mit c=Federkonstante
• Tipp: Koordinatenursprung bei der ungespannten Lage der Feder wählen.
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Lösungsschritte für Kinetik-Aufgaben:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
System freischneiden, abgrenzen und evtl. trennen
System in einer allgemeinen Lage (nicht Anfangslage!) zeichnen
Geeignete Koordinaten wählen, besteht evtl. eine kinematische Relation?
Kräfte einführen, Bewegungsdifferentialgleichungen für alle Komponenten formulieren
Anfangsbedingungen formulieren und nach gesuchten Grössen auflösen
Diskussion um Resultate (Normalkraft, Fadenkräfte gespannt)
𝑘
Ruhelagen: 𝑥̈ = 𝑥̇ = 0 = 2
𝜔
Lineare Bewegungs-Differenzialgleichungen:
DGL
Ansatz
𝑥̈ = 𝑘
𝑥̈ + 𝜔2 𝑥 = 0
𝑥(𝑡) =
𝑘 2
𝑡 + 𝐶1 𝑡 + 𝐶2
2
𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos 𝜔𝑡 + 𝐶2 sin 𝜔𝑡
𝑥̈ + 𝜔2 𝑥 = 𝑘
𝑥(𝑡) = 𝐶1 cos 𝜔𝑡 + 𝐶2 sin 𝜔𝑡 +
𝑥̈ − 𝜆2 𝑥 = 0
𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 𝜆𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝜆𝑡
𝑘
𝜔2
• k, λ, C1, C2, ω sind Konstanten
• ω heisst Kreisfrequenz, Tω=2π, C1 und C2 Amplitude
�⃗, 𝑣�⃗𝑂 ≠ 0
�⃗
3.5 Impulssatz: 𝜔
��⃗ = 0
• Impuls:
• Impulssatz :
• Massenmittelpunktsatz :
𝑝⃗ = ∭𝐵 𝑣⃗𝑑𝑚 [Ns]
𝑝⃗̇ = 𝑅�⃗ → 𝑅�⃗ = ∭𝐵 𝑎⃗𝑑𝑚
𝑑
(𝑚𝑣⃗𝑐 ) = 𝑚𝑎⃗𝑐 = 𝑅�⃗
𝑑𝑡
• Das Newtonsche Gesetz gilt somit nicht nur für Massenpunkte, sondern auch für
Massenmittelpunkte!
• Bsp: Stoss zweier Körper:
Impulserhaltung beim Stoss wenn 𝑝⃗̇ = 0:
vollkommen inelastischer Stoss:
v1‘=v2‘=v
m1v1+m2v2=(m1+m2)v
m1v1+m2v2=m1v1‘+m2v2‘
𝑚1 𝑣1 + 𝑚2 𝑣2
𝑚1 + 𝑚2
- m1>>m2 → v = v1
- kleine Masse wird auf die Geschwindigkeit
der grossen Masse beschleunigt
(Babywagen ↔ BMW X1)
- Stosszahl = 0
𝑣=
elastischer Stoss: (kin. Energie bleibt erhalten):
1
1
(m1 v1 2 + m2 v2 2 ) = (m1 v1 ′2 + m2 v2 ′2 )
2
2
m
2m2
−
m
1
2
v1′ =
v1 +
v
m1 + m2
m1 + m2 2
2m1
m1 − m2
v1 −
v
v2′ =
m1 + m2
m1 + m2 2
- Relativgeschwindigkeit ändert ihr Vorzeichen
v2‘-v1‘ = v1-v2
- m1>>m2 → v1‘=v1, v2‘=2v1-v2
- wenn kleine Masse stillsteht, fliegt er nach
Stoss mit doppelter Geschwindigkeit weg (!!)
- Stosszahl = 1
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�⃗, 𝑣�⃗𝑂 = 0
�⃗
3.5 Drallsatz: 𝜔
��⃗ ≠ 0
• Drall:
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𝐿�⃗𝑂 = ∭𝐵 𝑟⃗ × 𝑣⃗𝑑𝑚 = 𝑟⃗ × 𝑝⃗
(bezüglich O!)
��⃗𝑂 = ∭ 𝑟⃗ × 𝑎⃗𝑑𝑚
𝑀
𝐵
̇𝐿�⃗ = 𝑀
��⃗
• Moment:
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• Drallsatz bezüglich O:
(nur bezüglich eines inertialen Punktes!)
𝑂
𝑂
• Umrechnungsformel zwischen dem Drall eines ortsfesten Punktes und dem des Massenmittelpunktes: 𝐿�⃗𝑂 = 𝑟⃗𝑐 × 𝑝⃗ + 𝐿�⃗𝑐 = 𝑟⃗𝑐 × 𝑚𝑣⃗𝑐 + 𝐿�⃗𝑐
��⃗𝑐
• Drallsatz bezüglich Massenmittelpunktes:
𝐿�⃗̇𝑐 = 𝑀
• Der Drallsatz gilt nur bezüglich eines inertialen Punktes oder für den relativen Drall
bezüglich des Massenmittelpnktes C. Nicht bezüglich beliebiger bewegter Punkte!
3.6 Kinetik von ebenen Bewegungen:
•
•
•
•
•
Drall in der Ebene:
𝐿𝑂 = 𝐼𝑂 𝜔 mit 𝐼𝑂 = ∬𝐵 𝑟 2 𝑑𝑚 = Massenträgheitsmoment
Drallsatz für ebene Rotation: 𝐿̇𝑂 = 𝐼𝑂 𝜔̇ = 𝑀𝑂 (Drall/φ & Moment haben selbe pos. Richtung)
Drall bez. Massenmittelpunkt: 𝐿𝑐 = 𝐼𝑐 𝜔
Drallsatz bez. MassenMittelPt: 𝐿̇𝑐 = 𝐼𝑐 𝜔̇ = 𝑀𝑐
wenn keine Rotation um ortsfesten Punkt O vorliegt: 𝐿𝑂 = ±𝑚𝑑𝑣𝑐 + 𝐿𝑐
Einige Massenträgheitsmomente I:
Massenpunkt:
Homogener Stab:
Homogener Stab:
Homogene Kreisscheibe:
Ring:
Massive Kugel:
Kugelschale:
Steiner:
𝐼𝑂 = 𝑚𝑟 2
𝑚𝐿2
(bezüglich eines Endpunktes)
3
2
𝑚𝐿
𝐼𝑐 =
(bezüglich Massenmittelpunkt)
12
𝑚𝑟 2
𝐼𝑂 = 2 (bezüglich Massenmittelpunkt)
1
𝐼𝑥 = 𝑚(𝑟𝑎2 + 𝑟𝑖2 ) ≈ 𝑚𝑟 2
2
2
𝐼 = 𝑚𝑟 2
5
2
𝐼 = 𝑚𝑟 2
3
����⃗|
𝐼𝑝 = 𝐼𝑆𝑐ℎ𝑤𝑒𝑟𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 𝑚𝑟 2 , 𝑟 = |𝑃𝑆
𝐼𝑂 =
Vektorprodukt
𝑏𝑥
𝑎𝑦 𝑏𝑧 −𝑎𝑧 𝑏𝑦
𝑎𝑥
𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 𝑏�⃗ = �𝑎𝑦 � × �𝑏𝑦 � = � 𝑎𝑧 𝑏𝑥 −𝑎𝑥 𝑏𝑧 �,
𝑎𝑥 𝑏𝑦 −𝑎𝑦 𝑏𝑥
𝑎𝑧
𝑏𝑧
sin, cos, tan:
sin α
cos α
tan α
0°
0
1
0
30°
1
2
√3
2
√3
3
45°
√2
2
√2
2
1
𝑐���⃗𝑥
|𝑐⃗| = |𝑎⃗| ∙ �𝑏�⃗� ∙ sin 𝜑 = �𝑎𝑥
𝑏𝑥
60°
√3
2
1
2
√3
𝑐𝑦
���⃗
𝑎𝑦
𝑏𝑦
𝑐𝑧
���⃗
𝑎𝑧 �
𝑏𝑧
90°
1
0
-
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