Physik I

MECHANIK III

1. Grundlegende Konzepte
■ Kreuzprodukt:
■
Schwerpunkt, falls
homogene
Massenverteilung.
Massenmittelpu
nkt s:
■ Rollbedingung:
■ kinetische Energie T eines Starrkörpers:
 T 
Einheit Joule [J]
T  12 m  rOS rOS  12  S 2
T
■ V  m g  z
V   F (r )dr
Lineare Feder
Dreh/ Torsionsfeder
Lagepotential
B) Unterkritisch gedämpfte Schwingung, 0<D<1





mit a  PS
Pseudokreisfrequenz:
(nicht periodisch)
Pseudofrequenz
Pseudoperiode
f=ω/2π
T=1/f=2π/ω
(Zwangskräfte [Typ Stange], eingeprägte Kräfte [Feder-, Dämpferel.])
 P  32 mR 2
Ring (h<<1),
Hohlzylinder
 S  mR2
(d<<1)
 P  2mR2
Stab (h<<1),
Platte
 S  121 ml 2
Scheibe
2
Vorgehen:
1. System freischneiden, Koordinaten einführen.
2. Schwerpunkte bestimmen, Kräfte charakterisieren.
 S  12 mR 2
Zylinder
(d<<1)
 S 2
■ Satz: Für konservative autonome Systeme gilt
TGes  VGes  konst
Energieerhaltung in der Form
 S   ( x 2  y 2 )dm   ( x 2  y 2 )  ( x, y )dV
 P   S  ma 2
1
2
■ Definition: Ein System aus Starrkörpern heisst
konservativ, falls alle an den einzelnen Starrkörpern
angreifenden äusseren Kräfte Potentialkräfte sind.
 keine Dämpfer
 keine externe Kraftanregung
■ Berechnung von Massenträgheitsmomenten
Kugelschale
2
V  12 c (  0) 2
 
 
LO : m  rOS rOS  S  rOS pOS  S
Kugel
2
V  c( z  z 0 )
x R
■ Drall = Impulsmoment bzgl. eines ruhenden
Punktes O plus Spin des Körpers.
(h<<1),
  
m  x  y  
1
2
■ Impuls = Masse mal Schwerpunktsgeschw.:

 Mass für Trägheit
p : m  rOS
Scheibe
1
2
■ Potentielle Energie einer Feder
Impuls und Drall
■ Satz von Steiner:

Energie
 a x   bx 
ab      a x b y  a y bx
 a y   by 

3.
4.
5.
6.
Impuls- und Drallsätze formulieren.
Kraftgesetze der eingeprägten Kräfte formulieren.
Unbekannte Kräfte vom Typ „Stange“ eliminieren.
Kinematische Bedingungen formulieren, die von
den Einschränkungen der Lager herrühren.
7. Überzählige Koordinaten eliminieren
8. Bewegungsdifferentialgleichung bestimmen.
 P  13 ml 2
 Logarithmisches
Dekrement
 S  52 mR 2
C) Krit. Dämpfung, aperiodischer Grenzfall, D=1
 P  75 mR 2
■
 S  23 mR
■
2
,
 P  53 mR 2
 S  14 mR 2
 P  54 mR 2
■ Massenträgheitsmomente additiv für gleichen
Bezugspunkt!
Impuls und Drallsatz
D) Überkritische Dämpfung, D > 1
■ Impulssatz:

p   F Pi
■
F P :äussere Kraft, die in P angreift.
Impulsänderung = Summe aller angreifenden Kräfte
■ Drallsatz
L  r  F  M

O
OPi
Pi

j
Mj = äusseres freies am Körper angreifend. Moment
■ Satz: Impuls und Drallerhaltung:
Greifen keine äusseren Kräfte/Momente am Körper
an, so sind Impuls und Drall konstant.


■ Impulssatz: p
 m  rOS  F P
 
LO  m  rOS rOS   S  rOP F P  M
■ Spinsatz:
 S  r SP  F P  M
Bezüglich
Schwerpunkt!!
■ Satz: Greifen am STARRKörper keine äusseren
Kräfte/Momente an, so gilt:

 Schwerpunktsgeschwindigkeit
rOS  konst
 Winkelgeschwindigkeit
    konst
■ Kraftgesetze äusserer Kräfte
,
2. Lineare Schwingungen – 1FG
Absolute
Geschwindigkeit!
■ Drallsatz:
mit
■
E) Grenzfall
■
Dämpfungswert [1/s]
■
Eigen(kreis)frequenz [1/s]
D
■

■
■
dimensionslose Zeit
Lehr’sche Dämpfung
(dimensionslos)
■
normierte Erregerfunktion
(dimensionslos)

Diskussion der homogenen Lösung
■ Ansatz:
y h  A1e 1t  A2e 2t
■ EW:
A) Ungedämpfte Schwingung D=0
F) Verlauf der Eigenwerte in Abhängigkeit v. D
■ Basisfkt.:
f (t )  R f
„Störung“ aus der
Gleichgewichtslage.
geg. zeitl. Erregerfunktion
■ M , B, C R f  f
reelle konstante Matrixen
M-K-System mit K PSD
Diskussion der partikulären Lösung
■ Finde ein yP(t). so dass für alle t die DGL erfüllt ist:
■
Erregeramplitude
■ Amplitudengang
Erregerfrequenz
■ Phasengang
■ M  MT
■ D  D T : 1 ( B  B T )
2
Massenmatrix
■ G  G : 1 ( B  B )
2
Gyro-Matrix (Coriolis…)
■ K  K T : 1 (C  C T )
2
Steifigkeitsmatrix (Federn)
■ N   N T : 1 (C  C T )
2
Matrix der „zirkulierenden
Kräfte“
T
■
Frequenzv
erhältnis
T
Dämpfungsmatrix
■ M-D-G-K-N-System
Für vielfache Null:
■ Wie vorher, aber keine Null EW.
■ Satz: Matrizen M, K werden diagonalisiert durch:
Eigenvektormatrix
■ Satz: Die f „EV“ u1, u3,… sind linear unabh. 
Matrix U ist invertierbar.
Modale Koordinaten

■
■
■ Amplituden- und Phasengang
 DG
■ Zustandsraumdarstellung

■ f entkoppelte Gleichungen


M-K-System mit K PD, D nach Bequeml.k.
■
■ Dämpfungen schlecht bestimmbar  man setzt:
(Bequemlichkeit)
■ Satz: Die Matrix U der "EV" des zugehörigen M-KSystems ohne Dämpfung diagonalisiert auch das MK-D-System, wenn D gemäss
Bequemlichkeitshypothese gewählt wird.
Theorie 2. und 3. Ordnung
Diskussion der allgemeinen Lösung
■ Für allg. Lösungen müssen die 2 freien Konstanten
mit Hilfe von RB oder AB bestimmt werden
A) D > 0
■ System ist asymptotisch stabil (Re(λ)<0)
 homogene Lösung klingt mit t ab.
 für t << 1 gilt y(t) ≈ yP(t)
B) D = 0
■ System ist grenzstabil (Re(λ) = 0)
 homogene Lösung klingt nicht ab.
■ Schwebung
 Entsteht bei Resonanznähe: ω0 ≈Ω

Periodendauer
langsam
zeitveränderliche
Amplitude
■ Resonanz
 ω0 → Ω ; TZ → ∞
3. Lineare Schwingungen – f FG
■ Vorbemerkungen:
 positiv definit (PD)
 positiv semi-definit
(PSD)
M-K-System
D=G=N=0
■ System mit Massen und Federn
K PSD
■
■ Ansatz:
Struktur linearer DGs in der Dynamik
■
■ lineare DG-System 2. Ordnung, oft linearisiert!
f
gesuchter Zeitverlauf der
■
y (t )  R
■ Satz
EW eines M-K-Systems mit K PSD sind:
 paarweise konjugiert komplex
 oder gerader Vielfachheit Null
■
Stabilität