Strömungslehre 2

Strömungslehre 2
Strömungen - Fluide in Bewegung
Inkompressible Strömungen
Kompressible Strömungen
Grundgleichungen für Newtonsche Fluide
Numerische Strömungsberechnung
Aufgaben
Anhang
Inhaltsverzeichnis
Übersicht
Strömungen - Fluide in Bewegung
Einleitung
Beschreibung von Strömungen
Inkompressible Strömungen
Grundgleichungen
Kontinuitätsgleichung
Energiegleichung
Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung
Impulssatz
Drehimpulssatz
Ähnlichkeitsgesetze
Grundformen reibungsbehafteter Strömung
Strömung in Rohren
Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen
Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren
Turbulente Strömung in kreisförmigen Rohren
Strömung in Gerinnen
Umströmung von Körpern
Tragflügel
Kompressible Strömungen
Thermodynamische Eigenschaften des idealen Gases
Grundgleichungen
Rohrströmung
Ausströmvorgänge
Grundgleichungen für Newtonsche Fluide
Lokale Massenbilanz
Lokale Impulsbilanz
Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten
Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen
Eindimensionale Beispiele
Laminare Gerinneströmung
Wirbelgleichung
Numerische Strömungsberechnung
Diskretisierung
Modellierung der Turbulenz
Das Simulationsprogramm Femlab
Beispiel: Zweidimensionale Rohrströmung
Beispiel: Dreidimensionale Strömung durch einen Winkel
Aufgaben
Aufgabe 1
Lösung von Aufgabe 1
Aufgabe 2
Lösung von Aufgabe 2
Aufgabe 3
Lösung von Aufgabe 3
Aufgabe 4
Lösung von Aufgabe 4
Aufgabe 5
Lösung von Aufgabe 5
Aufgabe 6
Lösung von Aufgabe 6
Aufgabe 7
Lösung von Aufgabe 7
Aufgabe 8
Lösung von Aufgabe 8
Aufgabe 9
Lösung von Aufgabe 9
Aufgabe 10
Lösung von Aufgabe 10
Aufgabe 11
Lösung von Aufgabe 11
Aufgabe 12
Lösung von Aufgabe 12
Aufgabe 13
Lösung von Aufgabe 13
Aufgabe 14
Lösung von Aufgabe 14
Aufgabe 15
Lösung von Aufgabe 15
Aufgabe 16
Lösung von Aufgabe 16
Aufgabe 17
Lösung von Aufgabe 17
Aufgabe 18
Lösung von Aufgabe 18
Aufgabe 19
Lösung von Aufgabe 19
Aufgabe 20
Lösung von Aufgabe 20
Aufgabe 21
Lösung von Aufgabe 21
Aufgabe 22
Lösung von Aufgabe 22
Aufgabe 23
Lösung von Aufgabe 23
Anhang
Literatur
Nachweise
Exkurs: Herleitung der lokalen Drehung
Strömungen - Fluide in Bewegung
Einleitung
Beschreibung von Strömungen
Einleitung
Strömungen in Natur und Technik:
Luftströmungen in der Athmosphäre
Wasserströmungen im Ozean
Plasmaströmungen im Sterninneren
Blutströmung in den Gefäßen
Strömungen um ein Flugzeug
Gemischströmungen im Otto-Motor
Luftströmungen im Lüfterrad einer Kettensäge
Unterschiedliche Strömungsformen:
gleichmäßige Strömung durch ein Rohr
Überschallströmung über einer Tragfläche
Wirbel hinter einem umströmten Zylinder
Unterteilung nach Art des Fluids:
Newtonsches Fluid
linearer Zusammenhang zwischen Schubspannung und Geschwindigkeitsgradient
= dw/dz
dynamische Viskosität
viele Gase, Wasser
Nicht-Newtonsches Fluid
sehr verschiedenartige Eigenschaften möglich
Joghurt, Zahnpasta, Mörtel, ...
hier nicht weiter betrachtet
Unterteilung nach Verhalten der Dichte:
inkompressibel
Dichte konstant
in Wasser und vielen anderen Flüssigkeiten
in Gasen bei niedrigen Geschwindigkeiten (z.B. w < 0.2 c)
kompressibel
Dichte veränderlich
zusätzliche Gleichung für nötig
thermodynamische Beziehungen berücksichtigen
Unterteilung nach Zeitabhängigkeit:
zeitunabhängig (stationär)
Strömungsbild zeitlich unveränderlich
manchmal nur erfüllt in größeren Skalen (quasistatisch)
zeitabhängig (instationär)
i.a. komplizierte Bewegungsformen
schwierig zu visualisieren
Unterteilung nach Strömungsform
laminar
Teilchen bewegen sich längs nur langsam veränderlicher Stromfäden
Schichtenaufbau der Strömung
keine Vermischung der Schichten
turbulent
Teilchen bewegen sich auf unregelmäßigen Bahnen
starke Schwankungen in Querrichtung
tritt auf bei höherer Geschwindigkeit oder niedrigerer Viskosität
Beschreibung von Strömungen
Strömungsfeld :
Strömung = (u, v, w) gegeben durch Geschwindigkeit der Teilchen am Ort
zur Zeit t
= ( , t)
in Koordinaten
u = u(x, y, z, t)
v = v(x, y, z, t)
w = w(x, y, z, t)
Eulersche Beschreibung
Darstellung durch Richtungspfeile (für jede Zeit t)
= (x, y, z)
bezogen auf ein Koordinatensystem, z.B.
ortsfest
mit konstanter Geschwindigkeit
mit Körper mitbewegt (z.B. Flugzeug)
stationäre Strömung: hängt nicht von t ab
Teilchenbahn:
Weg eines Fluidteilchens oder kleinen Fluidvolumens in der Strömung
experimentell: Teilchen anfärben oder Testteilchen einbringen (Aluminiumflitter) und lange
belichten
Bahnkurve bestimmt durch Anfangsort 0 zur Zeit t 0
(t) = (t; 0 , t 0 );
beschreibt die Strömung vollständig (Lagrangesche Beschreibung)
Geschwindigkeit der Teilchen
( , t) = d /dt
Berechnung der Teilchenbahnen:
Differentialgleichungen für bei gegebenem
in Koordinaten
dx/dt = u(x, y, z, t)
dy/dt = v(x, y, z, t)
dz/dt = w(x, y, z, t)
Anfangsbedingung wählt ein Teilchen aus
0 = (t 0 )
Stromlinien:
Richtungsfeld von zu einer bestimmten Zeit t
Bild ändert sich mit der Zeit t
daher Stromlinien i.a. verschieden von Bahnlinien
Berechnung in 2 Dimensionen: (x, y) = (u, v)
dy/dx = v/u
experimentell: viele Markierungsteilchen, kurze Belichtungszeit
Streichlinien:
experimentell: an fester Stelle 0 werden ständig Markierungsteilchen hinzugefügt (Farbe,
Rauch)
Streichlinie = Verbindungslinie dieser Teilchen
zur Zeit t gegeben durch
(t 0 ) = (t; 0 , t 0 );
Parameter der Kurve ist t 0 = Zeit, zu der Teilchen eingesetzt wurde
Stromfadentheorie:
Stationäre Strömung Bahnlinie = Stromlinie = Streichlinie
Näherung: Größen hängen nur von der Koordinate längs ihrer Stromlinie ab
Bündel aus vielen Stromlinien: Stromröhre, ganz dünn: Stromfaden
Stromlinien = Bahnlinien kein Stofftransport durch die Mantelfläche einer Stromröhre
Aufgaben:
Aufgabe 1
Inkompressible Strömungen
Grundgleichungen
Ähnlichkeitsgesetze
Grundformen reibungsbehafteter Strömung
Strömung in Rohren
Strömung in Gerinnen
Umströmung von Körpern
Tragflügel
Grundgleichungen
Kontinuitätsgleichung
Energiegleichung
Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung
Impulssatz
Drehimpulssatz
Kontinuitätsgleichung
Massenerhaltung:
betrachten inkompressible stationäre Strömung
Stromröhre als Kontrollvolumen
Zustrom von Masse durch A 1 in Zeit dt
dm 1
= · A 1 · ds
= · A 1 · w 1 dt
Abstrom von Masse durch A 2 in Zeit dt analog
dm 2 = · A 2 · w 2 dt
stationär
dm 1 = dm 2
A1 · w1 = A2 · w2
Energiegleichung
Energien bei der Stromröhre:
betrachten stationäre reibungsfreie Strömung im Gravitationsfeld
auftretende Energieformen
E pot = m g z
E kin = 1/2 m w 2
E druck = p V = m p /
E druck = verrichtete Arbeit, um Masse m mit Volumen V gegen den Druck p
durchzuschieben (Volumenänderungsarbeit)
keine Änderung der inneren Energie (keine Reibung, Temperatur konstant)
keine zusätzliche äußere Arbeit
Gesamtenergie an jedem Querschnitt A konstant
E
= E pot + E kin + E druck
= m g z + 1/2 m w 2 + m p /
= const.
mit /m multiplizieren Dimension des Drucks
g z + p + /2 w 2 = const (Bernoulli-Gleichung)
grafische Darstellung
Technische Arbeit W t12 :
extern am Fluid geleistete Arbeit
z.B. Pumpe (W t12 > 0) oder Turbine (W t12 < 0)
spezifische technische Arbeit
w t12 = W t12 /m
Bernoulli-Gleichung bei technischer Arbeit zwischen Punkt 1 und 2
g z 2 + p 2 + /2 w 2 2 = g z 1 + p 1 + /2 w 1 2 + w t12
Staudruck:
durch die Strömung verursachter dynamischer Druck /2 w 2
wirkt nur in Strömungsrichtung
kann z.B. bei der Umströmung eines Körpers gemessen werden
Grundprinzip des Prandtl-Rohrs zur Messung der Strömungsgeschwindigkeit
Ausfluss aus einem Behälter:
Flüssigkeit laufe reibungsfrei aus einem Gefäß
Bernoulli-Gleichung am oberen Wasserspiegel und an Austrittsöffnung
Drücke gleich dem Außendruck
p1 = p2 = pa
Zusammenhang zwischen w 1 und w 2 aus der Kontinuitätsgleichung
w1 A1 = w2 A2
w 1 in Bernoulli-Gleichung einsetzen und nach w 2 auflösen
mit der Höhendifferenz h = z 1 - z 2
für A 2 << A 1 gilt näherungsweise die Ausflussformel von Torricelli
Hydrodynamisches Paradoxon:
Flüssigkeit fließe aus einem Rohr zwischen zwei parallele Platten, dort radial nach außen
Größen am äußeren Rand p a etc.
Größen irgendwo im Innenbereich der Platten p i etc.
aus Bernoulli-Gleichung folgt
durchflossener Zylindermantel im Innern kleiner als außen
w nimmt nach außen ab
wa < wi
pa > pi
Außendruck p a gegen untere Platte drückt Platte gegen das Rohr
Strahlpumpe:
waagerechte Rohrleitung wird verengt
an der Verengungsstelle wird ein Steigrohr angebracht
Geschwindigkeit w 2 an der Verengungsstelle mit Kontinuitätsgleichung
w1 A1 = w2 A2
A = d 2 /4
w 2 = w 1 · d 1 2 /d 2 2 > w 1
Druck p 2 mit Bernoulli-Gleichung
p 1 + /2 w 1 2 = p 2 + /2 w 2 2
p2
= p 1 - /2 (w 2 2 - w 1 2 )
= p 1 - /2 w 1 2 (d 1 4 /d 2 4 - 1)
Geschwindigkeit w im Saugrohr bei maximaler Steighöhe h nahezu 0
bei Außendruck p 0 ergibt Bernoulli
p2 + g h = p0
h = (p 0 - p 2 )/( g)
häufiges Prinzip zum Pumpen oder Mischen, z.B.
Wasserstrahlpumpe
Zerstäuber
Vergaser
in der Praxis erhebliche Verluste durch Reibung und Turbulenz beim Mischen
Aufgaben:
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Druckänderung senkrecht zur Strömungsrichtung
Strömung durch gekrümmtes Rohr:
Fluidelement der Größe dr ds db
Zentrifugalkraft auf Kreisbahn mit Winkelgeschwindigkeit
dF Z
= dm r
2
= dr ds db r
2
= dr ds db w 2 /r
mit der Strömungsgeschwindigkeit w = r
Kraft aufgrund des Druckunterschieds
dF p = (p + dp) ds db - p ds db = dp ds db
Kräftgleichgewicht dF Z = dF p
Beispiel Rohrkrümmer:
Annahme: w = Z/r (drallfreie Strömung)
damit
dp/dr = w 2 /r = Z 2 /r 3
integrieren von Innenwand bis Außenwand
Impulssatz
Kräfte bei einer Stromröhre:
Newton:
Summe aller Impulsänderungen + Summe aller äußeren Kräfte = 0
auftretende Kräfte
Volumenkräfte durch äußere Felder (z.B. Schwerkraft)
Druckkräfte auf Oberflächen
Reaktionskräfte von festen Oberflächen
Impulsänderung im Fluid
speziell für stationäre inkompressible Strömungen:
d /dt
=
=
positives Vorzeichen:
in das Kontrollvolumen hineinfließende Impulsströme
Kräfte auf das Fluid
Kraft auf ein gekrümmtes Rohr:
Strömung durch gebogenes Rohr, Ablenkungswinkel
Durchmesser d = const. Geschwindigkeit | | = const.
kein Gefälle, keine Reibung p = const.
Kräfte auf Fluid am Eingang (senkrecht zur Querschnittsfläche nach innen)
Druckkraft p1 = -p 1
Impulskraft
i1
=
1
=-
1 w
w2 )
2
Gesamtkraft: 1 = - 1 (p +
analog am Ausgang (senkrecht zur Querschnittsfläche nach außen)
Gesamtkraft: 2 = - 2 (p + w 2 )
Gesamtkraft
=
1
+
2
= - (p + w 2 )(
1
+
2)
|
1
+
2|
= 2 A sin( /2)
F
= 2 A (p + w 2 ) sin( /2)
= Kraft von Fluid auf Wand
gleichgroße Gegenkraft - der Wand bewirkt Richtungsänderung des Fluids
Stoß auf ebene Wand:
Flüssigkeitsstrahl stoße frei auf senkrechte Wand
Näherung in der Nähe des Auftreffpunkts:
Flüssigkeit läuft senkrecht ab
keine Änderung des Betrags der Geschwindigkeit
Stoßkraft auf die Wand
F
=
= A w2
Schaufelkraft im ebenen Schaufelgitter:
Strömung durch eine Reihe von Profilen in gleichem Abstand t, Breite b
y-Achse in Richtung des Gitters, x-Achse senkrecht in Strömungsrichtung
Kontrollfläche um ein Profil
Volumenstrom
= t b wx
Berechnung der Schaufelkraft mit Impulssatz
in x-Richtung
w 1x (w 1x t b) + p 1 t b - w 2x (w 2x t b) - p 2 t b = R x
in y-Richtung
w 1y (w 1x t b) - w 2y (w 2x t b) = R y
Kontinuitätsgleichung
w 1x t b = w 2x t b w 1x = w 2x
Energiebilanz
p 1 + /2 (w 1x 2 + w 1y 2 ) = p 2 + /2 (w 2x 2 + w 2y 2 )
p1 - p2
= /2 (w 2y 2 - w 1y 2 )
= /2 (w 2y - w 1y ) (w 2y + w 1y )
mit dem Mittel aus Zu- und Abströmgeschwindigkeit
p 1 - p 2 = - (w 1y - w 2y ) y
also
Rx
= t b (p 1 - p 2 )
=- b
y
=- b
y
t (w 1y - w 2y )
mit der Abkürzung
ebenso
:= t (w 1y - w 2y )
=(
1
+
2 )/2
folgt
Ry
y=
x
= b
t b (w 1y - w 2y )
x
Damit erhält man für das Skalarprodukt
·
= Rx
=- b
x
+ Ry
x
y
y
+ b
x
y
=0
Die Schaufelkraft (Schaufelauftrieb)
Strömungsgeschwindigkeit.
Betrag der Schaufelkraft
steht senkrecht auf der mittleren
Drehimpulssatz
Drehimpuls bei Schaufelrädern:
Newton:
Summe aller Drehimpulsänderungen + Summe aller äußeren Momente = 0
beim stationären inkompressiblen Fluid
zerlegt in Radialteil w r und Tangentialanteil w t
Anwendung beim Laufrad einer Kreiselpumpe:
Gesamtgeschwindigkeit gegeben durch
= +
: Relativgeschwindigkeit, durch Schaufelform gegeben
: Umfangsgeschwindigkeit, u = r
Gesamtgeschwindigkeit zerlegt in Radialteil c r und Tangentialteil c t
vom Schaufelrad übertragenes Moment
M S = (r 2 c 2t - r 1 c 1t )
(Eulersche Hauptgleichung für Turbomaschinen)
Leistung der Pumpe
P = MS
Aufgaben:
Aufgabe 7
Ähnlichkeitsgesetze
Dimensionsanalyse:
Ausgangspunkt: funktionale Abhängigkeit zwischen n physikalischen Größen
f(a 1 , a 2 , .., a n ) = 0
Größen a i haben Einheiten
können durch m Grundeinheiten beschrieben werden (3 bei Mechanik, 4 incl.
Thermodynamik)
-Theorem: Funktion f umschreibbar mit n - m dimensionslosen Kombinationen
(Kennzahlen) der a i
F( 1 , 2 , ..., n-m ) = 0
Beispiel "Erzwungene Schwingung":
Grundgleichung
m + + k x = A cos( t)
Einheiten der Größen
ai
m
[a i ]
kg
kg s -1
k
kg s -2
A
kg m s -2
s -1
2 dimensionslose Kennzahlen
Vergleich mit den üblichen Größen bei der erzwungenen Schwingung
K1 = 0 /
K2 = 2 / 0 = 2 D
Beispiel Rohrströmung:
Strömung durch ein kreisrundes Rohr
j
beschrieben durch Beziehung
f( p/l, d, , , ) = 0
zwischen den Größen
[a i ]
ai
Bedeutung
p/l kg m -2 s -2 Druckabfall/Rohrlänge
d
m
Rohrdurchmesser
m s -1
mittlere Strömungsgeschwindigkeit
kg m -3
Dichte des Fluids
kg m -1 s -1 Viskosität des Fluids
Kennzahl K = Potenz der Größen mit Einheit 1, also
Vergleich der Exponenten von kg, m, s liefert
+ + =0
-2 +
+
-3 - =0
-2 -
- =0
(1)
(2)
(3)
Wähle = 1, = 0
(1)
= -1
(3)
= -2
(2)
=1
Wähle
: Rohrreibungszahl
= 0, = 1
Re: Reynoldszahl
Reynolds-Zahl:
wichtigste Kennzahl reibungsbehafteter Strömungen
Definition
Re := w L / = w L /
L: charakteristische Länge
: kinematische Viskosität
Verhältnis von kinetischer zu Reibungsenergie
charakterisiert Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung
Froude-Zahl:
Kennzahl von Strömungen unter Schwerkraft (Gefälle, Oberflächenwellen)
Definition
Verhältnis von kinetischer und potentieller Energie
ebenfalls Verhältnis von Strömungsgeschwindigkeit zu Geschwindigkeit von
Oberflächenwellen
charakterisiert Grenze zwischen gleichmäßig strömender (ruhiger Fluss) und schießender
Bewegung (Sturzbach)
Anwendung "Modellbau":
gleiche Strömungsverhältnisse bei gleichen Kennzahlen und ähnlicher Geometrie
erlaubt Untersuchung von Strömungen mit Modellen (Wasser-, Windkanal)
Übereinstimmung aller Kennzahlen nicht immer erreichbar, z.B. bei Oberflächen-Rauheit
Grundformen reibungsbehafteter Strömung
Strömung im Rohr:
kritische Reynoldszahl
Re krit = d / = 2320
mit mittlerer Strömungsgeschwindigkeit
= /A
laminare Strömung für Re < 2320
parabolische Geschwindigkeitsverteilung
Rohrreibungsverlust hängt nicht ab von der Rauheit der Rohrwand
turbulente Strömung für Re > 2320
Geschwindigkeitsverteilung wesentlich flacher
starke Änderung nahe der Rohrwand
Rohrreibungsverlust abhängig von der Rauheit der Rohrwand
quasistationär: Schwankungen von mittlerer Geschwindigkeit überdeckt
Umströmung einer Kugel:
schleichende Umströmung bei Re < 1000
Strömung schließt sich hinter der Kugel
keine Wirbel
hohe Widerstandskraft
unterkritische Strömung bei 1000 < Re < 3 ·10 5
laminare Grenzschicht um Kugel
Grenzschicht löst sich nahe der dicksten Stelle
großes Wirbelgebiet hinter der Kugel (Totwassergebiet)
mittlere Widerstandskraft
überkritische Strömung bei Re > 3 ·10 5
turbulente Grenzschicht
Grenzschicht löst sich hinter der Kugel
kleines Totwassergebiet
sehr niedrige Widerstandskraft
Aufgaben:
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Strömung in Rohren
Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen
Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren
Turbulente Strömung in kreisförmigen Rohren
Energiegleichung für reibungsbehaftete Strömungen
Energiebilanz mit Reibung:
betrachten stationäre Strömung im Gravitationsfeld
Vergleich der spezifischen Energien an Punkten P 1 und P 2 einer Stromröhre
g z 1 + 1/2 w 1 2 + p 1 / = g z 2 + 1/2 w 2 2 + p 2 / + e Dissipation
vorgegebener Volumenstrom = A w
w ändert sich nicht
Reibungsverlust äußert sich als Druckverlust
e Dissipation = p V /
Reibungsverlusthöhe h V :
Definition
hV = pV / g
Division der Energiebilanz durch g Größen der Dimension Länge
im Bild
h V = zusätzlich benötigte Höhe für gleichen Druck wie ohne Reibung
h V = Verringerung der Förderhöhe einer Pumpe durch Reibung
Widerstandszahl :
häufig Dissipationsenergie proportional zur kinetischen Energie
Proportionalitätskonstante
e Dissipation = w 2 /2
Druckverlust
pV
= e Dissipation
=
/2 w 2
Widerstandszahl für viele Rohrleitungselemente tabelliert
oft nur leichte Abhängigkeit von Reynoldszahl und Wandrauheit
Dissipation eines Rohrsystems = Summe der Dissipationen der Elemente
Laminare Strömung in kreisförmigen Rohren
Geschwindigkeitsprofil im Rohr:
Geschwindigkeit an der Rohrwand = 0 (Haftbedingung)
laminare Strömung
achsenparallele Schichten
w hängt nur vom Radius r ab
Schubspannung aufgrund unterschiedlicher Geschwindigkeit
= - dw/dr
entsprechende Reibungskraft am Zylinder
FR
=A
= 2 r l (- dw/dr)
äußere Druckkraft auf Zylinder
F p = r 2 (p 1 - p 2 )
Kräftegleichgewicht
Integrieren
Integrationskonstante aus Randbedingung w(r 0 ) = 0
maximale Geschwindigkeit bei r = 0:
Bestimmung des Volumenstroms:
Strom durch dünnen Zylinderring
d
= dA w(r)
= w(r) 2 r dr
Integrieren
Mittlere Geschwindigkeit :
definiert durch
=A
mit Hagen-Poiseuille
Druckabfall:
mit
r 0 = d/2
=
folgt aus Hagen-Poiseuille
setzt man noch
=
d 2 /4
ergibt sich
p 1 - p 2 = 32 l /d 2
Dimensionslose Form:
dimensionslose Rohrreibungszahl
nach p 2 - p 1 auflösen und einsetzen
Aufgaben:
Aufgabe 11
Turbulente Strömung in kreisförmigen Rohren
Turbulenz im Rohr:
ab Re > 2320
bei fast allen praktischen Rohrströmungen
Reibungsverluste durch Schubspannungen und durch turbulente Vermischung
Unebenheiten in der Rohrwand sehr wichtig
Wandrauheit k:
angegeben als durchschnittliche Höhe der Unebenheiten
statt natürlicher Unregelmäßigkeit bezogen auf eine "gleichmäßig rauhe" Oberfläche
(Sandrauheit)
einige typische Werte (nach [1] Tafel 31)
Material
Zustand
k/[mm]
gezogenes Metallrohr neu
0.0013
Gummischlauch
neu
0.0016
Gusseisen
neu
0.2 - 0.6
leicht angerostet 0.5 - 1.5
Betonrohr
neu
0.3 - 0.8
damit 3 dimensionslose Kennzahlen der Rohrströmung:
Re
k/d
Geschwindigkeitsverteilung:
grundsätzliches Verhalten
in der Nähe der Rohrwand (r = d/2 =: r 0 )
w(r 0 ) = 0
Re klein in direkter Nähe zur Wand
laminare Strömung in der Grenzschicht
parabolisches Geschwindigkeitsprofil
halbempirische Beziehung für die Dicke l (Prandtl)
Näherung für w(r) im turbulenten Bereich
w(r)/w max = (1 - r/r 0 ) 1/n
Exponent n hängt von Re und k/d ab, wächst mit k/d
bei glatten Rohren (k/d klein) erhält man n aus dem Bild
Mittlere Geschwindigkeit :
durch den Volumenstrom gegeben als
= / A = /( r 0 2 )
Integrieren des Volumenstroms über dünne Zylinderschalen wie beim laminaren Fall liefert:
Einsetzen des Potenzansatzes ergibt
partielle Integration (oder eine Integraltafel) liefert schließlich
einige Werte
n
w/w max
6
0.7912
7
0.8167
8
0.8366
9
0.8526
Druckabfall:
direkt aus der Definition der Rohrreibungszahl
grundlegende Beziehung
= (Re, k/d)
graphisch
Einige halbempirische Beziehungen für verschiedene Bereiche
hydraulisch glatte Rohre (Re k/d < 65)
hydraulisch rauhe Rohre (Re k/d > 1300)
Übergangsbereich (65 < Re k/d < 1300)
Aufgaben:
Aufgabe 12
Aufgabe 13
Strömung in Gerinnen
Hydraulischer Durchmesser d h :
bei beliebiger Querschnittsform, auch mit offener Oberfläche
Gleichgewicht zwischen Druckkraft und Reibungsverlust an der Wand
U l = pV A
p V = l U/A
beim Kreisrohr
Vergleich mit der Beziehung
2 /8
=
Beziehung für Schubspannung gelte für beliebige Profile
mit dem hydraulischen Durchmesser
d h := 4 A / U
Beziehungen für bei turbulenter Strömung bleiben in guter Näherung richtig mit
Rauheit = k/d h , Re = d h /
Hydraulisch optimales Profil:
bei gegebenem und Querschnitt A Reibung verringern durch Kanalform mit möglichst
großem d h , also möglichst kleinem U
z.B. bei rechteckigem Querschnitt, Breite b, Tiefe t
A=bt
U = b + 2t = A/t + 2t
minimal für
für ein optimales Rechteck ergibt sich also
beim Halbkreis (optimaler Querschnitt) ist
Geschwindigkeitsprofil bei offener Oberfläche:
häufig sehr hohe Rauhigkeit (z.B. Flussboden mit Geröll)
Verluste an der Oberfläche durch
Reibung mit der Luft
Oberflächenwellen
Geschwindigkeitsverteilung auch höhenabhängig
Fließformel:
betrachten gleichmäßige Strömung bei Gefälle
Energiebilanz eines Stromfadens bei konstanter Fließgeschwindigkeit und konstantem
Druck (Luftdruck)
pV
= g (z 1 - z 2 )
= l/d h
/2
2
daraus Kanalgefälle J
J
:= sin
= (z 1 - z 2 )/l
=
2
/(2 g d h )
empirische Beziehung für bei Kanalströmung
Aufgaben:
Aufgabe 14
Umströmung von Körpern
Strömungsbilder umströmter Körper:
stark abhängig von der Form
Geschwindigkeitsverteilung
w = 0 am Staupunkt S
w = 0 an der Körperoberfläche (Haftbedingung)
w = w weit weg vom Körper
Übergang in Schicht um den Körper (Grenzschicht)
Grenzschicht sehr dünn bei nicht zu starker Reibung (etwa für Re > 10 4 )
Eigenschaften der Grenzschicht:
w hinter S klein laminar
w steigt längs des Körpers an Umschlag in Turbulenz
dickere Grenzschicht dw/dy kleiner geringere Wandspannung
Geometrie der Grenzschicht
Koordinate x folgt der Körperform
Dicke
Umschlagspunkt etwa bei
wobei Re krit = 3 · 10 5 .. 3 · 10 6 (formabhängig)
Geschwindigkeitsprofile
Beispielwerte für Auto in Luft, l = 1 m, w = 20 m/s
Re
1.3 · 10 6
Re krit 10 6
xU
0.7 m
l
4 mm
t
16 mm
Widerstandskräfte:
Fluid übt längs Körperlinie y K (x) Kräfte auf Körper aus
Resultierende zerlegen
Widerstand = parallel zur Strömung
Auftrieb = senkrecht zur Strömung
Widerstand = Summe von Druck- und Reibungswiderstand
F w = F wD + F wR
Ansatz: F w proportional zu Staudruck und Stirnfläche
F w = c w /2 w 2 A St
Widerstandsbeiwert c w abhängig von
Form des Körpers
Reynoldszahl
Rauigkeit der Oberfläche
c w bei umströmter Kugel (Re mit Kugeldurchmesser d)
c w bei vielen Körperformen (etwa beim Auto) nahezu unabhängig von Re
Reibungswiderstand:
Summe der Wandspannung längs der Körperoberfläche
Vereinfachung: konstante Breite b
Reibungsbeiwert c wR analog zu c w , bezogen auf umströmte Fläche A
F wR = c wR /2 w 2 A
)
F wR = 0 bei reibungsloser Strömung (Re
Druckwiderstand:
Kraft längs der Oberfläche aufsummieren
für reibungslose Strömungen ist p = const
Druckwiderstand vollständig umströmter Körper verschwindet in reibungsfreier Strömung
(d’Alembertsches Paradoxon)
Aufteilung des Widerstands verschiedener Körper
Widerstandsbeiwert einer längs umströmten Platte:
nur Reibungswiderstand
abhängig von Re und Rauheit k S /l
kritische Reynoldszahl
R krit 5 · 10 5
ähnliches Diagramm wie bei Rohrströmung
semi-empirische Beziehungen für verschiedene Bereiche
rein laminare Grenzschicht (1)
rein turbulent, hydraulisch glatt (2)
laminar + turbulent (3a)
rein turbulente Strömung bei kleinem Re z.B. durch Rauhigkeiten an der Vorderkante
Ablösung:
große Krümmung (insbesondere Kanten)
Teilchen folgen nicht mehr der Kontur (Ablösung der Grenzschicht)
stehende bis gegenläufige Bewegung im "Windschatten" (Totwassergebiet)
an Kanten Ablösen von Wirbeln (Karmansche Wirbelstraße)
Ursache
Druck in der Grenzschicht nimmt hinter dem Staupunkt zunächst ab
hinter Verdickung steigt der Druck wieder an
Teilchen werden dort gebremst
zu hohe Reibungsverluste Teilchen bleiben stehen oder laufen zurück
Ablösung erhöht den Druckwiderstand (größere effektive Stirnfläche)
turbulente Grenzschicht
höherer Impulsübertrag von außerhalb der Grenzschicht
spätere Ablösung
geringerer Druckwiderstand
Erklärung für kleines c w bei großem Re bei umströmter Kugel
Aufgaben:
Aufgabe 15
Aufgabe 16
Tragflügel
Geometrie von Tragflächen:
speziell geformter Umströmungskörper
wichtig z.B. bei
Flugzeugen
Turbinenschaufeln
Umlenkrädern
Oberseite stärker gekrümmt als Unterseite
Querschnittsfläche mit
Profilsehne, Länge l (Profillänge)
Mittellinie (Skelettlinie)
Winkel zwischen Profilsehne und Strömung (Anstellwinkel )
Breite b
Strömung um eine Tragfläche:
Geschwindigkeit oben größer als unten
Bernoulli Druck oben niedriger als unten
Druckunterschied zum Druck p in der ungestörten Strömung, bezogen auf Staudruck
Nettoeffekt: Auftriebskraft
Kräfte am Tragflügel:
Auftrieb senkrecht zur Strömung, beschrieben durch
Flügelfläche A Fl l b
Widerstand F w in Strömungsrichtung wie oben
c a , c w hängen ab von
Reynoldszahl
Oberflächenrauhigkeit (besonders an der Flügelnase)
Tragflügelprofil
Anstellwinkel
Abhängigkeit vom Anstellwinkel
Störungen der Strömung:
Abriss an der Oberseite
zu geringer Druck Ablösen der Grenzschicht
geschieht u.a. bei zu großem Anstellwinkel
begrenzt c a ( )
Kavitation (bei Flüssigkeitsströmung)
großer Unterdruck
Entstehen von Dampfblasen
Ablösen der Strömung
Dampfblasen fallen in höherem Druck zusammen
starke Schläge
mechanische Schäden
Beschreibung der Strömung:
Überlagerung aus
reibungsloser Parallelströmung
Wirbel um die Tragfläche (Zirkulationsströmung)
Stärke des Wirbels (Zirkulation)
Wert vom Abstand zum Körper unabhängig (Potentialwirbel)
bei Vernachlässigung von Reibung und ggf. Ablösung
FA = w b
(Satz von Kutta-Joukowsky)
Zirkulation entsteht als Gegenwirbel zum Anfahrwirbel
Aufgaben:
Aufgabe 17
Kompressible Strömungen
Thermodynamische Eigenschaften des idealen Gases
Grundgleichungen
Rohrströmung
Ausströmvorgänge
Thermodynamische Eigenschaften des idealen Gases
Zustandsgleichungen:
thermisch
p = Ri T
kalorisch
du = c V dT
c V von T unabhängig (perfektes Gas)
u = c V T (bei geeignetem Nullpunkt für u)
Isentrope Zustandsänderung:
keine Wärmeübertragung
Isentropengleichungen
Adiabatenkoeffizient
:= c p /c V
außerdem beim idealen Gas
cp - cV = Ri
Enthalpie:
definiert als
H := U + p V
spezifische Enthalpie mit Gasgleichung
h
= u + p/
= u + Ri T
für perfektes Gas
h
= c V T + (c p - c V ) T
= cp T
Schallgeschwindigkeit a:
Schall: schnelle Druckänderung, adiabatisch
Schallgeschwindigkeit allgemein gegeben durch
Isentropengleichung beim idealen Gas
Machzahl
Ma := w / a
Grundgleichungen
Kontinuitätsgleichung:
Masse-Zustrom in Zeit dt durch Stromröhre des Querschnitts A 1
dm 1 = 1 * A 1 * w 1 dt
Abstrom am anderen Ende, Querschnitt A 2
dm 2 = 2 * A 2 * w 2 dt
stationär
dm 1 = dm 2
A1 * 1 * w1 = A2 * 2 * w2
Energiegleichung:
keine explizite Energiezufuhr
Berücksichtigung der Reibung als innere Energie
beim idealen Gas
beim perfekten Gas wegen u = c V T daher
g z + c p T + w 2 /2 = const.
oder mit der Enthalpie
g z + h + w 2 /2 = const.
Rohrströmung
Druckabfall am Rohr:
mit Rohrreibungszahl
Gasgleichung
Kontinuitätsgleichung + konstanter Rohrquerschnitt
damit Druckabfall
Druckabfall bei isothermer Strömung:
langsame Strömung durch nichtisolierte Rohrleitung
T = const
z.B. Ferngasleitung
ändert sich
ändert sich
ändert sich
Re ändert sich
ändert sich
Gleichung für Druckabfall nur numerisch lösbar
Integration einfach für Näherung: = const
Druckabfall bei adiabatischer Strömung:
thermisch isoliertes Rohr
z.B. Fernwärmeleitung (Dampf)
Integration für = const
Aufgaben:
Aufgabe 18
Ausströmvorgänge
Ausströmen aus einem Kessel:
adiabates Ausströmen von perfektem Gas
Anfangsgeschwindigkeit w 0 = 0
Ausgangsdruck p gegeben
Dichte und Temperatur mit Adiabatengleichung
Geschwindigkeit nach dem Energiesatz
Maximalgeschwindigkeit
graphisch für Luft ( = 1.4)
Machzahl:
in Abhängigkeit von p
graphisch für = 1.4
Strömung "näherungsweise kompressibel" für
Ma < 0.3
p/p 0 > 0.93
/ 0 > 0.95
Dichteänderung kleiner 5%
kritischer Druck p* bei Ma = 1
Werte der anderen Größen beim kritischen Druck sofort durch Einsetzen
bei Luft
p*/p 0
0.528
*/
0
0.634
T*/T 0
0.833
w*/w max 0.408
Massenstromdichte j:
Masse pro Zeit und Querschnittsfläche
gegeben durch
J= w
Abhängigkeit vom Druck
graphisch
Maximum bei p*/p 0 , also Ma = 1
für Luft
j*/( 0 w max ) = 0.259
Strömung bei veränderlichem Querschnitt:
Kontinuitätsgleichung
j A = const.
Querschnitt wächst Stromdichte sinkt und umgekehrt
wegen Maximum von j(p) verschiedenes Verhalten für Ma > 1 bzw. Ma < 1
z.B. bei wachsendem Querschnitt
Unterschallströmung (Ma < 1)
Stromdichte sinkt
Druck steigt
Dichte und Temperatur steigen
Geschwindigkeit sinkt
Überschallströmung (Ma > 1)
Stromdichte sinkt
Druck sinkt
Dichte und Temperatur sinken
Geschwindigkeit steigt
Lavaldüse:
zur Erzeugung einer Überschallströmung
Funktionsweise
erst Verengung Geschwindigkeit steigt
dünnste Stelle: w = a (Ma = 1)
Verbreiterung w steigt weiter
Druckverlauf
Außendruck p 2 < p 2,ob
reine Unterschallströmung (Venturirohr)
Außendruck p 2 = p 2,un
kritischer Druck an engster Stelle (*)
Überschallströmung entsteht
Außendruck p 2 < p 2,un
Druck bei (*) auch nur p*
Stromdichte bleibt konstant (sinkt nicht ab)
Nachexpansion am Düsenende
Zwischenbereich p 2,ob > p 2 > p 2,un
Verdichtungsstoß, nicht adiabatisch
zusammengefasst
Aufgaben:
Aufgabe 19
Grundgleichungen für Newtonsche Fluide
Bewegungsgleichungen für Fluide:
Grundgesetze der Bewegung (wie F = ma)
partielle Differentialgleichungen
Herleitung aus Bilanzen für kleines (differentielles) Kontrollvolumen
Einschränkungen im folgenden:
Newtonsches Reibungsgesetz
inkompressibel
stationär
zweidimensional
Lokale Massenbilanz
Lokale Impulsbilanz
Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten
Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen
Lokale Massenbilanz
Kontrollvolumen:
Längen dx, dy und b (feste Höhe)
kleine Geschwindigkeitsänderungen
Gesamtmasse im Kontrollvolumen:
ändert sich durch Ein- und Ausströmen der Fluidteilchen
Skalarprodukt: Komponente der Geschwindigkeit senkrecht zur Fläche zählt
Vorzeichen: Einströmen negativ, Ausströmen positiv
Bilanz für das Kontrollvolumen
Inkompressible Strömung:
Masse im Kontrollvolumen konstant
damit Kontinuitätsgleichung
d
=0
Lokale Impulsbilanz
Gesamtimpuls im Kontrollvolumen:
ändert sich durch Ein- und Ausströmen der Fluidteilchen
in Komponenten
auftretende Kräfte
Volumenkraft F K
Druckkraft F p
Reibungskraft F R
Impulsänderung = Summe der angreifenden Kräfte
Impulsänderung:
x-Komponente
Vernachlässigen von Termen höherer Ordnung
wegen der Kontinuitätsgleichung
analog y-Komponente
Volumenkraft F K :
proportional zum Volumen
beim Kontrollvolumen
d K = dx dy b
z.B. für Schwerkraft (unten = -y-Richtung)
kx = 0
ky = - g
Druckkraft F p :
bei kleiner Fläche d
d p =pd
x-Komponente beim Kontrollvolumen
analog y-Komponente
Reibungskraft F R :
betrachten reine Schichtströmung u = u(y), v = 0
damit x-Komponente von F R
für Newtonsches Fluid somit
bei beliebiger Strömung zusätzlich Normalspannungen
dafür erhält man (mit einiger Mühe)
Navier-Stokes-Gleichungen:
ergeben sich sofort beim Zusammensetzen aller Teile
zusammen mit Kontinuitätsgleichung 3 Gleichungen für u, v, p
wesentlich: Randbedingungen (z.B. Haftbedingung an Wänden)
nichtlinear analytisch (meistens) nicht lösbar
numerische Lösung z.T. sehr aufwändig
Bewegungsgleichungen in Zylinderkoordinaten
Rotationssymmetrische Strömung:
z.B. für Rohre
Koordinaten
x längs des Rohrs
r senkrecht zum Rohr
Drehung längs Rohrumfang
Komponenten der Geschwindigkeit
u in x-Richtung
v in r-Richtung
keine Bewegung in -Richtung
Rotationssymmetrie alle Größen unabhängig von
Gleichungen für u, v, p:
dreidimensionale Gleichungen in Zylinderkoordinaten umrechnen
Unabhängigkeit von ausnutzen
Ergebnis
Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen
Eindimensionale Beispiele
Laminare Gerinneströmung
Wirbelgleichung
Eindimensionale Beispiele
Ruhende Flüssigkeit im Schwerefeld:
Geometrie
keine Strömung
Schwerkraft
ky = - g
Gleichung NS2
u=v=0
Integrieren
p(y) = - g y + C
Randbedingung p(h) = p 0
p(y) = p 0 + g (h - y)
hydrostatischer Druck
Reibungsloser Stromfaden:
keine Reibung
=0
keine Volumenkräfte k = 0
Stromröhre in x-Richtung u = u(x)
damit wird Gleichung NS1
Bernoulli-Gleichung
Laminare Gerinneströmung
Strömung im Kanal:
Neigungswinkel
konstante Wassertiefe h
Breite b >> h Seitenwände vernachlässigbar
Koordinaten
x längs des Gefälles
y senkrecht zum Gefälle
Schwerkraft
k x = g sin
k y = - g cos
Höhenprofil der Geschwindigkeit:
keine Variation in der Breite
unabhängig von x (ausgebildete Strömung)
Ableitungen nach x verschwinden
partielle Ableitung nach y = gewöhnliche Ableitung
Kontinuitätsgleichung
dv/dy = 0
v = const.
v = 0 am Boden
v = 0 überall
wegen v = 0 wird NS2
dp/dy = - g cos
Lösung (wie beim hydrostatischen Druck)
p = p 0 + g (h - y) cos
aus NS1 wird
Integration
du/dy = -B y + C 1
Randbedingung:
keine Reibung an der Oberfläche (Luftreibung und Oberflächenwellen vernachlässigt)
(y=h) = 0
du/dy(y=h) = 0
du/dy = B (h - y)
nochmals integrieren und Haftbedingung u(0) = 0
u = B y (h - y/2)
Geschwindigkeit an der Oberfläche maximal
u max = u(h) = h 2 B/2
Reibungszahl :
aus Gleichgewicht zwischen Druckabfall und Reibungsverlust an der Wand folgte
Schubspannung am Boden
mittlere Geschwindigkeit
damit
als Funktion von Re:
Reynoldszahl bei offener Strömung war
dazu hydraulischer Durchmesser
damit
somit
ähnlich zum Hagen-Poiseuille-Gesetz der Rohrströmung
Aufgaben:
Aufgabe 20
Wirbelgleichung
Drehung :
Definition
anschaulich: Drehgeschwindigeit eines kleinen Teilchens in der Strömung
z.B. bei starrer Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
genauere Herleitung aus Zerlegung der Strömung in kleinen Verzerrungs- und Drehanteil (s.
Anhang)
Eulersche Bewegungsgleichungen:
reibungslose Strömung ( = 0)
keine Volumenkräfte (k x = k y = 0)
damit aus NS1 und NS2
Wirbeltransportgleichung:
Druck aus den Euler-Gleichungen eliminieren
EU1 nach y ableiten, EU2 nach x ableiten,
beides subtrahieren
Klammern = 0 wegen Kontinuitätsgleichung
Definition von einsetzen
Helmholtzscher Wirbelsatz:
Änderung der Wirbelstärke
längs einer Stromlinie
wegen der Wirbeltransportgleichung
für reibungslose stationäre Strömung folgt
Drehung der Fluidteilchen längs ihrer Bahn ist konstant
Spezialfall
homogene Anströmung bleibt wirbelfrei
Aufgaben:
Aufgabe 21
Numerische Strömungsberechnung
Diskretisierung
Modellierung der Turbulenz
Das Simulationsprogramm Femlab
Beispiel: Zweidimensionale Rohrströmung
Beispiel: Dreidimensionale Strömung durch einen Winkel
Diskretisierung
Grundprinzip zur Lösung der Bewegungsgleichungen:
kontinuierlicher Raum (x,y) Gitter (x i , y i ) (endlich viele Punkte)
Differentialgleichung L(u) = 0 algebraische Gleichung A(u i ) = 0
Lösung liefert Näherungswerte an Gitterpunkten
Zwischenwerte durch Interpolation (FDM, FVM) oder Ansatzfunktionen (FEM)
Finite-Differenzen-Methode (FDM):
Raum zerlegt in gleichmäßiges Gitter, kleine Gitterweite h
Ableitungen ersetzt durch Differenzen aus Taylor-Entwicklung, z.B.
algebraische Gleichungen numerisch lösen
Vorteile von FDM
relativ einfache Programmierung
mathematisch gut zu analysieren
Nachteile von FDM
schwierig an komplizierte Geometrie anzupassen
gleiche Genauigkeit im ganzen Raum
Finite-Elemente-Methode (FEM):
Raum zerlegt in kleine Teilvolumina V i (Elemente)
einfache Basisfunktionen N i (x,y) in den Elementen (meist linear)
Ansatz: Lösung ist Linearkombination der Basisfunktionen
Einsetzen von u in Differentialgleichung Fehlerterm R
L(u) = R
Koeffizienten c i finden, so dass R "im Mittel möglichst klein"
gewichtete Mittelwerte des Fehlers sollen verschwinden
Gewichtsfunktionen = Basisfunktionen N i
bei gegebener Differentialgleichung und Basisfunktion
R als Funktion der Koeffizienten c i bekannt
Integrale über die (einfachen) N i bekannt
(riesiges) lineares Gleichungssystem für c i
dafür viele gute numerische Verfahren
Vorteile von FEM
verschiedene Formen für Grundelemente möglich
sehr gut anpassbar an beliebige Geometrie
Verfeinerung an kritischen Stellen problemlos
Nachteile von FEM
Erhaltungssätze nicht respektiert
Finite-Volumen-Methode (FVM):
Raum zerlegt in Zellen (meist viereckig in 2d, sechsseitig in 3d)
Werte definiert in den Mittelpunkten der Zellen
Ableitungen und Werte an Zellenberflächen mit Interpolation und Taylor (ähnlich FDM)
Bilanzgleichungen für Masse und Impuls für jede Zelle algebraische Gleichungen für die
Werte an Zellen-Mittelpunkten
Zeitabhängigkeit: Integration über die Zeit mit Standard-Verfahren (z.B. Runge-Kutta)
Vorteile von FVM
Erhaltungssätze erfüllt selbst bei geringer Rechengenauigkeit
gut anpassbar an beliebige Geometrie
Verfeinerung an kritischen Stellen möglich
Nachteile von FVM
nicht ganz so flexible Zellen wie bei FEM
mathematisch noch nicht so weit analysiert wie FDM und FEM
Modellierung der Turbulenz
Grundproblem:
viele kleine Wirbel und ggf. Grenzschichten bei turbulenter Strömung
beeinflussen mittleres Strömungsfeld
sehr hohe Raum- und Zeitauflösung für Numerik nötig
riesiger Speicher- und Rechenbedarf
selbst mit heutigen Superrechnern oft nicht machbar
Lösungsansatz:
Aufteilen der Größen in Mittelwerte und kleine Schwankungen (Turbulenzanteil)
Mittelwerte beschrieben durch Navier-Stokes-Gleichungen + zusätzliche Turbulenzterme
Turbulenz wirkt wie zusätzliche Schubspannung t
Turbulenzterme durch empirische Ansätze modellieren
Turbulente Viskosität t :
häufige Grundannahme (Boussinesq):
t ähnlich wie bei Newtonschem Fluid
ergibt z.B. zusätzlichen Term in NS1
abhängig von allen Mittelwerten (u, v, p, etc.)
Form von t aus empirischen Modellen (Turbulenzmodelle)
gelten i.a. nur für spezielle Bereiche
Konsequenz für die Numerik
noch kompliziertere Gleichungen
geringere Raum- und Zeitauflösung nötig
mit heutigen Rechnern häufig zufriedenstellende Ergebnisse in akzeptabler Zeit
aber: gute Kenntnisse (Gültigkeitsbereiche etc.) beim Anwender unverzichtbar!
k- -Modell:
beschreibt t mit kinetischer Energie k und Dissipationsrate der Turbulenz
k und selbst beschrieben durch komplizierte Differentialgleichungen mit u, v, p etc.
in vielen Anwendungsfällen sehr gute Genauigkeit
modifizierte Versionen für spezielle Situationen
Aufgaben:
Aufgabe 22
t
Das Simulationsprogramm Femlab
Eigenschaften:
flexibles Programm zur Simulation partieller Differentialgleichungen (PDEs)
Hersteller Comsol (deutsche Vertretung)
basiert auf Matlab von The MathWorks Inc. (deutsche Vertretung)
verwendet FEM zur Lösung
viele vordefinierte PDEs für verschiedene Anwendungsbereiche
erlaubt Definition eigener PDEs
keine vorgefertigten Turbulenzmodelle
Vorgehensweise:
Definition der Geometrie (Draw Mode)
Festlegen der Randbedingungen (Boundary Mode)
Eingabe von Materialkoeffizienten und Anfangsbedingungen (PDE Mode)
Erzeugen des Gitters (Mesh Mode)
Lösen der Gleichungen (Solve Mode)
Darstellen der Ergebnisse (Plot Mode)
Starten einer Strömungs-Simulation:
Aufruf femlab in Matlab liefert Auswahlfenster
Auswahl der Dimension (z.B. 2d)
Auswahl der Grundgleichungen (jeweils durch Doppelklick):
Physics modes Incompressible Navier-Stokes Stationary
graphische Oberfläche von Femlab erscheint
Grundfunktionen der Oberfläche:
Toolbar-Leiste mit wichtigen Funktionen
Datei-Funktionen
Cut-and-Paste, Auswahl
Anzeigebereich (Lupenfunktion)
Auswahl des Modes
umfangreiche Online-Hilfe
Definition der Geometrie (Draw Mode):
Zeichenobjekte rasten (normalerweise) an Gitterpunkten ein
dazu Achsen und Gitter wählen
Options Axis/Grid Settings
xmin/xmax/ymin/ymax: dargesteller Bereich
X/Y spacing: Abstände der Gitterlinien
Extra X/Y: zusätzliche Gitterlinien
Werkzeugleiste links
Einfügen eines Objekts (Rechteck, Kreis, Linie,...)
Verändern eines Objekts (Verschieben, Drehen, Skalieren)
Zusammenfassen von Objekten (Vereinigung, Durchschnitt, ...)
wesentlich umfangreicher und komplizierter für 3d-Modelle
Festlegen der Randbedingungen (Boundary-Mode):
Eingabe unter
Boundary Specify Boundary Conditions
jeweils für jeden Randabschnitt
wichtigste Möglichkeiten
Werte für u und v (Einlass)
Werte für p (Auslass)
u = v = 0 (Wand)
Eingabe von Materialkoeffizienten und Anfangsbedingungen (PDE-Mode):
Eingabe unter
PDE PDE Specification...
Werte für
Druck
Viskosität
äußere Kräfte
Erzeugen des Gitters (Mesh-Mode):
Toolbar-Funktionen
einfaches Startgitter
globale Verfeinerung
Verfeinerung von ausgewählten Bereichen
Elemente müssen möglichst gleichseitig sein
Ausgleichen des Gitters nach lokalen Verfeinerungen
Mesh Jiggle Mesh
Lösen der Gleichungen (Solve-Mode):
Anfangsbedingungen für zeitabhängige Probleme oder als Startwert für Iterationen
festlegen mit
Solve Specify Initial Cond’s ...
zahllose Parameter zur Kontrolle des Solvers (
)
besonders wichtig für Navier-Stokes-Gleichungen
"Streamline Diffusion" an (default)
"Highly Nonlinear Problem" auf Blatt "Nonlinear" anklicken!
Starten des Solvers ( )
Darstellen der Ergebnisse (Plot-Mode):
viele verschiedene Darstellungstypen
Auswahl der darzustellenden Größen und Darstellungstypen mit Plot-Parametern (
z.B. Surface-Plot
)
darzustellende Größe als Farbcode
ggf. weitere Größe als Höhe
Beispiel: Geschwindigkeit als Farbcode, Druck als Höhe
Beispiel: Zweidimensionale Rohrströmung
Modell:
Rechteck der Länge 2.4 und der Breite 0.1 ("Rohr")
Randbedingungen
oben und unten u = v = 0 (Wand)
links u = 1, v = 0 (Einlass)
rechts p = 0 (Auslass)
Materialgrößen (PDE-Parameter)
= 1000
= 100/Re (zunächst Re = 500)
keine Volumenkräfte
Anfangsbedingungen (Ausgangspunkt für nichtlinearen Solver)
u=1
v=0
p=0
Laminar, mit geringer Auflösung:
verwendet Anfangsgitter (136 Elemente) und Re = 500
Solver-Parameter "Highly nonlinear problem",
sonst Fehlermeldung: "Stepsize too small"
Geschwindigkeitsverlauf
nach kurzer Einlaufphase konstante Strömung bis kurz vor Auslauf
Druckverlauf
Längsschnitt, durch geeignete 3d-Ansicht
nach Einlaufphase fast bis zum Schluss linear
Geschwindigkeitsverlauf im Querschnitt
schöne Darstellung bei geeigneten Pfeil-Parametern
nahezu linear, sollte aber quadratisch sein
Erklärung: nur ein Gitterpunkt im Innern der Platte!
Laminar, mit höherer Auflösung:
Gitter zweimal verfeinern (2176 Elemente, 7 Punkte im Innern)
Rechenzeit nun 3 Minuten (Zeiten auf PentiumIII/800MHz, 256MB)
Druckverlauf noch länger linear
Geschwindigkeit im Querschnitt parabolisch
weitere Verfeinerung des Gitters
Rechenzeit von 12 Minuten
fast identische Ergebnisse
Turbulente Strömung:
Re = 100000
gleiches Gitter wie eben bricht ab mit "Stepsize too small"
Grundproblem: Randbereich ist sehr wichtig bei Turbulenz
wesentlich höhere Auflösung nur im Grenzbereich (7896 Elemente)
damit Geschwindigkeitsverteilung wie bei hoher Turbulenz erwartet
Detail der Randzone
bessere Darstellung mit speziellen Matlab-Befehlen
Druckverlauf längs des Rohrs
Geschwindigkeit an drei Querschnitten
Turbulent, mit adaptivem Solver:
Solver verfeinert Gitter selbsttätig an "kritischen Stellen"
Ergebnis bei normalem Gitter ohne Rand-Verfeinerung
berechnete Randschicht viel zu groß
Verfeinerungen nur im Einlass- und Auslassbereich
Fazit:
Ergebnisse von Strömungsberechnungen müssen kritisch gesichtet werden
Rechnungen sinnlos ohne Kenntnisse des Benutzers
Beispiel: Dreidimensionale Strömung durch einen
Winkel
Modell:
Strömung durch ein abgeknicktes Rohr mit quadratischem Querschnitt
turbulent (Re = 50000)
niedrige Auflösung
einfachstes Gitter (911 Elemente)
keine Randschichten modelliert
konvergiert nicht
Ergebnisse sind höchstens grobe Näherung
Darstellung der Daten (Visualisierung):
Grundproblem bei 3d
ganzer Raum voll Daten
man kann nicht "hindurchsehen"
viele Techniken, z.B.
Schnittebenen
Isoflächen
Stromlinien
Aufgaben:
Aufgabe 23
Aufgaben
Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3
Aufgabe 4
Aufgabe 5
Aufgabe 6
Aufgabe 7
Aufgabe 8
Aufgabe 9
Aufgabe 10
Aufgabe 11
Aufgabe 12
Aufgabe 13
Aufgabe 14
Aufgabe 15
Aufgabe 16
Aufgabe 17
Aufgabe 18
Aufgabe 19
Aufgabe 20
Aufgabe 21
Aufgabe 22
Aufgabe 23
Aufgabe 1
Gegeben sei das zweidimensionale stationäre Strömungsfeld
= (u, v) = (-y, x)
1. Stellen Sie die Strömung graphisch dar.
2. Berechnen Sie die Bahnlinien.
3. Bestimmen Sie die Stromlinien.
4. Am Punkt 0 = (1, 0) werden Markierungsteilchen eingeleitet. Bestimmen Sie die
entstehende Streichlinie.
Lösung
Aufgabe 2
In einem Autoreifen, der unter einem Druck von 2.2 bar steht, befindet sich ein kleines Loch. Der
Außendruck beträgt 1 bar, die Temperaturen sind außen und innen gleich 20 °C. Mit welcher
Geschwindigkeit strömt die Luft aus?
Hinweis:
Vernachlässigen Sie die Strömungsgeschwindigkeit im Reifen und nehmen Sie an, die
Dichte der ausströmenden Luft sei direkt am Innenrand des Lochs noch so groß wie im
Innern des Reifens.
R i = 287.2 J/(kg K)
Lösung
Aufgabe 3
Ein zylindrischer Wasserbehälter mit einer Querschnittsfläche von 1200 cm 2 sei 50 cm hoch mit
Wasser gefüllt. Er werde durch eine Bodenöffnung mit 4 cm 2 entleert. Wie lange dauert die
Entleerung?
Hinweise:
Die Wasserstandshöhe z nimmt in der kurzen Zeit dt ab um
dz = - w 1 dt
Benutzen Sie die Formel für die Ausflussgeschwindigkeit, um daraus eine
Differentialgleichung für z(t) zu erhalten. Lösen Sie diese durch Trennung der Variablen
und setzen Sie die gegebenen Werte ein.
Lösung
Aufgabe 4
In einem Vergaser wird Luft durch eine Düse beschleunigt. Durch ein kleines Loch der
Querschnittsfläche 2 mm 2 in der Düse wird dabei der Kraftstoff 2 cm hochgesaugt. Wie groß
muss die Geschwindigkeit der Luft in der Düse sein, wenn 7.2 l/h Kraftstoff angesaugt werden
sollen?
Werte
Dichte der Luft: L = 1.2 kg/m 3
Dichte des Kraftstoffs: K = 840 kg/m 3
Hinweis:
Stellen Sie für die einströmende Luft und den angesaugten Kraftstoff jeweils die
Energiebilanz auf. Vernachlässigen Sie dabei die Anfangsgeschwindigkeit der angesaugten
Luft sowie Reibungseffekte.
Lösung
Aufgabe 5
Zur Messung der Durchflussmenge in einem Rohr wird eine Verengungsstelle eingebaut und der
Druckabfall gegenüber dem freien Rohr gemessen (Venturirohr)
Wie groß ist der Wasserstrom ( = 1000 kg/m 3 ), wenn bei einer Verengung von d 1 = 80 mm auf
d 2 = 60 mm der Druck um 666.7 mbar absinkt?
Lösung
Aufgabe 6
Eine Pumpe der Leistung P = 2 kW pumpt Wasser ( = 1000 kg/m 3 ) durch ein Rohr mit einem
Durchmesser von 70 mm nach oben. Die Strömungsgeschwindigkeit betrage 5 m/s. Wie hoch
kommt das Wasser, wenn der Druck oben und unten am Rohr gleich groß sein sollen ?
Lösung
Aufgabe 7
Eine Kreiselpumpe mit einem Laufrad-Durchmesser von 30 cm und einer Drehzahl von 3000
Umdrehungen/Minute hat am Laufradaustritt eine Ausströmgeschwindigkeit von c 2 = 45 m/s.
Die Flüssigkeit tritt radial im Innern ein und strömt unter einem Winkel von 20° zur
Tangentialrichtung ab. Wie groß ist die spezifische technische Arbeit w t der Pumpe
(Stutzenarbeit) ?
Lösung
Aufgabe 8
Bestimmen Sie die Reynoldszahlen der folgenden Strömungen:
1. Blutfluss ( = 10 3 kg/m 3 , = 4 · 10 -3 kg/(s m)) in den Kapillaren (d = 8 m, = 5 mm/s)
und in der Aorta (d = 20 mm, = 0.3 m/s)
2. Rohrströmung, d = 10 cm, = 1 m/s, mit Wasser ( = 1.00 · 10 -6 m 2 /s), Getriebeöl ( = 5 ·
10 -4 m 2 /s) und Luft ( = 1.56 · 10 -5 m 2 /s)
Lösung
Aufgabe 9
Die bei Orkan an Hochspannungsleitungen auftretenden Strömungskräfte sollen in einem
Wasserkanal modelliert werden. Die Werte beim Original betragen
Windgeschwindigkeit
v 0 = 120 km/h
Drahtdurchmesser
d 0 = 1.0 cm
Oberflächenrauheit
k 0 = 0.02 mm
kinemat. Viskosität
0
= 1.39 · 10 -5 m 2 /s
Das Wasser ( M = 1.0 · 10 -6 m 2 /s) fließe mit v M = 0.3 m/s. Welchen Durchmesser und welche
Rauheit muss der Modelldraht haben?
Lösung
Aufgabe 10
Eine geschickte Aufschlagtechnik im Volleyball bewirkt, dass der Ball mitten im Flug plötzlich
steiler fällt. Wie schnell ist er dann ? (Durchmesser d = 21 cm, Luft = 1.5 · 10 -5 m 2 /s)
Lösung
Aufgabe 11
Durch eine Rohrleitung von 50 mm Durchmesser und 1 km Länge fließen stündlich 10 m 3
Heizöl mit = 4.0 · 10 -5 m 2 /s und einer Dichte von 900 kg/m 3 . Wie groß ist der für den
Transport erforderliche Druckunterschied?
Lösung
Aufgabe 12
Durch eine horizontale Stahlrohrleitung von 2 km Länge und 50 cm Durchmesser gehen in der
Stunde 1200 m 3 Wasser von 15 °C. Wie groß ist der entstehende Druckverlust, wenn die Rauheit
0.1 mm beträgt ?
Lösung
Aufgabe 13
Eine horizontale, hydraulisch glatte Wasserleitung verläuft teilweise unzugänglich durch
Erdreich
An der unzugänglichen Stelle zwischen B und C wird ein Leck vermutet.
Um den Volumenstrom und den Ort des Lecks zu bestimmen, misst man den Druck an den
Stellen A, B, C und D. Man erhält folgende Werte:
d = 0.05 m
L 1 = L 3 = 1000 m, L 2 = 1500 m
p A = 6 bar, p B = 4 bar, p C = 1.5 bar, p D = 1 bar
= 1000 kg/m 3 , = 10 -6 m 2 /s
1. Bestimmen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeiten und die Reynoldszahlen jeweils
in den Teilstücken AB und CD.
Hinweis: Verwenden Sie die Formel von Blasius und prüfen Sie hinterher, ob dies
gerechtfertigt war.
2. Bestimmen Sie nun den Volumenstrom des Lecks.
3. Ermitteln Sie schließlich den Ort des Lecks.
Lösung
Aufgabe 14
Ein rechteckiger Kanal mit hydraulisch optimalem Profil soll pro Sekunde 4 m 3 Wasser ( = 1.13
· 10 -6 m 2 /s) mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s abführen. Wie groß muss das Gefälle J sein,
wenn Kanalsohle und -wände aus unverputztem Beton (k = 5 mm) bestehen ?
Lösung
Aufgabe 15
Ein Auto mit dem c w -Wert 0.4 und einer Stirnfläche von 2 m 2 legt eine Strecke von 100 km mit
einer Geschwindigkeit von 60 km/h bzw. von 120 km/h zurück.
1. Welche Leistung muss bei Windstille zum Überwinden des Luftwiderstands jeweils
aufgebracht werden?
2. Wie groß ist der daraus resultierende Energieverbrauch für die Strecke?
Werte:
Dichte der Luft = 1.2 kg/m 3
Lösung
Aufgabe 16
Eine rechteckige hydraulisch glatte Platte mit den Dimensionen 0.1 m x 0.2 m wird von Wasser
mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s angeströmt. Wie groß ist die auf die Platte ausgeübte
Widerstandskraft
1. bei paralleler Anströmung in Längsrichtung
2. bei paralleler Anströmung in Querrichtung
3. bei senkrechter Anströmung ?
Werte:
= 1.13 · 10 -6 m 2 /s
= 10 3 kg/m 3
c w = 1.15 bei senkrechter Anströmung
Lösung
Aufgabe 17
Eine Boeing 747 hat die Flügelfläche A Fl = 511 m 2 und das Startgewicht m = 320 t. Beim
Abheben beträgt die Geschwindigkeit w = 234 km/h, beim Reiseflug in 11 km Höhe 0.9 Mach.
Wie groß ist der Auftriebsbeiwert
1. beim Reiseflug
2. beim Start ?
Werte:
Dichte der Luft am Boden: 0 = 1.23 kg/m 3
Dichte der Luft in 11 km Höhe: 1 = 0.0365 kg/m 3
Schallgeschwindigkeit in 11 km Höhe: c = 295 m/s
Lösung
Aufgabe 18
Durch eine gut isolierte Dampfleitung von 1 km Länge und 15 cm Durchmesser strömen
stündlich 30 t Dampf. Die Wandrauhigkeit beträgt k = 0.05 mm. Wie groß ist der Druckverlust
bei einem Anfangsdruck von 50 bar?
Werte:
Anfangsdichte 1 = 16.4 kg/m 3
Viskosität 1 = 2.6 · 10 -5 Pa s
Adiabatenkoeffizient = 1.28
Lösung
Aufgabe 19
An einem Druckbehälter, in dem sich Luft unter einem Druck von 6 bar und einer Temperatur
von 300 K befindet, ist eine Lavaldüse angeschlossen, deren kleinster Querschnitt 1 cm 2 beträgt.
Der Außendruck sei klein genug, um eine Überschallströmung in der Lavaldüse zu erzeugen.
1. Wie groß ist der austretende Luftmassenstrom ?
2. Wie groß ist die Austrittsgeschwindigkeit w a ?
3. Wie groß ist die Temperatur T a ?
4. Wie groß ist die Austrittsfläche A a ?
Werte:
R i = 287.2 J/(kg K) für Luft
Lösung
Aufgabe 20
Eine zweidimensionale Strömung w sei gegeben durch
u(x,y) = -y
v(x,y) = x
1. Zeigen Sie, dass w die Kontinuitätsgleichung erfüllt.
2. Benutzen Sie die Navier-Stokes-Gleichungen, um den Druck in der Strömung (ohne äußere
Kräfte) zu berechnen.
Lösung
Aufgabe 21
Berechnen Sie für die folgenden Strömungsfelder die Drehung
Wirbeltransportgleichung erfüllt ist:
wobei
Lösung
und zeigen Sie, dass die
Aufgabe 22
Lösen Sie die Differentialgleichung
für das Intervall [0 1], indem Sie es in N gleiche Teile teilen und die FDM per Hand anwenden.
Wählen Sie dazu explizit die Werte N = 3, 6, 12 und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der
exakten Lösung.
Lösung
Aufgabe 23
Modellieren Sie die Umströmung eines Kreises in 2d (Zylinder-Umströmung) für die
Reynoldszahlen Re = 10, 30000, 3000000.
Stellen Sie jeweils die Geschwindigkeit und den Druck in der Strömung graphisch dar.
Tip: Modellieren Sie die Außenwelt als ein großes Rechteck mit konstanter
Anblas-Geschwindigkeit u.
Lösung
Anhang
Literatur
Nachweise
Exkurs: Herleitung der lokalen Drehung
Literatur
1. W.Bohl, Technische Strömungslehre
Vogel, 11. Aufl 1998, ISBN: 3-8023-1740-8
2. K.Gersten, Einführung in die Strömungsmechanik
Vieweg, 6. Aufl 1991, ISBN 3-528-43344-2
3. H. Oertel, Strömungsmechanik
Vieweg 1999, ISBN 3-528-03893-4
4. K.Gersten, H.Herwig: Strömungsmechanik
Vieweg 1992, ISBN 3-528-06472-2
5. H. Iben: Strömungslehre in Fragen und Aufgaben
Teubner 1997, ISBN: 3-8154-3033-X
6. Handbücher zu FEMLAB, Comsol AB, 2000
7. Institut für Strömungslehre der Uni Karlsruhe
8. NASA Image Exchange
9. Microsoft Encarta 1999
10. Views of the Solar System
11. DLR - Institut für Entwurfsaerodynamik
Nachweise
Bilder:
Bild-Nr
Herkunft
11,12,21,22,23,24,25,26,27,28,
31,37,38,39,41,42,43,48,49,
50,52,57,59,60,62,63,71
[1]
18,32,33,35,36,44,51,53,54,55,
56,58,69,70,73,75
[2]
80
[3]
45
[5]
6,7,10
[7]
1
[8]
2,4
[9]
3
[10]
5
[11]
Exkurs: Herleitung der lokalen Drehung
Längs einer Bahnlinie verändert sich die Geschwindigkeit während der kleinen Zeit dt um
Die Matrix D wird zerlegt in eine Drehmatrix A und einen symmetrischen Anteil S gemäß
D=AS
wobei
Anmerkung: Die Beziehung D = A S gilt, wenn quadratische Terme in dt vernachlässigt werden.
Die Matrix S kann als symmetrische Matrix diagonalisiert werden, sie hat reelle Eigenwerte. Sie
entspricht damit einer lokalen Verzerrung (Stauchung bzw. Streckung) des Strömungsfelds.
A kann als Drehmatrix geschrieben werden. Mit der Abkürzung
gilt nämlich (in linearer Näherung in dt)
A beschreibt also eine Drehung um den kleinen Winkel
Winkelgeschwindigkeit der Drehung.
dt.
ist daher die lokale
Lösung von Aufgabe 1
1.
2. Bahnlinien für = (x, y) aus d /dt =
In Koordinaten lautet die Dgl:
==
y
x
:
(1)
(2)
(1) ableiten und (2) einsetzen
==- 2 x
Schwingungsdgl., also Lösung für x:
x(t) = a cos( t + )
in (1) einsetzen
y(t) = - / = a sin( t + )
also
Kreise um den Ursprung. Radius a und Phase aus den Anfangsbedingungen.
3. Stromlinien:
aus
dy/dx = v/u = -x/y
y dy = -x dx
1/2 y 2 = - 1/2 x 2 + C
x2 + y2 = 2 C
Kreise um den Ursprung, Radius durch Anfangspunkt gegeben.
4. Streichlinien:
Zunächst Anfangsbedingung bei Bahnlinien einbauen
Zu jeder festen Zeit t ist dies ein Kreis um den Ursprung mit Radius 1, beschrieben durch
den Parameter t 0 .
Lösung von Aufgabe 2
Nach Bernoulli gilt für die Werte im Innern (Index i) und am Loch (Index a):
p i /( g) + w i 2 /(2g) = p a /( g) + w a 2 /(2g)
wobei am Loch gleich dem im Innern sei.
Wegen
wi 0
folgt
Die Dichte bestimmt man mit der idealen Gasgleichung:
p V = m Ri T
= m/V = p i /(R i T) = 2.61 kg/m 3
Damit ist
w a = 303.2 m/s
Lösung von Aufgabe 3
Es war
mit der Abkürzung
In der Zeit dt sinkt der Wasserspiegel um
Integrieren von der Anfangszeit t = 0 mit der Höhe z = h bis zur Ausflusszeit T bei der Höhe z =
0:
Einsetzen der Zahlenwerte liefert
T = 95.8 s
Dieser Wert ist natürlich zu klein, da Reibungsvorgänge und Turbulenzen beim Ausfluss
vernachlässigt worden sind.
Lösung von Aufgabe 4
Aus dem Volumenstrom
der Düse:
K = wK A
K
= 7.2 l/h des Kraftstoffs ergibt sich seine Geschwindigkeit w K an
w K = K / A = 1 m/s
Mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung für den Kraftstoff erhält man damit den Unterdruck in der
Düse
p 0 = p 1 + K g h + K /2 w K 2
p 0 - p 1 = K g h + K /2 w K 2 = 584.8 Pa
Die Bernoulli-Gleichung für die Luft liefert dann die Geschwindigkeit w L der Luft in der Düse
p 0 + L /2 w 0 2 = p 1 + L /2 w L 2
Mit w 0 0 folgt
Lösung von Aufgabe 5
Aus der Kontinuitätsgleichung folgt
w1 A1 = w2 A2
w 2 = w 1 A 1 /A 2 = w 1 d 1 2 /d 2 2
Damit erhält man aus der Bernoulli-Gleichung
p 1 + /2 w 1 2 = p 2 + /2 w 2 2
p 1 - p 2 = /2 (w 2 2 - w 1 2 ) = /2(d 1 4 /d 2 4 - 1) w 1 2
Der Volumenstrom ist somit
= A1 w1
= /4 d 1 2 w 1
= 0.0395 m 3 /s
= 39.5 l/s
Lösung von Aufgabe 6
Da Geschwindigkeit und Druck gleich bleiben, wird die Arbeit der Pumpe vollständig in
Hubarbeit umgewandelt:
w t12 = g h
h = w t12 /g
Die Leistung ist
P
= w t12
= w t12
w t12
= P/( A w)
= 4 P/(
Daher
h = 4 P/(g
Aw
d 2 w)
d 2 w) = 10.6 m
Lösung von Aufgabe 7
Die Leistung P hängt mit der Stutzenarbeit zusammen durch
P = wt
Andererseits ist
P
= MS
=
(r 2 c 2t - r 1 c 1t )
Also mit der Drehzahl n =
wt
/(2 )
= P/
= (r 2 c 2t - r 1 c 1t )
= 2 (r 2 c 2t - r 1 c 1t ) n
Weiter ist
c 1t = 0, c 2t = c 2 cos( ),
somit
wt
= 2 r 2 c 2 cos( ) n
= 1993 J/kg
Lösung von Aufgabe 8
Mit Re = w L / = w L / ergibt sich jeweils
1. Kapillaren: Re = 10 -2
Aorta: Re = 1500
2. Wasser: Re = 10 5
Getriebeöl: Re = 200
Luft: Re = 6.41 · 10 3
Lösung von Aufgabe 9
Die Reynoldszahl beim Original beträgt
Re 0 = v 0 d 0 / 0 = 2.40 · 10 4
Bei gleicher Reynoldszahl beträgt die Dicke des Modelldrahts daher
d M = Re 0 M / v M = 0.08 m
Wegen der geometrischen Ähnlichkeit erhält man für die Oberflächenrauheit des Modelldrahts
k M = k 0 d M /d 0 = 0.16 mm
Lösung von Aufgabe 10
Die plötzliche Flugbahnänderung geschieht, wenn der Ball vom überkritischen in den kritischen
Bereich kommt, wodurch sich die Widerstandskraft plötzlich erhöht. Dies geschieht bei Re krit =
3 · 10 5 . Die Geschwindigkeit beträgt dann
w = Re krit Luft / d = 21.4 m/s = 77.1 km/h
Lösung von Aufgabe 11
Zunächst mittlere Geschwindigkeit aus Volumenstrom:
= /( d 2 /4) = 1.42 m/s
Damit die Reynoldszahl bestimmen
Re = d / = 1775
Re < 2320, also laminare Strömung.
Rohrreibungszahl:
= 64/Re = 0.036
Daraus den Druckunterschied:
p = l \ 2 /(2 d) = 6.54 bar
Lösung von Aufgabe 12
Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich zu
=
/( d 2 /4)
= 1.70 m/s
Durch Interpolation aus Tafelwerten erhält man die Viskosität = 1.19 · 10 -6 m 2 /s des Wassers
bei 15 °C.
Damit ist die Reynoldszahl
Re = d/ = 7.15 · 10 5
Die Strömung ist also turbulent.
Weiter sind
k/d = 2 · 10 -4
Re k/d = 143
daher liegt die Strömung im Übergangsbereich.
Mit dem Startwert 1 (oder irgendeinem anderen!) erhält man durch Iteration aus der
Colebrook-Formel
= 0.0150
Damit ist der Druckabfall
pv
= · l/d · /2 ·
= 0.87 bar
2
Lösung von Aufgabe 13
1. Bestimmung der Strömungsgeschwindigkeiten und Reynoldszahlen:
Der Druckabfall bestimmt sich aus
p v = · l/d · /2 · 2
Weiter gilt (vermutlich) die Formel von Blasius
Setzt man dies oben ein und löst nach
auf, erhält man
Dies ergibt auf den beiden Teilstücken
AB = 0.969 m/s,
CD = 0.439 m/s
Die Reynoldszahlen erhält man nun aus Re = d / zu
Re AB = 4.85 · 10 4 , Re CD = 2.19 · 10 4
Beide Teilströmungen sind also turbulent und liegen im Gültigkeitsbereich der
Blasius-Beziehung.
2. Die Volumenströme erhält man direkt aus = A =
d 2 /4:
-3
3
AB = 1.90 · 10 m /s
CD
= 0.862 · 10 -3 m 3 /s
= AB - CD = 1.04 · 10 -3 m 3 /s
3. Ort des Lecks:
Der Druck fällt vor und hinter dem Leck linear ab. Dabei ändert sich die Steigung des
Abfalls am Leck:
Leck
Der Ort des Lecks ist der Schnittpunkt der beiden Geraden I und II. Mit den Bezeichnungen
= p / bar, = x / km
lauten diese
I: = -2 + 6
II: = -0.5 + 2.75
Der Schnittpunkt L ergibt sich durch Gleichsetzen der Geradengleichungen zu
= 2.1667
Das Leck befindet sich also 1167 m hinter Punkt B.
L
Lösung von Aufgabe 14
Die Querschnittsfläche erhält man aus
A = / = 2 m2
Für einen optimalen rechteckigen Kanal ist
d h = (2A) 1/2 = 2 m
Die Kennzahlen sind also
Re = d h / = 3.54 · 10 6
k/d = 2.5 · 10 -3
Mit Hilfe der empirischen Formel soll nun bestimmt werden. Da sie implizit ist, wird zunächst
ein brauchbarer Schätzwert bestimmt, indem man Re = setzt
Damit erhält man für
= 2.60 · 10 -2
Nachiterieren mit der ganzen Formel liefert
= 2.61 · 10 -2
d.h. der Einfluss der Reynoldszahl ist hier gering.
Damit kann nun das Gefälle bestimmt werden
J
= /d h ·
2 /(2g)
= 2.66 · 10 -3 = 0.266 %
Lösung von Aufgabe 15
1. Aufgebrachte Leistung:
P
= Fw w
= c w (1/2) w 2 A St w
= (1/2) c w
A St w 3
w = 60 km/h P = 2.2 kW
w = 120 km/h P = 17.8 kW
2. Bestimmung der Strecke:
Zeit t zum Zurücklegen der Strecke s
t = s/w
Energieverbrauch
E
=Pt
= (1/2) c w
A St s w 2
w = 60 km/h E = 3.7 kWh
w = 120 km/h E = 14.8 kWh
Lösung von Aufgabe 16
1. Längsumströmung:
Reynoldszahl mit l = 0.2 m
Re = l w / = 1.77 · 10 6 > Re krit
Umschlagpunkt der Grenzschicht
x U = Re krit /w = 5.65 cm
Berechnung von c w nach Fall 3a (laminar + turbulent) ergibt
c w = 3.1 · 10 -3
Damit Reibungswiderstand
F w = c w (1/2) w 2 2 l 1 l 2 = 6.2 N
2. Querumströmung:
analog mit l = 0.1 m
Re = 8.85 · 10 5 > Re krit
c w wieder mit Fall 3a
c w = 2.7 · 10 -3
Reibungswiderstand
F w = 5.4 N
3. Anströmung:
Reiner Druckwiderstand mit konstantem c w
F w = c w (1/2) w 2 A = 1150 N
Lösung von Aufgabe 17
1. Reiseflug:
Geschwindigkeit w = 0.9 c = 266 m/s
Auftrieb = Gewichtskraft
c a 1 /2 w 2 A Fl = m g
c a = 2 m g / ( 1 w 2 A Fl ) = 4.8
2. analog beim Abheben:
c a = 2.4
Bemerkung: Beim Start wird weniger gebraucht, da der Schub der Triebwerke auch vertikal
wirkt.
Lösung von Aufgabe 18
Bestimmung der Anfangsgeschwindigkeit:
Kennzahlen:
Rohrreibungszahl:
Re k/d = 906 Übergangsbereich
Schätzwert aus dem Diagramm
0.015
Iterieren mit der Formel von Colebrook
= 0.0155
Druckverlust:
p 2 = 42.6 bar
p 1 - p 2 = 7.4 bar
Lösung von Aufgabe 19
1. Massenstrom :
überall gleich, am einfachsten am kleinsten Querschnitt (= am kritischen Punkt)
2. Austrittsgeschwindigkeit w a :
3. Austrittstemperatur T a mit Energiesatz:
4. Austrittsfläche aus Kontinuitätsgleichung:
Lösung von Aufgabe 20
1. Einsetzen von u und v in KG ergibt sofort
2. Bestimmen des Drucks:
Reibungsterme ~ verschwinden wegen
u,v in NS1 einsetzen
aus NS2 folgt
beide Ausdrücke zusammen liefern
Druck nimmt mit Quadrat des Abstands vom Ursprung zu
Lösung von Aufgabe 21
Aus der Definitionsgleichung
erhält man für die drei angegebenen Strömungen
Einsetzen in die Wirbeltransportgleichung liefert bei
von bzw. selbst verschwinden.
Für 2 erhält man
Damit
1
und
3
sofort 0, da die Ableitungen
Lösung von Aufgabe 22
Teilt man das Intervall [0 1] in N gleiche Teile, beträgt die Schrittweite
h = 1/N
Die Gitterpunkte sind daher
x i = i/N, i = 0 ... N
Die Funktionswerte an den Gitterpunkten seien
u(x i ) =: u i , i = 0 .. N
Davon ist u 0 = 1 bekannt, die anderen N Werte gesucht.
Die Ableitung wird gemäß der FDM genähert als
Setzt man dies in die Differentialgleichung, ergibt sich
Diese Rekursion lässt sich direkt auflösen zu
Rechnet man diese Werte für N = 3, 6, 12 aus und trägt sie zusammen mit der exakten Lösung
u(x) = e x
auf, erhält man
Lösung von Aufgabe 23
Die folgenden Bilder zeigen exemplarisch einige Ergebnisse von Rechnungen mit z.T. sehr
feinen Gittern (> 10000 Elemente) und entsprechenden Rechenzeiten von über einer Stunde.
Trotzdem sind die Resultate nicht immer überzeugend (Schließen der Strömung im laminaren
Fall, turbulente Grenzschicht bei sehr großer Reynoldszahl).
Re = 10
Geschwindigkeitsfeld
Druck (Surface) + Geschwindigkeit (Arrow)
Stromlinien
Re = 30000
Geschwindigkeitsfeld
Druck (Surface) + Geschwindigkeit (Arrow)
Stromlinien
Re = 3000000
Geschwindigkeitsfeld
Druck (Surface) + Geschwindigkeit (Arrow)
Stromlinien